6.5 夫琅禾费圆孔衍射和圆环衍射
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不同形状孔的弗朗禾费衍射
−ⅈ
̃0 () ⅆ （2）
∬
0
(0 )
现在假设一个坐标系，如图（1）
把坐标系带入到方程（2），则可以得到
图（1）
∞
2
( 2 + 2)
(
)
2
(, ) =
× ∬ (0 , 0 ) − 0 +0 ⅆ0 ⅆ0
ⅈ
−∞
其中(0 , 0 )为衍射屏后的复振幅，为光波的波长， =
6. 正 N 变形
到此处，我们可以设想任意 N 边形衍射孔形成的衍射强度分布。
思路是这样的：将一个任意正 N 边形孔分割成 N 个分别全等的等腰三角形，然后
使每个等腰三角形所形成的衍射场相干叠加所
形成的衍射场就是这个正 N 边形所形成的衍射
场（如图（15））。
有计算机所绘制的图像和导出公式可以看出：
B(j)=pi*a*y(j)/(lmda*z);
I(i,j)=((sin(A(i)))/(A(i)+eps))^2*((sin(B(j)))/(B(j)+eps))^2;
end
end
>> figure(1)
>> imshow(I*225)
>> figure(2)
>> mesh(I)
8
图（8） 正方形孔的夫琅禾费衍射振动分布
并且用 matlab 和 mathematical 绘制出衍射强度分布的图像。由此，我们可以推
广出任意正 N 边形的夫琅禾费衍射公式。同时，我们假设任意不规则形状的夫琅
禾费衍射的计算思路。
关键字：夫琅禾费衍射，等腰三角形，正 N 变形
1. 引言
圆孔夫琅和费衍射ppt课件
几何光学 :
(经透镜) 物点 象点 物(物点集合) 象(象点集合)
波动光学 :
(经透镜) 物点 象斑 物(物点集合) 象(象斑集合)
距离很近的两个物点的象斑有可能重叠，从而分辨不清。
5
下面所要学习的瑞利准指明了重叠所允 许的程度。
即两个点光源恰好能被光学仪器所分辨 下限为：一个点光源的衍射图样的中央最 亮处刚好与另一个点光源的衍射图样的第 一个最暗处相重合。这时，这两个点光源 恰好能被光学仪器所分辨。
( f 为透镜的焦距)
3
2.光学仪器的分辩本领 各种光学仪器成像的清晰程度受到光的
衍射现象所限制，有一个最高的极限。 原因：点光源经过圆孔夫琅禾费衍射后并不 能成一个点，而是形成一个衍射图样，若两 个点光源的衍射图样绝大部分相互重叠，那 么就不能分辨出两个物点了。
4
在光学成象问题中，有两种讨论方法：
解：以视觉感受最灵敏的黄绿光来讨论，=550 nm。
人眼最小分辨角： R
1.22
d
2.2 104 rad
设人离纱窗距离为 s ，则恰能分辨时
R
l s
s l 9.1 m
R
13
所以电子显微镜分辨本领很高，可观察物质 的结构。
▲ 在正常照明下，人眼瞳孔直径约为3mm，
对 = 0.55 m（5500A ）的黄光， 1，
可分辨约 9m 远处的相距 2mm 的两个点
▲ 夜间观看汽车灯，远看是一个亮点，逐渐 移近才看出是两个灯。
12
例12-20 在通常的明亮环境中，人眼瞳孔的直径约为 3 mm，问人眼的最小分辨角是多大？如果纱窗上两 根细丝之间的距离 l=2.0 mm，问离纱窗多远处人眼 恰能分辨清楚两根细丝？
6.5 夫琅禾费圆孔衍射和圆环衍射
I3 A32 0.0016 I0
物理科学与信息工程学院 5
夫琅和费圆孔衍射图样中央是一很亮的圆斑,集中了衍射 光能量的83.8%, 通常称为艾里斑.因为夫琅禾费圆孔衍射的 光强分布，首先由英国天文学家艾里（S. G. Airy,18011892)导出的。它的中心是点光源的几何光学像。
圆孔的夫琅禾费衍射 照片
愈大或D愈小，衍射现象愈显著。
物理科学与信息工程学院 7
例题：如图，经准直的光束垂直投射到一光屏上， 屏上开有两个直径均为d，中心间距为D的圆孔，且 满足D > d，试分析夫琅禾费衍射图样。
y
d
x
F'
D
f' 解： 圆孔的衍射图样只取决于圆孔的直径，而与圆 孔的位置是否偏离透镜主轴无关。
物
I0
(1
2)
J
2
(2m2 m2
)
2
J1
(2m1 m1
)
2
.
R2 / R1
I I0
1.0
0,0.5,0.8
R1
R2
R1 R2
0
圆环的夫琅和费衍射光强分布
sin
本节结束 14
根据几何光学的知识，凡是平行于主轴的任何光 线，经透镜折射后，都将会聚于主焦点，或者说从 波面上所有点发出的次波，经过透镜而到达焦点F 都有相同的光程。
因此中央最大值的位置是在透镜的主轴上，而和 圆孔的位置无关。直径完全相同的两个圆孔并排时， 由它们产生的两个衍射图样也完全相同，而且完全 重合。圆孔衍射图样如图。
物理科学与信息工程学院 6
艾里斑的半 角宽度为:
1 sin 1
0.61 1.22
圆孔衍射和圆屏衍射-精品文档
a an相差甚微 ， An （1）n为很小的整数， 1与 0 2 a1 a , A , I 1 （2） 相当于直线传播 2 4
（4）如平行光入射
n为很小的奇数 n为很小的偶数
（3） 观察点P的位置使波面上的第一个带露出， A 1 a 1
R
4.菲涅耳波带片
露出的半波带只让基数（或偶数带）透光如下图 光源、波带片、成像屏之间 的关系如下式所示，规律和 凸透镜成像规律一样。
n n n n n n n n n
n
n
n
rn
n
n n
rn n
n
n
n
n
半波带个数n的求法 R r 1 1 n rR R r
2 n 2 0
rn
为圆孔半径，
0
0
r 0 为孔屏到考察点 P 的距离
R
为光源到孔屏的距离
a1
1 1 讨论： A n a 1 a n 2 2
m个半波带被遮住
a a a a m 1 m 1 m 3 n ( a ) m 2 2 2 2 2 A (p ) 0 a a a a a m 1 m 1 m 3 n 1 a n n ( a ) ( ) m 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 ' R r0 f n
2 f n
设想制造一种屏使它对于考察点 P 只让奇数 半波带或只让偶数半波带透光，那么各半波带 相应各点到达 P 点的光程差为波的整数倍，即 相位相差2π的整数倍，因而相互加强，故 P 点的合振幅为 A a a n 2 n 1 或A n 2 n 这样的光学元件称波带片。 例如，某一波带片对P点露出前10个奇数带， 那么
夫琅禾费圆孔衍射
把单缝衍射装置中的单缝以一小孔代替应用氦氖激光器可以在透镜的焦平面上看到圆孔衍射图样衍射图样是一组同心的明暗相间的圆环可以证明以第一暗环为范围的中央亮斑的光强占整个入射光束光强的84这个中央光斑称为艾里斑
实验目的
❖ 观察夫郎和费圆孔衍射图样
实验步骤
把单缝衍射装置中的单缝以一小孔代替，应用
氦氖激光器，可以在透镜的焦平面上看到圆孔
衍射图样，衍射图样是一组同心的明暗相间的
圆环，可以证明以第一暗环为范围的中央亮斑
的光强占整个入射光束光强的84%，这个中央
光斑称为艾里斑。经计算可知，.61
R
1.22
D
上式中D是圆孔的直径； 若上透图镜可L知2的，焦为距：为f，则艾里斑的线半径由
l f .tg1
由于1一般很小，故 tg1 sin1 。1 则：
l 1.22 f
D
实验仪器摆放
实验步骤
❖ 1、把所有器件按图十五的顺序摆放在平台上， 调至共轴。其中光栏和微测目镜之间的距离 必须保证满足远场条件。其中衍射孔的大小 为1mm。（图中数据均为参考数据）
❖ 2、调节透镜直至能在微测目镜中看其中心为 亮斑到衍射条纹。
❖ 3、记录下艾里斑的直径e，和计算值进行比 较。
数据处理
❖ 用测微目镜测出艾里斑的直径e，由已知衍射小孔 直径d=1mm，焦距f=70mm，可验证：
e 1.22 f
a 公式的正确性（其中为孔的半径），本实验要求实 验环境很暗。
思考题
菲涅尔圆孔衍射图样的中心点可能是亮的，也可 能是暗的，而夫琅和费圆孔衍射的中心总是亮的。 这是为什么？
实验目的
❖ 观察夫郎和费圆孔衍射图样
实验步骤
把单缝衍射装置中的单缝以一小孔代替，应用
氦氖激光器，可以在透镜的焦平面上看到圆孔
衍射图样，衍射图样是一组同心的明暗相间的
圆环，可以证明以第一暗环为范围的中央亮斑
的光强占整个入射光束光强的84%，这个中央
光斑称为艾里斑。经计算可知，.61
R
1.22
D
上式中D是圆孔的直径； 若上透图镜可L知2的，焦为距：为f，则艾里斑的线半径由
l f .tg1
由于1一般很小，故 tg1 sin1 。1 则：
l 1.22 f
D
实验仪器摆放
实验步骤
❖ 1、把所有器件按图十五的顺序摆放在平台上， 调至共轴。其中光栏和微测目镜之间的距离 必须保证满足远场条件。其中衍射孔的大小 为1mm。（图中数据均为参考数据）
❖ 2、调节透镜直至能在微测目镜中看其中心为 亮斑到衍射条纹。
❖ 3、记录下艾里斑的直径e，和计算值进行比 较。
数据处理
❖ 用测微目镜测出艾里斑的直径e，由已知衍射小孔 直径d=1mm，焦距f=70mm，可验证：
e 1.22 f
a 公式的正确性（其中为孔的半径），本实验要求实 验环境很暗。
思考题
菲涅尔圆孔衍射图样的中心点可能是亮的，也可 能是暗的，而夫琅和费圆孔衍射的中心总是亮的。 这是为什么？
圆孔衍射
6
S1 S2
可分辨 此时两爱 里斑重叠 部分的光 强为一个 光斑中心 最大值的 80％。 ％。
S1 S2
恰可分辨
两爱里斑中心距d 恰好等于爱里斑半径。 两爱里斑中心距 0恰好等于爱里斑半径。
S1 S2
不可分辨
7
2.光学仪器分辨率 光学仪器分辨率 满足瑞利判据的两物点间的距离， 满足瑞利判据的两物点间的距离，就是光学仪器 所能分辨的最小距离。 所能分辨的最小距离。此时两个物点对透镜中心所张 的角δϕ称为最小分辨角。 δϕ称为最小分辨角 的角δϕ称为最小分辨角。 d0为光学仪器可分辨的最小距离，即为两物点可 为光学仪器可分辨的最小距离， 分辨的最小距离， 为圆孔到两物点的垂直距离， 分辨的最小距离，L为圆孔到两物点的垂直距离，若为 光学仪器， 即为焦距f 为圆孔直径。 光学仪器，则L即为焦距f。D为圆孔直径。 光学仪器中将最小分辨角的倒数称为仪器的分辨率 光学仪器中将最小分辨角的倒数称为仪器的分辨率。
4
二、光学仪器的分辨本领
一般光学仪器成像， 一般光学仪器成像，光学仪器对点物成象是一个 有一定大小的爱里斑。 有一定大小的爱里斑。 所以由于衍射现象 会使图像边缘变得模糊不清， 由于衍射现象， 所以由于衍射现象，会使图像边缘变得模糊不清， 使图像分辨率下降。 使图像分辨率下降。 点物S 象S’ 一个透镜成象的光路 可用两个透镜的作用来 L 等效，如图所示： 等效，如图所示： L1 L2 象 点物就相当于在透 点物 物方焦点处， 镜L1物方焦点处，经通 f1 f2 光孔径A， 光孔径 ，进行夫琅和 费衍射，在透镜L 费衍射，在透镜 2的象 A 方焦点处形成的中央零 仅当通光孔径足够大时， 仅当通光孔径足够大时， 级明斑中心。 级明斑中心。 爱里斑才可能很小。 a >> λ 爱里斑才可能很小。 5
S1 S2
可分辨 此时两爱 里斑重叠 部分的光 强为一个 光斑中心 最大值的 80％。 ％。
S1 S2
恰可分辨
两爱里斑中心距d 恰好等于爱里斑半径。 两爱里斑中心距 0恰好等于爱里斑半径。
S1 S2
不可分辨
7
2.光学仪器分辨率 光学仪器分辨率 满足瑞利判据的两物点间的距离， 满足瑞利判据的两物点间的距离，就是光学仪器 所能分辨的最小距离。 所能分辨的最小距离。此时两个物点对透镜中心所张 的角δϕ称为最小分辨角。 δϕ称为最小分辨角 的角δϕ称为最小分辨角。 d0为光学仪器可分辨的最小距离，即为两物点可 为光学仪器可分辨的最小距离， 分辨的最小距离， 为圆孔到两物点的垂直距离， 分辨的最小距离，L为圆孔到两物点的垂直距离，若为 光学仪器， 即为焦距f 为圆孔直径。 光学仪器，则L即为焦距f。D为圆孔直径。 光学仪器中将最小分辨角的倒数称为仪器的分辨率 光学仪器中将最小分辨角的倒数称为仪器的分辨率。
4
二、光学仪器的分辨本领
一般光学仪器成像， 一般光学仪器成像，光学仪器对点物成象是一个 有一定大小的爱里斑。 有一定大小的爱里斑。 所以由于衍射现象 会使图像边缘变得模糊不清， 由于衍射现象， 所以由于衍射现象，会使图像边缘变得模糊不清， 使图像分辨率下降。 使图像分辨率下降。 点物S 象S’ 一个透镜成象的光路 可用两个透镜的作用来 L 等效，如图所示： 等效，如图所示： L1 L2 象 点物就相当于在透 点物 物方焦点处， 镜L1物方焦点处，经通 f1 f2 光孔径A， 光孔径 ，进行夫琅和 费衍射，在透镜L 费衍射，在透镜 2的象 A 方焦点处形成的中央零 仅当通光孔径足够大时， 仅当通光孔径足够大时， 级明斑中心。 级明斑中心。 爱里斑才可能很小。 a >> λ 爱里斑才可能很小。 5
单缝和圆孔的夫琅禾费衍射介绍
2
明纹在屏上的位置
x f sin f (2k 1)
2a
k ax 1 3.5 0.5 3
f 2
第3级明 纹
（2）对应于 p点缝可分成多少个半波带？
asin (2k 1)
2
(23 1) 7
22
7个半波带
（3）将缝宽增加1倍，p 点将变为什么条纹？
y2 = u
-2 - o
··
··
2 u
-2.46π -1.43π
+1.43π +2.46π
u 1.43， 2.46， 3.47，…
相应 asin 1.43, 2.46, 3.47,…
三、入射光非垂直入射时光程差的计算
DB BC
b(sin sin)
“半波带”发的光在 P处干涉相消形成暗纹。
当asin=3/2时，可将缝分为3个半波带.
a
AA
A1
p
B
A2 C
o
B /2
相邻半波带的相对应点光程差均是/2,两个
“半波带”发的光在 P处干涉相消形成暗纹。第 3个“半波带”发的光在 P形成明纹。
一般情况下，可将缝分为k个半波带，当k为偶数 时，p点为暗纹，当k为奇数时，p点为明纹。
例3 在单缝衍射中，若使单缝和透镜分别 稍向上移，则衍射条纹将如何变化？ 解：
o
⑴单缝上移衍射光束向上平移经透镜聚焦后， 位置不变条纹不变 ⑵透镜上移衍射光束经透镜聚焦后，位置随之 上移条纹向上平移
例4 在单缝夫琅和费衍射实验中，缝宽a=10，缝 后透镜焦距 f =40cm , 试求第一级明纹的角宽度，线 宽度以及中央明纹的线宽度。
明纹在屏上的位置
x f sin f (2k 1)
2a
k ax 1 3.5 0.5 3
f 2
第3级明 纹
（2）对应于 p点缝可分成多少个半波带？
asin (2k 1)
2
(23 1) 7
22
7个半波带
（3）将缝宽增加1倍，p 点将变为什么条纹？
y2 = u
-2 - o
··
··
2 u
-2.46π -1.43π
+1.43π +2.46π
u 1.43， 2.46， 3.47，…
相应 asin 1.43, 2.46, 3.47,…
三、入射光非垂直入射时光程差的计算
DB BC
b(sin sin)
“半波带”发的光在 P处干涉相消形成暗纹。
当asin=3/2时，可将缝分为3个半波带.
a
AA
A1
p
B
A2 C
o
B /2
相邻半波带的相对应点光程差均是/2,两个
“半波带”发的光在 P处干涉相消形成暗纹。第 3个“半波带”发的光在 P形成明纹。
一般情况下，可将缝分为k个半波带，当k为偶数 时，p点为暗纹，当k为奇数时，p点为明纹。
例3 在单缝衍射中，若使单缝和透镜分别 稍向上移，则衍射条纹将如何变化？ 解：
o
⑴单缝上移衍射光束向上平移经透镜聚焦后， 位置不变条纹不变 ⑵透镜上移衍射光束经透镜聚焦后，位置随之 上移条纹向上平移
例4 在单缝夫琅和费衍射实验中，缝宽a=10，缝 后透镜焦距 f =40cm , 试求第一级明纹的角宽度，线 宽度以及中央明纹的线宽度。
高二物理竞赛课件：圆孔的夫琅禾费衍射 光学仪器的分辨本领
返回 退出
q
最小分辨角：
分辨本领：
qR
q1
1.22
d
R 1 d
qR 1.22
提高仪器分辨本领的两种方法：
增大孔径，减小波长。
望远镜： 不可选择，可 d R
返回 退出
显微镜：
最小分辨距离
s1s2
y
0.61
n sinu
显微镜的分辨本领
R 1 n sinu
y 0.61
数值孔径
显微镜： d 不会很大，可 R
返回 退出
例12-20 在通常的明亮环境中，人眼瞳孔的直径约为 3 mm，问人眼的最小分辨角是多大？如果纱窗上两 根细丝之间的距离 l=2.0 mm，问离纱窗多远处人眼 恰能分辨清楚两根细丝？
解：以视觉感受最灵敏的黄绿光来讨论，=550 nm。
人眼最小分辨角： qR
1.22
d
2.2 104 rad
π(a b)sinq
P点的光强为
Iq
I10
(
s in
)2
(
sin N sin
)2
返回 退出
P点的光强为
Iq
I10
(
s
in
)2
(
sin N sin
)2
单缝衍射因子 多缝干涉因子
讨论干涉因子，可得
(1)主极大
A
kπ ( k = 0,1,2, )
(a b)sinq k
Iq
I10
设人离纱窗距离为 s ，则恰能分辨时
qR
l s
s l 9.1 m
qR
返回 退出
§12-10 光栅衍射
一、光栅衍射
光栅：由大量等宽、等间距的平行狭缝(或反射 面) 所组成的光学元件
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由此可见，由于衍射效应，截面有限而且绝对平行的光束是 并不存在的，由于光波波长很短，在通常情况下，衍射发散角 很小，不过在激光通讯或激光测距等远程装置中，即使很小的 发散角也会造成很大的光斑，所以在设计时要特别加以考虑。
12
二、圆环的夫琅禾费衍射
实验装置如下图所示
R1
R2
L1
L2
S*
物理科学与信息工程学院 13
I3 A32 0.0016 I0
物理科学与信息工程学院 5
夫琅和费圆孔衍射图样中央是一很亮的圆斑,集中了衍射 光能量的83.8%, 通常称为艾里斑.因为夫琅禾费圆孔衍射的 光强分布，首先由英国天文学家艾里（S. G. Airy,18011892)导出的。它的中心是点光源的几何光学像。
圆孔的夫琅禾费衍射 照片
IP
I0
(1
2)
J
2
(2m2 m2
)
2
J1
(2m1 m1)来自 2.
R2 / R1
I I0
1.0
0,0.5,0.8
R1
R2
R1 R2
0
圆环的夫琅和费衍射光强分布
sin
本节结束 14
物理科学与信息工程学院 1
一、夫郎禾费圆孔衍射
夫郎禾费衍射属于远场衍射。夫郎禾费圆孔衍射装置 图如下图所示。
L1
L2
S*
D
衍射图样的中央是一个亮斑。 外围有一系列明暗相间的同心圆 环。各亮环的强度由中央向外边 缘逐渐变小。
物理科学与信息工程学院 2
根据惠更斯—菲涅耳原理，采用积分法可以推导在 平行光垂直入射时，夫琅禾费圆孔衍射的光强分布公 式，由于推导过程较繁琐，因此在此只给出结果。
根据几何光学的知识，凡是平行于主轴的任何光 线，经透镜折射后，都将会聚于主焦点，或者说从 波面上所有点发出的次波，经过透镜而到达焦点F 都有相同的光程。
因此中央最大值的位置是在透镜的主轴上，而和 圆孔的位置无关。直径完全相同的两个圆孔并排时， 由它们产生的两个衍射图样也完全相同，而且完全 重合。圆孔衍射图样如图。
RR
夫琅和费圆孔衍射光强分布曲线
物理科学与信息工程学院 4
次最大值位置为：
sin10
0.819
R
sin 20
1.333
R
s in 30
1.847
R
最大与次最大值的相对强度为：
I 0 A02 I 0
I1 A12 0.0175 I0
I 2 A22 0.0042 I0
另一方面，两个圆孔的光波之间还 会产生干涉，因此整个衍射图样是受 单圆孔衍射调制的杨氏干涉条纹。
物理科学与信息工程学院 9
杨氏双孔干涉的条纹形状应为双曲线族：
由夫琅禾费圆孔衍射，艾里斑的半线宽度为：
1.22 f '
d
由杨氏双孔干涉的条纹间距为：
y f '
D
由于D > d，因此 y < l ,即艾里斑内至少有
一对杨氏干涉暗条纹。
物理科学与信息工程学院 10
衍射图样与干涉图样叠加的结果应为：
例2 He-Ne激光器沿着管轴发射定向光束，其出射窗 的直径（即内部毛细管的直径）约为1mm，求激光 束的衍射发散角，并求10千米处的光斑半径.
物理科学与信息工程学院 11
解：沿管轴发射定向光束，即为平行光，可以认 为属于夫郎禾费衍射。
物理科学与信息工程学院 6
艾里斑的半 角宽度为:
1 sin 1
0.61 1.22
R
D
若透镜L2的焦距为 f 则艾里斑的线半径为:
L
f tg1
f sin 1
f 1
1.22
D
f
艾里斑的半径大小与衍射孔的直径成反比。
当/D<<1时（即衍射孔比较大时），衍射现象可以 忽略，艾里斑消失，就变成了直线传播。
第六章 光的衍射
（ Diffraction of light）
§6.5 夫琅禾费圆孔衍射和圆环衍射
Fraunhofer Round Hole Diffraction and Annular Aperture Diffraction
大多数光学仪器中所用透镜的边缘通常都是圆形 的，所用的光阑也是圆形的，而且大多数是通过平 行光和近似平行光成像的。所以对夫郎禾费圆孔衍 射进行研究对分析几何光学仪器的成像有着十分重 要意义。
IP
A02
1
1 2
m2
1 3
m2 2!
2
1 4
m3 3!
2
1 5
m4 4!
2
2
其中 m R sin
R为衍射孔的半径
若用一阶贝塞尔函数符号表示。 则有：
IP
I
0
J1
(2m) m
愈大或D愈小，衍射现象愈显著。
物理科学与信息工程学院 7
例题：如图，经准直的光束垂直投射到一光屏上， 屏上开有两个直径均为d，中心间距为D的圆孔，且 满足D > d，试分析夫琅禾费衍射图样。
y
d
x
F'
D
f' 解： 圆孔的衍射图样只取决于圆孔的直径，而与圆 孔的位置是否偏离透镜主轴无关。
物理科学与信息工程学院 8
He－Ne激光波长为＝632.8nm，由于出射窗口的 限制，其衍射角半径即衍射发散角为：
1.22
D
632.8109 1.22 1103
7.7104 rad
2.7'
在10千米处的光斑半径为 ：
r ltg l 10 103 7.7104 7.7米
2
.
物理科学与信息工程学院 3
以sin为横坐标，以IP/I0 为纵坐标，则光强分布
用曲线表示为.
由光强分布公式可得：
I I0
1.0
中央最大值的位置为：
sin 0 0
最小值的位置为：
sin1
0.610
R
s in 2
1.116
R
s in 3
1.619
R
0 0.61 1.12 sin
12
二、圆环的夫琅禾费衍射
实验装置如下图所示
R1
R2
L1
L2
S*
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I3 A32 0.0016 I0
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夫琅和费圆孔衍射图样中央是一很亮的圆斑,集中了衍射 光能量的83.8%, 通常称为艾里斑.因为夫琅禾费圆孔衍射的 光强分布，首先由英国天文学家艾里（S. G. Airy,18011892)导出的。它的中心是点光源的几何光学像。
圆孔的夫琅禾费衍射 照片
IP
I0
(1
2)
J
2
(2m2 m2
)
2
J1
(2m1 m1)来自 2.
R2 / R1
I I0
1.0
0,0.5,0.8
R1
R2
R1 R2
0
圆环的夫琅和费衍射光强分布
sin
本节结束 14
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一、夫郎禾费圆孔衍射
夫郎禾费衍射属于远场衍射。夫郎禾费圆孔衍射装置 图如下图所示。
L1
L2
S*
D
衍射图样的中央是一个亮斑。 外围有一系列明暗相间的同心圆 环。各亮环的强度由中央向外边 缘逐渐变小。
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根据惠更斯—菲涅耳原理，采用积分法可以推导在 平行光垂直入射时，夫琅禾费圆孔衍射的光强分布公 式，由于推导过程较繁琐，因此在此只给出结果。
根据几何光学的知识，凡是平行于主轴的任何光 线，经透镜折射后，都将会聚于主焦点，或者说从 波面上所有点发出的次波，经过透镜而到达焦点F 都有相同的光程。
因此中央最大值的位置是在透镜的主轴上，而和 圆孔的位置无关。直径完全相同的两个圆孔并排时， 由它们产生的两个衍射图样也完全相同，而且完全 重合。圆孔衍射图样如图。
RR
夫琅和费圆孔衍射光强分布曲线
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次最大值位置为：
sin10
0.819
R
sin 20
1.333
R
s in 30
1.847
R
最大与次最大值的相对强度为：
I 0 A02 I 0
I1 A12 0.0175 I0
I 2 A22 0.0042 I0
另一方面，两个圆孔的光波之间还 会产生干涉，因此整个衍射图样是受 单圆孔衍射调制的杨氏干涉条纹。
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杨氏双孔干涉的条纹形状应为双曲线族：
由夫琅禾费圆孔衍射，艾里斑的半线宽度为：
1.22 f '
d
由杨氏双孔干涉的条纹间距为：
y f '
D
由于D > d，因此 y < l ,即艾里斑内至少有
一对杨氏干涉暗条纹。
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衍射图样与干涉图样叠加的结果应为：
例2 He-Ne激光器沿着管轴发射定向光束，其出射窗 的直径（即内部毛细管的直径）约为1mm，求激光 束的衍射发散角，并求10千米处的光斑半径.
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解：沿管轴发射定向光束，即为平行光，可以认 为属于夫郎禾费衍射。
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艾里斑的半 角宽度为:
1 sin 1
0.61 1.22
R
D
若透镜L2的焦距为 f 则艾里斑的线半径为:
L
f tg1
f sin 1
f 1
1.22
D
f
艾里斑的半径大小与衍射孔的直径成反比。
当/D<<1时（即衍射孔比较大时），衍射现象可以 忽略，艾里斑消失，就变成了直线传播。
第六章 光的衍射
（ Diffraction of light）
§6.5 夫琅禾费圆孔衍射和圆环衍射
Fraunhofer Round Hole Diffraction and Annular Aperture Diffraction
大多数光学仪器中所用透镜的边缘通常都是圆形 的，所用的光阑也是圆形的，而且大多数是通过平 行光和近似平行光成像的。所以对夫郎禾费圆孔衍 射进行研究对分析几何光学仪器的成像有着十分重 要意义。
IP
A02
1
1 2
m2
1 3
m2 2!
2
1 4
m3 3!
2
1 5
m4 4!
2
2
其中 m R sin
R为衍射孔的半径
若用一阶贝塞尔函数符号表示。 则有：
IP
I
0
J1
(2m) m
愈大或D愈小，衍射现象愈显著。
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例题：如图，经准直的光束垂直投射到一光屏上， 屏上开有两个直径均为d，中心间距为D的圆孔，且 满足D > d，试分析夫琅禾费衍射图样。
y
d
x
F'
D
f' 解： 圆孔的衍射图样只取决于圆孔的直径，而与圆 孔的位置是否偏离透镜主轴无关。
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He－Ne激光波长为＝632.8nm，由于出射窗口的 限制，其衍射角半径即衍射发散角为：
1.22
D
632.8109 1.22 1103
7.7104 rad
2.7'
在10千米处的光斑半径为 ：
r ltg l 10 103 7.7104 7.7米
2
.
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以sin为横坐标，以IP/I0 为纵坐标，则光强分布
用曲线表示为.
由光强分布公式可得：
I I0
1.0
中央最大值的位置为：
sin 0 0
最小值的位置为：
sin1
0.610
R
s in 2
1.116
R
s in 3
1.619
R
0 0.61 1.12 sin