2018届高考命题研究专家模拟卷(数学理)

2018届高考命题研究专家模拟卷
数 学
本试卷分必考和选考两部分．满分150分，考试时间120分钟．
必考部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}{}2230,,A x R x x B x x a A B =∈--≤=>⋂=∅，则实数a 的取值范围是
A ．[3，+∞)
B ．(3，+∞)
C ．[－1，+∞)
D ．(－l ，+∞)
2．已知复数z 满足()()211i z i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．已知正项等比数列{}n a 满足4264,10a a a =+=，则公比q =
A
B
C ．12
D ．122
或 4．某公司从编号依次为001，002，…，500的500个员工中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个编号分别为006，031，则样本中最大的编号为
A ．480
B ．481
C ．482
D ．483
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．20
B ．24
C ．26
D ．
30
6．执行如图所示的程序框图，若输出的x =127，则输入x 的值为
A ．11
B ．13
C ．15
D ．17
7.2017年春节联欢晚会上五位中国书法家沈鹏、李铎、张海、苏士澍、孙伯翔书写了祝寿福、富裕福、健康安宁福、亲人福、向善福，若将这五个福排成一排，其中健康安宁福、亲人福不排两端，则不同的排法种数为
A.33
B.36
C.40
D.48
8．已知实数,x y 满足不等式组10717046970x y x y z x y x y -+≥⎧⎪+-≤=-⎨⎪--≥⎩
，则的最小值为
A ．33-
B ．10-
C ．8-
D ．10
9．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，且对任意的x R ∈，都有()4f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，若函数()()()cos 108g x A x A g πωϕ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭
，则的值为 A ．A+1
B ．A －1
C ．－A －1
D ．1-
10．已知,l m αβ⋂=是平面α内的任意直线，在平面β内总存在一条直线n ，使下列命题一定正确的是
A ．m 与n 相交
B ．m 与n 平行
C ．m 与n 垂直
D ．l 与m ，n 都异面
11．已知函数()1f x x =+与曲线ln y a x =相切，且()()
,1=a n n n N n *∈+∈，则 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 12．已知双曲线2
2:13
y C x -=，过点()0,4P 的直线l 交双曲线C 于M ，N 两点，交x 轴于点Q(点Q 与双曲线C 的顶点不重合)，当()1212,0PQ QM QN λλλλ==≠，且12327λλ+=-
，点Q 的坐标为 A ．4,03⎛⎫± ⎪⎝⎭ B ．4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,03⎛⎫± ⎪⎝⎭ D ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．中学联盟提供
13．已知()1113=3==339
OA OB AOB OC OA OB π=-∠+，，，，，则OB OC ⋅=_____. 14．已知圆22:2410C x y x y +--+=与直线:10l x a y ++=相交所得弦AB 的长为4，则a =____________．
15．已知数列{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足31315n n n a b b b ++=-=，且，b 4=24，则数列{}n b 的通项公式n b =__________．
16．已知函数()2,0=2,x x x a f x x a
⎧≤<⎪⎨≥⎪⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个不同的零点，则a 的取值范围是___________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
已知函数()2sin cos f x x x x =+．
(1)当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；
(2)已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若4,522A f a b c ABC ⎛⎫==+=∆ ⎪⎝⎭
，求的面积．
为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进
行文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该
课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按
照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分成5组，绘制的频率分布
直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为
“理科意向”学生．
(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99％的把握认为是否为“文科意向”与性别有关?
(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科意向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望()E ξ和方差()D ξ.
参考公式：()()()()()2
2=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++. 参考临界值：
如图，在几何体ABCDPE 中，四边形ABCD 为直角梯形，,//,AB AD AB CD APD APB ⊥∆∆与是边长为2的等边三角形，4,//1AD PE AB PE F DC ==且，为上一点，DF FC λ=．
(1)当λ为何值时，AF ⊥平面PBD?
(2)在(1)的条件下，求平面BEC 与平面AFE 所成锐二面角的余弦值．
已知函数()()()()=1,1x f x ax e g x ax a R +=-∈，函数()()()f x F x g x =
． (1)若12
a =-时，解不等式()1F x ≥-； (2)当0a <时，求函数()F x 的单调区间．
21．(本小题满分12分)山东省中学联盟提供
已知抛物线()2
20y px p =>的准线经过椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的左焦点1F ，且椭圆短轴的一个端点与两焦点构成一个直角三角形，()4,0A -为椭圆的左顶点.
(1)求抛物线和椭圆的标准方程；
(2)设P 为椭圆上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，直线2MF （2F 为椭圆的右焦点）交抛物线于
C 、
D 两点，过2F 作2MF 的垂线，交y 轴于点N ，直线AN 交椭圆于另一点Q ，直线2NF 交抛物线于G 、H 两点.
（i ）求证：11CD GH
+为定值； （ii ）求APQ ∆的面积的最大值.
选考部分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为为参数244x t
y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），若以O 为极点，x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为()cos 2sin 400ρθρθρ++=≥．
(1)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
(2)若A 是曲线1C 上的任意一点，B 是曲线2C 上的任意一点，求线段AB 的最小值．
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数()121f x x x =--+．
(1)若不等式()4f x <的解集为{}
x a x b <<，求,a b 的值；
(2)求使不等式()()2f x k f x ≤--有解的实数k 的取值范围．。