高中数学必修四第一章第5节正弦函数的性质与图像
2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第一章§5.1正弦函数的图像 Word版含答案
§5 正弦函数的性质与图像5．1 正弦函数的图像1．问题导航(1)用“五点法”作正弦函数图像的关键是什么？(2)利用“五点法”作y ＝sin x 的图像时，x 依次取－π，－π2，0，π2，π可以吗？(3)作正弦函数图像时应留意哪些问题？ 2．例题导读P 27例1.通过本例学习，学会用五点法画函数y ＝a sin x ＋b 在[0，2π]上的简图． 试一试：教材P 28练习题你会吗？1．正弦函数的图像与五点法(1)图像：正弦函数y ＝sin x 的图像叫作正弦曲线，如图所示．(2)五点法：在平面直角坐标系中经常描出五个关键点(它们是正弦曲线与x 轴的交点和函数取最大值、最小值时的点)：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线顺次将它们连接起来，得到函数y ＝sin x 在[0，2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法为“五点法”．(3)利用五点法作函数y ＝A sin x (A >0)的图像时，选取的五个关键点依次是：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，A ，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－A ，(2π，0)． 2．正弦曲线的简洁变换函数y ＝sin x 与y ＝sin x ＋k 图像间的关系．当k >0时，把y ＝sin x 的图像向上平移k 个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像； 当k <0时，把y ＝sin x 的图像向下平移|k |个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像．1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．( )(2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．( )(3)用五点法作函数y ＝－2sin x 在[0，2π]上的图像时，应选取的五个点是(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，－2，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，0)．( )(4)将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x 轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．( )解析：(1)正确．观看正弦函数的图像知y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点． (2)正确．观看正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．(3)正确．在函数y ＝－2sin x ，x ∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－2，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，0)．(4)正确．当x ∈[－π，π]时，y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥0，－sin x ，sin x <0，于是，将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像翻折到x 轴上方即可得函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像时，下列点不是关键点的是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C ．(π，0) D ．(2π，0)解析：选A.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，五个关键点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0)．3．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．解析：0＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.答案：5π4．(1)正弦曲线在(0，2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________．(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像外形________，位置________．(填“相同”或“不同”)解析：(1)由正弦曲线知，正弦曲线在(0，2π]内最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1.(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像，外形相同，位置不同．答案：(1)⎝⎛⎭⎫π2，1 ⎝⎛⎭⎫3π2，－1(2)相同 不同1．y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈R 的图像间的关系(1)函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像是函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像的一部分．(2)由于终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0的图像与函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像外形完全全都，因此将y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像．2．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点(1)“几何法”的实质是利用正弦线进行的尺规作图，这样作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”的实质是在函数y ＝sin x 的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的外形．(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的状况下常用此法，要切实把握好．另外与“五点法”作图有关的问题经常消灭在高考试题中．3．关于“五点法”画正弦函数图像的要点 (1)应用的前提条件是精确度要求不是太高． (2)五个点必需是确定的五点．(3)用光滑的曲线顺次连接时，要留意线的走向，一般在最高(低)点的四周要平滑，不要消灭“拐角”现象．(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”．用五点法作正弦型函数的图像用五点法画函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图． (链接教材P 27例1) [解] 步骤：①列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 y－11－1－3－1②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－3，(2π，－1)．③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图，如图所示．方法归纳作形如函数y ＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]的图像的步骤1．(1)函数f (x )＝a sin x ＋b ，(x ∈[0，2π])的图像如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]B ．f (x )＝sin x ＋12，x ∈[0，2π]C ．f (x )＝32sin x ＋1，x ∈[0，2π]D ．f (x )＝32sin x ＋12，x ∈[0，2π](2)用五点法作出下列函数的简图．①y ＝2sin x ，x ∈[0，2π]； ②y ＝2－sin x ，x ∈[0，2π]．解：(1)选A.将图像中的特殊点代入f (x )＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]，不妨将(0，1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.5代入得⎩⎨⎧a sin 0＋b ＝1，a sin π2＋b ＝1.5，解得b ＝1，a ＝0.5，故f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]． (2)①列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2sin x2－2描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．②列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x21232描点并将它们用光滑的曲线连接，如图：利用正弦函数的图像求函数的定义域求函数f (x )＝lg (sin x )＋16－x 2的定义域． (链接教材P 30习题1－5 A 组T 4)[解] 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图像，如图所示．结合图像可得：该函数的定义域为[－4，－π)∪(0，π)． 方法归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观看得到，同时要留意区间端点的取舍．有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般状况．2．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域.解：为使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0⇔0<sin x ≤12.依据正弦曲线得，函数定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π6，2k π＋π，k ∈Z .利用正弦函数的图像确定方程解的个数在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图像，依据图像推断出方程sin x ＝lg x 的解的个数． (链接教材P 30习题1－5 A 组T 1(1))[解] 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，再依次向右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图像．作出y ＝lg x 的图像，如图所示．由图像可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．若本例中的函数y ＝lg x 换为y ＝x 2，则结果如何？解：在同始终角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝sin x 的图像，如图所示．由图知函数y ＝x 2和y ＝sin x 和图像有两个交点，则方程x 2－sin x ＝0有两个根． 方法归纳方程根(或个数)的两种推断方法(1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．(2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图像，利用对应函数的图像，观看与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．②转化为两个函数，分别作这两个函数的图像，观看交点个数，有几个交点原方程就有几个根．3．(1)函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 的图像的交点有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 (2)争辩方程10sin x ＝x (x ∈R )根的个数．解：(1)选B.在同始终角坐标系中作出函数y ＝2sin x 与y ＝x 的图像，由图像可以看出有3个交点．(2)如图所示，当x ≥4π时，x 10≥4π10>1≥sin x ；当x ＝52π时，sin x ＝sin 52π＝1，x 10＝5π20，1>5π20，从而x >0时，有3个交点，由对称性知x <0时，有3个交点，加上x ＝0时的交点为原点，共有7个交点．即方程有7个根．思想方法数形结合思想的应用求满足下列条件的角的范围．(1)sin x ≥12；(2)sin x ≤－22.⎝⎛⎭⎫0，12作x 轴[解] (1)利用“五点法”作出y ＝sin x 的简图，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，12两的平行线，在[0，2π]上，直线y ＝12与正弦曲线交于⎝⎛⎭⎫π6，12，点．结合图形可知，在[0，2π]内，满足y ≥12时x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6≤x ≤5π6.因此，当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .(2)同理，满足sin x ≤－22的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5π4＋2k π≤x ≤74π＋2k π，k ∈Z . [感悟提高] 形如sin x >a (<a )的不等式，求角x 的范围，一般接受数形结合的思想来解题，具体步骤： (1)画出y ＝sin x 的图像，画直线y ＝a .(2)若解sin x >a ，则观看y ＝sin x 在直线y ＝a 上方的图像．这部分图像对应的x 的范围，就是所求的范围． 若解sin x <a ，则观看y ＝sin x 在直线y ＝a 下方的图像．这部分图像对应的x 的范围，就是所求的范围．1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图像是( )解析：选B.利用五点法画图，函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的图像肯定过点(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，1)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，1)，故B 项正确．2．已知点M ⎝⎛⎭⎫π4，b 在函数f (x )＝2sin x ＋1的图像上，则b ＝________．解析：b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4＋1＝2.答案：23．若函数f (x )＝2sin x －1－a 在⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝0得2sin x ＝1＋a .作出y ＝2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的图像，如图所示．要使函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个零点，需满足3≤1＋a <2，所以3－1≤a <1.答案：[3－1，1), [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．关于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．关于原点对称 B ．有最大值1C ．与y 轴有一个交点D ．关于y 轴对称解析：选D.正弦函数y ＝sin x 的图像如图所示．依据y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知A ，B ，C 均正确，D 错误． 2．函数y ＝sin x 的图像与函数y ＝－sin x 的图像关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选A.在同始终角坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 在[0，2π]上的图像，可知两函数的图像关于x 轴对称．3．下列函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x解析：选D.对A ，由于y ＝sin(x ＋π)＝－sin x ，故排解A ；对B ，由于y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，故排解B ；对C ，由于y ＝sin(－x )＝－sin x ，故排解C ；对D ，由于y ＝sin(2π＋x )＝sin x ，故选D.4.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )解析：选D .当x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，故排解A 、B 、C ，选D .5．函数y ＝x sin x 的部分图像是( )解析：选A .函数y ＝x sin x 的定义域为R ，令f (x )＝x sin x ，则f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )为偶函数，排解B 、D ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，故排解C ，故选A.6．在[0，2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．解析：在同始终角坐标系内作出y ＝sin x 和y ＝22的图像如图，观看图像并求出交点横坐标，可得到x的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π.答案：⎣⎡⎦⎤π4，34π7.函数y ＝sin x 的图像和y ＝x2π的图像交点个数是________． 解析：在同始终角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：由图可知交点个数是3.答案：38.已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图像知，－1≤sin x ≤1， 即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2. 答案：0≤m ≤29.用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)列表，如表所示：x 0 π2 π 32π 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝3－sin x32343(2)描点，连线，如图所示．10.若函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π，作出函数的图像如图：由图可知当1<k <3时函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点． [B.力量提升]1．若y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，2π3，则函数的值域为( )A.⎝⎛⎭⎫22，1B.⎣⎡⎦⎤22，1 C ．(1，2] D ．[1，2]解析：选B.画出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3的图像如图所示，可知y ∈⎣⎡⎦⎤22，1.2．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x(0<x <π)，下列结论正确的是( ) A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值也无最小值解析：选B.f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋asin x.由于0<x <π，所以0<sin x ≤1.所以1sin x≥1.所以1＋asin x ≥a ＋1.所以f (x )有最小值而无最大值． 故选B.3．已知f (sin x )＝x 且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________．解析：由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ＝12时，x ＝π6，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6＝π6.答案：π64．若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________． 解析：不妨设△ABC 中，0<A ≤B ≤C ， 得0<A ≤B ，且0<A ≤C ，所以0<3A ≤A ＋B ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π， 所以0<3A ≤π，即0<A ≤π3.若x 为三角形中的最小角，则0<x ≤π3，由y ＝sin x 图像知y ∈⎝⎛⎦⎤0，32.答案：⎝⎛⎦⎤0，325．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观看函数图像，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值范围． 解：列表如下：x －π －π2 0 π2 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x131－11描点连线得：(1)由图像可知图像在y ＝1上方部分时y >1，在y ＝1下方部分时y <1， 所以当x ∈(－π，0)时，y >1；当x ∈(0，π)时，y <1.(2)如图所示，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1. 所以a 的取值范围是{a |1<a <3或－1<a <1}．6．(选做题)已知函数y ＝f (x )为奇函数，且是⎝⎛⎭⎫－12，12上的减函数，f (1－sin α)＋f (1－sin 2α)<0，求α的取值范围．解：由题意可知f (1－sin α)<－f (1－sin 2α)． 由于f (x )是奇函数，所以－f (1－sin 2α)＝f (sin 2α－1)，所以f (1－sin α)<f (sin 2α－1)．又由f (x )是⎝⎛⎭⎫－12，12上的减函数， 所以⎩⎨⎧－12<1－sin α<12，－12<sin 2α－1<12，1－sin α>sin 2α－1，所以⎩⎨⎧12<sin α<32，12<sin 2α<32，sin 2α＋sin α－2<0，解得22<sin α<1， 所以2k π＋π4<α<2k π＋π2(k ∈Z )或2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z )，所以α的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )．。
《正弦函数的性质》公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】
新知讲解
正弦函数y=sinx的性质：
（1）定义域: 实数集R
（2）值域： [-1,1]
当x=
p 2kp
2
时， ymax=1
当x=
p 2kp
2
时，ymin=-1
p （3）周期: 2kp 2 最小正周期：
两段常用的图像：
y
0p
2p x
y
p
2
p
3p 2
p
x
2
新知讲解
（4）正弦函数的单ຫໍສະໝຸດ 性 y-(2kπ,2kπ+π) k ∈Z
2.函数y=2+sinx在区间-----p2--2-kp-, -p2 --2k-p-,-k--Z----上是增加的，在区 间y取-最--大-p2-值-2-kp--,--32p-3--- --2k；-p-,当-k -x-Z=----------上2-kp-是--减3-p-少,-(-的k--；Z-)当---x-=-时--，--y2-取kp--最-p2小-（,-k值----Z--）1------。--时
xR 3
1
5p 22
3p
-
2
o p 2
p 2
-1
y=sinx
(x
p
2
,
3p
2
x
3p
2
2
5p 2
3
7p 2
4
)
增区间为 [p2p22kp，, p2p2 2]kp , k Z 其函数值从-1增至1
减区间为
p2[
2pkp，, 33pp
2 22
]2kp
, k
Z
其函数值从
1减至-1
新知讲解
（5）正弦函数的奇偶性 正弦函数为奇函数
数学必修四北师大版 1.5 正弦函数的性质与图象 (共16张PPT)
简图作法
(1) 列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
函数 ysixn(xR)图像
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图像在……，
4,2 ,2,0,0,2, 2,4,…与y=sinx,x∈[0,2π]的图像相同
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
函数 y six ,n x 0 ,2图像的几何作法
作法: (1) 12等分圆
y
(2) 作正弦线
(3) 平移正弦线
1-
P1
p
/ 1
(4) 连线
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/132021/8/132021/8/132021/8/138/13/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月13日星期五2021/8/132021/8/132021/8/13 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/132021/8/132021/8/138/13/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/132021/8/13August 13, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/132021/8/132021/8/132021/8/13
人教A版高中数学必修四1.3.1正弦函数的图像与性质教学课件 (共15张PPT)
解: 列表
x
0
2
sin x
0
1
1sin x 1 2
描点作图
3 2
2
0
1 0
1
01
y
21-
o
2
3
2
2
x
1 -
五、归纳小结
1.正弦函数y=sinx的几何画法:
等分
作正弦线
平移
连线
2.正弦函数y=sinx的五点法作图:
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
二、概念形成
概念1：正弦函数的定义 研究三角函数，通常我们用弧度制来表示角，
记为x（实数，x rad）表示自变量，用y表示函数 值。于是：
正弦函数表示为： y sin x
由三角函数的定义，函数y=sinx的定义 域是实数集R
三、图像
概念2：正弦函数的图像
为什么研究 此范围？
y
y sin x, x 0, 2
书少成天勤什 劳才功山么小才的就=有艰孩是也不在苦子百路不展分学于的勤之望问劳习勤一为未动的，的来径奋+老灵,正人，感确学来努什但，的懒百海么徒力方惰分无法也的之伤才+孩崖九学少悲能子十苦谈享不九成空作受的到话现汗舟功!在水!！! !！!!
普通高中课程标准实验教科书(必修4)
1.4.1正弦函数的图像与性质
3.正弦函数y=sinx的性质:
（1）定义域；（2）值域；（3）最值；（4）奇偶性；（5）单调性
四、正弦函数的性质
4
3
2
7 2
5
3
2
2
y 1
高中数学北师大版必修4第1章5《正弦函数的图像与性质》ppt课件
(2)由1si－nxs－in1x≥ ≥00， ， 得 sinx＝1， 故 f(x)＝0，x∈{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}． ∴函数 f(x)＝ 1－sinx＋ sinx－1是非奇非偶函数．
正弦函数单调性及应用
求函数y＝log1 sinx的单调递增区间．
2
[思路分析] 解答时，可先分析sinx>0，得出相应的x的范
第一章 三角函数
第一章 §5 正弦函数的图像与性质
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课时作业
课前自主预习
将塑料布扎一个小孔，做成一个漏 斗，再挂在架子上，就做成一个简易的单 摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画 一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上 细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同 时匀速拉动纸板，看到纸板上形成一条曲 线，本节我们就学习与此曲线有关的正弦 函数曲线．
[答案] [解析]
3
2 由f(x)的最小正周期是π，知f(
5π 3
)＝f(
2π 3
)＝f(－
π3)．由f(x)是偶函数知f(－π3)＝f(π3)．
又当x∈[0，π2]时，f(x)＝sinx，∴f(53π)＝f(－π3)＝f(π3)＝sinπ3
＝
3 2.
课堂典例讲练
正弦函数的图像
利用“五点法”画函数y＝－sinx－1(0≤x≤2π)的 图像．
[规律总结] 判断函数的奇偶性时，必须先看定义域是否 关于原点对称．若定义域关于原点对称，再验证f(－x)与f(x)的 关系．当f(－x)＝f(x)时，f(x)为偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，f(x) 为奇函数；当f(－x)不等于f(x)，也不等于－f(x)时，f(x)为非奇 非偶函数．即三角函数的性质研究同一般函数性质研究方法相 同．
数学-北师大版-高中-必修4-第1章-第5节正弦函数的图像与性质 课件(共30张ppt)
点评：对可化为形如“y＝asin2x＋bsinx＋c”或“y＝acos2x＋bcosx＋ c”或“y＝atan2x＋btanx＋c”的函数可以利用换元法将其化为二次函 数的最值问题解决．求三角函数式的最值常采用以下方法： (1)借助正弦函数的有界性、单调性． (2)转化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的形式． (3)转化为关于 sinx(或 cosx)的二次函数．
(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线．“五点法”作正弦函数图象的
五个点是(0,0)、π2，1、(π，0)、32π，－1、(2π，0)． (2)作正弦函数图象的方法有二：一是描点法；二是利用正弦线来
画的几何法．
(3)作正弦函数的图象可分为两步：一是画出 y＝sinx，x∈[0,2π] 的图象，二是把这一图象向左、右连续平行移动(每次 2π 个单位长度).
类型一 “五点法”作正弦函数的图象 【例 1】 用“五点法”画出下列函数的图象： (1)y＝2－sinx，x∈[0,2π]； (2)y＝12＋sinx，x∈[0,2π]． 思维启迪：按列表、描点、连线的步骤作图象，抓住关键点，另 外注意曲线凹凸的方向．
解析：按五个关键点列表如下：
x
0
π 2
π
3π 2
解析：要使 y＝ 2sinx＋1有意义，则必须满足 2sinx＋1≥0，即 sinx≥－12.
结合正弦曲线或单位圆，如图所示：
知函数 y＝ 2sinx＋1的定义域为 x2kπ－π6≤x≤2kπ＋76π，k∈Z .
点评： (1)求与三角函数有关的函数定义域，对于自变量必须满足： ①使三角函数有意义． ②分式形式的分母不等于零． ③偶次根式的被开方数不小于零． (2)三角函数定义域的求法：求三角函数定义域时，常常归结为解 三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数 线直观地求得解集．
数学必修四北师大版 1.5 正弦函数的性质与图象(共17张PPT)
前面我们借助单位圆学习了正 弦函数y=sin x的基本性质，下面 画出正弦函数的图像，然后借助正 弦函数的图像，进一步研究它的性 质.
从单位圆看正弦函数的性质
sin α= v
-1
y函数y=sinx
1
正弦函数y=sinx有 以下性质：
（1）定义域：R
P(u,v) （2）值域：[-1，1]
7 4 3 5 11 2
6 32 36
三、五点法
y 图像的最高点( ,1)
1-
2
3 2
-1 O
( ,0)
2
-1 -
图像的最低点
x
2
与x轴的交点 (0,0) ( ,0) (2 ,0)
简图作法
(
3 2
,1)
(1)列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标). (2)描点(定出五个关键点). (3)连线(用光滑的曲线顺次连接五个点).
π 2
3π 2
2
y=sinx 0 1 0 -1 0
y=sinx
0 -1 0
1
0
y
1
.
O
-1
.2
.y= -sinx, x[0, 2 ]
.
.
3
2
x
2
y s i n x ,x [ 0 , 2 π ]
例2.用五点法画出y=1+sinx在区间[0,2π]上的简图. 解：列表
x0 y=sinx 0 1 y=1+sinx
α
（3）是周期函数，
o
M 1 x 最小正周期是 2
（4）在[ 0，2 ]上 的单调性是：
-1
提出问题
1、画函数的图像有哪些方法?
正弦函数的图像和性质
x
y
1
-1
如何画出正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象呢？
思考与交流:图中,起着关键作用的点是那些?找到它们有什么作用呢?
找到这五个关键点,就可以画出正弦曲线了!
如下表
x
y=sin x
0
0
1
0
-1
0
．
．
．
．
x
y
0
π
．
2π
1
-1
x
．
．
．
．
．
五点法
五点：最高点、最低点、与 x 轴的交点
例题分析
x
y=sin x
y=-sin x
0
0
1
0
-1
0
0
-1
0
1
0
．
．
．
．
x
y
0
π
．
2π
1
-1
x
描点得y=-sin x的图象
y=sin x x∈[0,2π]
y=-sin x x∈[0,2π]
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。
(1)y=-sin x; (2)y=1+sin x.
函数y=sinx
5.2正弦函数的图像
1、正弦线
设任意角 的终边与单位圆交于点P，过点p做x轴的垂线，垂足M，称线段MP为角 的正弦线
1
-1
0
y
x
●
●
●
正弦函数y=sinx（x R)的图象
y=sinx ( x [0, ] )
●
●
●
●
●
●
●
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5．2 正弦函数的图像
[学习目标] 1．了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法． 2 ．掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点
法”作出简单的正弦曲线．
[知识链接]
1．作函数图像最基本的方法是什么？其步骤是什么？ 答 作 函数图像最基本的方法是描点法，其步骤是列表、 描点、连线．
0 －1 1
－sin x 0 －1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，如图
(2)将 y＝ 1－cos2x化为 y＝|sin x|， 即
sin x2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z， y＝ －sin xπ＋2kπ<x<2π＋2kπ，k∈Z.
其图像如图
要点二
正弦函数图像的应用
例2
解
在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图像，根
－1＋sin x －1 0 －1 －2 －1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图所示)．
规律方法
作正弦函数的曲线要理解几何法作图，掌握五点
法作图．“五点”即y＝sin x的图像在一个最小正周期内的最 高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用 方法．
跟踪演练 1 (1)作出函数 y＝－sin x(0≤x≤2π)的简图； (2)作出函数 y＝ 1－cos2x的图像． 解 (1)列表： x sin x 0 0 π 2 1 π 3π 2 2π 0 0
建 立 坐 标 系 xOy ， 先 用 五 点 法 画 出 函 数 y ＝ sin x ，
据图像判断出方程sin x＝lg x的解的个数． x∈[0,2π]的图像 ，再依次向左 、右连续平移 2π 个单位 ，得 到y＝sin x的图像． 1 描出点10，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到 y＝lg x
的图像，如图所示．
由图像可知方程sin x＝lg x的解有3个．
规律方法
三角函数的图像是研究函数的重要工具，通过图
像可较简便地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．
跟踪演练2 研究方程10sin x＝x(x∈R)根的个数．
x 4π 5 解 如图所示，当 x≥4π 时，10≥10>1≥sin x；当 x＝2π 时， 5 x 5π 5π sin x＝sin π＝1， ＝ ，1> ，从而 x>0 时，有 3 个交点， 2 10 20 20 由对称性知 x<0 时，有 3 个交点，加上 x＝0 时的交点为原点， 共有 7 个交点．即方程有 7 个根．
(3)利用五点法作函数 y＝Asin x(A>0)的图像时，选取的五个关 键点依次是：
(0,0)
π ，2，A，
(π，0)
3 ，2π，－A， (2π，0)
．
2．正弦曲线的简单变换 (1)函数y＝－sin x的图像与y＝sin x的图像关于 x轴 对称；
(2)函数y＝sin x与y＝sin x＋k图像间的关系．
③连线时一定要用光滑的曲线连接，防止画成折线．
[预习导引] 1．正弦函数图像的画法 (1)几何法－借助正弦线； (2)描点法－五点法． 函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图像上起关键作用的点有以下五
π 3 (π ， 0) (0,0) 个： ，2，1， ，2π，－1， (2π，0) ．
规律方法
一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地
观察得到，同时要注意区间端点的取舍．有时，利用图像先
写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般情况．
跟踪演练 3 求函数 f(x)＝ 2sin x－1的定义域． 1 解 由题意，2sin x－1≥0，sin x≥2. 画出 y＝sin x 在[0,2π]上的图像，
2．描点法画图像的关键有哪些？
答 (1)列表时，自变量 x 的数值要适当选取
①在函数定义域内取值；②由小到大的顺序取值；③取 的个数应分布均匀； ④应注意图形中的特殊点(如：端点，交点，顶点)；⑤尽 量取特殊角．
(2)描点连线时应注意：
①两坐标轴上的单位长度尽可能一致，以免改变图像的 真实形状；
②变量x，y数值相差悬殊时，也允许采用不同长度单位；
π 5 1 1 可 看 出 y≥ 时 x 的 范 围 为 6，6π ， ∴ sin x≥ 的 解 集 为 2 2 π 5 2kπ＋ ，2kπ＋ π(k∈Z)， 6 6
即函数
π 5 f(x)的定义域为2kπ＋6，2kπ＋6π(k∈Z)．
再见
当k>0时，把y＝sin x的图像向 y＝sin x＋k的图像； 当k<0时，把y＝sin x的图像向 y＝sin x＋k的图像． 下 平移k个单位得到函数
上
平移|k|个单位得到函数
要点一 例1
用“五点法”作正弦函数的图像
利用“五点法”作出 y＝－1＋sin x (x∈[0,2π])的简图．
解 按五个关键点列表： x sin x 0 0 π 2 1 π 0 3π 2 －1 2π 0
要点三 利用三角函数图像求定义域 例 3 求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x2的定义域． 解 由题意，x
－4≤x≤4 即 sin x>0 sin x>0 满足不等式组 2 16 － x ≥0
，
，作出 y＝sin x 的图像，如图所示．
结合图像可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．