09届高三数学上学期周考试题3

09届高三数学上学期周考试题（3）姓名__________1、若集合M={y ︱x 2=y ，x }R ∈，集合N={y ︱x+y=0，x R ∈}，则M N 等于（ D ）A.{y ︱y R ∈}B.{(-1,1),(0,0)}C.{(0,0)}D.{x ︱x ≥0}2．当x ∈(,)12时，不等式21()log x a x -<恒成立，则a 的取值范围是（ B ）（A ）),2[+∞ （B ）（1，2） （C ）]2,1( （D ）（0，1）3．若直线a ⊥平面α，直线b β⊂，有如下四个命题：①α∥β⇒a ⊥b ②α⊥β⇒a ∥b ③a ∥b ⇒ α⊥β ④a ⊥b ⇒α∥β其中正确的命题是（ D ）A .①② B .③④ C .②④ D .①③4.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),记()()x P x ξΦ=<.给出下列结论：①1(0)2Φ=;②()1()x x Φ=-Φ-;③(||)2()1P a a ξ=Φ-<;④(||)1()P a a ξ=-Φ>.其中正确命题的个数为 ( C )A.1B.2C.3D.45．若方程0031,)21(x x x x 则的解为=属于以下区间（ B ）A ．)31,0(B ．)21,31(C ．)1,21( D ．（1，2） 6.把函数)sin(ϕω+=x y （其中ϕ为锐角）的图象向右平移8π个单位或向左平移83π个单位都可使对应的新函数成为奇函数，则原函数的一条对称轴方程是（ D ） A.2π=x B. 4π=x C. 8π-=x D. 85π=x 7．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2003＋a 2004＞0，a 2003＋a 2005＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( B )A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．40088.设定义域为R 的函数f(ｘ)，ｇ(x)都有反函数,且函数f(x-1)和g -1(x-2)的图象关于直线y=x 对称,若g(5)=2004,则f(4)为 ( B )A.2007 B.2006 C.2005 D.20049．设a 、b 是方程2cot cos 0x x θθ+-=的两个不相等的实数根，那么过点2(,)A a a 和点2(,)B b b 的直线与圆221x y +=的位置关系是（ A ）A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．随θ的值变化而变化10．对于定义在R 上的函数()f x ，有下述四个命题，其中正确命题为（ C ）①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点A （1，0）对称； ②若对x ∈R ，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称； ③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称。

A ．①②④B ．②④C ．①③D ．①③④ 11.=-+200920081)1(ii ___________ 21003（1+i ） 12.篮球比赛进攻的一方由组织后卫把球传给其他四个队友中的任何一个,接着由拿球者再传给其他四人中的任何人,这样共传4次,则第4次球回到后卫手中传球的概率为________________136413．.函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 ．6π+14．P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心横坐标为 ．a -15．已知(21)nx +的展开式中，二项式系数和为a ，各项系数和为b ，则32323lim 2n a b a b →∞-=+____________3-. 16．在算式“1×□+4×□=30”的两个□中，分别填入一个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数依次为 ______. 10,517. 已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤33且与,6=⋅的夹角为α，（Ⅰ）求α的取值范围； （Ⅱ）求22()sin 2sin cos 3cos f ααααα=++的最小值。

解：（Ⅰ）由题意知6cos ||||=⋅=⋅ααcos 6||||=⋅BC AB αααααπtan 3sin cos 621sin ||||21)sin(||||21=⨯⨯=⋅=-⋅=BC AB BC AB S 333≤≤S 3tan 133tan 33≤≤≤≤∴αα即 BC AB 与是α 的夹角],0[πα∈∴]3,4[ππα∈∴ （Ⅱ）=++=++=ααααααα222cos 22sin 1cos 2cos sin 2sin )(f22sin 2cos 22)4πααα++=+ ]3,4[ππα∈ ]1211,43[42πππ∈+∴a )(3121142απαππαf 时即当当==+∴有最小值。

)(αf 的最小值是233+ 18．在一次有奖竞猜活动中，有A 、B 两个相互独立的问题，现规定：答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，先答哪个题可自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二个问题，否则终止答题。

若你参加答题，且假设答对问题A 、B 的概率分别为12、14（！）记先回答问题A 获得的奖金数为随机变量ξ，则ξ的可能取值分别是多少？（2）先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由。

解：（1）随机变量ξ的可能取值分别为0，1000，3000.-- 2）设先回答问题A 获得的奖金为ξ元，先回答问题B 获得的奖金为η元，则有11113111(0)1(1000)(1)(3000)22248248P P P ξξξ==-===⨯-===⨯=；； 1316000010003000750(2888E ξ∴=⨯+⨯+⨯==元） 同理：311(0)(2000)(3000)488P P P ηηη======；； 3115000020003000625(4888E η∴=⨯+⨯+⨯==元）故先回答问题A 获得的奖金期望较多19． 如图，直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，C 1C=CB=CA=2，AC ⊥CB. D 、E 分别为棱C 1C 、B 1C 1的中点.（1）求B A 1与平面A 1C 1CA 所成角的大小；(2)求二面角B —A 1D —A 的大小；（3）在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ？解：（1）∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱 ∴CC 1⊥底面ABC ∴CC 1⊥BC∵AC ⊥CB ∴BC ⊥平面A 1C 1CA …∴C BA 1∠为B A 1与平面A 1C 1CA 所成角22arctan arctan 11==∠C A BC C BA ∴B A 1与平面A 1C 1CA 所成角为22arctan …（2）分别延长AC ，A 1D 交于G . 过C 作CM ⊥A 1G 于M ，连结BM ∵BC ⊥平面ACC 1A 1 ∴CM 为BM 在平面A 1C 1CA 的内射影∴BM ⊥A 1G ∴∠CMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角平面A 1C 1CA 中，C 1C=CA=2，D 为C 1C 的中点∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG 中， 552=∴CM 5C M B t a n =∠∴, 即二面角B —A 1D —A 的大小为5arctan …（3）在线段AC 上存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD .其位置为AC 中点，证明如下：∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱柱 ， ∴B 1C 1//BC ∵由（1）BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ，F 为AC 中点 ∴C 1F ⊥A 1D ∴EF ⊥A 1D 同理可证EF ⊥BD, ∴EF ⊥平面A 1BD ∵E 为定点，平面A 1BD 为定平面 ,点F 唯一解法二：（1）同解法一…（2）∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱住 C 1C=CB=CA=2 , AC ⊥CB D 、E 分别为C 1C 、B 1C 1的中点, 建立如图所示的坐标系得C （0，0，0） B （2，0，0） A （0，2，0）C 1（0，0，2） B 1（2，0，2） A 1（0，2，2）D （0，0，1） E （1，0，2） )2,2,2()1,0,2(1-=-=∴BA 设平面A 1BD 的法向量为n (1,,)=l m r ⎩⎨⎧=μ-=λ⎩⎨⎧=μ+λ+-=μ+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴210222020BA n 0BD n 1得即 n (1,1,2)\=-r 平面ACC 1A 1的法向量为m r =（1，0，0） 1cos n,m6<>==r r…4分即二面角B —A 1D —A 的大小为66arccos （3）在线段AC 上存在一点F ，设F （0，y ，0）使得EF ⊥平面A 1BD 欲使EF ⊥平面A 1BD由（2）知，当且仅当n r //FE )2,y ,1(-= 1=∴y∴存在唯一一点F （0，1，0）满足条件. 即点F 为AC 中点19、设函数22)1ln()1()(x x x f +-+=(1)求函数)(x f 的单调区间;(2)当]1,11[--∈e ex 时，不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围;(3)关于x 的方程．．]2,0[)(2在a x x x f ++=上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围。

解: (1)函数定义域为),1()1,(+∞---∞ ,,1)2(2]11)1[(2)(++=+-+='x x x x x x f 由,0)(>'x f 得,012>-<<-x x 或 由,0)(<'x f 得.012<<--<x x 或则递增区间是),,0(),1,2(+∞--递减区间是(2)由,01)2(2)(=++='x x x x f 得0-==x x 或 由（1）知, )(x f 在]0,11[-e上递减,在]1,0[-e 上递增 又12,2)1(,21)11(2222+>--=-+=-ee e ef e e f 且 ]1,11[--∈∴e e x 时, ,2)]([2max -=e x f 故22->e m 时,不等式m x f <)(恒成立(3)方程,)(2a x x x f ++= 即)1ln(12=+-+-x a x 记2)1ln(1)(x a x x g +-+-=,1121)(+=+-='x x x g 则由,0)(>'x g 得,11>-<x x 或 由,0)(<'x g 得.11<<-x )(x g ∴在]1,0[上递减,在]2,1[上递增 - 为使a x x x f ++=2)(在]2,0[上恰好有两个相异的实根,只须0)(=x g 在)1,0[和]2,1(上各有一个实根,于是有{.0)2(,0)1(,0)0(≥<≥g g g 解得3ln 232ln 22-≤<-a21. 如图，设F 是椭圆22221,(0)x y a b a b +=>>的左焦点，直线l 为对应的准线，直线l 与x 轴交于P 点，MN 为椭圆的长轴，已知8MN =，且||2||PM MF =．（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：对于任意的割线PAB ，恒有AFM BFN ∠=∠；（3）求三角形△ABF 面积的最大值．.解（1）∵8MN =，∴4a =，又∵||2||PM MF =，∴12e =，∴2222,12c b a c ==-=，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=．2）当AB 的斜率为0时，显然AFM BFN ∠=∠=0，满足题意，当AB 的斜率不为0时，设AB 方程为8x my =-，代入椭圆方程整理得：22(34)481440m y my +-+=． 2576(4)m ∆=-，24834A B my y m +=+，214434A B y y m =+． 则22A B AF BF A B y y k k x x +=+++(6)(6)66(6)(6)A B A B B A A B A B y y y my y my my my my my -+-=+=----26()(6)(6)A B A B A B my y y ymy my -+=--，而221444826()2603434A B A B mmy y y y m m m -+=⋅-⋅=++∴0AF BF k k +=，从而AFM BFN ∠=∠．综合可知：对于任意的割线PAB ，恒有A F M B F ∠=∠． （3）12ABF PBF PAF B A S S S PF y y ∆∆∆=-=⋅-72ABF S ∆当且仅当=，即3m =±0>∆的条件）取到等号．∴三角形△ABF 面积的最大值是33．22．已知定义在1(-, 1)上的函数)(x f 满足1)21(=f ，且对x , 1(-∈y , 1)时有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1)()( （1）判断)(x f 在1(-, 1)上的奇偶性并证明之；（2）令211=x ，2112nn n x x x +=+，求数列)}({n x f 的通项公式； （3）设T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n x f 的前n 项和，问是否存在正整数m ，使得对任意的*N ∈n ， 有34-<m T n 成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．（1）)(x f 为奇函数，令0==y x ，∴0)0(=f 又当0=x 时 )()()0(y f y f f -=- 即：)()(y f y f -=-．故)(x f 为奇函数． （2）∵}{n x 满足211=x ，122121221=<+=+=+n n n n n x x x x x ∴10<<n x ∴)()())(1)(()12()(21n n n n n n n n n x f x f x x x x f x x f x f --=----=+=+- 而由（1）知，)(x f 在1(-, 1)上为奇函数 ∴)()(n n x f x f -=- ∴)(2)(1n n x f x f =+ 即2)()(1=+n n x f x f ∴)}({n x f 是以1)21()(1==f x f 为首项，以公比为2的等比数列∴11221)(--=⋅=n n n x f（3）122121212111)(1)(1)(1-++++=+++=n n n x f x f x f T )211(2212111n -=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=假设存在正整数m ，使得对于任意的*N ∈n ，有34-<m T n 成立，即：342121-<--m n 对一切*N ∈n 恒成立． 只需234≥-m 即10≥m ．故存在正整数m ，使得对*N ∈n 恒有34-<m T n 成立，此时m 的最小值为10参考答案一、选择题1-5. .二、填空题13．4 14. 15. 16.22． ----------------------------12分。