(完整)初中数学“最值问题”_集锦
初中数学最值问题专题
中考数学最值问题【例题1】(经典题)二次函数y二2 (x-3) 2-4的最小值为.【例题2】(2018江西)如图，AB是。
的弦，AB=5,点C是。
上的一个动点，且NACB=45°,若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是___ .C【例题3】(2019湖南张家界)已知抛物线y=ax2+bx+c (a不0)过点A(1, 0), B(3, 0)两点，与y 轴交于点C, OC=3.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM^BC,垂足为M,求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当^PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值;(4)若点Q为线段OC上的一动点，问AQ+ 2 QC是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.1.(2018河南)要使代数式V-2^37有意义，则乂的( )A.最大值为2B.最小值为2C.最大值为-D.最大值为°3 3 2 22.(2018四川绵阳)不等边三角形AABC的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为。
3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么“2+“〃 +从一” 的最小值为04.（2018云南）如图，MN是。
的直径，MN=4, NAMN=40° ,点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为.C5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为元/斤，并且两次降价的百分率相同.（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为正数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1WxV15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R、P与x的关系式分别为R = 500 + 30x , P = 170 —2x。
最值问题归纳
最值问题是初中数学的重要内容，是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，无论是代数题还是几何题都有最值问题。
数形结合的思想贯穿始终。
一、代数中的最值问题1、代数求最值方法 ①利用一次函数的增减性一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；实际问题中，当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
1、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？②配方法，利用非负数的性质2、（1）求二次三项式223x x -+的最小值（2）设a 、b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值为_______。
③判别式法3、（1）求2211x x x x -+++的最大值与最小值。
（2）,x y 为实数且x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。
④零点区间讨论法4、求函数|1||4|5y x x =--+-的最大值。
⑤基本不等式性质222()020a b a ab b -≥∴-+≥即222a b ab +≥，仅当a b =时，等号成立由此可推出222a b ab +≤(0,0)2a ba b +≤≥≥⑥夹逼法通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为夹逼法。
5、不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高h 为整数，那么此高h 的最大值可能为________。
⑦二次函数模型（中考第23题，应用题）该题基本来自课本3个探究例题不断的变化、加深：探究1：商品定价 探究2：磁盘计算（含圆） 探究3：拱桥问题 变化趋势：前几年武汉中考主要考查经济类问题，求最经济、最节约和最高效率等这种类型的考题（探究1的演变）；近2年变化为建立函数模型解决实际问题（探究2、3的演变），即利用二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。
(完整版)初中数学《几何最值问题》典型例题
初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵PC关于OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．则CD=2OC=2×32=6．【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a=．【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出P A+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时P A+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=74，即P（74，0），a=74．故答案填：74．【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为．D PB′N MA【分析】作点B 于直线l 的对称点B ′，则PB =PB ′因而|P A ﹣PB |=|P A ﹣PB ′|，则当A ，B ′、P 在一条直线上时，|P A ﹣PB |的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN 和PM 的值然后根据勾股定理求得P A 、PB ′的值，进而求得|P A ﹣PB |的最大值．【解答】解：作点B 于直线l 的对称点B ′，连AB ′并延长交直线l 于P ． ∴B ′N =BN =1，过D 点作B ′D ⊥AM ， 利用勾股定理求出AB ′=5 ∴|P A ﹣PB |的最大值=5．【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA ′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA ′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA ′的最小值1．所以可求点A ′在BC 边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P 与B 重合时，BA ′取最大值是3， 当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A ′C =4，此时BA ′取最小值为1． 则点A ′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2． 故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ．【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PF AE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=45，∴PD=458 ．【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD，∴DE2，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为2+1．故答案为：2+1．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x，CD′=22（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22x，CD′=22（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为2×33∴PK+QK3故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤2，即可求得答案．【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2 AP，∵1≤AP≤2，∴当P当P与C重合时，有最小值2．∴2≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案为：2≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=2 AP．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。
初中数学千题解——最值问题100题(详解版)
1.如图3.1所示，在Rt △ABC 中，∠A =30°，AB =4，点D 为边AB 的中点，点P 为边AC 上的动点，则PB +PD 的最小值为（ ）A.B.A.A.1.解 延长BC 至点'B ，使'BC B C =，连接'B P 、'B A ，如图4.1所示， ∴AC 垂直平分'BB ，∴'B A BA =，∴AC 平分'B AB ∠. ∵30CAB ︒∠=，∴'60B AB ︒∠=，∴'ABB ∆为等边三角形.∵点P 为AC 上一点，∴'PB PB =，∴''PB PD PB PD B D +=+≥，当且仅当'B 、P 、D 在同一直线上时，如图4.2所示，PB PD +取得最小值.在'Rt ADB ∆中，122AD AB ==，'60B AB ︒∠=，∴'tan 60B D AD ︒==故答案是C.思路点拨:这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题，利用对称法将动线段构造至动点P 所在直线的两侧；根据“两点之间线段最短”找到最小值位置，利用勾股定理进行计算即可.拓展 若点D 为边AB 上任意一定点，则依旧可以根据勾股定理和60°特殊角计算'B D 的长度；若点D 是边AB 上的一动点，则'B D 将变为一条动线段，利用“垂线段最短”可确定最值位置还是在中点处.2.如图3.2所示，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3，动点P 满足13PAB ABCDS S矩形，则点P 到AB 两点距离之和P A +PB 的最小值为 .2.解 令点P 到AB 的距离为d .图3.1PCBD AD 图 4.2图 4.1ABCPB 'B 'PD CBAP ADBC图3.2∵111=35=5=5332PAB ABCD S S d ∆=⨯⨯矩形，∴2d =，∴点P 为到AB 距离为2的直线1l 、2l 上的点.直线1l 、2l 关于AB 对称，因此选其中一条进行计算.作点B 关于直线1l 的对称点'B ，连接'B C 、'B P 、'AB ，如图4.3所示， ∴''PA PB PA PB AB +=+≥，当且仅当A 、P 、'B 三点共线时取得最小值，如图4.4所示. 在'Rt ABB ∆中，5AB =，'24BB d ==，∴'AB =， 故PA PB +思路点拨:这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题.根据题目中中给出的面积关系，可判断点P 的运动轨迹为直线（或称为“隐线”）；利用轴对称的性质，构造对称点'B ，再运用线段公理获得不等式；根据勾股定理计算最值'AB .3.如图3.3所示，在矩形ABCD 中，AD =3，点E 为边AB 上一点，AE =1，平面内动点P 满足13PAB ABCDS S矩形，则DP EP 的最大值为 .3.解 令点P 到AB 的距离为d .∵13PAB ABCD S S ∆=矩形，∴2d =，∴点P 在到AB 距离为2的直线1l 、2l 上，如图4.5所示.作点E 关于直线1l 的对称点'E ，连接'E D 并延长交直线1l 于点P ，连接EP ，如图4.6所示， ∴'E P EP =.当点P 在直线1l 上时，''DP EP DP E P E D -=-≤，当且仅当D、'E 、P 三点共线时取得最大值图3.3B'E D =当点P 在直线2l 上时，DP EP ED -≤，当且仅当D 、E 、P 三点共线时取得最大值，如图4.7所示.在Rt △ADE 中，3AD =，1AE =，∴DE ==∴DP EP ED -≤=∴当点P 为DE 的延长线与直线2l思路点拨:解法如题2，需要找出满足条件的点P 所在的“隐线”，这里两条直线均要考虑（因为图形不对称）.由于两边之差小于第三边，在共线时取得最大值，故遵循“同侧点直接延长，异侧点需对称后再延长”的规律，分别计算最大值并进行大小比较.特别说明 笔者认为这里的最大值只能取一个值.改编此题的目的是让大家不要忽略矩形外的“隐线”，毕竟题中叙述点P 时用的是“平面内”，而非“矩形内”. 4.已知222222y x xx x ，则y 的最小值为 .4.解 原式=+.建立平面直角坐标系，设(),0P x ，()1,1A ，()1,1B --，则AB 在x 轴的两侧，∴PA =PB ，∴y PA PB AB +=+≥，当A 、P 、B 三点共线时，y 值最小，∴min y AB ==思路点拨:若将式子看作函数，对于初中生来说解题难度较大.若换个角度，将每一个根式都看作是两点间的距离（距离公式是平面直角坐标系中的勾股定理），则将问题转化为我们熟悉的几何最值模型——两点之间线段最短. 5.已知22(3)9(1)4y x x ，则y 的最大值为 .5.解 原式=-.建立平面直角坐标系，设),0P x ，3,3A ，1,2B ，∴PA =PB =∴y PA PB AB -≤，当A 、P 、B 三点共线，即点P 在AB 延长线上时y值最大，∴max y AB ==. 思路点拨:阅读题目时需观察清楚“＋”或“－”，切不可盲目下笔.本题与题4形式相似，解法相近，但是又有所不同.将代数式转化为平面直角坐标系中的两条线段的差；利用三边关系中的两边之差小于第三边，共线时取等找到最大值.6．如图3.4所示，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝，点D 是边AB 上一动点，连接CD ，以AD 为直径的圆交CD 于点E ，则线段BE 长度的最小值为 ．B解：连接AE ，取AC 得中点F ，连接EF ，如图4．8所示∵AD 是圆的直径 ∴∠AED ＝90° ∴∠AEC ＝90°∴EF ＝12AC ＝2∴点E 的轨迹为以点F 为圆心的圆弧（圆的定义） ∴BE ≥BF －EF当且仅当B 、E 、F 三点共线时等号成立，如图4．9所示 在Rt △ABF 中，AF ＝2，AB ＝4∴BF， ∴()min BE ＝BF －EF＝－2BB思路点拨阅读题目时要找到三条关键信息：点E 为圆周上一点，AD 所对的圆周角是90°，∠DEC 是平角，连接AE 后就找到了定弦定角（或斜边上的中线），若一个角的度数和其所对的一条线段均为定值，则这个角的顶点的轨迹为圆（根据题目需求判断是否需要考虑两侧）．因此判断出点E 的轨迹是圆（不是完整的圆，受限于点D 的运动范围）．根据三角形的三边关系，知B 、E 、F 三点共线时BE 取得最小值．7．如图3.5所示，正方形ABCD 的边长是4，点E 是边AB 上一动点，连接CE ，过点B 作BG ⊥CE 于点G ，点P 时边AB 上另一动点，则PD ＋PG 的最小值为 ．GP E DCBA解：取BC 得中点F ，连接GF ，作点D 关于AB 的对称点D ′，连接D ′P 、D ′A ，如图4.10所示．∴DP ＝D ′P∵∠BGC ＝90°，点F 为BC 的中点∴GF ＝12BC ＝2∵PD ＋PG ＝PD ′＋PG ≥D ′G 又D ′G ＋GF ≥D ′F∴PD ＋PG ＋GF ≥D ′F －GF如图4．11所示，当且仅当D ′、P 、G 、F 四点共线时取得最小值．根据勾股定理得D ′F＝∴PD ＋PG 的最小值为2FD'ABCDE P G GP EDCB AD'F思路点拨不难发现∠BGC ＝90°是个定角，因此点G 的轨迹为以BC 为直径的圆（部分），可以通过斜边上的中线构造长度不变的动线段，再利用三边关系求解．8．如图3.6所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 、F 分别为边AD 、DC 上的点，且EF ＝2，点G 为EF 的中点，点P 为边BC 上一动点，则P A ＋PG 的最小值为 ．GP FED CB A解：作点A 关于BC 的对称点A ′，连接A ′B 、A ′P 、DG ，如图4.12所示∴P A ′＝P A∴P A ＋PG ＝P A ′＋PG ∵∠ADC ＝90°，EF ＝2∴DG ＝12EF ＝1∵P A ′＋PG ＋DG ≥A ′D ∴P A ′＋PG ≥A ′D －DG如图4．13所示，当且仅当A ′、P 、G 、D 四点共线时等号成立 根据勾股定理得 A ′D＝5∴P A ＋PG 的最小值为4．A'AB C D EFP GGP FED CB AA'思路点拨与题7的已知条件是相似的，解法几乎一致，抓住核心条件，线段EF 始终不变，线段EF 所对的角为直角，因此斜边上的中线DG 始终不变，从而判断出点G 的轨迹图形为圆．利用轴对称的性质将线段和最小值问题转化为点到动点的距离最小值问题，再根据圆外一点到圆周上一点的距离最值求解．9．在平面直角坐标系中，A (3，0)，B (a ，2)，C (0，m )，D (n ，0)，且m 2＋n 2＝4，若点E 为CD 的中点，则AB ＋BE 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．25 解：∵C (0，m )，D (n ，0)，m 2＋n 2＝4，∴CD 2＝4， ∴CD ＝2在Rt △COD 中，点E 为CD 的中点∴OE ＝1，即点E 在以O 为圆心，1为半径的圆上．作图4．14，连接OE ，过点A 作直线y ＝2的对称点A ′，连接A ′B 、A ′O ∴A ′(3，4)∴AB ＋BE ＝A ′B ＋BE ＝A ′B ＋BE ＋EO －EO ≥A ′O －EO如图4.15所示，当且仅当A ′、B 、E 、O 四点共线时等号成立．根据勾股定理得A ′O 5 ∴AB ＋BE 的最小值为4思路点拨根据两点之间的距离公式m 2＋n 2＝CD 2，得到CD 的长度；由已知条件判断出OE 为斜边上的中线，OE ＝12CD （定值）；根据圆的定义可知点E 的轨迹是以坐标原点为圆心、12CD 为半径的圆；利用对称的性质将线段和的最值问题转化为圆外一点到圆周上一点的距离最值问题．10．如图3.7所示，AB ＝3，AC ＝2，以BC 为边向上构造等边三角形BCD ，则AD 的取值范围为 ．DCBA解：以AB 为边向上作等边△ABE ，连接DE ，如图4．16所示∴AB ＝BE ，CB ＝BD ，∠ABC ＝∠EBD ＝60°－∠CBE 在△ABC 和△EBD 中 ,,,AB BE ABE EBD CB BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌△EBD (SAS ) ∴DE ＝AC ＝2∴点D 的轨迹是以点E 为圆心，2为半径的圆． ∴AE －ED ≤AD ≤AE ＋ED如图4．17和图4．18所示，当且仅当A 、E 、D 三点共线时取得最值 ∴1≤AD ≤5EBCDED BADCBE思路点拨这样理解AB ＝3，AC ＝2这个条件：固定一边AB ，∠CAB 可以自由变化，因此点C 的轨迹是以点A 为圆心、2为半径的圆．通过构造全等图形找出点D 的运动轨迹．利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题．拓展 本题的解法较多，对于“定点＋动点”的最值问题，探究动点的轨迹图形时直接的方法．11.如图3.8所示，AB =3，AC =2，以BC 为腰（点B 为直角顶点）向上构造等腰直角三角形BCD ，则AD 的取值范围为 ；解答：以AB 为腰做等腰直角△ABE （∠ABE =90°），连接DE ，如图4.19所示，∴AE =√2AB =3√2，∠ABC =∠EBD =90°－∠CBE ， 在△ABC 和△EBD 中{AB =BE ∠ABC =∠EBD CB =BD图3.8DC图4.19C∴△ABC ≌△EBD （SAS ） ∴ED =AC =2∴点D 的轨迹为以点E 为圆心、2为半径的圆 ∴AE －ED ≤AD ≤AE ＋ED如图4.20和图4.21所示，当且仅当A ，E ，D 三点共线时取得最值，∴3√2－2≤AD ≤3√2＋2思路点拨：解题方法基本同上题，也是通过构造全等图形找出点D 的运动轨迹上，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题12. 如图3.9所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，则AD 的取值范围为 ，解答：以AB 为底边构造等腰直角△AEB （∠AEB =90°），连接DE ，如图4.22所示，图4.20图4.21C图3.9DBAC图4.22DBAC∴AE =√22AB =2√2，∠EBA =∠CBD =45°∵{ABEB =CBDB =√2∠ABC =∠EBD =45°－∠CBE ∴△ABC ∽△EBD∴DE =√22AC =√2∴点D 的轨迹为以点E 为圆心、√2 为半径的圆 AE －ED ≤AD ≤AE ＋ED如图4.23和图4.24所示，当A 、E 、D 三点共线时取得最值∴√2≤AD ≤3√2思路点拨：与前面两题不同的是，由于旋转中心不再是等腰三角形顶角的顶点，因此构造全等图形变成构造相似图形，从而找出点D 的运动轨迹，最后根据圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题13. 如图3.10所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为 ，图4.23BAC图4.24BAC解答：以AB 为底边构造等腰直角△AEB （∠AEB =90°），连接DE ，如图4.25所示，∴AE =√22AB =2√2，∠EBA =∠CBD =45°∵{AB EB=CBDB =√2∠ABC =∠EBD =45°－∠CBE∴△ABC ∽△EBD ∴DE =√22AC =√2∴点D 的轨迹为以点E 为圆心、√2 为半径的圆 延长AE 至点Q ，使AE =E Q ，连接P Q 、B Q ， ∵AD =DP ，∴D Q=2DE =2√2如图4.23和图4.24所示，当A 、E 、D 三点共线时取得最值 ∵BE 垂直平分A Q ，∴AB =B Q ∵∠Q AB =45°，∴△AB Q 为等腰直角三角形，∴B Q=AB =4图3.10PA C图4.25AC∴B Q －P Q≤PB ≤B Q ＋P Q如图4.26和图4.27所示，当B 、P 、Q 三点共线时取得最值∴4－2 √2≤PB ≤4＋2 √2思路点拨：注意到点P 的产生与中点有关，点P 的运动与点D “捆绑”在一起，故可通过构造中位线来判断点P 的运动轨迹，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题14. 如图3.11所示，正六边形ABCDEF 的边长为2，两顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴上运动，则顶点D 到坐标原点O 的距离的最大值和最小值的乘积为 ；解答：取AB 的中点G ，连接DG 、O G ，如图4.28所示，图4.26图4.27PAC图3.11∵∠A O B =∠x O y =90°，∴O G = 12AB =1，连接DB 、O D∴△DCB 为等腰三角形 ∵∠C =120°，∴∠DBC =30°，DB = √3DC =2 √3， ∴∠DBA =120°－30°=90°在Rt △DGB ，GB =1，∴DG =√DB 2+GB 2=√(2√3)2+12=√13∴DG －O G ≤O D ≤O G ＋DG当且仅当O 、G 、D 三点共线时取得最值D 、G 在点O 同侧时取得最大值，在点O 异侧时取最小值，如图4.29所示，∴√13－1≤O D ≤√13＋1∴O D 的最大值和最小值乘积为(√13−1)(√13+1)=12图4.28图4.29思路点拨：这个是“墙角”型问题，类似于梯子在墙角滑动，将墙角变为平面直角坐标系，这样移动的范围能扩大到负方向；利用“墙角”产生的直角，以及AB 边长不变的特点，作出AB 的中点G ，利用斜边上的中线O G 和位置固定的两点D 、G 来构造两条大小不变、位置变化的线段O G 、DG ；利用两边之和与两边之差得到O D 的最大值和最小值；另辟蹊径：利用相对运动的知识，我们假设正六边形是不变的，坐标系可以绕着正六边形运动；利用∠A O B =90°，AB =2，判断出点O 的运动轨迹为一个圆，如图4.30所示，利用圆外一点到圆周上的距离最值解得O D 的最大值和最小值；读者可以自行计算验证15. 如图3.12所示，AB =4，点O 为AB 的中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，△PBC 是以PB 为直角边的等腰直角三角形（点P 、B 、C 按逆时针方向排列），则AC 的取值范围为 ；解答：如图4.31所示，以O B 为腰向上构造等腰直角△O B Q ，连接O P 、C Q 、A Q ；图4.30O 2E图3.12CAB在等腰直角△O B Q 和等腰直角△BPC 中，CB BP =QBBO =√2，∠Q B O=45°， ∴∠CB Q=45°－∠Q BP =∠PB O ，∴△CB Q ∽△PB O ∴OPCQ =OBBQ =√22，∴C Q= √2 ∴点C 在以点Q 为圆心， √2为半径的圆上，∵OQ=O B =O A =2，∠QO B =90° ∴A Q= √AQ 2+OQ 2=2 √2 ∴A Q －Q C ≤AC ≤A Q ＋Q C如图4.32和图4.33所示，当且仅当A 、C 、Q 三点共线时取得最值，∴√2≤AC ≤3 √2思路点拨：由于△PBC 形状固定，两个动点P 、C 到点B 的距离之比始终不变，这是比较典型的位似旋转，也可理解为点P 、C “捆绑”旋转；旋转过程中，点C 的轨迹与点P 的轨迹图形相似，相似比为√2:1；利用相似找出动点C 轨迹的圆心，AC 的最值即定点A 到定圆上一动点的距离的最值16.如图3.13所示，⊙O 的半径为3，Rt △ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，∠B ＝90°，点C 在⊙O 内，且tan A ＝34.当点A 在圆上运动时，OC 的最小值为( )图4.31AB图4.32ABP 图4.33ABB.32D.53图3.13答案：连接OB，过点B向下作BD⊥OB，取BD＝43OB，连接AD，如图4.34所示.∵∠CBA＝∠OBD＝90°，∴∠OBC＝90°－∠OBA＝∠DB A.∴CBAB＝OBBD＝34，∴△OCB∽△DAB，∴OCAD＝34.∵AD≥OD－OAOA＝2，当且仅当O、A、D三点共线时取得最值，∴OC＝34AD≥34×2＝32.图4.34思路点拨又是比较典型的位似旋转问题，我们利用相似的性质将OC的最值问题转化为AD的最值问题.通过旋转型相似构造Rt△OBD，其中∠OBD＝90°，∠ODB＝∠CAB，因此点D为定点.另外，由△OCB∽△DAB得到OC和AD之间的固定比例，从而可利用AD的最值求解OC的最值.AD的最值即为圆外一点到圆周上一点的距离最值.另辟蹊径根据直径所对的圆周角为90°，找到直径AD，而∠ACD＝180°－∠ACB为定值，因此由定弦定角得出点C的轨迹为圆弧，可根据图4.35所示计算OC的最小值.图4.3517.如图3.14所示，在平面直角坐标系中，Q(3，4)，点P是以Q为圆心、2为半径的⊙Q上一动点，A(1，0)，B(－1，0)，连接P A、PB，则P A2＋PB2的最小值是___________.答案：连接OP 、QP 、OQ ，如图4.36所示.设P (x ，y ). 根据两点距离公式得∴P A 2＝(x －1)2＋y 2，PB 2＝(x ＋1)2＋y 2， ∴P A 2＋PB 2＝2x 2＋2y 2＋2＝2(x 2＋y 2)＋2.∴OP OP 2＝x 2＋y 2，∴P A 2＋PB 2＝2OP 2＋2，要求P A 2＋PB 2的最小值，即求OP 2的最小值，也就是求OP 的最小值，∴OP ≥OQ －PQ ， 如图4.37所示，当且仅当O 、P 、Q 三点共线时取得最值， ∴OP ＝5－2＝3，∴P A 2＋PB 2＝2OP 2＋2≥2×32＋2＝20.思路点拨根据P A 2＋PB 2这样的形式，产生两个联想，一是勾股定理，二是坐标公式.要使用勾股定理，就得把P A 和PB 构造为两条直角边，在题图中难以实现，所以转而利用坐标公式表达，我们便发现P A 2＋PB 2与OP 2的联系，而OP 的最小值即圆外一点到圆周上一点的距离最小值.弦外之音 我们会发现，虽然点P 在动，但OP 始终是△ABP 边AB 上的中线，且AB 是个定值，我们可以直接利用中线长公式得到P A 2＋PB 2＝2OP 2＋24AB ，接下来的计算和上面是一致的.公式的应用有助于对思路的拓展，因此学有余力的同学可以自行推导中线长公式(仅用勾股定理即可).18.如图3.15所示，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC ＝3，EF ＝2，G 为DE 上一动点.将三角尺DEF 绕直角顶点F 旋转一周，在这个旋转过程中，B、G 两点的最小距离为___________.图3.15答案：在Rt △DEF 中，CE ＝2，∠CDE ＝30°，∴DF ＝DE ＝4. 如图4.38所示，当点G 与点D 重合时，CG max ＝DF ＝当CG ⊥DE 时，CG min ＝h ＝2DEFS DE⋅△CG当CG ＝3时，以C 为圆心、CG 为半径的圆恰好经过点B. 在△DEF 旋转的过程中，点G 会经过点B.因此，当BG 恰好重合时，BG 取得最小值为0.图4.38')思路点拨这是个“特别”的题，点G 是DE 上一动点，因此在转动的过程中，点G 的轨迹不是线而是面，这个面的形状为以点C 为圆心、分别以CG min 和CG max 为半径的同心圆环，点B 也在这个“面轨迹”中，因此BG 的最小值为0.19.如图3.16所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，BC ＝△ADC 与△ABC 关于AC 对称，点E 、F 分别是边DC 、BC 上的任意一点，且DE ＝CF ，BE 、DF 相交于点P ，则CP 的最小值为()A.1 C.32D.2图3.16PEDBA答案：连接BD ，如图4.39所示.∵△ADC 与△ABC 关于AC 对称，∠ACB ＝30°，∴BC ＝CD ，∠BCD ＝60°， ∴△BDC 是等边三角形，∴BD ＝CD ，∠BDC ＝∠BCD ＝60°. 在△BDE 和△DCF 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝∠BCD ，DE ＝CF ， ∴△BDE ≌△DCF (SAS )，∴∠BED ＝∠DF C.∵∠BED ＋∠PEC ＝180°，∴∠PEC ＋∠DFC ＝180°， ∴∠DCF ＋∠EPF ＝∠DCF ＋∠BPD ＝180°. ∵∠DCF ＝60°，∴∠BPD ＝120°. ∵点P 在运动中保持∠BPD ＝120°，∴点P 的运动路径为以A 为圆心、AB 为半径的120°的弧.当C 、P 、A 三点共线时，CP 能取到最小值，如图4.40所示， ∴CP ≥AC －AP ＝2，即线段CP 的最小值为2.图4.40图4.39DABPE思路点拨需要熟悉等边三角形中的常见全等图形.因为点P 在运动中保持∠BPD ＝120°，BD 又是定长，所以点P 的路径是一段以点A 为圆心的弧，于是将CP 的最小值转化为圆外一点到圆上一点的距离最小值.20.如图3.17所示，sin O ＝35，长度为2的线段DE 在射线OA 上滑动，点C 在射线OB 上，且OC ＝5，则△CDE 周长的最小值为___________.图3.17EDCB A答案：过点C 作CC '∥DE 且CC '＝DE ，连接C 'E ，如图4.41所示， ∴四边形CC 'ED 为平行四边形，∴C 'E ＝C D.作点C 关于OA 的对称点C ″，连接C ″E 、C ″D 、C ″C ，∴CE ＝C ″E ， ∴CD ＋CE ＝C 'E ＋CE ＝C 'E ＋C '″E ≥C 'C "，当且仅当C '、E 、C "三点共线时取得最值，如图4.42所示. ∵CC "关于OA 对称，∴OA 垂直平分CC "， ∴CC "＝2CF ＝2OC ·sin O ＝6.在Rt △CC 'C "中，C 'C "∴△CDE 周长的最小值为2.图4.42图4.41AEC″C'B CODA E DB COF C″C'思路点拨因为DE 为定值，所以△CDE 周长的最小值问题转变为CD ＋CE 的最小值问题.似“饮马”非“饮马”，注意观察，这是一定两动问题.利用平移将动线段DE “压缩”为一个动点；轴对称后根据两点之间线段最短找到最小值线段，再根据勾股定理计算即可解决问题.21、如图3.18所示，在矩形ABCD 中，AB=6，MN 在边AB 上运动，MN=3，AP=2，BQ=5，则PM+MN+NQ 的最小值是______________。
(完整版)初中几何最值问题(最新整理)
大值为_______,最小值为________
【例3】如图，已知等边△ABC 的边长为 1，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 边上的点（均不与点 A、B、C 重合），
记△DEF 的周长为 p .若 D、E、F 分别是 AB、BC、AC 边上任意点，则 p 的取值范围是
y
B
C
y
B
C
D
D
O E Ax
O
Ax
D （Ⅱ）若 E 、 F 为边 OA 上的两个动点，且 EF 2 ，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E 、 F 的坐标.
【巩固】已知点 A（3，4），点 B 的坐标为（﹣1，1）时，在 x 轴上另取两点 E，F，且 EF=1．线段 EF 在 x 轴上平移，线段 EF 平移至何处时，四边形 ABEF 的周长最小？求出此时点 E 的坐标．
【例9】已知直线 y 1 x 1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 y 1 x2 bx c 与直线交于 A、E
2
2
两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为(1，0).
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使| AM MC | 的值最大，求出点 M 的坐标。
【 例 2】 AB CD 是 半 径 为 5 的 A O 的 两 条 弦 ， AB 8 ， CD 6 ， MN 为 直 径 ， AB MN 于 点 E , CD MN 于点 F ， P 为 EF 上任意一点，则 PA+PC 的最小值为_________
A C
M
E
初中数学千题解——最值问题100题(学生版)
1.如图3.1所示，在Rt △ABC 中，∠A =30°，AB =4，点D 为边AB 的中点，点P 为边AC 上的动点，则PB +PD 的最小值为（ ）A.B.A.A.2.如图3.2所示，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3，动点P 满足13PAB ABCDS S=V 矩形，则点P 到AB 两点距离之和P A +PB 的最小值为 .3.如图3.3所示，在矩形ABCD 中，AD =3，点E 为边AB 上一点，AE =1，平面内动点P 满足13PAB ABCDS S=V 矩形，则DP EP -的最大值为 .4.已知y =y 的最小值为.5.已知y =y 的最大值为 .6．如图3.4所示，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝D 是边AB 上一动点，连接CD ，以AD 为直径的圆交CD 于点E ，则线段BE 长度的最小值为 ．B7．如图3.5所示，正方形ABCD 的边长是4，点E 是边AB 上一动点，连接CE ，过点B 作BG ⊥CE 于点G ，点P 时边AB 上另一动点，则PD ＋PG 的最小值为 ．GP E DCBA图3.1PCBD AP ADBC图3.2图3.3B8．如图3.6所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 、F 分别为边AD 、DC 上的点，且EF ＝2，点G 为EF 的中点，点P 为边BC 上一动点，则P A ＋PG 的最小值为 ．GP FED CB A9．在平面直角坐标系中，A (3，0)，B (a ，2)，C (0，m )，D (n ，0)，且m 2＋n 2＝4，若点E 为CD 的中点，则AB ＋BE 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．25 10．如图3.7所示，AB ＝3，AC ＝2，以BC 为边向上构造等边三角形BCD ，则AD 的取值范围为 ．DCB11.如图3.8所示，AB =3，AC =2，以BC 为腰（点B 为直角顶点）向上构造等腰直角三角形BCD ，则AD 的取值范围为 ；12. 如图3.9所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，则AD 的取值范围为 ，13. 如图3.10所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为 ，图3.8DC图3.9DBAC14. 如图3.11所示，正六边形ABCDEF 的边长为2，两顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴上运动，则顶点D 到坐标原点O 的距离的最大值和最小值的乘积为 ；15. 如图3.12所示，AB =4，点O 为AB 的中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，△PBC 是以PB 为直角边的等腰直角三角形（点P 、B 、C 按逆时针方向排列），则AC 的取值范围为 ；图3.10PC图3.11图3.12CAB16.如图3.13所示，⊙O 的半径为3，Rt △ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，∠B ＝90°，点C 在⊙O 内，且tan A ＝34.当点A 在圆上运动时，OC 的最小值为( )B.32D.53图3.1317.如图3.14所示，在平面直角坐标系中，Q (3，4)，点P 是以Q 为圆心、2为半径的⊙Q 上一动点，A (1，0)，B (－1，0)，连接P A 、PB ，则P A 2＋PB 2的最小值是___________.18.如图3.15所示，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC ＝3，EF ＝2，G 为DE 上一动点.将三角尺DEF 绕直角顶点F 旋转一周，在这个旋转过程中，B 、G 两点的最小距离为___________.图3.1519.如图3.16所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，BC ＝△ADC 与△ABC 关于AC 对称，点E 、F 分别是边DC 、BC 上的任意一点，且DE ＝CF ，BE 、DF 相交于点P ，则CP 的最小值为( )A.1 C.32D.2图3.16PEDBA20.如图3.17所示，sin O ＝35，长度为2的线段DE 在射线OA 上滑动，点C 在射线OB 上，且OC ＝5，则△CDE 周长的最小值为___________.图3.17OEDCBA21、如图3.18所示，在矩形ABCD中，AB=6，MN在边AB上运动，MN=3，AP=2，BQ=5，则PM+MN+NQ 的最小值是______________。
(完整)初中数学“最值问题”_集锦.doc
“最”集●平面几何中的最⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯01●几何的定与最⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯07●最短路⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14● 称⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18●巧作“ 称点”妙解最⋯⋯⋯⋯⋯22●数学最的常用解法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯26●求最⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯29●有理数的一多解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯34●4 道典⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯37●平面几何中的最在平面几何中，我常常遇到各种求最大和最小的，有它和不等式系在一起，称最．如果把最和生活中的系起来，可以达到最、最和最高效率．下面介几个例．在平面几何中，当某几何元素在定条件，求某几何量（如段的度、形的面、角的度数）的最大或最小，称最。
最的解决方法通常有两种：（1）用几何性：① 三角形的三关系：两之和大于第三，两之差小于第三；② 两点段最短；③ 直外一点和直上各点的所有段中，垂段最短；④ 定中的所有弦中，直径最。
⑵运用代数法：① 运用配方法求二次三式的最；② 运用一元二次方程根的判式。
例 1、A、B 两点在直 l 的同，在直L 上取一点 P，使 PA+PB最小。
分析：在直 L 上任取一点 P’， A P’， BP’，在△ ABP’中 AP’+BP’＞ AB，如果 AP’+BP’＝ AB,则 P’必在线段 AB上，而线段AB 与直线 L 无交点，所以这种思路错误。
取点 A 关于直线 L 的对称点 A’，则 AP’＝ AP，在△ A’BP 中 A’P’+B’P’＞ A’B, 当 P’移到 A’B与直线 L 的交点处 P 点时A’P’+B’P’＝ A’B，所以这时 PA+PB最小。
1 已知 AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮， ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形 ABDC的周长最大 ( 图 3－ 91) ？分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于 AB∥ CD，必有AC=BD．若设 CD=2y，AC=x，那么只须求梯形 ABDC的半周长 u=x+y+R的最大值即可．解作 DE⊥AB于 E，则2 2 2x =BD=AB·BE＝2R· (R-y) ＝2R -2Ry，所以2 2所以求 u 的最大值，只须求 -x +2Rx+2R最大值即可．2222 2-x +2Rx+2R=3R-(x-R)≤ 3R，上式只有当 x=R时取等号，这时有所以2y=R=x．所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点 C， D，这时，梯形的底角恰为 60°和 120°．2 . 如图 3－92 是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8 米(m) ，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+π x=8，若窗户的最大面积为S，则把①代入②有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．3.已知 P 点是半圆上一个动点，试问 P在什么位置时， PA+PB最大 ( 图 3－93) ？分析与解因为 P 点是半圆上的动点，当 P 近于 A 或 B 时，显然 PA+PB渐小，在极限状况 (P 与 A 重合时 ) 等于 AB．因此，猜想 P 在半圆弧中点时， PA+PB取最大值．设P 为半圆弧中点，连 PB，PA，延长 AP到 C，使 PC=PA，连 CB，则 CB是切线．为了证 PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点 P′，连 P′A，P′B，延长 AP′到C′，使P′C′=BP′，连 C′B，CC′，则∠ P′ C′ B=∠P′BC=∠ PCB=45°，所以 A，B，C′， C 四点共圆，所以∠ CC′A=∠CBA=90°，所以在△ ACC′中， AC＞AC′，即 PA+PB＞P′A+P′B．4如图 3－ 94，在直角△ ABC中，AD是斜边上的高， M，N 分别是△ ABD，△ ACD的内心，直证连结 AM， BM，DM，AN， DN，CN．因为在△ ABC中，∠ A=90°， AD⊥BC于 D，所以∠ ABD=∠ DAC，∠ ADB=∠ADC=90°．因为 M，N分别是△ ABD和△ ACD的内心，所以∠1=∠ 2=45°，∠ 3=∠4，所以△ ADN∽△ BDM，又因为∠ MDN=90° =∠ADB，所以△ MDN∽△ BDA，所以∠BAD=∠MND．由于∠ BAD=∠ LCD，所以∠MND=∠LCD，所以 D， C， L， N四点共圆，所以∠ALK=∠NDC=45°．同理，∠ AKL=∠1=45°，所以 AK=AL．因为△AKM≌△ ADM，所以AK=AD=AL．而而从而所以 S △ABC≥S△AKL．5.如图 3－95．已知在正三角形 ABC内( 包括边上 ) 有两点 P，Q．求证： PQ≤ AB．证设过 P，Q的直线与 AB，AC分别交于 P1，Q1，连结 P1C，显然， PQ≤P1Q1．因为∠ AQ1P1+∠ P1 Q1 C=180°，所以∠ AQ1P1和∠ P1Q1 C中至少有一个直角或钝角．若∠ AQ1P1≥90°，则PQ ≤ P1Q1≤AP1≤AB；若∠ P1Q1C≥90°，则PQ ≤ P1Q1≤P1C．同理，∠ AP1C 和∠ BP1C 中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP1C≥90°，则P 1C≤BC=AB．对于 P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤ AB．6.设△ ABC是边长为 6 的正三角形，过顶点 A 引直线 l ，顶点 B，C到 l 的距离设为 d 1，d2，求 d1+d2的最大值 (1992 年上海初中赛题 ) ．解如图 3－96，延长 BA到 B′，使 AB′=AB，连 B′C，则过顶点 A 的直线 l 或者与BC相交，或者与 B′C相交．以下分两种情况讨论．(1)若 l 与 BC相交于 D，则所以只有当 l ⊥BC时，取等号．(2)若 l ′与 B′C相交于 D′，则所以上式只有 l ′⊥ B′C 时，等号成立．7.如图 3－97．已知直角△ AOB中，直角顶点 O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO， BO分别与单位圆交于 C，D．试求四边形 ABCD面积的最小值．解设⊙ O与 AB相切于 E，有 OE=1，从而即AB≥ 2．当 AO=BO时， AB有最小值 2．从而所以，当 AO=OB时，四边形 ABCD面积的最小值为●几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、 极端位置，直接计算等方法， 先探求出定值， 再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量 ( 如线段长度、角度大小、图形面积 ) 等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理 ( 公理 ) 法； 3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性 ( 目标不明确 ) ，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 【例题就解】【例 1】 如图，已知 AB=10，P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作等边△ APC 和等边△ BPD ，则 CD 长度的最小值为 ．思路点拨 如图，作 CC ′⊥ AB 于 C ，DD ′⊥ AB 于 D ′，2221DQ ⊥CC ′， CD=DQ+CQ ， DQ= AB 一常数，当 CQ 越小， CD 越小，2本例也可设 AP=x ，则 PB=10 x ，从代数角度探求 CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1) 中点处、垂直位置关系等；(2) 端点处、临界位置等．【例 2】 如图，圆的半径等于正三角形 ABC 的高，此圆在沿底边 AB 滚动，切点为T ，⌒MTN 为的度数（）圆交 AC 、BC 于 M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， A ．从 30°到 60°变动 B ．从 60°到 90°变动C ．保持 30°不变D ．保持 60°不变思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点 C 时， 其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断． 注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变 化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时， 研究的量取得定值与最值．【例 3】 如图，已知平行四边形 ABCD ，AB= ，BC=b ( a > b ) ，P 为 AB 边上的一动点，a直线 DP 交 CB 的延长线于 Q ，求 AP+BQ 的最小值．思路点拨xx的代数式表示， 运用不等式 a 2b 22ab( 当设 AP= ，把 AP 、BQ 分别用且仅当 a b 时取等号 ) 来求最小值．7AC 与 BM 相交于 K ，直线 CB 与 AM 相交于点 N ，证明：线段 AK 和 BN 的乘积与 M 点的选择无关．思路点拨 即要证 AK · BN 是一个定值，在图形中△ ABC 的边长是一个定值，说明 AK ·BN 与 AB 有关，从图知 AB 为2△ ABM 与△ ANB 的公共边，作一个大胆的猜想， AK ·BN=AB ，从而我们的证明目标更加明确．注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例 5】 已知△ XYZ 是直角边长为 1 的等腰直角三角形 ( ∠Z=90°) ，它的三个顶点分别在等腰 Rt △ABC(∠C=90° ) 的三边上，求△ ABC 直角边长的最大可能值．思路点拨 顶点 Z 在斜边上或直角边 CA(或 CB)上，当顶点 Z 在斜边 AB 上时，取 xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值， 当顶点 Z 在(AC 或 CB)上时，设 CX=x ，CZ=y ，建立 x ， y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题， 即适当地选取变量， 建立几何元素间的函数、 方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1) 利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2) 构造二次函数求几何最值．学力训练1．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为边 BC 上任意一点（可与 B 点或 C 点重合），分别过 B 、 C 、 D 作射线 AP 的垂线，垂足分别是 B ′、 C ′、 D ′，则 BB ′+CC ′ +DD ′的最大值为 ，最小值为 ．2．如图，∠ AOB=45°，角内有一点 P ， PO=10，在角的两边上有两点 Q ， R(均不同于 点 O)，则△ PQR 的周长的最小值为 ．3．如图，两点 A 、 B 在直线 MN 外的同侧， A 到 MN 的距离 AC=8， B 到 MN 的距离 BD=5， CD=4，P 在直线 MN 上运动，则 PA PB 的最大值等于 ．4．如图，A 点是半圆上一个三等分点， B 点是弧 AN 的中点， P 点是直径 MN 上一动点，⊙ O 的半径为 1，则 AP+BP 的最小值为 ( )A ．1B．2C ． 2D． 3 125．如图，圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P 从 A 点出发，沿看圆柱的 侧面移动到 BC 的中点 S 的最短距离是 ( )A ． 2 1 2B ． 2 1 4 2C ． 4 1 2D ． 2 4 26．如图、已知矩形 ABCD ，R ，P 户分别是 DC 、BC 上的点， E ，F 分别是 AP 、RP 的中点，当 P 在 BC上从 B 向 C 移动而 R不动时，那么下列结论成立的是( )A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段 EF的长不改变D．线段EF的长不能确定7．如图，点 C 是线段 AB上的任意一点 (C 点不与 A、B 点重合 ) ，分别以 AC、BC为边在直线 AB的同侧作等边三角形 ACD和等边三角形 BCE， AE与 CD相交于点 M，BD与 CE 相交于点 N．(1)求证： MN∥ AB；(2) 若 AB的长为 l0cm，当点 C 在线段 AB上移动时，是否存在这样的一点 C，使线段MN的长度最长 ?若存在，请确定 C 点的位置并求出 MN的长；若不存在，请说明理由．(2002 年云南省中考题 )8．如图，定长的弦 ST在一个以 AB为直径的半圆上滑动， M是 ST 的中点， P 是 S 对AB作垂线的垂足，求证：不管 ST 滑到什么位置，∠ SPM是一定角．9．已知△ ABC是⊙ O的内接三角形， BT为⊙ O的切线， B 为切点， P 为直线 AB上一点，过点 P 作 BC的平行线交直线 BT 于点 E，交直线 AC于点 F．(1)当点 P 在线段 AB上时 ( 如图 ) ，求证： PA·PB=PE·PF；(2)当点 P 为线段 BA延长线上一点时，第 (1) 题的结论还成立吗 ?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为 4 的正方形截去一角成为五边形 ABCDE，其中 AF=2，BF=l，在AB上的一点 P，使矩形 PNDM有最大面积，则矩形 PNDM的面积最大值是 ( ) A．8 B．12C．25D．14211．如图，AB是半圆的直径，线段 CA上 AB于点 A，线段 DB上 AB于点 B，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形 ACPDB的最大面积是 ( )A．22B．12C．32D．3 212．如图，在△ ABC中， BC=5，AC=12， AB=13，在边 AB、 AC上分别取点 D、E，使线段 DE将△ ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．13．如图， ABCD是一个边长为 1 的正方形， U、V 分别是 AB、CD上的点， AV与 DU 相交于点 P， BV与 CU相交于点 Q．求四边形 PUQV面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0 米的圆，问如何设计 ( 求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽 ) ，才能使矩形花坛的面积最大?15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场( 平面图如图所示 ) ．其中，正方形 MNPQ与四个相同矩形 ( 图中阴影部分 ) 的面积的和为800 平方米．的代数式表示y 为．(1) 设矩形的边 AB= ( 米) ，AM=y ( 米) ，用含xx(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为 2100 元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为 105 元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为 40 元．①设该工程的总造价为 S( 元) ，求 S 关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为 235000 元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务 ?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金 73000 元，问能否完成该工程的建设任务 ?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．( 镇江市中考题 )16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积( 精确到21m) ．参考答案●最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短” 为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段．这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上 A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B 两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上 A、 B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的 A、 B 两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲．在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．例1 如下图，侦察员骑马从 A 地出发，去 B 地取情报．在去 B 地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线．作点 A 关于河岸的对称点 A ′，即作 AA′垂直于河岸，与河岸交于点 C，且使 AC=A′C，连接 A′B 交河岸于一点 P，这时 P 点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PA＋PB就是侦察员应选择的最短路线．证明：设河岸上还有异于P 点的另一点 P′，连接 P′A，P′B， P ′ A′．∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞ A′B=PA′ +PB=PA+PB，而这里不等式 P ′ A′＋ P′ B＞ A′ B 成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以 PA+PB是最短路线．此例利用对称性把折线 APB化成了易求的另一条最短路线即直线段 A′ B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题．例2 如图一只壁虎要从一面墙壁α上 A 点，爬到邻近的另一面墙壁β上的 B 点捕蛾，它解：我们假想把含B 点的墙β顺时针旋转90°（如下页右图），使它和含A 点的墙α处在同一平面上，此时β转过来的位置记为β′，B 点的位置记为B′，则A、B′之间最短路线应该是线段 AB′，设这条线段与墙棱线交于一点 P，那么，折线 4PB就是从 A 点沿着两扇墙面走到 B 点的最短路线．证明：在墙棱上任取异于 P 点的 P′点，若沿折线 AP′ B走，也就是沿在墙转 90°后的路线 AP′ B′走都比直线段 APB′长，所以折线 APB是壁虎捕蛾的最短路线．由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．例3 长方体 ABCD— A′B′C′D′中， AB=4，A′ A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到 B 点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（ 1））解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D′、 B 两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 D ′ B 间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从 D′点出发，到 B 点共有六条路线供选择．①从 D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达 B 点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（ 2）），这时在这个平面上 D′、 B 间的最短路线距离就是连接 D′、 B 两点的直线段，它是直角三角形 ABD′的斜边，根据勾股定理，D′ B2 =D′A2+AB2=（ 1+2）2＋42 =25，∴ D′ B=5．②容易知道，从D′出发经过后侧面再进入下底面到达 B 点的最短距离也是5．③从 D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达 B 点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上 D′、 B 两点间的最短路线（上页图（ 3）），有：D′ B2＝22+（1+4）2 =29．④容易知道，从 D′出发经过后侧面再进入右侧面到达 B 点的最短距离的平方也是29．⑤从 D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达 B 点，将这两个平面摊开在同一平D′ B2 =（ 2+4）2+12=37．⑥容易知道，从 D′出发经过上侧面再进入右侧面到达 B 点的最短距离的平方也是37．比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达 B 点（上页图（ 2）），或者经过后侧面然后进入下底面到达 B 点的路线是最短路线，它的长度是 5 个单位长度．利用例 2、例 3 中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上 A 和 B 两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把 A、 B 两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接 A、B 成线段 AP1P2B，P1、P2 是线段 AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是 AB间的最短路线．圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线．因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用．如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题．例4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在 A 点，绕一周之后终点为 B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？解：将上左图中圆柱面沿母线 AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时， A′、 B′分别与 A、B 重合），连接 AB′，再将上页右图还原成上页左图的形状，则 AB′在圆柱面上形成的曲线就是连接 AB且绕一周的最短线路．圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题．例5 有一圆锥如下图， A、 B 在同一母线上， B 为 AO的中点，试求以 A 为起点，以 B 为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时， A′、 B′分别与 A、 B 重合），在扇形中连 AB′，则将扇形还原成圆锥之后， AB′所成的曲线为所求．例6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的 A 点爬到桶内的 B 点去寻找食物，已知A 点沿母线到桶口C 点的距离是12 厘米，B 点沿母线到桶口D 点的距离是8 厘米，而 C、D两点之间的（桶口）弧长是 15 厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于 B 点在里面，不便于作图，设想将 BD延长到 F，使 DF＝BD，即以直线 CD为对称轴，作出点 B 的对称点 F，用 F 代替 B，即可找出最短路线了．解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长 BD到 F，使 DF=BD，即作点 B 关于直线 CD 的对称点 F，连结 AF，交桶口沿线 CD于 O．因为桶口沿线 CD是 B 、F 的对称轴，所以 OB＝OF，而 A、F 之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B 之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O 点后，转向桶内 B 点爬去．延长 AC到 E，使 CE=DF，易知△ AEF是直角三角形， AF 是斜边， EF=CD，根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2＝（ 12＋8）2＋ 152＝ 625=252，解得 AF=25．即蚂蚁爬行的最短路程是25 厘米．例7 A 、B 两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使 A、 B 两个村子之间路程最短．分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值．因此，从 A 点作河岸的垂线，并在垂线上取 AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出 B、C 两点之间的最短路线，问题就可以解决．解：如上图，过 A 点作河岸的垂线，在垂线上截取 AC的长为河宽，连结 BC交河岸于 D 点，作 DE垂直于河岸，交对岸于 E 点， D、E 两点就是使两村行程最短的架桥地点．即两村的最短路程是 AE＋ED＋ DB．例8 在河中有 A、 B 两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从 A 岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到 B 岛，最后回到 A 岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？解：如上图，分别作 A、B 关于甲岸线、乙岸线的对称点 A′和 B′，连结 A′、B′分别交甲岸线、乙岸线于 E、F 两点，则 A→ E→ F→ B→ A 是最短路线，即最短路程为： AE＋EF＋FB＋BA．证明：由对称性可知路线 A→ E→F→B 的长度恰等于线段 A′ B′的长度．而从 A 岛到甲岸，又到乙岸，再到 B 岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接 A′、B′之间的折线，它们的长度都大于线段 A ′B′，例如上图中用“·—·—·”表示的路线A→E′→ F′→ B 的长度等于折线 AE′F′ B 的长度，它大于 A′B′的长度，所以 A→E → F→ B→ A 是最短路线．●对称问题教学目的：进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法，对于轴对称问题、中心对称问题有一个比较深入的认识，可以通过对称的性质及三角形两边之和与第三边的关系找到证明的方法。
初中数学《最值问题》典型例题 -【完整版】
初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例然后作其中一个定点关于定直线的对称点关于定直线的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'B'NNC的最小值1．如图：点、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，O32N的周长的最小值为．【分析】作，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△222N 周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形123k b k b =+⎧⎨-=+⎩74747474=4，点B到直线的距离BN =1，且MN =4，D PB′N MA的值然后根据勾股定理求得，利用勾股定理求出AB ′=5∴|45 ON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在458边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2AB=1，∴OE=AE=12∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∴DE=2，根据三角形的三边关系，OD＜OEDE，∴当OD过点E是最大，最大值为21．故答案为：21．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=，BC=4﹣，根据等腰直角三角形性质，得出CD2，CD2（4﹣），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=，BC=4﹣，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22，CD′=22（4﹣），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2CE2=12212（4﹣）2=2﹣48=（﹣2）24，∵根据二次函数的最值，∴当取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PKQK的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PKQK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，=3，∴点P′到CD的距离为2×32∴PKQK的最小值为3．故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′CC′DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD =12，S△ABP S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′CC′DD′）=1，又由1≤AP【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP S△ABP S△ACP=1，∴12AP•BB′12AP•CC′12AP•DD′=12AP•（BB′CC′DD′）=1，则BB′CC′DD′=2AP，∵1≤AP∴当P与B重合时，有最大值2；当P与C重合时，有最小值BB′CC′DD′≤2．BB′CC′DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP S△ABP S△ACP=1，继而得．到BB′CC′DD′=2AP10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PEPF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PEPF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PEPF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PEPF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。
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“最值问题”集锦●平面几何中的最值问题 (01)●几何的定值与最值 (07)●最短路线问题 (14)●对称问题 (18)●巧作“对称点”妙解最值题 (22)●数学最值题的常用解法 (26)●求最值问题 (29)●有理数的一题多解 (34)●4道经典题 (37)●平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。
⑵运用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式。
例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。
分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB 与直线L无交点，所以这种思路错误。
取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP，在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。
1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，上式只有当x=R时取等号，这时有所以2y=R=x．所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，梯形的底角恰为60°和120°．2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，若窗户的最大面积为S，则把①代入②有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．3. 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB是切线．为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′，使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，所以A，B，C′，C四点共圆，所以∠CC′A=∠CBA=90°，所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．4 如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC ≥2S△AKL．证连结AM，BM，DM，AN，DN，CN．因为在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，所以∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．因为M，N分别是△ABD和△ACD的内心，所以∠1=∠2=45°，∠3=∠4，所以△ADN∽△BDM，又因为∠MDN=90°=∠ADB，所以△MDN∽△BDA，所以∠BAD=∠MND．由于∠BAD=∠LCD，所以∠MND=∠LCD，所以D，C，L，N四点共圆，所以∠ALK=∠NDC=45°．同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因为△AKM≌△ADM，所以AK=AD=AL．而而从而所以 S△ABC ≥S△AKL．5. 如图3－95．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．证设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQ≤P1Q1．因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°，所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角．若∠AQ1P1≥90°，则 PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；若∠P1Q1C≥90°，则 PQ≤P1Q1≤P1C．同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP1C≥90°，则 P1C≤BC=AB．对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．6. 设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题)．解如图3－96，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C，则过顶点A的直线l或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论．(1)若l与BC相交于D，则所以只有当l⊥BC时，取等号．(2)若l′与B′C相交于D′，则所以上式只有l′⊥B′C时，等号成立．7. 如图3－97．已知直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D．试求四边形ABCD面积的最小值．解设⊙O与AB相切于E，有OE=1，从而即AB≥2．当AO=BO时，AB有最小值2．从而所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为●几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法； 3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′， DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x -10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等．【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ）A ．从30°到60°变动B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时， 其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下， 动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变 化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时， 研究的量取得定值与最值．【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点， 直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线⌒⌒AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为 △ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2， 从而我们的证明目标更加明确．注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】 已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt △ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC 直角边长的最大可能值．思路点拨 顶点Z 在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z 在斜边AB 上时，取xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z 在(AC 或CB)上时，设CX=x ，CZ=y ，建立x ，y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值； (2)构造二次函数求几何最值．学力训练1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为 ，最小值为 ．2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为 ．3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )A ．1B ．22C ．2D ．13- 5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是( ) A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定7．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．(1)求证：MN∥AB；(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．(2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．9．已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．(1)当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA·PB=PE·PF；(2)当点P为线段BA延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是( )25 D．14A．8 B．12 C．211．如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于点A，线段DB上AB于点B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是( )A．23+2+ B．23+ D．21+ C．212．如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．(镇江市中考题)16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．参考答案●最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段．这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲．在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．例1 如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线．作点A关于河岸的对称点 A′，即作 AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=A′C，连接A′B交河岸于一点P，这时 P点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PA＋PB就是侦察员应选择的最短路线．证明：设河岸上还有异于P点的另一点P′，连接P′A，P′B， P′A′．∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，而这里不等式 P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线．此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题．例2 如图一只壁虎要从一面墙壁α上A点，爬到邻近的另一面墙壁β上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？解：我们假想把含B点的墙β顺时针旋转90°（如下页右图），使它和含A点的墙α处在同一平面上，此时β转过来的位置记为β′，B点的位置记为B′，则A、B′之间最短路线应该是线段AB′，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线．证明：在墙棱上任取异于P点的P′点，若沿折线AP′B走，也就是沿在墙转90°后的路线AP′B′走都比直线段APB′长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线．由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．例3 长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1））解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D′、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 D′B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D′点出发，到B点共有六条路线供选择．①从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2）），这时在这个平面上D′、B间的最短路线距离就是连接D′、B两点的直线段，它是直角三角形ABD′的斜边，根据勾股定理，D′B2=D′A2+AB2=（1+2）2＋42=25，∴D′B=5．②容易知道，从D′出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5．③从D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（上页图（3）），有：D′B2＝22+（1+4）2=29．④容易知道，从D′出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29．⑤从D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（见图），D′B2=（2+4）2+12=37．⑥容易知道，从D′出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37．比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2）），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度．利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线．圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线．因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用．如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题．例4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A′、B′分别与A、B重合），连接AB′，再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB′在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路．圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题．例5 有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B 为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A′、B′分别与A、B重合），在扇形中连AB′，则将扇形还原成圆锥之后，AB′所成的曲线为所求．例6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米， B点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了．解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD 的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O．因为桶口沿线CD是 B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去．延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2 ＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．例7 A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短．分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值．因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决．解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点．即两村的最短路程是AE＋ED＋DB．例8 在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A′和B′，连结A′、B′分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则A→E→F→B→A是最短路线，即最短路程为：AE ＋EF＋FB＋BA．证明：由对称性可知路线A→E→F→B的长度恰等于线段A′B′的长度．而从A岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A′、B′之间的折线，它们的长度都大于线段 A′B′，例如上图中用“·—·—·”表示的路线A→E′→F′→B的长度等于折线AE′F′B的长度，它大于A′B′的长度，所以A→E →F→B→A是最短路线．●对称问题教学目的：进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法，对于轴对称问题、中心对称问题有一个比较深入的认识，可以通过对称的性质及三角形两边之和与第三边的关系找到证明的方法。