利用轴对称性质求几何最值 (1)

轴对称中几何动点最值问题总结
轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。

比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。

利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：
（1）两点之间线段最短；
（2）三角形两边之和大于第三边；
（3）垂线段最短。

初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。

下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。

（1）两点一线的最值问题:（两个定点+ 一个动点）
问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。

核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。

变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。

1. 如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点, 若AE=2,EM+CM的最小值为( )
A．4 B.8 C. D.
2.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）
A．15° B.22.5° C.30° D. 45°
3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE 最小，则这个最小值是 _____________.
4.（2006•河南）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_____________.
5.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是( )
A． B. C. D. 10
6..（2009•抚顺）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）
A．2√3 B. 2√6 C. 3 D. √6
（2） 一点两线的最值问题: （两个动点+一个定点）
问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。

核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。

变异类型：
例1 ：如图6，接力赛场上，甲同学站在L1、L2两条交叉跑道之间的任意一点A 处，要将接力棒传给站在L1跑道上的乙同学，乙同学要将接力棒传给站在L2跑道上的丙同学，丙同学跑回A 处，试找出乙丙同学所站的最佳位置使比赛的路程最短。

l 2
l 1
图6
C B
A'
A''
A
Q
R
1. 如图，已知∠AOB 的大小为α，P 是∠AOB 内部的一个定点，且OP=2，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于2，则α=（ ） A ．30° B.45° C.60° D.90°
2. 如图，∠AOB=30°，内有一点P 且OP=，若M 、N 为边OA 、OB 上两动点，那么△PMN 的周长最小为（ ）
A ．2√6 B.6 C. √6/2 D. √6
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是____________
4. 在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°，∠BAC的平分线BC于D，M、N分别是AD与AB 上动点，则BM+MN的最小值是 _________ ．
（3）两点两线的最值问题:（两个动点+两个定点）
问题特征：两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。

核心思路：用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。

变异类型：
例1如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？
解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于河宽，且垂直于河岸。

将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端点位置。

四边形为平行四边形，，此时值最小。

那么来往、两村最短路程为：。

2．如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y 轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（）
A．50 B.50√5 C. 50（√5-1） D. 50（√5-1）
3. (2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点、
分别在轴、轴的正半轴上，，，为边的中点。

（1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；
（2）若，为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点，的坐标。

解析：作点关于轴的对称点，则，。

（1）连接交轴于点，连接，此时的周长最小。

由可知，那么，则。

（2）将向左平移2个单位（）到点，定点、分别到动点、的距离和等于为定点、到动点的距离和，即。

从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。

在上截取，连接交轴于，四边形为平行四边形，。

此时
值最小，则四边形的周长最小。

由、可求直线解析式为，当时，，即，则。

（也可以用（1）中相似的方法求坐标）
（4）两点两线的最值问题:（两个动点+两个定点）
问题特征：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。

核心思路：利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。

变异类型：演变为多边形周长、折线段等最值问题。

例5（2009年陕西省中考）如图6，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为4 。

解析：角平分线所在直线是角的对称轴，
上动点关于的对称点
在
上，
，
，当
时，
最小。

作于，交
于，
∵
，
∴
作
交
于
，
2：如图9，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC ＝10cm ，在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM ＋MN 的值最小，求这个最小值。

图9
O
M
B'
C
D
A
分析：
在△ABC 中，AB=20cm ，BC ＝10cm ，由勾股定理得AC==105cm ，由AC ×BO=AB ×BC ，得BO=45cm ，所以BB ’=85cm 。

由△ABC ∽△B ’NB ，得B ’N ＝16cm ，即BM ＋MN 的最小值为16cm 。

3 ：如图5，∠MON=30°，边OM 、ON 分别有定点A 、D ，OA=2，OD=5，在ON 、OM 边上确定动点B 、C 的位置，使折线ABCD 的长度最短，这时折线ABCD 的长度为（）
分析：若A 位于ON 的另一侧，D 位于OM 的另一侧，则连接AD 与OM 、ON 边相交可得B 、C 点的位置。

可以想
C
B D'
O
N
M
A
办法在保持线段AB、CD长度不变的情况下，将点A“搬”至ON的另一侧，将点D“搬”至OM的另一侧，将线段AB、CD“移”至BC所在直线来考虑。

作A关于ON的对称点A’，D关于ON的对称点D’，连接A’D’交ON，OM于点B，C，此时折线ABCD的长度最短，连接OA’，OD’，∠A’OB=∠AOB=∠
D’OA=30°，故∠A’OD’=90°，OA’=OA=2，OD’=OD=5，故折线ABCD的长度等于A’D’=29。