正切函数
正切函数课件
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
方法归纳 求函数 y＝Atan(ωx＋φ)定义域、周期、单调区间的方法 (1)定义域：由 ωx＋φ≠kπ＋π2 ，k∈Z，求出 x 的取值集合即
为函数的定义域，即xx≠kπ＋ωπ2 －φ，k∈Z.
(2)周期性：利用周期函数的定义来求．
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第一章 三 角 函 数
fπ6 ＝_______3________．
π
π
解析：由题意知 x＋ 6 ≠kπ＋ 2 (k∈Z)，
π 即 x≠ 3 ＋kπ(k∈Z)．
故定义域为xx≠kπ＋π3 ，k∈
Z，
且 fπ6 ＝tanπ6 ＋π6 ＝ 3.
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第一章 三 角 函 数
正切函数的图像
求函数 f(x)＝tan |x|的定义域与值域，并作其图像．
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第一章 三 角 函 数
2．y＝tan(x＋π)是( A ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：因为 y＝tan(x＋π)＝tan x，所以 y＝tan(x＋π)是奇函 数．
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第一章 三 角 函 数
3．函数 f(x)＝tanx＋π6 的定义域是_x__x_≠__k_π__＋__π3__，__k_∈__Z_，
域是[0，＋∞)，图像如图实线部分所示．
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第一章 三 角 函 数
1．(1)函数 y＝sin x 与 y＝tan x 在区间－3π2 ，32π上的交点个
数是( A ) A．3
B．4
C．5
D．6
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第一章 三 角 函 数
解析：(1)如图，函数 y＝sin x 与 y＝tan x 在区间－32π，32π
正切函数的定义、图像与性质
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质：
2、值域： R tan x 当 x ＜ 2 k k Z 且无限接近于 2 k 时，
tan x k k Z 且无限接近于 k 时， 当 x＞ 2 2
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质：
3、周期性：
对任意的 x R, 且x
2
k , k Z 都有
tanx tan x
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质： 4、奇偶性：奇函数,正切曲线关于原点 O 对称. 任意 x k , k k Z ，都有 2 2 tan x tan x 正切函数是奇函数. k ， 0 （ k Z ） 正切函数的对称中心为：
例2：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。 （1） tanx >0 （2）tanx <1 y
y
x
1 –/2 0 /4 /2
x
–/2
0
/2
（k，k+/2） kz
（k–/2，k+/4）kz
例 3：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是区间 ( k , k ) ，k Z 内都是增函数。 2 2
kZ x k , (6)渐近线方程： 2
(7)对称中心
kπ ( ,0) 2
四、应用： 例1．求函数 y tan x 的定义域．
4
解：令
z x
sin x tan x f x cos x 是它的最小正周期．
下面我们先来作一个周期内的图象。 想一想：先作哪个区间上的图象好呢？ ππ (- , ) 为什么？ 2 2
正切函数公式
正切函数公式 正切函数适⽤于坡度计算，它的公式有诱导公式，有n倍⾓公司。
下⾯是店铺给⼤家整理的正切函数公式，供⼤家参阅! 正切函数公式 诱导公式 tan(2kπ+α)=tan α tan(π/2-α)=cot α tan(π/2+α)=-cot α tan(π+α)=tan α tan(π-α)=-tan α 两⾓和差公式 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) tg(a+b+c)=tgα+tgb+tgc-tgatgbtgc/1-tgatgb-tgctgb-tgatgc n倍⾓公式 tan(na)=sinna/cosna=∑(-1)(^i-1)/2×C(i)(n)×cos^n-i sin^i/∑(-1)^i/2×C(i)(n)×sin^n-i cos^i 例 这⾥将为⼤家简单叙述⼀下tan的三⾓函数公式。
⽤锐⾓符号表⽰出来的两个⾓⾓度均为α。
则 tan α=1/3 的意思是 过C、D分别向y轴、x轴作垂线 (C、D为图中的反⽐例函数与⼀条⼀般直线函数的交点，也为两个α⾓⾮坐标轴的边上的点) 构成含α⾓的直⾓三⾓形后，较短直⾓边与较长直⾓边的⽐为 1/3。
万能公式 即⽤tga/2表⽰三⾓函数的 sina=(2tga/2)/(1+tg^2a/2) cosa=(1-tg^2a/2)/(1+tg^2a/2) tga=(2tga/2)/(1-tg^2a/2) cota=(1-tg^2a/2)/(2tga/2) seca=(1+tg^2a/2)/(2tga/2) csca=(1+tg^2a/2)/(2tga/2) tanA=sina/cosa=(bc/ab)*(ab/ac)=bc/ac(其中sina=bc/ab cosa=ac/ab) 正切函数定义 正切函数是⾓θ在任意直⾓三⾓形中，与θ相对应的对边与邻边的⽐值叫做正切。
正切函数
16:21:44
正切是怎样定义的？
如图,设是一个任意角,它的终 边与单位圆交于点P(x,y)，那么：
y 即 tan a = ( x ? 0) x p 当 a = + kp (k ? Z ) 时，终边在y轴上，
2
y x 叫做的正切，记作 tan
Y
P(x,y)
O A(1,0)
3 2 5 1 解得 - + 2k < x < + 2k , k ? Z 3 3 5 1 所以该函数的单调递增区间是 (- + 2k , + 2k ), k ? Z 3 3
16:21:44
2
2
反馈练习
1、比较大小:
(1) tan13
< --------
tan 208
13 17 (2) tan(- p ) --------tan(- p ) > 4 5
p p = A tan[w( x + ) +j ] = f ( x + ) w w
p \ T= w
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例2.不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小：
(1) tan167 与tan173 解 (1) 90 <167 <173
<180
11 13 ( 2) tan(- 4 p )与 tan(- 5 p )
禳 p 镲 x x? 睚 2 镲 铪 kp , k ? Z
内的每一个 x ，
都有 tan( x +T ) = tan x ， 不妨令 x = 0 则 tan T = tan 0 = 0
\ T = kp , k ? Z
高中正切函数
正切函数是三角函数的一种，英文是tangent，简写成tan。
正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值叫做正切。
放在直角坐标系中，tan取某个角并返回直角三角形两个直角边的比值。
此比值是直角三角形中该角的对边长度与邻边长度之比，也可写作tg。
正切函数的定义域为所有实数，值域为所有实数除去奇数倍的π。
正切函数的公式表示为：tanx = sinx/cosx，这表示角x的正切值等于角x的正弦值除以角x的余弦值。
正切函数的性质包括：定义域为{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}，值域为实数集R，奇偶性为奇函数，单调性在区间(-π/2+k π, π/2+kπ),(k∈Z)上是增函数，周期性最小正周期π（可用T=π/|ω|来求）。
以上信息仅供参考，如有需要建议查阅数学书籍或咨询数学老师。
正切函数(tan)
正切函数(tan)全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正切函数是一种基本的三角函数，常用符号为tan，表示为y=tan(x)。
在数学中，正切函数是一个周期函数，定义域为全体实数，值域为实数。
正切函数在三角学和分析几何中有着重要的作用，在物理学、工程学等领域也被广泛地应用。
正切函数与正弦函数、余弦函数一样，是三角函数的基本函数之一。
正切函数的图像是一条以原点为中心，斜率为正的曲线，这条曲线在x轴的正方向上无限延伸。
正切函数的周期是π，即tan(x)在x=0，x=π，x=2π等处都有定义。
正切函数在x=π/2，x=3π/2等处有奇点，因为在这些点上正切函数的值变为无穷大。
正切函数的性质是其定义和计算的基础，其性质包括奇偶性、周期性、定义域、值域、单调性、导数等。
通过研究这些性质，我们可以更深入地理解正切函数的特点和规律。
正切函数的奇偶性是一个重要的性质。
正切函数是一个奇函数，即满足tan(-x)=-tan(x)。
这个性质可以通过正切函数的图像来理解：正切函数关于原点对称，即y=tan(-x)的图像与y=tan(x)的图像关于y 轴对称。
正切函数的周期性是另一个重要的性质。
正切函数的周期是π，即tan(x)=tan(x+π)，这说明正切函数的图像在每隔π的区间内呈现出相同的模式。
正切函数的周期性可以帮助我们研究和分析正切函数的行为。
正切函数的定义域是全体实数，但在一些特殊的点上正切函数是没有定义的，这些点称为正切函数的奇点。
正切函数在x=π/2，x=3π/2等处有奇点，因为在这些点上正切函数的值变为无穷大。
在计算中，我们需要注意这些奇点，避免出现无法解释的结果。
正切函数的值域是实数。
正切函数在整个定义域上都有定义，可以取任意实数的值。
正切函数的图像可以在y轴的正方向上无限延伸，因此正切函数的值域是实数。
正切函数的单调性是一个重要的性质。
正切函数在定义域的每个周期内都是单调递增或单调递减的。
这个性质可以通过对正切函数的导数进行分析来证明。
§7.0正切函数的定义、图像及诱导公式
2. 我们已经研究了正、余弦函数的图象 和性质， 因此,进一步研究正切函数的性 质与图象就成为学习的必然.
知识探究（二）：正切函数的图像
正弦函数的图像我们可以借助正弦线 把它画出，那么对于正切函数是否也 存在正切线呢？
正切线：
y
的终边
T A x T
的终边
y
T
A x T
O
O
的终边
的终边
例2：不通过求值,比较下列各组两个正切值的大小。
(1) tan138 与 tan143
解：（） 90 138 143 270 1
y tan x, x (90 ,270 ) 是增函数，
tan 138 tan 143
（2）比较
13 tan 4
知识探究（三）：正切函数的诱导公式
y tan x y tan( ) x
即： tan( ) tan
y tan x
y y tan( ) x x
即： tan( ) tan
y tan x
y tan( ) x
k ( k Z) 诱导公式可统一为 2
奇变偶不变，符号看象限.
的三角函数与α的三角函数之间的关系。
5. 由周期性,可把图象左右扩展得到正切函数的图象.
y tan x ，x ， 的图像: 利用正切线画出函数 2 2 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线 ， ， ， ， ， 8 8 8 4 8 4 (3) 平移 (4) 连线
正切函数
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正切函数的图像与性质
编写齐洪祥时间 2010-3-26 审核王维芳
一、学习目标：
1、掌握正切函数的图像与性质（如定义域、单调性、奇偶性、周期性、最大最小值、图像与
x轴的交点、对称中心等）并能灵活的运用；
2、了解利用单位圆中的三角函数线画出正切函数的图像及方法；
3、体会数形结合的数学思想，了解类比思想在解决题目中的应用；
二、重点难点
1、正切函数的性质、图像及其应用
2、利用正切函数线画出正切函数y=tanx的图像
三、学习过程：
1、正切函数y=tanx的定义域为：；值域；奇偶
性：；
2、正切函数y=tanx的最小正周期为：；y=tan(ϕ
ω+x)的最小正周期为：；
3、正切函数y=tanx在每一个开区间内都是增函数；
4、正切函数y=tanx的对称中心坐标
5、阅读P44了解利用单位圆中的三角函数线画出正切函数的图像及方法
与前面正弦函数的图像做法有什么不同？
你能从正切函数的图像出发，讨论它的性质吗？
【函数性质】
例题1:求函数y=tan(
3
2
π
π
+
x)的定义域、周期和单调区间
变式1：求函数y=tan(
6
2
1π
-
x)的定义域、周期和单调区间及图像的对称中心
变式2：求函数f(x)=tan(4
67x
-π)的定义域、值域、周期和单调区间及图像的对称中心
【比较大小】
例题2：比较下列两个正切值的大小
00143tan 138tan 与
变式：比较大小
（1） tan1 tan4 (2))413tan(π- )5
17tan(π
-
四、基础达标
1．函数的最小正周期是（）
A．B ．C ．D ．
2．函数的定义域是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．函数的值域是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．函数的一个对称中心是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．函数在一个周期内的图像是（）
6、若
5
tan
tan
π
>
x且x在第三象限，则x的取值范围是
7、函数)
3
2
tan(
)
(
π
+
=
x
x
f的定义域是
8．求函数的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．9、求函数3
tan
2
tan
)(2-
-
=x
x
x
f当x)
4
,
3
(
π
π
-
∈时的值域
五、小结与反思。