三角函数综合练习较难
三角函数综合测试题(含答案)
三角函数综合测试题(含答案)三角函数综合测试题一、选择题（共18小题，每小题3分，共54分）1.（08全国一6）函数y=(sinx-cosx)-1的最小正周期为π的奇函数。
2.（08全国一9）为得到函数y=cos(x+π/3)的图象，只需将函数y=sinx的图像向左平移π/3个长度单位。
3.（08全国二1）若sinα0，则α是第二象限角。
4.（08全国二10）函数f(x)=sinx-cosx的最大值为2.5.（08安徽卷8）函数y=sin(2x+π/3)图像的对称轴方程可能是x=-π/6.6.（08福建卷7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移π/2个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为-sinx。
7.（08广东卷5）已知函数f(x)=(1+cos2x)sinx，则f(x)是以π为最小正周期的奇函数。
8.（08海南卷11）函数f(x)=cos2x+2sinx的最小值为-2，最大值为3/3π。
9.（08湖北卷7）将函数y=sin(x-θ)的图象F向右平移π/3个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x=5π/12，则θ=π/4.10.（08江西卷6）函数f(x)=(sinx+2sin2x)/x的最小正周期为2π的偶函数。
11.若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图像分别交于M，N两点，则MN的斜率为tan(a-π/4)。
19.若角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(1,-2)$，则$\tan2\alpha$ 的值为 ________。
20.函数 $f(x)=\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})$ 的最小正周期为 $\frac{\pi}{5}$，其中 $\omega>0$，则 $\omega=$ ________。
21.设 $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，则函数$y=\frac{2\sin2x+1}{\cos x}$ 的最小值为 ________。
专题12 三角函数(全题型压轴题)试题含解析
专题12三角函数（全题型压轴题）目录①三角函数的图象与性质 (1)②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 (2)③三角函数零点问题（解答题） (3)④三角函数解答题综合 (6)①三角函数的图象与性质②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换③三角函数零点问题（解答题）(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 图像向左平移12个单位得到123,,x x x ，求()()123tan 2x x x π++的值④三角函数解答题综合专题12三角函数（全题型压轴题）目录①三角函数的图象与性质 (1)②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 (9)③三角函数零点问题（解答题） (12)④三角函数解答题综合 (20)①三角函数的图象与性质设()t f x =，则方程()()2220f x af x ⎡+⎣+⎦=⎤可化为由图象可得：当2t =时，方程()t f x =有2个实数根；当322t <<时，方程()t f x =有4个实数根；①当22m-=时，即②当3-=时，即t=m③当3->时，即t<m②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换③三角函数零点问题（解答题）由图可知，当1t =或12t -≤<当112t ≤<时，()h x 在区间⎡⎢⎣当21t <-或1t >时，()h x 在区间令ππ2πZ 62,x k k-=+∈故两个零点12,x x关于x故()122πcos cos3x x+=7．（2023春·江西·高一统考期末）已知函数由图可知，30a -≤≤，且21πt t +=，所以()12121ππsin sin 466x x t t ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭故a 的取值范围为()123,0,sin x x ⎡⎤-+⎣⎦8．（2023春·湖北咸宁·高一统考期末）已知(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 图像向左平移12个单位得到123,,x x x ，求()()123tan 2x x x π++的值④三角函数解答题综合(2)当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()π02f x kf x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)43310-(2)()3,1--【详解】（1）由题意得，向量()1,3ON = 的相伴函数为()sin 3cos f x x x =+，所以()13πsin 3cos 2sin cos 2sin 223f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()85f x =，∴π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∵ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴23cos 1s πin 335πx x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）向量()1,3ON = 的相伴函数为()πsin 3cos 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()π2sin 2cos 03π2π3f x kf x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即ππsin cos 033x k x ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos sin π3π3k x x ⎛⎫⎛⎫+>-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．所以①当π06x ≤<，即πππ332x ≤+<时，πcos 03x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πsin π3tan π3cos 3x k x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭>-=-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，即max πtan 3k x ⎡⎤⎛⎫>-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由于πππ332x ≤+<，所以πtan 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为πtan 33=，所以max πtan 33k x ⎡⎤⎛⎫>-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；②当π6x =，ππ32x +=，不等式ππsin cos 033x k x ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为10>成立．③当π11π612x <≤，ππ5π234x <+≤时，πcos 03x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，。
三角函数综合测试题(含答案)
三角函数综合测试题学生： 用时： 分数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共18小题，每小题3分，共54分）1.（08全国一6）2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 （ ） A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x7.（08广东卷5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32 D. －2，32 9.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是 （ ）A.512πB.512π-C.1112πD.1112π-10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是 （ ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 （ ）A ．1BCD ．212.（08山东卷10）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A．5-B．5C ．45-D ．4513.（08陕西卷1）sin330︒等于 （ ） A．-B ．12-C ．12D14.（08四川卷4）()2tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，16.（08天津卷9）设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则 （ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<17.（08浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （ ）A.2π B .π C.32πD.2π 18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是 （ ）A.0B.1C.2D.4 1-18题答案：1.D2.C3.C4.B5.B6.A7.D8.C9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题3分，共 15分）.19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ． 21.（08辽宁卷16）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．22.（08浙江卷12）若3sin()25πθ+=，则cos2θ=_________。
三角函数性质练习题(综合较难)
三角函数性质练习题(较难)一、选择题1．(文)(2012·安徽文，7)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位[答案] C[解析] 本题考查三角函数(余弦型函数)图象的平移问题． ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos2(x ＋12)，所以只需将y ＝cos2x 图象向左平移12个单位即可得到y ＝cos(2x ＋1)的图象．(理)(2013·东营模拟)将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为( )A.π6 B.π3 C.π4 D.π12[答案] C[解析] 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋φ)＝sin(2x ＋2φ)的图象，由题意得2φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故正数φ的最小值为π4.2．(文)(2013·辽宁六校联考)已知ω>0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π3)的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点(π12，0)，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1[答案] A[解析] 由题意知π3－π12≥T 4，∴T ＝2πω≤π，∴ω≥2，故选A. (理)(2013·武汉质检)将函数y ＝sin(6x ＋π4)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是( )A ．(π2，0) B ．(π4，0) C ．(π9，0) D ．(π16，0) [答案] A[解析] y ＝sin(6x ＋π4)――→各点橫坐标伸长到原来的3倍y ＝sin(2x ＋π4)错误!y ＝sin2x ，其对称中心为(k π2，0)，取k ＝1，选A.3．(文)(2013·郑州模拟)已知ω是正实数，且函数f (x )＝2sin ωx 在[－π3，π4]上是增函数，那么( )A ．0<ω≤32 B ．0<ω≤2 C ．0<ω≤247 D ．ω≥2 [答案] A[解析] 由题意知f (x )在[－π3，π3]上为增函数， ∴12·2πω≥2π3，∴0<ω≤32.(理)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972π C.1992π D ．100π[答案] B[解析] 由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914·T ＝1974·2πω≤1，∴ω≥1972π，故选B.4．(文)(2014·温州检测)函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为 ( )A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，1[答案] C[解析] 由题可知，f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π6－2x )＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最大值为3，故选C.(理)(2014·金丰中学质检)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C.3＋1D.3＋2[答案] B[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2.5．(2013·银川联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋3π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 D ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数 [答案] C[解析] ∵f (x )＝sin(2x ＋3π2)＝－cos2x ，∴其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在[0，π2]上是增函数，D 正确，故选C.6．(文)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋5π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π6，k π＋11π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) [答案] C[解析] 由条件知，T ＝2πω＝π，∴ω＝2， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得， k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故选C.(理)(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0，－π2<φ<0)在x ＝5π6处取得最大值，则f (x )在[－π，0]上的单调增区间是( )A ．[－π，－5π6] B ．[－5π6，－π6] C ．[－π3，0] D ．[－π6，0][答案] D[解析] ∵f (x )＝A sin(x ＋φ)在x ＝5π6处取得最大值，A >0，－π2<φ<0，∴φ＝－π3，∴f (x )＝A sin(x －π3)，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，令k ＝0得－π6≤x ≤0，故选D.二、填空题7．(2013·新课标Ⅰ理，15)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.[答案] －255[解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5(15sin x －25cos x )，令15＝cos α，25＝sin α，则f (x )＝5sin(x －α)，∵x ∈R ，∴f (x )max ＝5，且当x －α＝2k π＋π2时取到最大值，k ∈Z . ∵x ＝θ时，f (x )取得最大值，∴θ＝2k π＋π2＋α. ∴cos θ＝cos(2k π＋π2＋α)＝－sin α＝－255.8．(2013·江西九江质检)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[答案] (1,3) [解析]f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎨⎧3sin x ， 0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.在同一坐标系中，作出函数f (x )与y ＝k 的图象可知1<k <3.9．(2012·衡阳六校联考)给出下列命题：①存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32；②若α、β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y ＝sin(π3－2x5)的最小正周期为5π；④函数y ＝cos(2x 3＋7π2)是奇函数；⑤函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin(2x ＋π4)的图象．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上) [答案] ③④[解析] 对于①，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，而32>2，因此不存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tan α＝tan β，因此②不正确；对于③，函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期是T ＝2π25＝5π，因此③正确；对于④，令f (x )＝cos(2x 3＋7π2)，则f (x )＝sin 2x3，f (－x )＝－f (x )，因此④正确；对于⑤，函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin2(x ＋π4)＝sin(2x ＋π2)的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④.三、解答题10．(2013·江西省七校联考)已知m ＝(a sin x ，cos x )，n ＝(sin x ，b sin x )，其中a ，b ，x ∈R .若f (x )＝m ·n 满足f (π6)＝2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称．(1)求a ，b 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2k ＝0在区间[0，π2]上总有实数解，求实数k 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝m ·n ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＝a 2(1－cos2x )＋b2sin2x .由f (π6)＝2，得a ＋3b ＝8.① ∵f ′(x )＝a sin2x ＋b cos2x ，又f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称， ∴f ′(0)＝f ′(π6)，∴b ＝32a ＋12b ，即b ＝3a .② 由①②得，a ＝2，b ＝2 3.(2)由(1)得f (x )＝1－cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x －π6)＋1. ∵x ∈[0，π2]，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－1≤2sin(2x －π6)≤2，f (x )∈[0,3]． 又f (x )＋log 2k ＝0在[0，π2]上有解， 即f (x )＝－log 2k 在[0，π2]上有解，∴－3≤log 2k ≤0，解得18≤k ≤1，即k ∈[18，1].能力拓展提升一、选择题11．(2013·乌鲁木齐第一次诊断)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k －1,6k ＋2](k ∈Z )B ．[6k －4,6k －1](k ∈Z )C ．[3k －1,3k ＋2](k ∈Z )D ．[3k －4,3k －1](k ∈Z )[答案] B[解析] 由题意知AB ＝5，|y A －y B |＝4，所以|x A －x B |＝3，即T2＝3，所以T ＝2πω＝6，ω＝π3.由f (x )＝2sin(π3x ＋φ)过点(2，－2)，得2sin(2π3＋φ)＝－2,0≤φ≤π，解得φ＝5π6，所以f (x )＝2sin(π3x ＋5π6)，由2k π－π2≤π3x ＋5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得6k －4≤x ≤6k －1(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为[6k －4,6k －1](k ∈Z )．12．已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A ．{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z } B ．{x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z } C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z } D ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z } [答案] A[解析] f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)≥1，即sin(x －π6)≥12，∴2k π＋π6≤x －π6≤2k π＋5π6 k ∈Z ，∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )．13．(文)已知函数f (x )＝3sin πxR 图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR ＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.[点评] 题中最大值点应为(R 2，3)，由R 24＋3＝R 2得R 2＝4，∴|R |＝2，∴T ＝2π|πR |＝4.(理)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A 、B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A ．10B ．8 C.87 D.47[答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解． [解析]如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2ππ＝2，tan α＝AC PC ＝121＝12，tan β＝BCPC ＝321＝32，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋321－12×32＝8，∴选B. 二、填空题14．已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在x ∈(π2，π)上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[答案] －2<m <－1[解析] m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)，∵x ∈(π2，π)时，原方程有两个不同的实数根，∴直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)，x ∈(π2，π)有两个不同的交点，∴－2<m <－1.15．(文)(2013·荆州市质检)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图象关于点(－3π8，0)对称，则函数的解析式为________．[答案] y ＝sin(2x ＋3π4)[解析] 由题意知最小正周期T ＝π＝2πω，∵函数图象关于点(－3π8，0)对称，∴ω＝2,2×(－3π8)＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π＋3π4(k ∈Z )，又0<φ<π，∴φ＝3π4，∴y ＝sin(2x ＋3π4)．(理)某同学利用描点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0,0<ω<2，－π2<φ<π2)的图象，列出的部分数据如下表：推断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式应是________．[答案] y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6[解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线x ＝1对称，故x ＝1与函数图象的交点应是最高点或最低点，故数据(1,0)错误，从而由(4，－2)在图象上知A ＝2，由过(0,1)点知2sin φ＝1，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，再将点(2,1)代入得， 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ω＋π6＝1， ∴2ω＋π6＝π6＋2k π或2ω＋π6＝5π6＋2k π，k ∈Z ， ∵0<ω<2，∴ω＝π3，∴解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6. 三、解答题16．(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝12. 又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)，由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1]． 因此，当2x ＋π6＝π2， 即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3.当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32.(理)已知a ＝(3，cos x )，b ＝(cos 2x ，sin x )，函数f (x )＝a ·b －32.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，求函数f (x )的取值范围；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数．[解析] (1)函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋cos2x 2＋12sin2x －32 ＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 得， －5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，(k ∈Z )． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴当2x ＋π3＝π2即x ＝π12时，f (x )max ＝1，当2x ＋π3＝5π6即x ＝π4时，f (x )min ＝12，∴12≤f (x )≤1.(3)将f (x )的图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到y ＝sin2x 的图象，则其对应的函数即为奇函数．(答案不唯一)考纲要求了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响，能画出函数y ＝A sin(ωx＋φ)的图象，能通过变换法研究不同函数图象间的关系．能根据所给的三角函数的图象和性质确定参数A，ω，φ的值．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．补充说明1．掌握讨论正弦型(余弦型)函数的图象与性质的基本方法：转化与化归为基本函数；熟练进行两类变换(平移、伸缩)；清楚三角函数作图的五点．2．三角函数的图象变换技巧(1)平移变换与坐标轴同向为正、反向为负(向右x取正，向左x取负，向上y取正，向下y取负)．如y＝f(x)图象上各点向左平移3个单位后再向上平移2个单位，则只需用x－(－3)代替x，y－2代替y即可得，∴y－2＝f(x＋3)，即y＝f(x＋3)＋2.(2)伸缩变换将y＝f(x)图象上各点的横(或纵)坐标伸长(或缩短)到原来的m倍，则用xm代替x(或ym代替y)即可．(推证从略)3．直线y＝a与函数y＝tan x的图象交点中任两点距离的最小值为周期．函数y＝sin x(y＝cos x)相邻两个最大(小)值点之间距离为周期，与x轴相邻两交点之间距离为半周期．4．五点法求函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式[例]若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如下图所示，则ω和φ的取值是()A ．ω＝1，φ＝π3 B ．ω＝1，φ＝－π3 C ．ω＝12，φ＝π6 D ．ω＝12，φ＝－π6[答案] C[解析] 方法1：由五点法及图象知：⎩⎨⎧－π3ω＋φ＝0， ①23πω＋φ＝π2. ②解①，②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝12，φ＝π6.方法2：由图可知T 4＝23π－(－π3)＝π. ∴T ＝4π，∴ω＝2πT ＝12.∴f (x )＝sin(12x ＋φ)，将(23π，1)代入可求φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．故选C.备选习题1．对任意x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1x 1的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.2．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6) B ．y ＝sin(2x －π6) C ．y ＝cos(2x ＋π3) D ．y ＝cos(2x －π6) [答案] D[解析] 将(－π6，0)代入选项逐一验证，对A 项，y ＝sin(－π3＋π6)≠0，A 错；对B 项，y ＝sin(－π2)＝－1≠0，B 错；对C 项y ＝cos0＝1≠0，C 错；对D 项，y ＝cos(－π3－π6)＝cos π2＝0符合，故选D.3．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是( )A ．1 B.1＋32 C ．1＋3 D.32[答案] D[解析] f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 由x ∈[π4，π2]知π3≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )max ＝32，故选D.4．(2013·山东理，5)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4[答案] B[解析] y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，得到y ＝sin[2(x ＋π8)＋φ]＝sin(2x ＋π4＋φ)，由于它是一个偶函数，∴π4＋φ＝k π＋π2，k∈Z .∴φ＝k π＋π4，取k ＝0得，φ＝π4，故选B.5．(2013·陕西师大附中质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝cos2x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 [答案] D[解析] 由图象知T 4＝7π12－π3＝π4，T ＝π，ω＝2，A ＝1. 当x ＝7π12时，2x ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )， 得φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，∵|φ|<π2，∴φ＝π3.. ;.6．(2013·天津理，15)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋π4)＋6sin x cos x－2cos 2x ＋1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝－2sin2x ·cos π4－2cos2x ·sin π4＋3sin2x －cos2x＝2sin2x －2cos2x ＝22sin(2x －π4)．所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[0，3π8]上是增函数，在区间[3π8，π2]上是减函数． 又f (0)＝－2，f (3π8)＝22，f (π2)＝2，故函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为22，最小值为－2.。
高中三角函数专题练习题(附答案)
高中三角函数专题练习题（附答案）一、填空题1．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，512BAC π∠=，BD AB ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路．该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -（新建道路PQ ，对道路CP 进行翻新），其中P 为BC 上异于B C ，的一点，PQ 与AB 平行，设012PAB θθ5π⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍．要使观光专线CP PQ -的修建总成本最低，则θ的值为____________．2．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________. 3．在ABC 中，7AB =3BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △3②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．4．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________. 5．若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.6．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________.7．已知向量a 与b 的夹角为θ，sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.8．已知P 是直线34130x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆()()22111x y -+-=的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．9．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，2B C =，则a c +的取值范围为________．10．函数ππ5sin (1510)55y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横坐标之和为___________.二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6 B ．-8C ．-9D ．-1212．设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a <<D ．b a c <<13．把函数()sin y x x =∈R 的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈RB ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈RC ．2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R D ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R14．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣15．在三棱锥A BCD -中，2AB AD BC ===，CD =AC =3BD =，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．927πB ．9πC ．1847πD ．18π16．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论：①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④17．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．125 B ．85C ．165D ．18518．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ） A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5519．已知函数()2sin cos f x x x x =，给出下列结论：①()f x 的图象关于直线π12x =对称；②()f x 的值域为[]22-,；③()f x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④0是()f x 的极大值点．其中正确的结论有（ ） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②④20．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ） A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞三、解答题21．已知向量()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 23301212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有实数解，求实数a 的取值范围.22．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()f x 的图象． （1）写出函数()f x 的解析式；（2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．23．将函数()sin 2g x x =向左平移4π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；（3）若26x h t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式子表示）.24．已知函数2()6f x x ax =--(a 为常数，a R ∈).给你四个函数：①1()21g x x =+；②2()3xg x =；③32()log g x x =；④4()cos g x x =. （1）当5a =时，求不等式2(())0f g x ≥的解集； （2）求函数4(())y f g x =的最小值；（3）在给你的四个函数中，请选择一个函数(不需写出选择过程和理由)，该函数记为()g x ，()g x 满足条件：存在实数a ，使得关于x 的不等式(())0f g x ≤的解集为[,]s t ，其中常数s ，t R ∈，且0s >.对选择的()g x 和任意[2,4]x ∈，不等式(())0f g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.25．函数()()sin tan f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性;（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π；（3）()1.50,1.57ω∈，当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.26．函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0,2πωϕ><），若函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，且函数()f x 的图象过点()0,1． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调增区间：（3）求()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域． 27．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值28．已知函数()()()2331?0f x cos x sin x cos x ωωωω=+-->，()12 1()3f x f x ==-，，且12min 2x x π-=.（1）求()f x 的单调递减区间； （2）若()237,,,sin 33235,25f ππβπαβαβ⎛⎫⎛⎫∈-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f α⎛⎫⎪⎝⎭的值. 29．已知函数2()2cos 23sin cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，求m 的取值范围.30．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值．【参考答案】一、填空题1．6π23(21)+ 3．①③4．165385．4242[ 6．π3##60°7．258159．(2,310．-7二、单选题11．A 12．D 13．D 14．A 15．A 16．B 17．A 18．B 19．B 20．C 三、解答题21．（1）()sin(2)6f x x π=-；（2）1a 或732a +-. 【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得()f x 的解析式； （2）先化简()sin 212f x x π+=，利用换元法，设sin 2cos2t x x =-，把目标方程转化为关于t 的方程，分离参数后进行求解.【详解】 （1）因为()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，所以()2111cos 213sin cos 22222x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+ sin(2)6x πω=-.因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，即1ω=，所以()sin(2)6f x x π=-. （2）由（1）可知()sin 212f x x π+=.因为2(sin 2cos 2)x x +22sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x =++12sin 2cos2x x =+， 222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x x x -=-+12sin 2cos2x x =-，所以22(sin 2cos2)12sin 2cos211(sin 2cos2)x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦.令sin 2cos2t x x =-，则22(sin 2cos 2)2x x t +=-，则方程22cos 22cos 23301212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦可化为()2222330a t t a ---+=，即22230at t a +--=.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 2cos 22[1,1]4t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭.所以由题意可知，方程22230at t a +--=在[1,1]t ∈-时有解； 令2()223g t at t a =+--，当0a =时，()23g t t =-，由()0g t =得32t =（舍）；当0a ≠时，则22230at t a +--=可化为212132t a t-=-，令22132t y t-=-，[1,1]t ∈-，设32u t =-，则1(3),[1,5]2t u u =-∈，2212(3)11(3)222u u y u u⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦==⨯1762u u ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为7u u+≥u = 当1u =时，7u u+取到最大值8，所以3,1]y ∈，所以13,1]a ∈，解得1a 或732a +-. 所以实数a 的取值范围是1a 或732a +- 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养.22．（1）2()2sin 233f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x 的解析式;(2)令()t fx =可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4mt =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，可得2sin 23y x =+得图象，再向右平移3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）∵,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则()[1,3f x ∈+， 令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈+， ①当14m≤，即4m ≤时，函数()M t在[1,3上单调递增， ∴22min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；②当134m<<412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，∴2min 7()148m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；③当34m≥+12m ≥+()M t在[1,3+上单调递减，∴2min ()(3(323M t M m m ==-++∴综上有22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩． 【点睛】本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难.23．（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()212cos 12tx x -=-【解析】（1）将()g x⇒2y x =；再向左平移4π个单位长度⇒()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后代入()h x ，得答案；（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；（3）表示26x h π⎛⎫- ⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】（1）将函数()sin 2g x x =得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到函数()y f x =，所以()224f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又()()()h x f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以2sin 22,3x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭， 令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥所以4b a -≥即b a -的最小值为4；（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解， 所以12x x π+=或123x x π+=， 所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-所以()()22212221cos 2sin 12sin 1122t x x x x -=-=-=-；法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，则有1202x x ππ＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x = ②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，则有1232x x πππ＜＜＜＜2，所以1cos x2cos x =③当0=t 时，显然有10x =，2x π=，所以()2121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.【点睛】本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题.24．（1）[31log 2,)++∞；（2）2min–5,26,2245,2a a ay a a a -≥⎧⎪⎪=---<<⎨⎪-≤-⎪⎩；（3）1a ≥-. 【解析】（1）令()2u g x =，则()0f u ≥的解为1u ≤-或6u ≥，由后者可得2(())0f g x ≥的解. （2）令()4t g x =，则[1,1]t ∈-，分类讨论后可求26y t at =--，[1,1]t ∈-的最小值，该最小值即为原来函数的最小值.（3）取()32()log g x g x x ==，可以证明()g x 满足条件，再利用换元法考虑任意[2,4]x ∈，不等式(())0f g x ≤恒成立可得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当5a =时，()256f x x x =--.令()2u g x =，因为2560u u --≥的解为1u ≤-或6u ≥， 所以31x ≤-（舍）或36x ≥，故31log 2x ≥+， 所以2(())0f g x ≥的解集为[31log 2,)++∞. （2）令()4cos ,t g x x x R ==∈，则[1,1]t ∈-，函数4(())y f g x =的最小值即为()26h t t at =--，[1,1]t ∈-的最小值.当()1,12a ∈-即22a -<<时， ()2min 64a h t =--. 当12a≤-即2a ≤-时，()min 5h t a =-； 当12a>即2a >时， ()min –5h t a =-. 故2min–5,26,2245,2a a ay a a a -≥⎧⎪⎪=---<<⎨⎪-≤-⎪⎩. （3）取()32()log g x g x x ==，令2log u x =，设260u au --≤的解集为闭区间[]12,u u ，由12u u u ≤≤得1222u u x ≤≤，故(())0f g x ≤的解集为122,2u u ⎡⎤⎣⎦，取12u s =，则0s >，故()g x 满足条件.当[2,4]x ∈时，2[]1,u ∈，故()0f u ≤在[1,2]上恒成立，故2211602260a a ⎧-⨯-≤⎨--≤⎩，解得1a ≥-， 所以实数a 的取值范围是1a ≥-.【点睛】本题考查复合函数的性质及复合函数对应的不等式的解与恒成立问题，此类问题可通过换元法把复合函数问题转化为二次函数的最值问题或恒成立问题，本题有一定综合性，是难题.25．（1）奇函数；（2）见解析；（3）ω的个数为198个，见解析. 【解析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可；（2）根据最小正周期公式进行验证即可；（3）利用函数的图象和不等式的性质可以求出满足条件的ω的个数.【详解】（1）()sin[tan()]sin(tan )sin(tan )()f x x x x f x ωωω-=-=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数；（2）()sin[tan()]sin(tan )()f x x x f x ππ+=+==，所以()f x 的最小正周期是π；（3）因为当0x >时，()11112122g x x x x x ⎛⎫=+≥⨯⋅= ⎪⎝⎭，（当且仅当1x =时取等号），所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，只能()sin tan 1x ω=，即tan 22k πωπ=+，因为(1.50, 1.57)ω∈，所以2(tan1.50,tan1.57)2k ππ+∈，因此1.99199.6k <<，2,3,4,,199k =⋯，因此满足条件的ω的个数为198个，当0x >时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称，所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，满足条件的ω的个数为198. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性，考查了三角奇函数的性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.26．（1）2sin(2)6y x π=+；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）[)2,1- 【解析】【分析】（1）依据题意可得函数周期为π，利用周期公式算出ω，又函数过定点()0,1，即可求出ϕ，进而得出解析式；（2）利用正弦函数的单调性代换即可求出函数()f x 的单调区间；（3）利用换元法，设26t x π=+，结合2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象即可求出函数()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域 【详解】（1）因为函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，所以函数()f x 的周期为π，由2T ππω==，得2ω=，又函数()f x 的图象过点()0,1，所以(0)1f =，即2sin 1=ϕ，而，所以6π=ϕ， 故()f x 的解析式为2sin(2)6y x π=+． （2）由sin y x =的单调增区间是2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦可得222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+故故函数()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦． （3）设 26t x π=+，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，由2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象知，当2t π=- 时，min 2f =- 当t 趋于6π时，函数值趋于1，故()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为[)2,1- ． 【点睛】本题主要考查正弦型函数解析式的求法，正弦函数性质的应用，以及利用换元法结合图象解决给定范围下的三角函数的范围问题，意在考查学生数学建模以及数学运算能力． 27．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x += （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．28．(1) 单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2) 15. 【解析】【分析】（1）根据题意求出函数()f x 的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出()424sin ,cos 3525πβαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，然后由()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得结果． 【详解】（1）()2()1f x cos x sin x x ωωω=221sin xcos x x ωωω=+221)1sin x cos x ωω=--221sin x x ωω=-2(2)13sin x πω=+-． ∵1(2)13sin x πω-≤+≤， ∴32(2)113sin x πω-≤+-≤， ∴()f x 的最大值为1，最小值为3-．又()()121,3f x f x ==-，且12min 2x x π-=， ∴函数()f x 的最小正周期为22ππ⨯=，∴1ω=， ∴()2(2)13f x sin x π=+-． 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈． （2）由（1）得3212335f sin βππβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴4sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵2,33ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴0,33ππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 35πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∵()7sin 25αβ+=-且2,,33ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴24,33ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()24cos 25αβ+==-． ∴()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos sin 133ππαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 7324421255255⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯--⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦15=． 【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为(x)Asin(x )f ωϕ=+的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数,A ω对结果的影响． （2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解． 29．(Ⅰ) (),,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z (Ⅱ) 62ππ≤≤m 【解析】【分析】 （Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 216x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间; (Ⅱ) 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得7 2266m πππ≤+≤，从而可得结果. 【详解】（Ⅰ）()22f x cos x =+πcos212sin 216x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得(),36k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以，()f x 的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2,2666x m ππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 所以72266m πππ≤+≤，即62m ππ≤≤. 【点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.30．(Ⅰ) 3π（Ⅱ）5 【解析】【详解】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =60C =︒（2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析：解：（12sin sin A C A =，∵,A C 是锐角，∴sin C =60C =︒.（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=∴5a b +=点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长。
2018高一数学三角函数难题突破训练(含解析)
2018高一数学三角函数难题练习一．选择题（共19小题）1．若log a x1=log（a+1）x2=log（a+2）x3＞0，则x1，x2，x3之间的大小关系为（）A．x1＜x3＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x2＜x3D．x3＜x2＜x12．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（）=f（）=﹣f（），且f（x）在区间[，]上单调，则f（x）的最小正周期是（）A．B．C．D．π3．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点B（0，﹣1），且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈（﹣，﹣），且x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．55．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）+1（|φ|＜），若f（x）＜1，对x∈（﹣，﹣）恒成立，则f（）的最小值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣+16．已知△ABC，若对任意k∈R，有||≥，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能7．已知O为△ABC内一点，若对任意k∈R有|+（k﹣1）﹣k|≥|﹣|，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能8．已知△ABC中，AB=4，且满足BC=CA，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．3 C．2 D．49．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．f（x）10．已知数列{a n}中，a1=1，a2k=a2k﹣1+（﹣1）k，a2k+1=a2k+2k（k∈N*），则{a n}的前60项的和S60=（）A．231﹣154 B．231﹣124C．232﹣94 D．232﹣12411．已知数列{a n}满足：a1=，a n+2﹣a n≤3n，a n+6﹣a n≥91•3n，则a2015=（）A．+B．C．+D．12．正整数按如图的规律排列，则上起第2011行，左起第2012列的数为（）A．20112B．20122C．2011+2012 D．2011×201213．对于有限数列A：{a1，a2，a3，…，a n}S i为数列A的前i项和，称为数列A的“平均和”，将数字1，2，3，4，5，6，7任意排列，所对应数列的“平均和”的最大值是（）A．12 B．16 C．20 D．2214．有限数列A={a1，a2，…，a n}的前k项和为S k（k=1，2，…，n），定义为A的“凯森和”，如果有99项的数列{a1，a2，…，a99}，此数列的“凯森和”为1000，那么有100项的数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为（）A．1001 B．999 C．991 D．99015．若关于x的不等式x2+|x﹣a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，2）B．（﹣，）C．（﹣2，）D．（﹣2，2）16．在锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，则△ABC面积的取值范围是（）A．[，]B．[，] C．[，）D．[，）17．已知△ABC中，BC=1，AB=，AC=，点P是△ABC的外接圆上的一个动点，则•的最大值是（）A．2 B．C．D．18．设△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=abcosC+absinC，则△ABC的形状为（）A．直角非等腰三角形B．等腰非等边三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形19．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（2，2）D．（，2）二．解答题（共11小题）20．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=1+，记b n=（1）求证：数列{b n}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）记c n=nb n，S n=c1+c2+…+c n，对任意正整数n，不等式+S n+n（﹣）n+1﹣（﹣）n＞0恒成立，求最小正整数m．21．已知数列{a n}满足a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：++…+＜；（3）记S n=++…+，证明：对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．22．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*．（1）求证：≤a n≤1；（2）求证：|a2n﹣a n|≤．23．设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．24．已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜x n＜x n；+1﹣x n≤；（Ⅱ）2x n+1（Ⅲ）≤x n≤．25．已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，q≠±1，正整数组E=（m，p，r）（m＜p＜r）（1）若a1+b2=a2+b3=a3+b1，求q的值；（2）若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a m+b p=a p+b r=a r+b m，求q的最大值．（3）若b n=（﹣）n﹣1，a m+b m=a p+b p=a r+b r=0，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式a n．（注：本小问不必写出解答过程）26．已知数列{a n}和{b n}满足（n∈N*）．若{a n}是各项为正数的等比数列，且a1=4，b3=b2+6．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=，记数列{c n}的前n项和为S n．①求S n；②求正整数k．使得对任意n∈N*，均有S k≥S n．27．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n 项和T n．28．已知数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4a n （a n+1），b n=2log2（1+a n）﹣1．（1）求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中去掉{a n}的项后，余下的项组成数列{c n}，求c1+c2+…+c100；（3）设d n=，数列{d n}的前n项和为T n，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．29．已知数列{a n}中，a1=4，a n+1=，n∈N*，S n为{a n}的前n项和．（Ⅰ）求证：n∈N*时，a n＞a n+1；（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．30．数列{a n}的各项均为正数，且a n+1=a n+﹣1（n∈N*），{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有S n≥na1﹣（n﹣1），证明：S n＜2n+1．参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2016春•宁夏校级月考）若log a x1=log（a+1）x2=log（a+2）x3＞0，则x1，x2，x3之间的大小关系为（）A．x1＜x3＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x2＜x3D．x3＜x2＜x1【解答】解：①当a＞1时，如图所示，分别作出函数y1=log a x，y2=log（a+1）x，y3=log（a+2）x，并且作出直线y=1，可得x1＜x2＜x3．②当0＜a＜1时，可得0＜x1＜1＜x2＜x3．综上可得：x1＜x2＜x3．故选：C．2．（2017•泉州模拟）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（）=f（）=﹣f（），且f（x）在区间[，]上单调，则f（x）的最小正周期是（）A．B．C．D．π【解答】解：由f（）=f（）得函数关于x==对称，则x=离最近对称轴距离为．又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．故选：D．3．（2017•许昌三模）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点B（0，﹣1），且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈（﹣，﹣），且x1≠x2时，f （x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．【解答】解：由函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象过点B（0，﹣1），∴2sinφ=﹣1，解得sinφ=﹣，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（ωx﹣）；又f（x）的图象向左平移π个单位之后为g（x）=2sin[ω（x+π）﹣]=2sin（ωx+ωπ﹣），由两函数图象完全重合知ωπ=2kπ，∴ω=2k，k∈Z；又﹣≤=，∴ω≤，∴ω=2；∴f（x）=2sin（2x﹣），其图象的对称轴为x=+，k∈Z；当x1，x2∈（﹣，﹣），其对称轴为x=﹣3×+=﹣，∴x1+x2=2×（﹣）=﹣，∴f（x1+x2）=f（﹣）=2sin[2×（﹣）﹣]=2sin（﹣）=﹣2sin=﹣2sin=﹣1．应选：B．4．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B5．（2016•郴州四模）已知函数f（x）=2sin（2x+φ）+1（|φ|＜），若f（x）＜1，对x∈（﹣，﹣）恒成立，则f（）的最小值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣+1【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）+1＜1，∴sin（2x+φ）＜0，∴﹣π+2kπ＜2x+φ＜2kπ，k∈Z；又x∈（﹣，﹣），∴﹣＜2x＜﹣，∴﹣+φ＜2x+φ＜﹣+φ；又∵|φ|＜，∴，∴﹣≤φ≤，∴≤2×+φ≤，∴≤sin（2×+φ）≤1，∴2≤2sin（2×+φ）+1≤3，∴f（）的最小值是2．故选：B．6．（2011•滨江区校级模拟）已知△ABC，若对任意k∈R，有||≥，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能【解答】解：当k为任意实数时，那么k的方向有可能向左，也可能向右．长度也是不确定的，图中BC′的长度就是||，可以看出，当BC′垂直CB时，||有最小值，要使不等式成立，则|AC|必须是BC′的最小值，即AC垂直BC，故角C为直角，故选A．7．（2011•杭州校级模拟）已知O为△ABC内一点，若对任意k∈R有|+（k﹣1）﹣k|≥|﹣|，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能【解答】解：从几何图形考虑：|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又点E不论在任何位置都有不等式成立，∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，则△ABC一定是直角三角形．故选A8．（2016•新乡模拟）已知△ABC中，AB=4，且满足BC=CA，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．3 C．2 D．4【解答】解：依题意，设CA=b，则BC=b，又AB=4，由余弦定理得：cosA===﹣，∴cos2A=（﹣）2=+﹣1，∴sin2A=1﹣cos2A=2﹣﹣．=AB•ACsinA=×4bsinA=2bsinA，∵S△ABC=4b2sin2A=4b2（2﹣﹣）=48﹣（b2﹣16）2，∴S2△ABC当b2=16，即b=4时，4、4、4能组成三角形，∴S2max=48，∴S max=4．故选：D．9．（2017春•陆川县校级期中）设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．f（x）【解答】解：∵等差数列{a n}满足，∴（sina4cosa7﹣sina7cosa4）（sina4cosa7+sina7cosa4）=sin（a5+a6）=sin（a4+a7）=sina4cosa7+sina7cosa4，∴sina4cosa7﹣sina7cosa4=1，或sina4cosa7+sina7cosa4=0即sin（a4﹣a7）=1，或sin（a4+a7）=0（舍）当sin（a4﹣a7）=1时，∵a4﹣a7=﹣3d∈（0，3），a4﹣a7=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=2kπ+，d=﹣﹣π．∴d=﹣∵S n=na1+=n2+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴8.5＜﹣＜9.5，∴π＜a1＜故选：C10．（2016春•衡水校级月考）已知数列{a n}中，a1=1，a2k=a2k﹣1+（﹣1）k，a2k+1=a2k+2k （k∈N*），则{a n}的前60项的和S60=（）A．231﹣154 B．231﹣124C．232﹣94 D．232﹣124=a2k+2k=a2k﹣1+（﹣1）k+2k，【解答】解：a2k+1﹣a2k﹣1=2k+（﹣1）k，所以a2k+1﹣a2k﹣3=2k﹣1+（﹣1）k﹣1，同理a2k﹣1…a3﹣a1=2+（﹣1），所以（a2k﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）+…+（a3﹣a1）+1=（2k+2k﹣1+…+2）+[（﹣1）k+（﹣1）k﹣1+…+（﹣1）]，﹣a1=2（2k﹣1）+[（﹣1）k﹣1]，由此得a2k+1=2k+1+（﹣1）k﹣，于是a2k+1a2k=a2k﹣1+（﹣1）k=2k+（﹣1）k﹣1﹣+（﹣1）k=2k+（﹣1）k﹣，{a n}的通项公式为：当n为奇数时，a n=2+（﹣1）﹣；当n为偶数时，a n=2+（﹣1）﹣；则S60=（a1+a3+a5+…+a59）+（a2+a4+a6+..+a60）=[（2+22+23+…+230）+（﹣++…﹣）﹣×30]+[（2+22+23+…+230）+（﹣+﹣+…+）﹣×30]=2×+0﹣90=232﹣94．故选：C．11．（2015秋•石家庄校级期末）已知数列{a n}满足：a1=，a n+2﹣a n≤3n，a n+6﹣a n≥91•3n，则a2015=（）A．+B．C．+D．﹣a n≤3n，∴，a n+6﹣a n+4≤3n+4，【解答】解：∵a n+2﹣a n≤91•3n，∴a n+6﹣a n≥91•3n，又a n+6∴a n﹣a n=91•3n，+6﹣a n=3n，∴a n+4﹣a n+2=3n+2，a n+6﹣a n+4=3n+4，由题意可得a n+2﹣a n=3n，∵a n+2∴a2n﹣a1=31+33+35+…+32n﹣1，+1=+33+35+…+32n﹣1，∴a2n+1a2015=+31+33+35+…+32013=+=，故选：B．12．（2012•岳麓区校级模拟）正整数按如图的规律排列，则上起第2011行，左起第2012列的数为（）A．20112B．20122C．2011+2012 D．2011×2012【解答】解：这些数字排成的是一个正方形上起2011，左起2012列的数是一个2012乘以2012的正方形的倒数第二行的最后一个数字所以这个数是2012×（2012﹣1）=2011×2012．故选D．13．（2012•浙江模拟）对于有限数列A：{a1，a2，a3，…，a n}S i为数列A的前i 项和，称为数列A的“平均和”，将数字1，2，3，4，5，6，7任意排列，所对应数列的“平均和”的最大值是（）A．12 B．16 C．20 D．22【解答】解：根据题意可知，将数字1，2，3，4，5，6，7的排列为7，6，5，4，3，2，1时，，所对应数列的“平均和”最大此时====20故答案为：2014．（2011•下陆区校级模拟）有限数列A={a1，a2，…，a n}的前k项和为S k（k=1，2，…，n），定义为A的“凯森和”，如果有99项的数列{a1，a2，…，a99}，此数列的“凯森和”为1000，那么有100项的数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为（）A．1001 B．999 C．991 D．990【解答】解：A={a1，a2，…，a n}的凯森和由T n来表示，由题意知，，所以S1+S2+…+S99=1000×99，数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为：=，故选C．15．（2011•临海市校级模拟）若关于x的不等式x2+|x﹣a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，2）B．（﹣，）C．（﹣2，）D．（﹣2，2）【解答】解：原不等式变形为：|x﹣a|＜2﹣x2且0＜2﹣x2在同一坐标系画出y=2﹣x2（Y＞0，X＞0）和y=|x|两个图象将绝对值函数y=|x|向左移动当右支经过（0，2）点，a=﹣2将绝对值函数y=|x|向右移动让左支与抛物线相切（1/2，7/4）点，a=故实数a的取值范围是（﹣2，）故选C16．（2016秋•武侯区校级期中）在锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，则△ABC面积的取值范围是（）A．[，]B．[，] C．[，）D．[，）【解答】解：如图所示，锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，根据余弦定理，BD2=c2+1﹣2c•cos=c2﹣c+1，CD2=b2+1﹣2b•cos=b2﹣b+1；根据角平分线定理，=，即=；∴b2c2﹣b2c+b2=b2c2﹣bc2+c2，即bc（c﹣b）=（c﹣b）（c+b）；当b=c时，△ABC是正三角形，由|AD|=1，得AB=AC=，则S=bcsin=；△ABC当b≠c时，bc=b+c≥2，当且仅当b=c时“=”成立，取得最小值为；所以bc≥，即b=c=时S△ABC又当AB⊥BC时，BD=，AB=，DC=AD=1，S△ABC=××（1+）=为最大值，△ABC面积的取值范围是[，]．故选：D．17．（2016秋•南岸区校级月考）已知△ABC中，BC=1，AB=，AC=，点P 是△ABC的外接圆上的一个动点，则•的最大值是（）A．2 B．C．D．【解答】解：如图所示，•=||•||cos∠PBC=||cos∠PBC．设OP为⊙O的半径，则当OP∥BC且同向时，向量在方向上的投影最大，则•取得最大值．由余弦定理可得：cosA==，∴sinA=．∴2R==3．∴||cos∠PBC=|BD|=|BC|+R=2．∴•取得最大值为2．故选：A18．（2012•重庆模拟）设△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=abcosC+absinC，则△ABC的形状为（）A．直角非等腰三角形B．等腰非等边三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解答】解：∵≤sin（C+）≤1，∴a2+b2=abcosC+absinC=2ab（cosC+sinC）=2absin（C+）≤2ab，当且仅当C+=，即C=时取等号，又a2+b2≥2ab，且当且仅当a=b时取等号，则a=b且C=，即△ABC为等边三角形．故选D19．（2010•云南模拟）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（2，2）D．（，2）【解答】解：由正弦定理可知，求得x=2sinAA+C=180°﹣45°=135°有两解，即A有两个值这两个值互补若A≤45°则由正弦定理得A只有一解，舍去．∴45°＜A＜135°又若A=90°，这样补角也是90度，一解，A不为90°所以＜sinA＜1∵x=2sinA∴2＜x＜2故选C二．解答题（共11小题）20．（2017•吉州区校级一模）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=1+，记b n=（1）求证：数列{b n}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）记c n=nb n，S n=c1+c2+…+c n，对任意正整数n，不等式+S n+n（﹣）n+1﹣（﹣）n＞0恒成立，求最小正整数m．【解答】（1）证明：∵b n=，a n+1=1+，===﹣=﹣．∴b n+1∴数列{b n}是等比数列，公比为﹣，且首项为﹣．∴b n=．（2）由b n==，得a n=．（3）c n=nb n=n，∴S n=﹣+2×+3×+…+n，=+…++n，两式相减得S n=﹣﹣n，∴不等式+S n+n（﹣）n+1﹣（﹣）n＞0，即＞0，解得m，因此m≥11．因此最小的正整数m=11．21．（2017•浙江模拟）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：++…+＜；（3）记S n=++…+，证明：对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．【解答】解：（1）a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣），可得a n+12+a n2﹣2a n+1a n﹣2a n+1+2a n+1=0，即有（a n+1﹣a n）2﹣2（a n+1﹣a n）+1=0，即为（a n+1﹣a n﹣1）2=0，可得a n+1﹣a n=1，则a n=a1+n﹣1=n，n∈N*；（2）证明：由=＜=﹣，n≥2．则++…+=1+++…+＜1++﹣+﹣+…+﹣=﹣＜，故原不等式成立；（3）证明：S n=++…+=1++…+，当n=2时，S22=（1+）2=＞2•=成立；假设n=k≥2，都有S k2＞2（++…+）．则n=k+1时，S k+12=（S k+）2，S k+12﹣2（++…++）=（S k+）2﹣2（++…+）﹣2•=S k2﹣2（++…+）++2•﹣2•=S k2﹣2（++…+）+，由k＞1可得＞0，且S k2＞2（++…+）．可得S k2﹣2（++…+）＞0，2＞2（++…++）恒成立．则S k+1综上可得，对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．22．（2017•宁波模拟）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*．（1）求证：≤a n≤1；（2）求证：|a2n﹣a n|≤．【解答】证明：（1）用数学归纳法证明：①当n=1时，=，成立；②假设当n=k时，有成立，则当n=k+1时，≤≤1，≥=，∴当n=k+1时，，命题也成立．由①②得≤a n≤1．（2）当n=1时，|a2﹣a1|=，当n≥2时，∵（）（）=（）=1+=，﹣a n|=||=≤|a n﹣a n﹣1|＜…＜（）∴|a n+1n﹣1|a2﹣a1|=，∴|a2n﹣a2n﹣1|≤|a2n﹣a2n﹣1|+|a2n﹣1﹣a2n﹣2|+…+|a n+1﹣a n|≤==（）n﹣1﹣（）2n﹣1≤，综上：|a2n﹣a n|≤．23．（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；此时c n+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．24．（2017•浙江）已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，＜x n；（Ⅰ）0＜x n+1﹣x n≤；（Ⅱ）2x n+1（Ⅲ）≤x n≤．【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x n＞0，当n=1时，x1=1＞0，成立，假设当n=k时成立，则x k＞0，＜0，则0＜x k=x k+1+ln（1+x k+1）＜0，矛盾，那么n=k+1时，若x k+1故x n＞0，+1因此x n＞0，（n∈N*）∴x n=x n+1+ln（1+x n+1）＞x n+1，＜x n（n∈N*），因此0＜x n+1（Ⅱ）由x n=x n+1+ln（1+x n+1）得x n x n+1﹣4x n+1+2x n=x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1），记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）=+ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，因此x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1）≥0，故2x n+1﹣x n≤；（Ⅲ）∵x n=x n+1+ln（1+x n+1）≤x n+1+x n+1=2x n+1，∴x n≥，由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）=2n﹣2，∴x n≤，综上所述≤x n≤．25．（2017•淮安四模）已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，q≠±1，正整数组E=（m，p，r）（m＜p＜r）（1）若a1+b2=a2+b3=a3+b1，求q的值；（2）若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a m+b p=a p+b r=a r+b m，求q的最大值．（3）若b n=（﹣）n﹣1，a m+b m=a p+b p=a r+b r=0，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式a n．（注：本小问不必写出解答过程）【解答】解：（1）∵a1+b2=a2+b3=a3+b1，∴a1+b1q==a1+2d+b1，化为：2q2﹣q﹣1=0，q≠±1．解得q=﹣．（2）a m+b p=a p+b r=a r+b m，即a p﹣a m=b p﹣b r，∴（p﹣m）d=b m（q p﹣m﹣q r﹣m），同理可得：（r﹣p）d=b m（q r﹣m﹣1）．∵m，p，r成等差数列，∴p﹣m=r﹣p=（r﹣m），记q p﹣m=t，则2t2﹣t﹣1=0，∵q≠±1，t≠±1，解得t=．即q p﹣m=，∴﹣1＜q＜0，记p﹣m=α，α为奇数，由公差大于1，∴α≥3．∴|q|=≥，即q，当α=3时，q取得最大值为﹣．（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：a n=，m∈N*．例如E=（1，3，4），a n=．26．（2017•淄博模拟）已知数列{a n}和{b n}满足（n∈N*）．若{a n}是各项为正数的等比数列，且a1=4，b3=b2+6．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=，记数列{c n}的前n项和为S n．①求S n；②求正整数k．使得对任意n∈N*，均有S k≥S n．【解答】解：（Ⅰ）由题意（n∈N*）．b3=b2+6．知，又由a1=4，得公比q=4（q=﹣4，舍去），所以数列{a n}的通项为…（3分）所以．故数列{b n}的通项为…（5分）（Ⅱ）①由（Ⅰ）知…（7分）所以…（9分）②因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，而得所以，当n≥5时，c n＜0；综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4…（12分）27．（2017•天津一模）已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n 项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+a n﹣1=2a n，所以{a n}为等差数列．+1由a6=11，前9项和为81，得a1+5d=11，d=81，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1）…①，lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1）…②①﹣②，得，∴b n=，（n≥2）．b1=3满足上式，因此b n=，（n≥2）．c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=+…++，又2T n=+…+，以上两式作差，得T n=+2﹣，，因此，T n=﹣．28．（2017•普陀区一模）已知数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4a n（a n+1），b n=2log2（1+a n）﹣1．（1）求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中去掉{a n}的项后，余下的项组成数列{c n}，求c1+c2+…+c100；（3）设d n=，数列{d n}的前n项和为T n，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2﹣1=4a n（a n+1），【解答】（1）证明：∵对任意的n∈N*，均有a n+12=，又数列{a n}的各项均为正数，∴a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2（a n+1），∴a n+1∴{1+a n}是等比数列，公比为2，首项为2，∴1+a n=2n，即a n=2n﹣1．（2）解：b n=2log2（1+a n）﹣1=2n﹣1．∵n=7时，a7=127；n=8时，a8=255＞213=b107．∴c1+c2+…+c100=b1+b2+…+b106+b107（a1+…+a6+a7）=﹣+7=11449﹣256+9=11202．（3）解：d n===，∴数列{d n}的前n项和为T n=+…+==．假设存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，则=T1T n，即=，即=＞0，即2m2﹣4m﹣1＜0，解得1﹣＜m＜1+．∵m是正整数且m＞1，∴m=2，此时n=12当且仅当m=2，n=12时，T1、T m、T n成等比数列．29．（2017•宁波模拟）已知数列{a n}中，a1=4，a n+1=，n∈N*，S n为{a n}的前n项和．（Ⅰ）求证：n∈N*时，a n＞a n+1；（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．﹣a n=﹣=【解答】证明：（I）n≥2时，作差：a n+1，﹣a n与a n﹣a n﹣1同号，∴a n+1由a1=4，可得a2==，可得a2﹣a1＜0，∴n∈N*时，a n＞a n+1．（II）∵2=6+a n，∴=a n﹣2，即2（a n+1﹣2）（a n+1+2）=a n﹣2，①∴a n﹣2与a n﹣2同号，+1又∵a1﹣2=2＞0，∴a n＞2．∴S n=a1+a2+…+a n≥4+2（n﹣1）=2n+2．∴S n﹣2n≥2．由①可得：=，因此a n﹣2≤（a1﹣2），即a n≤2+2×．∴S n=a1+a2+…+a n≤2n+2×＜2n+．综上可得：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．30．（2017•温州模拟）数列{a n}的各项均为正数，且a n+1=a n+﹣1（n∈N*），{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有S n≥na1﹣（n﹣1），证明：S n＜2n+1．【解答】（I）解：由a2＞a1＞0⇔﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2，①．又a3＞a2＞0，⇔＞a2，⇔0＜a2＜2⇔﹣1＜2，解得1＜a1＜2，②．由①②可得：1＜a1＜2．下面利用数学归纳法证明：当1＜a1＜2时，∀n∈N*，1＜a n＜2成立．（1）当n=1时，1＜a1＜2成立．（2）假设当n=k∈N*时，1＜a n＜2成立．则当n=k+1时，a k=a k+﹣1∈⊊（1，2），+1即n=k+1时，不等式成立．综上（1）（2）可得：∀n∈N*，1＜a n＜2成立．于是a n﹣a n=﹣1＞0，即a n+1＞a n，+1∴{a n}是递增数列，a1的取值范围是（1，2）．（II）证明：∵a1＞2，可用数学归纳法证明：a n＞2对∀n∈N*都成立．﹣a n=﹣1＜2，即数列{a n}是递减数列．于是：a n+1在S n≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下证：（1）当时，S n≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事实上，当时，由a n=a1+（a n﹣a1）≥a1+（2﹣）=．于是S n=a1+a2+…+a n≥a1+（n﹣1）=na1﹣．再证明：（2）时不合题意．事实上，当时，设a n=b n+2，可得≤1．由a n=a n+﹣1（n∈N*），可得：b n+1=b n+﹣1，可得=≤≤+1．于是数列{b n}的前n和T n≤＜3b1≤3．故S n=2n+T n＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，③．令a1=+t（t＞0），由③可得：S n＜na1+（2﹣a1）n+3=na1﹣﹣tn+．只要n充分大，可得：S n＜na1﹣．这与S n≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．∴时不合题意．综上（1）（2）可得：，于是可得=≤≤．（由可得：）．故数列{b n}的前n项和T n≤＜b1＜1，∴S n=2n+T n＜2n+1．。
三角函数综合测试题(含答案)
三角函数综合测试题一、选择题（每小题5分，共70分）1． sin2100 =A ．23 B ． -23 C ．21 D ． -21 2．α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-3. )12sin12(cos ππ- )12sin12(cosππ+＝A ．－23 B ．－21 C ． 21 D ．234． 已知sinθ＝53，sin2θ＜0，则tanθ等于A ．－43 B ．43 C ．－43或43 D ．545．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的僻析式是 A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=-C .1sin()26y x π=-D .sin(2)6y x π=-6. ()2tan cot cos x x x +=A ．tan xB ． sin xC . cos xD . cot x7.函数y =x x sin sin -的值域是A. { 0 }B. [ -2 , 2 ]C. [ 0 , 2 ]D.[ -2 , 0 ]αcos 81=α,且)2,0(πα∈，则sin α+cos α的值为A.25 B. -25 C. ±25 D. 239. 2(sin cos )1y x x =--是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数10．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 A ．)45,()2,4(ππππ B ．),4(ππ C ．)45,4(ππ D ．)23,45(),4(ππππ 11．已知，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则 A ．ω＝2，θ＝2πB ．ω＝21，θ＝2π C ．ω＝21，θ＝4π D ．ω＝2，θ＝4π12. 设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<13．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是A .2π B .4π- C .4π D .34π14． 函数f (x )＝xxcos 2cos 1-A ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π， 、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤⎝⎛ππ2,23上递减 B ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ，上递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递减C ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤⎝⎛23ππ， 上递减D ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤⎝⎛ππ,2上递减 （每小题5分，共20分,）15. 已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππα，求使sin α=32成立的α=16．sin15°cos75°+cos15°sin105°=_________ 17.函数y=Asin(ωx+ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜2π,x ∈R )的部分图象如图，则函数表达式为18．已知βα,为锐角，且cos α=71 cos )(βα+= 1411-, 则cos β=_________ 19．给出下列命题：(1)存在实数α,使1cos sin =αα (2)存在实数α，使23cos sin =+αα (3)函数)23sin(x y +=π是偶函数 （4）若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >.其中正确命题的序号是________________________________三.解答题(每小题12分，共60分,) 20.已知函数y =3sin )421(π-x （1）用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象；（2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.21.已知)cos(2-)sin(πθπθk k +=+Z k ∈ 求:（1）θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-; （2）θθ22cos 52sin 41+22．设0≥a ，若b x a x y +-=sin cos 2的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求y 的最大、最小值及相应的x 值．23.已知21)tan(=-βα，71tan -=β，且),0(,πβα∈，求βα-2的值.24.设函数a x x x x f ++=ωωωcos sin cos 3)(2（其中ω>0，R a ∈），且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π． （1）求ω的值； （2）如果)(x f 在区间]65,3[ππ-的最小值为3，求a 的值．测试题答案.一.DDDA,CDDA,DCAD,CA二arcsin32 1 y=)48sin(4-ππ+x 21(3) 三、解答题：20.已知函数y=3sin )421(π-x（1）用五点法作出函数的图象； （2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：x2π π23 π25 π27 π29421π-x 02π ππ232π 3sin )421(π-x 03 0 -3 0描点、连线,如图所示：…………………………………………………………………………………………5 （2）周期T=ωπ2=212π=4π，振幅A=3，初相是-4π. ………………………………………………………….8 (3)令421π-x =2π+k π(k ∈Z ), 得x=2k π+23π(k ∈Z ),此为对称轴方程. 令21x-4π=k π(k ∈Z )得x=2π+2k π(k ∈Z ). 对称中心为)0,22(ππ+k(k ∈Z )…………………………………………………………………………..12 21.已知sin(θ+k π)=-2cos(θ+k π) (k ∈Z ). 求:（1）θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-;（2）41sin 2θ+52cos 2θ.解：由已知得cos(θ+k π)≠0, ∴tan(θ+k π)=-2(k ∈Z ),即tan θ=-2..................................................................................................2 （1）10tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=+-=+-θθθθθθ (7)（2）41sin 2θ+52cos 2θ=θθθθ2222cos sin cos 52sin 41++=2571tan 52tan 4122=++θθ (12)22．设a≥0，若y ＝cos 2x －asinx ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求出使y 取得最大、最小值时的x 值． 解：原函数变形为y ＝－41)2(sin 22a b a x ++++………………………………………2 ∵－1≤sin x ≤1，a ≥0∴若0≤a ≤2，当sinx ＝－2a 时 y max ＝1＋b ＋42a ＝0 ①当sinx ＝1时，y min ＝－41)21(22a b a ++++＝－a ＋b ＝－4 ②联立①②式解得a ＝2，b ＝-2…………………………………………………………7 y 取得最大、小值时的x 值分别为： x ＝2kπ－2π(k ∈Z)，x ＝2kπ＋2π(k ∈Z)若a ＞2时，2a ∈(1，＋∞)∴y max ＝－b a a b a +=+++-41)21(22＝0 ③y min ＝－441)21(22-=+-=++++b a a b a ④ 由③④得a ＝2时，而2a ＝1 (1，＋∞)舍去.............................................11 故只有一组解a ＝2，b ＝－2.. (12)23.已知tan(α－β)＝21，tan β＝-71，且α、β∈（0，π），求2α－β的值. 解：由tanβ＝－71 β∈(0，π) 得β∈(2π, π) ① (2)由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝31 α∈(0，π) ∴ 0＜α＜2π (6)∴ 0＜2α＜π由tan2α＝43＞0 ∴知0＜2α＜2π ②∵tan(2α－β)＝βαβαtan 2tan 1tan 2tan +-＝1 (10)由①②知 2α－β∈(－π，0)∴2α－β＝－43π (12)24.设函数a x x x x f ++=ϖϖϖcos sin cos 3)(2（其中ω>0，a ∈R ），且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π． （1）求ω的值； （2）如果)(x f 在区间]65,3[xπ-的最小值为3，求a 的值．解：(1) f(x)＝23cos2ωx ＋21sin2ωx ＋23＋a (2)＝sin(2ωx ＋3π)＋23＋a …………………………………………………..4 依题意得2ω·6π＋3π＝2π解得ω＝21………………………………….6 (2) 由(1)知f(x)＝sin(2ωx ＋3π)＋23＋a 又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ时，x ＋3π∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,0π…………………………………8 故－21≤sin(x ＋3π)≤1……………………………………………..10 从而f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ上取得最小值－21＋23＋a 因此，由题设知－21＋23＋a ＝3故a ＝213+ (12)三角函数综合练习题1.已知α是第二象限角，且3sin()5πα+=- ，则tan 2α的值为 ( )A ．45B ．237-C ．247-D ．83-)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是（ ）（A ）π(π,π)2k k + k ∈Z （B ）π(π, ππ)2k k ++ k ∈Z（C ）(2π, π2π)k k +k ∈Z （D ）(2ππ, 2π2π)k k ++k ∈Zx x y cos sin +=的图像，只需把x x y cos sin -=的图象上所有的点( ) （A ）向左平移4π个单位长度（B ）向右平移4π个单位长度（C ）向左平移2π个单位长度（D ）向右平移2π个单位长度4. 已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为（ ）（A ）51-（B ）57 （C ）57- （D ）435.已知函数()sin y x =ω+ϕ(0,0)2πω><ϕ≤的部分图象如图所示，则点P (),ωϕ的坐标为( ) （A ）(2,)3π（B ）(2,)6π （C ）1(,)23π （D ）1(,)26π①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是( )（A ）两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称 （B ）两个函数的图象均关于直线4x π=-成中心对称（C ）两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数 （D ）两个函数的最小正周期相同7. 已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为（ ） A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ8.设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( )（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 Ay（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 9.如右上图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α=__________． 10.在ABC 中，若5b =，4B π∠=，tan 2A =，则sin A =_______，a =______.11.已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________.12.设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=_________. 13.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=______.14.在ABC 中，60,3B AC ==2AB BC +的最大值为 。
三角函数难的题目训练
1、某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m，∠ABC=45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30°（如图所示）．（1）求调整后楼梯AD的长；（2）求BD的长．（结果保留根号）2、如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E 处测得∠AEP=74°，∠BEQ=30°；在点F处测得∠AFP=60°，∠BFQ=60°，EF=1km．（1）求证AB =AE；（2）两个岛屿A和B之间的距离为多少km（结果精确到0.1km）（参考数据：根号3≈1.73，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）3、一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为多少？4、如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC= ；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是（）A、1个B、 2个C、3个D、4个5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（）A、S1=S2=S3 B、S1=S2＜S3 C、S1=S3＜S2 D、S2=S3＜S16、在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题①若，则tan∠EDF=，；②若DE的平方=BD•EF，则DF=2AD．则（）A、①是真命题，②是真命题B、①是真命题，②是假命题C、①是假命题，②是真命题D、①是假命题，②是假命题7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA= ，则AD的长是多少？8、在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形；④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时，BE= DE中，一定正确的有（）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个9、如图，两个高度相等且底面直径之比为1：2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（）10、如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．11、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4 倍根号2，∠B=45°动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．12、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．13、水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固．原大坝的横断面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水面AB的长为10米，∠B=60°，背水面DC的长度为10 倍根号3米，加固后大坝的横断面为梯形ABED．若CE的长为5米．（1）已知需加固的大坝长为100米，则需要填方多少立方米；（2）新大坝背水面DE的坡度为多少？（计算结果保留根号）14、如图15，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏,东30°方向上，景点D位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB=5km，AD=8km.A BCa北D30°（图15（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离（结果精确到1km）（参考数据：3≈1.73，5≈2.24，sin53°=cos37°=0.80，sin37°=cos53°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=cos52°=0.62，sin52°=cos38°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.79，cos75°=0.26，tan75°=3.73）15某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）16、（1）如图16-1，16-2，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律。
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第一章《三角函数》综合练习班级学号得分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3，-2cos3),则角α的弧度数为（）A．3 B．π-3 C．3-2πD．2π-32．sin( )的值等于（）A．12B．-12CD．3．若α是第三象限的角，则α-π是（）A．第一象限角B．第二象限角 C．第三象限角D．第四象限角4．若|sinθ|=15,92π<θ<5π,则tanθ等于（）A B．-． D．5．函数y=cos( ) （）A．是奇函数B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数6．要得到函数y=sin(2x-4π)的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移4πB．向右平移4πC．向左平移8πD．向右平移8π7．函数y=tan(21x-3π)在一个周期的图象是（）8．函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是（）15223xπ-A. C.B. D.-π -π -π -πA. B. C. D. 9．函数y =sin(2x + )的图象的一条对称轴的方程是（ ） A ．x =54πB ．x =2π-C ．x =8πD ．x =4π10. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )= f (x +2),x ∈[3,5]时,f (x )=2-|x -4|,则 （ ）A ．f (sin π6)<f (cos π6）B ．f (sin1)>f (cos1）C ．f (cos 2π3)<f (sin 2π3）D ．f (cos2)>f (sin2）11．如图为一半径为3米的水轮,水轮圆心O 距水面2米,已知水轮每分钟转4圈,水轮上的点P 到水面距离y (米)与时间x (秒满足关系式y =A sin(ωx +φ)+2，则有 （ A ．ω=512π,A =3 B ．ω=215π,A =3C ．ω=512π,A =5 D ．ω=152π,A =5 12．函数y =1-x +sin x 是（ ）A ．单调增函数B ．单调减函数C ．(0, π]是单调增函数，[π,2π) 单调减函数D ．(0, π]是单调减函数，[π,2π) 单调增函数二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．若tan α= -2,且sin α<0,则cos α=____________.14．sin 1πcos 1πsin πcos πk k k k θθθθ++⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-⋅+（）（）（）（）（k ∈Z ）= . 15．使函数y =2tan x 与y =cos θ同时为单调递增的区间是16．函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值围是__________.三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 试确定下列函数的定义域⑴y =⑵tan(4lg(2cos 1)x y x π-=-52π18．若｜log cos αsin α｜＞｜log sin αcos α｜（α为锐角），求α的取值围.19．已知函数f (x )=⎩⎨⎧>≥.sin cos cos cos sin sin ）（），（x x x x x x（1）画出f (x )的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；（2）判断f (x )是否为周期函数.如果是,求出最小正周期.20．设关于x 的函数y =2cos 2x -2a cos x -(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.21.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24单位小时)的函数，记作：y=f(t).经长期观测，y=f(t).的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt +b(1).根据以上数据,求出函数y=Acosωt +b的最小正周期T,振幅A及函数表达式；(2).根据规定，当海狼高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天的上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪者进行活动？22．讨论函数f(x)=|sin x+cos x|-|sin x-cos x|的性质，并在函数性质的基础上作出函数的草图.第二章 《平面向量》综合测试题班级_______________________学号____________得分____________一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 若A （2，-1），B （-1，3），则的坐标是( )A.（1，2）B.（-3，4）C. （3，-4）D. 以上都不对 2.与a =（4，5）垂直的向量是 ( ) A.（-5k ,4k ） B. (-10，2） C. (54,k k-) D.（5k , -4k ）3. △ABC 中,BC =a , AC =b ,则等于( )A.a+bB.-(a+b )C.a-bD.b-a 4.化简52(a －b )－31(2a +4b )+152(2a +13b )的结果是( ) A.51a ±51b B.0 C. 51a +51b D. 51a －51b 5.已知|p |=22,|q |=3, p 与q 的夹角为4π,则以a =5p +2q ,b =p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为( )A.15B.15C. 16D.146.已知A (2,-2),B (4,3),向量p 的坐标为(2k -1,7)且p ∥,则k 的值为 ( )A.109-B.109C.1019-D.1019 7. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系是 ( ) A. P 在△ABC 的部 B. P 在△ABC 的外部 C. P 是AB 边上的一个三等分点 D. P 是AC 边上的一个三等分点8.已知△ABC 的三个顶点，A (1,5)，B (-2,4)，C (-6,-4)，M 是BC 边上一点,且△ABM 的面积是△ABC 面积的41,则线段AM 的长度是( )259.设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,,则|a +b |的值 ( )A.23B.9C.2918+D.223+10.若|a |=1,|b |=,(a -b )⊥a ,则a 与b 的夹角为( )A.300B.450C.600D.75011.把一个函数的图象按向量a =(3π,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y =sin(x +6π)-2,则原函数的解析式为( )A.y =sin xB.y =cos xC.y =sin x +2D.y = -cos x12.在△ABC 中，=c , BC = a , CA =b ,则下列推导中错误的是 ( )A.若a ·b <0,则△ABC 为钝角三角形B. 若a ·b =0,则△ABC 为直角三角形C. 若a ·b =b ·c ,则△ABC 为等腰三角形D. 若c ·( a +b +c )=0,则△ABC 为等腰三角形二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13.在△ABC ,4=且,8=⋅AC AB 则这个三角形的形状是 . 14.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，则船实际航行的速度的大小和方向是 .15. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ,现用a 、b 表示c ,则c= . 16.给出下列命题:①若a 2+b 2=0,则a =b =0; ②已知A ),,(11y x B ),(22y x ,则);2,2(212121y y x x ++= ③已知a ,b ,c 是三个非零向量,若a +b =0,则|a·c |=|b·c |④已知0,021>>λλ,e 1,e 2是一组基底,a =λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线,a 与e 2也不共线; ⑤若a 与b 共线,则a·b =|a |·|b |.其中正确命题的序号是 . 三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图,ABCD 是一个梯形,CD AB CD AB 2//=, M 、N 分别是,的中点,已知=a ,=b ,试用a 、b 表示,DC BC 和.MN18.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果=e 1+e 2,=2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线;⑵试确定实数k,使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.19.已知△ABC 中,A (2,4),B (-1,-2),C (4,3),BC 边上的高为AD .⑴求证:AB ⊥AC ;⑵求点D 与向量的坐标.ABNMDC20.已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB边上的中线CM的长;⑵在AB的面积分成4:5两部分,求P点的坐上取一点P,使过P且平行与BC的直线PQ把ABC标.21.已知a、b是两个非零向量，证明：当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.22.已知二次函数f (x ) 对任意x ∈R，都有f (1-x )=f (1+x )成立，设向量a =(sin x ,2),b =(2sin x ,21),c =(cos2x ,1),d =(1,2)。
（1）分别求a ·b 和c ·d 的取值围；（2）当x ∈[0,π]时，求不等式f (a ·b )>f (c ·d )的解集。
第三章 《三角恒等变换》综合练习班级 学号 得分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知sin2θ=45,cos 2θ=35-,则角θ所在的的象限是 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知tan(α+β)=52,tan(β-4π)=41，则tan(α+4π)等于（ ） A ．183B ．2213C ．223 D ．613．已知sin α=,则cos4α的值是（ ） A ．254 B ．257- C ．2512 D ．2518-4．已知sin(α-β)=35,sin(α+β)=35-，且α-β∈(2π,π), α+β∈(32π,2π),则cos2β的值是 （ ） A ．2425 B ．45- C ．1 D ．-1 5．△ABC 三角满足2cos B sin A=sin C ，则△ABC 的形状为 （ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 6．10cos 310sin 1-的值是 （ ）A ．1B ．2C ．4D ．417．函数y =sin x +cos x (0≤x ≤2π)的值域是( )A ．[B ．[-．[]D ．[8． 201tan 75tan 75-的值是 （ ）A ．B ． D ．9．sin150sin300sin75的值等于（ ）A ．18D ．1410．tan700+tan500-tan700tan50的等于（ ）A．．11．函数y=sin 2(ωx )-cos 2(ωx )的周期T =4π，那么常数ω等于（ ）A ．12B ．2C ．14D ．4 12．函数y=cos(26π-x )-sin(26π-x )的单调递增区间是（ ） A ．[4k π-136π, 4k π-6π] (k ∈Z ) B ．[4k π-6π, 4k π+116π] (k ∈Z )C ．[2k π-6π, 2k π+116π] (k ∈Z ) D ．[2k π, 2k π+π] (k ∈Z ) 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知sin120=a ,则sin660= . 14．已知324ππβα<<<，cos(α-β)=1213,sin(α+β)= 35-,那么sin2α= . 15．化简：cos(4π-α)cos(4π+α)= . 16．设f (x )=2cos 2x+sin2x +a (a ∈R),当x ∈[0,2π]时, f (x )的最大值是4，则a = .三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知tan θ=2,求)4sin(21sin 2cos 22θπθθ+--的值.18．求y x cos x -cos 2x 的最大值.19．已知sin(2α+β)=3sin β，求tan()tan αβα+的值.20．已知sin(6π-θ)= -35,6π<θ<23π，求cos2θ的值。