集合的概念难题汇编(附答案)

2013年9月犀利哥的高中数学组卷

一．选择题（共11小题）

1．（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）

A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的

B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的

C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的

D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的

2．（2007•湖北）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果，Q={x||x﹣2|

＜1}，那么P﹣Q等于（）

A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3} 3．（2010•延庆县一模）将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组如下：

则2010位于（）

A．第7组B．第8组C．第9组D．第10组

4．（2009•闸北区一模）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（）

A．10个B．11个C．12个D．13个

5．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=，若A={1，

2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于（）

A．4B．3C．2D．1

6．（2013•宁波模拟）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（）

A．78 B．76 C．84 D．83

7．下列命题正确的有（）

（1）很小的实数可以构成集合；

（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合；

（3）这些数组成的集合有5个元素；

（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．

A．0个B．1个C．2个D．3个

8．若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）

A．15 B．16 C．28D．25

9．定义A⊗B={z|z=xy+，x∈A，y∈B}．设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素

之和为（）

A．3B．9C．18 D．27

10．已知元素为实数的集合A满足条件：若a∈A，则，那么集合A中所有元素的乘积为（）

A．﹣1 B．1C．0D．±1

11．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0•y0，则（）

A．a∈P，b∈Q B．a∈Q，b∈P C．a∈P，b∈P D．a∈Q，b∈Q

二．填空题（共14小题）

12．（2004•虹口区一模）定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和_________．

13．（2011•上海模拟）已知集合，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是_________．

14．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是_________．

15．（2006•四川）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：

①G={非负整数}，⊕为整数的加法．

②G={偶数}，⊕为整数的乘法．

③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法．

④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．

⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．

其中G关于运算⊕为“融洽集”的是_________．（写出所有“融洽集”的序号）

16．（2012•安徽模拟）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：

①集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；

②正整数集是闭集合；

③集合A={n|n=3k，k∈Z}是闭集合；

④若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；

⑤若集合A1，A2为闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．

其中正确的结论的序号是_________．

17．（2011•绵阳三模）设集合A⊆R，对任意a、b、c∈A，运算“⊕具有如下性质：

（1）a⊕b∈A；（2）a⊕a=0；（3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c

给出下列命题：

①0∈A

②若1∈A，则（1⊕1）⊕1=0；

③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；

④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．

其中正确命题的序号是_________（把你认为正确的命题的序号都填上）．

18．已知集合A={a1，a2，…，a n，n∈N*且n＞2}，令T A={x|x=a i+a j}，a i∈A，a j∈A，1≤i≤j≤n，card（T A）表示集合T A中元素的个数．

①若A={2，4，8，16}，则card（T A）=_________；

②若a i+1﹣a i=c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（T A）=_________．

19．设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i={a i，b i}，S j={a j，b j}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是_________．

20．设集合A=，B=，函数f（x）=若x0∈A，且f[f（x0）]∈A，则x0的取值范围是_________．

21．（文）设集合A⊆R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的聚点．则在下列集合中：

（1）Z+∪Z﹣（2）R+∪R﹣（3）

（4）

以0为聚点的集合有_________（写出所有你认为正确结论的序号）．

22．用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）

_________．

23．设，则A∩B用列举法可表示为_________．

24．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，即，其中a，b∈Q．则下列元素：①；②；

③；④．其中是集合M的元素是_________．（填序号）

25．用列举法表示集合：=_________．

三．解答题（共5小题）

26．（2007•北京）已知集合A={a1，a2，…，a k（k≥2）}，其中a i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．