《中学数学教学论期末复习资料》
《中学数学教学论期末复习资料》
1.绪论
一、中学数学教学论的研究对象与任务
该课程起源于近代师范教育的产生。1919年秋，陶行知先生提出以“教学法”代替“教授法”，此举为政府所接受。
总的研究对象仍然是“数学教学”，主要任务仍然是解决“教什么”与“如何教”的问题，当然也涉及“为什么教”和“教给谁”的问题。
中学数学教学论主要从教师角度来研究数学教学过程。
其研究任务可划分为三个方面：
1)数学教学的理论基础，主要解决数学教学为什么教，教给什么样的对象，教什么样的内容三个问题；
2)具体数学活动的教学；
3)数学教师的日常工作。
中学数学教学论的特点
1)中学数学教学论是一门具有高度综合性的独立的学科；
2)中学数学教学论与实践的关系十分直接；
3)中学数学永远处于发展的过程之中。
中学数学教学论的学习方法
1)必须广泛地学习并运用有关学科的知识和方法；
2)理论联系实际；
3)开展实验研究。
第一章中学数学教学论的课程基础
研究中学数学课程目标的依据
1)国家的教育方针和基础教育的任务；
2)数学的特点和作用；
3)学生的认知和心理特征。
我国社会主义建设时期的教育方针是，教育必须为社会主义现代化服务，必须同生产劳动相结合，培养德智体全面发展的建设者和接班人。
按照我国的规定，基础教育包括九年制义务教育和后续的高中教育。
数学活动实质上就是数学思维活动。
数学思维活动的三个特点
1)思维对象的抽象性以及思维过程中抽象方法的特殊性；
2)严谨性与非严谨性的结合；
3)自然语言与符号语言相结合。
根据皮亚杰的研究，青少年思维的发展经历了感知运动，前运算，具体运算和形式运算四个阶段。
义务教育阶段数学课程目标分为三个层次：总体目标，学段目标，各大快数学内容的具体目标。
高中数学课程的总目标是，使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必需的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。影响中学数学课程内容的因素
1)社会方面的因素；
2)数学本身的因素；
3)教育方面的因素。
社会方面的因素：社会生产的需要，科学技术的发展，政治经济因素，社会文化、哲学思想的影响；
教育方面的因素：
1)教育理论的发展；
2)教师水平的改善，教师的知识水平和教师的教学水平；
3)学生水平的发展，学生已有的知识水平，学生的思维水平，学生的认知兴趣和学生的知识特点。
选择中学数学课程内容的原则
1)基础性原则
2)应用性原则
3)可接受性原则
4)教育性原则
5)衔接性原则
6)灵活性与统一性原则
7)可行性原则
第二章中学数学教学的心理学基础
数学知识的学习主要是指数学概念和数学定理的学习。
有意义学习的三种基本类型：归属学习(或称下位学习)，总括学习(或称上位学习)与并列结合学习。每一类举一个例子。
获得数学概念的三种学习类型：归属学习(或称下位学习)，总括学习(或称上位学习)与并列结合学习。
获得数学概念实质上就是掌握一类事物的共同本质属性，使符号代表一类事物而不是代表特殊事物。
学生获得概念有两种基本的方式：概念形成和概念同化。
?????????????具体化概念应用形式化符号表示概念定义概括实例确认
比较本质属性抽象共同属性
分析概念实例观察概念形成?????????具体化概念应用
实例确认比较系统化新旧概念联系突出本质分类概念定义观察概念同化
概念形成是以学生的直接经验为基础，在教师的知道下自行发现数学概念的本质属性的一种有意义的学习。
这种方式比较适合抽象层次低，处于概念体系的基础，核心位置的少数重要概念。概念同化是以学生的间接经验为基础，直接接受概念定义的一种有意义的学习。优点：省时。
获得命题意义的心理分析
1)命题发现，命题发现是学习者通过具体例子发现命题从而获得命题意义的一种学习方式。
2)命题接受，命题接受是把命题的内容以定论的形式呈现给学习者，学习者结合实例接受新知识从而获得命题的一种有意义的学习方式。
影响数学定理证明能否顺利完成的因素
1)思路点的准确性。记忆网络中首先被激活的那些结点，叫做思路点；
2)扩展力。扩展力是指记忆网络中各结点之间的激活能力，反映在量和质两个方面；
3)推理能力。作用就是使记忆网络中的结点之间发生逻辑关系。
4)证明的方法和思考的方法。作用在于使学生产生某种有效的期望，使他们据此去有计划的搜寻信息，激活思路点。
技能是通过练习而形成的顺利完成某种任务所必需的活动方式或心智活动。
数学技能是在数学学习过程中通过练习形成的顺利完成数学任务的一种活动方式或心智活动。
中学数学基本技能：能算，会画，会推理。
数学技能分为动作技能和心智技能。
新行为主义心理学的刺激--反应理论认为，形成技能的实质就是一系列的刺激与反应的联结的形成。
数学动作技能四个阶段：认知阶段，分解阶段，动作定位阶段，自动化阶段。数学心智技能四个阶段：认知阶段，示范、模仿阶段，有意识的口述阶段，无意识的内部语言阶段。
解题过程的四个阶段：理解问题，制定解题计划，完成解题计划，检查和回顾。
我国普通高中数学课程标准中强调注重提高学生的数学思维能力，把提高空间想象，抽象概括，论证推理，求解运算，数据处理等作为数学课程的具体目标。
第三章中学数学教学的逻辑基础
中学数学主要是在形式逻辑范围内活动的。形式逻辑研究思维形式及其规律。概念是反映事物本质属性的思维形式。
数学概念是一类特殊的概念，反映事物的数量关系及其空间形式。
任何概念都有确定的含义并反映确定的对象范围。
概念内涵：概念所反映事物的本质属性；
概念外延：具有概念内涵的对象的全体。
概念的内涵与外延之间表现为反变关系。
概念间的关系
1)相容关系①同一关系②属种关系③交叉关系；
2)不相容关系。
概念的定义
任何概念都是由三部分组成，被定义项，定义项和定义联项。
被定义项：名称。
定义项：指出被定义项对象的本质特征；
定义联项：用来联接被定义项和定义项的。
举例：
被定义项：圆
定义项：到一定点的距离等于定长的点的集合
定义联项：叫做或者是。
定义的方式
1)邻近的属加种差定义，公式：被定义项=种差+邻近的属<最常用>
2)发生式定义3)关系定义4)外延定义5)约定式。
定义的要求
1)定义要清晰即定义项所选用的概念必须完全已经确定；循环定义不符合这一要求，所谓循环定义是指定义项中直接或间接的包含被定义项。同一反复也不符合这一要求，因为它是用自己定义自己。例如：互相类似的图形叫做相似形。
2)定义要适度即定义项所确定的对象必须纵横协调一致；
3)定义要简明；
4)定义项一般不用负概念。负概念是反映事物不具有某种属性的概念。例如：不能被2整除的整数叫做奇数。无限不循环小数叫做无理数。
原始概念：不能用前面已被定义过的概念来定义的概念。
例如：点、直线、平面、集合等等。
概念的分类是揭示概念外延的逻辑方法。
概念分类的要求
1)分类后各子项互不相容；
2)各子项外延的并集等于母项的并集；
3)每一次分类的标准唯一；
4)分类不要越级。
命题运算(由若干命题构成的新命题)
1.命题的基本运算：否定(非)、合取(式)、析取(式)、蕴涵(若···则···)、等价(当且仅当)等等；
2.逻辑规律(反映科学思维的一般特点和要求)
基本规律
1)同一律；公式表示为“A A ≡”(A 是A)，同一律的作用在于保证思维的确定性。
2)矛盾律；公式表示为“0A A ≡∧”(A 不是非A)，矛盾律的作用在于保证思维的确定性，排除思维中的形式逻辑矛盾。
3)排中律；公式表示为“1A A ≡∨”(或者A 或者非A)。
4)充足理由律；公式表示为“A 真，因为B 真并且B 能推出A ”，充足理由律是一切推理和证明必须遵循的最基本的逻辑规律。
命题真假值的三条规律
1)任何一个命题，如果它是真的，它就是真的。
2)它不能既是真的又是假的。
3)它或者是真的或者是假的。
推理的种类
1.似真推理(用于发现科学结论的推理)
1)不完全归纳推理(属于由特殊到一般的推理)；
2)类比推理(属于由特殊到特殊的推理)。
2.论证推理(用于证明科学结论的推理)
1)完全归纳推理(属于由特殊到一般的推理)；
2)演绎推理(属于由一般到特殊的推理)
①三段论：大前提，小前提，结论
②关系推理。
数学证明的规则(改错题)
1)论题必须确切；
2)论题应当始终同一；
3)论据必须真实；
4)论证不能循环。
间接证明方法
反证法：通过证明命题的否定命题为假，从而肯定原命题为真的方法。逻辑基础：q p q p q p R q p ?→?≡?→?≡?→??→?≡?→??→?∨
∧00R 。
第四章中学数学教学原则
数学教学的一般原则
1)智力与心力发展相结合的原则
2)知识传授与能力培养相结合的原则
3)思维训练与操作训练相结合的原则
4)收敛思维训练与发散思维训练相结合的原则
5)深入与浅出相结合的原则
6)教师主导作用与学生主体作用相结合的原则
数学教学的特殊原则
1)数学理论与数学活动结合的原则
2)具体与抽象结合的原则
3)严谨与非严谨结合的原则
4)形式化与非形式化结合的原则
5)基础知识与实际应用结合的原则
具体与抽象结合的原则
1)从具体到抽象2)从抽象到具体
前一阶段的“具体”是感性材料，其作用是为上升到理性认识提供基础；后一阶段的“具体”则是理性认识的具体化，其作用是理性认识的进一步深化。
解数学题是从抽象到具体的重要途径之一。
严谨与非严谨结合的原则
1)严谨要量力
2)似真推理与论证推理相结合
3)直觉与逻辑相结合
第五章数学概念的教学
数学概念教学的一般要求
1)使学生认识概念的由来与发展
2)使学生掌握概念的内涵，外延及其表示形式
3)使学生了解有关概念之间的关系，会对概念进行分类，从而形成一定的概念体系
4)使学生能正确应用概念
概念的引入
1)以感性材料为基础引入新概念；教学中，教师列举出这些足以反映某一数学概念本质属性的实际材料，从具体例子中归纳引入新概念也属于这种方式。
2)在学生已有的知识基础上引入新概念
①通过与原概念类比引入；
②通过对原有概念的限制或概括引入；
③根据运算间的关系引入。
2.概念的明确
1)正确阐释概念的本质属性，理解概念的定义；
2)充分揭示概念的内涵与外延；
3)注意对比容易混淆的概念；
4)讲清概念的确定性及其某些概念的发展与深化。
概念的发展
1)概念发展以后，与原概念有不同的含义；
2)概念发展以后，更抽象，更一般化，但后者仍包含前者；
3)随着学生知识的增加，概念的外延不断扩大。
3.运用多种形式，巩固所学概念，正确地运用概念
1)当堂巩固所学概念；
2)及时复习，整理所学概念。
5.2数概念的发展有历史的，理论的和数学的三种模式。
复数教学值得注意的两个问题
1)如何给出虚数单位i;2)如何处理复数开方。
正确形成图形概念
1)原始概念；
2)给出定义的概念
①在已有感性认识的基础上进行抽象，形成概念；
②从图形直观入手形成概念；
③按照概念的限制方式形成概念。
教会学生正确地绘图和识图
1)正确处理虚实线；
2)在一个图形中，只能采用一种投影；
3)每绘制一个图形，应向学生指明图形的哪些元素的大小、形状和元素的关系。在它的直观图中哪些仍然保留，哪些已经改变。
中学数学里函数概念的形成与发展
1)第一阶段是引入函数概念之前的预备阶段，以积累形成函数概念所必需的素材和初步渗透其思想为主要任务；
2)第二阶段是初步形成函数概念阶段；
3)第三阶段是函数概念的认识，深化阶段；
4)第四阶段是用极限微积分方法进一步深入研究函数性质的阶段。
学生在学习统计与概率的概念时，常存在以下一些基本问题
1)易受日常直觉的影响；
2)易受逻辑因果思维的影响而错误地理解概念；
3)不能区分可能性与确定性；
4)把握不住随机现象。
概念教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。
1.数学定理教学的一般要求
1)使学生明确定理的条件与结论，定理所说明的事实，以及定理的表达形式；
2)使学生掌握定理的证明方法，特别是某些重要定理的证明；
3)明确定理的应用范围，并能熟练运用；
4)了解相关定理之间的内在联系，与有关概念一起构成数学知识体系。
5)对某些重要定理能做适当的推广。
2.定理的教学方法
1)恰当地引出定理
a先进行实习作业，然后观察实习结果，导出命题；
b先组织学生进行演算和推理，然后归纳出命题；
c通过对图形的量的关系分析，得出命题；
d在已知定理的基础上构造逆命题。
2)引导学生切实分清命题的条件与结论
3)教会学生理解定理的意义，能正确叙述和用式子表达定理
4)帮助学生掌握定理的证明
5)及时指出定理的应用价值和适用范围，并通过适量的练习进行巩固
6)及时揭示定理的内在联系，使学生的知识系统化
3.把数学公理说成是不经证明而采用的数学命题。
选择公理的标准主要是它便于用来推导其他命题。
公理化体系三性：相容性，独立性，完备性。
入门阶段的定理教学的主要任务是，让学生弄清楚定理的形式结构，明确证明的意义，学会证明的规范化叙述格式，初步掌握证明的方法。
弄清定理的形式结构
1)使学生了解定理的形式结构，每个定理都可以写成“如果P，那么Q”或“若P则Q”或“Q
P?→
?”的形式；
2)使学生懂得划分出定理的条件和结论两部分的必要性。
恒等变形的概念：由恒等式中的一个式子变形到另一个式子的变换过程，称为恒等变形。
1)两个式子恒等，是相对于它们的各个字母的许可值的交集来说的；
2)恒等变形是在指定的数集内进行式的转换的。
产生增解或遗解的最基本原因：
1)许可值集的改变；
2)所施运算的逆运算并非单值。
第八章数学思想方法的教学
中学数学的主要思想方法
1)关系映射反演方法坐标法、复数法
2)变形法恒等变形、放缩变形、变量替换
3)典型化方法把一般性问题化归为个别典型问题
4)分割法整体分割、条件分割、外延分割、过程分割
5)数形结合思想方法
6)分类与整合思想方法
7)函数与方程思想方法
8)变换思想方法
2.数学思想方法的一般教学途径
1)在数学知识的教学过程中归纳、提炼数学思想方法；
2)在数学问题解决的过程中，使用数学思想方法。
注意的几个问题
1)数学思想方法的教学以“渗透”为主要特征；
2)数学思想方法的渗透具有长期性和反复性。
以分类与整合思想方法的教学为例，介绍大致的教学过程
按渗透、明朗、熟悉、深化四个阶段
第九章数学问题解决的教学
数学问题解决的途径
从知识的内容和形式上可以分为代数题、几何题、三角题和综合题；从题的解答与知识背景的关系可以分为常规题与非常规题；
从题的设问与答案是否唯一可以分为封闭性题与开放性题；
从解题过程出发可以分为算法式题和开拓-探究式题。
数学问题解决的教学任务
1)使学生掌握解题程序；
2)使学生掌握解题的策略原则；
3)使学生掌握解题的常用方法；
4)培养学生的解题能力。
数学问题解决的程序
1)弄清问题，理解题意；
2)探究解题途径，寻找解题方法；
3)实现解题方案；
4)对解题过程的总结，回顾和深化、提高。
数学问题解决的常用方法
1)变量代换法
2)拆补法
3)消元法
4)待定系数法
5)反证法
6)归纳法与递推法
7)分域法
8)构造法
9)映射-反演法
10)基本量法
数学模型主要有解释、判断和预见三大功能。