概率论与数理统计PPT课件第三章随机向量及其独立性习题课
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概率论与数理统计课件第三章ppt
Y X
y1
y2
...
yj
… pi·
x1 p11 p12 … p1 … p1·
x... 2 p... 21 x... i p... i1
p· p·1
p... 22 p... i2
p·2
…j
… p2
… j...
… …
p...pi·jj
… … … …
…
p... 2· p... i ·
1
j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个，
设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函 数和联合概率密度分别为F(x,y)和 f(x,y),则
f X
(x)
d dx
FX
(x)
f (x, y)dy
fY
( y)
d dy
FY
(
y)
f
(x,
y)dx
分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度
函数，简称边缘概率密度。
例2. 设(X,Y)的分布密度是
e(xy) , x 0, y 0
3.1
例1.甲乙掷色子,观察点数。
w1i={甲掷i点} w2j={乙掷j点}
X,Y (i, j)
i,j=(1,2,…,6)
二维随机变量的定义
对于随机试验E，Ω是其样本空间。X(w) 和 Y(w)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量, 由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量 或二维随机向量。
y
w.
Y X
y1
y2
...
yj
…
x1 p11 p12 x... 2 p... 21 p... 22
x... i p... i1 p... i2
3-1概率论与数理统计PPT课件
随机变量的分布包含两个部分： 取哪些值？ 取这些值相应的概率是多少？
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
概率论与数理统计课件(PPT)
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
目录
• • • • • • 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量 第三章 随机变量的数字特征 第四章 样本及抽样分布 第五章 参数估计 第六章 假设检验
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
1.定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中 的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数
P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
N ( A) P( A) N ()
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
1.1随机事件及其概率
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
目录
• • • • • • 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量 第三章 随机变量的数字特征 第四章 样本及抽样分布 第五章 参数估计 第六章 假设检验
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
1.定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中 的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数
P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
N ( A) P( A) N ()
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
1.1随机事件及其概率
概率论与数理统计(浙大版)第三章PPT参考课件
X,Y的边缘分布律为：
记为
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == pgj j 1, 2,L
i 1
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pig i 1, 2,L
j 1
注意：
X Y y1
(1) 0 pij 1
(2) pij 1
ij
2020/2/15
(2)表格法
X Y y1 y2 y3
x1 p11 p12 p13 x2 p21 p22 p23
(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值规律
P((X ,Y ) G)
pij
( xi , yj )G
1 2
4 x(1
2x)dx
1
1
1
0
23 6
2020/2/15
21
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数
其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数
记为：
称为边缘分布函数。
FX (x)，FY ( y)，
F(x, y),
FX (x) F(x, )
事实上，
FY ( y) F(, y)
i 1,2, , m, ; j 1,2, , n,
中心问题：(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少？
2020/2/15
二维（X，Y）的联合分布律:
(1)公式法
p( xi , yj ) P( X xi ,Y yj ) pij
pij的 性 质 ：
(i, j 1,2, )
p2 p2 j
概率论与数理统计课件(1PPT课件
1.生日问题：n个 人的班级里没有 两人生日相同的 概率是多少？
10
第10页/共129页
理学院李建峰
概率论与数理统计课件
三、概率的几何定义
Definition 1.8 若试验具有下列两个特征：
样本空间的元素有无限个；
每个样本点的发生具有某种等可能性.
则称此试验为几何概型试验。
Definition 1.9 设试验的每个样本点是等可能落 入区域Ω上的随机点M ，且D ( Ω ) ，则M点落 入子区域D(事件A)上的概率为:
乘法原理:设完成一件事需分两步,第一步有n1种 方法,第二步有n2种方法,则完成这件事共有n1n2 种方法.
从n个中抽取k个的排列组合公式:
排列:Pkn=Akn(无重复) ,nk(有重复); 组合:Ckn
Note:
李
建
峰
1.计算时一定要认清 试验结果(基本事件) 是等可能性的本质. 例：掷二枚骰子,求 事件A为出现点数之
Note:
李
建
峰
1.牵涉到排列组合 的概率问题一般 都是古典概型， 可按定义求解概 率。
Example 1.5 一口袋装有 a 只白球,b 只红球,求 无放回取球中第k次取出的是白球的概率.
2. 抽签原理：抽 到签与抽签的次 序无关。
Example 1.6 设有 N 件产品,其中有 M 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k M ) 件次 品的概率是多少(不放回抽样)?
推广到多个事件：当P(A1A2…An-1)>0时， P(A1A2… An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)… P(An|A1A2…An-1)
Example 1.14 小明忘记电话号码的最后一个数 字，因而任意地按最后一个数，试求： ⑴不超过三次能打通电话的概率；
概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,则 相容
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
P(A 1)P(A 2)P(A n).(有限)可
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,则 相容
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
P(A 1)P(A 2)P(A n).(有限)可
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
【学习课件】第三章概率论与数理统计
解 确定随机变量的取值：
及F(2,2).
p i j P Xi,Yj
F ( x , y) = P { X x , Y y}
{ P X { X i , Y i } j } { Y { X j } i } { Y j } pij
P Y j|X iP X i
xi x yjy
为 X, Y的 分 布 函 数 ， 或 X与 Y的 联 合 分 布 函 数 。
X x ,Y y X x Y y
几 何 意 义 ： 分 布 函 数 Fx0,y0表 示 随 机 点 X,Y落 在 区 域
x,y,xx0,yy0
中 的 概 率 。 如 图 阴 影 部 分 所 示 ：
y
x0, y0
X＝xi ,Y y j
P X＝xi
pij , j＝1, 2, pi
为给定条件X xi时，Y的条件概率分布律。
3、条件概率分布律
给定条件Yyj时，X的条件概率分布律记作：
X|Yyj
P X＝xi |Yyj
pij ,i＝ 1, 2, pj
X |Y yj
P X |Y y j
x1
p1 j
X , Y ～P X＝xi, Y＝y j pij , i, j＝1, 2,
则称 P X＝xi | Y y j
P X＝xi ,Y y j P Y＝y j
pij , i＝1, 2, p j
为给定条件Y y j时，X的条件概率分布律；
P Y＝y j | X＝xi
P
= limPX x,Y y lim Fx, y
y
y
0, x 0; =x2, 0 x 1;
1, 1 x.
FYy PY yPX ,Y y
= limPX x,Y y limFx, y
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m0 m!(nm)!
P(Xn)m n 0e14 (7 m .1!(n )4m (6 m .8 )!)6nm
e 14n n!
(7 .1)m 4 (6 .8)n 6 m
n! m 0m !(nm )!
en 1 !4m n 0Cn m(7.1)4 m(6.8)6 nm
e14(7.146.86)n e14 (14)n,
n!
n!
n0,1,2,.
以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记
其中的男婴个数.
P(Ym)P(Xn,Ym)
n
e14 (7.1)4m(6.8)6nm nm m !(nm)!
e14(7.1)4m(6.8)6nm
m !
nm(nm)!
（k令 nm）
P(Ym)e14(7.1)4m(6.8)6nm
m !
nm(nm)!
c1[x2(2x)/2]dx 0
= 5c/24=1 c =24/5
o
x1 x
f(x ,y) 4 .8y(2 0 x ,),0x 1 其 ,0y 它 x
(2)
fX(x)f(x,y)dy
当 x 0 或 x 1 时 ,f X ( x ) 0 . y
yx
当 0x1时 ,
x
fX(x)04.8y(2x)dy
f(x,y)10,,
xy, 0y1 其它
1x,1 x0 fX(x)1x, 0x1
0, 其他.
fY(y)f(x,y)dx
y
yx
yx
当0y1时 ,
1 y 1
x
y
fY ( y)
1d y 2y
y
o
当 y0或 y1时 ,fY(y)0.
2y, 0y1
fY(y)
0,
其他 .
f(x,y)10,,
xy, 0y1 其它
C
2 6
2 pj
C
2 3
C
2 5
C
2 6
C
2 6
0
C
1 1
C
1 5
C
2 6
C
2 3
1
C
2 6
1只白球，2只黑球，3只红球，任取2只球， X与Y分别表示取到的红球数与白球数.
(3 )P (X 1 ,Y 1 )
1 P (X 2 ,Y 0 )
1
C
2 3
C
2 6
4
5
1只白球，2只黑球，3只红球，任取2只球， X与Y分别表示取到的红球数与白球数.
G2 G
111
1
2
1
2
1
2
1
1
8 3
1 6
2 24
y x1
12
o
yx
y 1
y1 2
x
11. 随机变量X和Y相互独立，其密度分别为
ex,x0
ey,y0
fX(x) 0 ， 其它 fY(y) 0 ， 其它
参 , 数 0 ， 且 ，
引入随机变量Z
y
yx
Z 10,,当 当XXYY
o
x
求Z的分布律.
3
当 1z3时 ,
z
z 3x
3
(1,3)
zx
1
z
fz(z) z1dx 1 3
3
1
(1,1)
o
x 1
x
解2
fZ(z)f(zy,y)dy
f(x,y) 1,00 ,x1,0其 y2x它
3y2z
f(zy,y) 1 ,0 0 z ,y 1 ,0y 其 2 (z 它 y)
解2
fZ(z)f(zy,y)dy
从中随机地任取2只球，随机变量X与Y分别
表示取到的红球数与白球数. （1）求X与Y的联合分布律； （2）求（X,Y）的边缘分布律；
（3）求P (X 1 ,Y1 ).
X 01
Y
0
C
2 2
C
1 3
C
1 2
C
2 6
C
2 6
1
C
1 1
C
1 2
C
1 3
C
1 1
C
2 6
C
2 6
pi
C
2 3
C
2 6
C
1 3
C
1 3
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
P (X i,Y j) P (X i)P (Y j),
特别地，
i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
P ( X 1 , Y 2 ) P ( X 1 ) P ( Y 1 )
191319
2 9
,
又 1, 得 1.
3
9
3. 袋中装有1只白球，2只黑球，3只红球，
0,
其它
9. 设(X,Y)的概率密度是
f(x,y) 10,, 0x1,0y其 2x它
求
y
(1)X,Y的边缘概率密度; (2)判断X,Y是否相互独立；
x 1 y 2x
(1,2)
(3)Z = X+Y的概率密度.
o
1
x
解(1)
fX(x)f(x,y)dy
当 x0或 x1时 , fX(x)0
当 0x1时 ,
如下表所示
6. 以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记 其中的男婴个数. 设X和Y的联合分布律为 P(Xn,Ym )e1(47.1)4 m(6.8)6 nm,
m !(nm )!
m0,1,2,,n;n0,1,2,.
求边缘分布律.
解 P(Xn)P(Xn,Ym)
m
n
e14 (7.1)4m(6.8)6nm
P (mX ,a Y ) x0 )(P (X 0 ,Y 0 )
1 22
,
P (mX ,a Y )x 1 )(
P ( X 1 , Y 0 ) P ( X 0 , Y 1 ) P ( X 1 , Y 1 )
212 212 212
3 22
XY 0 1
0
1 22 1 22
1
1 22 1 22
解 由独立性
1,当X Y
f(x ,y ) fX (x )f Y (y ) Z0,当XY
exy,x0,y0
0,
其它
P { Z 1 } P { X Y } f(x, y)dxdy
xy
y
yx
y
dy
exydx
0
0
(
ey
y
exd)x dy
o
0
0
x
P { Z 1 } P { X Y }
(3) X与Y不相互独立.
1x,1 x0
fX(x)1x, 0,
0 x1 其他.
yx
y
1
yx y 1
2y, 0y1
fY(y)
0,
其他 .
o
x
1, xy,0y1
f(x,y)0,
其它
在图中阴 f(x,影 y)区 fX(x)域 fY(y)内 .
(4)
设G1
(x,
y)
x
1, 2
y
12.
G2
(x,
y)
当 z 0 或 z 3 时 ,f Z ( z ) 0 .
z
当 0z1时 ,
3
fZ(z)
2z
3 1dy
0
2z 3
1
当 1z3时 ,
2z
z
fz(z)
3 1dy
z1
1
3
o
3y 2z
z y1
(2,3)
zy
y
2z ,0 z 1 3
fZ
(z)
1
z 3
0,
,1
z 其他
3
10. 设(X,Y)的概率密度是
所 f ( x ,y ) 以 f X ( x ) f Y ( y ) 又 fX (x)2 1 π σe(x 2 σ a 2 )2, x ;
fY(y)21b, byb, 0, 其他 .
得f(x,y)1
1
(xa)2
e2σ2 ,
2b 2πσ
其 x 中 , b y b .
当 y b 时 , f(x ,y ) 0 .
o
x
f(x,y)dxdy1
y
yx
yx
1cdxdy
1 y1
G
x
c1dxdy
o
G
c SG
c121 c 2
故c1.
(2) fX(x)f(x,y)dy yx y
yx
当 1x0时 ,
1 y 1
1
fX(x)
1d y 1x
x
当0x1时 ,
o
x
fX(x)
1
1d y 1x
x
当 x1或 x1时 ,fX(x)0.
fX(x)20x,,0其 x它 1 y
x 1 y 2x
(1,2)
fY(y)12y,0 y2 0, 其它
f(x ,y ) fX (x )f Y (y ) o
1
x
在图中阴影区域内不成立， X与Y不相互独立.
(3) Z = X+Y, 求Z的概率密度.
f(x,y) 1,00 ,x1,0其 y2x它
fZ(z)f(x,zx)dx
c, xy,0y1
f(x,y)0,
其它(1)确定常数c；(2)求两个边缘密度;
(3)判断X与Y是否相互独立，说明理由.
(4)求 PX1Y1. 2 2
c, xy,0y1
f(x,y)0,
其它
解(1) 设 G { ( x ,y )x y ,0 y 1 }
y
yx