初中数学《几何最值问题》典型例题
初中数学几何最值专题16：加权费马点(最全修正版)
加权费马点
【例题精讲】
例1、在△ABC中，BC=4.AC=3√2,∠ACB=45°，P为三角形ABC内部一点，求AP+BP+√2PC的最小值
解析提示：
总结：
例2、（1）问题提出：如图1，已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P是AD上一动点，则BP+AP 的最小值为．
（2）问题探究：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝，在三角形内有一点P满足∠APB＝∠BPC＝120°，求PA+PB+PC的值．
（3）问题解决：如图3，某地在脱贫攻坚乡村振兴中因地制宜建造了3个特色农产品种植基地A，B，C．现需根据产品中转点P修建通往种植基地A，B，C的道路PA，PB，PC，方便农产品的储藏运输，根据地质设计，PB路段每米造价是PA的倍，PC路段每米造价是PA的2倍．已知AB＝BC＝2000米，∠ABC＝30°，要使修建3条道路费用最小，即求PA+PB+2PC的最小值．
解析提示：
总结：
针对训练
1、在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求AP+BP+√2PC的最小值
2、如图，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC。
求：（1）PA+PB+PC的最小值；
（2）PA+PB+√2PC的最小值；
（3）PA+PB+√3PC的最小值；
（4）PA+2PB+√3PC的最小值；
（5）2PA+PB+√3PC的最小值；
（6）3PA+4PB+5PC的最小值；。
(完整版)初中数学《几何最值问题》典型例题
初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵PC关于OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．则CD=2OC=2×32=6．【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a=．【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出P A+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时P A+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=74，即P（74，0），a=74．故答案填：74．【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为．D PB′N MA【分析】作点B 于直线l 的对称点B ′，则PB =PB ′因而|P A ﹣PB |=|P A ﹣PB ′|，则当A ，B ′、P 在一条直线上时，|P A ﹣PB |的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN 和PM 的值然后根据勾股定理求得P A 、PB ′的值，进而求得|P A ﹣PB |的最大值．【解答】解：作点B 于直线l 的对称点B ′，连AB ′并延长交直线l 于P ． ∴B ′N =BN =1，过D 点作B ′D ⊥AM ， 利用勾股定理求出AB ′=5 ∴|P A ﹣PB |的最大值=5．【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA ′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA ′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA ′的最小值1．所以可求点A ′在BC 边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P 与B 重合时，BA ′取最大值是3， 当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A ′C =4，此时BA ′取最小值为1． 则点A ′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2． 故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ．【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PF AE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=45，∴PD=458 ．【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD，∴DE2，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为2+1．故答案为：2+1．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x，CD′=22（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22x，CD′=22（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为2×33∴PK+QK3故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤2，即可求得答案．【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2 AP，∵1≤AP≤2，∴当P当P与C重合时，有最小值2．∴2≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案为：2≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=2 AP．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。
初中数学几何最值专题47：中线定理篇(最全修正版)
中线定理求最值【中线定理简介】中线定理（pappus定理），又称重心定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边的平方的一半加上这条中线的平方的2倍如图：△ABC中，BD为中线【例题精讲】例1、我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是。
解析提示：总结：例2、在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为。
解析提示：总结：例3、如图，在平面直角坐标系中，Q（3，4），P是在以Q为圆心，2为半径的⊙Q上一动点，A（1，0）、B（﹣1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2的最小值是。
解析提示：总结：针对训练1、如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A （﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是。
2、如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A （﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是。
3、已知如图，点A（1，0），点B（2，0），点P是直线y＝x+1上的一个动点，PA2+PB2的最小值＝。
4、平面直角坐标系内，A（﹣1，0），B（1，0），C（4，﹣3），P在以C为圆心1为半径的圆上运动，连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是。
初中数学几何最值专题1：蚂蚁行程(最全修正版)
蚂蚁行程【例题精讲】例1、如图，一只螳螂在一圆柱形松树树干的A点处，发现它的正上方B点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是准备按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的周长为40cm，A，B两点间的距离为30cm．若螳螂想吃掉B点处的小虫子，螳螂绕行的最短路程为cm。
解析提示：总结：例2、如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是。
解析提示：总结：例3、如图所示的圆锥底面半径OA＝2cm，高PO＝4cm，一只蚂蚁由A点出发绕侧面一周后回到A点处，则它爬行的最短路程为。
解析提示：总结：针对训练1、如图，已知圆柱的底面周长为6，高AB＝3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到对面的A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为．2、如图，有一圆柱，其高为14cm，它的底面周长为10cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B 处的食物，其中B离上沿2cm，则蚂蚁经过的最短路程为．3、如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为。
4、如图，圆柱体的高为4cm，底面周长为6cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图所示，则最短路程为．5、如图，桌面上的正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B 点，则它运动的最短路程为（）6、有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造房子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？7、（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G 处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？8、李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题：（1）如图1，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处，那么蚂蚁需要爬行的最短路程的长是cm；（2）如图2，一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆的周长为32cm．（先画出示意图，再写出解答过程）①点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物请求出蚂蚁需要爬行的最短路程；②将图2改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面3cm，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧中点B处（如图3）．那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？课堂精练1、如图，圆柱体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图，则最短路程为．2、如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（）m．3、如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？4、如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，P是BC上一点且PC＝BC．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点P，求爬行的最短路程是多少．。
中学考试压轴题突破几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形最值问题在几何图形中分两大类：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r ≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
（二）动点路径待确定例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
题型六 几何最值(专题训练)(解析版)
题型六几何最值（专题训练）1.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD BD +的最小值是( )【答案】B【详解】如图，作DH ⊥AB 于H ，CM ⊥AB 于M ．∵BE ⊥AC ，∴∠AEB=90°，∵tanA=BE AE=2，设AE=a ，BE=2a ，则有：100=a 2+4a 2，∴a 2=20，∴，∴，∵AB=AC ，BE ⊥AC ，CM ⊥AB ，∴（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE ，∠BHD=∠BEA ，∴sin DH AE DBH BD AB Ð===，∴BD ，∴BD=CD+DH ，∴CD+DH ≥CM ，∴BD ≥∴BD 的最小值为故选B ．2.如图，在Rt ABC D 中，90°Ð=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【详解】如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ^垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∴5AB =∵90OPB °Ð=，∴OP ACP ∵点O 是AB 的三等分点，∴210533OB =´=，23OP OB AC AB ==，∴83OP =，∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD AC ^，∴OD BC ∥，∴13OD OA BC AB ==，∴1OD =，∴MN 最小值为85133OP OF -=-=，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，MN 最大值1013133=+=，513+=633,∴MN 长的最大值与最小值的和是6．故选B ．3.如图，在矩形纸片ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF V 沿EF 所在直线翻折，得到'A EF V ，则'A C 的长的最小值是( )A B ．3C 1-D 1-【答案】D【详解】以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点A'在线段CE 上时，A'C 的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：1A'E AE AB 12===．在Rt BCE V 中，1BE AB 12==，BC 3=，B 90Ð=o ，CE \==，A'C \的最小值CE A'E 1=-=．故选D ．4.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ，当AG+BG+CG 取最小值时EF 的长（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：如图，∵将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ，∴BE=AB=BC ，BF=BG ，EF=AG ，∴△BFG 是等边三角形．∴BF=BG=FG ，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG ．根据“两点之间线段最短”，∴当G 点位于BD 与CE 的交点处时，AG+BG+CG 的值最小，即等于EC 的长，过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，，在Rt △EFC 中，∵EF 2+FC 2=EC 2，∴．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG ，∴EF=13故选：D ．5.如图，Rt ABC △中，AB BC ^，6AB =，4BC =，P 是ABC △内部的一个动点，且满足90PAB PBA °Ð+Ð=，则线段CP 长的最小值为________.【答案】2：【详解】∵∠PAB+∠PBA=90°∴∠APB=90°∴点P 在以AB 为直径的弧上（P 在△ABC 内）设以AB 为直径的圆心为点O ，如图接OC ，交☉O 于点P ，此时的PC 最短∵AB=6，∴OB=3∵BC=4∴5OC ===∴PC=5-3=26.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE=1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G点运动轨迹．CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF=1G E =1，CF=1322CE =，所以CH=52，因此CG 的最小值为52．GA B CDE F27.如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且D D =PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】【详解】ABCD Q 为矩形，AB DC\=又=V V Q PAB PCDS S \点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +=====故答案为：8.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝5，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边△BPQ ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是2______．【答案】54．【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠CBE=60°，∵BE=AE，∴CE=BE=AE，∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∵∠PBQ=∠CBE=60°，∴∠QBC=∠PBE，∵QB=PB，CB=EB，∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC=PE，∴当EP⊥AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE=52，∠A=30°，∴PE=12AE=54，∴CQ的最小值为54．故答案为：549.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6．P 为对角线BD 上一点，则PM ﹣PN 的最大值为 ．【答案】2【分析】作以BD 为对称轴作N 的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM ﹣PN ＝PM ﹣PN'≤MN'，可得当P ，M ，N'三点共线时，取“＝”，再求得//AN CN BM CM =＝31，即可得出PM ∥AB ∥CD ，∠CMN'＝90°，再根据△N'CM 为等腰直角三角形，即可得到CM ＝MN'＝2．【解答】解：如图所示，作以BD 为对称轴作N 的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN ＝PN'，∴PM ﹣PN ＝PM ﹣PN'≤MN'，当P ，M ，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC ＝2AB ＝28，∵O 为AC 中点，∴AO ＝OC ＝24，∵N 为OA 中点，∴ON ＝22，∴ON'＝CN'＝22，∴AN'＝26，∵BM ＝6，∴CM ＝AB ﹣BM ＝8﹣6＝2，∴//AN CN BM CM =＝31∴PM ∥AB ∥CD ，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM ＝45°，∴△N'CM 为等腰直角三角形，∴CM ＝MN'＝2，即PM ﹣PN 的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．10.如图，ABC V 是等边三角形，6AB =，N 是AB 的中点，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的一个动点，连接,BM MN ，则BM MN +的最小值是________．【答案】【分析】根据题意可知要求BM+MN 的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM ，MN 的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN ，即可求出答案．【解析】解：连接CN ，与AD 交于点M ，连接BM ．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），AD 是BC 边上的中线即C 和B 关于AD 对称，则BM+MN=CN ，则CN 就是BM+MN 的最小值．∵ABC V 是等边三角形，6AB =，N 是AB 的中点，∴AC=AB=6,AN=12AB=3, CN AB ^,∴CN ====即BM+MN的最小值为故答案为：【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．11.如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD æö+ç÷èø，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．ABC D A BCD问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．12.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为_____．【答案】2-【解析】【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于E ，点点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM+ME ≥OF ．求出OM ，OF 即可解决问题．【详解】解：取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于E ，点点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM+ME ≥OF ．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝12AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝，GF，OF＝，∴ME≥OF﹣OM＝﹣2，∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为2．【点睛】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．13.如图，四边形ABCD是菱形，A B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．【答案】【详解】将△BMN 绕点B 顺时针旋转60度得到△BNE ，∵BM=BN ，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM ∵MC=NE ∴AM+MB+CM=AM+MN+NE ．当A 、M 、N 、E 四点共线时取最小值AE ．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH ⊥AE ，AH=EH ，∠BAH=30°，∴BH=12AB=3，BH=AE=2AH=故答案为14.如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为BC 边上的任意一点，把PBE △沿PE 折叠，得到PBE △，连接CF ．若AB ＝10，BC ＝12，则CF 的最小值为_____．【答案】8【解析】【分析】点F 在以E 为圆心、EA 为半径的圆上运动，当E 、F 、C 共线时时，此时FC 的值最小，根据勾股定理求出CE ，再根据折叠的性质得到BE ＝EF ＝5即可．【详解】解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，∴EF⊥PF，EB＝EF，∵E是AB边的中点，AB＝10，∴AE＝EF＝5，∵AD＝BC＝12，∴CE＝13，∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．故答案为8．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．15、如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为，则BC＝_____．-【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∵AB=AC ，AH ⊥BC ，∴∠BAP=∠CAP ，∵PA=PA ，∴△BAP ≌△CAP （SAS ），∴PC=PB ，∵MG=PB ，AG=AP ，∠GAP=60°，∴△GAP 是等边三角形，∴PA=PG ，∴PA+PB+PC=CP+PG+GM ，∴当M ，G ，P ，C 共线时，PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段CM 的长，∵AP+BP+CP 的最小值为，∴，∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，作BN ⊥AC 于N ．则BN=12AB=1，，，∴16.如图所示，30AOB Ð=o ，点P 为AOB Ð内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN D 周长的最小值_____．【答案】PMN D 周长的最小值为8【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP 、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN D 周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP \D =++=，且1A O P A O P Ð=Ð，2BO P BO P Ð=Ð，12260POP AOB Ð=Ð=°，128O P O P O P ===，12PPO D 为等边三角形，1218PP OP ==即PMN D 周长的最小值为8.17.在正方形ABCD 中，点E 为对角线AC （不含点A ）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，连接EF ；①把图形补充完整（无需写画法）； ②求2EF 的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE 的最小值．【答案】（1）①补图见解析；②2816EF ££；（2）2+【详解】（1）①如图△DCF 即为所求；②∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝AB ＝，∠B ＝90°，∠DAE ＝∠ADC ＝45°，∴AC AB ＝4，∵△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，∴∠DCF ＝∠DAE ＝45°，AE ＝CF ，∴∠ECF ＝∠ACD ＋∠DCF ＝90°，设AE ＝CF ＝x ，EF 2＝y ，则EC ＝4−x ，∴y ＝（4−x ）2＋x 2＝2x 2−8x ＋160（0＜x ≤4）．即y ＝2（x −2）2＋8，∵2＞0，∴x ＝2时，y 有最小值，最小值为8，当x ＝4时，y 最大值＝16，∴8≤EF 2≤16．（2）如图中，将△ABE 绕点A 顺时针旋转60°得到△AFG ，连接EG ，DF ．作FH ⊥AD 于H ．由旋转的性质可知，△AEG 是等边三角形，∴AE ＝EG ，∵DF ≤FG ＋EG ＋DE ，BE ＝FG ，∴AE ＋BE ＋DE 的最小值为线段DF 的长．在Rt △AFH 中，∠FAH ＝30°，AB ＝=AF ，∴FH ＝12AF ，AH ，在Rt △DFH 中，DF =＝2+，∴BE ＋AE ＋ED 的最小值为2．。
初中几何动点最值问题难题集锦
初中几何动点最值问题难题集锦初中几何动点最值问题是初中数学中的一道难题类型。
动点最值问题考察动点在几何形状内运动时，某一量的最大值或最小值的求解方法。
下面是一些初中几何动点最值问题的难题集锦。
1.【问题描述】在一个矩形ABCD中，点P动态地沿着矩形的边移动，求线段AP的最长长度。
【解答】假设矩形ABCD的边长为a和b（a<b），点P动态地沿着矩形的边移动。
我们可以观察到，当点P处于矩形的顶点A或D时，线段AP的长度为a；当点P处于矩形的顶点B或C时，线段AP的长度为b。
因此，线段AP的最长长度为b。
2.【问题描述】在一个圆形O内，点P动态地沿着圆的周长移动，求线段OP的最长长度。
【解答】设圆的半径为r，点P动态地沿着圆的周长移动。
根据三角形的性质，可以知道线段OP的长度最长时，点P应该位于圆的周长上的与点O相对的点，即直径上的点。
因此，线段OP的最长长度为2r。
3.【问题描述】在一个正方形ABCD内，点P动态地沿着正方形的边移动，求线段BP的最长长度。
【解答】设正方形ABCD的边长为a，点P动态地沿着正方形的边移动。
由于线段BP的长度等于点P距离B点的距离，所以线段BP的最长长度为正方形的对角线长度，即√2a。
4.【问题描述】在一个等腰直角三角形ABC中，点P动态地沿着三角形的边移动，求线段AP的最长长度。
【解答】设等腰直角三角形ABC的等腰边长为a，点P动态地沿着三角形的边移动。
可以观察到，当点P处于顶点B或C 时，线段AP的长度为a；当点P处于顶点A时，线段AP的长度为0。
因此，线段AP的最长长度为a。
5.【问题描述】在一个梯形ABCD中，点P动态地沿着梯形的边移动，求线段CP的最长长度。
【解答】设梯形ABCD的上底长为a，下底长为b（a>b），点P动态地沿着梯形的边移动。
可以观察到，当点P处于梯形的底端点C或顶端点D时，线段CP的长度为0；当点P处于梯形的上底端点A时，线段CP的长度为ab。
中考数学《最值问题》及参考答案
中考数学《最值问题》及参考答案一、轴对称求最小值1.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的值最小，求这个最小值．2.四边形ABCD中,∠BAD=122°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△AMN周长最小时,求∠MAN的度数．3.如图,∠AOB =45°,OC为∠AOB内部一条射线,点D为射线OC上一点,OD=√2,点E、F分别为射线0A、OB上的动点,求△DEF周长的最小值．二、垂线段最短求最值4.如图,矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,求PQ 的最小值．5.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动的过程中,求DF的最小值．6.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AB上一动点(不与A、 B重合),作PE ⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,求EF的最小值．7.如图,在ΔABC中,∠BAC=90,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD,AB上的动点,求PA+PQ的最小值．8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE,P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN, PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.二、两点之间,线段最短求最值9.如图,等边△ABC的边长为4,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A´B´C´公关于直线l对称,D为线段BC´上一动点,求AD+CD的最小值是( )10.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4,动点P满足S△PCD=14S长方形ABCD´,求点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值．三、三角形三边的关系求最值问题11.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0)、B(0,2)、 C(4,2)、D(3,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A´,求则A´C的最小值．参考答案1.析：连接BP.因为点B 与点D 关于直线AC 对称，所以PB=PD .所以PD+PE =PB+PE≥BE，所以PD+PE 的最小值即为BE 的长．BE ＝AB ＝6，则PD+PE 的值最小为6．2.析：如图,延长AB 到A ´使得BA ´=AB,延长AD 到A ´使得DA"=AD,连接A ´A"与BC 、CD 分别交于点M 、N.∵∠ABC=∠ADC=90° ∴ A 、A ´关于BC 对称,A 、A"关于CD 对称,此时ΔAMN 的周长最小∵BA=BA ´,MB ⊥ AB ∴MA =MA ´同理:NA=NA" ∴∠A ´=∠MAB,∠A"=∠NAD∵∠AMN =∠A ´+∠MAB =2∠A ´,∠ANM =∠A"+∠NAD =2∠A"∴∠AMN +∠ANM = 2(∠A ´+∠A")∵∠BAD=122° ∴ ∠A ´+LA"=180°-∠BAD=58° ∴∠AMN +∠ANM=2x58°=116∴∠MAN =180-116°=64°3.析：作点D 作关于OA 的对称点P,点D 关于OB 的对称点Q,连接PQ,与OA 的交点为点E,与OB 的交点为点F.△DEF 的最小周长为DE +EF +QF =PE+EF+QF =PQ连接OP 、OQ,则OP=0Q=√2 ∵∠POQ =2∠AOB=90°∴ΔOPQ 是等腰直角三角形∴PQ =√2OD=2∴ΔDEF 的周长的最小值是2.4.析：如图,连接CM∵MP ⊥CD 于点P,MQ ⊥BC 于点Q ∴∠CPM =∠CQM=90°∴四边形ABCD 是矩形∴BC=AD=3,CD=AB=4,∠BCD=90°∴四边形PCQM 是矩形,PQ =CM∴BD =√32+42=5当CM ⊥BD 时,CM 最小,则PQ 最小,此时,S △BCD =1 2BD ·CM=12BC ·CD ∴PQ 的最小值为125.5.析：取线段AC 的中点G,连接EG∵ΔABC 为等边三角形,AD 为△ABC 的对称轴∴CD=CG=1 2AB=3,∠ACD =60° ∵ ∠ECF =60°∴∠FCD =∠ECG在ΔFCD 和ΔECG 中,FC =EC,∠FCD=∠ECG,DC=GC∴ΔFCD ≌AECG ∴DF =GE当EG ⊥AD 时,EG 最短,即DF 最短∵点G 为AC 的中点,EG=DF=1 2CD=32 6.析： 连接CP.∵∠C=90,AC=3,BC =4 ∴AB =√32+42=5∵PE ⊥AC,PF ⊥BC,∠C=90°∴四边形CFPE 是矩形∴EF =CP由垂线段最短可得CP ⊥AB 时,线段EF 的值最小S △ABC=1 2BC ·AC=12AB ·CP ∴1 2×4×3=12×5·CP ∴CP =2.4 7.如图,作点Q 关于直线BD 的对称点Q ´∵BD 平分∠ABC ∴点Q 在BC 上连接PQ ´,则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ ´的最小值∴当A 、P 、Q ´三点共线且AQ ´⊥BC 时,PA+PQ 的值最小过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长∵AB=6,BC=10 ∴AC ²=10²-6²=64 ∴AC=8∵ S △ABC =1 2AM ·BC=1 2AB ·AC ∴AM=AB·AC BC =48 10=4.88.析：连接AD ，与BE 交于点O∵四边形ABDE 是正方形 ∴BE ⊥AD,OD =OA ，点A 与点D 关于直线BE 对称 求PN + AN 的最小值，只需D ，N ，P 在同一条直线上，由于P ，N 分别是AC 和BE 上的动点，过点D 作DP ⊥AC 于P 交BE 于点 N ，此时PN + AN =PN+ND=PD ，由△ABC ≌ △BDF 可知，BF= AC = 9，BC=DF=5，易知四边形DFCP 是矩形，CF=PD=BF+BC=9+5=149.析：如图,连接AD∵△ABC 是边长为4的等边三角形 ∴AB =BC=4,∠ABC=60° ∵△ABC 与△ A ´B ´C ´关于直线l 对称∴A ´B=BC,∠AB ´C ´=60°∴∠CBC ´=60°=∠A ´BD∴△BCD ≌△BA ´D(SAS)∴A ´D=CD ∴CD +AD =AD +A ´D当A 、D 、A ´三点共线时,AD+A ´D 最小,此时CD+AD 最小,最小为4+4=8.10.析：如图,设APC 的CD 边上的高是h.∵S △PCD =1 2S 长形ABCD ,AD=4 ∴1 2·CD ·h =1 4CD ·AD ∴h=12AD=2 ∵动点P 在与CD 平行且与CD 的距离是2的直线l 上连接AC 交直线l 于点P ´∵l//CD,AD=4,四边形ABCD 是长方形 ∴l ⊥AD,l ⊥BC∴直线l 是BC 边的垂直平分线 ∴BP ´=CP ´∴AP ´+BP ´=AP ´+CP ´ ∴ AC 的长是最短距离∴AC=√32+4=5,PA +PB 的最小值为5.11.析：连接BA ´∵AB=√5,BC =4若点A 关于BP 的对称点为A ´ ∴BA ´=BA=√5在△BA ´C 中,A ´C ≥BC-BA ´,即AC ´≥4-√5∴AC ´的最小值为4-√5。
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初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值二、典型题型1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵PC关于OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．则CD=2OC=2×32=6．【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a=．【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出P A+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时P A+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=74，即P（74，0），a=74．故答案填：74．【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为 ．D PB′N BMA【分析】作点B 于直线l 的对称点B ′，则PB =PB ′因而|P A ﹣PB |=|P A ﹣PB ′|，则当A ，B ′、P 在一条直线上时，|P A ﹣PB |的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN 和PM 的值然后根据勾股定理求得P A 、PB ′的值，进而求得|P A ﹣PB |的最大值．【解答】解：作点B 于直线l 的对称点B ′，连AB ′并延长交直线l 于P ． ∴B ′N =BN =1，过D 点作B ′D ⊥AM ， 利用勾股定理求出AB ′=5 ∴|P A ﹣PB |的最大值=5．【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA ′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA ′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA ′的最小值1．所以可求点A ′在BC 边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P 与B 重合时，BA ′取最大值是3， 当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A ′C =4，此时BA ′取最小值为1． 则点A ′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2． 故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ．【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PF AE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=45，∴PD=458 ．【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD，∴DE2，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为2+1．故答案为：2+1．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x，CD′=22（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22x，CD′=22（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为2×33∴PK+QK3故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤2，即可求得答案．【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2 AP，∵1≤AP≤2，∴当P与B重合时，有最大值2；当P与C重合时，有最小值2．∴2≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案为：2≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=2 AP．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。