二次函数中等腰三角形专题
二次函数中的等腰三角形问题
二次函数中的等腰三角形问题式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2ba ，244acb a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形的腰与它的高的关系直接的关系是：腰大于高。
间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
考点3 相似三角形的性质1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。
2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3.相似三角形周长的比等于相似比。
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项7.c/d=a/b 等同于ad=bc.8.不必是在同一平面内的三角形里（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.（3）相似三角形周长的比等于相似比三、例题精析【例题1】如图，抛物线y＝-x2+x-4与x轴相交于点Ａ、Ｂ，与y轴相交于点Ｃ，抛物线的对称轴与x轴相交于点Ｍ。
专题06 二次函数专题：等腰直角三角形问题(学生版)
专题06二次函数与等腰直角三角形问题二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。
等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。
在Rt△ACB和Rt△BEF中，若∠A=∠EBF，则△ACB∽BFE，则AC BF=AB BE=BC EF;若Rt△ACB和Rt△BEF是等腰直角三角形，则AC BF=AB BE=BC EF=1.【例1】（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【例3】（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B （0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．1．（2022•石狮市模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，点P为该抛物线在第一象限内的点．当点P为该抛物线顶点时，△ABP为等腰直角三角形．（1）求该抛物线的解析式；（2）过点P作PD⊥x轴于点E，交△ABP的外接圆于点D，求点D的纵坐标；（3）直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，求的值．2．（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．3．（2022•碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．4．（2021秋•福清市期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），且顶点在y轴上．（1）求抛物线解析式；（2）直线y＝kx+c与抛物线交于A，B两点．①点P在抛物线上，当k＝0，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；②设直线y＝kx+c交x轴于点M（m，0），线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c＝1，m＞6时，求点N 纵坐标n的取值范围．5．（2022•集美区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线T：y＝a（x+4）（x﹣m）与x轴交于A，B两点，m ＞﹣3，点B在点A的右侧，抛物线T的顶点为记为P．（1）求点A和点B的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若a＝m+3，且△ABP为等腰直角三角形，求抛物线T的解析式；（3）将抛物线T进行平移得到抛物线T'，抛物线T'与x轴交于点B，C（4，0），抛物线T'的顶点记为Q．若0＜a＜，且点C在点B的右侧，是否存在直线AP与CQ垂直的情形？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．6．（2022•城厢区模拟）抛物线y2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（不与点O重合）．（1）若点A在x轴的负半轴上，且△OBC为等腰直角三角形．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在一点D，使得点O为△BCD的外心，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．（2）点P在抛物线对称轴上，且点P的纵坐标为﹣9，将直线PC向下平移n（1≤n≤4）个单位长度得到直线P′C′，若直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，求△ABC面积的取值范围．7．（2022•将乐县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣有唯一的公共点A，与直线y＝交于点B，C（C 在B的右侧），且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y＝2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧．（ⅰ）求P，Q两点的坐标；（ⅱ）设直线y＝2x+m（m＞0）与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点．8．（2022•赣州模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．（1）求a，b，c的值；（2）画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；（3）某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）．①直接写出m的取值范围；②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．9．（2022•琼海二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E．（1）求抛物线的表达式；＝S△CDB，求点P的坐标；（2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S△PDB（3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标．11．（2022•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022•襄城区模拟）抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）如图1，若点A在x轴的负半轴上，△OBC为等腰直角三角形，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点D（﹣2，5）是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，令四边形BDCM 的面积为S，求S的最大值及此时点M的坐标；（3）若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为﹣9，作直线PC，将直线PC向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线P'C'，若直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点．①直接写出n关于m的函数关系式；②直接写出当1≤n≤5时m的取值范围．13．（2022•山西二模）综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的坐标分别是A（﹣2，0），B（8，0）．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线l⊥x轴，交直线AC于点G，交直线BC于点H．（1）求抛物线的函数表达式及点C的坐标．（2）如果点D是抛物线的顶点，点P在点C和点D之间运动时，试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△NGH是等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）试探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022•长沙模拟）已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．15．（2022•永川区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022•兴城市一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，BC，点E是对称轴上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；＝2S△ABC时，求点E的坐标；（2）当S△BCE（3）在抛物线上是否存在点P，使△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021•昆明模拟）已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；（3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．18（2021•新泰市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．（1）求这个抛物线的表达式．（2）点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．19.（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求b、c的值．（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20.（2021•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；的坐标．②若C在抛物线上，求C21。
中考数学总复习《二次函数之等腰三角形存在性问题》专项提升训练题-附答案
中考数学总复习《二次函数之等腰三角形存在性问题》专项提升训练题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点()1,0A -和()0,3C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC 、BC 和DB ，判断BCD △的形状并说明理由；(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ，使得P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标及此时四边形PBCD 的面积．2．如图，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A -和(3,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求P 的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M 为抛物线上的点，使得2BCM BCP S S =△△？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点()3,0A -，()0,4C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点M 是抛物线对称轴上一点，当MBC 的周长最小时，求M 点的坐标．(3)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(4)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，使以点B ，C 和P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()40A ，、()30B -，两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．(2)如图①，点D 是x 轴下方抛物线上的动点，且不与点C 重合．设点D 的横坐标为m ，以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式．(3)如图①，连结BC ，点M 为线段AB 上一点，点N 为线段BC 上一点，且BM CN n ==，直接写出当n 为何值时BMN 为等腰三角形．5．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ，与x 轴交于点A ，顶点为D ．(1)填空：点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ．(2)如图1，连结OD ，P 为x 轴上的动点，当以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横生标为m (05)m <<，连结MQ ，BQ 和MQ 与直线OB 交于点E ．设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ，设12S t S =己，试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-+-的图象与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图①，二次函数图象的对称轴与直线AC 交于点D ，若E 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求ECD 面积的最大值；(3)如图①，P 是直线AC 上的一个动点，是否存在点P ，使PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，抛物线23432363y x x =++与x 轴交于点A ，B （A 在B 左边），与y 轴交于点C ，连AC ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE AC ∥交抛物线于点E ，交y 轴于点P ．(1)点F 是直线AC 下方抛物线上点一动点，连DF 交AC 于点G ，连EG ，当EFG 的面积的最大值时，直线DE 上有一动点M ，直线AC 上有一动点N ，满足MN AC ⊥，连GM 和NO ，求GM MN NO ++的最小值；(2)如图2，在（1）的条件下，过点F 作FH x ⊥轴于点H 交AC 于点L ，将AHL 沿着射线AC 平移到点A 与点C 重合，从而得到A H L '''（点A ，H ，L 分别对应点A '，H '和L '），再将A H L '''绕点H '逆时针旋转(0180)αα︒<<︒，旋转过程中，边A L ''所在直线交直线DE 于Q ，交y 轴于点R ，求当PQR 为等腰三角形时，直接写出PR 的长．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C -两点，与y 轴交于点()0,2A -．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为腰的等腰三角形；若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A -，B ，对称轴是1x =，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上是否存在点M ，使得BCM BCP S S =△△？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线2y x bx c =++的图象与x 轴交于(3,0)A -、(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上位于第三象限内的一点．(1)求抛物线的解析式．(2)连接AP 、PC 和CB ，求四边形APCB 面积的最大值及此时P 点的坐标．(3)点D 为抛物线对称轴上的一点，当以点A 、C 、D 为顶点的三角形为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的过程写出来．11．已知拋物线2y ax bx c =++经过点()120B ，和()06C -，，对称轴为直线2x =．(1)求该拋物线的解析式；(2)点D 在线段AB 上，且AD AC =，若动点P 从A 点出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 点出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻t ，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度，若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点M ，使MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线与x 轴交于1030A C -（，）、（，），与y 轴交于点03B -（，）．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)在x 轴上是否存在点P ，使PBC 为等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点M 为抛物线上一动点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以点O 、B 、Q 、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A B ､两点，与y 轴交于点C ，拋物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()()1,0,0,2A C -．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是线段BC 上的一个动点（不与B C ､重合），过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线与x 轴交于1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ． ①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值； ①当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()60A ，和()10B -，，与y 轴交于点C ，连接BC ，过点A 、C 作直线AC ．(1)求抛物线的函数解析式．⊥交AC于点F，过点P作(2)点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PF AC∥交x轴于点E，求AE PFPE AC+的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）问的条件下，将抛物线23=+-沿射线CB方向平移10个单位长度得y ax bx到新抛物线y'，新抛物线y'与原抛物线交于点M；连接CP，把线段CP沿直线AC平移，记平移后的线段为C P''，当以C'、P'和M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的P'点的坐标．参考答案： 1．(1)223y x x =-++(2)BCD △为直角三角形(3)点P 的坐标为()2,3，四边形PBCD 的面积为42．(1)223y x x =-++(2)()1,1P(3)M 点横坐标为3172+或3172-或1或23．(1)248433y x x =--+ (2)81,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)252S =，3,52D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(4)P 的坐标为：()1,0-或()1,13-或()1,13--或131,8⎛⎫- ⎪⎝⎭4．(1)211433=--y x x (2)当30m -<<时28S m =-+；当04m <<时228833S m m =-++． (3)52n =，2511n =和3011n = 5．(1)(5,5) ()2,4-(2)点P 的坐标为()()()()25,025,04,05,0-或或或(3)()21525056224t m m ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭，t 的最大值为25246．(1)223y x x =--+(2)98ECD S =最大△(3)点P 的坐标为()535--，或()535+，或5122⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()21-，．7．(1)239745+(2)17333-或8338．(1)211242y x x =-- (2)存在，12PK PD +的最大值为258 335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，M 的坐标为()111，或()111-，或()1219-+，或()1219--，．9．(1)223y x x =-++(2)点P 的坐标为(1,1)(3)存在，点M 的横坐标为352+或35210．(1)223y x x =+-(2)点P 坐标为315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ max 758ABCP S =四边形 (3)1(1,14)D - 2(1,14)D -- 3(1,173)D -- 4(1,173)D --- 5(1,1)D --；11．(1)2116164y x x =--； (2)存在5t =时线段PQ 被直线CD 垂直平分，点Q 的运动速度每秒355单位长度； (3)1(2,0)M 2(33,0)10M -+ 3(33,0)10M -- 4(15,0)M ；12．(1)2=23y x x --(2)3,0-（）或(323,0)+,或(323,0)-+,或0,0（） (3)存在Q 1Q ：321213(,)22+- 2321213,)22(Q -+- 3)213(,22192Q --4)321(,29212Q +-+-13．(1)213222y x x =-++ (2)当2x =时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132，此时()2,1E (3)存在，满足条件的P 点坐标为35353325,,,4,22222216⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，14．(1)245y x x =--+(2)①当52m =-时，EF 有最大值，最大值为254；①()38-，或()45-，或()25622--，15．(1)215322y x x =-- (2)AE +PF 的最大值为：9595+；此时()3,6P - (3)点P '的坐标为：172112911,55⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或172412911,55⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭或()11,13--。
二次函数中的等腰三角形
专题11 二次函数中的等腰三角形类型一 在坐标轴上找点成等腰1．如图，二次函数2142y x x =--+的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)若点P 在x 轴上，且△PBC 为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P 的坐标．(1) 解：令21402x x --+= 解得12x =，24x =-△A (2,0)， B (4,0)-令0x =，得4y =，△C (0,4)△点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(4,0)-，点C 的坐标为(0,4)．(2)解：设P 点的坐标为(,0)m△(4,0)B -，(0,4)C △BC =22(4)BP m =+，2216CP m =+当△PBC 是等腰三角形时，分三种情况求解：①当BP CP =时，由题意可得22(4)16m m +=+解得0m =△P 的坐标为(0,0)；②当BP BC =时，由题意可得()(224m +=解得4m =-+4m =--△P 的坐标为()4-+或()4--；③当CP CB =时，由题意可得(2216m +=解得4m =或4m =-（不合题意，舍去）△P 的坐标为(4,0)；综上所述，P 点的坐标为(0,0) 或 (4,0) 或()4-+ 或()4--．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，对称的性质，二次函数与周长的综合，二次函数与特殊三角形的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．如图，已知二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴的两个交点为A （4，0）与点C ，与y 轴交于点B ．（1）求此二次函数关系式和点C 的坐标；（2）在x 轴上是否存在点P ，使得△PAB 是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）△二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴的一个交点为()4,0A ，△20443=-++b ，解得134b =， △此二次函数关系式为：21334y x x =-++，当0y =时，213304-++=x x 解得134x =-，24x = △点C 的坐标为3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）存在，设点P 的坐标为（x ，0），由题意得：AB 2=42+32=25，AP 2=（x -4）2，BP 2=x 2+9，①当AB=AP 时，则25=（x -4）2，解得x=9或-1，△P(9，0)或P （﹣1,0）；②当AB=BP 时，同理可得x=4（舍去）或-4，△P （﹣4,0）③当AP=BP 时，如图所示△OP=x ，△AP=BP=4－x在Rt△OBP 中，222OB OP BP +=△()2223+x =4x － △x=78△P （78，0） 综上点P 的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（78，0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．如图所示，关于x 的二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点1,0A 和点B ，与y 轴交于点()0,3C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使PBC 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；解：（1）把()1,0A 和()0,3C 代入2y x bx c =++，10,3,b c c ++=⎧⎨=⎩解得：4b =-，3c =，∴二次函数的表达式为：243y x x =-+．（2）令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，()3,0B ∴，BC ∴=点P 在y 轴上，当PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP CB =时，PC =3OP OC PC ∴=+=+或(10,3P ∴+，(20,3P -； ②当BP BC =时，3OP OB ==，()30,3P ∴-；③当PB PC =时，3OC OB ==，∴此时P 与O 重合，()40,0P ∴；综上所述，点P 的坐标为：(0,3+或(0,3-或()03-,或()0,0．4．如图，已知二次函数21134=-++y x x c 的图像与x 轴的一个交点为A (4,0)，与y 轴的交点为B ，过,A B 的直线为2y kx b =+．(1)求二次函数1y 的解析式及点B 的坐标；(2)在两坐标轴上是否存在点P ，使得ABP △是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)211334y x x =-++，()0,3B (2)存在，点P 的坐标为7,08⎛⎫ ⎪⎝⎭或70,6⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得B 点坐标（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得点P 在线段的垂直平分线上，利用两点间距离公式求解即可(1)解：将(4,0)A 代入21134=-++y x x c ，得16130c -++= 解得c =3△二次函数1y 的解析式为211334y x x =-++ △点B 是二次函数与y 轴的交点所以点B 的横坐标为0将x =0带入解析式中，求得y =3所以点B 的坐标为()0,3(2) 存在，满足题意的点P ，使得ABP △是以AB 为底边的等腰三角形.当使得ABP △是以AB 为底边的等腰三角形，点P 在线段AB 的垂直平分线上①当点P 在y 轴上时，P A=PB设()0,P m△(4,0)A ，()0,3B=解得76m =- 此时17(0,)6P - ②当点P 在x 轴上时，P A=PB设(),0P n△(4,0)A ，()0,3B解得78n = 此时27(0)8，P 综上所述：17(0,)6P -，27(0)8，P ，使得ABP △是以AB 为底边的等腰三角形 【点睛】此题考察了二次函数的相关知识点，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）抛物线和坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练运用相关知识点是解题关键类型二 在对称轴上找点成等腰5．如图，直线y ＝﹣12x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A (﹣1，0)．（1）求B 、C 两点的坐标；（2）求该二次函数的解析式；（3）若抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在一点N ，使NCD 为等腰三角形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）B (4，0)，C (0，2)；（2）213222y x x =-++；（3）存在，123435353325(,),(,),(,4),(,),22222216N N N N - 【解析】【分析】（1）令直线y ＝12-x +2的x ＝0，y ＝0，求出对应的y 和x 的值，得到点C 、B 的坐标； （2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A 、B 、C 的坐标求出解析式；（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P 的坐标．【详解】（1）对直线y ＝12-x +2，当x ＝0时，y ＝2；y ＝0时，x ＝4， △B （4，0），C （0，2）．（2）设二次函数为y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ）（a ≠0），△二次函数图象经过B （4，0），A （﹣1，0），△y ＝a （x ﹣4）（x +1），把点C （0，2）代入y ＝a （x ﹣4）（x +1）得：a （0﹣4）（0+1）＝2，解得：a ＝12-， △y ＝12-（x ﹣4）（x +1）＝12-x 2+32x +2． （3）存在，理由如下：△二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），△对称轴为直线x＝32，△D（32，0），△C（0，2），△CD＝52，①如图1，当DC＝DN时，DN＝52，△N1（32，52），N2（32，﹣52），②如图2，当CD＝CN3时，过点C作CH△DN3于点H，△CD＝CN3，CH△DN3，△DH＝N3H，△C（0，2），△DH＝2，△N3H＝2，△N3D＝4，△N3（32，4），③如图3，当N 4C ＝DN 4时，过点C 作CE △DN 4于点E ，设DN 4＝t ，则EN 4＝2﹣t ，CE ＝32， 由勾股定理可知，（2﹣t ）2+（32）2＝t 2， 解得t ＝2516． △N 4（32，2516）， 综上所述：存在123435353325(,),(,),(,4),(,),22222216N N N N -，使△NCD 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，用到了分类讨论思想．6．如图，直线122y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B ，C 和点()1,0A -．(1)求B ，C 两点的坐标．(2)求该二次函数的解析式．(3)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)()4,0B ，()0,2C (2)213222y x x =-++ (3)存在135,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，235,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，33,42P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形 【解析】【分析】（1）令直线122y x =-+的x =0，y =0，求出对应的y 和x 的值，得到点C 、B 的坐标； （2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A 、B 、C 的坐标求出解析式；（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P 的坐标．(1) 解：对直线122y x =-+，当0x =时，2y =，0y =时，4x =， ()4,0B ∴，()0,2C ．(2)解：设二次函数为()()()0y a x m x n a =--≠，二次函数图象经过()4,0B ，()1,0A -，()()41y a x x ∴=-+，把点()0,2C 代入()()41y a x x =-+得：()()04012a -+=， 解得：12a =-， ()()2113412222y x x x x ∴=--+=-++． (3) 解：二次函数图象经过()4,0B ，()1,0A -，∴对称轴为41322x -==， 3,02D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， ()0,2C ，52CD ∴=， ①如图1，当CD PD =时，52PD =， 135,22P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，235,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ②如图2，当3CD CP =时，过点C 作3CH DP ⊥于点H ，3CD CP =，3CH DP ⊥，3DH P H ∴=，()0,2C ，2DH ∴=，32P H ∴=，34P D ∴=，33,42P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 综上所述：存在135,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，235,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，33,42P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是用一般式或者两点式结合待定系数法求解，求点P 的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到P 点，注意这里只要用“两圆”即可．7．如图，抛物线y =ax 2-bx -3与x 轴交于点A 、C ，交y 轴于点B ，OB =OC =3OA ．(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；(2)如图1，连接AB ，点M 是对称轴上一点且在第四象限，若△AMB 是以△MBA 为底角的等腰三角形，求点M 的坐标；(1)解：在y =ax 2-bx -3中，令x =0得y =-3，△B （0，-3），△OB =3，△OB =OC =3OA ，△OA =1，OC =3，△A （-1，0）、C （3，0），把A （-1，0）、C （3，0）代入y =ax 2-bx -3得：309330a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩， △抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，而y =x 2-2x -3=（x -1）2-4，△对称轴方程为x =1；(2)解：设M （1，m ），而A （-1，0）、B （0，-3），△MA 2=4+m 2，MB 2=1+（m +3）2，AB 2=10，△AMB 是以△MBA 为底角的等腰三角形，分两种情况：①若MA =AB ，则MA 2=AB 2，如图：△4+m2=10，解得m m=，△M是对称轴上一点且在第四象限，△M（1，，②若MB=MA，则MA2=MB2，如图：△4+m2=1+（m+3）2，解得m=-1，△M（1，-1），综上所述，M坐标为（1，）或（1，-1）；类型三在抛物线上或已知直线上找点成等腰8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m 的值．(1)将(1,0)A ，(3,0)B 代入函数解析式，得309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得14a b =⎧⎨=-⎩， 这个二次函数的表达式是243y xx =-+；(2)(,3)M m m -+，2(,43)N m m m -+ 23MN m m =-，3|BM m =-，当MN BM =时，①233)m m m -=-，解得m②233)m m m -=-，解得m =当BN MN =时，45NBM BMN ∠=∠=︒，2430m m -+=，解得1m =或3m =（舍)当BM BN =时，45BMN BNM ∠=∠=︒，2(43)3m m m --+=-+，解得2m =或3m =（舍)，当BMN ∆是等腰三角形时，m ，1，2．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．9．如图，已知二次函数()20y x bx c c =-++>的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB =OC =3，顶点为M ．（1）求该二次函数的解析式；（2）探索：线段BM 上是否存在点P ，使PMC 为等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）△3OB OC ==，△()3,0B ，()0,3C ，代入2y x bx c =-++中，得930,3.b c c -++=⎧⎨=⎩， 解得2,3.b c =⎧⎨=⎩， △该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++；（2）线段BM 上存在点716,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14⎛ ⎝⎭，()2,2，使PMC △为等腰三角形.理由如下：设点P 的坐标为(),26x x -+，由题意可得CM =CP =MP =①当CM PC =整理得251270x x -+=，解得175x =，21x =（舍去），经检验是方程的根 当75x =，716262655x -+=-⨯+=， 此时716,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当CM MP =整理得251030x x -+=，△△=40，△x =解得11x =21x =，经检验是方程的根此时1P ⎛ ⎝⎭；③当CP MP =整理得24=x ，解得2x =，经检验是方程的根此时()2,2P ；综上所述，线段BM 上存在点716,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14⎛ ⎝⎭，()2,2， 使PMC △为等腰三角形．【点睛】本题考查二次函数与几何综合题型，利用待定系数法求函数解析式；求坐标系中四边形的面积，需分割三角形与梯形来解，注意动点所在的位置决定了自变量的取值范围；等腰三角形分类考虑，可以用勾股定理，构造方程是解题关键．10．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0），与y轴交于点C ．（1）二次函数的表达式为 ；（2）点M 在直线BC 上，当△ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；解：（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2＋bx ＋3得： 3016430a b a b -+=⎧⎨++=⎩， △a ＝34-，b ＝94， △239344y x x =-++， 故二次函数表达式为：239344y x x =-++； （2）当x ＝0时，y ＝3，△点C 的坐标是（0，3），设直线BC 的表达式为：y ＝kx ＋c （k ≠0），将B （4，0），C （0，3）代入y ＝kx ＋c 得：4303k c +=⎧⎨=⎩， △343k c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，△直线BC 的解析式为：334y x =-+，使得△ABM 为等腰三角形，存在如图所示的三种情况：过点M 1作M 1D △AB ，△A （﹣1，0），B （4，0），△AD ＝12AB ＝52， △OD ＝32， 设M 1（x ，﹣34x ＋3）， △M 1（32，158）， △△ABM 为等腰三角形，△AB ＝BM 2＝5或AB ＝BM 3＝5，设M 2（x 1，﹣34x 1＋3），△BM 25， 解得x 1＝8或0，当x 1＝0时，y ＝3，当x 1＝8时，y ＝﹣3，△点M 为（0，3）或（8，﹣3）或（32，158）； 11．如图，已知二次函数213442y x x =--的图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）点C 的坐标为___________，点B 的坐标为___________； （2）连接BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得EDB △为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由； 解（1）213442y x x =--， 当x=0时，y=-4，C （0，-4），当y=0时，2134=042x x --， 整理得：2616=0x x --，变形得：()()820x x -+=，解得122,8x x =-=，△B 点坐标为（8,0）；（2）C(0,-4),B(8,0),设BC 解析式为y kx b =+，把C 、B 坐标代入得， 480b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得412b k =-⎧⎪⎨=⎪⎩， BC 解析式为1-42y x =， EDB △为等腰三角形，点E 在线段BC 上，设E （x, 1-42x ）D(3,0)， 以DB 为底边,作BD 中垂线与BC 交点为E ，x=()13+8=5.52,115-4= 5.5-4224x ⨯=-， E 11524⎛⎫ ⎪⎝⎭，-，以BD为腰，当BD=EB=5时5，()2820x-=，x=-(舍去，81x2E（8-，当ED=BD=5时点E与点C重合，E（0，-4），EDB △为等腰三角形符合条件的点E 的坐标为：E （0，-4），（8-，11524⎛⎫ ⎪⎝⎭，-； 类型四 综合探究12．如图，二次函数2y ax bx c(a 0)=++>图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为1-，3.与y 轴负半轴交于点C ．()1若ABD 是等腰直角三角形，求a 的值．()2探究：是否存在a ，使得ACB 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的a 的值；不存在，说明理由．【答案】（1）1a 2=；（2）存在，a =. 【解析】【分析】 ()1作DE AB ⊥于点E ，根据ABD 是等腰直角三角形，即可求得D 的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式，从而求得a 的值．()2根据三边分别相等可以分三种情况：①当AB BC =时，根据勾股定理列方程：222OC BC OB 1697=-=-=，可得a 的值； ②当AB AC =时，根据勾股定理列方程：2OC 16115=-=，可得a 的值；③当AC BC =时，由于OA 1=，OB 3=，不成立．【详解】()1如图，作DE AB ⊥于点E ，()AB 314=--=， ABD 是等腰直角三角形，1DE AB 22∴==， 则D 的坐标是()1,2-．设二次函数的解析式是2y a(x 1)2=--，把()1,0-代入得4a 20-=， 解得：1a 2=． ()2存在，分三种情况：①当AB BC =时，CB AB 4∴==，在Rt OBC 中，222OB OC BC +=，222OC BC OB 1697∴=-=-=，OC ∴=(C 0,∴， 设二次函数的解析式为：()()y a x 1x 3=+-，将(C 0,代入，a ∴= ②当AB AC =时，AC AB 4∴==，在Rt AOC 中，222AO OC AC +=，2OC 16115∴=-=，OC ∴=(C 0,， ()()y a x 1x 3=+-，a ∴= ③当AC BC =时，CO AB ⊥，O ∴是AB 的中点，而AO 1=，BO 3=，AO BO ∴≠，AC BC ∴=不成立，a ∴= 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，第1问正确根据等腰直角三角形的性质求得D 的坐标是关键，第二问根据等腰三角形的判定正确分类讨论是关键． 13．综合与探究 如图，抛物线2315344y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ．(1)求点A ，B 和C 的坐标；(2)点P 从点B 出发沿BC 以1个单位长度/秒的速度向终点C 运动，同时，点Q 从点O 出发以相同的速度沿x 轴的正半轴向终点B 运动，一点到达，两点同时停止运动．连接PQ ，当BPQ 是等腰三角形时，请直接写出运动的时间．(1)解：把0x =代入2315344y x x =-+中，得3y =．△点C 的坐标是(0,3)．把0y =代入2315344y x x =-+中，得23153044-+=x x ． 解得11x =，24x =．△点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(4,0)．△点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(4,0)，点C 的坐标是(0,3)．(2)2秒，2013秒和3213秒 解：设运动时间为t ，根据题意，若要构成BPQ ，则P 、Q 不与点B 重合，t 的取值范围为04t <<，△PB OQ t ==，4BQ t =-，如图，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，设点P 的坐标为3,34a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则4BD a =-，334PD a =-+，根据勾股定理，在Rt PDB △中，222PD DB PB +=,()2223344a a t ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭， 解得1445a t =-，2445a t =+（不符合题意，舍去）， △点P 的坐标为434,55t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， △点Q 的坐标为(),0t △222243907241655255t t t PQ t t ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， △PB OQ t ==，4BQ t =-，222243907241655255t t t PQ t t ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①当BP BQ =时，即4t t =-，解得：2t =；②当BP PQ =时，22907216255t t t =-+， 解得：12013t =，24t =（不符合题意，舍去）， ③当BQ PQ =时，()229072416255t t t -=-+， 解得：13213t =，20t =（不符合题意，舍去），综上所述：当BPQ 是等腰三角形时，时间为2秒，2013秒，3213秒． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，包括求抛物线与x 轴的坐标，一次函数的解析式，利用坐标求线段长度，等腰三角形的性质，熟悉掌握求抛物线与x 轴的交点坐标、顶点坐标以及等腰三角形的性质本题的解题关系．。
专题01 二次函数中的等腰三角形存在性问题 (学生版)
专题01 二次函数中的等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．【模型解读】如图，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（4,3），在x 轴上取点C 使得△ABC 是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB=AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA=BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA=CB ．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．同理可求，下求．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：而对于本题的，或许代数法更好用一些．故C 5坐标为（196,0）解得：x =1363-x ()2+22=x 2设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3，BH =234C C 、5C 5CC 21+23,0()C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段：，（3）分类讨论：根据，（4）求解得答案：解得：，故坐标为．【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取①AB=AC 、②AB=BC 、③AC=BC ；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．5C 5AC =5BC =55AC BC ==236m =5C 23,06⎛⎫⎪⎝⎭【模型实例】1．如图，已知两直线，分别经过点，点，且两条直线相交于轴的正半轴上的点，当点的坐标为时，恰好有，经过点、、的抛物线的对称轴与、、轴分别交于点、、，为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明与的数量关系？并说明理由；（3）若直线绕点旋转时，与抛物线的另一个交点为，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．2．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．1l 2l (1,0)A (3,0)B -y CC 12l l ⊥A B C 1l 2l x G E FD DG DE 2l C M MCG ∆M 24y ax bx =++x (3,0)A -(4,0)B y C AC BC M OB M PM x ⊥P BC Q M Q A C QQ3．如图，抛物线与轴交于、两点，且（1）求抛物线的解析式和点的坐标；（2）如图，已知直线分别与轴、轴交于、两点，点是直线下方的抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，点在线段的延长线上，连接．问：以为腰的等腰的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，抛物线的对称轴是直线．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点在第二象限内，且，求的面积．（3）在（2）的条件下，若为直线上一点，在轴的上方，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．223y ax x =+-x A B (1,0)B A 2439y x =-x y C F Q CF Q y CF D E CD QE QD QDE ∆x A B y (0,2)C -A (2,0)P P PD x ⊥D BC E 1x =-P 14OD PBE ∆M BC x M BDM ∆BDM5．抛物线过点，点，顶点为．（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；6．如图，在中，，且点的坐标为，点坐标为，点在轴的负半轴上，抛物线经过点和点（1）求，的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由23y ax bx =++(1,0)A -(3,0)B C C P CP x D AC DAC ∆AC P ABC ∆AB AC =A (3,0)-C By 2y x bx c =++A C b c Q ACQ ∆Q7．如图，开口向上的抛物线与轴交于，、，两点，与轴交于点，且，其中，是方程的两个根．（1）求点的坐标，并求出抛物线的表达式；（2）垂直于线段的直线交轴于点，交线段于点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点（1）求点，，的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．x 1(A x 0)2(B x 0)y C AC BC ⊥1x 2x 2340x x +-=C BC l x D BC E CD CDE ∆D P PDE ∆P 2y ax bx c =++x (4,0)A -(2,0)B y (0,6)C y (0,2)E -AE P AEP ∆P 211242y x x =--+x A B y CA B C M ACM ∆M。
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
专题02 二次函数中的存在性问题之等腰三角形(19眉山)(解析版)
专题02 二次函数中的存在性问题之等腰三角形【典例1】（2019•眉山）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）抛物线的表达式为：y=−49（x+5）（x﹣1），即可求解；（2）PE=−49m2−169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG），即可求解；（3）分MN＝DM、NM＝DN、DN＝DM，三种情况分别求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y=−49（x+5）（x﹣1）=−49x2−169x+209，则点D（﹣2，4）；（2）设点P（m，−49m2−169m+209），则PE=−49m2−169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（−49m2−169m+209−4﹣2m）=−89（m+174）2+252，∵−89＜0，故当m=−174时，矩形PEFG周长最大，此时，点P 的横坐标为−174； （3）∵∠DMN ＝∠DBA ， ∠BMD +∠BDM ＝180°﹣∠ADB ， ∠NMA +∠DMB ＝180°﹣∠DMN ， ∴∠NMA ＝∠MDB ， ∴△BDM ∽△AMN ，AN BM=AM BD，而AB ＝6，AD ＝BD ＝5， ①当MN ＝DM 时， ∴△BDM ≌△AMN ，即：AM ＝BD ＝5，则AN ＝MB ＝1； ②当NM ＝DN 时， 则∠NDM ＝∠NMD ， ∴△AMD ∽△ADB ，∴AD 2＝AB ×AM ，即：25＝6×AM ，则AM =256， 而AN BM=AM BD，即AN6−256=2565，解得：AN =5536； ③当DN ＝DM 时，∵∠DNM ＞∠DAB ，而∠DAB ＝∠DMN ， ∴∠DNM ＞∠DMN ， ∴DN ≠DM ； 故AN ＝1或5536．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练1】抛物线y =−29x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，顶点为C ，对称轴交x 轴于点D ，点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与C ，D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【点拨】（1）函数的表达式为：y=29（x+1）（x﹣5），即可求解；（2）确定PB、CE的表达式，联立求得点F（2−2m3，0），S△PCF=12×PC×DF=12（2﹣m）（2−2m3−2）＝5，即可求解；（3）分当CP＝CF、CP＝PF、CP＝PF三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）函数的表达式为：y=29（x+1）（x﹣5）=−29x2+89x+109；（2）抛物线的对称轴为x＝2，则点C（2，2），设点P（2，m），将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：函数PB的表达式为：y=−13mx+5m3，∵CE⊥PE，故直线CE表达式中的k值为3m，将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为：y=3mx+(2−6m)，解得：x＝2−2m 3，故点F（2−2m3，0），S △PCF =12×PC ×DF =12（|2﹣m |）（|2−2m 3−2|）＝5， 解得：m ＝5或﹣3，故点P （2，﹣3）或（2，5）； （3）由（2）确定的点F 的坐标得： CP 2＝（2﹣m ）2，CF 2＝（2m 3）2+4，PF 2＝（2m 3）2+m 2，①当CP ＝CF 时，即：（2﹣m ）2＝（2m 3）2+4，解得：m ＝0或365（0舍去），②当CP ＝PF 时，同理可得：m =−9±3√132， ③当CF ＝PF 时，同理可得：m ＝±2（舍去2）， 故点P （2，365）或（2，﹣2）或（2，−9−3√132）或（2，−9+3√132） 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练2】如图，直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ，与x 轴另一交点为A ，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上找一点E ，使EC +ED 的值最小，求EC +ED 的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得∠APB ＝∠OCB ？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）如图1，作点C 关于x 轴的对称点C ′，连接CD ′交x 轴于点E ，则此时EC +ED 为最小，即可求解；（3）分点P 在x 轴上方、点P 在x 轴下方两种情况，分别求解．【解答】解：（1）直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：{−9+3b +c =0c =3，解得：{b =2c =3，故函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3， 令y ＝0，则x ＝﹣1或3，故点A （﹣1，0）；（2）如图1，作点C 关于x 轴的对称点C ′，连接CD ′交x 轴于点E ，则此时EC +ED 为最小，函数顶点D 坐标为（1，4），点C ′（0，﹣3）， 将CD 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：y ＝7x ﹣3， 当y ＝0时，x =37， 故点E （37，0），则EC +ED 的最小值为DC ′=√1+(4+3)2=5√2； （3）①当点P 在x 轴上方时，如下图2，∵OB ＝OC ＝3，则∠OCB ＝45°＝∠APB ，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝m，则PB＝P A=√2m，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝m2+（√2m﹣m）2，解得：m2＝8+4√2，则PB2＝2m2＝16+8√2则y P=√PB2−22=2+2√2；②当点P在x轴下方时，则y P＝﹣（2+2√2）；故点P的坐标为（1，2+2√2）或（1，﹣2﹣2√2）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练3】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE=14OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）点A（2，0）、点B（﹣4，0），则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），即可求解；（2）PE=14OD，则PE＝（14x2+12x﹣2−12x+2）=14（﹣x），求得：点D（﹣5，0），利用S△PBE=12PE×BD=12（14x2+12x﹣2−12x+2）（﹣4﹣x），即可求解；（3）BD ＝1＝BM ，则y M ＝﹣BM sin ∠ABC ＝﹣11√5=−√55，即可求解．【解答】解：（1）点A 的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，则点B （﹣4，0）， 则函数的表达式为：y ＝a （x ﹣2）（x +4）＝a （x 2+2x ﹣8）， 即：﹣8a ＝﹣2，解得：a =14， 故抛物线的表达式为：y =14x 2+12x ﹣2；（2）将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝mx +n 并解得： 直线BC 的表达式为：y =−12x ﹣2，则tan ∠ABC =12，则sin ∠ABC =15， 设点D （x ，0），则点P （x ，14x 2+12x ﹣2），点E （x ，−12x ﹣2），∵PE =14OD ，∴PE ＝（14x 2+12x ﹣2+12x +2）=14（﹣x ），解得：x ＝0或﹣5（舍去x ＝0）， 即点D （﹣5，0） S △PBE =12×PE ×BD =12（14x 2+12x ﹣2+12x +2）（﹣4﹣x ）=58； （3）由题意得：△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形，①当BD ＝BM 时，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ， BD ＝1＝BM ，则MH ＝y M ＝BM sin ∠ABC ＝1×5=√55， 则x M =20+2√55， 故点M （−20+2√55，√55）；②如图，当BD＝DM时，过点D作DH⊥BC于H，∴BM＝2BH，在Rt△BHD中，BH＝BD cos∠ABC=2√5 5，∴BM=4√5 5，过点M作MG⊥x轴于G，MG＝BM•sin∠ABC=4 5，BG＝BM•cos∠ABC=8 5，点M（−285，45）；故点M坐标为（−20+2√55，√55）或（−285，45）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【精练4】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）抛物线的表达式为：y=−49（x+5）（x﹣1），即可求解；（2）PE=−49m2−169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG），即可求解；（3）分MN＝DM、NM＝DN、DN＝DM，三种情况分别求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y=−49（x+5）（x﹣1）=−49x2−169x+209，则点D（﹣2，4）；（2）设点P（m，−49m2−169m+209），则PE=−49m2−169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（−49m2−169m+209−4﹣2m）=−89（m+174）2+252，∵−89＜0，故当m=−174时，矩形PEFG周长最大，此时，点P的横坐标为−17 4；（3）∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM∽△AMN，ANBM =AMBD，而AB＝6，AD＝BD＝5，①当MN＝DM时，∴△BDM≌△AMN，即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1；②当NM ＝DN 时， 则∠NDM ＝∠NMD ， ∴△AMD ∽△ADB ，∴AD 2＝AB ×AM ，即：25＝6×AM ，则AM =256， 而AN BM=AM BD，即AN6−256=2565，解得：AN =5536； ③当DN ＝DM 时，∵∠DNM ＞∠DAB ，而∠DAB ＝∠DMN ， ∴∠DNM ＞∠DMN ， ∴DN ≠DM ； 故AN ＝1或5536．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练5】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =13x 2−13x ﹣4交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ． （1）点P 为线段BC 下方抛物线上的任意一点，一动点G 从点P 出发沿适当路径以每秒1个单位长度运动到y 轴上一点M ，再沿适当路径以每秒1个单位长度运动到x 轴上的点N ，再沿x 轴以每秒√2个单位长度运动到点B ．当四边形ACPB 面积最大时，求运动时间t 的最小值；（2）过点C 作AC 的垂线交x 轴于点D ，将△AOC 绕点O 旋转，旋转后点A 、C 的对应点分别为A 1、C 1，在旋转过程中直线A 1C 1与x 轴交于点Q ．与线段CD 交于点I ．当△DQI 是等腰三角形时，直接写出DQ 的长度．【点拨】（1）过点B 作BK ⊥BC 交y 轴于点K ，作P ′H ⊥BK 交BK 于点H 、交y 轴于点M 、交x 轴于点N ，则此时运动的时间最小，即可求解；（2）将△AOC 绕点O 旋转，相当于存在一个半径为OR 圆O ，在整个旋转过程中，AC 始终为垂直于OR 的切线，确定圆的半径OR 后，分OR 靠近x 轴、y 轴两种大情况，分别在四个象限逐次求解即可． 【解答】解：（1）y =13x 2−13x ﹣4，令x ＝0，则y ＝﹣4，令y ＝0，则x ＝3或﹣4， 故点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，﹣4）， 则直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣4， S 四边形ACPB ＝S △ABC +S △PBC ，∵S △ABC 为常数，∴只要S △PBC 取得最大值，四边形ACPB 面积即为最大， 设点P （x ，13x 2−13x ﹣4），则点S （x ，x ﹣4），S △PBC =12×PS ×OB =12×4×（x ﹣4−13x 2+13x +4）=−23x 2+43x ， ∵−23＜0，则S △PBC 有最大值，即四边形ACPB 面积有最大值， 此时，x ＝2，故点P （2，−103）；作点P 关于y 轴的对称点P ′（﹣2，−103）， 过点B 作BK ⊥BC 交y 轴于点K ，作P ′H ⊥BK 交BK 于点H 、交y 轴于点M 、交x 轴于点N ， 则此时运动的时间最小， t ＝P ′M +MN +√22BN ＝PM +MN +HN ，直线BK ⊥BC ，则直线BK 的表达式为：y ＝﹣x +b ， 将点B 的坐标代入上式并解得： 直线BK 的表达式为：y ＝﹣x +4…①，同理可得直线P ′H 的表达式为：y ＝x −43⋯②，联立①②并解得：x =83， 故点H （83，43），则t ＝P ′H =√(−2−83)2+(−103−43)2=14√23， 故运动时间t 的最小值为14√23；（2）∵AC ⊥AD ，则直线CD 的表达式为：y =34x ﹣4， 故点D （163，0）；如图2，过点O 作OR ⊥AC 于点R ，由面积公式得：12OR ×AC =12OA ×OC ，即：OR =3×45=125， 设∠ACD ＝α，则tan α=34，sin α=35， 则tan2α=247，tan 12α=12（证明见备注）， 情况一：当OR 靠近y 轴时，①当OR 在一、三象限时，如图3，4：在图3中，IQ＝ID，则OQ=ORsinα=12535=4，故QD=163+4=283；在图4中，IQ＝ID，同理QD=163−4=43；②当OR在二、四象限时，如图5，6：在图5中，DI＝DQ，则∠DQI＝∠DIQ=12∠ODC=12α，OQ=ORsin12α=12√55，则DQ=12√55−163，在图6中，同理可得：DQ=12√55+163；情况二：当OR靠近x轴时，如下图：当点R在二、四象限时，如图7，见左侧图，同理可得：DQ=163+52=476；见右侧图，同理可得：DQ=163−52=176；当点R 在一、三象限时，如图8，同理可得：DQ =163−6√53（左侧图）或163+6√53（右侧图）；综上，DQ 的长度为283或43或12√55−163或12√55+163或476或176或163−6√53或163+6√53．备注：已知tan α=34，求tan2α和tan 12α．如图△ABD 是以BD 为底的等腰三角形，AC ⊥BD ，过点D 作DH ⊥AB ，则设：∠DAC ＝∠BAC ＝α，tan α=34，设BC ＝CD ＝3a ，则AC ＝4a ， 由三角形的面积公式得：12AH ×AB =12×DB ×AC ，解得：AH =6a×4a 5a=245， 则sin2α＝sin ∠BAD =DHAD =2425，tan2α=247， 同理可得：tan 12α=12．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，通过画图确定图象的位置，避免遗漏．【精练6】如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，AB ＝4，交y 轴于点C ，对称轴是直线x ＝1．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）连接BC ，E 是线段OC 上一点，E 关于直线x ＝1的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标； （3）动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，交线段BC 于点Q ．设运动时间为t （t ＞0）秒． ①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t 的值；②△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【点拨】（1）将A 、B 关坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，即可求解；（2）确定直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3，根据点E 、F 关于直线x ＝1对称，即可求解； （3）①△AOC 与△BMN 相似，则MB MN=OA OC或OC OA，即可求解；②分OQ ＝BQ 、BO ＝BQ 、OQ ＝OB 三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1））∵点A 、B 关于直线x ＝1对称，AB ＝4， ∴A （﹣1，0），B （3，0），代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，得：{−9+3b +c =0−1−b +c =0，解得{b =2c =3，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3， ∴C 点坐标为（0，3）；（2）设直线BC 的解析式为y ＝mx +n ， 则有：{n =33m +n =0，解得{m =−1n =3，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3， ∵点E 、F 关于直线x ＝1对称， 又E 到对称轴的距离为1， ∴EF ＝2，∴F 点的横坐标为2，将x ＝2代入y ＝﹣x +3中，得：y＝﹣2+3＝1，∴F（2，1）；（3）①如下图，连接BC交MN于Q，MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，△AOC与△BMN相似，则MBMN =OAOC或OCOA，即：3−2t−4t+4t+3=3或13，解得：t=32或−13或1（舍去32、−13），故：t＝1；②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t），∵△BOQ为等腰三角形，∴分三种情况讨论，第一种，当OQ＝BQ时，∵QM⊥OB∴OM＝MB∴2t＝3﹣2t∴t=3 4；第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中∵∠OBQ＝45°，∴BQ=√2BM，∴BO=√2BM，即3=√2(3−2t)，∴t=6−3√24；第三种，当OQ＝OB时，则点Q、C重合，此时t＝0 而t＞0，故不符合题意综上述，当t=34秒或6−3√24秒时，△BOQ为等腰三角形．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
专题 二次函数与等腰三角形有关问题(专项训练)(解析版)
专题06 二次函数与等腰三角形有关问题（专项训练）1．（2022•榆阳区一模）如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则x＝3，∴B（3，0），将C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴M（2，1），对称轴为直线x＝2，设P（2，t），∴MP＝|t﹣1|，MC＝2，CP＝，①当MP＝MC时，|t﹣1|＝2，∴t＝2+1或t＝﹣2+1，∴P（2，2+1）或（2，﹣2+1）；②当MP＝CP时，|t﹣1|＝，解得t＝﹣，∴P（2，﹣）；③当MC＝CP时，2＝，解得t＝1（舍）或t＝﹣7，∴P（2，7）；综上所述：P点坐标为（2，2+1）或（2，﹣2+1）或（2，﹣）或（2，7）．2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（3）易证线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，∴M（3，0），当x＝0时，y＝3，∴N（0，3），由题意得PD⊥MB，∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：①当MB＝MD时，∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，解得m1＝3+，m2＝3﹣，②当MB＝BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，解得，m1＝3（舍去），m2＝8（舍去），③当MD+BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，解得，m＝5.5．综上所述，m的值为3+或3﹣或5.5时，△BMD是等腰三角形．3．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x 轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝3，令x＝0，得y＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，∴A（﹣1，0）．将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）存在．如图2，∵点P在x轴上，∴设P（m，0）．∵C（0，3），D（1，0），∴由勾股定理，得：CD2＝OC2+OD2＝32+12＝10，PD2＝（m﹣1）2，CP2＝OP2+OC2＝m2+32＝m2+9，分为三种情况讨论：①当CD＝PD时，CD2＝PD2，即10＝（m﹣1）2，解得m1＝1+，m2＝1﹣，此时点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；②当CD＝CP时，CD2＝CP2，即10＝m2+9，解得m1＝﹣1，m2＝1（不符合题意，舍去），此时点P的坐标为（﹣1，0）；③当PC＝PD时，PC2＝PD2，即m2+9＝（m﹣1）2，解得m＝﹣4，此时点P的坐标为（﹣4，0）．综上所述，在x轴上存在点P，使得△PDC为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）．4．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．5．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；6．（2021•攀枝花）如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中x1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由x2+3x﹣4＝0得x1＝﹣4，x2＝1，∴A（﹣4，0），B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，∵AC⊥BC，∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠OBC，∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴＝，即＝，∴OC＝2，∴C（0，﹣2），设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），将C（0，﹣2）代入得﹣2＝﹣4a，∴a＝，∴抛物线解析式为y＝（x+4）（x﹣1）＝x2+x﹣2；（2）如图：由A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）得：AB＝5，BC＝，AC＝2，∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴△ABC∽△DBE，∴＝＝，设D（t，0），则BD＝1﹣t，∴＝＝，∴DE＝（1﹣t），BE＝（1﹣t），∴S△BDE＝DE•BE＝（1﹣t）2，而S△BDC＝BD•OC＝（1﹣t）×2＝1﹣t，∴S△CDE＝S△BDC﹣S△BDE＝1﹣t﹣（1﹣t）2＝﹣t2﹣t+＝﹣（t+）2+，∵﹣＜0，∴t＝﹣时，S△CDE最大为，此时D（﹣，0）；（3）存在，由y＝x2+x﹣2知抛物线对称轴为直线x＝﹣，而D（﹣，0），∴D在对称轴上，由（2）得DE＝×[1﹣（﹣）]＝，当DE＝DP时，如图：∴DP＝，∴P（﹣，）或（﹣，﹣），当DE＝PE时，过E作EH⊥x轴于H，如图：∵∠HDE＝∠EDB，∠DHE＝∠BED＝90°，∴△DHE∽△DEB，∴＝＝，即＝＝，∴HE＝1，DH＝2，∴E（，﹣1），∵E在DP的垂直平分线上，∴P（﹣，﹣2），当PD＝PE时，如图：设P（﹣，m），则m2＝（﹣﹣）2+（m+1）2，解得m＝﹣，∴P（﹣，﹣），综上所述，P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣2）或（﹣，﹣）．7．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC 于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）是抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝，∴根据抛物线的两点式知，y＝．（2）设PH与x轴的交点为Q1，P（a，），则H（a，），PH＝，若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ1＝∠BCO，∴tan∠APQ1＝tan∠BCO＝2，∴AQ1＝2PQ1，即a+1＝2（），解得a＝3（﹣1舍去），此时PH＝．若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，∴∠PFH＝∠PHF，∵∠CF A＝∠PFH，∠Q1HB＝∠PHF，∴∠CF A＝∠Q1HB，又∵∠ACF＝∠BQ1H＝90°，∴△ACF∽△BQ1H，∴CF＝AC＝，在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，F（1，），∴AF：，将上式和抛物线解析式联立并解得x＝（﹣1舍去），此时PH＝．若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E（见上图），∵∠CAF+∠CF A＝90°，∠P AQ+∠HPF＝90°，∠CF A＝∠HFP＝∠HPF，∴∠CAF＝∠P AQ1，即AP平分∠CAB，∴CE＝CA＝，∴E（，2），∴AE：，联立抛物线解析式，解得x＝5﹣（﹣1舍去）．此时PH＝．∴当FP＝FH时，PH＝；当PF＝PH时，PH＝；当HF＝HP时，PH＝；8．（2020•济南）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），由点A、C、D的坐标得，AC＝＝，同理可得：AD＝，CD＝，①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；故点D的坐标为（1，1）或（1，）；9．（2020•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A 和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），∴2＝a（0+6）（0﹣2），∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣（x+2）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；针对于抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2），令y＝0，则﹣（x+6）（x﹣2）＝0，∴x＝2或x＝﹣6，∴A（﹣6，0）；（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x＝﹣2，∴E（﹣2，0），∵C（0，2），∴OC＝OE＝2，∴CE＝OC＝2，∠CED＝45°，∵△CME是等腰三角形，∴①当ME＝MC时，∴∠ECM＝∠CED＝45°，∴∠CME＝90°，∴M（﹣2，2），②当CE＝CM时，∴MM1＝CM＝2，∴EM1＝4，∴M1（﹣2，4），③当EM＝CE时，∴EM2＝EM3＝2，∴M2（﹣2，﹣2），M3（﹣2，2），即满足条件的点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；10．（2020•枣庄）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由：点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：m＝±（舍去负值），故点Q（，）；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），故点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m＝（舍去）；综上，点Q的坐标为（1，3）或（，）．11．（2019•本溪）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D 重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+x+；（32）由（2）确定的点F的坐标得：CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，①当CP＝CF时，即：（2﹣m）2＝（）2+4，解得：m＝0或（0舍去），②当CP＝PF时，同理可得：m＝，③当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），故点P（2，）或（2，﹣2）或（2，）或（2，）。
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二次函数中等腰三角形专题一．解答题（共15小题）1．如图，经过点A（0，-6）的抛物线y= 1/2x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC 内，求m的取值范围；（3）在（2）的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB 是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．2．如图，二次函数y=4/3 x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ 的形状，并求出D点坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-1/2 x2+3/2 x+2的图象与x轴交于点A，B（点B 在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=-1/2 x2+3/2 x+2的图象相交于点D，E．（1）写出点A，点B的坐标；（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．4．如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x-2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．5．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，1/4）；点F（0，1）在y轴上．直线y=-1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x 轴的垂线与直线y=-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．6．如图，抛物线y=-1/2 x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．8．已知抛物线经过A（-2，0），B（0，2），C（3/2，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=1/2 AP时，求t的值；（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．9.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．10.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0) C(8,0) D(8,8)抛物线y=ax2+bx 过A,C两点，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P 作PE⊥AB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式。
（2）过点E 作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G,当t为何值时，线段EG最长？（3）连接EQ，在点P,Q 运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以C,E,Q为顶点的△ CEQ为等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的t值，如果不存在，请说明理由。
11．点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置.（1）求点B 的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.12．已知：如图，抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q、E同时从B点出发，点E以每秒1个单位的速度沿线段BC向点C运动，点Q以每秒2个单位的速度沿线段BA向点A 运动，当其中一点到达终点时另一点也停止运动，连接CQ、EQ，求△CQE的最大面积；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0），问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请简明说明理由．13．已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式；（2）P是此抛物线的对称轴上一动点，当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；（3）M（x，y）是此抛物线上一个动点，当△MOB面积等于△OAB面积时，求M的坐标．14.如图，已知OAB的顶点A（3，0），B（0，1）O是坐标原点．将△OAB绕点O按逆时针旋转90°得到△ODC．（1）写出C、D两点的坐标；（2）求过C、D、A三点的抛物线的解析式，并求此抛物线的顶点M的坐标；（3）在线段AB上是否存在点N使得NA=NM？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(－2，0)，点B坐标为(0，2)，点E为线段AB 上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET＝45°，射线ET交线段OB于点F，C 为y轴正半轴上一点，且OC＝AB，抛物线的图像经过A，C两点．(1)求此抛物线的函数关系式．(2)求证：∠BEF＝∠AOE．(3)当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标．(4)在(3)的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为(1)中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG 面积的(2√2+1)倍．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．16.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C( 0，4)，与x轴交于点A，B，点A的坐标为(4，0).(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0).问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.17．如图，已知抛物线y=-1/4x2-1/2x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=-1/3x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l 上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．。