高中数学必修一函数概念定义域值域教学方案
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高中数学必修一函数概念定义域值域教学方案(总16页)
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函数的概念
函数的定义:
设A ,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数,记作)(x f y =, x ∈A
其中x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{}A x x f ∈|)((?B )叫做函数y=f(x)的值域.
对函数概念的理解需注意以下几点:
①函数首先是两个数集之间建立的对应,A 、B 都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在。 ②对于x 的每一个值,按照某种确定的对应关系f ,都有唯一的y 值与它对应,这种对应应为数与数之间的一一对应或多一对应
③认真理解()x f y =的含义:()x f y =是一个整体,()x f y =并不表示f 与x 的乘积,它是一种符号,它可以是解析式,也可以是图像,也可以是表格
④函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”,有时简记作函数)(x f . 【例1】判断下列对应能否表示y 是x 的函数:
(1)x y =;(2)x y =;(3)2x y =;(4)x y =2;(5)122=+x y ;(6)122=-x y 。
【练1】判断下列图象能表示函数图象的是( )
(A)
区间的概念和记号
设a,b∈R ,且a ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b]; ②满足不等式a ③满足不等式a≤x 这里的实数a和b叫做相应区间的端点. 在数轴上,这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示,在图中,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点: 定义名称符号数轴表示 {x|a≤x≤b }闭区间[a, b] {x|a b) {x|a≤x b] {x|a b) 这样实数集R也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a,x>a,x≤b,x 注意:书写区间记号时: ①有完整的区间外围记号(上述四者之一); ②有两个区间端点,且左端点小于右端点; ③两个端点之间用“,”隔开. ④无穷大是一个符号,不是一个数 ⑤以“-∞”或“+∞”为区间一端时,这一端必须是小括号。 【练】试用区间表示下列实数集: (1){x|5≤x<6};(2){x|x≥9} ;(3){x|x≤-1}∩{x|-5 ≤x<2};(4){x|x<-9}∪{x|9 函数的三要素:定义域、对应关系和值域 函数的定义域: 函数的定义域是自变量x 的取值范围,它是构成函数的重要组成部分,如果没有标明定义域,则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围 函数y=f(x)的定义域的求法: ①若f(x)是整式,则函数的定义域是实数集R ; ②若f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集; ③若f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合; ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r 与圆面积S 的函数关系为S=πr 2 的定义域为{r ︱r>0} ⑥)(x f =x 0 的定义域是{x ∈R ︱x ≠0} 注意:列不等式(组)求函数的定义域时,考虑问题要全面,要把所有制约自变量取值的条件都找出来。 【例1】求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=211)(. 【练1】求下列函数的定义域: (1)()42 2--=x x x f (2)()2f x x =+ (3) y (4)x x x y -+=||)1(0 表达式中参数求法:根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式,从而求出相应参数的取值范围。 【例1】若函数a ax ax y 1 2+ -=的定义域是R ,求实数a 的取值范围 【练1】已知函数()f x =的定义域为R ,求实数k 的范围 复合函数 1.复合函数定义 定义:设函数)(u f y =,)(x g u =,则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内函数 )(x g u =复合而成的复合函数。其中x 被称为直接变量,u 被称为中间变量。复合函数中直接变量x 的取值范围叫做复合函数的定义域,中间变量u 的取值范围,即是)(x g 的值域,是外函数 )(u f y =的定义域。 设 f (x )=2x -3,g (x )=x 2+2,则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1(或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11)为复合函数,这样把两个函数,或者几个函数套在一起,就称为复合函数. 做复合函数的题目,一定要分清几个函数叠套的关系,知道什么是真正的自变量. 2.定义域问题 复合函数的定义域,就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。 题型一、已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。 [例1]已知函数f (x )的定义域为(0,1),求f (x 2)的定义域. 题型二、已知)]x (g [f 的定义域,求f(x)的定义域。 [例2]f(2x+1) 定义域为[2,5],求f(x)的定义域。 题型三、已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域 [例3]已知函数f (x +1)的定义域为[-2,3],求f (2x 2-2)的定义域. 【配套练习】 1.若()x f 的定义域为2>x ,则()3+x f 的定义域为_____________ 2 设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()-2的定义域为__________ 3.已知函数y =f (x )的定义域为[0,1],求f (x -1)的定义域. 4.已知函数y =f (x -1)的定义域为[0,1],求f (x )的定义域. 5.已知函数y =f (x -2)的定义域为[1,2],求y =f (x +3)的定义域 函数的对应法则: ①对应关系f 是函数关系的本质特征,)(x f y =的意义是:y 就是x 在关系f 下的对应值,而f 是“对应”得以实现的方法和途径。如)(x f =3x+4,f 表示3倍的自变量加上4,f (8)=3x8+4=28 ②)(x f 与)(a f 的区别 )(a f 表示)(x f 在x=a 时的函数值,是常量;而)(x f 是x 的函数,通常是变量.)(a f 是)(x f 的一个特殊值。如 一次函数)(x f =3x+4,当x=8时,f (8)=3x8+4=28是一个常量。 【例1】已知函数)(x f =32x -5x+2,求f(3), f(-2), f(a+1). 函数的值域:对于)(x f y =, x ∈A ,与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数y=f(x)的值域。 题型2 函数的值域 1.一次函数 【例1】求()[)1,3,23-∈+-=x x x f 的值域 2.二次函数(配方法) 特征:2 ()f x ax bx c =++对策: ① 先找二次函数的对称轴, ② A 、若对称轴在定义域内,y 的两个最值点分别出现在顶点处及距对称轴较远处 B 、若对称轴不在定义域内,则将定义域两端点代入函数,即得y 的两个最值点 【例1】求函数y=2 x -2x+5的值域。 【例2】()[)0,3,1422 -∈-+=x x x x f 的值域 【例3】()(]5,2,1422 ∈-+-=x x x x f 的值域。 【练1】函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是 ( ) A.0,2,3 B.30≤≤y C.}3,2,0{ D.]3,0[ 【练2】函数x y -=3的值域是 【练3】12)(2 ++=x x x f ,]2,2[-∈x 的最大值是 【练4】函数2y =的值域是( ) A.[2,2]- B. [1,2] C.[0,2] D.[ 【练5】若函数2 34y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25[4]4 - -,,则m 的取值范围是( ) A (]4,0 B 3[]2 ,4 C 3[3]2 , D 3[2 +∞,) 【练6】若函数2 3 212+-= x x y 的定义域和值域都是[]b ,1,则实数b 的值为 ___________ 【练7】已知函数()()ab a x b ax x f ---+=82 ,当()2,3-∈x 时,()0>x f ,当()()+∞∞-∈,23, x 时, ()0 (1)求()[]1,0∈x x f 在上的值域。 (2)当c 取何值时,02≤++c bx ax 恒成立。 带参数的二次函数:函数中带有参数或定义域里有参数,均已讨论对称轴在区间的位置为方向 【例1】(1)求函数2()1,[2,2]f x x ax x =+-∈-的值域; 【例2】对于二次函数243y x x =++,当2m x m ≤≤+时,求出函数的最小值。 【练1】已知函数3)(2++=ax x x f ,当]2,2[-∈x 时,a x f ≥)(恒成立,求a 的最小值. 【练2】设函数[]2()41,,1f x x x x t t =-+∈+,求()f x 的最小值()g t 的解析式. 3.反比例函数 【例1】?? ? ???-∈+-= 1,32432x x y 在求上的值域 【练1】?? ? ???-∈+= 4,31123x x y 在求上的值域。 4.分离常数法 【练1】(1)1+=x x y (2)213 x y x +=- 5.打勾函数法 【例1】(1)x x y + = (2)1232y x x =++ ++ 【练1】已知,2>x 求2 1 -+=x x y 的最小值为_________ 【练2】求1 2(3)2 y x x x =+≥- 的值域。 【练3】当1x >-时,求231 ()1 x x f x x -+=+的最小值是___________ 6.一次根式函数换元法:()f x ax = 解题方法:换元法,取t =2t c x b -=,将原函数改写为二次函数求值域,记得写新定义域 【例1】求函数1-+=x x y 的值域。 【练1】求函数求函数12++=x x y 的值域 7.带绝对值或分段函数 【例】求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 【练1】求函数()|2||3|f x x x =-+-的值域; 【练2】求分段函数222(03)()6(20) x x x f x x x x ?-≤≤?=?+-≤≤??的值域 函数的解析式 1、待定系数法 【例】(1)已知二次函数()f x 满足(1)1f =,(1)5f -=,图象过原点,求()f x ; 【练1】已知y 1= f(x)表示过(0,-2)点的一条直线,y 2= g(x)表示过(0,0)点的另一条直线,又f[g(x)]= g[f(x)]=3x-2,求这两条直线的交点坐标。 【练2】已知f (f (x ))=2x -1,求一次函数f (x ) 【练3】设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10,图象过点(0,3),求 )(x f 的解析式。 【练4】 已知b 为常数,若34)(2++=x x x f ,2()1024f x b x x +=++,则b = . 【练5】已知二次函数()f x 的二次项系数为a ,且不等式()2f x x >-的解集为()1,3。 (1)若方程()60f x a +=有两个相等的根,求()f x 的解析式; (2)若()f x 的最大值为正数,求a 的取值范围。 2、代入法 【练1】已知2()31f x x =+,()21g x x =-,求[()]f g x 和[()]g f x . 3、配凑法 【例】已知2(1)2f x x x +=-,求()f x . 【例】已知2211 ()f x x x x -=+,求函数)(x f 的解析 式。 【练1】已知1)f x +=+(1)f x +. 【练2】已知3311 ()f x x x x +=+,求()f x 。 4.换元法 【例】已知2 (1)3f x x +=,求)(x f 的解析式。 【练1】已知f (x +1)=x 2+3x +4,求f (x ) 【练2】已知21()1x f x x -=+,求()f x 5、构造方程法:若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出)(x f 【例】已知()f x 满足1 2()()3f x f x x +=,求()f x . 【练1】已知()f x 满足3()()21f x f x x --=-,求()f x 的解析式。 【练2】已知13)()(2-=+-x x f x f ,求)(x f 。 【配套练习】 1.已知函数)(x f =4x+3,g(x)=x 2,求f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)]。 2.设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ,求))(()),((x f g x g f . 3.已知f (2x +1)=22-+x x ,求f (x )的解析式. 4.已知f (x -1)=x 2-3x +4,求f (2x -3)的解析式。 5.已知x x x f 2)12(2-=+,求)122(+f 和)322(+f . 6.已知f (x +1x )=x 2+1 x 2 ,求f (x )的解析式 7.已知函数)(x f 满足)(,2)()(22x f x x x f x f 则+=-+.的解析式 8.已知函数f (x )是一次函数,且满足关系式3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x )的解析式. 相同函数的判定: 只有当对应法则、定义域、值域,这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数 下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数? 【例1】⑴()2 x y = ;⑵3 3x y = ;⑶2x y = 【练1】下列各组函数表示同一函数的是( ) A .2(),()f x g x == B .0 ()1,()f x g x x == C .2 (),()f x g x = = D .21 ()1,()1 x f x x g x x -=+=- 【练2】下列各组函数中,表示同一函数的是 ( ) (A )2|,|x y x y = = (B )4,222-=+?-=x y x x y (C )33,1x x y y == (D )2)(|,|x y x y == 作业 1. 求下列函数的值域: (1) (2) ; (3) y =x +x 21- 2.判断题: (1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应 ( ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合; ( ) (3)定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定; ( ) (4)若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素; ( ) (5)对于不同的x , y 的值也不同; ( ) (6)f (a)表示当x = a 时,函数f (x)的值,是一个常量。 ( ) 2.给出如下3个等式:)()()(y f x f y x f +=+,)()()(y f x f xy f +=,)()()(y f x f xy f =,则函数① =)(x f 2x ②=)(x f x 3 ③= )(x f 1 x ④()0f x = 都满足上述3个等式的是D A =)(x f 2x B =)(x f x 3 C =)(x f 1 x D ()0f x = 6.若函数y=f(x)的定义域是{10|≤≤x x },则函数F(x)=f(x+a )+f(2x+a )(0<a <1) 的定义域是( A ) A .{212|a x a x -≤ ≤- } B .{a x a x -≤≤-12 |} C.{a x a x -≤≤-1|} D.{2 1|a x a x -≤≤-} 3.函数3x 2x )x (f 2+-=在]m ,0[的最大值为3,最小值为2,则实数m 的取值范围是 10.函数2()4f x x x =-+在[],()m n n m >的值域是[]5,4-,则n m +的最大值为 7 . 4.12,x x 是关于x 的一元二次方程2 2(1)10x m x m --++=的两个实根,又2212y x x =+,求()y f m =的 解析式及此函数的定义域 5.对于任意实数x ,函数2 ()(5)65f x a x x a =--++恒为正值,求a 的取值范围 6.已知函数2 ()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2,求a 、b 的值 7.设一个矩形周长为80,其中一边长为x ,求它的面积关于x 的函数的解析式,并写出定义域 8.已知函数3)(2 ++=ax x x f ,当]2,2[-∈x 时,a x f ≥)(恒成立,求a 的最小值. 9.若函数)(x f 的定义域是[0,1],求)21(x f -的定义域; 10.若)12(-x f 的定义域是[-1,1],求函数)(x f 的定义域; 11.已知)3(+x f 定义域是[)5,4-,求)32(-x f 定义域. 12.已知 ,1)(2+=x x f 求)1(-x f 的解析式 13.已知 1)1()1(2++=-x x f ,求)(x f 的解析式 14.已知x x x f 1 )1(+=- ,求)(x f 的解析式 15.已知221 )1(x x x x f +=-,求)1(+x f 的解析式 16 .已知,a b 为常数,若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则求b a -5的值 17、若二次函数的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -,且函数的最大值为9,则这个二次函数的表达式是 。 18.从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升,然后用水填满,摇匀后再倒出一升,再用水填满,这样继续进行,如果倒k 次(k ≥1)后共倒出纯酒精x 升,倒第k+1次后共倒出纯酒精f(x)升,则函数f(x)的表达式为 。 19.二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+,且1)0(=f . (1)求)(x f 的解析式; (2)在区间[]1,1-上,)(x f y =的图象恒在直线m x y +=2上方,试确定实数m 的取值范围. 20.设函数()1+=x x g ,函数()(]a x x x h ,3,3 1 -∈+= ,其中a 为常数且0>a ,令函数())()(x h x g x f ?=。 (1)求函数()x f 的表达式,并求其定义域;(2)当4 1 = a 时,求函数()x f 的值域; (3)是否存在自然数a ,使得函数()x f 的值域恰为?? ? ???21,31若存在,试写出所有满足条件的自然数a 所构成的集 合;若不存在,试说明理由。 解:(1)3 1 )(++= x x x f ,其定义域为],0[a ; ………2分 (2)令1+=x t ,则]2 3 ,1[∈t 且2)1(-=t x ∴423)1()(2 2+-=+-==t t t t t x f y ………5分 ∴t t y 421 + -= ∵t t 4 2+-在]2,1[上递减,在),2[+∞上递增, ∴4 22+-t t t 在]23,1[上递增,即此时)(x f 的值域为]136,31[ ………8分 (3)令1+=x t ,则]1,1[a t +∈且2)1(-=t x ∴t t y 421 + -= ∵t t 4 2+-在]2,1[上递减,在),2[+∞上递增, ∴y=4 22+-t t t 在]2,1[上递增,]1,2[a +上递减, ………10分 2=t 时4 22 +-t t t 的最大值为21, ………11分 ∴1≥a ,又21≤ 2312+- ∴由()x f 的值域恰为?? ? ???21,31,由31422=+-t t t ,解得:1=t 或4=t ………12分 即()x f 的值域恰为??? ???21,31时,941≤?≤+a a ………13分 所求a 的的集合为}9,,2,1{ 。 ………14分 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 x 2 2x 15 0 ① 11 或 x>5。 3且x 11} {x |x 5}。 1 例2求函数y ' 定义域。 *16 x 2 解:要使函数有意义,则必须满足 sinx 0 ① 16 x 2 0 ② 由①解得2k x 2k ,k Z ③ 由②解得 4x4 ④ 由③和④求公共部分,得 4 x 或 0 x 故函数的定义域为(4, ] (0,] 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域,求f [g(x)]的定义域。 (2)其解法是:已知f (x)的定义域是]a , b ]求f [g(x)]的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。 例3已知f(x)的定义域为[—2, 2],求f (x 2 3 x 3,故函数的定义域是{x | x (2)已知f [g(x)]的定义域,求f(x)的定义域。 其解法是:已知f [g(x)]的定义域是]a , b ],求f(x)定义域的方法是:由 a x b ,求 g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。 例4已知f(2x 1)的定义域为]1,2],求f(x)的定义域。 解:因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。 即函数f(x)的定义域是{x 13 x 5}。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析:函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立,由x 2项 例1求函数y ,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。 |x 3| 8 0 ② 由①解得 x 3或x 5。 由②解得 x 5或x 11 解:令 2 x 2 1 2 ,得 1 x 2 3,即 0 x 2 3,因此0 | x | 3,从而 1)的定义域。 3}。 ③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 {x |x 解:求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一,已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ , k ∈z }和余切函数y=cotx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠k π,k ∈z }等。 例题一 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 (2) 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 (2) 由已知须满足 tanx ﹥0 解得: k π ﹤x ﹤2 k π π+ (k ∈z ) x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为(-π,2 π - )∪(0, 2 π )∪(π,4) 二,复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 (4)已知函数y=f (tan2x )的定义域为〔0, 8 π 〕,求函数f (x )的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f 幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 (1)y x = (2)12 y x = (3)2y x = (4)1y x -= (5)3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出: 3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)x >0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 三.两类基本函数的归纳比较: ① 定义 对数函数的定义:一般地,我们把函数log a y x =(a >0且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 幂函数的定义:一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数. ②性质 对数函数的性质:定义域:(0,+∞);值域:R ; 过点(1,0),即当x =1,y =0; 在(0,+∞)上是增函数;在(0,+∞)是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 图象都过点(1,1)x >0时,幂函数的图象都通过原点, 在[0,+∞]上,y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数, 在(0,+∞)上, 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1.已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 简解:(1)2m =或1m =-(2)1m =-(3)45m =- (4)2 5 m =-(5)1m =- 变式训练:已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+,当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解:2 20230 m m m m ?+>??-->??解得:()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2.比较大小: (1)1122 ,1.7 (2)33 ( 1.2),( 1.25)--(3)1125.25,5.26,5.26---(4)30.5 30.5,3,log 0.5 例3.已知幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值. 解:∵幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点, ∴2 230m m --≤,∴13m -≤≤; ∵m Z ∈,∴2 (23)m m Z --∈,又函数图象关于原点对称, ∴2 23m m --是奇数,∴0m =或2m =. 例4、设函数f (x )=x 3, (1)求它的反函数; (2)分别求出f - 1(x )=f (x ),f - 1(x )>f (x ),f - 1(x )<f (x )的实数x 的范围. 解析:(1)由y =x 3两边同时开三次方得x =3y ,∴f - 1(x )=x 3 1 . (2)∵函数f (x )=x 3和f -1 (x )=x 3 1 的图象都经过点(0,0)和(1,1). 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 (1 )1 y = (2 )y = (2)(3) 若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m <<(B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 (一)已知函数()f x 的定义域,求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1],求函数2(2)f x 的定义域。 (二)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2],求函数()f x 的定义域。 (三)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5),求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。 (一) 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+,求()f x 的解析式。 (二) 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 (三) 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈,关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =,求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+,求()f x 。 (四) 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数,对一切x R ∈,均有()(2)0f x f x ++=,当11x -≤≤时,()21f x x =-,求当13x <≤时,函数()f x 的解析式。 (五) 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=,求()f x (六) 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?- ,求[()]f g x 的解析式函数定义域值域求法十一种
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