博弈论第2次作业
博弈论作业及答案 浙江财经大学 张老师作业答案
第1次作业1、考虑一个工作申请的博弈。
两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。
工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。
现在假定每家企业的工资满足：W1/2<W2<2W1，则问： a ．写出以上博弈的战略式描述b ．求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡）2、设古诺模型中有n 家厂商。
i q 为厂商i 的产量，12n Q q q q =+++L 为市场总产量。
P 为市场出清价格，且已知Q a Q P P -==)(（当a Q <时，否则0=P ）。
假设厂商i 生产产量i q 的总成本为i i i i cq q C C ==)(，也就是说没有固定成本且各厂的边际成本都相同，为常数)(a c c <。
假设各厂同时选择产量，该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？3、两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为P Q -=100，设厂商1和厂商2都没有固定成本。
若他们在相互知道对方边际成本的情况下，同时作出产量决策是分别生产20单位和30单位。
问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？4、五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。
每只鸭子的收益v 是鸭子总数N 的函数，并取决于N 是否超过某个临界值N ；如果N N <，收益N N v v -==50)(；如果N N ≥时，0)(≡N v 。
再假设每只鸭子的成本为2=c 元。
若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？5、三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。
问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？矩阵1：妻子丈夫活着 死了 活着 1，1 -1，0 死了0，-10，0矩阵2：妻子丈夫活着 死了 活着 0，0 1，0 死了0，10，0矩阵3：妻子丈夫活着死了活着 -1，-1 1，0 死了 0，1 0，06、两个个体一起参加某项工程，每个人的努力程度[0,1](1,i e i ∈=，成本为()(1,2)i c e i =，该项目的产出为12(,)f e e 。
博弈论 第二章,课后习题(2)
q2=(a-q1-c2)/2
q2=(a+c1-2c2)/3
(2)当c1<c2<a,但2c2>a+c1时，此时q2<0.意味着厂商2不会生产， 厂商一成了垄断厂商不开发 100，0 0，0
开发
不开发
—10 ，—10 0， 100
第十题
U
6 7
D
1)很容易由划线法或箭头法得出，本博弈的两个纯策略纳什均衡为 (U,R),(D,L) 2) 本博弈还有一个混合策略纳什均衡，两博弈方各自以2/3,1/3的概率在各 自的两个策略 U/D 和 L/R 中随机选择。 3）本博弈没有帕累托上策均衡，各自偏好一个均衡策略 4）若根据风险上策均衡的思想分析，（U,L)是风险上策均衡
第九题
两寡头古诺模型，P(Q)=a-Q,边际成本分别为c1,c2.
(1)0<ci<a/2.纳什均衡产量。 解，两厂商的利润函数
π i=pqi-ciqi=(a-qi-qj)qi-ciqi
利润最大化，求反应函数 qi=(a-qj-ci)/2
具体写为: q1=(a-q2-c1)/2
直接求解得q1=(a-2c1+c2)/3
纯策略组合
箭头法
找混合策略组合：（ 1 ）设甲公司开发的概率为 pw(1), 不开发pw(2) 则 应有 -10Pw(1)+100Pw(2)=0
又 Pw(1)+Pw(2)=1 可算出混合策略均衡是两个公司 都以（10/11,1/11）的概率分布随机选择开发和不开发。 （二）开发补贴。
-10,10 0,120 100, 0 0 ， 0
使不开发成为严格下策。
第十一题
（1)纯策略纳什均衡为（0.5,0.5）
博弈论课后习题
第一章导论1、什么是博弈博弈论的主要研究内容是什么2、设定一个博弈模型必须确定哪儿个方面3、举出烟草、餐饮、股市、房地产、广告、电视等行业的竞争中策略相互依存的例子。
4、“囚徒的困境”的内在根源是什么举出现实中囚徒的困境的具体例子。
5、博弈有哪些分类方法，有哪些主要的类型6、你正在考虑是否投资100万元开设一家饭店。
假设情况是这样的：你决定开，则的概率你讲收益300万元（包括投资），而的概率你将全部亏损；如果你不开，则你能保住本钱但也不会有利润，请你（a）用得益矩阵和扩展形式表示该博弈；（b）如果你是风险中性的，你会怎样选择（c）如果你是风险规避的，且期望得益的折扣系数为，你的策略选择是什么（d）如果你是风险偏好的，期望得益折算系数为，你的选择又是什么7、一逃犯从关押他的监狱中逃走，一看守奉命追捕。
如果逃犯逃跑有两条可选择的路线，看守只要追捕方向正确就一定能抓住逃犯。
逃犯逃脱可以少坐10年牢，但一旦被抓住则要加刑10年；看守抓住逃犯能得到1000 元奖金。
请分别用得益矩阵和扩展形式表示该傅弈，并作简单分析。
第二章完全信息静态博弈1、上策均衡、严格下策反复消去法和纳什均衡相互之间的关系是什么2、为什么说纳什均衡是博弈分析中最重要的概念3、找出现实经济或生活中可以用帕累托上策均衡、风险上策均衡分析的例子。
4、多重纳什均衡是否会影响纳什均衡的一致预测性质，对博弈分析有什么不利影响5、下面的得益矩阵表示两博弈方之间的一个静态博弈。
该博弈有没有纯策略纳什均衡暉弈的结果是什么6、求出下图中得益矩阵所表示的博弈中的混合策略纳什均衡。
7、博弈方1和2就如何分10 000元进行讨价还价。
假设确定了以下规则: 双方同时提出自己要求的数额S1和S2, 0 < si, s2 < 10 000,如果sl+s2 W10 000,则两博弈方的要求都得到满足，即分别得到si和s2,但如果是sl+s2>10 000,则该笔钱就被没收。
博弈论第2次作业
第2次作业1.在三寡头的市场中，市场的逆需求函数为三家产量之和Q Q a p ,-=，每家企业的不变边际成本为c ，固定成本为0。
如果企业1首先选择产量，企业2和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量，则均衡时的市场价格。
给定企业1的产量q1，企业2和企业3的最优化问题分别为()23210m ax 2q c q q qa q ----≥， ()33210m ax 3q c q q q a q ----≥从而得到企业2和企业3的最优反应函数为q 2=231q q c a ---,q 3=221q q c a ---,联立得纳什均衡为：q N 2=31q c a --,q N 3=31q c a --.给定企业2和企业3的最优反应，企业1的最优化问题为：()13210m ax 1q c q q q a N N q ----≥，由此得企业1的最优产量为2c a -，q 2=q 3=6c a -2、两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是qc aq p ++--=21)（π，企业2的利润函数是p b q +--=22)（π，其中p 是企业1的价格，q 是企业2的价格。
求： （1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；（3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；（4）是否存在参数c b a ,,的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？（1）：（a b-c ，b ）（2）：（a b-c ，b ）（3）：（a 2/2+ab-c ，a/2+b ）(4)：a<0，b>-a/2，c<a b3、考虑一个有穷的动态博弈：两人在桌前面对面坐着，桌上有货币x ，12x <<，货币x 随时期0,1,...,t T =而增长，t 期的货币量为t x 。
在每一期，每个参与人必须在“抢夺”货币与“等待”两种策略之间作出抉择。
只要至少有一人“抢夺”货币，则博弈就结束。
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第 1 次作业1、考虑一个工作申请的博弈。
两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。
工作申请规则如下： 每个学生只能向其中一家企业申请工 作；如果一家企业只有一个学生申请， 该学生获得工作； 如果一家企业有两个学 生申请，则每个学生获得工作的概率为 1/2 。
现在假定每家企业的工资满足：W1/2<W2<2W1 ，则问：a ．写出以上博弈的战略式描述b ．求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡 ）2、设古诺模型中有 n 家厂商。
q i 为厂商 i 的产量， Qq 1 q 2 L q n 为市场总产量。
P 为市场出清价格，且已知 PP(Q)aQ （当 Qa时，否则 P0 ）。
假设厂商 i 生产产量 q i 的总成本为 C iC i(q i ) cq i，也就是说没有固定成本且各厂的边际成本都相同，为常数 c(ca) 。
假设各厂同时选择产量，该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？3、两 个 厂商 生产 一种 完 全同质的 商品 ，该 商品 的市 场需 求函数为Q 100 P ，设厂商 1 和厂商 2 都没有固定成本。
若他们在相互知道对方边际成本的情况下， 同时作出产量决策是分别生产 20 单位和 30 单位。
问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？4、五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。
每只鸭子的收益v 是鸭子总数N的函数，并取决于N是否超过某个临界值N；如果NN，收益v v( N )50N；如果NN时，v(N)0 。
再假设每只鸭子的成本为 c 2元。
若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？5、三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。
问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？矩阵 1：妻子丈夫活着死了活着1， 1-1， 0死了0， -10，0矩阵 2：妻子活着死了丈夫活着0， 01，0死了0， 10，0矩阵 3：妻子活着死了丈夫活着-1，-11，0死了0， 10，06、两个个体一起参加某项工程，每个人的努力程度e i [0,1] (i1,2) ，成本为c(e i ) (i1,2) ，该项目的产出为f (e1,e2)。
博弈论课后复习及标准答案浙江财经大学张老师课后复习标准答案
第1次作业1、考虑一个工作申请的博弈。
两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。
工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。
现在假定每家企业的工资满足：W1/2<W2<2W1，则问：a ．写出以上博弈的战略式描述b ．求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡） 2、设古诺模型中有n 家厂商。
i q 为厂商i 的产量，12n Q q q q =+++L 为市场总产量。
P 为市场出清价格，且已知Q a Q P P-==)(（当a Q <时，否则0=P ）。
假设厂商i 生产产量i q 的总成本为i i i i cq q C C ==)(，也就是说没有固定成本且各厂的边际成本都相同，为常数)(a c c <。
假设各厂同时选择产量，该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？3、两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为P Q -=100，设厂商1和厂商2都没有固定成本。
若他们在相互知道对方边际成本的情况下，同时作出产量决策是分别生产20单位和30单位。
问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？4、五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。
每只鸭子的收益v 是鸭子总数N 的函数，并取决于N 是否超过某个临界值N ；如果N N<，收益N N v v -==50)(；如果N N ≥时，0)(≡N v 。
再假设每只鸭子的成本为2=c 元。
若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？5、三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。
问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？6、两个个体一起参加某项工程，每个人的努力程度[0,1](1,2)i e i ∈=，成本为()(1,2)i c e i =，该项目的产出为12(,)f e e 。
博弈论第二次作业答案
第一题企业1投资收益：U1=P(Q)*Q1-F(此时成本c=0)企业2投资收益：U2=P(Q)*Q2-C*Q2企业1不投资收益：U1’=P(Q)’*Q1’-C*Q1’企业2不投资收益：U2’=P(Q)’*Q2’-C*Q2’若投资收益大于不投资收益，则企业1会进行投资，即U>U*,（a-Q1-Q2）xQ1-F>（a-Q1*-Q2*）xQ1*- CxQ1*, 得出F< P(Q)xQ1- P(Q)*xQ1*+CxQ1*第二题博弈的纳什均衡为（X/2，X/2）证明：就第T期来说，参与人I和II都有两个选择，即抢夺和等待，收益情况如下：抢夺I 等待II等待可以看出两位参与人会选择（抢夺，抢夺）战略，则倒推Xt-1，Xt-2，…..他们都会选择抢夺战略，因此，这个博弈的纳什均衡为双方在第0期就选择抢夺战略，博弈结束。
第三题Uc(s,b)=ln(100-s)+ln(s+b) Up(s,b)=ln(50-b)+Uc(s,b)分别对Uc(s,b)，Up(s,b)求s，b的偏导，再令得到的式子等于0：1/(s-100)+1/(s+b)=0, 1/(b-50)+1/(s+b)=0, 联系两个等式，得到s=b+50，带入Uc中，再求Uc 对s的一阶导数，令它等于0，求出了s=62.5，相应的b=12.5综上所述，此博弈的子博弈精炼均衡为（62.5,12.5）第四题甲先从10根那一堆取两根，此时两堆都为8跟，因为规定只在其中一堆中取，接下来不管乙在哪堆取多少根，甲只需在另外一堆取相同的根数，就能保证获胜。
第五题解: max: -cπ²-（y-ky*）²St: y=y*+β(π－π^e)L=-cπ²-（y-ky*）²+λ[y*+β(π－π^e)-y]对y求偏导令导函数等于零：﹣2（y-ky*）-λ=0 ①对π求偏导令导函数等于零：﹣2cπ+λβ=0 ②y=y*+β(π－π^e) ③由①②③联立得：y=（βky*-cπ）／βπ=[β(ky*+βπ^e-y*)]／﹙c+β²﹚π^e=π=[β(k-1)y*]／cy=y*+β(π﹣π^e)=y*。
《博弈与社会》第2次作业 (参考答案)
这种情况下只能作为寡头企业之一)。在这种情况下，企业 B 将在 t 0 期直至 t 10 期 (共 11
期) 作为寡头企业之一存在于市场中，在 t 11 期直至 t 25 期 (共 15 期) 作为垄断者存在于市
场中，其将获得的累计利润总额为：
tB1,L ,25
10 B
t 1 t
t2511%tB
求解这一博弈的子博弈完美 Nash 均衡 (Subgame Perfect Nash Equilibrium)。(3 分) 解：
首先容易计算：即使企业 A 作为垄断者独自留在市场中，它最多停留到 t 20 期；即使企 业 B 作为垄断者独自留在市场中，它最多停留到 t 25 期。以上分别是两家企业停留在市场中
问求出的间接需求系统和直接需求系统，分别求解当两家企业之间展开 Cournot 竞争和 Bertrand
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竞争时的均衡，在过程中，分别在 qA,qB 空间和 pA,pB 空间画出当两家企业之间展开 Cournot
竞争和 Bertrand 竞争时的反应函数。(2 分) 解：
考虑两家企业之间展开 Cournot 竞争的情况。企业 A 选择产量 qA 最大化利润：
的最长可能期间，如果不是作为垄断者而是作为两家寡头企业之一，任何一家企业停留在市场中 的期间只会更少。
与企业 A 作为垄断者的获利期间相比，企业 B 作为垄断者的获利期间要长出 5 个期间。这 意味着只要能够坚持到 t 20 期以后，那么在自 t 21期直至 t 25 期之间的这 5 个期间，企业 B 将肯定能够获得累计利润：
退出 (否则在该期就将亏损)。
综上，本博弈唯一的子博弈完美 Nash 均衡是：企业 A 将坚持到 t 10 期，然后在 t 11 期 退出市场；企业 B 一直坚持到 t 25 期，然后在 t 26 期退出市场。
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第2次作业
1.在三寡头的市场中，市场的逆需求函数为三家产量之和Q Q a p ,-=，每家企业的不变边际成本为c ，固定成本为0。
如果企业1首先选择产量，企业2和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量，则均衡时的市场价格。
给定企业1的产量q1，企业2和企业3的最优化问题分别为
()23210m ax 2q c q q q
a q ----≥， ()33210m ax 3q c q q q a q ----≥从而得到企业2和企
业3的最优反应函数为q 2=231q q c a ---,q 3=2
21q q c a ---,联立得纳什均衡为：q N 2=31q c a --,q N 3=3
1q c a --.给定企业2和企业3的最优反应，企业1的最优化问题为：()13210m ax 1q c q q q a N N q ----≥，由此得企业1的最优产量为
2
c a -，q 2=q 3=6
c a -
2、两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是q
c aq p ++--=21)（π，企业2的利润函数是p b q +--=22)（π，其中p 是企业1的价格，q 是企业2的价格。
求： （1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；
（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；
（3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；
（4）是否存在参数c b a ,,的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？
（1）：（a b-c ，b ）
（2）：（a b-c ，b ）
（3）：（a 2/2+ab-c ，a/2+b ）
(4)：a<0，b>-a/2，c<a b
3、考虑一个有穷的动态博弈：两人在桌前面对面坐着，桌上有货币x ，12x <<，货币x 随时期0,1,...,t T =而增长，t 期的货币量为t x 。
在每一期，每个参与人必须在“抢夺”货币与“等待”两种策略之间作出抉择。
只要至少有一人“抢夺”货币，则博弈就结束。
如果在t 期只有一个人抢走货币，则他就获得t x ；如果两人在t 期同时出手抢货币，则各得2
t x 。
请找出该博弈的纳什均衡，并写出证明过程。
该博弈是有限期完全信息动态博弈，用反向归纳法求该博弈的纳什均衡。
在T 期，博弈未结束，这表明在之前各期都选择等待，双方的收益矩阵为 抢夺 等待
抢夺 2T x ，2T x 2
T
x ，0 等待 0，2
T
x 0， 0 在最后一期，都抢夺是唯一的纳什均衡。
在T-1期，因为x T /2<x 1-T ,所以在T-1期双方等待都不是均衡，T-1期博弈方的
收益矩阵为
抢夺 等待
抢夺 21-T x ，2
1
-T x x 1-T ,0 等待 0, x 1-T 2T x ，2
T
x
因为两参与者都是完全信息的，并且博弈结构是公共信息，因此两者在T-1期都
选择等待时，其收益就是在最后一期将获得的收益，而在第T 期，（抢夺，抢夺）是唯一的纳什均衡，则改期收益（2T x ，2
T
x ）即为等待等待的收益 因为1<x<2，那么x 1211⋅<⋅--T T x x ，得到2
T
x < x 1-T ,所以在T-1期，抢夺都是严格占优策略，（抢夺，抢夺）是唯一的纳什均衡，由此可得出在任意t 期，两参与者都会选择抢夺，博弈在第一轮就结束，均衡为（抢夺，抢夺） 两参与人收益为（2
,2x x ）
4、假定在一个博弈模型中，有两个参与者，一个是政府，一个是私人部门。
私人部门选择的是预期的通货膨胀率，政府选择的是给定预期通货膨胀的情况下所采取的实际通货膨胀率。
并且政府不仅关心通货膨胀问题，还关心失业问题。
政府的效用函数为：
2*2)(ky y c U ---=π
其中π是通货膨胀，*y 是自然失业率下的均衡产量，Y 是实际产量，
1,0〉〉k c
同时假定产出与通货膨胀率之间的关系是由含有通货膨胀预期的菲力普斯曲线来决定，也就是说菲力普斯曲线是：
)(*e y y ππβ-+=
其中e π是预期的通货膨胀率，0〉β
如果私人都有理性预期，试运用博弈论的相关知识来证明在短期内政府所采取的通货膨胀政策不能增加产出。
这道题是完全信息动态博弈，因为实在给定私人部门通货膨胀预期的情况下
制定货币政策，政府面临的最大化问题就是：
Max 2*2)(ky y c U ---=π
S.t .)(*e y y ππβ-+=
运用拉格朗日函数解这一问题，π*=(c+β2)1-β[βπε+(k-1)y *],这是政府的反应函数，又由于假设私人部门具有理性预期，也就是说预期的通货膨胀率等于π*，所以πε=π*=c 1-β(k-1)y *,由于私人部门具有理性预期，实际产出水平将于通货膨胀率无关而等于自然失业率下的产出水平，另一方面却要忍受通货膨胀的痛苦，得证。
5、在市场进入模型中，市场逆需求函数为p ＝13-Q ，进入者和在位者生产的边际成本都为1，固定成本为0，潜在进入者的进入成本为4。
博弈时序为：在位者首先决定产量水平；潜在进入者在观察到在位者的产量水平之后决定是否进入；如果不进入，则博弈结束，如果进入，则进入者选择产量水平。
求解以上博弈精炼纳什均衡。
6、假设一个家长和他的孩子进行如下的博弈：第一，小孩选择一个行动A ，可以使孩子获得收入I c (A),并使得家长得到收入I p (A)（可以认为I c (A)为孩子减去因为A 发生的各种成本后的净收益）；第
二，家长观察到收入I c (A)和 I p (A)，然后选择给孩子的奖励或者惩
罚B 。
孩子的收益为U(I c +B),，家长的收益为V(I p -B)+k(I c +B)，其中
k>0反映出家长关心孩子的福利。
假定行动是一个非负数字，A ≥0，收入函数I c (A)和 I p (A)为严格凹且分别能够达到最大值；奖励或惩
罚B 为正或为负的数字；且效用函数U 和V 递增并严格凹。
证明：孩子选择可使全家收入I c (A)+ I p (A)最大化的行为。
用逆向归纳法求解，首先给定A ，最大化家长的收益V ()()B A I p -+K ()()B A I C +,由一阶条件得，B(A)=I ()+A p V ()k 1-.给定B （A ），最大化孩子收益U ()()()A B A I c +,
一阶条件为U ⋅()B I C +()()[]A I A I P C ,,+=0，所以I ()()0,,
=+A I A P c ,即孩子的行动
与最优化全家收入的行动相同。