川大离散数学习题6
离散数学-第六章习题答案
第6章习题答案1．列举出从X到Y的关系S的各元素（1）X={0，1，2}，Y={0，2，4}，S={<x，y>|x+y∈X⋂Y}（2）X={1，2，3，4，5}，Y={1，2，3}，S={<x，y>|x=y2，x∈X，y∈Y}解：（1）S={<0，0>，<0，2>，<2，0>}（2）S={<1，1>，<4，2>}2．设P={<1，2>，<2，4>，<3，3>}Q={<1，3>，<2，4>，<4，2>}求dom（P），ran（P），并证明：dom（P⋃Q）=dom（P）⋃dom（Q）解：dom（P）={1，2，3}ran（P）={2，3，4}证明：对于任意xx∈dom（P⋃Q）⇔∃y（<x，y>∈P⋃Q）⇔∃y（<x，y>∈P∨<x，y>∈Q）⇔∃y（<x，y>∈P）∨∃y（<x，y>∈Q）⇔ x∈dom（P）∨x∈dom（Q）⇔ x∈dom（P）⋃dom（Q）所以，dom（P⋃Q）=dom（P）⋃dom（Q）3．若关系R和S自反的，对称的和传递的，证明：R⋂S也是自反的，对称的和传递的。
证明：设R和S是集合A上的关系。
因为R和S是自反的，所以，对于A中的任意元素x，有<x，x>∈R和<x，x>∈S。
因此<x，x>∈R⋂S，即R⋂S是自反的。
因为R和S是对称的，所以对于任意<x，y>，<x，y>∈R⋂S⇔<x，y>∈R∧<x，y>∈S⇔<y，x>∈R∧<y，x>∈S⇔<y，x>∈R⋂S因此，R⋂S是对称的。
因为R和S是传递的，所以对于任意<x，y>和<y，z><x，y>∈R⋂S ∧<y，z>∈ R⋂S⇔<x，y>∈R∧<x，y>∈S∧<y，z>∈ R∧<y，z>∈ S⇔（<x，y>∈R∧<y，z>∈ R）∧（<x，y>∈S ∧<y，z>∈ S）⇔<x，z>∈R∧<x，z>∈ S⇔<x，z>∈R⋂S因此，R⋂S是传递的。
四川大学出版编的离散数学课后习题答案
2、不， 不， 能 习题 1.4
1、 (3) P ( R (Q P)) ~ P ( R (~ Q P)) (~ P R) (T ) ~ P R (~ P R (~ Q Q)) (~ P R ~ Q) (~ P R Q)
习题参考解答
习题 1.1 1、 （3）P：银行利率降低 Q：股价没有上升 P∧Q （5） P：他今天乘火车去了北京 Q：他随旅行团去了九寨沟
PQ
（7） P：不识庐山真面目 Q：身在此山中 Q→P，或 ～P→～Q （9） P：一个整数能被 6 整除 Q：一个整数能被 3 整除 R：一个整数能被 2 整除 T：一个整数的各位数字之和能被 3 整除 P→Q∧R 2、 （1）T （6）T 习题 1（3）
P ( Q R ) P ( Q R ) ( P Q ) ( P R ) ( P Q ) ( P R)
，Q→T （3）F （8）悖论 （4）T （5）F
（2）F （7）F
1.3
1
（4）
( P Q) (Q R) ( R P) (( P R) Q) ( R P) (( P R) ( R P)) (Q ( R P)) ( P R) ( P R) (Q R) (Q P) 右
2.(1) T 3.(1) F 4. 习题
D : 实数
(2) T
P ( x, y ) : y e x , Q( y ) : y 0
2.3
1.（1） xyPx Q y
8
xy~ Px Q y xy ~ Px yQ y
2.(1) P 0 P 1 P 2 R0 R1 Q2 (2) P 0 Q0 P 1 Q1 P 2 Q2 4.(1)
离散数学考试题及详细参考答案
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城，除非下雨。
c)仅当你走，我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
川大离散数学习题
川大离散数学习题习题 51. 设A={(a,b)|a,b∈N}.定义A上的一个二元关系R={（（a,b ）,(c,d)）|ad=bc},证明:R 是A 上的等价关系. 证：(){}+∈=N b a b a A ,|,Θ，R={（（a,b ）,(c,d)）|ad=bc} ①自反性：由A 的定义，N b a baab ∈=,()()()R b a b a ∈∴,,,②对称性设()()()R d c b a ∈,,,，则bc ad = 即 ()()()R b a d c dacb ∈∴=,,,③传递性设()()()R d c b a ∈1111,,，则1111c b d a =()()()R d c d c ∈2211,,，则2121c d d c =2121211211211c b d a c d b d c b d d a =?==?()()()R d c b a ∈∴2211,,,2. 定义复数集合的子集合C 1={a+bi|i 2=-1,a 、b ∈R,a ≠0}，在C 1上定义关系S 为：(a+bi)S(c+di)?ac>0。
证明：S 是C 1上的一个等价关系，并给出S 的等价类的几何说明。
证明:因为(a+b i )S(c+d i )?ac>0(a,b ∈R,a ≠0,c ≠0)r:?a ≠0,a2>0?(a+b i )S(a+b i )s:(a+b i )S(c+d i )?ac>0?ca>0?(c+d i )S(a+b i ) t:(a+b i )S(c+d i )∧(c+d i )S(u+v i )?ac>0∧cu>0au>0?(a+b i )S(u+v i ) 综上，S 是C 1上的一个等价关系。
由于ac>0，必须a ≠0,c ≠0且a 和c 同号，故S 只有2个等价类，其一是[1]={a+bi|a>0}，另一个是[-1]={a+bi|a<0}，它们分别对应于复平面上右半部和左半部。
四川大学离散期末考试题附标准答案
四川大学离散期末考试题附标准答案本文档记录了四川大学离散数学期末考试相关的题目，并提供了每个问题的标准答案。
离散数学作为一门重要的数学基础课程，为计算机科学、信息技术以及其他相关学科提供了重要的理论支持。
通过解析这些题目和答案，可以加深对离散数学的理解，提升解题能力。
1. 题目1问题：设A、B、C三个集合满足：A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={4,5,6,7,8}。
求(A∪B)∩C。
答案：集合A∪B表示将集合A和集合B中的元素合并，去重得到的结果集合。
∩表示求两个集合的交集。
因此，(A∪B)∩C表示先将集合A和集合B合并去重，然后再和集合C求交集。
具体操作如下： 1. 将集合A和集合B的元素合并：A∪B = {1,2,3,4,5,6,7}。
2. 将(A∪B)与集合C求交集：(A∪B)∩C = {4,5}。
所以，(A∪B)∩C = {4,5}。
2. 题目2问题：对于一个图G=(V, E)，其中V={a, b, c, d, e}表示节点集合，E表示边集合。
给定边集E = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, e), (e, a)}，请问该图是否是欧拉图？答案：欧拉图是指一类特殊的连通图，可以经过每条边且每条边只经过一次的路径称为欧拉路径。
具有欧拉路径的图称为欧拉图或半欧拉图。
欧拉图有以下两个性质： - 每个顶点的度数都是偶数，或者只有两个顶点的度数是奇数，其余顶点的度数都是偶数。
- 图是连通的。
对于给定的图G=(V, E)，需要满足以上两个性质才能判断该图是否是欧拉图。
具体操作如下： 1. 统计每个顶点的度数： - a的度数为2 -b的度数为2 - c的度数为2 - d的度数为2 - e的度数为2由此可知，每个顶点的度数都是偶数，满足欧拉图的第一个性质。
2. 判断图是否是连通的：通过观察边集E = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, e), (e, a)}，可以看出这个图是一个环，即从任意一个顶点出发，可以经过每条边且每条边只经过一次返回原点。
四川大学离散数学（冯伟森版）课后习题答案习题参考解答（图论部分）
四川大学离散数学（冯伟森版）课后习题答案习题参考解答（图论部分）习题十1. 设G 是一个(n ，m)简单图。
证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。
证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。
根据握手定理，G 图边的上限为max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。
（2） =〉G 是完全图因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。
G 是完全图 =〉因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数。
■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。
与题设m = n+1，矛盾。
因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）；（2）（6，3，3，2，2）（3）（4，4，2，2，4）；（4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1) v 1v 5v 3v 4v 2将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
离散数学练习题及答案6
离散数学练习题及答案6离散数学是一门研究离散结构及其运算规律的数学学科，它在计算机科学、信息科学、电子工程等领域有着广泛的应用。
在学习离散数学的过程中，练习题是不可或缺的一部分。
通过解答练习题，我们可以巩固所学的知识，提高问题解决能力。
本文将为大家提供一些离散数学练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 集合与命题逻辑(1) 设集合A={1,2,3,4,5}，集合B={3,4,5,6,7}，求A与B的交集、并集和差集。
答案：A与B的交集为{3,4,5}，并集为{1,2,3,4,5,6,7}，A与B的差集为{1,2}。
(2) 已知命题p："我喜欢数学"，命题q："我喜欢编程"，求命题“我既不喜欢数学也不喜欢编程”的否定。
答案：命题“我既不喜欢数学也不喜欢编程”的否定为“我喜欢数学或者喜欢编程”。
2. 关系与函数(1) 设A={1,2,3,4}，B={a,b,c,d}，关系R={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)}，判断关系R是否为A到B的函数。
答案：关系R是A到B的函数，因为每个元素在关系R中只有一个对应的值。
(2) 设函数f(x)=2x+1，求f(3)的值。
答案：将x=3代入函数f(x)=2x+1，得到f(3)=2*3+1=7。
3. 图论(1) 给定一个无向图G，顶点集合V={A,B,C,D,E}，边集合E={(A,B),(A,C),(B,D),(C,D),(D,E)}，求图G的邻接矩阵。
答案：邻接矩阵为：A B C D EA 0 1 1 0 0B 1 0 0 1 0C 1 0 0 1 0D 0 1 1 0 1E 0 0 0 1 0(2) 给定一个有向图G，顶点集合V={A,B,C,D,E}，边集合E={(A,B),(A,C),(B,D),(C,D),(D,E)}，求图G的出度和入度。
答案：图G的出度为：A的出度为2，B的出度为1，C的出度为1，D的出度为2，E的出度为0；图G的入度为：A的入度为0，B的入度为1，C的入度为1，D的入度为2，E的入度为1。
《离散数学》复习练习题带答案(六)
离散数学试题带答案四、证明题1. 设<G ，*>是群，具有幺元e ，如果对G 的任意元素a ，都有 a²=e, 则<G ，*>是交换群2. 形式证明q s p r s r q p ⇒∧⌝→∨→,,3. 证明：P →(Q →R)⇔P ∧Q →R.4．试证明：R S Q P S R Q P →⇒∧∨⌝∧→→)())(( 5．试证明：Q R R Q Q P ⌝⇒⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝)()( 6. 证明：)()(x xB x xA ∀→∃⇒))()((x B x A x →∀7．设G 是图，无回路，但若外加任意一条边于G 后，就形成一回路. 试证明G 必为树. 8. 设B 是任意集合，试验证(P(B),⊕)是群. P(B)是集合B 的幂集，⊕是集合的对称差运算， 9．给定代数系统(G,+,*), 二元运算见表一，表二.表一 表二证明(G ,+,*)是域.10. 证明如果非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，则S R ⋂也是A 上的偏序关系． 11．试证A －(B －C)＝(A －B)⋃(A ⋂C)12．设非空集合A ，验证(A A P ,~,,,),(∅⋂⋃)是布尔代数，13. 试证明属于关系不满足传递性，即对于任意的集合A,B,C 若A ∈B 且B ∈C 不一定有 A ∈C14．设 A,B 为两个集合，证明 A —B=A 当且仅当A ∩B= ø15. 设R,S 都是非空集合A 上的二元关系，且他们是对称的，证明：RoS 具有对称性当且仅当 RoS=SoR.16. 已知g ：A->B,f ：B->C1） 已知fog 是单射的且g 是满射的，证明f 是单射的 2） 已知fog 是满射的且f 是单射的，证明g 是满射的 17．设A 是传递集，证明A+也是传递集。
18．设G 是n 阶无向简单图，其直径为d(G)=2, ο(G)=n-2，证明G 的边数m ≥2n-4 19．V=<S,*>是可交换半群,若a,b ∈S 是V 中得幂等元，证明a*b 也是V 中的幂等元20．设 L 是格，证明对于任意a,b,c,d ∈L 有：( a ∧b)∨(c ∧d)≤(a ∨c)∧(b ∨d)五、计算题1. 无向树T 有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，其他的都是树叶，问T 中有多少片树叶？2. 设公式()()x Q x P → ，其中P(x)：x>2，Q(x)：x=0，F 是永假式，个体域是{1，2}，求公式A(x)的真值 3. 设集合X={1，2，3, 4}，X 中的关系为F={<1，1>，<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，2>，<3，3>，<4，1>，<4，4>} 写出F 的关系矩阵及其关系图，F 有哪些性质？4. (1) n(n ≥1)阶无向完全图与有向完全图各有多少条边?为什么？ (2)完全二部图K m n ,中共有多少条边?为什么？(3) 每个顶点的度都为k 的无向图称为k 正则图，问：n 阶k 正则图中共有多少条边?为什么？5. 设集合L={a ，b}，在L 中规定 + 和·如下：a+a=a ，a+b=b+a=b ，b+b=b a ·a=a ，a ·b=b ·a=a ，b ·b=b问<L ，+，·>能构成代数系统吗？若可以，写出该代数系统的运算表。
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习题61.设A={1，2，3，4}，B=A×A。
确定下述集合是否为A到B的全函数或部分函数。
(1) {(1,(2,3)),(2,(2,2)),(3,(1,3)),(4,(4,3))}.(2) {(1,(1,2)),(1,(2,3)),(3,(2,4))}.(3){(1,(3,3)),(2,(3,3)),(3,(2,1)),(4,(4,1))}.解：（1）、全函数（2）、不符合单值（3）、全函数要点：根据全函数定义，X中每个元素x都在Y中有唯一元素y 与之对应。
2.判别以下关系中那些是全函数。
(1){(n1,n2)|n1,n2∈N,0<2n1-n2<5}。
(2){(n1,n2)|n1,n2∈N,n2是n1的正因子个数}。
(3){(S1,S2)|S1,S2⊆{a,b,c,d}且S1 S2=Ø}。
(4){(a,b)|a,b∈N,gcd(a,b)=3}.(5){(x,y)|x,y∈Z,y=x2}.解：(1) {(n1,n2)|n1, n2∈N, 0<2 n1-n2<5}不是函数，n1=0时无定义，且(3,4),(3,5)在其中。
(2) {(n1,n2)|n1, n2∈N, n2是n1的正因子个数}部分函数，n1=0时无定义(3) {(S1,S2)|S1, S2⊆{a,b,c,d}且 S1⋂ S2= ∅}不是函数，因为({a},{b}) ,({a},{c})均在其中。
(4) {(a, b)|a, b ∈N, gcd(a,b)=3}不是函数，因为(3, 3) ,(3, 6), (3, 9)均在其中。
(5) {(x, y)|x, y ∈Z, y=x2}全函数3.在§3.1中已经定义了集合的特征函数。
请利用集合A和B的特征函数χA（x）和χB（x）表示出A B，A B，A-B，A以及A○+B对应的特征函数。
解：（略）4.试确定在含n个元素的集合上可以定义多少个二元关系，其中有多少个是全函数。
解: 可以定义n n个二元关系，n！个全函数5.设，证明：。
证明：b∈f(A)-f(C)⇒b∈f(A)∧ b∉f(C)⇒(∃x)[x∈A ∧ x∉C ∧ f(x)=b]⇒(∃x)[x∈A-C ∧ f(x)=b]⇒b∈f(A-C)所以f(A)-f(C)⊆f(A-C)7.设f：X→Y，A和B是X的子集。
证明，()()(),()()()⋃=⋃⋂⊆⋂f A B f A f B f A B f A f B证明：（1）y∈f(A∪B)⇒(∀x)[x∈(A∪B)∧f(x)=y]⇒(∀x)[x∈A ∧ f(x)=y]∪(∀x)[x∈∪B ∧ f(x)=y]⇒y∈f(A)∪y∈f(B)∴f(A∪B)=f(A)∪f(B)（2）y∈f(A∩B)⇒(∀x)[x∈(A∩B)∧f(x)=y]⇒(∃x)[x∈A∧f(x)=y]∩(∃x)[x∈B∧f(x)=y]⇒y∈f(A)∩y∈f(B)∴f(A∩B)⊆f(A)∩f(B)8.确定下例映射是否单射、满射或双射：（1）f1:N→R,f1(n)=ln n.（2）f2:N→N,f2(n)为不超过n的素数数目。
（3）f3:N⨯N→N,f3(n,n)=(n+1).（4）f4:R→R,f4(x)=x2+2x-15.（5）f5:Z→Z,f5(x)=1+2x3.（6）A是集合，f6:2A⨯2A→2A⨯2A,f6(x,y)=(x y,x y).（7）f7:R⨯R→R,f7(x,y)=x+y. F8:R⨯R→R,f8(x,y)=xy.解：(1)单射(2)满射，非单。
如f(5)=f(6)=3(3)非单,非满。
f(0,1)=f(1,0)=1,且f(x,y)=0无解。
(4)非单,非满。
(5)单,非满。
如： 1+2x3=5无解。
(6)非单: ({a}⋃{b}, {a}⋂{b}) = ({a,b}⋃∅, {a,b}⋂∅)非满: (x ⋃ y,x ⋂ y)=({a}, {a,b})无解。
(7) f7: 非单,满，如： f(1,3)=f(2,2)f8: 非单,满，如： f(1,3)=f(3,1)9.设X是有限集合，f：X→X。
证明：(1)如果f是单射时，f必是双射。
(2)如果f是满射时，f必是双射。
证明：(1).当f是单射时，根据单射定义，对所有任意t,s∈X,当t≠s时f(t)≠f(s),则f(x)中的元素个数与X中的元素个数相同；又∵f:X→X，所以，f(x)是一个满射∴f必是双射。
(2)当f是满射时，根据满射定义及f的定义，对所有y∈X，都存在x∈X，使f(x)=y，再根据函数的单值性，对所有t,s∈X,当t≠s时，f(t)≠f(s)。
∴f必是双射。
10. 设f是有限集X上的一个函数，满足∀x∈X，f2（x）=x。
证明：f 是双射。
证明：设x,y 是有限集X 上的2个元素，如果f(x)=f(y),则x= f 2(x)= f 2(y)= y ，说明是单射，由上题结果知f 是双射。
11.设f:A →B ，g ：B →2A ，满足∀b ∈B ，g （b ）={x ∈A|f(x)=b}.证明：当f 为满射时g 为单射。
问g 为单射时，f 是否必是满射？ 证：1）对任意b 1、b 2∈B ，且b 1≠b 2。
∵f(x)是满射∴1122,12a a A f(a )b ,f(a )b ∃∈==、使得)b (g a ),b (g a )b (g a ),b (g a )x (g 12212211∉∉∈∈，且的定义，由 12211221 )b (g a ),b (g a b )f(a ,b )f(a ==∈∈，有否则，如为单射即与函数的定义相矛盾，g(x)), g(b )g(b 21≠∴。
不一定是满射并不能保证为单射时，对）而)x (f ,)b (g ,B b )(2∴≠∈∀φx g12. 设A 和B 都是有限集合，试确定A 到B 有多少个单射？多少个满射？多少个双射？ 解：设A 、B 中元素个数分别为：m 、n,则单射个数为：n(n-1)(n-2)…(n-m) 满射个数为：n m,双射个数为：n!或m!13.设有函数f，g，h：R→R，这里f(x)=2x，g(x)=x2+x-1，h(x)=x-2。
写出f g，g f h，h h g。
解：f g=f(g(x)) =2x2+2x-2g f h= (g(f(h(x))) = 4(x-2)2+2(x-2)-1h h g= (h(h(g(x))) = x2+x-514. 设f，g，h都是集合A上的函数。
如果f=g，是否必有h f=h g 或f h=g h？解：（1）∵f=g，则对于所有x∈A，都有f(x)=g(x),所以，对于所有的x∈A，h(f(x))=h(g(x)),f(h(x))=g(h(x))即h。
f=h。
g（2）∵h。
f=h。
g则，h(f(x))=h(g(x)),当对于A中任意两个不同的元素x,y都有h(x)≠h(y)时，f=g；当A中存在两个不同的元素x,y有h(x)=h(y)，即对于同一个元素z,当f(z)=x ,g(z)=y，则有h(f(z))=h(g(z))，而此种情况下f≠g综上，当h。
f=h。
g时，f不一定等于g15. 设f，g是实数集R上的函数，其中f(x)=x2+2，g(x)=2x-1。
确定f g和g f是否满射、单射或双射？解：f。
g=(2x-1)2 +2,函数图形为以x=1/2为对称轴的一个抛物线，由题，f,g都是实数上的函数，则f。
g不是单射，不是满射，也不是双射；g。
f=2(x2+2)-1=2x2+3,函数图形为以Y坐标为对称轴的抛物线，f(x)=f(-x)，所以，g。
f不是单射，不是满射，也不是双射。
16.设f和g都是函数。
证明：(1) 当g f为单射时，f必为单射；(2) 当g f为满射时，g必为满射；(3) 当g f为双射时，g为满射，f为单射。
证明：设f: A→B, g: B→C。
（1）（反证法）设f不是单射，存在x1≠x2∈A,且f(x1)=f(x2)，即：g f(x1)= g(f(x1))= g(f(x2))= g f(x2),与g f为单射矛盾。
因此，f必为单射。
（2）对于任意z∈C，由于g f为满射，那么存在x∈A使得g f(x)=z，因此存在y=f(x)∈B,使得z=g(y)，因此g是满射。
（3）由（1）、（2）可得证。
17. 设A={1，2，3，4}。
π =π2，π2 π=π3，（1）找出一个A上的非单位置换的置换π，计算π以及π-1。
（2）若A上置换π满足π π=（1），称π为幂幺置换，求出A上的全部幂幺置换。
解：(提示，按照定义求解即可)（1）任定义π为：(2,1,3,4)（2）（略）18. 计算有限集合X可以定义出多少个函数f，使得f=f-1。
解：（略）19.证明下列集合A 和B 等势。
1) A=(0,1),B=(-2,2). 2) A=(-∞,+∞),B=(0,+∞).3) A=(0,1),B=(41，21).4) A=N, B= {(m, n) |m 、n ∈N ∧ m ≤n}. 证明：（思路：想办法构造一个双射函数即可） （1）f(x)=2tan(-x 2π4π) (2）（略）(3)f(x)=)63sin(21ππ+x(4)(略)20.设A ～B ，C ～D 。
证明：A ⨯C ～B ⨯D 。
证明：（略）21.证明：非空有限集A 与可数集B 的笛卡尔积A ⨯B 也是可数集。
证明：非空有限集A 与可数集B 的笛卡尔积A ×B 也是可数集。
证明：设A={a 1,a 2,…,a n ｝ B={b 1,b 2,…,b n ,…}令B i ={(a i ,b 1),(a i ,b 2),…,(a i ,b n ),…} (i≤n),则A ×B= , 因为B 为可数集，所以B i 为可数集。
A ×B 为有限个可数集的并集。
下面用归纳法证明有限个(m 个)可数集的并集为可数集。
1kii B =设C m ={c m1,c m2, …,c mn , …} 当m=2时，构造双射f:N →C 1∪C 2,N 1 2 3 4 5 6 … n -1 n … f(N) c 11 c 21 c 12 c 22 c 13 c 23 … c 1(n/2) c 2(n/2) … 所以2个可数集的并集为可数集。
假设m=k-1(k ≥3)时结论成立，即k-1个可数集的并集为可数集，记为D 。
则m=k 时，可以构造类似的双射g:N →D ∪C k ,所以为可数集。
因而有限个可数集的并集为可数集。
所以A ×B 是可数集。
补充：1. 设A 和B是两个有限集合，它们的元数都是n ，则B A →:σ是单射的充分必要条件是σ为满射证 必要性，当σ是单射时，)(A σ的元数是n ，而B B A ,)(⊆σ的元数也是n ，故B A =)(σ，因此B A →:σ是满射。