高中数学奥林匹克竞赛试题
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨全国高中数学联合竞赛一试及加试试题(A卷)
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨全国高中数
学联合竞赛一试及加试试题（A 卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、解答题
9．平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4y x Γ=，F 为Γ的焦点，A ，B 为Γ上的两个不重合的动点，使得线段AB 的一个三等分点P 位于线段OF 上（含端点），记Q 为线段AB 的另一个三等分点.求点Q 的轨迹方程.
10．已知三棱柱111:ABC A B C Ω-的9条棱长均相等.记底面ABC 所在平面为α.若Ω的另
(1)点K在TDP
的外接圆上；
(2)K为定点.
13．正整数n称为“好数”，如果对任意不同于
参考答案：
取卡片（顶点）的规则可解释为：
（ⅰ）若顶点P 已取走，则以下每步取当前标号最小或最大的顶点，直至取完；
（ⅱ）若顶点P 未取走，则必为某个()(),,0G m n m n ≥的情形，此时若号顶点，
【详解】
()11,x y ，()22,B x y .)1,0.由于点P 位于线段t ，22y t =-，则1x ，B 不重合知0t ≠，所以)2x x +【详解】
，1B ，1C 在平面α上的投影分别为1C ，11ABB A ，11ACC A ，BCC
）
的圆心O，过点O作AB的平行线l ，D，P，K共圆及KD KP
=，可知=︒-∠=︒-∠=∠
9090
DTB ATD PBA
∠的平分线.所以点K在直线为DTP。
【精品】数学奥林匹克竞赛高中训练题集【共36份】
目 录
数学奥林匹克高中训练题（01） ........................................................................................................................... 1 数学奥林匹克高中训练题（02） ........................................................................................................................... 3 数学奥林匹克高中训练题（03） ........................................................................................................................... 4 数学奥林匹克高中训练题（04） ........................................................................................................................... 6 数学奥林匹克高中训练题（05） ........................................................................................................................... 8 数学奥林匹克高中训练题（06） ...........................................................
全国高中数学奥林匹克竞赛试题
全国高中数学奥林匹克竞赛试题一、设集合A为所有满足条件“能被3整除且末位数字为7”的正整数的集合，集合B为所有满足条件“能被7整除且末位数字为3”的正整数的集合。
则集合A和B的交集：A. 只含有一个元素B. 含有有限个元素C. 含有无限多个元素D. 为空集（答案）C二、在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a + 2b = 3c，且sin A : sinB : sinC = 3 : 4 : 5，则cos C的值为：A. 1/5B. -1/5C. 3/5D. -3/5（答案）B三、已知函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d的图像经过点(0,1)，且在x=1处取得极值，在x=-1处取得最值。
则a+b+c的值为：A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）D四、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = -23，且S10 = S14，则S20的值为：A. -110B. -90C. -70D. -50（答案）C五、已知椭圆C的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a > b > 0)，其左焦点为F，过F作直线l 交椭圆C于A、B两点。
若|AF| = 3|FB|，且cos∠BFA = -5/13，则椭圆C的离心率为：A. √2/2B. √3/2C. 2√2/3D. √5/3（答案）A六、设函数f(x) = ex - ax - 1，若存在唯一的实数x0，使得f(x0) = 0，则实数a的取值范围为：A. a < 0B. 0 < a < 1C. a > 1D. a = 1（答案）C七、已知向量a = (1,2)，b = (2,m)，若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是：A. m > -1 且 m ≠ 4B. m > 4C. m ≠ 4D. -1 < m < 4（答案）A八、设函数f(x) = ln(x + 1) - x2/2，若对所有的x ∈ [0, +∞)，都有f(x) ≤ ax + b ≤ x2/2 + ln(x + 1)成立，则a + b的最大值为：A. -1B. 0C. 1/2D. 1（答案）B。
高中数学竞赛试卷及解答
高中数学奥林匹克竞赛试题(9月7日上午9:00-11:00) 注意事项:本试卷共18题,满分150分一、选择题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分） 1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x),则(A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数(C)y ＝f(x)既是奇函数,也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数,也不是偶函数2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。
记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|,M ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|,则(A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N(D)M 、N 的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是(A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中,若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC,则(A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形5.ΔABC 中,∠C ＝90°。
若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根,则下列关系中正确的是(A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞21-(C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤216.已知A （－7,0）、B （7,0）、C （2,－12）三点,若椭圆的一个焦点为C,且过A 、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为(A)双曲线 (B)椭圆(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分二、填空题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分）7. 满足条件{1,2,3}⊆ X ⊆{1,2,3,4,5,6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。
2024年全国高中数学联赛
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试试题(A )一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.若实数m >1满足98m log log =2024，则32m log log 的值为.2.设无穷等比数列{a n }的公比q 满足0<q <1.若{a n }的各项和等于{a n }各项的平方和，则a 2的取值范围是.3.设实数a ，b 满足：集合A ={x ∈R |x 2-10x +a ≤0}与B ={x ∈R |bx ≤b 3}的交集为4,9 ，则a +b 的值为.4.在三棱锥P -ABC 中，若PA ⏊底面ABC ，且棱AB ，BP ，BC ，CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为.5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a ,b ．若事件a +b =7发生的概率为17，则事件“a =b ”发生的概率为.6.设f (x )是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数g (x )=f (2x )在区间0,5 上的零点个数为25，则g (x )在区间［1,4）上的零点个数为.7.设F 1,F 2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P （异于长轴端点），记O 为△PF 1F 2的外心，若PO ∙F 1F 2 =2PF 1 ∙PF 2 ，则Ω的离心率的最小值为.8.若三个正整数a ,b ,c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(a ,b ,c )为“幸运数组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10<a <b <c 的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ΔABC 中，已知cos C =sinA +cosA 2=B sin +cosB 2,求cos C 的值.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x 2-y 2=1的右顶点为A .将圆心在y 轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA的所有可能的值.11.（本题满分20分）设复数z ，w 满足z +w =2，求S =z 2-2w +w 2-2z 的最小可能值.2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)一．(本题满分40分)给定正整数r,求最大的实数C,使得存在一个公比为r的实数等比数列a nn≥1,满足a n≥C对所有正整数n成立.(x 表示实数x到与它最近整数的距离.)二．(本题满分40分)如图，在凸四边形ABCD中，AC平分∠BAD,点E,F分别在边BC,CD上，满足EF||BD,分别延长FA,EA至点P,Q,使得过点A,B,P的圆ω1及过点A,D,Q的圆w2均与直线AC相切.证明：B,P,Q,D四点共圆.(答题时储将图画在答卷纸上)三．(本题满分50分)给定正整数n.在一个3×n的方格表上，由一些方格构成的集合S称为“连通的”,如果对S 中任意两个不同的小方格A,B,存在整数l≥2及S中l个方格A=C1,C2,…,C l=B,满足C i与C i+1有公共边(i=1, 2,⋯,l-1).求具有下述性质的最大整数K:若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S,使得S中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K.四.(本题满分50分)设A,B为正整数，S是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1)对任意非负整数k,有A K∈S;(2)若正整数n∈S,则n的每个正约数均属于S;(3)若m,n∈S,且m,n互素，则mn∈S;(4)若n∈S,则An+B∈S.证明：与B互素的所有正整数均属于S.。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
数学奥林匹克高中训练题(19)及答案
数学奥林匹克高中训练题（19）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题24) 对于每一对实数,x y ，函数f 满足方程()()()1f x y f x f y xy +--=+，且(1)1f =．那么，()(1)f n n n =≠的整数n 的个数共有(B)个．(A)0 (B)1 (C)2 (D)32．(训练题24)有六个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的排法种数为(A)．(A)72 (B)96 (C) 48 (D) 以上都不对3．(训练题24)在一次体育比赛中，红白两队各有5名队员参加，比赛记分办法是：队员在比赛中获第几名就为本队得几分，且每个队员的得分均不同，得分少的队获胜，则可能获胜的分数是(C)．(A)29 (B)28 (C) 27 (D) 134．(训练题24)现有下面四个命题：①底面是正多边形，其余各面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥．②底面是正三角形，相临两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．③有两个面互相平行，其余四个面都是全等的等腰梯形的六面体是正四棱台．④有两个面互相平行，其余各个面是平行四边形的多面体是棱柱．其中，正确的命题的个数是(D)．(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)05．(训练题24)设:f N N →，且对所有正整数n ，有(1)(),(())3f n f n f f n n +>=．(1997)f 的值为(C)．(A)1997 (B)1268 (C)3804 (D)59916．(训练题24)247247(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1x x x y y y y x ⎧+++=+⎨+++=+⎩的解(,)x y 共有(B)组． (A)4 (B)2 (C)1 (D)0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题24)数列{}n a 的前14项是4，6，9，10，14，15，21，22，25，26，33，34，35，38，…．按此规律，则16a = 46 ．2．(训练题24)函数1()f x x=⋅的值域是 (0,1) ．3．(训练题24)16=+的解是 ．4．(训练题24)若方程2(12)30()x i x m i m R +-+-=∈有一实根、一虚根，则此虚根是 122i -+ ． 5．(训练题24)平面上有四点,,,A B C D ，其中,A B 为定点，且,AB C D =为动点，且1AD DC BC ===，记ABD S T BCD ∆=∆为的面积．则22S T +的取值范围是223748S T ≤+≤ ． 6．(训练题24)使不等式1111199512213a n n n +++<-+++对一切自然数n 都成立的最小自然数a 是 1997 ．第二试一、(训练题24)(本题满分25分)已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，c 为半焦距，弦AB 过焦点2F ．求1F AB ∆的面积的最大值．二、(训练题24)(本题满分25分)若1110,1,,6n i i i i x x x x n +=>==>∑，求证：111!ni i i n x x =+∏>+． 三、(训练题24)(本题满分35分)已知ABC ∆是等腰三角形，,AB AC CD =是腰AB 上的高线，CD 的中点为,,M AE BM E AF CE F ⊥⊥于于．求证： 13AF AB ≤． 四、(训练题24)(本题满分35分)46个国家派代表队参加一次国际竞赛，比赛共4个题，结果统计如下：做对第一题的选手235人，做对第一、二的选手59人，做对第一、三的选手29人，做对第一、四的选手15人，全做对的3人．存在这样的选手，他做对了前三题，但没有做对第四题．求证：存在一个国家，这个国家派的选手中至少有4个人，他们只做对了第一题．。
数学奥林匹克高中训练题(20)及答案
数学奥林匹克高中训练题（20）第一试一、选择题（本题满分 36分，每小题6分）x — a1.（训练题25）已知函数y 的反函数的图象关于点（-1,3）成中心对称图形，则实数 a 等于x-a -1（A ）.（A ） 2 （B ）3（C ）-2（D ）-4,5 I222.（训练题25）我们把离心率等于黄金比 丄二的椭圆称之为“优美椭圆”.设二•爲=1（a > b >2a 2b 20）为优美椭圆，F, A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，贝y ■ ABF 等于（C ）.复数一定是（C ）.Z 26.（训练题25）在集合M 二｛1,2,3,）11,10｝的所有子集中，有这样一族不同的子集,不是空集，那么这族子集最多有（B ）. （A ） 210 个（B ） 29 个（C ）102 个（D ） 92 个(A) 60o(B)75°(C)90o(D)120°3.（训练题25）已知 ABC 三边的长分别是a,b,c , 复数Z i ,Z 2满足 Z i =a, Z 2 =b,乙+ z 2 = c ，那么（A ）是实数(B)是虚数(C)不是实数(D) 不是纯虚数4.（训练题25）函数 f (X)二 1（-厂卩：21 c2 c 2CE 的最大值是（D ）. (A) 20(B)10(C)-10(D)-205 .（训练题 25）以O 为球心，4为半径的球与三条相互平行的直线分别切于A,B,C 三点.已知S.BOC = 4 ,S ABC 16，则• ABC 等于(B).Ji(A)—12(B)5■： 7■:12(C)12(D)11- 12它们两两的交集都二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1.（训练题25）在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中3线所在直线方程分别是 v =3x • 1和v = mx • 2，则实数m 的值是3或124x2 •（训练题25）设f （x ） J （a .0,a "） , [m]表示不超过实数m 的最大整数，则函数1+a x1 1[f （x ） ] [f （-x ）]的值域是 ___________ {-1,0} ________ •2 2 ------------------------------3 •（训练题25）设a, b,c 是直角三角形的三条边长，c 为斜边长，那么使不等式a 2 （bc ） b 2 （c a ） c 2 （a • b ） _ kabc 对所有直角三角形都成立的 k 的最大值是2 3 r 2•4.（训练题25）如图，正三棱柱 ABC -ABG 的各条棱长都是1,截面BCD 1 在棱AA 上的交点为D ,设这个截面与底面ABC 和三个侧面ABB 1A 1,BCC 1B 1,CAAC 1所成的二面角依次为：「，：七，〉，若 c o ：s^ c o 2s-c 3o S，则截面的面积等于 —3乜 _______________85.（训练题25）已知f （x ）是定义域在实数集的函数，且f （X • 2）[1 - f （X ）] =1 • f （x ）•若f （1） =2，,3 , 则 f （1949）的值是 ___________ p 3 - 2 .6.（训练题25）设x 1是方程.3sin x 「3cosx = 2a 「1的最大负根，x 2是方程2cos 2x 「2sin 2x = a 的最小正根，那么，使不等式为Ex?成立的实数a 的取值范围是 ________ - -43^a^~或 a= 2 __________.2第二试一、 （训练题25）（本题满分25分）某眼镜车间接到一任务，需要加工 6000个A 型零件和2000个B 型 零件，这个车间有 214名工人，他们每一个人加工 5个A 型零件的时间可加工 3个B 型零件•将这些 人分成两组同时工作，每组加工同一型号的零件，为了在最短的时间完成，应怎样分组？ 77二、 （训练题25）（本题满分25分）已知一个四边形的各边长都是整数， 并且任意一边的长都能整除其余三边之和.求证：这个四边形必有两边相等.B 1B（训练题25）（本题满分35 分）实数数列a1, a2, |a3, ,a M足a P 帕弋钏帕996—為97=1997若数列｛0｝满足：b k = ai+：+川％（k =1,2川1997）.求bf —b2 + b2 —…+0 996-匕997的最大可能值.四、（训练题25）（本题满分35分）给定两个七棱锥，它们有公共的底面A,A2A3A4A5A6A7，顶点R,P2在底面的两侧•现将下述线段中的每一条染红，蓝两色之一：R,P2，底面上的所有的对角线和所有的侧棱.求证：图中心存在一个同色三角形.。
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高中数学奥林匹克竞赛试题(9月7日上午9：00-11：00)注意事项：本试卷共18题，满分150分一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x)，则(A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数(C)y ＝f(x)既是奇函数，也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数，也不是偶函数2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。
记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，M ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，则(A)M ＞N (B)M ＝N(C)M ＜N(D)M 、N 的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是(A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8(C) 6或7或8 (D) 4或5或64.ΔABC 中，若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC ，则(A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形(B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形(C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形(D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形5.ΔABC 中，∠C ＝90°。
若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则下列关系中正确的是(A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞21- (C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤21 6.已知A （－7，0）、B （7，0）、C （2，－12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为(A)双曲线 (B)椭圆(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）7. 满足条件{1，2，3}⊆ X ⊆{1，2，3，4，5，6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。
8. 函数a|a x |x a )x (f 22-+-=为奇函数的充要条件是＿＿＿＿。
9. 在如图所示的六块土地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只种其中一种，也可两种都种），要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜，则种蔬菜的方案数共有＿＿＿＿种。
10. 定义在R 上的函数y ＝f(x)，它具有下述性质：(i)对任何x ∈R ，都有f(x 3)＝f 3(x)，(ii)对任何x 1、x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)，则f(0)＋f(1)＋f(－1)的值为＿＿＿＿。
11. 已知复数z 满足3z z z z =--⋅，且3)1z arg(π=-，则z ＝＿＿＿＿。
12. 已知动点P （x ，y ）满足二次方程10x －2xy －2y ＋1＝0，则此二次曲线的离心率为＿＿＿＿。
三、解答题（本大题共6个小题，满分78分）13.（本题满分12分）如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB 与BC 的中点。
(Ⅰ)求二面角B －FB 1－E 的大小；(Ⅱ)求点D 到平面B 1EF 的距离； (Ⅲ)在棱DD 1上能否找到一点M ，使BM ⊥平面EFB 1？ 若能，试确定点M 的位置；若不能，请说明理由。
14.（本题满分13分）关于x 的一元二次方程2x 2―tx ―2＝0的两个根为α、β((Ⅰ)若x 1、x 2为区间[α，β]上的两个不同的点，求证：4x 1x 2－t(x 1＋x 2)－4＜0； (Ⅱ)设1x t x 4)x (f 2+-=，f(x)在区间[α，β]上的最大值和最小值分别为f max 和f min ，g(t)＝f max －f min ，求g(t)的最小值。
15.（本题满分13分）已知a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝(n ＋3)a n ＋1－(n ＋2)a n ，若当m ≥n 时，a m 的值都能被9整除，求n 的最小值。
16.（本题满分13分）一台计算机装置的示意图如图，其中J 1、J 2表示数据入口，C 是计算结果的出口。
计算过程是由J 1、J 2分别输入自然数m 和n ，经过计算后得自然数K 由C 输出。
若此装置满足以下三个性质：①J 1、J 2分别输入1，则输出结果1；②若J 1输入任何固定自然数不变，J 2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2； ③若J 2输入1，J 1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问：m n K A B A C 1 D 1E(Ⅰ)若J 1输入1，J 2输入自然数n ，则输出结果为多少？(Ⅱ)若J 2输入1，J 1输入自然数m ，则输出结果为多少？(Ⅲ)若J 1输入自然数2002，J 2输入自然数9，则输出结果为多少？17.（本题满分13分）以A 为圆心，以2cos θ（4π＜θ＜2π）为半径的圆外有一点B ，已知|AB|＝2sin θ。
设过点B 且与圆A 外切于点T 的圆的圆心为M 。
（Ⅰ）当θ取某个值时，说明点M 的轨迹P 是什么曲线；（Ⅱ）点M 是轨迹P 上的动点，点N 是圆A 上的动点，把|MN|的最小值记为f(θ)（不要求证明），求f(θ)的取值范围；（Ⅲ）若将题设条件中的θ的范围改为（0＜θ＜4π＝，点B 的位置改为圆内，其它条件不变，点M 的轨迹记为P 。
试提出一个和具有相同结构的有意义的问题（不要求解答）。
18.（本题满分14分）设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，其体对角线长为l ，试证：(l 4－a 4)(l 4－b 4)(l4－c 4)≥512a 4b 4c 4。
湖南省2002年高中数学竞赛试题解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）1. 解：由y ＝f －1(－x)得f(y)＝－x ，故y ＝－f(x)是y ＝f －1(－x)的反函数，即－f(x)＝f(－x)。
所以y ＝f(x)是奇函数，选（A ）。
注：也可以先求得y ＝f(－x)的反函数为y ＝－f －1(x)，进而知y ＝f －1(x)是奇函数，故y ＝f(x)是奇函数。
2. 解：如图，f(1)＝a ＋b ＋c ＜0，f(－1)＝a －b ＋c ＞0，a ＞0，f(0)＝c ＜0，a 2b -＞1。
从而b ＜0，2a ＋b ＜0，2a －b ＞0，a －c ＜0。
故M －N ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|－|a ＋b ＋c|－|2a －b|＝(a －b ＋c)＋(a ＋b ＋c)－(2a ＋b)－(2a －b)＝―2(a ―c)＜0，所以选（C ）。
3.解：由图形可知应当选（B ）。
4. 解：因为左边＝sinAcosA ＋sinAcosB ＋sinBcosA ＋sinBcosB ＝21(sin2A ＋sin2B)＋sin(A ＋B)＝sin(A ＋B)cos(A －B)＋sin(A ＋B)，右边＝2sin(A ＋B)。
所以已知等式可变形为sin(A ＋B)[cos(A ＋B)－1]＝0。
又因sin(A ＋B)＞0，所以cos(A －B)＝1，故A ＝B 。
另一方面，A ＝B ＝30°，C ＝120°也符合已知条件。
所以ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形，选（A ）。
5. 解：由根与系数的关系可知sinA ＋sinB ＝－p ＞0，sinAsinB ＝q ＞0，即sinA ＋cosA ＝－p ＞0，sinAcosA ＝q ＞0。
再由sin 2A ＋cos 2A ＝1可知p 2－2q ＝1，p 2－4q ≥0且p ＜0，q ＞0。
所以p ＝－q 21+且0＜q ＝sinAcosA ＝21sin2A ≤21。
选（D ）。
6. 解：设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义知|AC|＋|AF|＝常数＝|BC|＋|BF|，故|BF|－|AF|＝|AC|－|BC|。
又|AC|＝15，|BC|＝13，|AB|＝14，所以|FB|－|FA|＝2＜14＝|AB|。
故点F 的轨迹为双曲线的部分，选（D ）。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）7.不同的X 共有23＝8个。
8. a ＞0。
9.解： 可得总方案数为21C C C C 34251607=+++。
10.解： f(0)＋f(1)＋f(－1)＝0。
11.解： z ＝i 32+。
12.解：由10x －2xy －2y ＋1＝0可得1x 295y +-=-，所以二次曲线为等轴双曲线，故离心率为2。
另解：由10x －2xy －2y ＋1＝0有x 2＋6x ＋y 2－6y －2xy ＋9＝x 2－4x ＋4＋y 2－4y ＋4。
即|3y x |)2y ()2x (22+-=-+-，所以22|3y x |)2y ()2x (22=+--+-，故e ＝2。
三、解答题（本大题共6个小题，满分78分）13.解：(Ⅰ)作BH ⊥B 1F 于H ，连结EH 。
则由EB ⊥平面BB 1F 可知EH ⊥B 1F （三垂线定理），于是∠EHB 是二面角B －FB 1－E 的平面角。
在Rt ΔBB 1F 中，BH ＝a 55a 41a a 21a FB BB BF 2211=+⋅=⋅，所以tg ∠EHB ＝25BH EB =。
故二面角B －FB 1－E 的大小为arctg 25。
(Ⅱ)容易证明ΔDEF ≌ΔB 1EF ，所以由EF B D DEF B 11V V --=可得点D 到平面B 1EF 的距离等于点B 1到平面DEF 的距离，当然等于a 。
(Ⅲ)设EF 与BD 交于点G ，连结B 1G 。
则由EF ⊥BD 以及EF ⊥B 1B知EF ⊥对角面BB 1D 1D ，于是面B 1EF ⊥面BB 1D 1D 。
在面BB 1D 1D 内过B作BK ⊥B 1G 于K ，延长后交D 1D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平面B 1EF 。
再在平面BB 1D 1D 内，由ΔB 1BG ∽ΔBDM 知DMBD BG B B 1=。
又B 1B ＝a ，BG ＝42，BD ＝2，所以DM ＝2a 。
这说明点M 在正方体的棱D 1D 上，且正好为D 1D 的中点。
14.解：(Ⅰ)因为x 1、x 2∈[α，β]，所以由抛物线y ＝2x 2―tx ―2的开口向上可知f(x 1)＜0且f(x 2)＜0。
即2x 12―tx 1―2＜0，2x 22―tx 2―2＜0。
两式相加得2(x 12＋x 22)－t(x 1＋x 2)―4＜0，故由A C 1 D 1平均值不等式可得4x 1x 2－t(x 1＋x 2)－4＜0。
(Ⅱ)依题意，416t t 2+-=α，416t t 2+-=β。
所以t 16t 81616t t 216t t 16t 161416t t t 416t t 4)(f 22222222-+-=++-+++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-⋅=α，t 16t 8)(f 2++=β。