集合难题汇总

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集合问题17则

集合问题17则集合是数学中一个重要的概念，它是由一些确定的元素组成的整体。

在实际生活中，我们经常会遇到集合问题，如何正确地解决这些问题，是我们需要思考的问题。

本文将介绍17个常见的集合问题，并提供解答思路，有助于读者更好地理解和掌握集合问题的解法。

问题一：集合的定义集合是由一些确定的元素组成的整体，这些元素可以是数字、字母、图形等。

在数学中，我们用大括号{}表示一个集合，集合中的元素用逗号隔开。

例如，集合A={1,2,3,4}表示由1、2、3、4这四个元素组成的集合A。

问题二：集合的元素个数一个集合中元素的个数称为该集合的基数或元素个数。

用符号|A|表示集合A的元素个数。

例如，集合A={1,2,3,4}的元素个数为4，即|A|=4。

问题三：集合的子集如果一个集合A中的所有元素都是另一个集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。

用符号AB表示集合A是集合B的子集。

例如，集合A={1,2}是集合B={1,2,3,4}的子集。

问题四：集合的补集集合A对于它所在的全集U而言，未包含在集合A中的所有元素所组成的集合称为集合A的补集。

用符号A'表示集合A的补集。

例如，如果全集U={1,2,3,4}，集合A={1,2}，则集合A'={3,4}。

问题五：集合的交集两个集合A和B中共同存在的元素所组成的集合称为集合A和集合B的交集。

用符号A∩B表示集合A和集合B的交集。

例如，集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A和集合B的交集为{2,3}，即A∩B={2,3}。

问题六：集合的并集两个集合A和B中所有元素的集合称为集合A和集合B的并集。

用符号A∪B表示集合A和集合B的并集。

例如，集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A和集合B的并集为{1,2,3,4}，即A∪B={1,2,3,4}。

问题七：集合的差集集合A中除去与集合B的交集中的元素所组成的集合称为集合A 和集合B的差集。

高考数学压轴专题新备战高考《集合与常用逻辑用语》难题汇编及答案

【高中数学】《集合与常用逻辑用语》考试知识点一、选择题1．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A ．M N =B ．M NC ．N MD ．M N ⋂=∅ 【答案】C【解析】【分析】化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解.【详解】由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数，所以集合,M N 的关系为NM .故选：C .【点睛】本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( ) A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2 【答案】D【解析】【分析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分.【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<； ()1,2P Q ∴⋂=.故选：D.【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.3．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立，当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件．当m≠0时，则l 1∥l 2⇒32211m m m --=≠-，由321m m m -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由211m -≠-得m≠2，则m=1，即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件，故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.4．14a =-是函数2()1f x ax x =--有且仅有一个零点的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】将14a =-代入函数证明充分性，取0a =得到不必要，得到答案. 【详解】当14a =-时，2211()11042f x x x x ⎛⎫=---=-+= ⎪⎝⎭，2x =-，充分性；当0a =时，()10f x x =--=，1x =-，一个零点，故不必要.故选：A .【点睛】本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.5．已知命题:p “关于x 的方程240x x a -+=无实根”，若p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞ 【答案】B【解析】【分析】求出p 为真命题时，a 的取值，由充分不必要条件的性质，得出314m +>，即可得出答案.【详解】当p 为真命题时，1640a ∆=-<，即4a >令{|4}A a a =>，{|31}B a a m =>+因为p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，所以BA即314m +>，解得1m >故选：B【点睛】本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围，属于中档题.6．已知集合，则 ( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】由题意，集合，，再根据集合的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，，所以，故选C. 【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．已知命题:p m ∃∈R ，10+<m ，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>恒成立，若p ，q 至少有一个是假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[)2,1--B ．(],2-∞-C ．[]2,1--D ．[)1,-+∞【答案】B【解析】【分析】根据题意可判断命题p 为真命题，所以可得命题q 必定为假命题，进而得到参数的取值范围；【详解】因为p ，q 中至少有一个为假命题，而命题:p m ∃∈R ，10+<m 为真命题；所以命题q 必定为假命题，所以2410m ∆=-⨯≥，解得2m ≤-或2m ≥.又命题:p m ∃∈R ，10+<m 为真命题，所以1m <-，于是2m ≤-.故选：B.【点睛】本题考查全称命题真假性的判断、复合命题真假性求参数取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】 Q 点P 不在直线l 、m 上，∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立，若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下：若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件，故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．9．已知集合(){}2||lg 4A x y x==-，{|B x y ==，则A B =I ( ) A ．{}|12x x << B ．{}|12x x ≤<C ．{}|13x x 剟D ．{}|23x x -<… 【答案】B【解析】【分析】根据对数函数和二次函数的性质，求得集合,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解．【详解】由题意，集合(){}2|lg 4(2,2),{|[1,3]A x y xB x y ==-=-===，所以{|12}A B x x =≤<I .故选：B ．【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．10．下列四个命题中真命题的个数是①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>③命题“(,0)x ∃∈-∞，23x x <”是假命题.④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】【分析】根据四种命题的关系进行判断．【详解】①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>，正确；③命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是假命题，正确.④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p 是真命题，则p q ∨为真命题，正确．因此4个命题均正确．故选D ．【点睛】本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．11．给出如下四个命题：①“250x x -<”是“|1|1x -<”的充分而不必要条件；②命题“若1a =-，则函数2()21f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为真命题； ③若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；④在ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件．其中正确的命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】【分析】利用四种命题的关系，充要条件，复合命题的真假，逐一判断即可得到结论.【详解】①由250x x -<，解得05x <<；由|1|1x -<，解得02x <<；所以，“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故命题①错误；②由函数()221f x ax x =+-有一个零点，当0a =时，函数()21f x x =-有一个零点，符合题意；当0a ≠时，由440a D =+?，解得1a ≥-，此时函数有一个零点；所以，函数()221f x ax x =+-有一个零点的等价条件为1a ≥-，故命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为“函数()221f x ax x =+-有一个零点，则1a =-”此命题为假命题，故命题②错误； ③若p 是q 的必要条件，可得q p ⇒，则p q ⌝⇒⌝，所以p ⌝是q ⌝的充分条件，故命题③正确；④在ABC ∆中，若A B >，由于A B π+<，必有B A π<-，若A ，B 都是锐角，有sin sin A B >成立；若A ，B 之一为锐角，必是B 为锐角，此时有A π-不是钝角，由于A B π+<，必有2B A ππ<-≤，此时有()sin sin sin A A B π-=>；若sin sin A B >，当A 不是锐角时，有A B >，当A 为锐角时，仍可得到A B >；故“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故命题④错误.综上，命题③正确.故选：A.【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，复合命题等知识，难度不大，属于基础题.12．“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先分析“4a ≤-”能否推出“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”，这是必要性分析；然后分析“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”能否推出“4a ≤-”，这是充分性分析，然后得出结果.【详解】若4a ≤-，则对称轴(1)32x a =-+≥>，所以()f x 在(,2]-∞上为单调递增，取3a =-，则对称轴(1)2x a =-+=，()f x 在(,2]-∞上为单调递增，但4a >-，所以“()f x 在(,2]-∞上为单调递增”是“4a ≤- ”的必要不充分条件.【点睛】充分、必要条件的判断，需要分两步：一方面要说明充分性是否满足，另一方面也要说明必要性是否满足.13．已知实数a b 、满足0ab >，则“11a b <成立”是“a b >成立”的（） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由11b a a b ab--=，0ab >Q ，∴若11a b< 成立, 则0b a -< ，即a b >成立，反之若a b >，0ab >Q ，110b a a b ab-∴-=<，即11a b<成立， ∴“11a b<成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.14．已知集合{}2|log ,1,|A y y x x B x y ⎧==>==⎨⎩，则A B =I （） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】 ∵集合{}2log ,1A y y x x ==∴集合(0,)A =+∞ ∵集合|B x y ⎧==⎨⎩ ∴集合1(,)2B =-∞ ∴1(0,)2A B ⋂=故选A.15．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．16．设x ∈R ，则“03x <<”是“12x -<” 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解绝对值不等式12x -<求得x 的取值范围.然后根据两者的范围判断正确选项.【详解】由12x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，()0,3是()1,3-的子集，故“03x <<”是“12x -<”的充分而不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.17．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-；（4）“1x ≥”是“12x x +≥”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件．【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．18．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．19．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.【详解】 Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >.因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.20．已知命题0:(0,)p x ∃∈+∞20x >；命题1:,2q x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，122x x -+>下列命题中是真命题的为（）A ．q ⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∨⌝【答案】C【解析】【分析】分别判断命题p 为真，命题q 为真，得到答案.【详解】取012x =212⎛⎫> ⎪⎝⎭，故命题p 为真；因为122x x -+≥=12x =时等号成立，故命题q 为真；故p q ∧为真，故选：C ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.。

集合最难练习题

集合最难练习题集合是数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的基础。

在集合理论中，有一些难题，需要我们动脑筋来解决。

本文将介绍集合最难练习题，并尝试解答这些题目。

一、集合问题的背景集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

集合的定义和性质是数学的基本内容之一。

在解决集合问题时，我们需要掌握集合的运算、集合之间的关系，以及集合的基本性质。

二、集合最难练习题的挑战1. 难题一：康托尔对角线论证康托尔对角线论证是由德国数学家康托尔提出的一种证明方法。

它用来证明无限集中元素个数的差异性。

具体问题为：对于一个由实数构成的集合，是否存在一个实数，它与集合中的每一个实数都不相等？如果存在，该如何构造这样一个实数？2. 难题二：罗素悖论罗素悖论是由英国哲学家罗素提出的一种逻辑悖论，也被称为自指悖论。

该悖论的具体问题为：是否存在一个集合，该集合既不属于自身，也属于自身？如果存在这样的集合，会导致逻辑的矛盾。

如何解决这个悖论，成为了集合论的一个重要问题。

三、集合最难练习题的解答1. 康托尔对角线论证对于一个由实数构成的集合，我们可以通过康托尔对角线论证得出，不存在一个实数与集合中的每一个实数都不相等。

我们可以通过构造一个实数，使得它在小数点后的每一位都与给定的实数不相等。

这样，我们就得到了一个不属于给定集合的实数。

2. 罗素悖论为了解决罗素悖论，数学家们提出了限制公理系统的办法。

通过限制公理系统中的公理，我们可以避免出现自指悖论。

例如，限制公理系统中的自反性公理，即不存在一个集合同时既非自己的元素，又是自己的元素。

四、结论集合最难练习题，考察了我们对集合概念的理解和运用能力。

通过解答这些难题，我们可以更好地掌握集合论的基本原理和性质，提高数学思维能力。

在解决集合问题时，我们需要灵活运用集合的运算和性质，善于发现问题的规律和特点。

通过不断练习和思考，我们可以逐渐提高解决集合问题的能力，掌握集合理论的精髓。

高中数学经典高考难题集锦

《高中数学经典高考难题集锦》一、集合问题1. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，求集合A的元素。

解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0，找出满足条件的x的值。

然后，将这些值组成集合A。

2. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，集合B={x|x^24x+3=0}，求集合A∩B。

解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0和x^24x+3=0，找出满足条件的x的值。

然后，找出同时属于集合A和集合B的元素，即求出集合A∩B。

3. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，集合B={x|x^24x+3=0}，求集合A∪B。

解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0和x^24x+3=0，找出满足条件的x的值。

然后，找出属于集合A或集合B的元素，即求出集合A∪B。

二、函数问题1. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的零点。

解答思路：函数的零点即函数图像与x轴的交点，也就是使函数值为0的x的值。

因此，我们需要解方程x^25x+6=0，找出满足条件的x的值，这些值即为函数f(x)的零点。

2. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的单调区间。

解答思路：函数的单调性是指函数在其定义域内是否单调递增或单调递减。

我们可以通过求函数的一阶导数f'(x)，然后判断f'(x)的符号来确定函数的单调性。

当f'(x)>0时，函数单调递增；当f'(x)<0时，函数单调递减。

3. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的极值。

解答思路：函数的极值是指函数在其定义域内的最大值或最小值。

我们可以通过求函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)，然后判断f'(x)和f''(x)的符号来确定函数的极值。

当f'(x)=0且f''(x)>0时，函数在该点取得极小值；当f'(x)=0且f''(x)<0时，函数在该点取得极大值。

高一上集合综合难题训练(含答案解析)

A．2B．3C．4D．8
17．对于任意两个正整数，定义某种运算，法则如下：当都是正奇数时，；当不全为正奇数时，，则在此定义下，集合的真子集的个数是（）
A． B． C． D．
18．已知集合，，则（）
A． B． C． D．
19．已知集合，集合，若，则实数的取值范围为________.
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.
38．已知集合 ,
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围．
39．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，给出如下四个结论：
①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”．
12．定义集合运算: .设 , ,则集合的所有元素之和为（）
A．0B．2C．3D．61来自．用列举法表示集合＝________．
14．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）．
A．77B．49C．45D．30
15．已知集合，则满足条件的集合的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
16．设，，若，求实数组成的集合的子集个数有
25．已知非空集合满足以下两个条件：
（ⅰ），；
（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，
则有序集合对的个数为
A． B． C． D．
26．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）
A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}

高一数学集合较难题(完整资料)

此文档下载后即可编辑高一数学集合较难题一、选择题：1．全集U R =，集合{|112},{|21,},M x Z x N x x k k N +=∈-≤-≤==+∈则图1中阴影部分所示集合的元素共有（）个A ．1B ．2C ．3D ．无穷多2．设全集U={2，3，2a +2a-3}，A={|a+1|，2}，A C U ={5}，则a 的值为（）A 、2B 、-3或1C 、-4D 、-4或23. 已知集合{1,2}{21}M N a a M ==∈-，，则M N ⋂＝（）A ．}1{B ． }2,1{C ． }3,2,1{D ．空集 4.记全集},,111|{N x x x U ∈<≤=则满足}9,7,5,1{}10,97531{=⋂P C U ，，，，的所有集合P 的个数是（）A.4B.6C.8D.165．已知集合{}{}221,,20R A y y x x B x x x =+=+-∈=>，则下列正确的是（）A ．{}1,AB y y => B.{}2A B y y =>C.{}21A B y y ⋃=-<<D. {}21A B y y y ⋃=<>-或6.设全集为R ，}3x 3|x {B }5x 3x |x {A <<-=><=，或，则（）A. R B A R C =B. R B A R C =C. R B A R R C C =D. R B A =7.设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（）A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[0,3)8.已知不等式8.03)1(4)54(22>+-+-+x k x k k 对任何实数x 都成立，则关于x 的方程0108)2(2232=-+-+k x k x （）A.有两个相等的实根B. 有两个不等的实根C.无实根有无实根不确定9.满足)3,}(,,,,,{},{132121≥∈⊂⊆-≠n N n a a a a a P a a n n 21,a a 21,a a 的集合P 共有（） A.123--n 个 B. 122--n 个 C. 121--n 个 D. 12-n 个10. 设集合{|||1,}A x x a x R =-<∈，{|||2,}.B x x b x R =->∈若,A B ⊆则实数a,b 满足A. ||3a b +≤B.||3a b +≥C. ||3a b -≤D. ||3a b -≥二、填空题：1．已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________.2．},9,1{)()(},2{,,},9,8,7,6,5,4,3,2,1{11==⊆⊆=B C A C B A I B I A I}8,6,4{)(1=B A C ，则=)(1B C A ___________。

难题集合(有答案)

1.一个工程队铺一条公路，每天上午工作3小时，共铺路180米，每天下午多工作2小时，每小时少铺路10米，这个工程队在一天里面平均每小时铺路多少米2.王林和陈红家上月收入钱数之比是8:5，本月开支钱数之比8:3，月底王林家结余720元，陈红家结余810元，上月两家收入各多少元？设王林的收入是X，那么陈红的收入就是5X/8设王林的开销是Y，那么陈红的开销就是3Y/8。

月底结余和收入的关系:王林家是X-Y=720，陈红家是5X/8-3Y/8=810，5X-3Y=810*8=6480这就是二元一次方程组啊，好久以前的功课了。

X=720+YX=(6480+3Y)/5720+Y=(6480+3Y)/5720+Y=6480/5+3Y/5Y-3Y/5=6480/5-7202Y/5=1296-720=576Y=1440（王林家开销）现在就可以算出：王林家收入=1440+720=2160陈红家收入=2160*5/8=13503.编号为1—10 的十个果盘里面，每盘有有水果，共盛放100个，其中第一个盘子里面有16个，平且编号相邻的三个水果盘中水果的和相等，第8个果盘最最多可能有多少个水果第八盘中的水果最多可能是11个解题如下：1，根据第一盘里有16个,并且编号相邻的三个水果盘中水果数的和相等，可以推出1盘数+2盘数+3盘数=2盘数+3盘数+4盘数，因为2盘数和3盘数不变，所以1盘数=4盘数，如此类推1盘数=4盘数=7盘数=10盘数=16. 2盘数=5盘数=8盘数。

3盘数=6盘数=9盘数。

2.又根据编号为1至10的十个水果盘中,每盘都盛有水果,共盛放100个.可以得出100-16乘于4（就是1盘数+4盘数+7盘数+10盘数）=36，3.又根据刚才1推出的结果可以知道，2盘数+3盘数=5盘数+6盘数=8盘数+9盘数中（是三组）=36/3=12.所以8盘数+9盘数=12。

如果8盘数是1，那么9盘数就是11,8盘数是2，那么9盘数是10，因此有很多答案4，再根据问第8盘中水果最多可能是多少个？中的最多那就是114.6个评委给五年级一班团体打分，去掉一个最高分和最低分，平均分得9.64分，如果去掉一个最高分，平均分为9.55分，如果只去掉最低分，平均得分9.71，求最高分和最低分各是多少？假设最低分为x ，最高分为y 。

集合逻辑难题突破

集合逻辑难题突破一、单选题1．已知数列{}n a 为正项等比数列，且m n p q +=+，则“m n p q a a a a +≥+”是“2222m n p q +>+”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若集合C A B = 且A B ⋂=∅，则称,A B 构成C 的一个二次划分.任意给定一个正整数2n ≥，可以给出整数集Z 的一个n 次划分[[0],1],,[1]n n n n - ，其中()[]01n i i n ≤≤-表示除以n 余数为i 的所有整数构成的集合.这样我们得到集合[[{}/0],1],,[1]n n n Z nZ n =- ，称作模n 的剩余类集.模n 的剩余类集可定义加减乘三种运算，如[2][1][2(1)][1],[0][2][0(2)][2],[][][][]n n n n n n n n n n n n n n n n k l k l j +-=+-=--=--=⨯=⨯=，（其中j 为k l ⨯除以n 的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过[1]n 定义倒数就可以了，但不是所有/Z nZ 中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（）A ．/Z nZ 能构成素域当且仅当n 是素数B ．[][]55534[2]÷=C ．/2Z Z 是最小的素域（元素个数最少）D ．[][]77726[3]÷=3．设集合{}1,2,,2022A = ，集合S 是集合A 的非空子集，S 中最大元素和最小元素的差称为集合S 的长度，那么集合S 所有长度为73的子集的元素个数之和为（）A ．722381949⋅⋅B ．7421949⋅C ．732371949⋅⋅D ．702761949⋅⋅4．已知命题:p 不等式()3ln 10x a x -- 恒成立，命题()324:33x q f x bx =-+在(),5c c +上存在最小值，且()()11f x f x +='-'(其中()f x 的导数是())f x '，若()p ⌝或()q ⌝为假命题，则c a 的取值范围是（）A ．()1,2-B ．21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．12,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、多选题5．已知函数()()22,R f x x mx m n m n =+-+∈，若非空集合(){}0A x f x =≤，()(){}24B x f f x =+≤，且A B =，则下列说法中正确的是（）A ．n 的取值与m 有关B ．n 为定值C ．0m ≤≤D ．02m ≤≤-6．设数集{},,,S a b c d =满足下列两个条件：（1）,,x y S xy S ∀∈∈；（2）,,x y z S ∀∈，若x y ≠则xz yz ≠.则下论断正确的是（）A ．a b c d ,,,中必有一个为0B ．a ，b ，c ，d 中必有一个为1C ．若x S ∈且1xy =，则y S∈D ．{},,x y z S ∃⊆，使得22,x y y z==7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数．例如：[]3.54-=-，[]2.12=．则下列命题中正确的是（）A ．,R ∃∈x y ，[][][]x y x y +>+B ．若，()[]f x x =，()[]g x x x =-，则方程()()0f g x =的解集为RC ．对于任意实数x ，y ，()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件D ．设{}[]x x x =-，则函数(){}21h x x x x =--的所有零点之和为-18．对于正整数集合{}()*12,,,N ,3n A a a a n n =∈≥ ，如果去掉其中任意一个元素()1,2,,i a i n =L 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集”，则下列说法正确的是（）A ．{}1,3,5,7,9不是“可分集”B ．集合A 中元素个数最少为7个C ．若集合A 是“可分集”，则集合A 中元素全为奇数D ．若集合A 是“可分集”，则集合A 中元素个数为奇数三、填空题9．我们称正有理数n 为“友好数”，当且仅当16n n -化为最简分数a b 时，a ，b 为奇数.则在集合{}=+=1000,1,2,,999i A i j i j ∈⋅⋅⋅⎧⎫⎨⎬⎩⎭中优好数的个数为______.10．从集合{}123,,,,n U a a a a =⋅⋅⋅的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：①∅､U 都要选出；②对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或A B ⊇.则选法有___________种.参考答案：1．A【分析】取特殊值m n p q ===易证不具有充分性，由2222m n p q +>+，及m n p q +=+得0m p q n -=-≠，判断m n p q a a a a +--的符号可得具有必要性.【详解】m n p q +=+，m n p q a a a a +≥+，当m n p q ===时，2222m n p q +=+，所以不具有充分性；m n p q +=+，所以m p q n -=-，又2222m n p q +>+，则()22()22m n mn p q pq +->+-，所以mn pq <，所以0m p q n -=-≠，不妨设0m p q n -=->因为数列为正项数列，所以设公比为x ，则0x >，()1m n p q m n p q a a a a a x x x x x+--=+--，()()()()111m n p q p m p n q n m p p n x x x x x x x x x x x ---+--=-+-=--当1x >时，1m p x ->，p n x x >，所以()()10m p p n xx x --->，m n p q a a a a +>+，当1x =时，()()10m p p n x x x ---=，m n p q a a a a +=+；当01x <<时，1m p x -<，p n x x <，所以()()10m p p n xx x --->，m n p q a a a a +>+，所以m n p q a a a a +≥+，所以具有必要性，综上，m n p q a a a a +≥+是2222m n p q +>+的必要不充分条件.故选：A.【点睛】作差m n p q a a a a +--判断+m n a a 与p q a a +大小关系，将式子写成指数式，注意正项等比数列公比大于0，根据公比与1的大小进行分类讨论.2．D【分析】先证明出A 选项正确，从而说明C 选项正确，BD 选项根据定义求解即可.【详解】/Z nZ 能构成素域当且仅当n 是素数，理由如下：当n 为素数时，除0外，1,2,3,,1n - 均与n 互素，此数记作x ，对于[]()11,N n x x n x ≤≤-∈，考虑[]()11,N n xi i n i ≤≤-∈，若[][]n n xi xj =，则()xi xj x i j -=-为n 的倍数，而n 为素数，故11x n ≤≤-，故i j -为n 的倍数，即[][]n n i j =，故存在i ，使得[][]1n n xi =即可定义除法.当/Z nZ 能构成素域，若n 是不素数，则,1,1n xy x n y n =<<<<，故对于[]n x ，存在[]n z ，使得[][]1n n xz =，故1xz -为n 的倍数，故存在整数k ，使得1xz kn kxy -==，故()1x z ky -=，但1x n <<，且z ky -为非零的整数，故()1x z ky -=不成立，故n 是素数.综上：/Z nZ 能构成素域当且仅当n 是素数，A 正确；因为[][][]555544[16]1==⨯，所以[][][][][][]5555553434122=⨯==÷，B 正确；根据A 选项，由于2为最小的素数，[][]{}22/20,1Z Z =有2个元素，元素个数最少，所以/2Z Z 是最小的素域（元素个数最少），C 正确；因为[][][]777766[36]1==⨯，所以[][][][][][]7777772626125=⨯==÷，D 错误；故选：D.【点睛】集合新定义，需要先读懂题干信息，正确理解，再此基础上举一反三，进行求解，本题中A 选项的证明是解题的关键.3．A【分析】先考虑最小元素为1，最大元素为74的情况：{}1,74只有一种情况；{}1,,74a ，273a ≤≤且Z a ∈，共有172C 种情况；{}1,,,74b c ，2,73b c ≤≤且,Z b c ∈，共有272C 种情况；以此类推{}1,2,3,73,74 ，有7272C 种情况，所以此类满足要求的子集元素个数之和012717272727272722C 3C 4C 73C 74C M =+++++ ，计算可得：72382M =⨯，再考虑可以分为{}1,,74 ，{}2,,75 ，{}3,,76 ，，{}1949,,2022 等1949类，可得本题答案【详解】当最小元素为1，最大元素为74时，集合有如下情况：集合中只含2个元素；{}1,74，只有1种情况；集合中含有3个元素；{}1,,74a ，273a ≤≤且Z a ∈，共有172C 种情况；集合中含有4个元素；{}1,,,74b c ，2,73b c ≤≤且,Z b c ∈，共有272C 种情况；以此类推集合中含有74个元素；{}1,2,,73,74 ，有有7272C 种情况；所以此类满足要求的子集元素个数之和：012717272727272722C 3C 4C 73C 74C M =+++++ ①7271107272727274C 73C 3C 2C M ∴=++++ ②727272C C r r -= ，072,Z r r ≤≤∈②两式相加可得：0171727272727272276(C C C C )762M =++++=⨯ 72382M ∴=⨯同理可得：{}2,,75 ，{}3,,76 ，，{}1949,,2022 ，所有子集元素个数之和都是72382⨯∴集合S 所有长度为73的子集的元素个数之和为722381949⋅⋅.故选：A4．D【分析】由复合命题为假得出命题,p q 都是真命题，然后由两个命题是真命题分别求参数的值或范围．不等式恒成立转化为函数的最大值0≤，利用导数求得函数最大值后，还需要用导数最大值对应的函数的单调性与极值，得出参数值．函数在开区间在有最小值，则函数的极小值点必须在此区间内，由导数得出极小值点后可得参数范围．【详解】()p ⌝或()q ⌝为假命题，则p ⌝和q ⌝都是假命题，所以,p q 均为真命题．命题p 为真，不等式()3ln 10x a x -- 恒成立，设()3ln (1)g x x a x =--，0x >，3()g x a x'=-，0a ≤时，()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，()g x 递增，1x >时，3ln 0x >，(1)0a x -≤，3ln (1)0x a x -->，()0g x ≤不可能恒成立，舍去，0x >时，3()ax g x x-'=，30x a <<时，()0g x '>，()g x 递增，3x a >时，()0g x '<，()g x 递减，所以max 33()(3ln 33(ln 3ln )(3)g x g a a a a a==-+=---，设()3(ln 3ln )3x x x ϕ=--+，33()1x x x xϕ-'=-+=，当03x <<时，()0x ϕ'<，3x >时，()0x ϕ'>，即()ϕx 在(0,3)上递减，在(3,)+∞上递增，所以min ()(3)0x ϕϕ==，所以()0x ϕ≥，()0g x ≤恒成立，即max ()0g x ≤恒成立，所以max ()3(ln 3ln )(3)0g x a a =---=，3a =．命题q 为真，()32433x f x bx =-+在(),5c c +上存在最小值，2()2f x x bx '=-，因为(1)(1)f x f x ''+=-，所以()y f x '=的图象关于直线1x =对称，所以1b =，即2()2f x x x =-'，()=00f x x '⇒=或2，0x <或2x >时，()0f x '>，02x <<时，()0f x '<，()f x 在(,0)-∞和(2,)+∞上是增函数，在(0,2)上是减函数，()f x 的极小值是(2)0f =，极大值是4(0)3f =，又32(1)4(1)(1)033f --=--+=，所以()f x 在(,5)c c +上存在最小值，则12,52c c -≤<⎧⎨+>⎩，解得12c -≤<，综上，3a =，12c -≤<，所以1233c a -≤<．故选：D ．【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围，考查用导数研究函数的单调性与极值、最值，不等式恒成立．解题基础是掌握导数与单调性的关系，由单调性得函数的最值，而不等式恒成立就是转化为函数的最大值0≤，还需利用导数研究最大值表达式中参数的取值．5．BD【分析】令()2f x m +=，从而化(()2)4f f x +£为()4f m £，不妨设()4f m £的解集为[],a b ，可得{}2()2B x a f x b =-＃-|，由A B =≠∅，从而得2b =，且min ()2f x a ³-，化简(){}0A x f x =≤≠∅，解得0m ≥或8m ≤-，又(),a b a b £是方程()4f x =的两个根，利用韦达定理可得2a m =--，则故答案选：BD.【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题.6．BCD【分析】根据（1）（2）得到0S ∉，1S ∈，A 错误，B 正确；再分1a =，1a ≠，两种情况，经过推理得到C 正确；在C 选项的分析基础上，得到若1a ≠，此时求出{}1,1,i,i S =--，{}i,1,1S ∃-⊆，使得22,x y y z ==，若1a =，推理出,,b c d 中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾，得到D 正确.【详解】由（1）得：数集S 中必有1或0，由（2）得：0S ∉，故1S ∈，A 错误，B 正确；由（1）知：abcd S ∈，故abcd 等于a b c d ,,,中的一个，不妨设abcd a =，因为0S ∉，所以0a ≠，故1bcd =，下面证明C 正确，因为x S ∈，若x b =，则y cd =，由（1）知：y cd S =∈，满足要求，同理若x c =，则y bd S =∈，满足要求，若x d =，则y bc S =∈，满足要求，若x a =，因为1S ∈，若1a =，则1y S =∈，满足要求，若1a ≠，则,,b c d 中某个等于1，不妨设1b =，由1bcd =得1cd =，由（1）知：ac S ∈，又因为1a ≠，1c ≠，所以ac a ≠，ac c ≠，故ac d =，同理可得ad c =，所以相乘得ab ad dc ⋅=，解得：21a =，因为1a ≠，所以1a =-，故取1y S =-∈，满足要求，综上：若x S ∈且1xy =，则y S ∈，C 正确；下面证明D 正确；由（1）知：abcd S ∈，故abcd 等于a b c d ,,,中的一个，不妨设abcd a =，因为0S ∉，所以0a ≠，故1bcd =，若1a ≠，则1abcd ≠，因为,,b c d 中某个等于1，不妨设1b =，由1bcd =得1cd =，根据C 选项的分析可知：ac d =，ad c =，1a =-，则d c -=，故21cd d =-=，故i d =，i c =-，若i d =-，i c =，此时{}1,1,i,i S =--，{}i,1,1S ∃-⊆，使得22,x y y z ==，D 正确；若1a =，则1abcd =，1bcd a ==，由（1）知：cd S ∈，若1cd a ==，则b bcd a ==，不可能，若cd c =，则1d a ==，不可能，若cd d =，则1c a ==，不可能，所以cd b =，故2b bcd a ==，同理可得：22,c a d a ==，因为a 的平方根有且只有2个，所以,,b c d 中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾，故不存在1a =即1abcd =的情况，故{},,x y z S ∃⊆，使得22,x y y z ==，D 正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.7．BCD【分析】对于A ，根据高斯函数的定义，设[](),01x x a a =+≤<，[](),01y y b b =+≤<，求[]x y +，根据参数的取值范围，可得答案；对于B ，根据高斯函数的定义，结合方程的求解，可得答案；对于C ，根据充分不必要条件，同A ，设出表示，作差，可得充分性，举反例，可证必要性；对于D ，分x 是否为整数进行讨论，可得函数{}[]x x x =-的性质，进而化简函数()h x 或研究其奇偶性，可得答案.【详解】对于A ，设[](),01x x a a =+≤<，[](),01y y b b =+≤<，则[][]x y x y a b +=+++，所以[][][][][][]x y x y a b x y a b ⎡⎤+=+++=+++⎣⎦，因为01,01a b ≤<≤<，所以02a b ≤+<，所以[]0a b +≥，则[][][]x y x y +≥+，故A 错误；对于B ，因为当01x ≤<时，()[]0f x x ==，所以方程()()0f g x =等价于()01g x ≤<，又因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以[]01x x ≤-<恒成立，即对任意x ∈R ，()01g x ≤<恒成立，所以方程()()0f g x =的解集为R ，故B 正确；对于C ，设[](),01x x a a =+≤<，[](),01y y b b =+≤<，由[][]x y =，则x y a b -=-，易知1a b -<，设 1.5, 2.4x y ==，则 1.5 2.40.91x y -=-=<，但[][]1,2x y ==，故对于任意实数x ，y ，()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故C 正确；对于D ，当x 为整数时，{}[]0x x x =-=；当x 不是整数时，设x 的整数部分为c ，小数部分为d ，则x c d =+，当0x >时，c d c +≥，则[]x c =，此时0x -<，则()()1x c d c -=-+≥--，即[]1x c -=-+，故[][]1x x +-=，则{}{}[][]()1x x x x x x +-=-+---=.当x 为整数时，()1h x x =--，令()0h x =，解得=1x -，此时函数()h x 的零点为1-；当x 不是整数时，()(){}(){}(){}()2121121h x x x x x x x x x x h x -=⋅-----=--+-=--=，故函数()h x 为偶函数，则若存在零点，此时函数()h x 的所有零点之和为0.综上所述，函数()h x 的所有零点之和为1-，故D 正确.故选：BCD.8．ABD【分析】选项A 根据“可分集”性质进行判断即可.选项C ，D ，根据“可分集”性质可知“可分集”元素之和减去任意一个元素一定为偶数，根据此特性分类讨论集合A 中元素为奇数和为偶数时的情况即可.根据选项C ，D 结论，分类讨论A 中元素个数分别为3，5，7时是否可以为“可分集”即可.【详解】根据“可分集”性质可知，当集合为{}1,3,5,7,9时：去掉元素3，则不可拆分成符合题意的可分集，故A 错误.设集合{}()*12,,,N ,3n A a a a n n =∈≥ 所有元素之和为M .由题意可知，(123...)i M a i n -=,,,,均为偶数，因此(123...)i a i n =，，，，同为奇数或同为偶数.(Ⅰ)当M 为奇数时，则1,2,3,...,)(i a i n =也均为奇数，由于12...n M a a a =+++，所以n 为奇数.(Ⅱ)当M 为偶数时，则1,2,3,...,)(i a i n =也均为偶数，此时可设2i i a b =，因为{}()*12,,,N ,3n a a a n n ∈≥ 为“可分集”，所以{}()*12,,,N ,3n b b b n n ∈≥ 也为“可分集”.重复上述有限次操作后，便可得到一个各元素均为奇数的“可分集”，且对应新集合之和也为奇数，由(Ⅰ)可知此时n 也为奇数.综上所述，集合A 中元素个数为奇数.故C 错D 对.由上述分析可知集合{}()*12,,,N ,3n A a a a n n =∈≥ 中元素个数为奇数，不妨假设：当3n =时，显然任意集合{}123,,a a a 都不是“可分集”;当5n =时，设集合{}12345,,,,a a a a a ，其中12345a a a a a <<<<，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有5134a a a a =++ ①或5341a a a a +=+ ②;将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534++=a a a a ③或5234=++a a a a ④由①，③可得12a a =，矛盾；由①，④可得12=-a a ，矛盾；由②，③可得12=-a a ，矛盾；由②，④可得12a a =，矛盾.因此当5n =时，不存在“可分集”；当7n =时，设集合{}1,3,5,7,9,11,13A =，去掉元素1，35791113+++=+；去掉元素3，19135711++=++去掉元素5，91313711+=+++；去掉元素7，19113513++=++去掉元素9，13511713+++=+；去掉元素11，3791513++=++去掉元素13，1359711+++=+，所以集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集”.因此集合A 中元素个数n 的最小值是7，故B 正确.故选：ABD【点睛】1.本题“新定义”题，主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题.2.本题考查了考生分类讨论的能力，考生需要做到讨论情况涵盖所有情况，还需要能将讨论思路转换为数学语言的能力.3.对于全称命题型的选项考生可考虑通过举反例的方式排除.9．906【解析】略10．3323n n -⋅+【分析】分析出当一个子集只含有m 个元素时，另外一个子集可以包含()1m +，()2m +，(),1n - 个元素，所以共有()()121C C C C C 22n m m n m m n n m n m n m n ------⨯+++=⨯- 种选法；再进行求和即可.【详解】因为∅､U 都要选出；故再选出两个不同的子集，即为M ，N ，因为选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或A B ⊇，故各个子集所包含的元素个数必须依次增加，且元素个数多的子集包含元素个数少的子集，当一个子集只含有1个元素时，另外一个子集可以包含2，3，4()1n - 个元素，所以共有()()111221111C C C C C 22n n n n n n n -----⨯+++=⨯- 种选法；当一个子集只含有2个元素时，另外一个子集可以包含3，4，()1n - 个元素，所以共有()()221232222C C C C C 22n n n n n n n -----⨯+++=⨯- 种选法；当一个子集只含有3个元素时，另外一个子集包含4，5，()1n - 个元素，所以共有()()331243333C C C C C 22n n n n n n n -----⨯+++=⨯- 种选法；……当一个子集只含有m 个元素时，另外一个子集可以包含()1m +，()2m +，(),1n - 个元素，所以共有()()121C C C C C 22n m m n m m n n m n m n m n ------⨯+++=⨯- 种选法；……当一个子集有()2n -个元素时，另外一个子集包含()1n -个元素，所以共有()22C 22n n -⨯-种选法；当一个子集有()1n -个元素时，另外一个子集包含有n 个元素，即为U ，不合题意，舍去；故共有()()()()122122C 22C 22C 22C 22n n n m m n n n n n ----⨯-+⨯-++⨯-++⨯- ()1122122C 2C 22C C C n n n n n n n n---=⋅++⋅-+++ ()()122212223323n n n n n n n =+------=-⋅+.故答案为：3323n n -⋅+【点睛】对于集合与排列组合相结合的题目，要能通过分析，求出通项公式，再结合排列或组合的常用公式进行化简求解.。

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高一数学必修1集合经典题训练
2、设集合M =｛x ｜－1≤x ＜2｝，N =｛x ｜x －k ≤0｝，若M ∩N ≠
，则k 的取值范围是 3、已知全集I =｛x ｜x R ｝，集合A =｛x ｜x ≤1或x ≥3｝，集合B=｛x ｜k ＜x ＜k ＋1，k
R ｝，且(C I A )∩B ＝，则实数k 的取值范围是
7、设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=R x x x x B ,03, 则A ∩B = 8、设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q
-等于
9、已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅，则实数a 的取值范围是
17、(16分)已知集合A ={}37x x ≤≤，B ={x |2<x <10}，C ={x | x <a }，全集为实数集R .
(1) 求A ∪B ，(C R A )∩B ；
(2) 如果A ∩C ≠
，求a 的取值范围。

19、(14分)集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-= 满足,A
B φ≠，,A
C φ=求实数a 的值。

20、(15分)记关于x 的不等式01
x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． (Ⅰ)若3a =，求P ；
(Ⅱ)若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．
15、(15分)已知集合A ={}
2320,.x ax x a R -+=∈
(1)若A 是空集，求a 的取值范围；
(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；
(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围。

17、(14分)设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A
B B =，求实数a 的
取值范围。

18、(16分)已知集合}023|{2=+-=x x x A ，}0)5()1(2|{22=-+++=a x a x x B ，
(1)若}2{=B A ，求实数a 的值；
(2)若A B A = ，求实数a 的取值范围；
19、(14分)已知集合}02|{2≤-+=x x x A ，B ={x|2<x +1≤4}，设集合}0|{2
>++=c bx x x C ，且满足φ=⋂⋃C B A )(，R C B A =⋃⋃)(，求b 、c 的值。

20、(18分)已知方程02
=++q px x 的两个不相等实根为βα,。

集合},{βα=A ，=B {2，4，5，6}，=C {1，2，3，4}，A ∩C ＝A ，A ∩B ＝φ，求q p ,的值？
高一数学集合难题训练
例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a
[ ] A a x B x a ．＜＜．＜＜11a a
C x a
D x x a ．＞或＜．＜或＞x a a 11 例有意义，则的取值范围是
．2 x x 2--x 6 例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．
例4 解下列不等式
(1)(x －1)(3－x)＜5－2x
(2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2
(3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)
(4)3x 2
-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()() 例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x
[ ] A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x ＞1}
D ．{x|x ＞1 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x
--32[ ] A ．(x －3)(2－x)≥0 B ．0＜x －2≤1 C ．
≥230--x x D ．(x －3)(2－x)≤0 例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1
[ ] A a B a C a D a ．＜．＞．＝．＝－12
121212
例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2
≤，若，求的范围．0}B A a ⊆
例13 (全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________．
一元二次不等式
例1：解下列不等式：
(1)04432>++-x x ； (2)0424
12≥++x x ； (3))2(3)3)(12(2
+>-+x x x ； (4)⎪⎩⎪⎨⎧>++<++-0120222x x x x
1、不等式022≥+--x x 的解集为（）
A 、{}12≥≤x x x 或
B 、{}12<<-x x
C 、{}
12≤≤-x x D 、φ
2、不等式01442
≤++x x 的解集为（） A 、φ B 、R C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21x x D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21x x
3、不等式0122<+-x x 的解集为（）
A 、φ
B 、R
C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-121x x
D 、⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≠41x x
4、已知集合{}42<=x x M ，{}0322<--=x x x N ，则集合N M =（）
A 、{}2-<x x
B 、{}3>x x
C 、{}21<<-x x
D 、{}32<<x x
5、设集合S ＝{x ||x |<5}，T ＝{x |x 2＋4x －21<0}，则S ∩T ＝( )
A ．{x |－7<x <－5}
B ．{x |3<x <5}
C ．{x |－5<x <3}
D ．{x |－7<x <5}
6、函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( )
A ．{x |x <－4或x >3}
B ．{x |－4<x <3}
C ．{x |x ≤－4或x ≥3}
D ．{x |－4≤x ≤3}
7、已知集合{}20<≤=x x M ，{}0322<--=x x x N ，则N M =（）
A 、{{}10<≤x x
B 、{{}20<≤x x
C 、{{}10≤≤x x
D 、{{}20≤≤x x
8、不等式2x 2－3|x |－35>0的解集为( )
A ．{x |x <－72，或x >5}
B ．{x |0<x <72，或x >5}
C ．{x |－52<x <－5，或x >7}
D ．{x |x <－5，或x >5}
9、设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )(x －1a )<0的解集为( )
A ．{x |x <a ，或x >1a }
B ．{x |x >a }
C ．{x |x >a ，或x <1a }
D ．{x |x <1a }
10、已知集合{}0232<--=x x x A ，{}0<-=a x x B ，且A B ⊄，则a 的取值范围为（
） A 、1≤a B 、21≤<a C 、1>a D 、2≤a
13、函数181222-+-=x x y 的定义域为。

14、不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是。

15、不等式2≤x 2－2x <8的整数解集是________ ．
16、不等式(3x －4)(2x ＋1)
(x －1)2<0的解集为________ ．
17．已知集合}034|{},016|{22>+-=<-=x x x B x x A ，求B A =。