数学定义域和值域

函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

经典例题透析

类型一、函数概念

1.下列各组函数是否表示同一个函数？

(1)

(2)

(3)

(4)

小结1:相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)

2.求下列函数的定义域(用区间表示).

(1)；(2)；(3).

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3．值域: （先考虑其定义域）

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：

1.直接法:由常见函数的值域或不等式性质求出；

2.分离常数法：可将其分离出一个常数；

3.观察法：利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；

4.判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；

5.换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.

例题详见备课本

5. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

∵0e x > ∴01y 1y >-+

解得：1y 1<<-

故所求函数的值域为)1,1(-

例3. 求函数1x x y -+=的值域。

解：令t 1x =-，)0t (≥

则1t x 2+= ∵

43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知

当0t =时，1y m i n =

当0t →时，+∞→y

故函数的值域为),1[+∞

正确用判别式法求值域“着重点”辨析

用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点”一一加以辨析

着重点1 对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论

例1 求函数3

22122+-+-=x x x x y 的值域。 错解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （*）

∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ，解得

21103≤≤y 。 故所求函数的值域是]21,103[

分析 把21=y 代入方程（*）显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。事实上，21=y 时，方程（*）的二次项系数为0，显然用“?”来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。

正解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （*）

（1）当2

1=

y 时，方程（*）无解； （2）当2

1≠y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ，解得2

1103<≤y 。 由（1）、（2）得，此函数的值域为)21,103[ 着重点2 将原函数转化为方程时应等价变形

例2 求函数1++=x x y 的值域。（把题目中的x+1改成减）

错解 移项平方得：()011222=+++-y x y x ，

由()014)]12([22≥+---=?y y 解得43

≥y ，则原函数的值域是??

????+∞,43. 分析 由于1-=-x x y 平方得()011222=+++-y x y x ，这种变形不是等价变

形，实际上扩大了x 的取值范围，如果从原函数定义域1≥x ，那么11≥++

=x x y ，显然??

????+∞∈,43

y 是错误的。

正解 令1-=x t ，则t ≥0，得12+=t x ，∴432112

2+??

? ??+=++=t t t y ， 又 t ≥0，∴143210122=+??? ?

?+≥++=t t y ， 故原函数的值域为[)+∞∈,1y

着重点3 力求先化简，不盲目用判别式法

当用分子分母有公因式时，不能转化为二次方程再用判别式法，而应先约去公因式 例3 求函数1

222--+=x x x y 的值域 错解 1

222--+=x x x y )1(±≠x ----------------------① ∴222-+=-x x y yx ，即()0212=+---y x x y ---------②

当01=-y ，即1=y 时，由②得1=x （舍去），∴1≠y ；

当01≠-y 即1≠y 时，()()02141≥+---=?y y x 得()0322

≥-y , ∴R y ∈。 综上可述，原函数的值域为{y |1≠y 且R y ∈}。

分析 事实上，当23=y ，即1

222--+x x x =23时，解得1=x ，而当1=x 时原函数没有意义，故2

3≠y 。错误的原因在于，当1=x 时，()212+---y x x y 的值为零，所以1=x 是方程②的根，但它不属于原函数的定义域，所以方程②与方程①不同解，故函数

1

222--+=x x x y 不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通。 正解 原函数可化为y =)1)(1()1)(2(+--+x x x x =)

1()2(++x x )1(±≠x ，即111++=x y )1(±≠x , 11+x 0≠，1≠∴y 且2

3≠y 故原函数的值域为{y |1≠y 且23≠

y }。