基本不等式公式(4)
基本不等式公式大全
基本不等式公式大全基本不等式是初中数学中的重要内容，也是数学学习中的基础知识。
它们在解决实际问题和证明数学定理中起着重要的作用。
下面我们来系统地总结一下基本不等式的公式大全。
1. 一元一次不等式。
一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式。
其一般形式为ax+b>0（或<0），其中a≠0。
解一元一次不等式的关键是确定未知数的取值范围，然后根据不等式的性质进行求解。
2. 一元二次不等式。
一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。
其一般形式为ax^2+bx+c>0（或<0），其中a≠0。
解一元二次不等式的方法可以借助于一元二次方程的求解方法，通过判别式和一元二次函数的图像来确定不等式的解集。
3. 绝对值不等式。
绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。
其一般形式为|ax+b|>c（或< c），其中a≠0。
解绝对值不等式的关键是根据绝对值的性质来确定不等式的解集，需要分情况讨论绝对值的取值范围。
4. 分式不等式。
分式不等式是含有分式的不等式。
其一般形式为f(x)/g(x)>0（或<0），其中f(x)和g(x)是关于x的多项式函数。
解分式不等式的方法是确定分式的定义域，并根据分式的正负性来确定不等式的解集。
5. 复合不等式。
复合不等式是由多个不等式组合而成的不等式。
其一般形式为A∩B>0（或<0），其中A和B是简单不等式。
解复合不等式的关键是将复合不等式分解成简单不等式，并根据简单不等式的性质来确定复合不等式的解集。
6. 不等式的证明。
不等式的证明是数学证明中的重要内容，常用的方法有数学归纳法、反证法、换元法等。
在进行不等式的证明时，需要灵活运用不等式的性质和数学定理，严谨地推导出结论。
综上所述，基本不等式是数学学习中的重要内容，掌握好基本不等式的公式和解题方法对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。
希望本文的内容能够帮助大家更好地理解和掌握基本不等式的知识，提高数学学习的效果。
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式的所有公式及常用解法1.加减法不等式公式：若a>b，则a+/-c>b+/-c，其中c为任意实数。
2.乘法不等式公式：若a>b且c>0，则a*c>b*c；若a>b且c<0，则a*c<b*c。
3.幂次不等式公式：对任意非零实数a和b若a>b且n>0且n为正整数，则a^n>b^n；若a>b且0<n<1，则a^n<b^n。
4.倒数不等式公式：若a>b>0，则1/a<1/b。
5.奇偶性不等式公式：若a>0且n为正整数，则a^n>0。
若a<0且n为奇数整数，则a^n<0。
常用的解基本不等式的方法有：1.用数轴法解：将不等式绘制在数轴上，根据不等式的性质找出符合条件的x的取值范围。
2.用代数方法解：针对不等式上的加减法、乘法、幂次或倒数等，利用基本不等式公式进行运算，化简不等式，最终得到x的取值范围。
3.用平方差、立方差或更高次差法解：对于特定形式的不等式，如二次函数不等式（即含有二次项的不等式），可使用平方差公式将其转化为不等式的标准形式；同样，对于三次函数不等式（即含有三次项的不等式），可使用立方差公式将其转化为不等式的标准形式。
通常，对高次不等式的解法需要更高级的数学知识，此处不再详细介绍。
4.用函数图像解：对于一些特定函数，如一次函数、二次函数等，可通过绘制函数图像来判断不等式的解集。
5.用不等式链解：若能将一个不等式化为多个简单的不等式，即不等式的解集满足一系列条件，可通过每个条件对应的不等式求解解集。
以上是基本不等式的一些公式和常用解法。
对于不同的不等式，我们需要根据具体情况选择合适的解法。
希望以上内容对您有所帮助。
基本不等式八个公式
基本不等式八个公式基本不等式是初中数学中的重要概念，它是解决不等式问题的基础。
基本不等式有八个公式，分别是：1. 两个正数的和的平方大于等于它们的平方和。
即：(a+b)²≥a²+b²这个公式可以用来证明勾股定理。
2. 两个正数的积的平方大于等于它们的平方积。
即：(ab)²≥a²b²这个公式可以用来证明算术平均数和几何平均数之间的关系。
3. 两个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。
即：(a+b)/2≥√(ab)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。
4. 两个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。
即：(a+b)/2≥2ab/(a+b)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。
5. 三个正数的和的平方大于等于它们的平方和的三倍。
即：(a+b+c)²≥3(a²+b²+c²)这个公式可以用来证明均值不等式。
6. 三个正数的积大于等于它们的平方和的三分之一次方。
即：abc≥(a²+b²+c²)/3这个公式可以用来证明几何平均数大于等于算术平均数。
7. 任意多个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。
即：(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。
8. 任意多个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。
即：(a1+a2+...+an)/n≥n/(1/a1+1/a2+...+1/an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。
以上就是基本不等式的八个公式，它们在解决不等式问题时非常有用。
我们可以根据不同的问题选择不同的公式来解决，从而更加高效地解决问题。
基本不等式常用公式
基本不等式常用公式
基本不等式是初中数学的基础，可以表示为：对于任意实数a，b，有(a+b)/2≥√(ab)，且等号仅在a=b 时取得。
除了基本不等式，其他一些常用的不等式公式包括：
1. 柯西-施瓦茨不等式：对于任何两个向量 a 和b，有|a·b|≤|a|·|b|，且等号仅在a 和b 共线时取得。
2. 三角不等式：对于任何两个实数a 和b，有|a+b|≤|a|+|b|，且等号仅在a 和b 同号时取得。
3. 约旦不等式：对于任何两个实数a 和b，有|a-b|≥|a|-|b|，且等号仅在a 和b 同号时取得。
4. 均值不等式：对于任何一组非负实数a1、a2、...、an，有(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)，且等号仅在a1=a2=...=an 时取得。
这些不等式公式广泛应用于数学、物理等领域，可帮助我们解决各种问题。
基本不等式(4)
（2009 湖北卷文） 围建一个面积为 360m 的矩形场地，
要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其
2
它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽
度为 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为
基本不等式 （四）
例1.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为3m,如果池底每平方米的造价为150元,池壁 每平方米的的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最 低?最低总造价是多少? 解：设水池底面一边的长度为xm， 水池的总造价为y元，根据题意，得
1600 则水池的宽为 , x
360 由已知 xa=360,得 a= x , 360 2 所以 y=225x+ x 360( x f 0)
2 360 2 Q x > 0, 225x * 10800 2 225 360 (II) x
360 2 y 225 x 360 10440 . x
360 2 当且仅当 225x= x 时，等号成立.
1600 当x , 即x 40时, y有最小值2976000. x 因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水 池的总造价最低，最低总造价是297600元
1600 4800 1600 ) y 150 120(2 3x 2 3 ) 240000 720( x 3 x x 1600 240000 720 2 x 240000 720 2 40 297600 x
即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用 是 10440 元.
2. 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地 盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用 费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征 用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、 二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层， 其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高 层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用 为建筑费用和征地费用之和）
四个基本不等式的证明
四个基本不等式的证明
四个基本不等式是初中和高中数学中非常重要的概念，它们分别是：
1. 对于任意正整数 a 和 b，有 (a+b)≥4ab。
2. 对于任意正实数 a、b、c，有 a+b+c≥ab+bc+ca。
3. 对于任意正实数 a、b、c，有 (a+b+c)≥3(ab+bc+ca)。
4. 对于任意正实数 a、b、c 和 m、n，有 am+bn≤sqrt{am+bn}。
下面分别介绍这四个基本不等式的证明：
1. 对于任意正整数 a 和 b，我们有
(a+b) = a+2ab+b ≥ 4ab
其中等号成立当且仅当 a=b。
2. 对于任意正实数 a、b、c，我们有
a+b+c-ab-bc-ca = (a-b)+(b-c)+(c-a) ≥ 0
从而可以得到 a+b+c≥ab+bc+ca。
3. 对于任意正实数 a、b、c，我们有
(a+b+c) = a+b+c+2(ab+bc+ca) ≥ 3(ab+bc+ca)
其中等号成立当且仅当 a=b=c。
4. 对于任意正实数 a、b、c 和 m、n，我们有
(a/m)+(b/n) ≥ 2ab/(mn)
从而可以得到
am+bn ≥ 2abmn
从而可以得到
am+bn ≤ sqrt{am+bn}
其中等号成立当且仅当 a/b=m/n。
基本不等式公式大全
基本不等式公式大全基本不等式公式为: a+b≥2√(ab)。
常用的不等式公式√((a2+b2)/2)>(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)√ab≤(a+b)/2a2+b2>2abab≤(a+b)2/4lla-Ibl[≤la+b|≤la/+b/(注:la读作a的绝对值)其中，a >0，b>0，当且仅当a=b时，等号成立不等式（inequality）是用不等号连接的式子。
不等式分为严格不等式与非严格不等式，用纯粹的大于号、小于号连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
总的来说，用不等号(<,>,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。
其中，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域。
如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂<y 的n次幂（n为负数）。
四种基本不等式公式
四种基本不等式公式在咱们数学的世界里，不等式可是个相当重要的角色。
今天就来跟大家好好唠唠四种基本不等式公式。
咱们先来说说均值不等式。
这就好比分苹果，假如你有一堆苹果要分给几个小伙伴，怎么分才能尽量公平呢？均值不等式就告诉了我们这个道理。
比如说，有两个正数 a 和 b，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数，也就是(a + b) / 2 ≥ √(ab) 。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这有啥用啊？”我就跟他们说：“假设你们要一起凑钱买零食，有的同学带得多，有的同学带得少，怎么算出平均每个人至少要出多少钱，才能买到大家都满意的零食，这时候均值不等式就派上用场啦！”接下来是柯西不等式。
这个家伙有点复杂，但是理解了之后会发现它特别厉害。
它的形式就像是一个神秘的密码，(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²。
想象一下，有两个向量，它们的长度和它们夹角的余弦值之间有着这样神奇的关系。
有一次在课堂上，为了让学生们更直观地理解柯西不等式，我让他们分成小组，模拟两个向量的运算。
看着他们热火朝天地讨论和计算，我心里特别欣慰。
再说说排序不等式。
这个就像是给一群调皮的数字排排队。
假如有两组数 a₁, a₂,..., an 和 b₁, b₂,..., bn ，按照一定的顺序相乘再相加，会得到不同的结果。
排序不等式告诉我们，顺序和大于等于乱序和大于等于逆序和。
我想起之前有个学生，在做作业的时候总是弄混排序不等式的顺序，我就给他举了个例子：“假如你有不同大小的积木，按照从大到小的顺序搭起来会比随便乱放搭得更高，这就是排序的道理。
”最后是权方和不等式。
它看起来有点陌生，但其实也不难。
它的形式就像是一个巧妙的平衡游戏。
在学习这些不等式公式的过程中，同学们可能会觉得头疼，觉得这些公式枯燥又难记。
但其实啊，只要多做几道题，多在生活中找找例子，就会发现它们就像我们的好朋友，能帮我们解决好多问题呢！比如说，在规划一次班级活动的预算时，我们可以用这些不等式来计算怎么分配资金才能达到最优效果；在比较不同同学的成绩进步情况时，也能用到它们。
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(2)所以面积 S 1 xy 2
4a x y x2 y2 2 xy 2 • xy
xy 2 2 2 a
S 4(3 2 2)a2
(3)当x=y=_2(_2___2_)a_时，面积最大= 4(3 2 2)a2
例2.已知一条直线过点M(3,2),它于x轴，y轴
的正方向分别交于A,B,O为原点.
求：△ OAB面积的最小值.
y
如何设未知数？
B
•M (3, 2)
设1个？还是设2个？为什么？
x
O
A
变式:(1)求 OA OB 的最小值;
(2)求MA• MB 的最小值.
例3.
By A
x
O
P
已知点A(0,4),B(0,6),P在x轴正方向上 求：使∠APB最大的点P的坐标.
【中午限时】课本P91:(6)(8)(9)(11)
(1)设某两线段长为x,y (求出f(x,y)=0)
(2)建立目标函数w=f(x)
(2)建立函数w=g(x,y)
(用基本不等式求出最值) (用基本不等式求出最值)
(3)当x=?时，w最大(小)=？ (3)当x=?,y=?时.w最大=？
1. H
E D
A
2. G
D A
3. D
A
G 长方体，体积是4800m3,
xy f (d )是减函数
例. x 0, y 0
25 (1)如果x
y
10,那么xy
___________ x y
f
(d )是增函数
(2)如果xy 10,那么x y ____2___1_0___
一正；二定； 三相等.
最值定理： (1)和定 - -积最大. (2)积定 - -和最小.
例1.有一根长4a的铁丝,如果围成你不一还 同个有 的矩什 方形么 法;吗？ 求:围成图形面积最大值：
解:(1)设矩形的长为x, 那么宽为2a-x
(2)面积S=x(2a
a2
(3)当x=a时，矩形面积S最大=a2
方法(二):(1)设矩形的长为x.宽为y
那么：x+y=2a
(2)矩形面积S=xy
x
2
y
2
a2
(3)当x=y=a时，矩形面积最大值为a2.
基本步骤：
(1)设某线段长为x (求出其它线段长)
F
高为3m.
C
B F
•C
常用方法：
(1)设MN=x 两AB个=5矩,((A23形D))设设(=如3A∠图BA=B所xC,示C=xD) =y
B
E
M
C 矩形ABCD中(如图所示)
N
AB=10,AD=6,M为CD的中点，
MN∥AD.
B
变式：如果：围成一个直角三角形 求：面积的最大值
解:(1)设两条直角边长为x,y 那么：x y x2 y2 4a