北师版高数必修一第13讲：函数与方程(教师版)
人教版高数必修一第13讲：函数与方程(教师版)
函数与方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72C ．－72D ．－7答案：C类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9 D ．a >0或a <0答案：A类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得，2<k <3，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． 答案：12类型四 二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B 中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解． 答案：B练习1：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在这个区间上( )A ．只有一个变号零点B ．有一个不变号零点C ．至少有一个变号零点D ．不一定有零点 答案：C练习2：用二分法求函数f (x )＝x 3－2的零点时，初始区间可选为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案：B类型五 用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：端点(中点)坐标 计算中点的函数值 取区间 a 0＝1，b 0＝2 f(1)＝－6，f(2)＝4 [1,2] x 1＝1＋22＝1.5f(x 1)＝－2.625<0 [1.5,2] x 2＝1.5＋22＝1.75f(x 2)≈0.234 4>0 [1.5,1.75] x 3＝1.5＋1.752＝1.625f(x 3)≈－1.302 7<0 [1.625,1.75] x 4＝1.625＋1.752＝1.6875f(x 4)≈－0.561 8<0 [1.687 5,1.75] x 5＝1.687 5＋1.752＝1.718 75f(x 5)≈－0.171<0 [1.718 75,1.75] x 6＝1.718 75＋1.752＝1.734 375f(x 6)≈0.03>0 [1.718 75,1.734 375]求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)． 答案：－0.7.练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625 f (1.25)＝－0.984 f (1.375)＝－0.260 f (1.438)＝0.165f (1.406 5)＝－0.0520.1)为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5答案: C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 y123.5621.45－7.8211.45－53.76－128.88A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案： B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－123．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案： A4．下列命题中正确的是( )A．方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数是1C．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D．利用二分法所得方程的近似解是惟一的答案： A5．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0, f(0.72)>0, f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A．0.68 B．0.72C．0.7 D．0.6答案： C能力提升6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使ax2＋bx＋c>0成立的x的取值范围是______.x －3－2－10123 4y 60－4－6－6－40 6 答案：(7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的方程f(x)＝c(c∈R)有两个实根m、m＋6，则实数c的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________．①函数图象通过零点时，函数值一定变号；②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．答案：②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－4)＝2,f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.。
2015高中数学北师大版必修一课件：《函数与方程》
2.能利用同角三角函数的基本关系解题,例如已知某个
任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个.
3.通过简单运用,理解公式的结构及其功能,提高三角恒
等变形的能力.
第五页，编辑于星期五：十二点 七分。
. .固 思
导.学
“物以类聚,人以群分”,之所以“分群”“分类”是因
为同类之间有很多的共同点,彼此紧密联系.我们现在研究
. .固 思
导.学
【解析】(法一)原式=
=
( + )- -
( + )- -
= .
( + )
(- )(+ )-
不满足商数关系.
第十页，编辑于星期五：十二点 七分。
. .固 思
导.学
2
5
π
若 cos(2π-α)= ,且 α∈(- ,0),则 sin(π-α)=( B
3
2
5
A.- 3
2
B.-3
1
).
2
C.-3
D.±3
【解析】cos(2π-α)=cos α= ,
又 α∈(- ,0),
∴sin α=-
- =-
第十七页，编辑于星期五：十二点 七分。
. .固 思
导.学
[结论]不正确.从 sin α+cos α 与 sin αcos α 的值可知,sin
α 与 cos α 应为异号,而结合 α∈(0,π)与 sin α+cos α= ,可知
sin α>0,故必有 cos α<0,且|sin α|>|cos α|,故 tan α<0,且
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北师大版高中教材目录第一章 集合§1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 3.1 交集与并集3.2 全集与补集第二章 函数§1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 2.1 函数概念2.2 函数的表示法 2.3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像 4.2 二次函数的性质§5 简单的幂函数第三章 指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充 2.2 指数运算的性质§3 指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数x y 2= 和xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 的图像和 性质3.3 指数函数的图像和性质§4 对数4.1 对数及其运算 4.2 换底公式§5 对数函数5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数x y 2log =的图像和性质5.3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章 函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判断方程解的存在 1.2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1 实际问题的函数刻画 2.2 用函数模型解决实际问题 2.3 函数建模案例第一章 立体几何初步 §1 简单几何体1.1 简单旋转体 1.2 简单多面体§2 直观图 §3 三视图3.1 简单组合体的三视图 3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理§5 平行关系5.1 平行关系的判定 5.2 平行关系的性质§6 垂直关系6.1 垂直关系的判定 6.2 垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1 简单几何体的侧面积7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用第二章 解析几何初步 §1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率 1.2 直线的方程 1.3 两条直线的位置关系 1.4 两条直线的交点1.5 平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程 2.2 圆的一般方程2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法2.1 简单随机抽样2.2 分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差§5 用样本估计总体5.1 估计总体的分别5.2 估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想1.1 算法案例分析1.2 排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计2.1 顺序结构与选择结构2.2 变量与赋值2.3 循环结构§3 几种基本语句3.1 条件语句3.2 循环语句第三章概率§1 随机事件的概率1.1 频率与概率1.2 生活中的概率§2 古典概型2.1 古典概型的特征和概率计算公式2.2 建立概率模型2.3 互斥事件§3模拟方法——概率的应用第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性4.3 单位圆与诱导公式§5 余弦函数的性质与图像5.1 从单位圆看正弦函数的性质5.2 正弦函数的图像5.3 正弦函数的性质§6 余弦函数的图像与性质6.1 余弦函数的图像6.2 余弦函数的性质§7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像和性质7.3 正切函数的诱导公式§8 函数)sin(ϕ+ω=xAy的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度和力1.2 向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法2.2 向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4 平面向量的坐标4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表述4.3 向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数2.1 两角差的余弦函数2.2 两角和与差的正弦、余弦函数 2.3 两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数第一章数列§1 数列1.1 数列的概念1.2 数列的函数特性§2 等差数列2.1 等差数列2.2 等差数列的前n项和§3 等比数列3.1 等比数列3.2 等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理1.2 余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系1.1 不等关系1.2 比较大小§2 一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法2.2 一元二次不等式的应用§3 基本不等式3.1 基本不等式3.2 基本不等式与最大小值§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式组与平面区域 4.2 简单线性规划4.3 简单线性规划的应用第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非”4.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”4.3 逻辑联结词“非”第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2 空间向量基本定理3.3 空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算5.1 直线间的夹角5.2 平面间的夹角5.3 直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程3.2 双曲线的简单性质§4 曲线与方程4.1 曲线与方程4.2 圆锥曲线的共同特征4.3 直线与圆锥曲线的交点第一章推理与证明§1 归纳与类比1.1 归纳推理1.2 类比推理§2 综合法与分析法2.1 综合法2.2 分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1 导数的加法与减法法则4.2 导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.3 函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的应用2.2 最大值、最小值问题第四章定积分§1 定积分的概念1.1 定积分背景——面积和路程问题 1.2 定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积3.2 简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法第一章计数原理§1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理1.2 分类乘法计数原理§2 排列§3 组合§4 简单计数问题§5 二项式定理5.1 二项式定理5.2 二项式系数的性质第二章概率§1 离散型随机变量及其分布列§2 超几何分布§3 条件概率与独立事件§4 二项分布§5 离散型随机变量的均值与方差§6 正态分布6.1 连续型随机变量6.2 正态分布第三章统计案例§1 回归分析1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析§2 独立性检验2.1 独立性检验2.2 独立性检验的基本思想2.3 独立性检验的应用第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似§2 圆与直线§3 圆与四边形第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系§3 柱面与平面的截面§4 平面截圆锥面§5 圆锥曲线的几何性质第一章平面向量与二阶方阵§1平面向量及向量的运算§2向量的坐标表示及直线的向量方程§3二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1几种特殊的矩阵变换§2矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1逆变换与逆矩阵§2初等变换与逆矩阵§3二阶行列式与逆矩阵§4可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1矩阵变换的特征值与特征向量§2特征向量在生态模型中的简单应用第一章坐标系§1 平面直角坐标系§2 极坐标系§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线§5 圆锥曲线的几何性质第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的不等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利不等式第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非”4.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”4.3 逻辑联结词“非”第二章圆锥曲线与方程§1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程3.2 双曲线的简单性质第三章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1 导数的加法与减法法则4.2 导数的乘法与除法法则第四章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.2 函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的应用 2.2 最大值、最小值问题第一章统计案例§1 回归分析1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析§2 独立性检验2.1 条件概率与独立事件2.2 独立性检验2.3 独立性检验的基本思想2.4 独立性检验的应用第二章框图§1 流程图§2 结构图第三章推理与证明§1 归纳与类比1.1 归纳推理1.2 类比推理§2 数学证明§3 综合法与分析法3.1 综合法3.2 分析法§4 反证法第四章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法。
函数课件-高一上学期数学北师大(2019)必修第一册
3
x
1
解：② = + 2
2
3
4
5
6
函数的概念
4、换元法： = + + +
【例12】求函数 = 2 + 4 1 − 的值域。
解：设 = 1 − ( ≥ 0),则 = 1 − 2
代入原函数得：
= 2 1 − 2 + 4
半径 r 与圆的面积 S 之间的函数关系，这里函数的定义域为R+．
= 2
函数的表示方法
(1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系．
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．
(2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系．
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势．
因此函数的定义域为
即 ≠ 4 或 −∞，4 ∪ 4， + ∞
解：（2） 要使得代数式有意义，必须 − 6 ≥ 0，即 ≥ 6．
因此函数的定义域为
即 ≥ 6 或 6， +∞
函数的概念
【例10】求下列函数的定义域.
（1） = 2 + 2
（2） =
R
3
−5
≠5
（3） = 6 − − 2
四、求函数解析式：
①待定系数法
【例6】设函数 = + ，已知 = −， − = ，则该一次函
数的解析式为 = − −
+ = −
− + =
= −
解得
= −
则解析式为 = − −
解：依题得
北师大版高一数学必修一《函数与方程》说课稿
北师大版高一数学必修一《函数与方程》说课稿一、前言大家好，我是XX，今天我将为大家说课北师大版高一数学必修一《函数与方程》这一单元。
本单元是高一数学必修课程中的重要内容，它是高中数学学习的基础，具有重要的理论和实践意义。
二、教材分析1. 教材总览本单元内容主要包括函数的概念与性质、函数的图像、一次函数与二次函数、函数的应用等内容。
通过本单元的学习，学生将具备较完整的函数理论基础，能够运用函数的性质和应用工具解决实际问题。
2. 教学目标本单元的教学目标主要有以下几点： - 了解函数的概念和性质，具备分析函数的能力； - 掌握一次函数和二次函数的基本概念、性质和图像； - 能够利用函数解决实际问题。
3. 教学重点和难点本单元的教学重点主要包括： - 函数的概念和性质； - 一次函数和二次函数的基本概念和性质； - 函数的应用。
教学难点主要包括： - 函数的性质的理解和应用； - 二次函数的图像和性质的分析。
三、教学过程1. 函数的概念与性质本节主要介绍函数的概念和性质。
函数是数学中一个重要的概念，通过这个概念，我们能够建立输入与输出之间的关系，帮助我们解决实际问题。
在教学过程中，我会通过一系列具体的例子和练习，引导学生理解函数的概念和性质。
2. 函数的图像本节主要介绍函数的图像。
函数的图像是函数概念的重要展示形式，通过图像我们可以更加直观地了解函数的性质和特点。
在教学过程中，我会引导学生绘制一些常见函数的图像，并进行分析和讨论。
3. 一次函数与二次函数本节主要介绍一次函数和二次函数的基本概念和性质。
一次函数和二次函数是函数中比较常见的两种类型，它们具有特定的图像和运算性质。
在教学过程中，我会通过具体的例子和练习，帮助学生理解并运用一次函数和二次函数。
4. 函数的应用本节主要介绍函数在实际问题中的应用。
函数在各个领域都有着广泛的应用，如经济学、物理学、生物学等。
在教学过程中，我会引导学生将函数应用于实际问题的解决过程，并培养学生的问题分析和解决能力。
北师大版高中数学必修1《函数概念》教学课件
求函数 y＝ x－2· x＋2的定义域. 【错解】 y＝ x－2· x＋2＝ x2－4， 由 x2－4≥0，得 x≥2 或 x≤－2， ∴函数的定义域为{x|x≥2 或 x≤－2}.
【错因】 求函数定义域时，不能先进行变形，否则，会使定义域产生改 变，造成错误.因此，必须根据原始函数解析式来求定义域.
1.函数
(1)函数的定义 [JP2]给定两个 非空数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A 中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定 的数f(x)与之对应，那么就把对 应关系f叫做定义在集合A上的函数，记作f：A →B 或y＝f(x)，x∈A .
(2)函数的定义域与值域 对于函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫作自变量， 集合A 叫做函数的定义域，
f(1－x)＝11－ ＋((11－ －xx))＝2－x x(x≠2). f(f(x))＝11－ ＋ff((xx))＝11－ ＋1111－ ＋ － ＋xxxx＝x(x≠－1).
(1)当x的取值用字母表示时，对应的函数值也用字母表示，但要注 意化简.
(2)当求多重函数值时，一般要由里到外逐步计算.
4.已知 f(x)＝1＋1 x，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求 f(x)的定义域； (2)求 f(2)，g(2)，f(g(2))的值.
2 对函数的进一步认识
2.1 函数概念
1.初中时你学过哪些函数？y＝kx＋b，(k≠0)，y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)，y k
(k≠0)分别叫 一次函数 ， 二次函数 ， 反比例函数 .
x
2.函数y＝kx＋b，已知kb＜0，则函数的图象经过第 一、二、四
或一、三、四 象限.
3.函数y＝2x2＋3x＋1.当x＝－1时的函数值为 0 .
北师大版数学高一(北师大)必修1教案 4.1函数与方程
4.1函数与方程4.1．1利用函数性质判定方程解的存在●三维目标1．知识与技能(1)了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(2)掌握函数零点存在的方法．(3)能结合图像求解函数零点问题．2．过程与方法通过观察二次函数图像，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．3．情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．进一步拓展了学生的视野，使他们体会到数学当中不同内容之间的内在联系．●重点难点重点：连续函数在某区间上存在零点的判定方法．难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系．通过对二次函数的图像的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数．建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展．之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数” 思想．●教学建议教材选取“探究具体的一元二次方程根与其对应二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系”作为内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原知识形成联系．教学时尽量多给学生提供探究情景，让学生自己发现并归纳结论：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标．值得注意的问题是：对于教材中给出了函数零点的判定定理，只要求学生理解并会用，而不要求学生证明．●教学流程通过实例分析：判断方程x2－x－6＝0解的存在性，引出本节课课题⇒抽象概括出函数的零点的定义，根据定义完成例1及其变式训练⇒函数图像从x轴上方到下方或从x轴下方到上方都会穿过x轴，即图像连续且有使函数值为零的点的横坐标，那么对应方程一定有解⇒导出函数零点的存在定理，并由此完成例2及其变式训练⇒根据零点存在定理，解决二次函数根的分布问题，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第63页)课标解读1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(易混点)2．掌握函数零点存在的判定方法．(重点)3．能结合图像求解零点问题．(难点)函数的零点及判定定理给定的二次函数y＝x2＋2x－3，其图像如下：1．方程x2＋2x－3＝0的根是什么？【提示】方程的根为－3,1.2．函数的图像与x 轴的交点是什么？ 【提示】 交点为(－3,0)，(1,0)． 3．方程的根与交点的横坐标有什么关系？ 【提示】 相等．4．通过观察图像，在每一个与x 轴的交点附近，两侧函数值符号有什么特点？ 【提示】 在每一点两侧函数值符号异号． 1．函数的零点(1)定义：函数y ＝f (x )的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点． (2)意义：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的解． 2．函数零点的判定定理若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )<0，则在区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )至少有一个零点，即相应的方程f (x )＝0在区间(a ，b )内至少有一个实数解.(见学生用书第63页)求函数的零点(1)f (x )＝－2x －1；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4；(3)f (x )＝3x －9；(4)f (x )＝1－log 3x .【思路探究】 求函数y ＝f (x )的零点，即求方程f (x )＝0的根．因此令f (x )＝0转化为相应的方程，根据方程是否有实数解来确定函数是否有零点．【自主解答】 (1)因为方程－2x －1＝0无实数解，所以函数f (x )＝－2x －1无零点．(2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数解，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点．(3)令3x －9＝0，则3x ＝9即3x ＝32，则x ＝2，所以函数f (x )＝3x －9的零点是2.(4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3，所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3.1．求函数y ＝f (x )的零点，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数解，则函数f (x )存在零点，该方程的实数解就是函数f (x )的零点，否则函数f (x )不存在零点．2．求函数y ＝f (x )的零点通常有两种办法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．(1)函数f (x )＝4x －16的零点为________． (2)函数f (x )＝x －4x 的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】 (1)令4x －16＝0，则4x ＝42，解得 x ＝2，所以函数的零点为x ＝2. (2)令f (x )＝0，即x －4x ＝0，∴x ＝±2，故有两个． 【答案】 (1)x ＝2 (2)C判断零点所在区间在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－14，0) B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)【思路探究】 依据“函数零点两侧函数值的符号相反”求解． 【自主解答】 ∵f (14)＝4e －2<0，f (12)＝e －1>0， ∴零点在(14，12)上．【答案】 C1．确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．2．有时，需要考察函数在区间上是否连续，若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的单调性．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(e,3)【解析】 ∵f (2)＝ln 2－1<0， f (3)＝ln 3－23>0，∴f (2)·f (3)<0.∴f (x )在(2,3)内有零点． 【答案】 B函数零点的应用当a 取何值时，方程ax 2－2x ＋1＝0一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上． 【思路探究】 分a ＝0，a >0，a <0三种情况讨论列出关于a 的不等式，最后求得结果． 【自主解答】 (1)当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． (2)当a >0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1， ∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1>0，a －2＋1<0，4a －4＋1>0，解得34<a <1.(3)当a <0时，设方程的两根为x 1，x 2， 则x 1·x 2＝1a<0，x 1，x 2一正一负不符合题意． 综上，a 的取值范围为(34，1)．解决二次方程根的分布问题应注意以下几点： 1．首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． 2．结合草图考虑三个方面： (1)Δ与0的大小；(2)对称轴与所给端点值的关系； (3)端点的函数值与零的关系． 3．写出由题意得到的不等式．4．由得到的不等式去验证图像是否符合题意，这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性．设函数f (x )＝ax ＋3a ＋1(a ≠0)在[－2,1]上存在一个零点，求实数a 的取值范围． 【解】 ∵f (x )＝ax ＋3a ＋1(a ≠0)在[－2,1]上为单调函数，且存在一个零点， ∴f (－2)·f (1)≤0，即(a ＋1)(4a ＋1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥0，4a ＋1≤0.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤0，4a ＋1≥0，∴－1≤a ≤－14.因此，实数a 的取值范围是[－1，－14].1．2 利用二分法求方程的近似解●三维目标1．知识与技能(1)理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系． (2)掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算器求方程的近似解． (3)培养学生探究问题的能力、合作交流的态度以及辩证思维的能力． 2．过程与方法(1)通过对生产、生活实例的介绍使学生体验逼近的思想和二分法的思想． (2)通过具体实例和具体的操作步骤体验算法的程序化思想． 3．情感、态度与价值观(1)通过二分法的生活实例使学生体会到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣． (2)体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．●重点难点重点：用“二分法”求方程的近似解．难点：对二分法概念的理解，对精确度的理解求方程近似解一般步骤的概括和理解．本课教学重点和难点都是结合函数的图像特征、借助计算器用二分法求方程的近似实数解，这是由本课教学的首要任务决定的．突破难点的关键：明确要求，分散难点．具体做法是：对计算器的使用要求仔细、认真；对用框图表示二分法处理问题的过程要强调清晰、可执行，准确把握终止条件.●教学建议教材以求具体方程的近似解为例介绍二分法并总结其实施步骤等，体现了从具体到一般的认知过程．教学时，要注意让学生通过具体的实例来探究、归纳、概括所发现的结论和规律，并用准确的数学语言表述出来．值得注意的是在利用二分法求方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具．●教学流程以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维⇒利用计算机演示用二分法思想解决实际问题，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法．⇒通过实例归纳出二分法的概念并完成例1及其变式训练⇒师生互动，归纳总结用二分法求函数的零点近似值的步骤⇒用二分法求方程的近似解，完成例2及其变式训练⇒利用二分法解决实际问题中的应用，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第65页)课标解读1.根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．(重点)2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法．(难点)二分法【问题导思】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)：1．维修线路的工人师傅怎样工作最合理？【提示】首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC中点D，再测CD和BD.2．在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障．【提示】能．1．二分法对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．2．用二分法求方程的近似解的过程在图中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.(见学生用书第66页)二分法的理解下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()【思路探究】解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．【自主解答】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.【答案】 B若函数y＝f(x)同时满足下列三个条件：1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续曲线；2．函数f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点；3．f(a)·f(b)<0.则用二分法一定能够求出函数y＝f(x)的零点．下列函数中能用二分法求零点的是()【解析】选项A中，函数无零点，选项B、D不符合用二分法求函数的零点的条件，不能用二分法求零点，选项C可用二分法求函数的零点．【答案】 C用二分法求方程的近似解－【思路探究】先构造函数f(x)＝lg x－2－x＋1，确定一个恰当的区间作为计算的初始区间，再利用二分法求出方程的一个实数解．【自主解答】令f(x)＝lg x－2－x＋1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点．又因为f(1)＝0.5＞0，f(0.1)≈－0.933 032 991＜0，所以方程在[0.1,1]内有唯一的一个实数解．使用二分法求解，如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次0.1－0.933 032 99110.50.9第2次0.1－0.933 032 9910.550.057 342 5610.45第3次0.325－0.286 415 0250.550.057 342 5610.225第4次0.437 5－0.097 435 0150.550.057 342 5610.1125第5次0.493 75－0.016 669 3240.550.057 342 5610.056 25一区间的任意一个数作为方程lg x－2－x＋1＝0的近似解．例如选取0.5作为方程lg x－2－x ＋1＝0的近似解．用二分法求函数零点(方程实数解)的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；其次，要依据题目给定的精度，及时检验计算所得到的区间是否满足这一精度，以决定是否停止计算．求方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个实数解．(精度为0.1)【解】记f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．利用二分法得到方程x3－x－1＝0有解区间的表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次1－1 1.50.8750.5第2次 1.25－0.296 875 1.50.8750.25第3次 1.25－0.296 875 1.3750.224 609 3750.125第4次 1.312 5－0.051 513 671 1.3750.224 609 3750.062 5以选取这一区间内的任意一个数作为方程x3－x－1＝0的一个近似解．例如，选取1.33作为方程x3－x－1＝0的一个近似解．二分法的实际应用长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．图4－1－1(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确度为0.1)【思路探究】先求出体积y关于x的函数，再用二分法求近似解．【自主解答】(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y＝(15－2x)2x，其定义域为{x|0<x<7.5}；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2x＝150.令f(x)＝(15－2x)2x－150，函数图像如图所示．由图像可以看到，函数f(x)分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个零点，即方程(15－2x)2x ＝150分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个解．下面用二分法求方程在[0,1]上的近似解．如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次0－150119 1第2次0.5－521190.5 第3次0.75－13.311190.25第4次0.75－13.310.875 3.620.125第5次0.812 5－4.650.875 3.620.062 5取这一区间内的任意一个数作为方程的一个近似解，例如选取x0＝0.82作为方程的近似解．同理可得方程在区间(4,5)内精确度为0.1的近似解为4.72.答：如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.82 cm 或4.72 cm.二分法在实际生活中经常用到．如在平时的线路故障、气管故障等检查中，可以利用二分法较快地得到结果．还可用于实验设计、资料查询等方面．在用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面：一是转化为方程的根或函数的零点；二是逐步缩小范围，逼近问题的解．电视台有一档节目是这样的：主持人让选手在限定时间内猜某一物品的售价，如果猜中，就把物品奖给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了．紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的感觉，实际上，游戏报价过程体现了“逐步逼近”的思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？【解】取价格区间[500,1 000]的中间值750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中间值875，否则取另一个区间[500,750]的中间值；若遇到中间值为小数，则取整数部分，按照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，大约经过6次可以猜中价格。
北师大版高中高一数学必修1《函数与方程》说课稿
北师大版高中高一数学必修1《函数与方程》说课稿一、教材内容概述《函数与方程》是北师大版高中高一数学必修1教材中的一部分。
本章主要介绍了函数与方程的相关概念、性质和解法。
通过学习本章内容，学生将掌握函数的定义与性质，能够应用函数解决实际问题，并能够熟练解一元一次方程和一元二次方程。
二、教学目标1.掌握函数的定义与性质，包括定义域、值域、奇偶性等概念；2.学会绘制函数的图像，理解函数的概念和特点；3.能够应用函数解决实际问题，如函数的增减性和极值问题等；4.掌握一元一次方程和一元二次方程的解法，能够灵活运用于各类问题。
三、教学重难点1.函数的定义与性质，特别是对于奇偶函数的判断；2.函数的图像绘制方法，掌握如何根据函数的特点确定形状；3.解一元一次方程和一元二次方程的方法，培养学生的解题思维和灵活运用能力。
四、教学过程本章分为四个部分，按照以下步骤进行教学：第一节函数的概念与性质1.引入函数的概念，通过对函数的实例进行分析，让学生理解函数的含义和作用。
2.讲解函数的定义，并引导学生去寻找其他函数的例子。
3.针对函数的性质，重点讲解定义域、值域、奇偶性等概念，给出相关的例题进行练习。
第二节函数的图像1.通过绘制函数的图像，让学生直观地理解函数的变化规律和特点。
2.先从简单的线性函数图像开始，逐渐引入更复杂的函数图像。
3.讲解函数图像的平移、伸缩和翻转等变换，让学生掌握如何通过变换来绘制函数的图像。
第三节函数的应用1.引入函数在实际问题中的应用，如利润函数、速度函数等。
2.通过具体的例题，让学生学会如何利用函数解决实际问题。
3.强调函数的增减性及极值问题的求解方法，培养学生的问题解决能力。
第四节方程的解法1.介绍一元一次方程和一元二次方程的定义和基本解法。
2.分别讲解一元一次方程和一元二次方程的解方过程，并通过例题进行练习。
3.引导学生将方程解法应用于实际问题，提高解题的技巧和应用能力。
五、教学方法1.导入法：通过引入实际问题或生活场景，激发学生对函数和方程的兴趣。
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函数与方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。
类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72 D ．－7答案：C类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9 D ．a >0或a <0答案：A类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －2＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________． 答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． 答案：12类型四 二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B 中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解． 答案：B练习1：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在这个区间上( )A ．只有一个变号零点B ．有一个不变号零点C ．至少有一个变号零点D ．不一定有零点 答案：C练习2：用二分法求函数f (x )＝x 3－2的零点时，初始区间可选为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案：B类型五 用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)． 答案：－0.7.练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)答案: C4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：0.1)为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5答案:C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12答案： C3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案： A4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的 答案： A5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6答案： C能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46答案： (7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效． 答案： ②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤02 x >0，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.课程顾问签字： 教学主管签字：。