解析几何部分周末检测题
解析几何检测
解析几何检测题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32B.32 C ．3 D ．－3答案：A2．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4 答案：C3．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4 D.14答案：A4．(2011年青岛质检)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x答案：D5．(2011年安徽高考)设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1，－2D ．2，－1答案：B6．(2010年福建高考)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案：C7．(2010年四川高考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A .在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，22] B ．(0，12]C ．[2－1,1)D ．[12，1)答案：D8．(2011年东北三校联考)已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P 、Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53B.56 C.54 D.58答案：B9．(2011年广西百所重点中学阶段检测)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线C 上，若点P 到l 的距离等于点P 与坐标原点O 的距离，则tan ∠POF 等于( )A ．3B ．2 C.2D ．2 2 解析：设P (x P ，y P )，由题易知|PO |＝|PF |，∴x P ＝p 4，得y P ＝±p2，∴tan ∠POF ＝p 2p 4＝2 2.答案：D10．(2011年福州质检)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有( )个．( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案：C11．(2011年福建高考)设圆锥曲线 Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32 答案：A12．(2011年湖北高考)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正角形三个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥3答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2011年昆明模拟)过点P (0,2)的直线和抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点横坐标为2，则弦AB 的长为________．答案：21514．(2010年重庆高考)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．答案：8315．(2011年江南十校联考)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．答案：1516．直线x ＝t 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若原点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．求经过7x ＋8y ＝38及3x －2y ＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程．解：易得交点坐标为(2,3)设所求直线为7x ＋8y －38＋λ(3x －2y )＝0， 即(7＋3λ)x ＋(8－2λ)y －38＝0， 令x ＝0，y ＝388－2λ，令y ＝0，x ＝387＋3λ，由已知，388－2λ＝387＋3λ，∴λ＝15，即所求直线方程为x ＋y －5＝0.又直线方程不含直线3x －2y ＝0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x －2y ＝0亦为所求．18．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：设所求圆的圆心为(a ，b )，半径为r ，∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上， ∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上，∴a ＋2b ＝0，① (2－a )2＋(3－b )2＝r 2②又直线x －y ＋1＝0截圆所得的弦长为22， ∴r 2－(a －b ＋12)2＝(2)2③解由方程①、②、③组成的方程组得： ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，a ＝6，r 2＝52.或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－7，a ＝14，r 2＝244，∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244. 19．(2011年福建高考)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解：解法一：(1)依题意，点P 的坐标为(0，m )． 因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)从而圆的半径 r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2 ＝2 2.故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．①当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； ②当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切，当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 解法二：(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)同解法一．20．(2011年北京高考)已知椭圆G 1：x 24＋y 2＝1，过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． 解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝3，所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝32.(2)由题意知，|m |≥1，当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为(1，32)，(1，－32)， 此时|AB |＝3，当m ＝－1时，同理可得|AB |＝3， 当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1， 即m 2k 2＝k 2＋1，所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[64k 4m 2(1＋4k 2)2－4(4k 2m 2－4)1＋4k 2]＝43|m |m 2＋3由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，且当m ＝±3时，|AB |＝2， 所以|AB |的最大值为2.21．(2011年湖南十二校联考)已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切，过点P (－4,0)作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足|P A |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的渐近线的方程； (2)求双曲线G 的方程；(3)椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴，如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．解：(1)设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ， 则由渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切可得|5k |k 2＋1＝5， 所以k ＝±12，即双曲线G 的渐近线的方程为y ＝±12x .(2)由(1)可设双曲线G 的方程为x 2－4y 2＝m ， 把直线l 的方程y ＝14(x ＋4)代入双曲线方程，整理得3x 2－8x －16－4m ＝0， 则x A ＋x B ＝83，x A x B ＝－16＋4m 3.(*)∵|P A |·|PB |＝|PC |2，P 、A 、B 、C 共线且P 在线段AB 上， ∴(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2，即(x B ＋4)(－4－x A )＝16， 整理得4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0. 将(*)代入上式得m ＝28， ∴双曲线的方程为x 228－y 27＝1.(3)由题可设椭圆S 的方程为x 228＋y 2a2＝1(a >27)，设垂直于l 的平行弦的两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为P (x 0，y 0)， 则x 1228＋y 12a 2＝1，x 2228＋y 22a2＝1， 两式作差得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)28＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)a 2＝0.由于y 1－y 2x 1－x 2＝－4，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，所以x 028－4y 0a2＝0，所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线x 28－4ya 2＝0截在椭圆S 内的部分．又由已知，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以a 2112＝12，即a 2＝56，故椭圆S 的方程为x 228＋y 256＝1.22．(2011年湖南高考)如图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的长半轴长．(1)求C 1，C 2的方程；(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .①证明：MD ⊥ME ；②记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2.问：是否存在直线l ，使得S 1S 2＝1732？请说明理由．解：(1)由题意知e ＝c a ＝32，从而a ＝2b ，又2b ＝a ，解得a ＝2，b ＝1，故C 1，C 2的方程分别为x 24＋y 2＝1，y ＝x 2－1.(2)①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1 得x 2－kx －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1. 又点M 的坐标为(0，－1)，所以k MA ·k MB ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)x 1x 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1x 1x 2＝－k 2＋k 2＋1－1＝－1.故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME .②设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为y ＝k 1x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －1y ＝x 2－1解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1，y ＝k 12－1.则点A 的坐标为(k 1，k 12－1)．又直线MB 的斜率为－1k 1，同理可得点B 的坐标为(－1k 1，1k 12－1)．于是S 1＝12|MA |·|MB |＝121＋k 12·|k 1|·1＋1k 12·|－1k 1|＝1＋k 122|k 1|.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1.x 2＋4y 2－4＝0得(1＋4k 12)x 2－8k 1x ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 11＋4k 12，y ＝4k 12－11＋4k12.则点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 11＋4k 12，4k 12－11＋4k 12.又直线ME 的斜率为－1k 1，同理可得点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 14＋k 12，4－k 124＋k 12.于是S 2＝12|MD |·|ME |＝32(1＋k 12)·|k 1|(1＋4k 12)(k 12＋4). 因此S 1S 2＝164(4k 12＋4k 12＋17)．由题意知，164(4k 12＋4k 12＋17)＝1732，解得k 12＝4，或k 12＝14.又由点A 、B 的坐标可知，k ＝k 12－1k 12k 1＋1k 1＝k 1－1k 1，所以k ＝±32.故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为y ＝32x 和y ＝－32x .。
解析几何专题评估测试题及详细答案
解析几何专题评估测试题[时间120分钟，满分150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·珠海模拟)经过圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为 A ．x －y ＋3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋3＝0解析 圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心的圆心坐标为(－1,2)， 则所求的直线方程为y －2＝x －(－1)，即x －y ＋3＝0. 答案 A2．(2013·延庆模拟)已知直线l 1：ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，则“a ＝－2”是“l 1⊥l 2”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当a ＝－2时，kl 1＝－2，kl 2＝12， 所以kl 1·kl 2＝－1，即l 1⊥l 2； 当l 1⊥l 2时，a (a ＋1)＋a ＝0， 解得a ＝－2，或a ＝0，所以“a ＝－2”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件． 答案 A3．(2013·莱芜模拟)点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25内弦AB 的中点，则直线AB 的方程为 A ．x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －y －3＝0D ．2x －y －5＝0解析 设圆心为C ，则C (1,0)，k PC ＝－1，由圆的几何性质可知，PC ⊥AB ，所以k AB ＝1，则直线AB 的方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.答案 C4．直线3x ＋4y －9＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是 A ．相离B ．相切C ．直线与圆相交且过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心解析 已知圆的圆心坐标为(0,1)，则圆心到直线的距离为d ＝1， 而r ＝1，所以d ＝r ，即直线和圆相切． 答案 B5．(2013·青浦模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x解析 由题意知2b ＝2,2c ＝23，所以b ＝1，c ＝3， a ＝c 2－a 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±12x ＝±22x ，选D. 答案 D6．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M 、N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为 A ．9B ．3C ．23D ．2解析 已知圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－m 2，因为圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M 、N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则直线2x ＋y ＝0必过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－m 2，代入直线方程可解得m ＝4，则圆的半径r＝12(－2)2＋42－4×(－4)＝3.答案 B7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程为A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1D ．x 2＋y 23＝1解析 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，因为椭圆过该点， 代入可得a 2＝4，双曲线x 2－y 2＝1的焦点坐标为(±2，0)， 所以椭圆的焦点在x 轴上，且a 2＞b 2， 故a 2－b 2＝4－b 2＝(2)2，即b 2＝2，则所求的椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. 答案 A8．(2013·门头沟一模)已知P (x ，y )是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且yx 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34，则该双曲线方程是 A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 216－y 29＝1D.y 216－x 29＝1解析 由题意知2c ＝10，所以c ＝5. 又y x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34，所以双曲线的渐近线斜率k ＝34，且焦点在x 轴上． 即b a ＝34，所以b ＝34a ， 解得a 2＝16，b 2＝9，所以双曲线的方程为x 216－y 29＝1，选C. 答案 C9．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，OQ→＝12(OP →＋OF →)，则|OQ→|等于 A ．1B ．2C ．2或5D ．1或5解析 设双曲线的左焦点为F 1， 因为OQ→＝12(OP →＋OF →)， 所以点Q 是线段PF 的中点，而O 是F 1F 的中点， 故线段OQ 是三角形PF 1F 的中位线， 故|OQ→|＝12|PF 1|， 据双曲线的定义得||PF 1|－|PF ||＝||PF 1|－6|＝4， 即|PF 1|＝10或|PF 1|＝2，所以|OQ |＝5或1. 答案 D10．(2013·济宁一模)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c,0)作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2＝4cx 于点P ，O 为原点，若OE→＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为A.1＋52B.3＋33C.52D.1＋32解析 因为OE→＝12(OF →＋OP →)，所以E 是FP 的中点．设右焦点为F 1，则F 1也是抛物线的焦点． 连接PF 1，则|PF 1|＝2a ，且PF ⊥PF 1， 所以|PF |＝4c 2－4a 2＝2b .设P (x ，y )，则x ＋c ＝2a ，则x ＝2a －c ，过点F 作x 轴的垂线，点P 到该垂线的距离为2a ， 由勾股定理得y 2＋4a 2＝4b 2， 即4c (2a －c )＋4a 2＝4(c 2－a 2)， 解得e ＝5＋12，选A.答案 A11．(2013·青岛一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，P A ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析 抛物线的焦点坐标为F (1,0)， 准线方程为x ＝－1.由题意|PF |＝|P A |＝4，则x P －(－1)＝4，即x P ＝3，所以y 2P ＝4×3，即y P ＝±23，不妨取P (－1,23)，则设直线AF 的倾斜角等于θ， 则tan θ＝23－1－1＝－3，所以θ＝2π3，选B.答案 B12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，若点(－1,0)与点(1,0)到直线x a －yb ＝1的距离之和为S ，且S ≥45c ，则离心率e 的取值范围是A ．[2，7] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，7D ．[2，5]解析 直线x a －yb ＝1方程为bx －ay －ab ＝0， 则S ＝|－b －ab |＋|b －ab |a 2＋b 2＝b ＋ab －b ＋ab a 2＋b 2＝2aba 2＋b2， 而c ＝a 2＋b 2，所以2ab a 2＋b2≥45a 2＋b 2， 化简得2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋2≤0，解得12≤ba ≤2，所以e 2＝c 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，5，即e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．(2013·日照一模)抛物线y 2＝16x 的准线方程为________． 解析 在抛物线中2p ＝16，p ＝8， 所以准线方程为x ＝－p2＝－4. 答案 x ＝－414．(2013·黄浦模拟)若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)的一条渐近线过点P (1,2)，则b 的值为________． 解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，因为点P (1,2)在第一象限， 所以点P (1,2)在渐近线y ＝b 2x 上，所以有2＝b2，所以b ＝4. 答案 415．(2013·南京模拟)如图，已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．解析 据题意知|OQ |＝r ＝b . 又OQ 是三角形PF 1F 2的中位线， 故|PF 1|＝2b ，所以|PF 2|＝2a －2b ， |QF 2|＝a －b ，在直角三角形OQF 2中， 由勾股定理得b 2＋(a －b )2＝c 2. 又c 2＝a 2＋b 2，代入化简得b a ＝23， 所以e 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝59，即e ＝53.答案 e ＝5316．(2013·潍坊二模)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，上顶点为A ，离心率为12，点P 为第一象限内椭圆上的一点，若S △PF 1A ∶S △PF 1F 2＝2∶1，则直线PF 1的斜率为________．解析 因为椭圆的离心率为12， 所以e ＝c a ＝12，即a ＝2c .设直线PF1的斜率为k(k＞0)，则直线PF1的方程为y＝k(x＋c)．因为S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1，即S△PF1A＝2S△PF1F2，即12·|PF1|·|kc－b|k2＋1＝2×12·|PF1|·|2kc|k2＋1，所以|kc－b|＝4|kc|，解得b＝－3kc(舍去)，或b＝5kc. 又a2＝b2＋c2，即a2＝25k2c2＋c2，所以4c2＝25k2c2＋c2，解得k2＝3 25，所以k＝3 5.答案3 5三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y －6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程；(3)若动圆P过点N(－2,0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．解析(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.又因为点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)．3x ＋y ＋2＝0.(3分) (2)由⎩⎨⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2)．因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心． 又|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝2 2.从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(6分) (3)因为动圆P 过点N ，所以|PN |是该圆的半径． 又因为动圆P 与圆M 外切， 所以|PM |＝|PN |＋22， 即|PM |－|PN |＝2 2.故点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长a ＝2，半焦距c ＝2. 所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 从而动圆P 的圆心的轨迹方程为 x 22－y 22＝1(x ≤－2)．(10分)18．(12分)(2013·门头沟一模)已知椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积． 解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a ＞b ＞0， 由c ＝2，可得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2， 即所求方程为x 24＋y 22＝1.(4分) (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AP →＝2PB →有⎩⎨⎧－x 1＝2x 21－y 1＝2(y 2－1)设直线方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，(6分) 解得x ＝－2k ±8k 2＋22k 2＋1，不妨设x 1＝－2k －8k 2＋22k 2＋1，x 2＝－2k ＋8k 2＋22k 2＋1，因为－x 1＝2x 2，则－－2k ＋8k 2＋22k 2＋1＝2·－2k ＋8k 2＋22k 2＋1，解得k 2＝114.(10分)又△AOB 的面积S ＝12|OP |·|x 1－x 2|＝12·28k 2＋22k 2＋1＝1268.∴△AOB 的面积为1268.(12分)19．(12分)(2013·吉安模拟)已知平面内一动点P 到点F (0,1)的距离与点P 到x 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB→的最小值． 解析 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意得x 2＋(y －1)2－|y |＝1， 化简得x 2＝2y ＋2|y |，当y ≥0时x 2＝4y ； 当y ＜0时，x ＝0，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y 和x ＝0(y ＜0)．(4分) (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ， 则l 1的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，(6分) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，y 1＋y 2＝4k 2＋2，y 1y 2＝1. 因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k .设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝－4k ， x 3x 4＝－4，y 3＋y 4＝4k 2＋2，y 3y 4＝1，(8分) AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋FD →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·FB → ＝FD →·EF →＋AF →·FB →＝|FD →||EF →|＋|AF →||FB →| ＝(y 3＋1)(y 4＋1)＋(y 1＋1)(y 2＋1) ＝y 3y 4＋(y 3＋y 4)＋1＋y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝8＋4k 2＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16，(10分)当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，AD →·EB→取最小值为16.(12分)20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，焦点F 的坐标为(1,0)． (1)求抛物线C 的标准方程；(2)设M 、N 是抛物线C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO 、NO 与抛物线的交点分别为点A 、B ，求证：动直线AB 恒过一个定点．解析 (1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则p2＝1，p ＝2， 所以抛物线方程为y 2＝4x .(4分)(2)证明 抛物线C 的准线方程为x ＝－1， 设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，其中y 1y 2＝－4， 直线MO 的方程：y ＝－y 1x ，将y ＝－y 1x 与y 2＝4x ， 联立解得A 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21，－4y 1.同理可得B 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 22，－4y 2，(8分) 则直线AB 的方程为：y ＋4y1－4y 2＋4y 1＝x －4y 214y 22－4y 21，(10分) 整理得(y 1＋y 2)y －4x ＋4＝0， 故直线AB 恒过定点(1,0)．(12分)21．(12分)(2013·济宁一模)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，短轴长为4 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线x ＝2与椭圆C 交于P 、Q 两点，A 、B 是椭圆O 上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜率为12.①求四边形APBQ 面积的最大值；②设直线P A 的斜率为k 1，直线PB 的斜率为k 2，判断k 1＋k 2的值是否为常数，并说明理由．解析 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知b ＝23，离心率e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，得a ＝4，所以，椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(4分)(2)①由(1)可求得点P 、Q 的坐标为P (2,3)，Q (2，－3)，则|PQ |＝6，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝12x ＋t ，代入x 216＋y 212＝1，得：x 2＋tx ＋t 2－12＝0.由Δ＞0，解得－4＜t ＜4，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－t x 1x 2＝t 2－12. 四边形APBQ 的面积S ＝12×6×|x 1－x 2|＝3×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝348－3t 2，故当t ＝0，S max ＝12 3.(8分)②由题意知，直线P A 的斜率k 1＝y 1－3x 1－2，直线PB 的斜率k 2＝y 2－3x 2－2， 则k 1＋k 2＝y 1－3x 1－2＋y 2－3x 2－2＝12x 1＋t －3x 1－2＋12x 2＋t －3x 2－2＝12(x 1－2)＋t －2x 1－2＋12(x 2－2)＋t －2x 2－2＝1＋t －2x 1－2＋t －2x 2－2 ＝1＋(t －2)(x 1＋x 2－4)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4， 由①知⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝－t x 1x 2＝t 2－12可得k 1＋k 2＝1＋(t －2)(－t －4)t 2－12＋2t ＋4＝1＋－t 2－2t ＋8t 2＋2t －8＝1－1＝0， 所以k 1＋k 2的值为常数0.(12分)22．(12分)(2013·南京模拟)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ，b ＞0)过M (2，2)，N (6，1)两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B 且OA→⊥OB→？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在，说明理由． 解析 (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ，b ＞0)过M (2，2)，N (6，1)两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝16a 2＋1b 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝181b 2＝14所以⎩⎨⎧a 2＝8b 2＝4. 椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.(4分)(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B 且OA→⊥OB →，设该圆的切线方程为y ＝kx ＋m ，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m x 28＋y 24＝1得x 2＋2(kx ＋m )2＝8， 即(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，则Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝8(8k 2－m 2＋4)＞0，即8k 2－m 2＋4＞0⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2(2m 2－8)1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k 2.(6分) 要使OA →⊥OB →，需使x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即2m 2－81＋2k 2＋m 2－8k 21＋2k 2＝0， 所以3m 2－8k 2－8＝0，所以k 2＝3m 2－88≥0. 又8k 2－m 2＋4＞0，所以⎩⎨⎧m 2＞23m 2≥8， 所以m 2≥83，即m ≥263或m ≤－263.因为直线y ＝kx ＋m 为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为r ＝|m |1＋k 2， r 2＝m 21＋k 2＝m 21＋3m 2－88＝83，r ＝263， 所求的圆为x 2＋y 2＝83，此时圆的切线y ＝kx ＋m 都满足m ≥263或m ≤－263，而当切线的斜率不存在时切线为x ＝±263与椭圆x 28＋y 24＝1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，±263或⎝⎛⎭⎪⎫－263，±263满足OA →⊥OB →， 综上，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝83，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA→⊥OB →. 因为⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2， 所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 22－4×2m 2－81＋2k 2＝8(8k 2－m 2＋4)(1＋2k 2)2， |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)8(8k 2－m 2＋4)(1＋2k 2)2 ＝323·4k 4＋5k 2＋14k 4＋4k 2＋1＝323⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋k 24k 4＋4k 2＋1，(10分) ①当k ≠0时，|AB |＝323⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋14k 2＋1k 2＋4. 因为4k 2＋1k 2＋4≥8，所以0＜14k 2＋1k 2＋4≤18， 所以323＜323⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋14k 2＋1k 2＋4≤12，所以436＜|AB |≤23， 当且仅当k ＝±22时取“＝”．②当k ＝0时，|AB |＝463. ③当AB 的斜率不存在时，两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，±263或⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，±263，所以此时|AB |＝463， 综上，|AB |的取值范围为436≤|AB |≤23，即：|AB |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤436，23.(12分)。
高中数学解析几何测试题(答案版)
高中数学解析几何测试题(答案版)高中数学解析几何测试题(答案版)第一部分：平面解析几何1. 已知平面P1：2x + 3y - 4 = 0和平面P2：5x - 7y + 2z + 6 = 0，求平面P1和平面P2的夹角。
解析：首先，我们需要根据平面的一般式方程确定法向量。
对于平面P1，法向量为(n1, n2, n3) = (2, 3, 0)，对于平面P2，法向量为(n4, n5,n6) = (5, -7, 2)。
根据向量的内积公式，平面P1和平面P2的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (n1 * n4 + n2 * n5 + n3 * n6) / √[(n1^2 + n2^2 + n3^2) * (n4^2 + n5^2 + n6^2)]代入数值计算，得到cosθ ≈ 0.760，因此夹角θ ≈ 40.985°。
2. 已知四边形ABCD的顶点坐标为A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(7, 8, 9)和D(10, 11, 12)，判断四边形ABCD是否为平行四边形，并说明理由。
解析：要判断四边形ABCD是否为平行四边形，我们需要比较四边形的对角线的斜率。
四边形ABCD的对角线分别为AC和BD。
根据两点间距离公式，我们可以计算出AC的长度为√99，BD的长度为√99。
同时，我们还需要计算坐标向量AC = (6, 6, 6)和坐标向量BD = (9, 9, 9)。
由于AC和BD的长度相等，且坐标向量AC与坐标向量BD的比值为1∶1∶1，因此四边形ABCD是一个平行四边形。
第二部分：空间解析几何3. 已知直线L1：(x - 1) / 2 = y / 3 = (z + 2) / -1和直线L2：(x - 4) / 3= (y - 2) / 1 = (z + 6) / 2，判断直线L1和直线L2是否相交，并说明理由。
解析：为了判断直线L1和直线L2是否相交，我们可以通过解方程组的方法来求解交点。
高中数学平面解析几何初步检测考试题(附答案)
高中数学平面解析几何初步检测考试题（附答案）试卷分析第2章平面解析几何初步综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线3a_－y－1＝0与直线(a－23)_＋y＋1＝0垂直，则a的值是()A．－1或13 B．1或13C．－13或－1 D．－13或1解析：选D.由3a(a－23)＋(－1)1＝0，得a＝－13或a＝1.2．直线l1：a_－y＋b＝0，l2：b_－y＋a＝0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大致是图中的()解析：选C.直线l1：a_－y＋b＝0，斜率为a，在y轴上的截距为b，设k1＝a，m1＝b.直线l2：b_－y＋a＝0，斜率为b，在y轴上的截距为a，设k2＝b，m2＝a.由A知：因为l1∥l2，k1＝k20，m10，即a＝b0，b0，矛盾．由B知：k1k2，m10，即ab，b0，矛盾．由C知：k10，m20，即a0，可以成立．由D知：k10，m2m1，即a0，ab，矛盾．3．已知点A(－1,1)和圆C：(_－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经_轴反射到圆C上的最短路程是()A．62－2 B．8C．46 D．10解析：选B.点A关于_轴对称点A(－1，－1)，A与圆心(5,7)的距离为5＋12＋7＋12＝10.所求最短路程为10－2＝8.4．圆_2＋y2＝1与圆_2＋y2＝4的位置关系是()A．相离 B．相切C．相交 D．内含解析：选D.圆_2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆_2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距02－1＝1，所以两圆内含．5．已知圆C：(_－a)2＋(y－2)2＝4(a0)及直线l：_－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，a的值等于()A.2B.2－1C．2－2 D.2＋1解析：选B.圆心(a,2)到直线l：_－y＋3＝0的距离d＝|a－2＋3|2＝|a＋1|2，依题意|a＋1|22＋2322＝4，解得a＝2－1.6．与直线2_＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线是()A．3_－2y－6＝0B．2_＋3y＋7＝0C．3_－2y－12＝0D．2_＋3y＋8＝0解析：选D.∵所求直线平行于直线2_＋3y－6＝0，设所求直线方程为2_＋3y＋c＝0，由|2－3＋c|22＋32＝|2－3－6|22＋32，c＝8，或c＝－6(舍去)，所求直线方程为2_＋3y＋8＝0.7．若直线y－2＝k(_－1)与圆_2＋y2＝1相切，则切线方程为()A．y－2＝34(1－_)B．y－2＝34(_－1)C．_＝1或y－2＝34(1－_)D．_＝1或y－2＝34(_－1)解析：选B.数形结合答案容易错选D，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分．8．圆_2＋y2－2_＝3与直线y＝a_＋1的公共点有()A．0个 B．1个C．2个 D．随a值变化而变化解析：选C.直线y＝a_＋1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部．9．过P(5,4)作圆C：_2＋y2－2_－2y－3＝0的切线，切点分别为A、B，四边形PACB的面积是()A．5 B．10C．15 D．20解析：选B.∵圆C的圆心为(1,1)，半径为5.|PC|＝5－12＋4－12＝5，|PA|＝|PB|＝52－52＝25，S＝122552＝10.10．若直线m_＋2ny－4＝0(m、nR，nm)始终平分圆_2＋y2－4_－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是()A．(0,1) B．(0，－1)C．(－，1) D．(－，－1)解析：选C.圆_2＋y2－4_－2y－4＝0可化为(_－2)2＋(y－1)2＝9，直线m_＋2ny－4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋11，当m＝1时等号成立，此时n＝1，与“mn”矛盾，所以mn＜1.11．已知直线l：y＝_＋m与曲线y＝1－_2有两个公共点，则实数m的取值范围是()A．(－2,2) B．(－1,1)C．[1，2) D．(－2，2)解析：选C. 曲线y＝1－_2表示单位圆的上半部分，画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l在过点(－1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l与曲线有两个交点．当直线l过点(－1,0)时，m＝1；当直线l为圆的上切线时，m＝2(注：m＝－2，直线l为下切线)．12．过点P(－2,4)作圆O：(_－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：a_－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A．4 B．2C.85D.125解析：选A.∵点P在圆上，切线l的斜率k＝－1kOP＝－11－42＋2＝43.直线l的方程为y－4＝43(_＋2)，即4_－3y＋20＝0.又直线m与l平行，直线m的方程为4_－3y＝0.故两平行直线的距离为d＝|0－20|42＋－32＝4.二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13．过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线_＋y－2＝0上的圆的方程是________．解析：易求得AB的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y＝_，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线_＋y－2＝0联立得到圆心O(1,1)，半径r＝|OA|＝2.答案：(_－1)2＋(y－1)2＝414．过点P(－2,0)作直线l交圆_2＋y2＝1于A、B两点，则|PA||PB|＝________. 解析：过P作圆的切线PC，切点为C，在Rt△POC中，易求|PC|＝3，由切割线定理，|PA||PB|＝|PC|2＝3.答案：315．若垂直于直线2_＋y＝0，且与圆_2＋y2＝5相切的切线方程为a_＋2y＋c＝0，则ac的值为________．解析：已知直线斜率k1＝－2，直线a_＋2y＋c＝0的斜率为－a2.∵两直线垂直，(－2)(－a2)＝－1，得a＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c|5＝5，c＝5，故ac ＝5.答案：516．若直线3_＋4y＋m＝0与圆_2＋y2－2_＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是__________．解析：将圆_2＋y2－2_＋4y＋4＝0化为标准方程，得(_－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d＝|31＋4－2＋m|32＋42＝|m－5|5＞1，m＜0或m＞10.答案：(－，0)(10，＋)三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2_－3y＋1＝0，_＋y＝0，顶点A(1,2)，求BC边所在的直线方程．解：AC边上的高线2_－3y＋1＝0，所以kAC＝－32.所以AC的方程为y－2＝－32(_－1)，即3_＋2y－7＝0，同理可求直线AB的方程为_－y＋1＝0.下面求直线BC的方程，由3_＋2y－7＝0，_＋y＝0，得顶点C(7，－7)，由_－y＋1＝0，2_－3y＋1＝0，得顶点B(－2，－1)．所以kBC＝－23，直线BC：y＋1＝－23(_＋2)，即2_＋3y＋7＝0.18．一束光线l自A(－3,3)发出，射到_轴上，被_轴反射后与圆C：_2＋y2－4_－4y＋7＝0有公共点．(1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程；(2)求在_轴上，反射点M的横坐标的取值范围．解：圆C的方程可化为(_－2)2＋(y－2)2＝1.(1)圆心C关于_轴的对称点为C(2，－2)，过点A，C的直线的方程_＋y＝0即为光线l所在直线的方程．(2)A关于_轴的对称点为A(－3，－3)，设过点A的直线为y＋3＝k(_＋3)．当该直线与圆C相切时，有|2k－2＋3k－3|1＋k2＝1，解得k＝43或k＝34，所以过点A的圆C的两条切线分别为y＋3＝43(_＋3)，y＋3＝34(_＋3)．令y＝0，得_1＝－34，_2＝1，所以在_轴上反射点M的横坐标的取值范围是[－34，1]．19．已知圆_2＋y2－2_－4y＋m＝0.(1)此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线_＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．解：(1)方程_2＋y2－2_－4y＋m＝0，可化为(_－1)2＋(y－2)2＝5－m，∵此方程表示圆，5－m＞0，即m＜5.(2)_2＋y2－2_－4y＋m＝0，_＋2y－4＝0，消去_得(4－2y)2＋y2－2(4－2y)－4y＋m＝0，化简得5y2－16y＋m＋8＝0.设M(_1，y1)，N(_2，y2)，则y1＋y2＝165，①y1y2＝m＋85. ②由OMON得y1y2＋_1_2＝0即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0，16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.将①②两式代入上式得16－8165＋5m＋85＝0，解之得m＝85.(3)由m＝85，代入5y2－16y＋m＋8＝0，化简整理得25y2－80y＋48＝0，解得y1＝125，y2＝45._1＝4－2y1＝－45，_2＝4－2y2＝125.M－45，125，N125，45，MN的中点C的坐标为45，85.又|MN|＝ 125＋452＋45－1252＝855，所求圆的半径为455.所求圆的方程为_－452＋y－852＝165.20. 已知圆O：_2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|PA|成立，如图．(1)求a、b间关系；(2)求|PQ|的最小值；(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．解：(1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|PA|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|PA|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2_＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|PA|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|22＋1－3|22＋12＝255.(或由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8，得|PQ|min＝255.)(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与l垂直的直线l与l的交点P0，所以r＝322＋12－1＝355－1，又l：_－2y＝0，联立l：2_＋y－3＝0得P0(65，35)．所以所求圆的方程为(_－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2.21．有一圆与直线l：4_－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．解：法一：由题意可设所求的方程为(_－3)2＋(y－6)2＋(4_－3y＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得＝－1，所以所求圆的方程为_2＋y2－10_－9y＋39＝0.法二：设圆的方程为(_－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CAl，得3－a2＋6－b2＝r2，5－a2＋2－b2＝r2，b－6a－343＝－1，解得a＝5，b＝92，r2＝254.所以所求圆的方程为(_－5)2＋(y－92)2＝254.法三：设圆的方程为_2＋y2＋D_＋Ey＋F＝0，由CAl，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得32＋62＋3D＋6E＋F＝0，52＋22＋5D＋2E＋F＝0，－E2－6－D2－343＝－1，解得D＝－10，E＝－9，F＝39.所以所求圆的方程为_2＋y2－10_－9y＋39＝0.法四：设圆心为C，则CAl，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y－6＝－34(_－3)，即3_＋4y－33＝0.又因为kAB＝6－23－5＝－2，所以kBP＝12，所以直线BP的方程为_－2y－1＝0.解方程组3_＋4y－33＝0，_－2y－1＝0，得_＝7，y＝3.所以P(7,3)．所以圆心为AP的中点(5，92)，半径为|AC|＝52.所以所求圆的方程为(_－5)2＋(y－92)2＝254.22．如图在平面直角坐标系_Oy中，已知圆C1：(_＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(_－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P的坐标．解：(1)由于直线_＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(_－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为23，所以d＝22－32＝1.由点到直线的距离公式得d＝|1－k－3－4|1＋k2，从而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－724，所以直线l的方程为y＝0或7_＋24y－28＝0.(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(_－a)，k0，则直线l2的方程为y－b＝－1k(_－a)．因为圆C1和C2的半径相等，且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即|1－k－3－a－b|1＋k2＝|5＋1k4－a－b|1＋1k2，整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk 或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为k的取值有无穷多个，所以a＋b－2＝0，b－a＋3＝0，或a－b＋8＝0，a＋b－5＝0，解得a＝52，b＝－12，或a＝－32，b＝132.这样点P只可能是点P152，－12或点P2－32，132.经检验点P1和P2满足题目条件．。
解析几何试题及答案
《解析几何初步》检测试题命题人 周宗让一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ）A 、12B 、12-C 、13D 、13-3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ）A ．21B ．21-C ．2 D ．2-4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1)5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是（ ） A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．210x y ++=D ．210x y +-=6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( )A ．0,4B ．0,2C ．2,4 D ．4,27．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为31，则m ，n 的值分别为A.4和3B.-4和3C.- 4和-3D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（） A 相切B 直线过圆心C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（）A.（x －2)2+(y+3)2=12B.（x －2)2+(y+3)2=2C.（x ＋2)2+(y －3)2=12D.（x ＋2)2+(y －3)2=210．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242x y -++=的切线，则此切线段的长度为( ) A．2 B ．32C ．12D．2 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++=D ．50x y +-=12．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥则k 的取值围是（ ）A.304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B.[]304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，， C.33⎡-⎢⎣⎦， D.203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的值最小时，点P 的坐标是。
解析几何刷题
高考数学解析几何题型专题训练一，选择题1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为M ，N ，若在椭圆C 上存在点H ，使1,02MH NH k k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则离心率e 的取值范围为()A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.0,2⎛ ⎝⎭C.,12⎫⎪⎪⎝⎭D.2⎛ ⎝⎭2.已知过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，若1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为()C.223.若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为35，两焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上一点，且12F F M 的周长为16，则椭圆C 的方程为()A.2211625x y += B.221259x y += C.221925x y += D.2212516x y +=4.椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点，则a 的值为()A.1 B.1或-2 C.1或12 D.125.设椭圆222:1(07)49x y C b b +=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，经过点1F 的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，若212||||MF F F =，且174||MF MN =，则椭圆C 的短轴长为()A.5B. C.10D.6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，如果C 上存在一点Q ，使12120F QF ∠=︒，则椭圆的离心率e 的取值范围为()A.10,2⎛⎤⎥⎝⎦B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.2⎛ ⎝⎦D.2⎫⎪⎢⎪⎣⎭7.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，过M 的右焦点(3,0)F 作直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(2,1)，则椭圆M 的方程为()A.22196x y += B.2214x y += C.221123x y += D.221189x y +=8.已知椭圆222:1(0)4x y C a a +=>的一个焦点为(2,0)，则a 的值为()A. C.6D.89.已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为12PF F 为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为()A.23B.12C.13D.1410.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A.3B.3C.3D.13二，填空题11.已知双曲线2213x y m m -=的一个焦点是(0,2)，椭圆221y x n m-=的焦距等于4，则n =_________.12.已知双曲线的两个焦点分别是1(F ，2F ，P 是双曲线上一点，且120PF PF ⋅=，122PF PF ⋅=，则双曲线的标准方程为____________.13.设1F ，2F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且12:2:1PF PF =，则12PF F 的面积等于______________.14.经过点(P -和(7)Q --的双曲线的标准方程是_____________.15.已知1F ，2F 分别为双曲线22:1C x y -=的左，右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅等于___________.16.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于,A B 两点.若||||4||AF BF OF +=,则该双曲线的渐近线方程为______________________.17.已知12,F F 是双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左支交于P ,Q 两点，220,2||PQ PF QF PQ ⋅==，则12QF F 与OPQ 的面积之比为__________________.18.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，离心率2e =，则双曲线C 的渐近线方程为___________.19.已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为____________.20.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，过点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为M .若1tan 2MAF ∠=，则双曲线的离心率为_______________.三，解答题21.已知与双曲线221169x y -=共焦点的双曲线过点,2P ⎛ ⎝，求该双曲线的标准方程.22.已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ．若*2N ,4(s n S λλλ∀∈<-+为偶数），求λ的值．23.求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程：（1）椭圆的焦点在y 轴上，焦距为4，且经过点()3,2A ；（2）双曲线的焦点在x 轴上，右焦点为F ，过F 作重直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，且3AB =.24.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若双曲线上存在一点P ，使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，求双曲线离心率的取值范围.25.若一个动点(,)P x y 到两个定点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之差的绝对值为定值(02)m m，求动点P 的轨迹方程.26.已知双曲线C 与椭圆2212736x y +=有相同的焦点，且经过点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若12,F F 是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且12120F PF ∠=o ，求12F PF V 的面积.27.设双曲线22221(0)x y a ba b-=<<的半焦距为c，直线l过(,0)A a，(0,)B b两点，且原点到直线l的距离为34，求双曲线的离心率.答案以及解析1.答案：A 解析：设()00,H x y ，则()222202b y a x a=-，而(,0)M a -，(,0)N a ，220002220001,02MH NHy y y b k k x a x a x a a ⎛⎫∴⋅=⋅==-∈- ⎪+--⎝⎭，22e ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭.故选A.2.答案：D解析：由题意知点P 的坐标为2,b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭或2,b c a ⎛⎫--⎪⎝⎭.1260F PF =︒∠，22cb a∴=)2222ac a c ==-，220e +=，e ∴=或e =（舍去）.故选D.3.答案：D 解析：35c e a == ，35c a ∴=，设(0)35c at t ==>，则5a t =，3c t =.又12F F M 的周长为221616a c t +==，1t ∴=，5a ∴=，3c =，22216b a c ∴=-=.∴椭圆C 的方程为2212516x y +=，故选D.4.答案：A解析：由题意知220,04,42,a a a a >⎧⎪<<⎨⎪-=+⎩解得1a =.5.答案：D解析： 椭圆2221(07)49x y b b +=<<，7a ∴=，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则2122MF F F c ==，174||MF MN = ，1134MF NF ∴=，不妨设14MF t =，13(0)NF t t =>，由椭圆的定义可得2114143NF NF t =-=-，2114MF MF +=，即有2414c t +=，即27c t +=，①取1MF 的中点K ，连接2KF ，则2KF MN ⊥，由勾股定理可得222222||||MF MK NF NK -=-，即2222(2)(2)(143)(5)c t t t -=--.②由①②，解得1,5t c =⎧⎨=⎩或7,0c t =⎧⎨=⎩（舍去），又222c a b =-，2227524b ∴=-=，b ∴=2b ∴=，故选D.6.答案：D解析：设椭圆的上顶点为2(0,)B b .如图所示，12122F QF F B F ∠∠≤.依题意得，122120F B F ≥∠︒，2260OB F ≥∴∠︒，因此22tan cOB F b=∠≥2222333c b a c =-≥，2234c a ∴≥，从而32e ≥，又01e <<，312e ≤<，故选D.7.答案：D解析：设()11,A x y ，()22,B x y ，则()()()()22112222121212122222221,01x y a b b x x x x a y y y y x y a b ⎧+=⎪⎪⇒-++-+=⎨⎪+=⎪⎩.又124x x +=，122y y +=，121210123y y x x --==---，22420b a ∴-=，即222a b =.又29c =，2292b b ∴+=，解得29b =，从而218a =.∴椭圆M 的方程为221189x y +=，故选D.8.答案：A解析：由椭圆的焦点为(2,0)知，2a >，因此，22428a =+=，从而a =，故选A.9.答案：D解析：由题意可得直线AP的方程为)y x a =+，①直线2PF的方程为)y x c =-.②联立①②，得3()5y a c =+，如图，过P 向x 轴引垂线，垂足为H，则()5PH a c =+.因为260PF H ∠=︒，2122PF F F c ==，3)5PH a c =+，所以2)5sin 6022a c PH PF c +︒===，即5a c c +=，即4a c =，所以14c e a ==.故选D.10.答案：A解析：以线段12A A 为直径的圆的方程为222x y a +=，该圆与直线20bx ay ab -+=相切，a ，即2b =，223a b ∴=，222a b c =+ ，2223c a ∴=，63c e a ∴==.11.答案：5解析：因为双曲线的一个焦点是(0,2)，所以设双曲线的标准方程为22221y x a b -=，0a >，0b >，又由题意得，双曲线的标准方程是2213y x m m -=--，所以23a m =-，2b m =-，所以244c m =-=，即1m =-，所以椭圆方程是221y x n+=，因为椭圆的焦距24c =，所以2c =，所以14n -=，解得5n =.12.答案：2214x y -=解析：由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且122F F c ==由双曲线的定义，知122PF PF a -=，得222112224PF PF PF PF a -⋅+=.①由120PF PF ⋅=知12PF PF ⊥，122PF PF ⋅= ，222121220PF PF F F ∴+==.代入①式，解得24a =.又c =，2221b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为2214x y -=.13.答案：12解析：1F ，2F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，∴可设1(3,0)F -，2(3,0)F ，126F F ∴=，12:2:1PF PF = ，∴设2(0)PF x x =>，则12PF x =.由双曲线的性质知2x x -=，解得x =.1PF ∴=2PF =，124cos 5F PF ∴∠=，123sin 5F PF ∴∠=.12PF F ∴的面积为131225⨯=.14.答案：2212575y x -=解析：设双曲线的方程为221(0)mx ny mn +=<，则9281,72491,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得1,751,25m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故双曲线的标准方程为2212575y x -=.15.答案：4解析：在12PF F 中，()222212121212122cos60F F PF PF PF PF PF PF PFPF =+-⋅⋅=-+⋅︒，即22122PF PF =+⋅，解得124PF PF ⋅=.16.答案：22y x =±解析：设()()1122,,,A x y B x y .由22x py =得0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线的准线方程为2p y =-.由抛物线定义得12||||AF BF y y p +=++.||2pOF =Q ，结合||||4||2AF BF OF p +==，得12y y p +=.将22x py=代入22221x y a b -=得22221py y a b -=，即222210y pyb a-+=，则221222221pb p a y y p a b +===.2221b a ∴=，222,a b ∴=∴双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22y x =.17.答案：3解析：由2.PQ PF ⊥又22QF PQ =，则260PQF ︒∠=，设||PQ x =，则22QF x =，2.PF =由21212PF PF QF QF a -=-=，得112,22PF a QF x a =-=-，则(24x a x +-=，解得1)x a =，则1||QF PQ==，于是212233212F PQQF F OPQF PQ S S S S ∆==V VV 3-.18.答案：y =解析：本题考查双曲线的几何性质.双曲线C的离心率2c e a ===，所以ba =，所以双曲线C的渐近线方程为by x a=±=.19.答案：2231x y -=解析：由题意可得2,ce a==则2c a =，设其一焦点为(),0F c ，渐近线方程为0bx ay ±=，那么1bcd b c====，而22224c a a b ==+，解得213a =，那么所求的双曲线方程为2231x y -=.20.答案：53解析：本题考查双曲线的几何性质.如图所示，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ，左顶点(,0)A a -.由双曲线的对称性不妨取渐近线方程为b y x a=-，则过点(,0)F c 且与直线b y x a =-垂直的直线FM 的方程为()a y x c b =-.联立(),,a y x c b b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2,a ab x y c c ==-，即2,a ab M cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭.作MN AF ⊥于点N ，在AMN 中，由1tan 2MAF ∠=，可得2||1||2()ab MN c AN a a c -==--，整理得2a c b +=，所以()2222()44a c b c a +==-，整理得223250c ac a --=，即23250e e --=，解得53e =或1e =-（舍去），故双曲线C 的离心率为53.21.答案：已知双曲线221169x y -=，则216925c =+=，5c ∴=.设所求双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b>=>-. 所求双曲线与双曲线221169x y -=共焦点，2225b a ∴=-，故所求双曲线方程可写为2222125x y a a -=-.点,2P ⎛- ⎝在所求双曲线上，222252(125a a ⎛- ⎝⎭∴-=-，化简得4241291250a a -+=，解得21a =或21254a =.当21254a =时，22125252525044b a =-=-=-<，不合题意，舍去，21a ∴=，224b =，∴所求双曲线的标准方程为22124y x -=.22.答案：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235n n a a n ++=+，所以122328211a a a a +=⎧⎨+=⎩，即113283511a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a =,1d =，所以2(1)1n a n n =+-=+，经检验，1n a n =+符合题设.所以数列{}n a 的通项公式为1n a n =+.（2）由（1）得11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++，所以1111111123341222n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为*n ∀∈N ,24n S λλ<-+，所以2142λλ-+≥，即27(2)2λ-≤，因为λ为偶数，所以2λ=.23.答案：（1）设椭圆的标准方程为()222210y x a b a b+=>>，上焦点为()10,2F ，下焦点为()20,2F -，根据椭圆的定义知，12238a AF AF =+=+=，即4a =，所以22216412b a c =-=-=，因此，椭圆的标准方程为2211612y x +=（2）设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，把x c =带入双曲线方程，得2b y a =±，所以223b a=.由222514b e a =+=，得2a b =.所以6a =，3b =，所以双曲线的标准方程为221369x y -=.24.答案：分析知P 不是双曲线的顶点，在12PF F 中，出正弦定理，得211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠,又1221sin sin PF F a PF F c∠=∠,所以21a c PF PF =，即12c PF PF a =，且点P 在双曲线的右支上。
实验班周日专题训练——解析几何
实验班周末限时训练——解析几何姓名： 得分：一、选择题1．已知两直线03:1=++my x l ，()0221:2=++-m my x m l ，若21//l l ，则m 的值为（ ） A ． 0 B ． 1-或21C ．3D ．0或3 2．直线012=++y x 被圆25)1()2(22=-+-y x 所截得的弦长等于（ ） A.52 B.53 C.54 D.553．设P 是椭圆1162522=+y x 上的一点，21,F F 是焦点，若︒=∠3021PF F ，则21PF F ∆的面积为（ ） A.3316 B.)32(16- C. )32(16+ D.16 4．与曲线1492422=+y x 共焦点，且与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（ ） A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x 5．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点M ，若M F F 21∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A.22 B.12- C.22- D.212-二、填空题6．直线210kx y k +++=必经过的点是 ．7．P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 ．8．已知抛物线)0(22>=p px y 的准线与直线03=-+y x 以及x 轴围成三角形面积为8，则p ＝__________________.9．若动圆M 与圆2)4(:221=++y x C 外切，且与圆2)4(:222=+-y x C 内切，则动圆圆心M 的轨迹方程_____________________．10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 和椭圆191622=+y x 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ______________________ ．三、解答题11．已知椭圆)0,0(1:2222>>=+b a by a x E 的离心率 e =1)2P（1）求椭圆 E 的方程；（2）问是否存在直线m x y +-=，使直线与椭圆交于B A , 两点，满足OA OB ⊥,若存在求 m 值，若不存在说明理由．12．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2A ，离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当2F AB ∆时，求直线的方程.13．无论m 为任何实数，直线m x y l +=:与双曲线)0(12:222>=-b b y x C 恒有公共点. （1）求双曲线C 的离心率e 的取值范围；（2）若直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线交于Q P ,两点，并且满足→→=FQ FP 51，求双曲线C 的方程.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线01=++y x 与以椭圆C 的右焦点为圆心，以b 2为半径的圆相切． （1）求椭圆的方程．（2）若过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于B A ,两点，交y 轴于M 点，且21,λλ==求证：21λλ+为定值15．已知抛物线y x C 4:2=的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率23=e ． （1）求椭圆E 的方程；（2）经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：MF AB ⊥；（3） 椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线MA ''、MB ''（A '、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出抛物线C 与切线MA''、MB ''所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．2015届高三理科数学小综合专题练习——解析几何参考答案1．A【解析】由题，若0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,当21//l l 时，有212121C C B B A A ≠=,故本题有mm m m 23211≠=-，即3≠m ，又因为当m=0，时，0:,3:21=-=x l x l ，因此，l 1∥l 2。
平面解析几何综合检测卷
平面解析几何综合检测卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在x 轴和y 轴上截距分别是－2,3的直线方程为 ( )A ．2x －3y －6＝0B ．3x －2y －6＝0C ．3x －2y ＋6＝0D ．2x －3y ＋6＝0 2．k ＝1是直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为 坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x4． 直线x ＋a 2y －a ＝0(a>0，a 是常数)，当此直线在x 、y 轴上的截距和最小时，a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．12D ．±15． 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2| 等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 37．已知抛物线y 2＝4x 上两个动点B ，C 和点A(1,2)，且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过 定点( )A ．(2,5)B ．(－2,5)C ．(5，－2)D ．(5,2)8．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于x ＋y ＝2对称，则 D 、E 满足( )A ．D ＋E ＋2＝0B ．D ＋E ＋4＝0C ．D ＋E －2＝0 D ．D ＋E －4＝09．已知直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切于第二象限，并且直线l 在两个坐标轴上的截距之和等于3，则直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是( )A.32B.12 C ．1或3 D.12或3210．已知抛物线y 2＝2px(p>0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能 是( )A ．(0，π4)B ．(π6，π4)C ．(π4，π3)D ．(π3，π2)二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．若点P(2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为______．12．已知点F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，点P 关于原点(0,0)的对称点为P ′，则|PF 2|＋|P ′F 2|＝______.13．直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行且不重合的充要条件为________． 14．在△ABC 中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x ，y)，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：则满足条件①②③的轨迹方程分别为________(用代号C 1、C 2、C 3填入)．15．过双曲线M ：x 2－y 2b2＝1(b>0)的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线相交于B ，C 两点，且|AB|＝|BC|，则双曲线M 的离心率为______．16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________________．17．经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为______．三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(14分)如图所示，直角三角形ABC 的顶点A(－2,0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线的方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程； (3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心的轨迹方程．19．(14分)求过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程． (1)过原点； (2)有最小面积．20．(14分)如图，在椭圆x 2a 2＋y 28＝1(a>0)中，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，B ，D 分别为椭圆的左、右顶点，点A 为椭圆在第一象限内的任意一点，直线AF 1交椭圆于另一点C ， 交y 轴于点E ，且点F1，F 2三等分线段BD. (1)求a 的值；(2)若四边形EBCF 2为平行四边形，求点C 的坐标．21．(15分)已知点A ，B 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)长轴的左、右端点，点C 是椭圆短轴的一个端点，且离心率e ＝63，S △ABC ＝ 3. (1)求椭圆方程；(2)设直线l 经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于P ，Q 两点，求线段PQ 的中点到原点 的距离等于12|PQ|时的直线方程．22．(15分)已知m 是非零实数，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点F 在直线l ：x －my －m 22＝0上(1)若m ＝2，求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂 足为A 1，B 1，△AA 1F ，△BB 1F 的重心分别为G ，H.求证：对任意非零实数m ，抛物 线C 的准线与x 轴的交点在以线段GH 为直径的圆外．参考答案1、解析：由题意知所求直线方程为x －2＋y3＝1，即3x －2y ＋6＝0，故选C 项．答案：C2、解析：当k ＝1时，直线为x －y ＋1＝0，代入圆的方程x 2＋y 2＝1得2x 2＋2x ＝0，该方程有两解，故充分性成立；而当x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交时，有2x 2＋2kx ＋k 2－1＝0，由Δ≥0得－2≤k ≤2，故必要性不成立．答案：A3、解析：由题意可知抛物线焦点坐标为(a4，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2(x －a 4)，令x ＝0，可得A 点坐标为(0，－a 2)，所以S △OAF ＝12·|a|4·|a|2＝4，∴a ＝±8，故选B 项．答案：B4、解析：方程可化为x a ＋y 1a ＝1，因为a>0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a即a ＝1时取等号．故选A 项．答案：A5、解析：在△PF 1F 2中|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 答案：B6、解析：直线为y ＝3x ，点(0,2)到y ＝3x 的距离为d ＝1，设弦长为2x ，则d 2＝4－x 2，∴x 2＝3，∴x ＝3，则2x ＝2 3.答案：D7、解析：设B(y 214，y 1)，C(y 224，y 2)，BC 的中点为D(x 0，y 0)，则y 1＋y 2＝2y 0，直线BC ：x －y 214y 224－y 214＝y －y 1y 2－y 1，即：4x －2y 0y ＋y 1y 2＝0.① 又AB →·AC →＝0，∴y 1y 2＝－4y 0－20，代入①式得：2(x －5)－y 0(y ＋2)＝0，则动直线BC 恒过x －5＝0与y ＋2＝0的交点(5，－2)，选C 项．答案：C8、解析：由题设知，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(－D 2，－E2)为圆心的圆．由圆的几何性质可知，圆心(－D 2，－E 2)在直线x ＋y ＝2上，所以－D 2－E2＝2，得D ＋E ＋4＝0，故选B 项．答案：B9、解析：由题意设直线l ：x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.则圆心到直线l 的距离d ＝|ab|a 2＋b 2＝1， ∴a 2＋b 2＝a 2b 2＝(a ＋b)2－2ab ， ∵ab<0，a ＋b ＝3，∴a 2b 2＋2ab －3＝0，∴(ab ＋3)(ab －1)＝0，∴ab ＝－3.∴S ＝12|ab|＝32.选A 项．答案：A10、解析：由抛物线与双曲线有相同的焦点可得p2＝c ＝a 2＋b 2，再由AF ⊥x 轴可得，在双曲线中|AF|＝b 2a ，在抛物线中|AF|＝p ，故又有b 2a ＝p ＝2c ＝2a 2＋b 2，即b 4＝4a 2(a 2＋b 2)b 4－4a 2b 2－4a 4＝0，解得b 2a 2＝2＋22>3＝tan 2π3(或b 2a2＝2－22<0舍去)，故l 的倾斜角所在的区间可能是(π3，π2)．答案：D11、解析：由于双曲线渐近线方程为bx±ay ＝0，故点P 到直线的距离d ＝2ba 2＋b 2＝2 a ＝b ，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e ＝1＋(ba)2＝ 2.答案： 212、解析：据椭圆的几何性质知 |PF 2|＋|P ′F 2|＝|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝10. 答案：1013、解析：当a ＝0或a ＝1时，都不满足条件， 当a ≠0且a ≠1时，两直线平行， 则－a 2＝－3a －1，即a 2－a －6＝0，解得a ＝3或a ＝－2，经验证a ＝3时两直线平行且不重合，a ＝－2时两直线重合．反之，也成立． 答案：a ＝314、解析：若条件是①，则|AB|＋|AC|＝6>4，故A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆(除去长轴两端点)，故方程为C 3.若条件是②，则12×|BC|×|y|＝10，∴|y|＝5，即y 2＝25，故方程为C 1，若条件是③，则A 点轨迹是以BC 为直径的圆(去掉B 、C 两点)，故方程为C 2. 答案：C 3、C 1、C 215、解析：由题知左顶点A 的坐标为(－1,0)，又直线l 的斜率为1，可得直线l 的方程为y ＝x ＋1.根据双曲线方程为x 2－y 2b2＝1(b>0)得其渐近线方程为y ＝±bx.因此交点为B(－1b ＋1，b b ＋1)，C(1b －1，b b －1)．根据|AB|＝|BC|知AC 的中点为B.因此b b －1＝2b b ＋1，解得b ＝3(b ＝0舍去)，故离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝32＋11＝10.答案：1016、解析：由双曲线渐近线方程有ba ＝3，又抛物线焦点为(4,0)，得c ＝4，a 2＋b 2＝16.求得a 2＝4，b 2＝12.答案：x 24－y 212＝117、解析：先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝05x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.答案：5x ＋3y －1＝018、解：(1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ，∴k BC ＝22， ∴BC 边所在直线的方程为y ＝22x －2 2. (2)由y ＝22x －22，令y ＝0得C(4,0)， ∴圆心M(1,0)，又∵AM ＝3，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P(－1,0)，M(1,0)， 又∵圆N 过点P(－1,0)， ∴PN 是该圆的半径． 又∵动圆N 与圆M 内切， ∴MN ＝3－PN ，即MN ＋PN ＝3>2.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54.∴动圆N 的圆心的轨迹方程为x 294＋y 254＝1.19、解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＋λ(2x ＋y ＋4)＝0， 即x 2＋y 2＋2(1＋λ)x ＋(λ－4)y ＋(1＋4λ)＝0. (1)因为此圆过原点，∴1＋4λ＝0，λ＝－14.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋32x －174y ＝0.(2)方法一：当半径最小时，圆面积也最小，对圆的方程左边配方得 [x ＋(1＋λ)]2＋(y ＋λ－42)2＝54(λ－85)2＋45. ∴当λ＝85时，此圆面积最小．故满足条件的圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45.方法二：当圆心在直线2x ＋y ＋4＝0上时，圆面积最小． 易求得圆心坐标为(－(1＋λ)，－λ－42)，代入直线方程得－2(1＋λ)－λ－42＋4＝0， 解得λ＝85.∴当λ＝85时，此圆面积最小．故满足条件的圆的方程为 x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0. 20、解：(1)∵F 1，F 2三等分BD ，∴F 1F 2＝13BD ，即2c ＝13·2a ，∴a ＝3c.∵a 2＝b 2＋c 2，b 2＝8，∴a 2＝9， ∵a>0，∴a ＝3.(2)由(1)知a ＝3，B(－3,0)，F 1(－1,0)， ∴F 1为BF 2的中点，∵若四边形EBCF 2为平行四边形， ∴C ，E 关于F 1(－1,0)对称， 设C(x 0，y 0)，则E(－2－x 0，－y 0)， ∵E 在y 轴上，∴－2－x 0＝0，x 0＝－2，∵点C(x 0，y 0)在椭圆上，∴x 209＋y 28＝1，∴49＋y 208＝1，解得y 0＝±2103， 依题意y 0＝－2103， 因此点C 的坐标为(－2，－2103)． 21、解：(1)依题意得⎩⎨⎧e ＝c a ＝63S △ABC＝12×2a ×b ＝3，解得：a ＝3，b ＝1，c ＝2， 故所求的椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，代入椭圆方程，解得：y ＝±33，易知|PQ|＝233，而线段PQ 的中点到原点的距离为2，不合题意，故直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k(x －2)，由题意易知OP ⊥OQ ，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 23＋y 2＝1，消去y 得：x 2＋3k 2(x－2)2－3＝0.化简得：(1＋3k)2x 2－62k 2＋6k 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝62k 21＋3k 2，x 1x 2＝6k 2－31＋3k 2，y 1y 2＝k(x 1－2)·k(x 2－2)＝k 2x 1x 2－2x 2(x 1＋x 2)＋2k 2， 由OP ⊥OQ 得：x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋2k 2＝0， 即：(1＋k 2)(6k 2－3)1＋3k 2－12k 41＋3k 2＋2k 2＝0， 化简得5k 2－31＋3k 2＝0，解得：k ＝±155， ∴直线l 的方程为y ＝155x －305或y ＝－155＋305. 解：(1)因为焦点F(p2，0)在直线l 上，得p ＝m 2，又m ＝2，故p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x.(2)证明：因为抛物线C 的焦点F 在直线l 上， 所以p ＝m 2，所以抛物线C 的方程为y 2＝2m 2x.(m ≠0) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋m 22y 2＝2m 2x，消去x 得y 2－2m 3y －m 4＝0，由于m ≠0，故Δ＝4m 6＋4m 4>0， 且有y 1＋y 2＝2m 3，y 1y 2＝－m 4.设M 1，M 2分别为线段AA 1，BB 1的中点， 由于2M 1G →＝GF →，2M 2H →＝HF →， 可知G(x 13，2y 13)，H(x 23，2y 23)，所以x 1＋x 26＝m (y 1＋y 2)＋m 26＝m 43＋m 26，2y 1＋2y 26＝2m 33， 所以GH 的中点M(m 43＋m 26，2m 33)．设R 是以线段GH 为直径的圆的半径． 则R 2＝14|GH|2＝19(m 2＋4)(m 2＋1)m 4.设抛物线的准线与x 轴交点N(－m 22，0)，则|MN|2＝(m 22＋m 43＋m 26)2＋(2m 33)2＝19m 4(m 4＋8m 2＋4) ＝19m 4[(m 2＋1)(m 2＋4)＋3m 2] >19m 4(m 2＋1)(m 2＋4)＝R 2， 故N 在以线段GH 为直径的圆外．。
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解析几何单元检测题2013/1/12一、选择题1.任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是( )A ． 相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 2.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的( ) A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件3.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、B 、C 、4D 、4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 5.设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A ．1342222=-y x B.15132222=-y x C.1432222=-y x D.112132222=-y x6.已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．106 B.206 C.306 D.4067. 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A.45 B. 5 C. 25 D.5 8.已知双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.22154x y -= B.22145x y -=C.221x y 36-= D .221x y 63-= 9. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（ ）()A 2()B ()C2()D 10.设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是( )（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞ （C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞11.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 812.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45二、填空题13. 椭圆 )0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2。
若1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为________.14.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ．15.椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是_________.16.过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = .三、解答题17.（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.18. （本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；19. （本小题满分12分）如图，椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．20. （本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．21. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中， 已知点A （0，-1），B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA，BA MB AB MA ⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．22. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x ya b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．解析几何单元检测题参考答案一、选择题1------5 CABDA 6-------10 BDACD 11-----12 CC 二、填空题 13.5514. 34 15. 3 16. 65三、解答题17.（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p =, 点A 到准线l的距离d FA FB p ==;122ABD S BD d p ∆=⇔⨯⨯=⇔= ; 圆F 的方程为22(1)8x y +-=（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p>，则(0,)2pF ,点,A B 关于点F 对称得：22220000(,)3222x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=,得：33,)2p A ，直线3:022p p p m y x x -=+⇔+=222233x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒切点(,)36pP直线:06p n y x x p -=⇔= 坐标原点到,m n3=.18.（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为c a=2，得a =，又22a c +=1)，所以可解得a =2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=。
19. (Ⅰ)由题：12c e a ==；………… (1) 左焦点(﹣c ，0)到点P (2，1)的距离为：d=…………. (2) 由(1) (2)可解得：222431a b c ===，，． ∴所求椭圆C 的方程为：22+143x y =．(Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝12x ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，R (x 0，y 0)．其中y 0＝12x 0．∵A ，B 在椭圆上， ∴220220+12333434422+143A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ⎧=⎪-+⎪⇒==-⨯=-⨯=-⎨-+⎪=⎪⎩．设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣32x m +(m ≠0)，代入椭圆：2222+143333032x y x mx m y x m ⎧=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+⎪⎩＝-．显然222(3)43(3)3(12)0m m m ∆=-⨯-=->．mm ≠0．由上又有：A B x x +＝m ，A B y y +＝233m -．∴|AB |＝A B x x -|＝．∵点P (2，1)到直线l的距离表示为：d ==．∴S ∆ABP ＝12d |AB |＝12|m ＋，当|m ＋2|，即m ＝﹣3 或m ＝0(舍去)时，(S ∆ABP )max ＝12．此时直线l 的方程y ＝﹣3122x +．20. 解：（I ）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a +=+=>>设直线:(||)l x t t a =<，分别与C1，C2的方程联立，求得((A t B t ………………4分当1,,,2A Be b y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率kBO 与AN 的斜率kAN -相等，即,a b t t a=-解得222221.ab e t a a b e-=-=---因为221||,01,1, 1.e t a e e e-<<<<<<又所以所以当02e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当12e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分21. (Ⅰ)设M(x ，y)，由已知得B(x ，-3)，A(0，-1). 所以MA =（-x ，-1-y ），MB =(0，-3-y)， AB =(x ，-2).再由题意可知（0)(=⋅+AB MB MA ， 即（-x ，-4-2y ）• (x ，-2)=0.所以曲线C 的方程式为y=14x 2-2.(Ⅱ)设P(x 0，y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点，因为y '=12x ，所以l 的斜率为12x 0 因此直线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2000220x x y y x -+-=． 则O 点到l的距离2d =又200124y x =-，所以201412,2x d +==≥当20x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.22. （I ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->由题意，可得212||||,PF F F =2.c =整理得22()10,1c c c aa a +-==-得（舍），或1.2c a =所以1.2e = （II ）解：由（I）知2,,a c b ==可得椭圆方程为2223412,x y c += 直线PF2方程为).y x c -A ，B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得2580.x cx -=解得1280,.5x x c ==得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设8(),(0,)5A cB 设点M的坐标为8(,),(,),(,)5x y AM x c y BM x y =-=则，由),.3y x c c x y =-=-得于是38(,),15555AM y x y x =--().BM x = 由2,AM BM ⋅=-即38)()255y x x y x -⋅+=-，化简得218150.x --=将22105,0.316x y c x y c x +==-=>得所以0.x >因此，点M的轨迹方程是218150(0).x x --=>。