高三数学二轮复习课件--10-2坐标系与参数方程
高三数学二轮复习 坐标系与参数方程 课件(全国通用)
(θ 为参数)．
π (1)当 α＝3时，求 C1 与 C2 的交点坐标； (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求 P 点 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
• 突破点拨 • (1)先参化普，然后联立直线与圆的方程求交 点； • (2)以角为参数，利用已知条件求出 P点的横 π 解析：(1)当 α＝3时，C1 的普通方程为 y＝ 3(x－1)，C2 的普通方程为 x2＋y2＝1， 纵坐标，x＝φ(α)，y＝g(α)．
2．已知圆 C 的极坐标方程为 ρ ＋2
2
π 2ρ sinθ－4－4＝0，求圆 C 的半径．
突破点拨 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，进而利用圆方程的特征配方求半径．
解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标的原点 O，极轴为 x 轴的正半轴，建立 直角坐标系 xOy. 圆 C 的极坐标方程为 ρ ＋2
第一部分
核心专题突破
专题八 选考部分
高频考点
• 1．坐标系与参数方程部分： • 坐标系与参数方程是高考选考内容之一，高 考对本讲内容的考查主要是：(1)直线与圆的 极坐标方程以及极坐标与直角坐标的互化； (2)直线、圆与圆锥曲线的参数方程以及参数 方程与普通方程的互化．
• 2．不等式选讲部分： • 本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含 绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不 等式中参数的取值范围，不等式的证明等， 结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成 立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用 成为命题的热点，主要考查学生的基本运算 能力与推理论证能力以及数形结合思想、分 类讨论思想等．
题型二 曲线的参数方程的有关问题
高考中常从以下角度设计考题： 命题 (1)化参数方程为普通方程． 规律 (2)以参数方程为背景的直线与圆的位置关系问题． 一般为解答题，难度中等． (1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消 参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数 方法 方程进行变形，为消去参数创造条件． 点拨 (2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的 解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相 关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.
高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题7选修部分第1讲选修44坐标系与参数方程课件新人教版
典例3 (2020·南平三模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点
O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
ρ＝1－c2os
θ，直线
l1
的参数方程为xy＝＝ttcsions
α α
(t 为参数)，π2＜α＜π，点 A
为直线 l1 与曲线 C 在第二象限的交点，过 O 点的直线 l2 与直线 l1 互相垂 直，点 B 为直线 l2 与曲线 C 在第三象限的交点．
19
1．(2020·中原区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1：ρ＝4sin θ，曲线 C2：ρ ＝4cos θ.
(1)求曲线 C1 与 C2 的直角坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π3(ρ∈R)，设 C3 与 C1 和 C2 的交点 分别为 M，N，求|MN|.
25
典例2 (2020·河南模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的
参
数
方
程
为
x＝2cos α y＝ 3sin α
(α
为参数)，直线
l 的参数方程为
x＝1＋tcos α y＝tsin α
(t 为参数)．
(1)求曲线 C 和直线 l 的一般方程；
(2)已知点 P(1,0)，直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，若|PA|·|PB|＝152，
14
典例1 (2020·沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标
方程为
ρ＝2acosθ，曲线
C2
的极坐标方程为
高三数学文二轮复习课件7.2坐标系与参数方程
【例 1】 在极坐标系下，已知圆 O：ρ＝ cosθ＋sinθ 和 π 2 直线 l： ρsin(θ－ )＝ . 4 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 θ∈ (0， π)时，求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标．
【解】 (1)圆 O：ρ＝ cosθ＋ sinθ，即 ρ2＝ ρcosθ＋ρsinθ， 圆 O 的直角坐标方程为： x2＋ y2＝ x＋ y， 即 x2＋ y2－ x－ y＝ 0， π 2 直线 l： ρsin(θ－ )＝ ，即 ρsinθ－ ρcosθ＝ 1，则直线 l 4 2 的直角坐标方程为： y－ x＝ 1，即 x－ y＋ 1＝ 0.
2 ．图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，告诉 我们在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．借助 具体实例 (如地球的经纬度等 )去学习在柱坐标系、球坐标系 中刻画空间中点的位置的方法，通过与空间直角坐标系中刻 画点的位置的方法相比较，认清了它们的区别．
(1)空间中点 P 的直角坐标 (x， y， z)与柱坐标 (ρ， θ， z) x＝ ρcosθ， 的变换公式为y＝ ρsinθ，坐标方程是 ρcos(θ＋ )＝ m，曲线 3
x＝ 2＋ 2cosθ C2 的参数方程为 y＝ 2sinθ
(θ 为参数 )，若两曲线有且只
有一个公共点，则实数 m 的值是 ________．
π 解析： 将曲线 C1 的极坐标方程 ρcos(θ＋ )＝m 化为直角 3 坐 标 方 程 为 x － 3 y － 2m ＝ 0 ， 将 曲 线 C2 的 参 数 方 程
x＝ 2＋ 2cosθ y＝ 2sinθ
(θ 为参数)化为普通方程为 (x－2)2＋ y2＝4.因
为两曲线有且只有一个公共点， 即直线 x－ 3y－2m＝0 与圆 |2－2m| (x－2) ＋y ＝4 相切，所以 ＝2，则 m＝－1 或 m＝3. 2 答案：－1 或 3
--坐标系ppt(共38张PPT)
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第十四章 系列4选讲
（2）极坐标与直角坐标的互化
设 M 为平面内的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为
（ρ，θ）.由图可知下面关系式成立：
x＝ρcos
y＝ρsin
θ， ρ2＝x2＋y2，
θ
或 tan
θ＝yx（x≠0）.
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第十四章 系列4选讲 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
即 ρ＝4sin
3
θ－2cos
θ.
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第十四章 系列4选讲
【思维升华】 求曲线的极坐标方程的步骤：（1）建立适
当的极坐标系，设P（ρ， θ ）是曲线上任意一点；（2）由曲线
上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ
之间的关系式；（3）将列出的关系式进行整理、化简，得出曲 线的极坐标方程.
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第十四章 系列4选讲
【解析】 （1）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变换下变 为曲线 C 上的点（x，y），依题意，得xy＝＝x21y，1.
由 x21＋y21＝1 得 x2＋2y2＝1， 即曲线 C 的方程为 x2＋y42＝1.
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第十四章 系列4选讲
第十四章 系列4选讲
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第十四章 系列4选讲
坐标系与参数方程 第1课时 坐标系
1.平面直角坐标系
设点 P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：
x′＝λ·x y′＝μ·y
（λ>0）， （μ>0） 的作用下，点 P（x，y）对应到点 P（ ′ x′，
高三数学二轮复习 坐标系与参数方程 课件(全国通用)
坐标系与参数方程
第 1页
高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换， 直线和圆的极 坐标方程，参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及 参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为 主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．
第 2页
[考题回访] 1．(2016· 全国新课标卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的
π Mb，2且平行于极轴：ρsin
θ＝b.
第11页
3．圆的极坐标方程 圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的方程为
2 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(r,0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ； (3)当圆心位于
A，B 两点，|AB|＝ 10，求 l 的斜率．
第 6页
解：(1)由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得 圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中， 直线 l 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R)． 设 A，B 所对应的极径分别为 ρ1，ρ2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是 ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝ 144cos2α－44.
第 5页
2．(2016· 全国新课标卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方 程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l
x＝tcos α， 的参数方程是 y＝tsin α
10-2坐标系与参数方程
专题10 第2讲 坐标系与参数方程一、选择题1．(2011·安徽理，5)在极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3[答案] D[解析] 极坐标⎝⎛⎭⎫2，π3化为直角坐标为2cos π3，2sin π3，即(1，3)，圆的极坐标方程ρ＝2cos θ可化为ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，则由两点间距离公式d ＝(1－1)2＋(3－0)2＝3，故选D.2．(2011·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2)B ．(1，－π2)C ．(1,0)D ．(1，π)[答案] B[解析] 由ρ＝－2sin θ得：ρ2＝－2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，∴圆心直角坐标为(0，－1)，极坐标为(1，－π2)，选B.3．(2010·湖南卷)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线[答案] A[解析] 将题中两个方程分别化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝x,3x ＋y ＋1＝0，它们分别表示圆和直线．4．(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线 [答案] C[解析] 由(ρ－1)(θ－π)＝0得ρ＝1或者θ＝π， 又ρ≥0，故该方程表示的图形是一个圆和一条射线．二、填空题5．(2011·上海理，5)在极坐标系中，直线ρ(2cos θ＋sin θ)＝2与直线ρcos θ＝1的夹角大小为________．(结果用反三角函数值表示)[答案] arctan 12[解析] 极坐标方程化普通方程时要注意等价性．∵ρ(2cos θ＋sin θ)＝2，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得一般方程为2x ＋y ＝2. ρcos θ＝1的一般方程为x ＝1.直线2x ＋y ＝2的倾斜角的补角为arctan2，设两直线夹角为α，则tan α＝tan(π2－arctan2)＝cot(arctan2)＝1tan (arctan2)＝12，∴α＝arctan 12.6．(2011·陕西理，15)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．[答案] 3[解析] C 1为圆(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2为圆x 2＋y 2＝1.∴|AB |min ＝32＋42－1－1＝3.7．(2011·天津理，11)已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t ，(t 为参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.[答案]2[解析] 根据抛物线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2y ＝8t ，得出y 2＝8x ，得出抛物线焦点坐标为(2,0)，所以直线方程：y ＝x －2，利用圆心到直线距离等于半径，得出r ＝22＝ 2.8．(2011·广东理，14)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝542y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎫1，255[解析] ⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ≤π) 化为普通方程为x25y 2＝1(0≤y ≤1)，而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2y ＝t化为普通方程为x ＝54y 2，由⎩⎨⎧ x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)x ＝542得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝255，即交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.三、解答题9．(2011·福建理，21)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． [解析] (1)把极坐标系的点P (4，π2)化为直角坐标，得P (0,4)，因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线 l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为 (3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos (α＋π6)＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.10．(2011·新课标理，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.[解析] (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上， 所以⎩⎨⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.11．已知参数C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′.写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．[解析] (1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0,0)，半径r ＝1. C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1， 所以C 2与C 1只有一个公共点． (2)压缩后的参数方程分别为 C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)．化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式△＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C 2′与椭圆C 1′仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点个数相同．12．(2010·辽宁理，23)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．[解析] (1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫π3，π3.(2)M 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋⎝⎛⎭⎫π6－1t ，y ＝3π6t ，(t 为参数)．。
高三数学总复习《坐标系与参数方程》课件
为x=ρcosθy=ρsinθ. 将点M直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为
2 x2 y 2 y tan (x 0). x
曲线方程两种形式互化也可根据点的坐标互化完成.
3.曲线的极坐标方程 (1)极坐标方程 在极坐标系中,曲线可以用含有ρ,θ这两个变量的方程
(4)圆锥曲线的极坐标方程 圆锥曲线的统一定义:与一个定点的距离和一条定直线(定点
不在定直线上)的距离的比等于常数e的点轨迹.
若以定点F为极点,过定点F作定直线l的垂线,垂足为K,FK的 反向延长线Fx为极轴,建立极坐标系,其中|KF|=p,|MF|=ρ得圆
锥曲线统一的极坐标方程.
. ep 1 ecos
x OP cos rsincos y OP sin rsinsin . z rcos
(2)直线的极坐标方程 若直线经过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则直线l的极
坐标方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
特殊情况: ①当直线l过极点,即ρ0=0时,方程为θ=α.
②当直线l过点M(a,0)且垂直于极轴时,l的极坐标方程是
ρcosθ=a.
③当直线l过点M (b, 程是 sin b.
当0<e<1时,表示椭圆,定点是它的左焦点,定直线是它的左准 线. 当e=1时,表示开口向右的抛物线, 当e>1时,方程只表示双曲线的右支,定点是它的右焦点,定直 线是它的右准线.
2020版高考数学复习坐标系与参数方程第1讲坐标系课件文
[通关练习] 1．在极坐标系下，已知圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ 和直线 l：
π ρsinθ－4 ＝
2 .(ρ≥0，0≤θ<2π) 2
(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标．
解：(1)圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ，即 ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆 O 的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0， 直线
设 M 是平面内一点， 极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的 极径， 记为 ρ； 以极轴 Ox 为始边， 射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 θ，有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐 标，记为 M(ρ，θ)．
2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半 轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度 单位．设 M 是平面内任意一点，它的直角坐 标 、 极 坐 标 分 别 为 ( x ， y) 和 ( ρ ， θ) ， 则
解析：选 A.y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为 ρsin θ＝1－ 1 ρcos θ，即 ρ＝ ，由 0≤x≤1，得 0≤y≤1，所以 sin θ＋cos θ
π θ∈0， 2 .故选
A.
在极坐标系中， 直线 ρcos θ－ 3ρsin θ－1＝0 与圆 ρ＝2cos θ 交于 A，B 两点，则|AB|＝________．
所以 B
点的坐标为
2
3 a，a. 3
2
又因为 B 在圆 x ＋y －4y＝0
上，所以
3 2 a ＋a2－4a＝0， 3
4 2 即 a －4a＝0，解得 a＝0(舍去)或 a＝3.故 a 的值为 3. 3
福建省福清市高考数学二轮复习第二讲坐标系与参数方程课件
2
,
2
(t
2
2
z
为参数),消去 t 得 x-y-2=0,
故曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是
y2=2ax(a>0),x-y-2=0.
第十页，共18页。
= -2 +
= -4 +
2
,
2
(t
2
2
考点
(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
= -2 +
diǎn)3
解:(1)对于曲线 C1 有 x+y=1,对于曲线
2 2
C2 有 +y =1.
4
(2)显然曲线 C1 :x+y=1 为直线,则其参数方程可写为
参数)与曲线
在两个交点,
2 2
C2 : +y =1
4
= -1
2
,
2
(t
2
+
2
为
联立,得 5t2-12 2t+8=0,可知 Δ>0,所以 C1 与 C2 存
相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线 C 的极坐标方程为 ρ2-6ρcos θ+5=0.
(1)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 α 的取值范围;
(2)设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围.
解:(1)将曲线 C 的极坐标方程 ρ2-6ρcos θ+5=0 化为直角坐标方程为
其参数方程为
(θ 为参数).
= 2sin
∵M(x,y)为曲线 C 上任意一点,
高考数学总复习 122 坐标系与参数方程课件 新人教A版
曲线上的点的极坐标不一定满足曲线的极坐标方程， 但曲线上一点P的无数个极坐标中，必有一个适合曲线的 极坐标方程．
2．极坐标与直角坐标互化条件： (1)极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；(2) 极轴与x轴的正半轴重合；(3)两种坐标系中取相同的长度 单位
3．极坐标方程 θ＝θ1 表示一条射线并非直线，只有当 允许 ρ<0 时，θ＝θ1 才表示一条直线．
x＝rφ－sinφ y＝r1－cosφ
(φ 为参数)．
误区警示 1．在极坐标系中，如无特别说明时，ρ≥0，θ∈R；点 的极坐标不惟一．给定点的极坐标时，在平面上就唯一确定 了一个点；但是给定平面上的一个点，它可以有无穷多个极 坐标，一般地(ρ，θ＋2kπ)，k∈Z 与(ρ，θ)代表同一个点，有 时为了使极坐标与平面上的点(除极点外)建立一一对应关系， 规定 ρ≥0,0≤θ<2π.
答案：( 2，34π)
(理)(2011·江西南昌调研)已知圆的极坐标方程为ρ＝ 2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1的距离为 ________．
解析：圆方程化为 x2＋y2＝2x，圆心 C(1,0)，直线方 程化为 2x＋y－1＝0，
∴C 到直线距离 d＝|2＋05－1|＝ 55.
(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)
x＝ρcosθ 之间的变换公式为y＝ρsinθ . z＝z
5．球坐标系 (1)如图空间直角坐标系 O－xyz 中，设 P 是空间任意 一点，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ，设 P 在 xOy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时 所转过的最小正角为 θ，则点 P 用有序数组(r，φ，θ)表示．把 空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立的这种对应关系的 坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组(r，φ，θ) 叫做点 P 的球坐标，记作 P(r，φ，θ)，其中 r≥0,0≤φ≤π， 0≤θ<2π.
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专题十
选考内容
(2)参数方程和普通方程是曲线方程的两种不同的形式，
但它们都是表示曲线上任意一点的坐标x，y之间关系的， 这两种形式的方程可以相互转化，从而实现它们之间的转 化，有利于发挥它们各自的长处．
(3)常见的曲线的参数方程 过 点 P0(x0 ， y0) ， 倾 斜 角 为 α 的 直 线 的 参 数 方 程 是
π 当 α＝－ 时，射线 l 与 C1，C2 的两个交点 A2，B2 分别 4 与 A1，B1 关于 x 轴对称，因此四边形 A1A2B2B1 为梯形． 2x′＋2xx′－x 2 故四边形 A1A2B2B1 的面积为 ＝ . 2 5
专题十
选考内容
(2011· 湖南理，9)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参
x＝x ＋tcosα 0 y＝y0＋tsinα
(t 是参数)， 参数 t 的几何意义是 P0 到直线上
任意一点 P(x，y)的有向线段 P0P 的数量
专题十
选考内容
圆 心 为 A(a ， b) ， 半 径 为 r 的 圆 的 参 数 方 程 为
x＝a＋rcosα y＝b＋rsinα
专题十
选考内容
专题十
选考内容
专题十
选考内容
1．理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变
换作用下平面图形的变化情况；了解柱坐标系、球坐标系 中表示空间中点的位置的方法并与空间直角坐标系中表示
点的位置的方法相比较，了解它们的区别．
2．了解参数方程；了解参数的意义；了解平摆线、渐 近线的生成过程，并能推导出它们的参数方程；了解其它 摆线的生成过程；了解摆线在实际中的应用．
即x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.
专题十
选考内容
圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O1，圆O2交点的直线的直角坐标方程． [解析] (1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得 ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x. 即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程．
解得 C1 与 C2 的交点
1 3 坐标为(1,0)，(2，－ 2 )．
专题十
选考内容
(2)C1 的普通方程为 xsinα－ycosα－sinα＝0. A 点坐标为(sin2α，－cosαsinα)， 故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为 1 2 x＝2sin α， (α 为参数)， y＝－1sinαcosα， 2 12 2 1 P 点轨迹的普通方程为(x－4) ＋y ＝16.
专题十
选考内容
2．参数方程 (1)参数方程的定义：如果曲线上任意一点的坐标 x， y 都是某一个变数 t
x＝ft 的函数 y＝gt值，由方程组所确定的点 M 都在曲线上，那么这 个方程组就叫做曲线的参数方程．t 称为参数，参数可以 有几何意义，物理意义中，也可以没有明显的意义．
(α 为参数)，参数 α 的几何意义是以圆心 A
为顶点且与 x 轴正方向同向的射线按逆时针方向旋转到圆 上一点 P 所在半径与原射线所成的角．
x＝acosθ x2 y2 椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的参数方程： ，其中 a b y＝bsinθ
参数 θ 通常称为离心角．
专题十
选考内容
专题十
选考内容
(3)与极轴垂直且经过点(a,0)(其中a>0)的直线：ρcosθ
＝a； 与极轴平行且在极轴上方，与极轴距离为a的直线： ρsinθ＝a； 与极点距离为p，且与过极点与极轴成α角的直线OH垂
直的直线：ρcos(θ－α)＝p.
专题十
选考内容
(4)圆心在极轴上且过极点， 半径为 r 的圆： ρ＝2rcosθ； π 圆心在过极点与极轴成 的射线上，且过极点，半径 2 为 r 的圆：ρ＝2rsinθ； 圆心在(ρ0，θ0)，经过极点的圆：ρ＝2ρ0cos(θ－θ0)．
x＝cosα， 数方程为 y＝1＋sinα
(α 为参数)，在极坐标系(与直角坐
标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，曲线 C2 的方程为 ρ(cosθ－sinθ)＋1 ＝0，则 C1 与 C2 的交点个数为________．
[答案] 2
专题十
x＝5cosφ y＝3sinφ
(φ
x＝4－2t， 为参数)的右焦点，且与直线 y＝3－t
(t 为参数)平行的直线的普通方程．
专题十
选考内容
[解析]
由题设知，椭圆的长半轴长 a＝5，短半轴长
b＝3，从而 c＝ a2－b2＝4，所以右焦点为(4,0)，将已知 直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0. 1 1 故所求直线的斜率为 ，因此其方程为 y＝ (x－4)， 2 2 即 x－2y－4＝0.
1 1 故 P 点轨迹是圆心为( ， 半径为 的圆． 0)， 4 4
专题十
选考内容
[评析]
在将参数方程化为普通方程时，为消去参数，
常用的方法是加、减消元、代入消元、平方相加等，要注 意观察参数方程特点，选择恰当的消元法．
专题十
选考内容
(2011· 江苏，21)在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆
专题十
选考内容
(1)分别说明 C1，C2 是什么曲线，并求出 a 与 b 的值． π (2)设当 α＝4时，l 与 C1，C2 的交点分别为 A1，B1， π 当 α＝－4时，l 与 C1，C2 的交点分别为 A2，B2，求四边形 A1A2B2B1 的面积．
专题十
选考内容
[解析]
(1)C1 是圆，C2 是椭圆．
专题十
选考内容
专题十
选考内容
本讲是新课标新增内容，也是选考内容．这部分在高
考中以考查基础为主，题型主要是填空题和解答题，难度 较小．从近几年高考看，主要考查数形结合思想、读图识 图能力和转化能力．预计2012年的高考对这部分的内容， 题量、难度不会发生变化．
专题十
选考内容
专题十
选考内容
1．极坐标系 (1)极坐标系 取定一点 O，取定从点 O 出发的一条射线 Ox，再规 定长度单位及角的正方向，就建立了一个极坐标系，其点 O 称为极点，射线 Ox 称为极轴． (2) 极 坐 标 与 直 角 坐 标 相 互 转 化 的 两 组 公 式 ： ρ2＝x2＋y2 x＝ρcosθ ， . y y＝ρsinθ tanθ＝x
同理x2＋y2＋4y＝0为圆O2的直角坐标方程．
专题十
选考内容
x2＋y2－4x＝0， (2)由 2 2 x ＋y ＋4y＝0， x ＝0， 1 解得 y1＝0， x ＝2， 2 或 y2＝－2.
即圆 O1，圆 O2 交于点(0,0)和(2，－2)．过交点的直线 的直角坐标方程为 y＝－x.
抛物线 y2＝2px
x＝2pt2 的参数方程表示为 y＝2pt
(t 为参
x 数)，t＝y表示抛物线上的点与抛物线顶点连线的斜率的 倒数．
专题十
选考内容
专题十
选考内容
[例 1]
已知直线
x＝1＋tcosα， C1： y＝tsinα，
(t 为参数)，
圆
π (1)当 α＝ 时，求 C1 与 C2 的交点坐标； 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点．当 α 变化时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出 它是什么曲线．
当 α＝0 时，射线 l 与 C1，C2 交点的直角坐标分别为 (1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为 2，所以 a＝3. π 当 α＝2时，射线 l 与 C1，C2 交点的直线坐标分别为 (0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以 b＝1.
专题十
选考内容
x2 2 (2)C1，C2 的普通方程分别为 x2＋y2＝1 和 ＋y ＝1. 9 π 2 当 α＝4时，射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x＝ 2 ， 3 10 与 C2 交点 B1 的横坐标为 x′＝ 10 .
x＝cosθ， C2： y＝sinθ，
(θ 为参数)．
专题十
选考内容
[分析] 参数方程化为普通方程，再研究关系
π (1)当 α＝ 时， 1 的普通方程为 y＝ 3(x－ C 3
[解析]
1)，C2 的普通方程为 x2＋y2＝1.
y＝ 3x－1， 联立方程组 2 2 x ＋y ＝1，
专题十
选考内容
[例 3] 曲线
(2011· 辽宁理，23)在平面直角坐标系 xOy 中， (φ 为参数)，曲线 C2 的参
x＝cosφ， C1 的参数方程为 y＝sinφ，
x＝acosφ， 数方程为 y＝bsinφ，
(a>b>0，φ 为参数)．在以 O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：θ＝α 与 C1，C2 各有一个交点．当 α＝0 时，这两个交点间的距离为 2，当 α π ＝ 时，这两个交点重合． 2
专题十
选考内容
[例2]
(2011·江西理，15)若曲线的极坐标方程为ρ＝
2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角
坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． [答案] x2＋y2－4x－2y＝0
[解析] 因为ρ＝2sinθ＋4cosθ，
所以ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，
选考内容
[解析]
C1化为普通方程为圆x2＋(y－1)2＝1.C2化为直
角坐标方程为直线x－y＋1＝0，圆心为(0,1)，在直线上， ∴直线与圆相交．