乘法公式应用与拓展-几何背景下的乘法公式

（a

1 ）2 a

25

a2

2 a
1 a

1 a2

25
a2 2
1 a2

25
a2
1 a2

25
知识
易错点
悟
思想方法
）试试身手，活学活用：
199912 998 199912 919979912 9929
整体换元简化计算，关键看出 整体的共同点。
a b a b ） 如果、满足等式 22 2 6 1 0 ，0
你的发现是：
b2
a2
a2 b2 （ab)2 2ab ；
从右图观察， a2 b2 、与 （a b)2 有什么关系吗？
你发现是：
a2 b2 （ab)2 2ab .
综述以上结论：
我们知道 (a b )2 ，、 a （ b )2 、 a 2 b 2 、 ab 之间有 如下关系：
a2 b2 （ab)2 2ab a2 b2 （ab)2 2ab
（ ab)24a b(ab)2
ab(ab)2(ab)2 4
(ab)2(ab)24ab
四·【练】
解答下列各题：
（）·已知 ： ab8， ab7 ，求下列式子的值：
① a2 b2; ② a3bab3; ③ a4 b4.
活动二：直接利用乘法公式（快速写出下列各乘法 算式的计算结果）
(3xy)3( xy) 9x2 y2
弄应
清用
m 5 n 5 n m m2 2n52
公乘 式法
(1 2
m

1 n)2
2

1m2
4
12mn41n2
特公 点式 ，时
(1a3b)2(1a3b)2
2
2
116a4
MN .
MN
. MN .不能确定
( 12 1 2)1( 3 1 2) ( 11192) 91( 92102) 00 MN
) 已知: ， ＝，
＝，则多项式
值为( )．
．
．．
a2 的b2 c2 abacbc
．
离开图形，你还能计算下列式子吗？
请计算： （3a b 2c)2
离开图形，你还能计算下列式子吗？
(3 1x4 1yz)3 1 (x4 1yz)
个人收集整理，仅供交流学习！
9 2a2b2
8b14
灵， 活关 套键 用在
！于
议·如果我们把大正方形的边长变成， 小正方形的边长变成，你又能得到一个 什么样的乘法算式，它还可以用平方差公 式进行计算吗？
可以得到乘法算式：
xyzxyz xy z （ 3 2 ) 3 ( 2 ) ( 3 ) 2 ( 2 ) 2
活动二：
图是由边长为和边长为的正方 形，构成的边长为的正方形， 大正方形的面积有几种计算方法呢？ 你发现它能验证那个乘法公式呢？
b2 a2
图
大正方形的面积计算方法： （a b)2 ； 大正方形的面积计算方法： a22abb2； 验证的公式： （ ab)2a22a bb2 .
如图：最大正方形是边长 为，将其边长缩短，得 到阴影如图所示的阴影部 分，你能写出两种表示阴 影部分面积的方法吗？
是( ) xz2y0 xy2x0
. xyz0 .
y)() 可得等式：（)()
面积为（ ：3a)2 (2b)2
（3a)2 (2b)2
)若 M a 2 a 1 a 2 a 1 ， Na12a ，12
其中 a 0 ，则、的大小关系是 （ ）
右图是由个长为，宽为的 长方形和一个边长为的正 方形共同组成的边长为正 方形，请用字母表示中间小正 方形的面积：
中间部分面积计算方法：
(a b)2
；
中间部分面积计算方方法 （ab)2 4ab ； 你有什么发现： （ ab)2-4a b(ab)2 .
从右图观察，你发现 a2 b2 、与 （a b)2 有什么关系吗？
议·如果把以上大正方形边长变为 1 x，小正方形边长
3
1
变为 4
y
，你能得到乘法什么算式？结果得多少呢？
乘法算式：( 3 1x4 1y)3 1 ( x4 1y) ( 3 1x) 2 ( 4 1y) 2
你能从几何意义上解释下列算式吗？ 你能计算吗？ 动手做一做
（ ab)2 (ab)2
）
） 5 a 7 b 8 c2 5 a 7 b 8 c2
活动二：
a2 b2 面积为：（a+b)(a-b)
可得算式： a2 b2 （)()
可发现，平方差公式逆用也成立！
在利用规律求值时，关键要弄 清楚完全平方公式的基本特点，记住平
方在两边，乘积两倍在中间，满足特 点直接用，不满足时要等值补全。
观察下列排列规律，填一填：
列你 的发 规现 律它 了们 吗排 ？
根据以上规律，可以快速的对下列式子进行计算：
（ a b) 3 、 a b （ ) 4 、 a b5(a b)6
你有兴趣吗？其实这些都是我们学过的乘 法公式也具有的魅力。
议·如上面的方法，我们将图的较大正方形
边长变为，最小正方形的边长变为,则
----几何背景下的乘法公式
··
学习目标：
．从图形面积入手，熟悉每个乘法公式的结构 特征，理解公式几何背景，培养学生的几何直观 和数形结合的思想方法； ·利用图形的直观性和乘法公式结构特征，寻找 完全平方式的派生关系，并解决相关问题；
活动一：
一·【导】
（）·（)
a2 b2
乘法公式：（)()
a2 b2
同样成立，我们把这种变化叫公式逆用。
思考：
x2 y2 （
）（
)
x2 6x9（
2 ）
活动五：逆用乘法公式（直接套用公式，化简下列 各式）
（ ab)2 (ab)2
5 a 7 b 8 c 2 5 a 7 b 8 c 2
(3ab)22(3ab)( 2ab)(2ab)2
6 13
78
（）已知
a

1 a

5，求下列代数式
的值；
①a
方法：
解： ∵2
(
2

1
a2
1
1)222

a

1


( 1 )2 2
把 a 1 5 代入上式得：
原式 5 2 - 2 23
② a4
方法 2：

1
a4
解：将
a

1 a
5 两边同时平方得：
① 解 ∵ 2 ： b2 ( b) 2 2 b
把 b5 , a b6代入上式得：
∴原式
52-2 6 25 - 12 13
② 解： ∵ a 3b ab 3
b(2 b2)
b（ b)2 2ab
把a b 5,ab 6代入上式得： 原 式 6( 5 226 )
利用最大正方形的面积可以得到什么算式，可
以利用完全平方公式进行计算吗？
算式：
；
议·学
我们知道， ( ab)a( b)a2和 公b式2
( ab) 2a22 a b的b逆2向恒等，也就是
abababaab bab 说
，
2 2 ( ) ( ) 、 2 2 2 ( ) 2
阴影部分的面积计算方法： (a b)2
；
阴影部分的面积计算方法： a2-2abb2 ；
验证乘法公式： （ ab)2a22a bb2 ；
二·学
猜想下列图形可以验证什么关系？
活动三
猜想下列图形可以验证什么关系？
b2
a2
活动四图
猜想下列图形可以验证什么关系？
活动四图
活动三：
三·【议】
议·学 活动三：对于乘法公式有 ( ab)a( b)a2b2； ( ab) 2a22 a bb2，那么式子 (a b c)2
怎么计算呢？能利用以上乘法公式吗？式子 （）()呢？
）我们知道等于，若实数、、满足式
子 (xz)24 (xy)(yz)0则，下列式子一定成立的
则的值是到少？
）为任意有理数，请问当的值为多少时，代
数式 a2 4a7的值最小，能求出最小吗？
逆用公式时，记住公式的特点， 同时要弄清完全平方公式中的 各个项的特点和之间的关系。幻灯片
我们学过那几个乘法公式，你能用字母表示它们吗？
平方差公式 （ ab)a (b)a2b2
完全平方公式 （ a b ） 2 a 2 2 a b b 2