选修4 4极坐标与参数方程全套课件
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人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 选修4—4 坐标系与参数方程 第1节 极坐标方程与参数方程
=
=
2
,
1+ 2 (t
4
1+ 2
为参
数).以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极
坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11=0.
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
1- 2
解:(1)因为-1<1+ 2
0
参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的数量,即|t|=|0 |,t 可正,
可负.使用该式时直线上任意两点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则|P1P2|=
1
|t1-t2|,P1P2 的中点对应的参数为2(t1+t2).
= + cos,
(2)圆的方程(x-a) +(y-b) =r 的参数方程为
5.曲线的参数方程的
应用
6.极坐标方程的应用
强基础•固本增分
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
' = ·, > 0,
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
的作
' = ·, > 0
用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,
简称伸缩变换.
化简得ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+1=0,
即☉C的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+1=0,
又由直线 l 的极坐标方程是
π
θ= (ρ∈R),可得直线
4
(2)设点 A,B 的极坐标分别为
人教A版高考总复习文科数学精品课件 选修4—4 坐标系与参数方程 第2节 极坐标方程与参数方程的应用
x2+(y-1)2=1,P 为曲线 C1 上一动点,且=2,点 Q 的轨迹为曲线 C2.以坐标
原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C1,C2 的极坐标方程;
(2)曲线 C3 的极坐标方程为 ρ
2
=1+sin 2 ,点 M
2
大值.
为曲线 C3 上一动点,求|MQ|的最
= 0 + cos,
数方程
(t 为参数)可求解如下问题:
= 0 + sin
对点训练1在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为
极轴建立极坐标系,已知曲线C的参数方程为
= sin + 2cos,
π
(α 为参数),直线 l 的极坐标方程为 ρsin + = 2.
|AB|=|ρ1-ρ2|,如果几何关系不易用极径表示时,应把极坐标方程化为直角坐
标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.
= cos,
对点训练3在平面直角坐标系中,直线m的参数方程为 = sin (t为参数,
0≤α<π).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线E的极
|MQ|max=|MN|max+2,
即|MN|= ( 2cos)2 + (sin-2)2
= -sin2 -4sin + 6,
当 sin φ=-1 时,|MN|max=3,所以|MQ|max=3+2=5.
考点三
极坐标方程的应用
例3在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标
0 = ,
1
,
2 代入 ρ0=2sin θ0 得 ρ=4sin
原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C1,C2 的极坐标方程;
(2)曲线 C3 的极坐标方程为 ρ
2
=1+sin 2 ,点 M
2
大值.
为曲线 C3 上一动点,求|MQ|的最
= 0 + cos,
数方程
(t 为参数)可求解如下问题:
= 0 + sin
对点训练1在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为
极轴建立极坐标系,已知曲线C的参数方程为
= sin + 2cos,
π
(α 为参数),直线 l 的极坐标方程为 ρsin + = 2.
|AB|=|ρ1-ρ2|,如果几何关系不易用极径表示时,应把极坐标方程化为直角坐
标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.
= cos,
对点训练3在平面直角坐标系中,直线m的参数方程为 = sin (t为参数,
0≤α<π).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线E的极
|MQ|max=|MN|max+2,
即|MN|= ( 2cos)2 + (sin-2)2
= -sin2 -4sin + 6,
当 sin φ=-1 时,|MN|max=3,所以|MQ|max=3+2=5.
考点三
极坐标方程的应用
例3在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标
0 = ,
1
,
2 代入 ρ0=2sin θ0 得 ρ=4sin
高三数学精品课件： 选修4-4 坐标系与参数方程
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小题诊断
重温教材 自查自纠
1．椭圆 C 的参数方程为
x＝5cos φ， y＝3sin φ
(φ
为参数)，过左焦
点
F1
的直线
l
与
C 相交于 18
A，B
两
点，则|AB|min＝___5_____.
由yx＝＝35scions
φ， φ
(φ 为
参数)得，2x52 ＋y92＝1，
将 ∴xy＝＝直 t1－＋2线－1t2＋3＝l t的，2－t参2(，数t 为t方1t参2程＝数代－)，入74曲，y线2＝C4x的，极整坐理标得方4程t2＋为8ρt－sin72＝θ＝0，4cos
θ.设直线 l ∴ |AB| ＝
与－曲3线2＋C 2相2 |t交1 －于t2A| ＝，B1两3 ×点，t则1＋|At2B2|＝－_4_t1_t2_1＝_4_3__1.3
－圆4心sinCθ的相坐交标于为A(1，，B－两2)点，，半若径|ArB＝|＝52，3所，以则圆实心数Ca 到的直值线为
_的_－_距_5_离或__为－__|11_＋__2．＋a|＝ 2
r2－|A2B|2＝ 2，解得 a＝－5 或 a
＝－1.故实数 a 的值为－5 或－1.
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[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
解析：∵ρsin2α－4cos α＝0，∴ρ2sin2α＝4ρcos α， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2＝4x. 由xy＝＝22tt，＋1， 消去 t，得 x＝y＋1. ∴直线 l 的普通方程为 x－y－1＝0. 点 M(1,0)在直线 l 上，
专题七第1讲选修44坐标系与参数方程课件共39张PPT
ρsin
θ＝
3 3 ρcos
θ－4 3 3＋1，
ρsin θ＝－ 33ρcos θ＋433＋1。
2．(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2 2cos θ。
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足
解 (1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
则⊙C的参数方程为yx＝＝12＋＋scions
α， α
(α为参数)。
(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0， 所以|2k－1k＋2＋1－1 4k|＝1，解得k＝± 33，
则这两条切线方程分别为y＝ 33x－433＋1，y＝－ 33x＋433＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为
解 (1)解法一：曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入，得t2＋ t＝0，解得t＝0或t＝－1，根据参数的几何意义可知|AB|＝1。
解法二：直线l的普通方程为y＝ 3(x－1)，曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1， 由yx＝ 2＋y32＝x－1，1， 得l与C1的交点坐标为(1,0)，12，－ 23，则|AB|＝1。
(t为参数)。
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1，C2的交点为P， 求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程。
解 (1)由C1的参数方程得，C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4)。 由C2的参数方程得x2＝t2＋t12＋2，y2＝t2＋t12－2，所以x2－y2＝4。 故C2的普通方程为x2－y2＝4。
高中数学选修4-4极坐标与参数方程(人教版共5份)精选教学PPT课件
所以，经过伸缩变换后，直线 2x＋4y＝1 变成直线 x′＋y′＝1. (2)将 ①代入 x ＋ y ＝ 4，得到经过伸缩变换后的图形的方程为 x′2 y′2 ＋ ＝4. 4 16
2 2 x ′ y ′ 所以，圆 x2＋y2＝4 经过伸缩变换后变成椭圆 ＋ ＝1. 16 64 2 2
x ′ y′ 答案：(1)x′＋y′＝1 (2) ＋ ＝4 4 16
2
2
5x＇＝x 例 3 在平面直角坐标系中，经过伸缩变换 曲线 C 变 4y＇＝y，
为曲线 x′2＋y′2＝1，求曲线 C 的方程． 解析：设曲线 C 上任意一点为(x，y)，经过伸缩变换后对应点的 坐标为(x′，y′)，
5x′＝x， 由 得 4y′＝y
x y 1 代入 x′ ＋y′ ＝1，得25＋16＝1. y′＝4y.
题型二 伸缩变换
例 2 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过伸缩
x＇＝2x， 变换 后的图形． y′＝4y
(1)2x＋4y＝1；(2)x2＋y2＝4.
x′＝2x， 解析：由伸缩变换式 得 y′＝4y
1 y＝4y′.
1 x＝ x′， 2
①
(1)将①代入 2x＋4y＝1，得到经过伸缩变换后的图形方程为 x′ ＋y′＝1.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换 就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换. (2)设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ������' = ������������(������ > 0), φ: 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P'(x',y'),称 φ 为平面直 ������' = ������������(������ > 0) 角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
优质实用课件精选选修4-4极坐标与参数方程全套课件
7、 , R
6
8、 sin 2 cos 1
4、 2sin 5、 2 cos 6、 2 2 cos 8 0
9、 sin( ) 2
42
10、 sin( ) 1
6
➢ 随堂演练----高考真题
【2018北京卷10】
在极坐标系中，直线cos sin a 与圆 2cos相切，则a _____.
当然，非标准形式下
x y
x0 y0
at 你能推的到吗？ bt
(t1 t2 )2 4t1t2
| AB | a2 b2 (t1 t2 )2 a2 b2 (t1 t2 )2 4t1t2
三种坐标系下的弦长问题----各具优势与特点
直线为参数方程标准形式、曲线为普通方程
非标准形式下弦长公式| AB | a2 b2 (t1 t2 )2 4t1t2
cos s in
(为参
数)，过点(0, 2)且倾斜角为的直线l与圆O交于A, B两点
(1)求的取值范围
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程
近三年高考真题
【2017全国1卷22题】
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为xy
3 c os s in
(为参
数)，直线l的参数方程为xy
a 4t(t为参数) 1t
近三年高考真题
【2018全国1卷22题】
在直角坐标系中，曲线C1的方程为y k | x | 2.以坐标 原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2
的极坐标方程为 2 2cos 3 0
(1)求C2的直角坐标方程 (2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程
近三年高考真题
【2018全国2卷22题】
选修Байду номын сангаас-4极坐标及参数方程
极坐标与参数方程ppt课件
当 θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
高中数学选修4-4极坐标与参数方程(人教版共5份)(2)精选教学PPT课件
∴直角坐标方程为 x2＋y2＝4ay. (2)把方程变形为 ρ2＝9(ρcos θ＋ρsin θ )， ∵ρ 2＝x2＋y2，ρ cos θ ＝x，ρ sin θ ＝y， ∴直角坐标方程为 x2＋y2＝9(x＋y)． 答案：(1)x2＋y2＝4ay (2)x2＋y2＝9(x＋y)
4．(1)直角坐标方程x＋y－2＝0化为极坐标方程是________；
2
（3）直线 l 过点 P a, 且与极轴平行，则直线 l 的极坐标方程为 sin 2
a
0
题型一 求简单的极坐标方程
解析：在圆上任取一点 P(ρ，θ )，那么，在△AOP 中，|OA|＝8， 解析：在圆上任取一点 P(ρ，θ)，那么，在△AOP 中，|OA|＝8， π π |AP|＝5，∠AOP＝ － θ 或 . θ － π π 3 p A － 3 . |AP|＝5，∠AOP＝ －θ 或θ 3 3 π 82＋ρ2－52 82＋ρ2－52 π 由余弦定理，得 cos －θ＝ . 由余弦定理，得 cos － . θ＝ 3 2 × 8 ρ 2×8ρ 3 π π ＋ 39 ＝ 为所求的极坐标方程． ＋ 即 ρ －16ρcosθ 39 ＝ 00为所求的极坐标方程． － － θ 33
2 2 即 ρ －16ρcos
＋ 39 ＝ 0 ＋ 答案：ρ －16ρcosθ－ 39 ＝ 0 3 3
π ，半径为 5 的圆的方程． 例 1 在极坐标平面上，求圆心A8， π 3 ，半径为 例 1 在极坐标平面上，求圆心 A8， 5 的圆的方程． 3
3π sin －θ 4
＝
. 7π sin 12
ρ
超实用高考数学专题复习教学课件：选修4-4第1课时极坐标方程与参数方程
故曲线 C1 是圆心为坐标原点,半径为 1 的圆.
= cos4 ,
(2)当 k=4 时,C1:
4 消去参数 t 得 C1 的直角坐标方程为√ + =1.C2
= sin ,
的直角坐标方程为 4x-16y+3=0.
由
√ + = 1,
4-16 + 3 = 0
解得
=
=
1
,
4
1
.
第1课时 极坐标方程与参数方程
距离高考还有一段时间，不少有经验的老师都会提醒考生，愈是临近高考，
能否咬紧牙关、学会自我调节，态度是否主动积极，安排是否科学合理，能不
能保持良好的心态、以饱满的情绪迎接挑战，其效果往往大不一样。以下是本
人从事10多年教学经验总结出的超实用新高考数学专题复习讲义希望可以帮助
坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共
点都在C3上,求a.
解 (1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2+(y-1)2=a2,C1 是以(0,1)为圆心,a 为
交点为 O,M,直线 l2 与曲线 C 的交点为 O,N,求线段 MN 的长度.
C的
= cos,
解 (1)由曲线 C 的参数方程为 = sin-1(φ 为参数),得曲线 C 的直角坐标
方程为 x2+(y+1)2=1,
所以极坐标方程为 ρ2cos2θ+ρ2sin2θ+2ρsin θ=0,即 ρ=-2sin θ.
成了解题的关键.
选修4-4极坐标与参数方程课件
转换的方法
转换的方法包括代入法、消元法、三角换元法等，具体使 用哪种方法需要根据具体的情况来选择。
参数方程的应用举例
01
物理问题中的应用
在物理问题中，很多运动轨迹可以用参数方程来表示，例如行星的运动
轨迹、摆线的形状等。通过建立物理问题的数学模型，可以将物理问题
转化为数学问题，进而求解。
02
工程问题中的应用
极坐标与参数方程在工程中的应用
在工程中，极坐标和参数方程被广泛应用于各种领域，如 机械工程、航空航天工程、土木工程等。例如，在机械工 程中，零件的形状可以用极坐标和参数方程来描述；在航 空航天工程中，飞行器的轨迹可以用极坐标来描述。
极坐标和参数方程在工程中还有许多其他应用，如管道设 计、电路设计、结构设计等。这些应用有助于提高工程设 计的精度和效率。
极坐标的应用举例
Hale Waihona Puke 010203
平面几何问题
极坐标在解决平面几何问 题中非常有用，例如求圆 的面积和周长，以及解决 与圆和直线相关的问题。
物理学中的应用
在物理学中，极坐标常用 于描述电子在磁场中的运 动轨迹，以及行星和卫星 的运动轨迹。
工程领域应用
在工程领域，极坐标常用 于解决流体力学、电磁学 和光学等领域的问题。
PART 04
极坐标与参数方程的综合 应用
REPORTING
WENKU DESIGN
极坐标与参数方程在几何图形中的应用
极坐标与参数方程在解析几何中有着广泛的应用，它们可以用来描述平面上的曲 线和曲面。例如，极坐标可以用来描述圆的轨迹，参数方程可以用来描述直线的 轨迹。
在几何图形中，极坐标和参数方程还可以用来描述旋转曲面、柱面等复杂的几何 形状。这些形状在建筑设计、工程制图等领域有着广泛的应用。
转换的方法包括代入法、消元法、三角换元法等，具体使 用哪种方法需要根据具体的情况来选择。
参数方程的应用举例
01
物理问题中的应用
在物理问题中，很多运动轨迹可以用参数方程来表示，例如行星的运动
轨迹、摆线的形状等。通过建立物理问题的数学模型，可以将物理问题
转化为数学问题，进而求解。
02
工程问题中的应用
极坐标与参数方程在工程中的应用
在工程中，极坐标和参数方程被广泛应用于各种领域，如 机械工程、航空航天工程、土木工程等。例如，在机械工 程中，零件的形状可以用极坐标和参数方程来描述；在航 空航天工程中，飞行器的轨迹可以用极坐标来描述。
极坐标和参数方程在工程中还有许多其他应用，如管道设 计、电路设计、结构设计等。这些应用有助于提高工程设 计的精度和效率。
极坐标的应用举例
Hale Waihona Puke 010203
平面几何问题
极坐标在解决平面几何问 题中非常有用，例如求圆 的面积和周长，以及解决 与圆和直线相关的问题。
物理学中的应用
在物理学中，极坐标常用 于描述电子在磁场中的运 动轨迹，以及行星和卫星 的运动轨迹。
工程领域应用
在工程领域，极坐标常用 于解决流体力学、电磁学 和光学等领域的问题。
PART 04
极坐标与参数方程的综合 应用
REPORTING
WENKU DESIGN
极坐标与参数方程在几何图形中的应用
极坐标与参数方程在解析几何中有着广泛的应用，它们可以用来描述平面上的曲 线和曲面。例如，极坐标可以用来描述圆的轨迹，参数方程可以用来描述直线的 轨迹。
在几何图形中，极坐标和参数方程还可以用来描述旋转曲面、柱面等复杂的几何 形状。这些形状在建筑设计、工程制图等领域有着广泛的应用。
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10、过A(1,? 2), 斜率k ? 2 3
圆：(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
椭圆：x 2 a2
?
y2 b2
?
1
双曲线：x 2 a2
?
y2 b2
?
1
抛物线：y2 ? 2 px
? x ? a ? r cos?
? ?
y
?
b
?
rsin?
? ?
x
?
?
a
cos?
?? y ? b tan?
x
?
x0
?
?
?
?y ? ??
y0
?
?
at a2 ? b2
bt a2 ? b2
标准形式
1、??? xy
? ?
3 ?
? 1
2t ?t
2、??? xy
? ??
?3? t 4 ? 3t
4、??? xy
? ?
3? 2?
4t t
9、过A(? 2,4), 斜率k ? ? 2
1、y ? x
6、x2 ? y2 ? 1
2、y ? 3x
7、(x ? 1)2 ? y2 ? 1
3、y ? x ? 1
8、x2 ? y2 ? 4y ? 0
4、y ? 1
9、x2 ? (y ? 1)2 ? 4
5、x ? 2
将下列极坐标方程转化为直角坐标方程
1、? ? 1 2、?sin? ? 1 3、?cos? ? 1
3、已知直线过C(0,1)，且斜率为 ? 3 2
4、已知直线的普通方程 为y ? ? 3x ? 4 5、已知直线普通方程为 x ? 1 6、已知直线普通方程为 y ? 1
? x ? 2 ? 3t
? ?
y
?
1
?
2t
? ??
x
?
2
?
3t 13
?
? ??
y
?
1?
2t 13
结论：同比例的改变参数方程 中t的系数不会改变普通方程
y? x2 ?
? sin
y2 ?
? ?
2
? ? ??
y x
?
tan ?
(x
?
0)
直角坐标系
两个坐标系下坐标有什么关系？
1、将下列极坐标转化为直角坐标
A(1，? )
3
B(2，3? ) C(4，? ? )
2
6
2、将下列直角坐标转化为极坐标
D(2,0) E(1, 3) F (?1,1) G(0,?1)
将下列直角坐标方程转化为极坐标方程
【2017天津，理11】
在极坐标系中，直线 4?cos(? ? ? ) ? 1 ? 0
6
与圆? ? 2sin?的公共点个数为：_______
【2018江苏卷21C】
在极坐标系中，直线 l的方程为? ? sin(? ? ? ) ? 2,
6
曲线C的方程为? ? 4cos?，求直线l被曲线C截得的弦长.
? x ? a cos?
? ?
y
?
bsin?
? ?
x
?
?
t2 2p
?? y ? t
1、(x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 16 3、x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0
2、(x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 25 4、x2 ? y 2 ? 2 y ? 0
的坐标x,
y都是某个变数
t的函数?? ?
x y
? ?
f (t)并且对于t的 g (t )
每一个允许值，上式所 确定的点M (x, y)都在这条曲线
上，则称上式为曲线的 参数方程，其中变数 t称为参数
??x ? t 2 ? 1
? ?? y
?
2t 2
?1
错误
? x ? 2t ? 1
? ?
y
?
4t
?
1
参数方程形式不唯一
y ? 2x ? 3
普通方程
特点:直角坐标系下的方程，变量为 x,y
? ?
x
?
?
t
?3 2
?? y ? t
?x ? t
? ?
y
?
2t
?
3
将下列参数方程化为普通方程
1、?? x ? 2t 2 ? 1 ?y ? t?1
4、??? xy
? ?
sin t ? 1 cos t ? 3
2、??? xy
? ?
t?1 2t 2 ?
? ?
y
?
y0
?
t sin?
O
M 0 (x0 , y0 )
该方程即为直线参数方程的 标准形式
其中，M 0 (x0 , y0 )表示直线上的一个已知 点，
t表示任意一点到
M
的距离，
0
? 则表示直线的倾斜角， 它的范围是[ 0,? )
1、已知直线过A(?2,3)，且倾斜角为 ?
4 2、已知直线过B(1,? 2)，且斜率为2
3
5、???? x ?
1 t?
t
? ??
y
?
t
?
1 t
3、??? xy
? ?
sin t 2 cos
t
6、??? x ?? y
? ?
et et
? ?
e?t e?t
两点
直线l 一那般么来说直，已线知几上个的条件任能确意定一一条直点线可以表示为：
一点一斜率或倾斜角
t
?
M (x, y) ? x ? x0 ? t cos?
7、? ? ? , ? ? R
6
8、? sin? ? 2? cos? ? 1
4、? ? 2 sin? 5、? ? 2 cos? 6、? 2 ? 2? cos? ? 8 ? 0
9、? sin(? ? ? ) ? 2
42
10、? sin(? ? ? ) ? 1
6
【2018北京卷10】
在极坐标系中，直线 ?cos? ? ?sin? ? a 与圆? ? 2cos?相切，则a ? _____ .
——陈俊锋
极径
o
M
?
?
我们如何表示极坐标平 面上的一个点M
极角
因此M点在极坐 标平面的坐标表
示为M( ? , ? )
其中规定：
? ? [ 0,?? );? ? R
在极坐标系中作出下列各点
A(1, ? ) B(1, ? ) C(2, 2? )
3
2
3
D(2,? ) E(3, 4? ) F (3, 5? )
1、试求出两个参数方程的普通方程
x ? 2 ? ? 3 ? 2x ? 4 ? ?3y ? 3 y?1 2 即，2x ? 3y ? 7 ? 0
? x ? x0 ? at
? ?
y
?
y0
?
bt
非标准形式
b? 0 b? 0
? ??
x
?
x0
?
?
?y ? ??
y0
?
at a2 ? b2
bt a2 ? b2
? ??
3
3
试用极坐标表示下列图形的方程
???
r? 2
3
???
3
过极点的射线
??2
圆心在极点的圆
? ? ? ，? ? R
3
过极点的直线
说出下列极坐标方程表示的图像
1、? ? 3
2、? ? ?
4
3、? ? 7
4、? ? ? ，? ? R
4
M (? ,? )
M（x，y）
极坐标系
?x ? ? cos?
? ?? ?
【2018全国一卷】 在直角坐标系中，曲线 C1的方程为y ? k x ? 2. 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极 坐标系，
曲线C2的极坐标方程为? 2 ? 2? cos? ? 3 ? 0.
(1)求C2的直角坐标方程. (2)若C1与C2有且仅有三个公共点， 求C1方程
定义：在平面直角坐标 系中，如果曲线上任意 一点