二次函数与等腰三角形、直角三角形的综合

二次函数的综合应用㈠一、典例精析考点一：二次函数与方程 1.（2011广东）已知抛物线212y x x c =++与x 轴有交点． (1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx +l 经过的象限，并说明理由． 解：（1）∵抛物线与x 轴没有交点 ∴⊿＜0，即1－2c ＜0 解得c ＞12(2)∵c ＞12 ∴直线y=12x ＋1随x 的增大而增大，∵b=1 ∴直线y=12x ＋1经过第一、二、三象限2.(2011南京)已知函数y=mx 2－6x ＋1（m 是常数）．⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 解：⑴当x=0时，1y =．所以不论m 为何值，函数261y mx x =-+的图象经过y 轴上的一个定点（0，1）．⑵①当0m =时，函数61y x =-+的图象与x 轴只有一个交点；②当0m ≠时，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则方程2610mx x -+=有两个相等的实数根，所以2(6)40m --=，9m =．综上，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9． 考点二：二次函数与最大问题 3、如图，二次函数c bx x y ++-=241的图像经过点()()4,4,0,4--B A ，且与y 轴交于点C . （1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：CAO BAO ∠=∠（其中O 是原点）；（3）若P 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过P 作y 轴的平行线，分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、H 两点，试问：是否存在这样的点P ，使QH PH 2=？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上，∴⎩⎨⎧+--=-++-=c b c b 444440，解得⎪⎩⎪⎨⎧==221c b ，∴二次函数解析式为221412++-=x x y . （2）过B 作x BD ⊥轴于点D ，由（1）得()2,0C ， 则在AOC Rt ∆中，2142tan ===∠AO CO CAO ，又在ABD Rt ∆中，2184tan ===∠AD BD BAD ， ∵BAD CAO ∠=∠tan tan ，∴BAO CAO ∠=∠. （3）由()0,4A 与()4,4--B ，可得直线AB 的解析式为221-=x y ，设()44,221,x x x P -⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22141,2x x x Q ， ∴22141,2122212++-=-=-=x x QH x x PH .∴2214122122++-=-x x x . 当4212122++-=-x x x ，解得 4,121=-=x x （舍去），∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--25,1P . 当4212122--=-x x x ，解得 4,321=-=x x （舍去），∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--27,3P . 综上所述，存在满足条件的点，它们是⎪⎭⎫ ⎝⎛--25,1与⎪⎭⎫⎝⎛--27,3.4.（2011安顺）如图，抛物线y =21x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． 解：（1）b =23-解析式y =21x 2-23x -2. 顶点D (23, -825).（2）当x = 0时y = -2, ∴C （0，-2），OC = 2。

∴B (4,0) ∴OA = 1, OB = 4, AB = 5. △ABC 是直角三角形.（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′=2，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD 的值最小。

解法一：设抛物线的对称轴交x 轴于点E .∵ED ∥y 轴, ∴∠OC ′M =∠EDM ,∠C ′O M =∠DEM ∴△C ′OM ∽△DEM . ∴ED C O EM OM '=∴825223=-m m ，∴m =4124． 解法二：设直线C ′D 的解析式为y = kx + n ,则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=825232n k n ，解得n = 2, 1241-=k .∴21241+-=x y .∴当y = 0时， 021241=+-x ， 4124=x . ∴4124=m . 5、（09江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝ ∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在 理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小∵223y x x =--+ ∴C 的坐标为：(0，3) 直线BC 解析式为：3y x =+Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解∴12x y =-⎧⎨=⎩ ∴Q(－1，2)（3）答：存在理由如下：设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形 若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大， ∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝11()22BE PE OE PE OC =⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++＝233927()2228x -+++ 当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-，6．（2010常德）如图，已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A (－4,0) 和B (1,0)两点，与y 轴交于C 点．ABCxyOB C A （2）设E 是线段AB 上的动点，作EF //AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF 面积的2倍时， 求E 点的坐标;（3）若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标．解：（1）故所求二次函数的解析式为213222y x x =+-．（2）∵S △CEF =2 S △BEF , ∴1,2BF CF =1.3BF BC =∵EF //AC , ∴B ,EF BAC BFE BCA ∠=∠∠=∠ ,△BEF ～△BAC ,∴1,3BE BF BA BC ==得5,3BE = E 点的坐标为(23-,0).（3）AC 的解析式为122y x =-－．若设P 点的坐标为213,222a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又Q 点是过点P 所作y 轴的平行线与直线AC 的交点，则Q 点的坐标为（1,2)2a a --．则有：2131[(2)](2)222PQ a a a =-+----＝2122a a --＝()21222a -++即当2a =-时，线段PQ 取大值，此时P 点的坐标为（－2，－3）考点三：二次函数与等腰三角形、直角三角形7.（2011湘潭）如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∴抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3．（2）∵y=-x 2+2x+3= 2(1)4x --+，∴该抛物线的对称轴为x=1．设Q 点坐标为（1，m ），则AQ BQ ==又AB =当AB=AQ 时，=m = ∴Q 点坐标为（1）或（1，）；当AB=BQ=，解得：120,6m m ==， ∴Q 点坐标为（1，0）或（1，6）；当AQ=BQ=，解得：1m =， ∴Q 点坐标为（1，1）．∴抛物线的对称轴上是存在着点Q （1）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ 是等腰三角形．8．（2010鄂州）如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ． （1）求点C 的坐标．（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．（3）若P 点开始运动时，Q 点也同时从C 出发，以P 点相同的速度沿x 轴负方向向点A 运动，t 秒后，以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形．（点P 到点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动）求t 的值． （4）在（2）（3）的条件下，当CQ =CP 时，求直线OP 与抛物线的交点坐标． 解：（1）点C 的坐标是（4，0）；（2）y = 12-x 2+32x +2． （3）设P 、Q 的运动时间为t 秒，则BP =t ，CQ =t ．以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．①若CQ =PC ，如图所示，则PC = CQ =BP =t ．∴有2t =BC =t②若PQ =QC ，如图所示，过点Q 作DQ ⊥BC 交CB 于点D ，则有CD =PD ．由△ABC ∽△QDC ，可得出PD =CD =5t ，∴5t =，解得t =4011-．③若PQ =PC ，如图所示，过点P 作PE ⊥AC 交AC 于点E ，则EC =QE PC ，∴12t （t ），解得t ．（4）当CQ =PC 时，由（3）知t P 的坐标是（2，1），∴直线OP 的解析式是：y =12x ，因而有12x =12-x 2+32x +2，即x 2-2x -4=0，解得x =1∴直线OP 与抛物线的交点坐标为（）和（．9、（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴，解得：b=﹣2，c=﹣3；（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴直线AB的解析式为：y=x+1，∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，）；（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；②如图：ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）则有：m2﹣2m﹣2=，解得：m1=，m2=，∴P 1（，），P 2（，），ⅱ）过点F 作b ⊥EF 交抛物线于P 3，设P 3（n ，n 2﹣2n ﹣3）则有：n 2﹣2n ﹣2=﹣，解得：n 1=，n 2=（与点F 重合，舍去），∴P 3（，），综上所述：所有点P 的坐标：P 1（，），P 2（，），P 3（，）能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形． 二、能力提升1．（09深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解：⑴ B （1⑵设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1,，得a，因此2y x +⑶如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得， 因此直线AB为y +，当x =－1时，y =， 因此点C 的坐标为（－1.⑷如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D .2221()()213212PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎫=+-⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎫=+⎪⎝⎭当x =－12时，△P AB1,2P ⎛- ⎝⎭.2、（2011菏泽）如图，抛物线y=x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．解：（1）把点A （﹣1，0）的坐标代入抛物线的解析式y=x 2+bx ﹣2，整理后解得，所以抛物线的解析式为．（2分）顶点D ；（3分）（2）AB=5．AC 2=OA 2+OC 2=5，BC 2=OC 2+OB 2=20，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．（6分）（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．设抛物线的对称轴交x轴于点E，△C′OM∽△DEM．∴，∴，∴m=．（10分）点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．3.（2010孝感）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°. 由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.在Rt △ABF 中，6==.∴FC=4.在Rt △ECF 中，42+（8-x ）2=x 2，解得x=5.∴CE=8-x=3.∵B （m ，0）,∴E(m+10,3),F （m+6,0）. （2）分三种情形讨论：若AO=AF ，∵AB ⊥OF ，∴OB=BF=6.∴m=6. 若OF=AF ，则m+6=10，解得m=4.若AO=OF ，在Rt △AOB 中，AO 2=OB 2+AB 2=m 2+64， ∴（m+6）2= m 2+64，解得m=73. 综合得m=6或4或73. （3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).依题意，得22(6)8(106)3a m m h a m m h ⎧--+=⎪⎨+--+=⎪⎩，解得1,41.a h ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴M （m+6，﹣1）.设对称轴交AD 于G. ∴G （m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9. ∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°， ∴∠OAB=∠MAG. 又∵∠ABO=∠MGA=90°， ∴△AOB ∽△AMG. ∴OB AB MG AG =，即896m =. ∴m=12.4．（2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－94，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ． （1）求∠ACB 的度数；（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解： (1) ∵以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ∴∠ACB =090 (2) ∵△AOC ∽△ABC ∴OB AO OC ∙=2∵A (－94，0)，点C (0，3)，∴49=AO 3=OC∴OB 4932=∴ 4=OB ∴B(4,0).. 把 A 、B 、C 三点坐标代入得 3127312++-=x x y (3) 1）OD=OB , D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。