2019版《5年高考3年模拟》文数A版精品课件：§2-1 函数的概念及表示
2019新版高中数学人教A版必修一第三章 函数的概念与性质 第1节 函数的概念及其表示
2019新版高中数学人教A 版必修一 第1节 函数的概念及其表示一．知识点： 1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f: A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f(x)，x ∈A. 2．函数的定义域与值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域．如果自变量x =a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作y ＝f(a)或y|x ＝a .所有函数值构成的集合{y|y ＝f(x)，x ∈A}叫做这个函数的值域． 3．区间及表示设a ，b 是两个实数，而且a<b.（1） 满足不等式a≤x≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b]； （2） 满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b)； （3） 满足不等式a≤x<b 或a<x≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别 表示为[a ，b)，(a ，b]；（4）实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞) 二．考点突破 考点一：函数的概念例1：下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③2y x =；④y =.A ．4B ．3C ．2D ．1答案：C练习：下列图象中，表示函数关系y ＝f （x ）的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：根据函数的定义知，一个x 有唯一的y 对应，由图象可看出，只有选项D 的图象满足这一点．故选：D ． 作业：1.下列式子中能确定y 是x 的函数的是________． ①x 2＋y 2＝1；②y ＝x －2＋1－x ； ③y ＝12gx 2(g ＝9.8 m/s 2)；④y ＝x.解析：①中每一个x 对应两个y ，故①不是函数． ②中满足式子有意义的x 取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1－x≥0即x≤1且x≥2，∴为∅，故②也不是，而③④可以确定y 是x 的函数． 答案：③④考点二：函数的定义域 例2：求下列函数的定义域： (1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1； (3)y ＝(x －1)0＋2x ＋1. 解：(1)当且仅当x －2≠0，即x≠2时，函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x≥0，x －1≥0.解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0.解得x>－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}. 练习：求下列函数的定义域： (1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x|－x.解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x≤1，所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足 |x|－x≠0，即|x|≠x， ∴x<0.∴函数的定义域为{x|x<0}． 作业：2．求下列函数的定义域： (1)f(x)＝1x ＋1；(2)y ＝x 2－1＋1－x 2； (3)y ＝2x ＋3； (4)y ＝x ＋1x 2－1. 解：(1)要使函数有意义，即分式有意义，需x ＋1≠0，x≠－1.故函数的定义域为{x|x≠－1}．(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2≥1，x 2≤1.所以x 2＝1，从而函数的定义域为{x|x ＝±1}＝{1，－1}． (3)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x|x ∈R}．(4)因为当x 2－1≠0，即x≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以原函数的定义域是{x|x≠±1，x ∈R}．例3：已知函数y=f （x ）定义域是{x|-2≤x ≤3}，则y=f （2x ﹣1）的定义域是（ ） A ．{x|0≤x ≤52}B ．{x|-1≤x ≤4}C{x|12-≤x ≤2} D ． {x|-5≤x ≤5} 解：∵函数y=f （x ）定义域是-2≤x ≤3， ∴由﹣2≤2x ﹣1≤3， 解得﹣≤x ≤2，即函数的定义域为12≤x≤2，故选：C ．练习：已知函数y=f（x+1）的定义域是{x|-2≤x≤3}，则y=f（x2）的定义域是（）A．{x|-1≤x≤4} B．{x|0≤x≤16} C．{x|-2≤x≤2} D．{x|1≤x≤4} 解：∵函数y=f（x+1）的定义域是{x|-2≤x≤3}，即﹣2≤x≤3，∴﹣1≤x+1≤4，即函数y=f（x）的定义域为{x|-1≤x≤4}，由﹣1≤x2≤4，得﹣2≤x≤2．∴y=f（x2）的定义域是{x|-2≤x≤2}．故选：C．作业：3. 已知函数y=f（x+1）定义域是{x|-2≤x≤1} ，则y=f（2x﹣1）的定义域（）A．{x|0≤x≤32} B．{x|-1≤x≤4} C．{x|-5≤x≤5} D．{x|-3≤x≤7}解：∵函数y=f（x+1）定义域是{x|-2≤x≤1}，∴-2≤x≤1，∴-1≤x+1≤2，∴-1≤2x﹣1≤2，∴0≤x≤3 2∴y=f（2x﹣1）的定义域为{x|0≤x≤32}．故答案为：A考点三：函数值例4：若f(x)＝1－x1＋x(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f[f(2)]．解：f(0)＝1－01＋0＝1；f(1)＝1－11＋1＝0；f(1－a)＝1－1－a1＋1－a＝a2－a(a≠2)；f[f(2)]＝1－f21＋f2＝1－1－21＋21＋1－21＋2＝2.练习: 设函数f(x)＝41－x，若f(a)＝2，则实数a＝________.解析：由题意知，f(a)＝41－a＝2，得a＝－1. 答案：－1作业：4.已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(2)]，g[f(2)]的值． 解：(1)f(2)＝11＋2＝13，g(2)＝22＋2＝6； (2)f[g(2)]＝f(6)＝11＋6＝17，g[f(2)]＝g(13)＝(13)2＋2＝199. 考点四：简单的求函数的值域 例5：求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1；(3)y ＝－x 2－2x ＋3(－1≤x≤2)； (4)y ＝1－x21＋x2.解：(1)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1，算得函数的值域为{3,5,7,9,11}． (2)∵x ≥0，∴x ＋1≥1，即函数的值域为[1，＋∞)．(3)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.∵－1≤x≤2，∴0≤x＋1≤3，∴0≤(x＋1)2≤9.∴－5≤－(x ＋1)2＋4≤4.∴函数的值域为[－5,4]．(4)∵y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，∴函数的定义域为R.∵x 2＋1≥1，∴0<21＋x2≤2.∴y ∈(－1,1]． ∴函数的值域为(－1,1]．练习：（1）已知函数y=2x+1，x ∈{x ∈Z|0≤x ＜3}，则该函数的值域为（ ） A ．{y|1≤y ＜7} B ．{y|1≤y ≤7} C ．{1，3，5，7} D ．{1，3，5} 解：函数y=2x+1，x ∈{x ∈Z|0≤x ＜3}={0，1，2}． 当x=0时，y=1，当x=1时，y=3，当x=2时，y=5． ∴函数的值域为{1，3，5}．故选D ．（2）函数y=x 2﹣4x+1，x ∈[1，5]的值域是（ ） A ．{y|1≤y ≤6} B ．{y|-3≤y ≤1}C ．{y|y ≥-3}D ．{y|-3≤y ≤6}解：对于函数f （x ）=x 2﹣4x+1，是开口向上的抛物线． 对称轴x=，所以函数在区间[1，5]上面是先减到最小值再递增的．所以在区间上的最小值为f （2）=﹣3．又f （1）=﹣2＜f （5）=6，，所以最大值为6．故选D ．作业：5.求下列函数的值域：(1)f(x)＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f(x)＝(x －1)2＋1，x ∈R ； (3)y ＝1－x 2，x ∈R ； (4)y ＝2x ＋1x，x≠0. 解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，∵f(－1)＝5， f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5， ∴这个函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域为R ，∵(x －1)2＋1≥1， ∴这个函数的值域为{y|y≥1}． (3)函数的定义域为R ，∵1－x 2≤1， ∴函数y ＝1－x 2的值域为{y|y≤1}． (4)y ＝2x ＋1x ＝2＋1x ，∵x≠0，∴1x≠0， ∴y ＝2＋1x ≠2，∴函数的值域为{y|y≠2}．考点五：判断两函数是否相等例6：下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x≠0)与y ＝1(x≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析：选C A 中两函数定义域不同，B 、D 中两函数对应法则不同，C 中定义域与对应法则都相同．练习：下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x|，g （x ）＝B ．f （x ）＝|x|，g （x ）＝（）2C ．f （x ）＝，g （x ）＝x+1D ．f （x ）＝，g （x ）＝解：要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，B 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为R ，后面函数的定义域为[0，+∞），C 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为{x|x ≠1}，后面函数的定义域为R ，D 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为[1，+∞），后面函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故选：A ． 作业：6. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．y ＝，y ＝（）2B ．y ＝|x|，y ＝C ．y ＝，y ＝x+1D ．y ＝x ，y ＝解：对于A ，y ＝＝|x|（x ∈R ），与y ＝＝t （t ≥0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B ，y ＝|x|（x ∈R ），与y ＝＝|t|（t ∈R ）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C ，y ＝＝x+1（x ≠1），与y ＝x+1（x ∈R ）的定义域不同，不是同一函数；对于D ，y ＝x （x ∈R ），与y ＝＝x （x ≠0）的定义域不同，不是同一函数．故选：B ．考点六：区间及其表示例7：集合{x|－12≤x<10，或x>11}用区间表示为________． 答案：[－12,10)∪(11，＋∞)练习：已知函数y ＝1－x 2x 2－3x －2，则其定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，－12)∪(－12，1)D ．(－∞，－12)∪(－12，1]解析：选D 要使式子1－x2x 2－3x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，2x 2－3x －2≠0即⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x≠2且x≠－12，所以x≤1且x≠－12，即该函数的定义域为(－∞，－12)∪(－12，1]，故选D.作业： 7. 函数y=+1的值域为（ ） A ．（0，+∞） B ．（1，+∞）C ．[0，+∞）D ．[1，+∞）解：函数y=+1，定义域为[1，+∞），当x=1时，函数y 取得最小值为1， 函数y=+1的值域为[1，+∞），故选D。
2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用版：1.1 集合
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
1.(2018天津,1,5分)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C= ( ) A.{-1,1} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{2,3,4}
答案 C 本题主要考查集合的运算. 由题意得A∪B={1,2,3,4,-1,0},∴(A∪B)∩C={1,2,3,4,-1,0}∩{x∈R|-1≤x<2}={-1,0,1}.故选C.
10.(2016课标全国Ⅱ,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B= ( )
A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2}
C.{1,2,3}
D.{1,2}
答案 D 解法一:由已知得B={x|-3<x<3},∵A={1,2,3},∴A∩B={1,2},故选D. 解法二:将集合A中的数逐一代入不等式x2<9中检验,显然x=1,x=2满足x2<9,所以A∩B={1,2}.
(1)在集合A中取点(0,0)时,A⊕B中相应元素的个数为25; (2)A中取点(1,0)时,集合B中的25个点沿x轴向右平移1个单位,得A⊕B中相应元素的个数为25, 除去与(1)中重复的元素后,有(3,0),(3,1),(3,2),(3,-1),(3,-2),共5个; 同理,A中取点(-1,0),(0,1),(0,-1)时,各有5个元素. 综上所述,A⊕B中元素的个数为25+4×5=45,故选C.
11.(2017山东,1,5分)设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N= ( ) A.(-1,1) B.(-1,2) C.(0,2) D.(1,2) 答案 C 本题考查集合的运算与简单不等式的求解. |x-1|<1⇒-1<x-1<1⇒0<x<2,即M={x|0<x<2}. 又N={x|x<2}, 所以M∩N={x|0<x<2}=(0,2).故选C.
2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用版：2.5 函数的图象
可避免分类讨论.
2.(2016课标全国Ⅱ,12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的
方法总结 识辨函数图象可从以下方面入手:
(1)由函数的定义域判断图象的左右位置,由函数的值域判断图象的上下位置;
(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势; (3)由函数的奇偶性判断图象的对称性; (4)由函数的周期性识辨图象; (5)由函数图象的特征点排除不符合要求的图象.
2.(2018课标全国Ⅲ,9,5分)函数y=-x4+x2+2的图象大致为 (
小题巧解 令y=f(x)=-x4+x2+2,则f '(x)=-4x3+2x=-2x· (2x2-1),易知f(x)有3个极值点,排除A,C.由f(1) =2,排除B.故选D. 方法总结 函数图象的识辨方法:
解决函数图象的识辨问题,通常利用排除法.根据函数的定义域、值域、单调性、周期性、奇
偶性、对称性、特殊值等来识辨.
高考文数
( 课标专用)
§2.5 函数的图象
五年高考
A组
考点一 函数图象的识辨
)
统一命题·课标卷题组
e x e x 1.(2018课标全国Ⅱ,3,5分)函数f(x)= x 2 的图象大致为(
答案 B
本题主要考查函数的图象.
∵f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A选项;
e 2 e 2 又∵f(2)= >1,排除C,D选项,故选B. 4
方法总结 已知函数解析式判断函数图象的方法: (1)根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置; (2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势; (3)根据函数的奇偶性判断图象的对称性; (4)根据函数的周期性判断图象的循环往复.
2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用版：4.3 三角函数的图象和性质
答案
3
解析
函数y=sin x-
3
cos
x=2sin
x
3
的图象可由函数y=2sin
x的图象至少向右平移
3
个单
位长度得到.
考点二 三角函数的性质及其应用
1.(2018课标全国Ⅰ,8,5分)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则 ( ) A. f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B. f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C. f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D. f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
()
A.在区间
4
,
4
上单调递增
C.在区间
4
,
2
上单调递增
B.在区间
4
,
0
上单调递减
D.在区间
2
,
上单调递减
答案 A 本题主要考查三角函数图象的变换及三角函数的性质.
将y=sin
2x
5
的图象向右平移
的图象,只需把函数y=sin
x的图象上所有的点
()
A.向左平行移动 个单位长度
3
B.向右平行移动 个单位长度
3
C.向上平行移动 个单位长度
3
D.向下平行移动 个单位长度
3
答案 A 根据“左加右减”的原则可知,把函数y=sin x的图象上所有的点向左平行移动 个
3
单位长度可得y=sin
2
x
的最大值为
(
)
3.1.1函数的概念及其表示课件高一上学期数学人教A版(2019)必修一
【对点练清】 1．下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是
A．A＝R ，B＝R ，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图： C．A＝R ，B＝R ，f：x→y＝x－1 2
()
D．A＝Z ，B＝Z ，f：x→y＝ 2x－1
解析： A 错误，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然对任意 x∈A，y 值不 唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A，在 B 中找不到与之相对 应的数．D 错误，－1∈A，在 B 中找不到与之相对应的数． 答案：B
区间可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点， 用空心点表示不包括在区间内的端点.
定义
名称
区间
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
_[a_，___b_]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，_b_)_
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，_b_)_
续表
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
函数的定义域． 推理素养.
4.能够正确使用区间表示数集.
பைடு நூலகம்
知识点一 函数的有关概念 (一)教材梳理填空 1．函数的概念：
定义
一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 _唯__一__确__定__的__数__y_和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合A到集 合B的一个函数
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对． 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加 的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以 是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变 量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研 究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用版：4.2 三角恒等变换
∴tan = θ 4
tan θ 1 = tan θ 1
sin θ cos θ = sin θ cos θ
=
4 4 5 = . 3 3 5
B组
考点 三角函数的求值和化简
3 4 1 8
自主命题·省(区、市)卷题组
1.(2017山东,4,5分)已知cos x= ,则cos 2x= ( A.-
1 4
)
B.
1 C.- 4
D.
1 8
答案 D 本题考查二倍角余弦公式. 因为cos x= ,
3 4
2
所以cos 2x=2cos x-1=2×
3 -1= . 4
2
1 8
2.(2015重庆,6,5分)若tan α= ,tan(α+β)= ,则tan β= ( A.
1 7
2 5 5
5 5 2 2 5 = ,则cos α =cos αcos +sin αsin = × + × = . 5
4
4
4
5
2
5
2 2
3 10 10
易错警示 在求三角函数值时,常用到sin2α+cos2α=1和tan α= ,同时要注意角的范围,以确 定三角函数值的正负.
所以cos 2α=1-2×
2 7 1 =1= .故选B. 9 9 3
2
2.(2016课标全国Ⅲ,6,5分)若tan θ=- ,则cos 2θ= ( A.-
4 5
1 3
)
B.-
1 C. 5
2 2
D.
1 5
4 5
cos 2 θ sin 2 θ = , cos 2 θ sin 2 θ 1 tan 2 θ 1 tan 2 θ
2019版5年高考3年模拟文数A版课件：§2-3 二次函数与
第二章 函数
§2.3
二次函数与幂函数
知识清单
考点一 二次函数
1.图象及性质
解析式 图象
f(x)=ax +bx+c(a>0)
2
f(x)=ax +bx+c(a<0)
2
定义域 值域 增减性
R
,
b
R
4ac b2 , 4a
b
,
2
故所求实数a的取值范围是(0,3-2 2 ).
4ac b2 , 4a
b
2a 在 ; 上单调递减
, 上单调递增 在 2a
2a 在 ; 上单调递增
b , 在 上单调递减 2a
奇偶性 对称性 a 、b 、c 的作用
(1)h∈[m,n]时,ymin=f(h),ymax=max{f(m), f(n)}.
(2)h∉[m,n]时, 当h<m时, f(x)在[m,n]上单调递增,ymin=f(m),ymax=f(n);
当h>n时, f(x)在[m,n]上单调递减,ymin=f(n),ymax=f(m).
4.三个“二次”的关系
b=0时为偶函数,b≠0时为非奇非偶函数 图象关于直线x=- 对称 2a a决定图象的开口方向,a与b共同决定对称轴的位置; c决定图象与y轴的交点位置,a、b、c共同决定图象的顶点
b
2.二次函数的三种形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:若二次函数图象的顶点为(h,k),则二次函数为y=a(x-h)2+k(a≠ 0); (3)两根式:若二次函数的图象与x轴的两个交点为(x1,0),(x2,0),则二次函 数为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 3.二次函数在闭区间上的最值问题 y=f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在[m,n]上的最值问题:
函数的概念及表示PPT课件
27
若f(x)的定义域为[－3，5],求g(x)＝f(－x)＋f(x2)的定义域． 解：由f(x)的定义域为[－3,5]，则g(x)必有
3 x 5 3 x2 5
,即
5 x 3 5 x
5
5 5 解得 -
≤x≤
所以函数g(x)的定义域为[－ 5 , 5 ]
函数的概念及表示
2019/9/19
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复习：初中学习的函数概念是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如 果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对 应，则称x是自变量，y是x的函数。
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考虑下面两个问题：
(1) y 1是函数吗？ (2) y x与y x2 是同一个函数吗？
① x叫做自变量，
② x的取值范围集合A叫做函数的定义域(domain)；
③ 与x的值相对应的y的值叫做函数值，
④ 函数值集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)。
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回顾已学函数
初中各类函数的对应法则、定 义域、值域分别是什么？
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函数
对应法则
定义域
值域
正比例 函数 反比例 函数 一次函数
二次函数
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y kx(k 0) R
k y x (k 0) {x | x 0}
R
{ y | y 0}
y kx b
(k 0)
R
y ax2 bx c
(a 0)
R
R
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
（4）
f (x)
2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用版：2.1 函数及其表示
∵f(x)=
ax x 1
,
f(x)+f
1 x
=3,
a
∴f(x)+f
1 x
=
ax x 1
+
1
x
1
=
ax x 1
-
x
a 1
=
a(x 1) x 1
=3,
x
解得a=3,
∴f(x)= 3x ,
x 1
∴f(x)+f(2-x)= 3x + 6 3x = 6(x 1) =6.
考点二 分段函数
1.(2015课标Ⅰ,10,5分,0.623)已知函数f(x)=
2x1 log2
2, (x
x 1), x
1, 1,
且f(a)=-3,则f(6-a)=
(
)
A.- 7 B.- 5 C.- 3 D.- 1
4
4
4
4
答案
A
解法一:由于2x-1-2>-2,故由f(a)=-3可得-log2(a+1)=-3,所以a=7,从而f(6-a)=f(-1)=-
a2
4,
ab b 3,
因为a>0,所以解得
a b
2, 1,
所以f(x)=2x-1,
则f(2)=3.故填3.
7.(2017湖南衡阳四中押题卷(1),13)已知函数f(x)=
ax x 1
,若f(x)+f
1 x
=3,则f(x)+f(2-x)=
.
答案 6
解析
2.代入相应表达式求函数值.
4.(2015山东,10,5分)设函数f(x)=
人教版A版必修一《函数的概念及其表示》课件ppt
自主诊断 2.(多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是
√
√
√
在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中， 图象与平行于y轴的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函 数图象.
自主诊断
3.(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是
A.y＝ x3＋－3x与 y＝
x＋3 3－x
(4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式.
0
(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2，
①
∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2，
②
由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，
∴f(x)＝3x－2(x∈R).
思维升华
函数解析式的求法 (1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.
√B.y＝x2 与 y＝(x－1)2 √C.y＝ x2与 y＝x
√D.y＝1 与 y＝x0
自主诊断
对于 A 选项，y＝ x3＋－3x的定义域是[－3,3)， y＝ x3＋－3x的定义域是[－3,3)， 并且 x3＋－3x＝ x3＋－3x，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同， 所以是同一个函数；
√C.f(x)＝x－，xx，≥x0<，0， g(t)＝|t|
D.f(x)＝x＋1，g(x)＝xx2－－11
对于 A，f(x)＝ x2的定义域为 R，g(x)＝( x)2 的定义域为[0，＋∞)， 不是同一个函数； 对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一 个函数； 对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数； 对于 D，f(x)＝x＋1 的定义域为 R，g(x)＝xx2－－11的定义域为{x|x≠1}， 不是同一个函数.
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第二章 函数
§2.1 函数的概念及表示
知识清单
考点一 函数的概念及表示方法
1.函数与映射概念的比较
函数 两集合 A、B 对应关系 f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A 如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A 中的① 任意 一个数② x ,在集合B中 中的④ 任意 一个元素x,在集合B中都有唯 设A、B是两个非空数集 映射 设A、B是两个非空集合
k (x≠0,k>0)的函数,在基本不等式的条件不具备的情况下 (iii)形如y=x+ k (k>0) (等号不成立),可考虑用函数的单调性求值域,当x>0时,函数y=x+ x
的单调减区间为(0, ], 单调增区间为[ ,+k ∞).一般地,把函数y=x+ k k
x
x
k ).kk (k>0,x>0)叫做对勾函数(图象形如“√”),其分界点为( ,2 >0,x<
3
9
1 1 , 3 9
cx d≠0)的函数的值域,经常使用“分离常数法”求解. 形如y= (a
3x 5 例如:求函数y= 的值域 . 2x 1
13 3 3 +2 ≠ , 2 2 2x 1 ∴所求函数的值域为 y |. y R且y
把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,
a1 x 2 b1 x c1 求得原函数的值域,形如y= 2 (a1,a2不同时为零)的函数的值域 a2 x b2 x c2
常用此法求解. 用判别式法求值域的注意事项:(i)函数的定义域为R; (ii)分子、分母没有公因式. (7)有界性法
逐层求值域法就是根据x的取值范围一层一层地去求函数的值域. 例如:求函数f(x)= ,x∈[2,5]的值域. 解析:∵x∈[2,5], ∴2x∈[4,10],
1 1 2x
∴1-2x∈[-9,-3],
1 x) 1∈ 1∈ ,即 . ∴ f,(
1 2x
(3)分离常数法
ax b
形如sin α=f(y),x2=g(y),ax=h(y)等的函数,由|sin α|≤1,x2≥0,ax>0可解出y的 范围,从而求出其值域. (8)数形结合法 若函数解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合的方 法求解值域. (9)基本不等式法 利用基本不等式:a+b≥2 ab (a>0,b>0)求函数的值域. 用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”,如:利用a+b≥ 2 ab 求某些函数的值域时,应满足三个条件:(i)a>0,b>0;(ii)a+b(或ab)为 定值;(iii)取等号的条件a=b.三个条件缺一不可.
(3)对数的真数大于零,底数大于零且不等于1; (4)零次幂的底数不为零;
(5)三角函数中的y=tan x:x≠kπ+ (k∈Z);
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(6)已知函数f(x)的定义域为D,求函数f[g(x)]的定义域,只需g(x)∈D; (7)已知函数f[g(x)]的定义域,求函数f(x)的定义域,只需x∈{y|y=g(x)},即x ∈g(x)的值域.
都
有③ 唯一确定 名称 记法 的数f(x)和它对应
一确定的元素y与之对应
称f:A→B为从集合A到集合Bf:A→B为从集合A到集合B的一个映射 对应f:A→B
由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映 射,要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数集. 2.函数的三要素:定义域、值域、对应关系. 3.函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与 x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值 域. 4.函数定义域的求法 (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数大于或等于零;
(10)单调性法
(i)单调函数的图象是一直上升或一直下降的,因此若函数在端点处有定 义,则函数在端点处取最值,即 若y=f(x)在[a,b]上单调递增,则ymin=f(a),ymax=f(b); 若y=f(x)在[a,b]上单调递减,则ymin=f(b),ymax=f(a). 如果函数在端点处没有定义,则不可能在端点处取得最值. (ii)形如y=ax+b+ dx 的函数 c ,若ad>0,则用函数的单调性求值域;若ad< 0,则用换元法求值域.
=t (t≥ cx d 0),转化为二次函数求值域.若有单调性,则用单调性更简捷,
如y=x+ x . 1
1,可令 x 2 x=cos θ,θ∈[0,π], (ii)三角换元.如y=x+
∈[0,π]. 2 ∴y=cos θ+sin θ= sin ,θ θ 4
换元法求值域,一定要注意新元的范围对值域的影响. (6)判别式法
0的情况,可根据函数的奇偶性解决. 6.相等函数 如果两个函数的⑤ 定义域 相同,并且⑥ 对应关系 完全一致,则 这两个函数为相等函数. 7.函数的表示方法 表示函数的常用方法有:解析式法、图象法、列表法.
考点二
分段函数
在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的对应
1 , x 0, 关系,这样的函数叫分段函数.如f(x)= x x 1, x 0.
5.求函数值域常用的方法
(1)列举法 直接根据函数的定义域与对应关系将函数值一一求出来写成集合形式
的方法叫做列举法.这种方法只适用于值域中元素为有限个或虽然是无
限个但却是与自然数有关的集合. 如狄利克雷函数:
(x ), 1 为有理数 f(x)= 0( x为无理数).
(2)逐层求值域法
3x 5 解析:y= = 2x 1
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(4)配方法
配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,求形如F(x)=a[f(x)]2+bf(x)
+c(a≠0)的函数的值域问题,均可使用配方法,求解中要注意f(x)整体的 取值范围.
(5)换元法
(i)代数换元.形如y=ax+b± cx (a ,bd ,c,d为常数,ac≠0)的函数,可设