山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题
2020-2021学年度第一学期期末学业水平诊断
高二数学
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答 题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.数列2,4,6,8,--的通项公式可能是 A.(1)2n
n a n =- B.1
(1)
2n n a n +=-
C.(1)2n n
n a =-
D.1
(1)
2n n n a +=-
2.若抛物线2
x my =过点()1,4-，则该抛物线的焦点坐标为
A.1(0,)16-
B.1(,0)16
-
C.(1,0)-
D.(0,1)-
3.与双曲线22
14915
x y -=有公共焦点且离心率为45的椭圆的标准方程为
A.22
18016y x += B.2218016x y += C.22110036y x += D.22110036
x y += 4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数.他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1,3,6,10,；正方形数1,4,9,16,
；等等.
右图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第7项为
A .35
B .51
C .70
D .92
5.设12,F F 是椭圆22
:193x y C m m
+=++的焦点，若椭圆C 上存在一点P 满足
1290F PF ∠=，则m 的取值范围是
A.(],3-∞
B.(]
3,3- C.
[)3,+∞
D.
[]3,3-
6.已知数列{}n a 满足12a =11,11,01n n n n n
a a a a a +->⎧⎪=⎨<<⎪⎩ ()n *
∈N ，则2021a =
21-
2
21+
D.2
7.如图是一水平放置的青花瓷.它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称.若该花瓶的 最小直径为12cm ，瓶口直径为20cm ，瓶高为30cm ，则该双曲线 的虚轴长为 A.
458
B.
454
C.
452
D.45
8.已知数列{}n a 的通项公式为41()n
a n n *=+∈N ，将数列{}n a 中的整数从小到大排列
得到新数列{}n b ，则{}n b 的前100项和为 A.9900
B.10200
C.10000
D.11000
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.下列命题中正确的是 A .双曲线22
1x y -=与直线20x y +-=有且只有一个公共点
B .平面内满足||||||2(0)PA PB a a -=>的动点P 的轨迹为双曲线
C .若方程22
141
x y t t +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则4t >
D .过给定圆上一定点A 作圆的动弦AB ，则弦AB 的中点P 的轨迹为椭圆
10.若数列{}n F 满足12121,1,(3,)n n n F F F F F n n *
--===+≥∈N ，则称{}n F 为斐波那契数列.记数列{}n F 的前n 项和为n S ，则 A.2
6571F F F =+
B.6
81S F =-
C.135910F F F F F +++
+= D.2
2
2
2123678F F F F F F +++
+=
11.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，12,,A B B 为椭圆的顶点，F 为右焦点，延长2B F 与1AB 交于点P ， 若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率可能为 A.
23
B.
12
C.
13
D.
14
12.已知数列1121231,,1,,,1,,,,1,
2
33
444
，则
A.数列的第
(1)
2
n n +项均为1 B.
12
13
是数列的第90项 C.数列前50项和为28
D.数列前50项和为57
2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n ∈N ，4
4a =，72a =-，则n S 的最大值为
14.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点与抛物线2
4y x =的焦点重合，过点
11(,)22M -且斜率为1
2的直线交椭圆C 于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆
C 的方程为
15.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，55S =，1015S =，则1617181920a a a a a ++++的
值为
16.汽车前照灯的反射镜为一个抛物面.它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上.由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过透镜的折射等作用达到照亮路面的效果.如图，从灯泡发出的光线FP 经抛物线2
2y
px =反射后，沿PN 平行射出，
FPN ∠的角平分线PM 所在的直线方程为
2120x y +-=，则抛物线方程为
四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
从条件①2
21b a =-，②412b a =-，③22b a =中任选一个补充在下面问题中，并解答.
问题：已知数列{}n a 的各项均为正数，{}n b 为等比数列，2
2
1122n n n n a a a a ++-=+，
111a b ==， ，求数列{}n n a b 的前n 项和n S .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（12分）
动点(,)M x y 与定点1(5,0)F 的距离和M 到定直线9
:5
l x =的距离的比是常数53.
（1）求动点M 的轨迹方程；
（2）设2(5,0)F -，点P 为M 轨迹上一点，且1260F PF ∠=，求12F PF ∆的面积.
19.（12分）
在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会超出一些买主的支付能力，贷款消费不失为一种可行的选择，但是也要量入为出，理智消费.某家庭计划在2021年元旦从某银行贷款10万元购置一辆轿车，贷款时间为18个月.该银行现提供了两种可选择的还款方案：方案一是以月利率0.4%的复利计息，每月底还款，每次还款金额相同；方案二是以季度利率1.2%的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同.（注：复利是指把前一期的利息与本金之和作为本金，再计算下一期的利息.）
（1）分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额为多少万元？（结果精确到小数点后三位，参考数据：18
1.004 1.0745≈，6
1.012 1.0742≈.） （2）从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选择哪种方案？说明理由.
已知抛物线C 的方程为2
8x y =，点()0,4M ，过点M 的直线交抛物线于,A B 两点.
（1）
2
2
11AM
BM
+
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）若点Q 是直线:4l y =-上的动点，且OQ AB ⊥，求ABQ ∆面积的最小值.
21.（12分）
已知F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点，点M 在椭圆上，MF x ⊥轴，
MF =4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P 为直线:l x =Q 为椭圆C 上一点，且以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，求2
2
16OP OQ -的取值范围.
22.（12分）
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，426a a -=，53423S S S +=.数列{}n b 的前n 项
和为n T ，且1
2b =，1(1)(1)n n nT n T n n +=+++.
（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若(1)(1)(2)
n n
n S b c n n +=
++，n M 为数列{}n c 的前n 项和，是否存在不同的正整数,,p q r
（其中,,p q r 成等差数列），使得2,2,2p q r M M M +++成等比数列？若存在，求出所有满足条件的,,p q r 的值；若不存在，说明理由.。
山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题
山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列2,4,6,8,--的通项公式可能是A.(1)2n n a n =-B.1(1)2n n a n +=-C.(1)2n n n a =-D.1(1)2n n n a +=- 2.若抛物线2x my =过点()1,4-，则该抛物线的焦点坐标为 A.1(0,)16- B.1(,0)16- C.(1,0)-D.(0,1)-3.与双曲线***-*****x y -=有公共焦点且离心率为45的椭圆的标准方程为A.22*****y x += B.***-*****x y += C.***-*****y x += D.***-*****x y += 4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数.他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1,3,6,10,；正方形数1,4,9,16,；等等.右图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第7项为A .35B .51C .70D .92 5.设12,F F 是椭圆22:193x y C m m+=++的焦点，若椭圆C 上存在一点P 满足1290F PF ∠=，则m 的取值范围是A.(],3-∞B.(]3,3-C.[)3,+∞D.[]3,3-a a a a a +-??=??? ()n *∈N ，则2021a = 21 2 21 D.27.如图是一水平放置的青花瓷.它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称.若该花瓶的最小直径为12cm ，瓶口直径为20cm ，瓶高为30cm ，则该双曲线的虚轴长为A.458 B.454 C.452 D.458.已知数列{}n a 的通项公式为41()n a n n *+∈N ，将数列{}n a 中的整数从小到大排列得到新数列{}n b ，则{}n b 的前100项和为A.9900B.*****C.*****D.*****二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020～2021学年度第二学期期末考试高二数学答案
2021～2022学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案BDADBBCCA二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10．111．1812．2214x y -=13．848(,,999-14．(],1-∞；0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎣⎦⎝⎭15．2214x y +=三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：依题意，设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，则代入圆的一般方程，193016442014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩………………………3分∴D ＝2-………………………4分E ＝4，………………………5分F ＝20-，………………………6分∴x 2+y 22x -4y +20-＝0，………………………8分令x ＝0，可得24200y y +-=，………………………9分∴y ＝2-±……………………10分∴PQ ＝．……………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列}{n a 的公比为q ，则41(1)151a q q -=-………………………2分4211134a q a q a =+………………………3分因为各项均为正数，所以2q =………………………4分解得11a =………………………5分故}{n a 的通项公式为12n n a -=………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知12n n a -=，………………………7分*22()n n n b n a n n =⋅=⋅∈N ………………………8分所以1212222nn S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④………………………9分③-④得1212222n n n S n +-=+++-⨯ ……………………10分11222n n n ++=--⨯1(1)22n n +=-⨯-……………………11分所以1(1)22n n S n +=-⨯+……………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连接1CD ，因为O ，P 分别是AC ，1AD 的中点，………………………2分所以1∥OP CD ．………………………3分又因为OP ⊄平面11CC D D ，………………………4分1CD ⊂平面11CC D D ，………………………5分所以OP ∥平面11CC D D ．………………………6分（Ⅱ）依题意，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可得)0,0,2(A ,)2,0,0(1D ,)1,0,1(P ,)0,2,2(B ,)0,2,0(C ，)2,2,0(1C .………7分依题意)2,0,2(1-=BC ………………………8分设),,(z y x n =为平面BPC 的法向量………………………9分则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PC n PB n 得)2,1,0(=n ……………………10分因此510==BC n ……………………11分所以，直线1BC 与平面BPC 所成角的正弦值为510.………………12分解：（Ⅰ）由题意知：c ……………………1分根据椭圆的定义得：122a =+，即2a =．……………………2分2431b =-=．……………………3分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………4分（Ⅱ）由题:①当直线l 的斜率不存在时，l的方程是x =．……………………5分此时||1AB =，||OP =，所以24=||=1||OP AB λ--．…………6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l的方程为=(y k x ，…………7分11(,)A x y ，22(,)B x y ．由⎪⎩⎪⎨⎧-==+3(1422x k y y x可得2222(41)1240k x x k +-+-=．显然0∆>，则212241x x k +=+，212212441k x x k -=+，...............8分因为11=(y k x，22=(y k x ，所以||AB ==221441k k +=+．....................9分所以22223||1k OP k ==+，……………………10分此时2222341==111k k k k λ+--++．……………………11分综上所述，λ为定值1-．……………………12分解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为(0)q q >，由题意得324113541114242a q a q a q a q a q⎧=⎨=+⎩，………1分解得11212q a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………………2分所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，………………………3分当2n ≥时，11122n n n n n nb n b S S b --+=-=-,………………………4分即11n n b b n n -=-，………………………5分∴{}nb n是首项为1的常数列，………………………6分所以1nb n=∴n b n =………………………7分（Ⅱ）设()()()212121(3)241112222n n n n n n b a n c b b n n +++++==-++，n *∈N ，……………8分()111212n n n n +=-⋅+………………………9分所以2231111111122222322(1)2n n n A n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯+⨯ …………10分1112(1)2n n A n +=-+⨯……………………11分因为*n N ∈，所以12n A <.……………………12分。
2020-2021学年山东省新高考测评联盟上学期高二10月联考数学试题(解析版)
2020-2021学年山东省新高考测评联盟上学期高二10月联考数学试题一、单选题1．点()3,4,5P -关于xOz 平面对称的点的坐标是（ ）A ．()3,4,5B ．()3,4,5--C ．()3,4,5--D ．()3,4,5--【答案】B【解析】本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可.【详解】解：因为点(,,)x y z 关于xOz 平面对称的点的坐标是(,,)x y z -，所以点()3,4,5P -关于xOz 平面对称的点的坐标是()3,4,5--，故选：B.【点睛】本题考查求点关于坐标平面对称的点的坐标，是基础题.2．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA B C '''的面积为4，则该平面图形的面积为（ ）A 2B ．42C ．82D ．22【答案】C 【解析】由原图的面积是直观图面积的22.【详解】已知直观图OA B C '''的面积为4, 所以原图的面积为22482=，故选：C【点睛】本题主要考查了斜二测画法，切要掌握原图的面积是直观图面积的22倍，属于基础题.3．如图所示，在三棱锥A BCD -中，点F 在棱AD 上，且3AF FD =，E 为BC 中点，则FE 等于（ ）A ．113224AC AB AD --+ B ．113224AC AB AD +- C ．112223AC AB AD -+- D ．112223AC AB AD -+ 【答案】B【解析】根据空间向量的线性运算求解即可.【详解】 ()1311324224EF EB BA AF AB AC AB AD AC AB AD =++=--+=--+， 所以，113224FE EF AC AB AD =-=+- 故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算,属于基础题.4．已知αβ⊥且l αβ=，m α⊂则“m β⊥”是“m l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】本题先判断充分性满足，再判断必要性满足，最后给出答案.【详解】解：充分性：因为l β⊂，m β⊥，所以m l ⊥，所以充分性满足；必要性：因为αβ⊥且l αβ=，m α⊂，m l ⊥，所以m β⊥，所以必要性满足.所以“m β⊥”是“m l ⊥”的充要条件故选：C【点睛】本题考查充要条件的判断、线面垂直与线线垂直的判断，是基础题5．现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为（ ） A ．3πB ．3π2C ．5π2D ．5π 【答案】D【解析】由已知条件知，圆锥的高h 和底面直径2r 都为2，即可求圆锥的母线长l ，利用圆锥侧面积公式S rl π=求面积即可.【详解】同底等高的圆锥和圆柱，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，知：圆锥的高h 和底面直径2r 都为2， ∴圆锥的母线长为：225l h r =+=，有侧面积5S rl ππ==.故选：D【点睛】本题考查了圆锥侧面积的求法，结合圆柱、正方形的性质，并应用了圆锥侧面积公式S rl π=，属于简单题.6．在我们身边，随处都可以看到各种物体的影子.现有一边长为5米的正方形遮阳布，要用它搭建一个简易遮阳棚，正方形遮阳布所在平面与东西方向的某一条直线平行.设正南方向射出的太阳光线与地面成60°角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么遮阳布所在平面与阴影面所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【答案】A【解析】由题意画出图像，虚线表示光线，AB 边表示遮阳布，5AB c ==， 设,,ABC BC a AC b θ∠===，在ABC 中，求出53sin 5cos 3a θθ=+，再利用辅助角公式得到()103sin 60a θ=+︒，要使面积最大，则a 最大即可得出结果. 【详解】如图，虚线表示光线，AB 边表示遮阳布，即5AB c ==，设,,ABC BC a AC b θ∠===，那么遮阳布所在平面与阴影面所成角的大小为θ，则60C ∠=°，作AD BC ⊥交BC 于点D ， 那么如图构成的ABC 中有：则1sin 53cos 5cos 2sin 603c a c θθθθ=+⨯=+︒， 由辅助角公式得：()10360a θ=+︒， 要使面积最大，则a 最大，当6090θ+︒=︒，即30θ=︒.故选：A.【点睛】本题主要考查了辅助角公式以及解三角形的问题.属于中档题. 72ABCD 沿对角线AC 折起，使得2BD =，则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．2C ．32D 6【答案】A【解析】分别取AC ，BD ，BC 中点为E ，F ，G ，则有//FG CD ，//EG AB ，得到FGE ∠为异面直线AB 与CD 所成的角，然后根据正方形的边长和BD 的长度，利用中位线及直角三角形中线定理求得EF ，FG ，EG 的长度求解.【详解】如图所示：分别取AC ，BD ，BC 中点为E ，F ，G ，连接BD ，EF ，EG ，FG ，DE ，EB ，则//FG CD ，//EG AB ，所以FGE ∠为异面直线AB 与CD 所成的角， 22FG =，2EG =， 在等腰直角三角形ABC 中， 因为2AB BC ==所以2AC =.因为 点E 为AC 的中点， 所以112BE AC ==， 同理可得，1DE =.因为2222BE DE BD +==，所以BED 是等腰直角三角形.又因为 点F 为BD 的中点， 所以1222EF BD ==在EFG 中，2FG EG EF ===，所以EFG 是等边三角形，所以 60FGE ∠=，所以 1cos cos602FGE ∠==. 故选：A .【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于中档题.8．如图所示，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAC ，PA AB ⊥，4PA AB ==，且E 为PB 的中点，AF PC ⊥于F ，当AC 变化时，则三棱锥P AEF -体积的最大值是（ ）A ．23B ．2C 42D ．523【答案】C【解析】由题意知P AEF E PAF V V --=且216||||316||E PAF AC BC V AC -⋅=⋅+，令||AC a =，结合换元法、二次函数最值求P AEF -体积的最大值即可.【详解】在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAC ，4PA AB ==知：222||||||16AC BC AB +==，而1||||2||2PAC SAC PA AC =⋅⋅=， 而P AEF E PAF V V --=且1||32E PAF PAF BC V S -=⋅⋅，又222||||||PAF PAC PA S S PA AC =⋅+∵E 为PB 的中点，知：21||16||||32316||E PAF PAF BC AC BC V S AC -⋅=⋅⋅=⋅+∴设||AC a =，则||BC =216316E PAF V a -=⋅+，令21616m a =+≥，有161633E PAF V -==令11(0,]16x m =∈，163E PAF V -=而由二次函数2()512481f x x x =-+-的性质知：364x =时有最大值为18，∴E PAF V -最大值为1633=， 故选：C【点睛】 本题考查三棱锥的体积计算，结合换元法、二次函数最值求三棱锥体积最值，注意换元过程中定义域的等价变化.二、多选题9．下面关于空间几何体叙述不正确的是（ ）A ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B ．棱柱的侧面都是平行四边形C ．直平行六面体是长方体D ．直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥【答案】ACD【解析】在A 中，棱锥顶点在底面投影必须是底面正多边形的中心，即可判断A ；在B 中，棱柱的侧面都是平行四边形是正确的；在C 中，直平行六面体底面是平行四边形侧棱垂直于底面即可，即可判断C ；在D 中，以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体不是圆锥，即可判断D【详解】对于A ：底面是正多边形且棱锥顶点在底面投影必须是底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥，故选项A 不正确；对于B ：棱柱的侧面都是平行四边形是正确的，故选项B 正确；对于C ：直平行六面体底面是平行四边形侧棱垂直于底面，不一定是长方体，故选项C 不正确；对于D ：以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故选项D 不正确；故选：ACD【点睛】本题主要考查了棱锥、棱柱、和和圆锥的结构特征，属于基础题.10．设{},,a b c 是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ）A ．a ，b ，c 可以为任意向量B ．对空间任一向量p ，存在唯一有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc =++C ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥D ．{}2,2,2a b b c c a +++可以作为构成空间的一组基底【答案】BD【解析】根据可作为基底的一组向量的性质，结合向量垂直、共线的判定，判断各选项的正误即可.【详解】A 选项：a ，b ，c 为不共线的非零向量；B 选项：由向量的基本定理知，空间任一向量p ，存在唯一有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc =++；C 选项：a b ⊥，b c ⊥，则,a c 不一定垂直；D 选项：{}2,2,2a b b c c a +++中三个向量间无法找到实数λ使得它们之间有λ=m n 的等式形式成立，即可以构成基底.故选：BD【点睛】本题考查了向量的基本定理，理解作为基底向量的非零、不共线性质，应用向量垂直、共线判定正误. 11．如图所示，有一正四面体形状的木块，其棱长为a ，点P 是ACD △的中心.劳动课上，需过点P 将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB 和CD ，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）A ．截面与侧面ABC 的交线平行于侧面ABDB ．截面是一个三角形C ．截面是一个四边形D ．截面的面积为24a 【答案】AC【解析】先作出符合题意的截面，分别取BC 、AC 、BD 、AD 的三等分点E 、M （靠近C 点），F 、N （靠近D 点），四边形EMNF 是平行四边形，即为所作截面，即可逐一判断四个选项的正误.【详解】因为正四面体的四个面都是等边三角形，点P 是ACD △的中心，所以P 位于CD 中线的23处， 分别取BC 、AC 、BD 、AD 的三等分点E 、M （靠近C 点），F 、N （靠近D 点），则//EM AB ，//EF CD ，且截面EMNF 经过点P ，满足题意，因为//EM FN 且=EM FN ，所以四边形EMNF 是平行四边形， 平面EMNF ⋂平面ABC EM =，//EM FN ，NF ⊂平面ABD ，所以//EM 平面ABD ，所以选项A 正确；截面是一个四边形，故选项B 不正确；选项C 正确；四边形EMNF 是边长为23a 的菱形，所以面积不是24a ，故选项D 不正确， 故选：AC【点睛】本题主要考查了线面平行判断的应用以及空间几何体的截面图形，属于中档题12．如图所示，已知二面角A BD C --的大小为π3，G ，H 分别是BC ，CD 的中点，E ，F 分别在AD ，AB 上，13AE AF AD AB ==，且AC ⊥平面BCD ，则以下说法正确的是（ ）A ．E ，F ，G ，H 四点共面B ．//FG 平面ADCC ．若直线FG ，HE 交于点P ，则P ，A ，C 三点共线D ．若ABD △的面积为6，则BCD 的面积为3【答案】ACD【解析】A 选项：先证明得到//EF BD ，再证明得到//GH BD ，最后证明//EF GH 并判断A 选项正确；B 选项：先假设//FG 平面ADC 成立得到F 是AB 的中点，再与13AF AB =产生矛盾，判断B 选项错误；C 选项：先得到P ∈平面ABC 和P ∈平面DAC ，再证明P AC ∈，判断C 选项正确；D 选项：因为二面角A BD C --的大小为π3，AC ⊥平面BCD ，所以点A 到直线BD 的距离是点C 到直线BD 的距离的2倍，故ABD CBD SS =，故D 选项正确； 【详解】解：A 选项：在ABD △中，因为13AE AF AD AB ==，所以//EF BD ，在BCD 中，因为G ，H 分别是BC ，CD 的中点，所以//GH BD ，所以//EF GH ，所以E ，F ，G ，H 四点共面，故A 选项正确； B 选项：假设//FG 平面ADC 成立，因为平面ABC 平面DAC AC =，所以//FG AC ，又G 是BC 的中点，所以F 是AB 的中点，与13AF AB =矛盾，故B 选项错误； C 选项：因为FG ⊂平面ABC ，P FG ∈，所以P ∈平面ABC ，同理P ∈平面DAC ，因为平面ABC平面DAC AC =，所以P AC ∈，所以P ，A ，C 三点共线，故C 选项正确；D 选项：因为二面角A BD C --的大小为π3，AC ⊥平面BCD ，所以点A 到直线BD 的距离是点C 到直线BD 的距离的2倍，故ABD CBD SS =，故D 选项正确； 故选：ACD【点睛】本题考查证明空间四点共面、证明线面平行、证明三点共线，是中档题.三、填空题13．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，45PBA ∠=，60PBC ∠=，则ABC ∠为______. 【答案】45【解析】作出图形，设2AB =，过点A 在平面ABC 内作AD BC ⊥，连接PD ，计算出BD ，进而可求得ABC ∠的值. 【详解】①当ABC ∠为锐角时，如下图所示：设2AB =，过点A 在平面ABC 内作AD BC ⊥，垂足为点D ，连接PD ，PA ⊥平面ABC ，BC 、AB 平面ABC ，PA AB ∴⊥，PA BC ⊥，45PBA ∠=，所以，PAB △为等腰直角三角形，且2PA AB ==，2222PB PA AB ∴=+=，AD BC ⊥，PA BC ⊥，AD PA A ⋂=，BC ∴⊥平面PAD ， PD ⊂平面PAD ，PD BC ∴⊥，60PBC ∠=，cos 22cos602BD PB PBC ∴=∠==AD BC ⊥，所以，2cos 2BD ABC AB ∠==，则45ABC ∠=； ②若ABC ∠为直角，则BC AB ⊥， 又PA BC ⊥，PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，BC PB ∴⊥，这与60PBC ∠=矛盾；③若ABC ∠为钝角，过点A 在平面ABC 内作AD BC ⊥，垂足为点D ，如下图所示：则点D 在射线CB 上，由①同理可知PD BC ⊥，进而可知PBD ∠为锐角，则PBC ∠为钝角，这与60PBC ∠=矛盾，不合乎题意.综上所述，45ABC ∠=. 故答案为：45. 【点睛】本题考查三棱锥中角的计算，考查计算能力，属于中等题.14．如图所示，已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，2AB AD ==，14AA =，1160BAA DAA BAD ∠=∠=∠=︒.M 为1CC 的中点，则AM 长度为______.【答案】26【解析】利用空间向量的加法得到11112AM AC C M AB AD AA =+=++，然后再由22112AMAB AD AA ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用空间向量的数量积求解.【详解】 因为11112AM AC C M AB AD AA =+=++， 所以22222111111224AMAB AD AA ABADAA AB AD AA AB AD AA ⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭，222111122422242424222=++⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， 24=，所以26AM =故答案为： 26 【点睛】本题主要考查空间两点间距离的向量的求法，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.15．如图所示，在四面体A BCD -中，ABC 为正三角形，四面体的高3AH =，若二面角A BC D --的大小为π3，则ABC 的面积为______.【答案】43【解析】利用正三角形的性质，结合二面角的定义、线面垂直的判定定理和性质、三角形面积公式进行求解即可 【详解】取BC 的中点E ，连接,EA EH ，设正三角形ABC 的边长为a ，由正三角形的性质可得AE BC ⊥，由勾股定理可得：2213()22AE AB BC a =-=，因为AH 是四面体A BCD -的高，所以AH ⊥平面BCD ，而BC ⊂平面BCD ， 所以AH BC ⊥，而AHAE A =，,AH AE ⊂平面AHE ，因此BC ⊥平面AHE ，因为HE ⊂平面AHE ，所以有BC HE ⊥，因此AEH ∠是二面角A BC D --的平面角，所以3AEH π∠=，在RtAEH 中，sin sin 433AH AEH a AE a π∠=⇒=⇒=， 因此ABC 的面积为：13344432a a ⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：43 【点睛】本题考查了二面角的定义，考查了线面垂直的判定定理和性质应用，考查了数学运算能力和推理论证能力. 16．《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（biēnào ）.如图所示，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，则该三棱锥即为鳖臑.若2AB =且三棱锥外接球的体积为36π，则PB AC +长度的最大值是______.【答案】45【解析】由三棱锥外接球体积求半径为3R =，根据已知条件知PA 与AC 构成平面一定是外接球过球心的截面，即可得222||||44PA AC R =+而222||||||PB PA AB =+，结合基本不等式求PB AC +最大值即可. 【详解】设三棱锥外接球的半径为R ，由体积为36π，知：34363R ππ=，即3R =，又∵PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，知：面ABC 的外接圆半径为2AC r =，即有：222||||944PA AC R =+=，有22||||36PA AC +=，而在Rt PAB 中2AB =，2222||||||||4PB PA AB PA =+=+，∴22||||40PB AC +=，而222(||||)2(||||)80PB AC PB AC +≤+=，当且仅当||||PB AC =时等号成立，∴||||PB AC +≤故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题、以及应用基本不等式求最值，注意理解当三棱锥中有一条棱垂直于底面时底面外接圆半径、球半径与这条棱之间的关系. 四、解答题17．已知(),1,3a x =-，()1,2,1b =-，()1,0,1c =，()//2c a b +. （1）求实数x 的值；（2）若()()a b a b λ-⊥+，求实数λ的值. 【答案】（1）2；（2）917λ=. 【解析】（1）根据,2c a b +共线，设()2c a b λ=+，再根据对应坐标相等求解出x 的值； （2）先用坐标表示出,a b a b λ-+，然后根据向量垂直对应的数量积为0求解出λ的值. 【详解】（1）()()()22,1,31,2,121,0,5a b x x +=-+-=+. ∵ ()//2c a b +， ∴ 设()()20c a b λλ=+≠，∴ ()()()1,0,121,0,5x λλ=+，∴ ()211,51,x λλ⎧+=⎨=⎩即1,52,x λ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴x 的值为2.（2）()()()2,1,31,2,11,3,4a b -=---=-，()()()2,1,31,2,121,2,31a b λλλλλ+=-+-=+-+-.∵ ()()a b a b λ-⊥+，∴ ()()21324310λλλ+--++-=， ∴ 917λ=. 【点睛】本题考查根据空间向量的共线与垂直求解参数值，主要考查学生对坐标形式下空间向量的平行与垂直关系的理解，难度较易.18．如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为对角线1BD 的中点，E 为11C D的中点.（1）求异面直线DP 与1BC 所成角的大小；（2）若平面1PB E ⋂平面11BCC B m =，求证：//PE m . 【答案】（1）90°；（2）证明见解析.【解析】（1）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a ，写出各点的坐标表示,求出向量DP ，1BC 的坐标,再用向量的的余弦值公式111cos ,DP BC DP BC DP BC ⋅=⋅，即可得出异面直线DP 与1BC 所成角的大小.（2）根据三角形的中位先定理得出1//PE BC ，从而证得//PE 平面11BCC B .又PE ⊂平面1PB E ，平面1PB E ⋂平面11BCC B m =，最后可得//PE m .【详解】解:（1）如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a ，则()0,0,0D ，(),,0B a a ，()10,,C a a ，()10,0,D a ，,,222a a a P ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴,,222a a a DP ⎛⎫=⎪⎝⎭，()1,0,BC a a =-， 则DP ，1BC 所成角的余弦值为111cos ,0DP BC DP BC DP BC ⋅==⋅，∴异面直线DP 与1BC 所成角为90°.（2）证明：在11BD C △中，P ，E 分别为1BD ，11C D 的中点， ∴1//PE BC ，∵PE ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B . ∴//PE 平面11BCC B .∵PE ⊂平面1PB E ，平面1PB E ⋂平面11BCC B m =， ∴//PE m . 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小,考查线线平行的证明,考查学生的空间思维能力,属于中档题. 19．如图所示，在三棱锥P ABC -中，点M ，N 分别在棱PC ，AC 上，且N 为AC 的中点.（1）当M 为PC 的中点，求证：//MN 平面PAB ； （2）若平面PAB ⊥平面ABC ，BC PA ⊥，求证：12BN CA =. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）先证明//MN PA ，再结合MN ⊄平面PAB 和PA ⊂平面PAB 证明//MN 平面PAB . （2）先证明PH BC ⊥，再证明BC AB ⊥说明ABC 是直角三角形，最后证明12BN CA =. 【详解】证明：（1）∵N 为AC 的中点，M 为PC 的中点， ∴MN 为PAC 的中位线， ∴//MN PA .∵MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴//MN 平面PAB .（2）如图所示，作PH AB ⊥于H .∵平面PAB ⊥平面ABC 且平面PAB ⋂平面ABC AB =， ∴PH ⊥平面ABC ， ∴PH BC ⊥. ∵BC PA ⊥且PAPH P =，PA ⊂平面PAB ，PH ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC AB ⊥.在直角三角形ABC 中，N 为斜边AC 的中点， ∴12BN CA =. 【点睛】本题考查利用线线平行证明线面平行、利用面面垂直证明线面垂直、利用线面垂直证明线线垂直，还考查了直角三角形中的长度关系，是中档题20．如图所示，平行四边形ABCD 的边AD 所在的直线与菱形ABEF 所在的平面垂直，且GB GE =，AE AF =.（1）求证：平面ACG ⊥平面ADF ；（2）若2AF =，______，求二面角C AG F --的余弦值，从①2BC AB ，②BC AG =这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题. 【答案】（1）证明见解析；（2）选①2BCAB ，二面角C AG F --的余弦值为13-， 选②BC AG =，二面角C AG F --的余弦值为12-， 【解析】（1）利用AD ⊥平面ABEF ，可得AD AG ⊥，由AG BE ⊥，可得AG AF ⊥，即证AG ⊥平面ADF ，从而得证； （2）选①2BCAB ，可证平面//BCE 平面ADF ，又AG ⊥平面BCE ，可知CGE ∠即为二面角C AG F --的平面角，求解即可；选②BC AG =，由（1）知AG ⊥平面ADF ，可知平面//BCE 平面ADF ，所以AG ⊥平面BCE ，可证明CGE ∠即为二面角C AG F --的平面角，利用余弦定理解之即可. 【详解】（1）∵AE AF =，∴AE AB EB ==，即ABE △为等边三角形.∵GB GE =，∴G 为BE 中点，故AG BE ⊥， ∴AG AF ⊥.∵AD ⊥平面ABEF ， ∴AD AG ⊥. ∵AFA AD =，∴AG ⊥平面ADF ， ∵AG ⊂平面ACG ， ∴平面ACG ⊥平面ADF . （2）选①由（1）知AG ⊥平面ADF ， ∵//BC AD ，//BE AF ，BC BE B =，∴平面//BCE 平面ADF ， ∴AG ⊥平面BCE . ∵CG ⊂平面BCE ，GE平面BCE ，∴AG CG ⊥，AG GE ⊥，∴CGE ∠即为二面角C AG F --的平面角.∵BC ==1BG =，∴3CG =，∴1cos 3CGB ∠=， ∴1cos 3CGE ∠=-，即二面角C AG F --的余弦值为13-.选②由（1）知AG ⊥平面ADF ， ∵//BC AD ，//BE AF ，BC BE B =，∴平面//BCE 平面ADF ， ∴AG ⊥平面BCE . ∵CG ⊂平面BCE ，GE平面BCE ，∴AG CG ⊥，AG GE ⊥，∴CGE ∠即为二面角C AG F --的平面角，∵BC AG ==1BG =，∴2CG =， ∴1cos 2CGB ∠=∴1cos 2CGE ∠=-，即二面角C AG F --的余弦值为12-. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定，以及二面角的平面角的求解，属于中档题.21．如图所示，已知三棱台111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ，ABC 是正三角形，侧面11BCC B 是等腰梯形，111224AB BB B C ===，E 为AC 的中点.（1）求证：1AA BC ⊥；（2）求直线1EB 与平面11ABB A 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）65. 【解析】（1）作出辅助线，根据线面垂直的判定定理先证明BC ⊥平面11AOO A ，由此可证明1AA BC ⊥； （2）建立合适空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值求解出线面角的正弦值.【详解】（1）证明：如图所示，分别取BC ，11B C 的中点O ，1O ，连接11AO ，1OO，AO ，∵ABC 为正三角形∴AO BC ⊥∵侧面11BCC B ⊥平面ABC ，平面11BCC B 平面ABC BC =，AO ⊂平面ABC ， ∴AO ⊥平面11BCC B ，同理，11AO ⊥平面11BCC B ，∴11//AO AO ，∴1A ，1O ，O ，A 四点共面.∵等腰梯形11BCC B 中，O ，1O 是BC ，11B C 的中点，∴1OO BC ⊥.又AO BC ⊥，1AO OO O ⋂=，∴BC ⊥平面11AOO A ，∵1AA ⊂平面11AOO A ，∴1AA BC ⊥.（2）解：由（1）知AO ⊥平面11BCC B∵1OO ⊂平面11BCC B ，∴1AO OO ⊥，∴1OO ，OA ，OB 两两互相垂直，∴以O 为坐标原点，OA ，OB ，1OO 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则由题意知()23,0,0A ，()0,2,0B ，()10,1,3B ，()0,2,0C -，()3,1,0E -，∴()13,2,3EB =-，()23,2,0AB =-，()10,1,3BB =-.设平面11ABB A 的一个法向量(),,n x y z =，则 12320,30.n AB x y n BB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1x =得3y =，1z =，此时()1,3,1n =.∴111236cos ,105EB nEB n EB n ⋅===⋅⋅. 设所求线面角为θ，则16sin cos ,EB n θ==， ∴直线1EB 与平面11ABB A 所成角的正弦值为6. 【点睛】本题考查立体几何的综合，其中涉及到空间中线线垂直关系的证明、线面角的向量求法，难度一般.利用向量方法求解线面角的正弦值时，要注意：直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值.22．如图所示，正方形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，动点P 在线段EF （包含端点E ，F ）上，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，22AB DE ==.（1）若P 为EF 的中点，求点N 到平面PDM 的距离；（2）设平面PDM 与平面ABCD 所以的锐角为θ，求cos θ的最大值并求出此时点P 的位置.【答案】（16（2）cos θ的最大值23，此时P 点与F 点重合. 【解析】（1）以A 点为坐标原点，以AB ，AD ，AF 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PDM 的一个法向量为()1111,,y z =n ，求出法向量，设点N 到平面PDM 的距离为d ，利用公式即可求得，1NM d ⋅=n n .（2）因为动点P 在线段EF （包含端点E ，F ）上，可设()()0,,102P t t ≤≤，设平面PDM 的一个法向量为()2221,,y z =n ，平面ABCD 的一个法向量()00,0,1=n ，利用公式2020cos n n n n θ⋅=⋅求解即可【详解】解：以A 点为坐标原点，以AB ，AD ，AF 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（1）由图可得()0,2,0D ，()2,1,0N ，()1,0,0M ，()0,1,1P ，则()1,1,1PM =--，()0,1,1PD =-，()1,1,0NM =--.设平面PDM 的一个法向量为()1111,,y z =n ，由11111110,0n PM y z n PD y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩可得1111,,22⎛⎫= ⎪⎝⎭n . 设点N 到平面PDM 的距离为d ，则16NM d ⋅==n n . （2）因为动点P 在线段EF （包含端点E ，F ）上，可设()()0,,102P t t ≤≤，则()1,,1PM t =--，()1,2,0MD =-.设平面PDM 的一个法向量为()2221,,y z =n ，由2222210,120n PM ty z n MD y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩可得2121,,22t -⎛⎫= ⎪⎝⎭n . ∵平面ABCD 的一个法向量()00,0,1=n ，∴)cos 02t θ===≤≤∴当0t =时，cos θ取得最大值23，此时P 点与F 点重合. 【点睛】 本题考查利用法向量求点到面的距离，以及法向量求面面角公式的运用，主要考查学生的运算能力，属于中档题.。
2020-2021学年山东省烟台市高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B. 空间的基底有且仅有一个C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D. 直线的方向向量有且仅有一个2.直线的倾斜角是( )A. B. C.D.3.已知，，，若P ，A ，B ，C 四点共面，则( )A. 9B.C. D. 34.已知实数x ，y 满足，那么的最小值为( )A. B.C. 2D. 45.直线的一个方向向量是( )A.B.C.D.6.正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为( )A.B.C. D.7.棱长为1的正方体中，O 是面的中心，则O 到平面的距离是( )A.B.C. D.8.已知圆C 的方程为，过直线l ：上任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为，则直线l 的斜率为( )A. 4B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列叙述正确的有( )A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角C. 若，则D. 任意两个空间向量共面10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆C：上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为( )A. 2B. 4C. 6D. 811.如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则( )A. 直线与底面ABCD所成的角为B. 平面与底面ABCD夹角的余弦值为C.直线与直线AE的距离为D. 直线与平面的距离为12.设有一组圆：，下列说法正确的是( )A. 这组圆的半径均为1B.直线平分所有的圆C.直线被圆截得的弦长相等D. 存在一个圆与x轴和y轴均相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省烟台市2020-2021学年高一上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．sin17°cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tan x B．y＝3x C．D．y＝x33．设a＝log0.33，，c＝log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a4．函数f（x）＝x3+3x﹣2的零点所在区间为（）A．B．C．D．5．已知函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα＝（）A．B．C．D．6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝log a（x+b）图象的一部分，ABC 是函数y＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．98．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）.9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）图象关于点对称C．f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD．当时，f（x）取得最小值11．已知函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）A．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log a2C．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）三、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．14．若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为．15．函数y＝的定义域为．16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．19．（1）求函数y＝，的值域；（2）解关于x的不等式：（a＞0，且a≠1）．20．已知函数．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2e x，其中e ＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，+∞），使成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．sin17°cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．解：sin17°cos13°+sin73°cos77°＝sin17°cos13°+cos17°sin13°＝sin（17°+13°）＝，故选：B．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tan x B．y＝3x C．D．y＝x3解：y＝tan x在定义域上不具备单调性，不满足条件．y＝3x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．y＝的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．y＝x3是增函数，是奇函数，满足条件．故选：D．3．设a＝log0.33，，c＝log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a 解：∵log0.33＜log0.31＝0，，log23＞log22＝1，∴c＞b＞a．故选：A．4．函数f（x）＝x3+3x﹣2的零点所在区间为（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x3+3x﹣2是连续函数且单调递增，∵f（）＝+﹣2＝﹣＜0，f（）＝+﹣2＝＞0∴f（）f（）＜0，由零点判定定理可知函数的零点在（，）．故选：C．5．已知函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα＝（）A．B．C．D．解：令x+3＝0，求得x＝﹣3，y＝4，函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（﹣3，4），角α的终边经过点P，则cosα＝＝﹣，故选：B．6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝log a（x+b）图象的一部分，ABC 是函数y＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．解：由三角函数的图象知M＝，＝8﹣5＝3，即T＝12，则，得ω＝，则y＝sin（x+φ），由函数过B（5，），得sin（×5+φ）＝，得sin（+φ）＝1，即+φ＝2kπ+，得φ＝2kπ﹣，∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝﹣，则y＝sin（x﹣），（4≤x≤8），排除B，D，当x＝4时，y＝sin（×4﹣）＝sin＝×＝2，即A（4，2），y＝log a（x+b）过（0，0），则log a b＝0，则b＝1，则y＝log a（4+1）＝log a5＝2，得a＝，则y＝log（x+1），（0≤x＜4），排除A，故选：C．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．9解：设他至少经过t小时候才可以驾车，则0.6×100（1﹣10%）t＜20，即3×，即t×，所以t，所以t≥11，即至少经过11个小时即次日最早7点才可以驾车，故选：B．8．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝（）A．B．C．D．解：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos[2（x+φ）﹣]＝cos（2x+2φ﹣），若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，则f（x1）＝1，g（x2）＝﹣1或f（x1）＝﹣1，g（x2）＝1，不妨设f（x1）＝1，g（x2）＝﹣1，则2x1﹣＝2k1π，2x2+2φ﹣＝2k2π+π，k1∈Z，k2∈Z，即2x1＝2k1π+，2x2+＝2k2π+π﹣2φ+，两式作差得2（x1﹣x2）＝2（k1﹣k2）π+2φ﹣π，即（x1﹣x2）＝（k1﹣k2）π+φ﹣，∵|x1﹣x2|的最小值为，∴当k1﹣k2＝0时，最小，此时|φ﹣|＝，∵0＜φ＜，∴φ﹣＝﹣，得φ＝﹣＝，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数解：对于A，经过30分钟，钟表的分针转过﹣π弧度，不是﹣2π弧度，所以A错；对于B，由sinθ＞0，cosθ＜0，可知θ为第二象限角，所以B对；对于C，sinθ+cosθ＞1⇒sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＞1⇒2sinθcosθ＞0，又sinθ+cosθ＝1＞0，所以sinθ＞0，cosθ＞0，即θ为第一象限角，所以C对；对于D，函数y＝sin|x|是偶函数，但不以π周期，如f（）＝1，f（π+）＝﹣1，二者不等，所以D错；故选：BC．10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）图象关于点对称C．f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD．当时，f（x）取得最小值解：函数f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+），当x∈（，π）上，x+∈（，），故f（x）在上单调递减，故A 正确；令x＝，求得f（x）＝0，可得f（x）图象关于点对称，故B正确；f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为＝π，故C正确；当x＝+2kπ，k∈Z时，f（x）＝，为最大值，故D错误．故选：ABC．11．已知函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）A．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log a2C．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称解：函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），对于选项A，令x＞0且a﹣x＞0，解得0＜x＜a，故函数f（x）的定义域为（0，a），故选项A正确；对于选项B，f（x）＝log a x+log a（a﹣x）＝log a[（a﹣x）x]＝log a（﹣x2+ax），因为y＝﹣x2+ax图象开口向下，故y有最大值，但若0＜a＜1时，函数y＝log a x单调递减，此时f（x）无最大值，故选项B错误；对于选项C，若f（x）在（0，2）上单调递增，①当0＜a＜1时，则y＝﹣x2+ax在（0，2）上单调递减，故，解得a≤0，故不符合题意；②当a＞1时，则y＝﹣x2+ax在（0，2）上单调递增，故，解得a≥4，故选项C错误；对于选项D，f（x）＝log a x+log a（a﹣x），则f（a﹣x）＝log a（a﹣x）+log a x＝f（x），所以f（x）图象关于直线对称，故选项D正确．故选：AD．12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）解：对于A，由题意a⊗a＝log2（2a+2a）＝a+1，故A错误；对于B，（a⊗b）⊗c＝[log2（2a+2b）]⊗c＝log2[2+2c]＝log2（2a+2b+2c]，a⊗（b⊗c）＝a⊗[log2（2b+2c）]＝log2[2a+2]＝log2（2a+2b+2c]＝（a⊗b）⊗c，故正确；对于C，a⊗b＝log2（2a+2b），2a+2b≥2≥2＝2+1，所以log2（2a+2b）≥log22+1，即，故正确；对于D，（a⊗b）﹣c＝log2（2a+2b）﹣c（a﹣c）⊗（b﹣c）＝log2（2a﹣c+2b﹣c）＝log22＝log22﹣c+log2（2a+2b）＝﹣c+log2（2a+2b），故正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．解：函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，即方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不等实根，故△＝（﹣2）2﹣4×（﹣a）＞0⇒a＞﹣1，故答案为：（﹣1，+∞）．14．若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为﹣1．解：由函数是幂函数，所以m2﹣m﹣1＝1，解得m＝﹣1或m＝2；当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣1，图象不经过原点，满足题意；当m＝2时，f（x）＝x8，图象经过原点，不满足题意；所以m＝﹣1．故答案为：﹣1．15．函数y＝的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．解：要使函数有意义，则sin x+≥0，及sin x≥﹣，及2kπ﹣≤x≤2kπ+，即函数的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为．解：可以分为三步，每步走60°，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到P的距离为半径，第一步：r＝2，L1＝，第二步：r＝，L2＝，第三步：r＝1，L3＝，所以当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为L1+L3+L3＝＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．解：（1）原式＝＝＝．（2）由于tanα＝﹣2，原式＝＝＝＝﹣1．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．解：若选①：（1）由已知得，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）因为f（x）图象过点，所以，即，）又因为，所以，故．（2）由已知得，于是，解得，故g（x）的单调递增区间为．若选②：（1）由已知得，，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为f（x）图象关于直线对称，所以，即又因为，所以，故．（2）由已知得．由，）即．故g（x）的单调递增区间为．若选③：（1）由已知得，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为f（x）图象关于点对称，所以，即，又因为，所以，故．（2）由已知得，由，k∈Z，即故g（x）的单调递增区间为．19．（1）求函数y＝，的值域；（2）解关于x的不等式：（a＞0，且a≠1）．解：（1）解：令t＝log2x，由于，则t∈[﹣1，1]．于是原函数变为，由于y（t）图象为开口向上的抛物线，对称轴，且，故当，y取最小值；当t＝1时，y取最大值2．所以原函数的值域为．（2）解：当a＞1时，原不等式可化为：，解得．故a＞1时，原不等式的解集为．当0＜a＜1时，原不等式可化为：，即，解得﹣1＜x＜1．故0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．综上可得，a＞1时，原不等式的解集为．0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．20．已知函数．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．解：（1）＝＝＝，∵，所以2x+∈[﹣，]，故当，即时，函数f（x）取得最小值1；当，即时，函数f（x）取得最大值．（2）由，得．于是＝＝．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．解：（1）如图，PM＝40﹣30cosθ，PN＝40﹣30sinθ，于是S＝（40﹣30sinθ）（40﹣30cosθ）＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，其中，，故S关于θ的函数关系式为S＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，（0≤θ≤）；（2）令t＝sinθ+cosθ，则，又，当时，，所以，于是＝450t2﹣1200t+1150，S（t）为开口向上的抛物线，对称轴，又，故当t＝1时，S取得最大值为400 m2，此时，θ＝0或．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2e x，其中e ＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，+∞），使成立，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知f（x）+g（x）＝2e x，①可得f（﹣x）+g（﹣x）＝2e﹣x，由f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），所以﹣f（x）+g（x）＝2e﹣x，②于是①+②可得2g（x）＝2 e x+2 e﹣x，即g（x）＝e x+e﹣x，所以f（x）＝e x﹣e﹣x；（2）由已知f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）上恒成立，又因为f（x）为R上的奇函数，所以f（x2+3）＞f（ax﹣1）在（0，+∞）上恒成立，又因为f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的增函数，所以x2+3＞ax﹣1在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，所以．因为，当且仅当，即x＝2时取等号．所以a＜4；（3）设h（x）＝e﹣|x﹣m|，f（x）在[m，+∞）上的最小值为f（x）min，h（x）在[0，1]上的最小值为h（x）min，由题意，只需f（x）min≤h（x）min，因为f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的增函数，所以．当m≥0时，因为h（x）在（﹣∞，m）单调递增，在（m，+∞）单调递减，所以当x∈[0，1]时，h（x）min＝min{h（0），h（1）}．于是，由h（0）＝e﹣|m|≥e m﹣e﹣m得e m≤2 e﹣m，即e2m≤2，解得．考虑到，故h（1）＝e﹣11﹣m|＝e m﹣1≥e m﹣e﹣m，即，解得．因为，所以．当m＜0时，h（x）在[0，1]单调递减，所以．又e m﹣1＞0，e m﹣e ﹣m＜0，所以对任意m＜0，恒有h（1）＝e m﹣1≥e m﹣e﹣m＝f（x）min恒成立．综上，实数m的取值范围为．。
山东省烟台市2023-2024学年高二下学期7月期末学业水平诊断数学答案
2023～2024学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学参考答案及评分标准一、选择题C C AD B D C A 二、选择题9. ABD 10.BCD 11.AC 三、填空题12.80− 13.1(,]e −∞ 14.14()3n L −2L 四、解答题15.解：（1）根据已知条件，可得：······················································ 3分零假设为0H ：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联， 根据列联表中数据计算得到，2250(828212)25==8.3337.879203010403χ××−×≈>×××. ······························· 6分 根据小概率值0.005α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为创新作文比赛获奖与选修阅读课程有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.···························· 7分 （2）由题意可知X 的可能取值为1,2,3,则 ··································· 8分12823101(1)15C C P X C ===，21823107(2)15C C P X C ===， 383107(3)15C P X C ===， ········································ 11分 所以,随机变量X 的分布列为:所以17712()1231515155E X =×+×+×=. ·························· 13分 16.解：（1）当2a =−时，2()(21)e xf x x x =−+，所以2()(1)e x f x x ′=−. ········· 1分 设切点为00(,)x y ，则02000(21)e xy x x =−+，020(1)e xk x =−， 获奖 没有获奖 合计 选修阅读课程 8 12 20 不选阅读课程2 28 30 合计104050所以，切线方程为00220000(21)e(1)e ()x x y x x x x x −−+=−−. ························ 3分将(1,0)代入得200(1)0x x −=，解得00x =或01x =. ····························· 5分 故过(1,)0的切线方程为0y =或10x y +−=. ················································ 7分（2）2()(2)e (1)e (1)(1)e x x x f x x a x ax x a x ′=++++=+++. ····················· 8分当0a =时，2()(1)e x f x x ′=+，恒有()0f x ′≥，函数()f x 单调递增. ········· 10分 当0a >时，11a −−<−，当(,1)x a ∈−∞−−，或(1,)x ∈−+∞时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，当(1,1)x a ∈−−−时，()0f x ′<，函数()f x 单调递减. ···· 12分 当0a <时，11a −−>−，当(,1)x ∈−∞−，或(1,)x a ∈−−+∞时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，当(1,1)x a ∈−−−时，()0f x ′<，函数()f x 单调递减. ······· 14分综上，当0a =时，()f x 在R 上单调递增，当0a >时，()f x 在(,1)a −∞−−，(1,)−+∞上单调递增，在(1,1)a −−−上单调递减，当0a <时，()f x 在(,1)−∞−，(1,)a −−+∞上单调递增，在(1,1)a −−−上单调递减. ······························ 15分17.解：（1）由题意可知，212b b a −=，即211b −=−，故20b =. ························ 1分 由323b b a −=，可得31a =. ······················································ 2分 所以数列{}n a 的公差2d =，所以12(2)25n a n n =−+−=−. ······················ 3分由1n n n b b a −−=，121n n n b b a −−−−=， ，212b b a −=， 叠加可得 123(1)(125)2n n n n b b a a a −−+−−=+++=，整理可得 244(2)n b n n n =−+≥；当1n =时，满足上式，所以244n b n n =−+ ················································································ 5分（2）不妨设(,)m n a b m n ∗=∈N ，即225(2)m n −=−，可得2(2)52n m −+=， ········ 6分当2n k =时，29242m k k =−+，不合题意， 当21n k =−时，22672(3)7m k k k k ∗=−+=−+∈N ， ································ 7分所以21k b −在数列{}n a 中均存在公共项，又因为1357b b b b =<<< ，所以n c =221(21)n b n +=−. ································· 9分 （3）当1n =时，1514T =<，结论成立， ············································ 10分 当2n ≥时，2111111()(21)(22)241n c n n n n n=<=−−−×−， ····················· 12分所以1111111(1)43351n T n n <+−+−++−− 111(1)4n =+− 515444n =−<， 综上，54n T <. ·················································· 15分18.解：（1）记事件A =“第2次取出的小球为黑球”；事件B =“第1次取出的小球为白球”，则333311()666520P A =×+×=， ············································ 2分 333()=6510P AB =×，所以()6(|)()11P AB P B A P A ==； ·································· 4分 （2）由题意，X 的可能取值为0,1,2,3，则 ·············································· 5分3331(0)6668P X ==××=， 33333333391(1)++655665666200P X ==××××××=, 32333233237(2)++654655665100P X ==××××××=,3211(3)65420P X ==××=，10分（3）由题意可知，前1n −次取了一个白球，第n 次取了第二个白球，则：23233333332[()()()]65665665n n n n P −−−=×+××++×× ··························· 12分233232333333=[()()()()]65565656n n n n −−−−××+×+×+ =22213555()[1()()]55666n n −−×+++ 121151()13316()2[()()]5555216n n n n −−−−−=×=×−−*(2,)n n ≥∈N . ···················· 16分 所以11312[()()]52n n n P −−=×−*(2,)n n ≥∈N . ·································· 17分19.解：（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，11()ln (1)1(ln )1x f x a x a x a x x x+′=++⋅+=++， ···································· 1分显然0a ≠，令()0f x ′=，可得11ln x x x a++=−， 令1()ln x t x x x +=+，由()f x 有两个不同极值点得1()t x a =−有两个不同的正根. ·· 3分 因为22111()x t x xx x−′=−=. 当(0,1)x ∈时，()0t x ′<，()t x 单减，(1,)x ∈+∞时，()0t x ′>，()t x 单增.················································································ 5分 所以()t x 的极小值即最小值(1)2t =，又当0x →时，()t x →+∞，且x →+∞时，()t x →+∞，所以12a−>，即102a −<<. ··········································· 6分（2）设12,x x 为函数()f x 的极值点，由（1），不妨设121x x <<，下证122x x +>.要证：2121x x >−>，只要证21()(2)t x t x >−.令()()(2)(01)g x t x t x x =−−<<. ···························· 8分因为22222114(1)()()(2)0(2)(2)x x x g x t x t x x x x x −−−−′′′=+−=+=<−−. ··········· 10分 所以()g x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0g x g >=，故21()(2)t x t x >−，即122x x +>. ························· 11分 由（1）可知，在1(0,)x 上，1()(())0f x a t x a′=+<，()f x 单调递减，在12(,)x x 上，()0f x ′>，()f x 单调递增，在2(,)x +∞上，()0f x ′<，()f x 单调递减，又因为(1)0f =，所以1()(1)0f x f <=， 因为102a −<<，所以12a <−，所以12e e 1a −<<，而11111(e )(e 1)ln e e 12e 0a a a a af a =++−=>，所以()f x 在11(e ,)ax 上存在点3x ，使得3()0f x =， ····························· 13分同理2()(1)0f x f >=，又12a−>，12e e 1a −>>， 1111(e )(e1)ln ee120aaaaf a −−−−=++−=−<，所以()f x 在12(,e )ax −上存在点4x ，使得4()0f x =， ····························· 14分故()f x 存在3个零点34,1,x x ， 注意到111111()(1)ln 1((1)ln 1)()f a a x x x f x x x x x x x =++−=−++−=−， · 15分所以341x x =，所以343312x x x x +=+>. ··································· 16分所以123415x x x x ++++>，即5m n +>. ···································· 17分。
山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末考试化学试卷
2020-2021学年度第一学期期末学业水平诊断高二化学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H1C12N14O16Na23S32Fe56Pb207一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．下列说法正确的是A．p能级均含有3个相互垂直的纺锤形原子轨道B．3d2表示3d能级有两个轨道C．每一个电子层中都含有s、p、d、f能级D．同一原子中可能存在两个运动状态完全相同的电子2．下列说法正确的是A．CH4分子的球棍模型为B．铍原子最外层的电子云图为C．基态Fe原子的价电子轨道表示式为D．，该轨道表示式违背了泡利不相容原理3．下列有机物的系统命名中正确的是A．3－甲基－4－乙基戊烷B．3,3－二甲基－4－乙基己烷C．3,4,4－三甲基己烷D．3,6－二甲基庚烷4．下列关于物质性质或结构的比较错误的是A．硬度：金刚石>碳化硅>晶体硅B．熔点：CI4>CBr4>CCl4>CF4C．沸点：H2O>H2S>H2Se D．键角：NH4+>H3O+>H2O5．某有机物的结构简式如下。
下列关于该有机物的说法错误的是A．该分子不会产生顺反异构现象B．分子中的碳原子均为sp2杂化C．分子中共平面的碳原子至少为8个D．该有机物中含有的官能团为羟基、碳碳双键和酰胺基6．下图是部分短周期元素的原子序数与其某种常见化合价的关系图，若用原子序数代表所对应的元素，则下列说法错误的是A．电负性：a>f B．第一电离能：d>cC．气态氢化物的稳定性：f>e D．a和b形成的化合物可能含有共价键7.下列说法正确的是A．σ键和π键都属于共价键，均有方向性B．气体单质中，一定有σ键，可能有π键C．苯分子中每个碳原子的2sp杂化轨道中的其中一个形成大π键D．等物质的量的[Cu(H2O)4]2+与［Ag(NH3)2]+中所含的σ键数之比为3:28．根据杂化轨道理论和价电子对互斥理论模型判断，下列分子或离子的中心原子杂化方式及空间构型正确的是选项分子或离子中心原子杂化方式价电子对互斥理论模型分子或离子的空间构型A NO2-sp3四面体形V形B BF3sp2平面三角形三角锥形C SOCl2sp3四面体形三角锥形D ClO3-sp2平面三角形平面三角形9．下列说法正确的是A．水稳定是因为水中含有大量的氢键B．邻羟基苯甲醛的熔、沸点比对羟基苯甲醛的熔、沸点高C．可燃冰（CH4·8H2O）的形成是由于甲烷分子与水分子之间存在氢键D．氨气极易溶于水，原因之一是氨分子与水分子之间形成了氢键10．已知CuCl2溶液中存在：[Cu(H2O)4]2+（蓝色）＋4Cl－[Cu(Cl)4]2-（黄绿色）＋4H2O。
山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期中数学试题
山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ba=（ ）. A ．112-B ．112 C ．16-D ．162．已知10a <<﹣，0b <，则b ，ab ，2a b 的大小关系是（ ） A ．2b ab a b <<B ．2a b ab b <<C ．2a b b ab <<D ．2b a b ab <<3．已知数列{}n a 的前n 项和3()nn S k k =+为常数，那么下述结论正确的是（ ）A ．k 为任意实数时，{}n a 是等比数列B ．k = －1时，{}n a 是等比数列C ．k =0时，{}n a 是等比数列D ．{}n a 不可能是等比数列 4．若1a >，则11a a +-的最小值是 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．1376．定义在()1,-+∞上的函数()f x 满足()cos 0f x x '+<，且()01f =，则不等式()sin 1f x x +<的解集为（ ）.A ．(),0-∞B ．()1,0-C ．()0,∞+D ．()1,1-7．数列()12n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为（ ）.A ．2354(1)(2)n n n n +++ B ．2352(1)(2)n nn n +++ C ．()122n n ++D ．12n n ++ 8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中63a =，则484a a +（ ） A ．有最小值12B ．有最大值12C ．有最大值9D ．有最小值99．函数3()2f x x ax =+-在区间(1,)+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3，+∞) B ．[-3，+∞) C ．(-3，+∞)D ．(-∞，-3)10．函数()f x 的定义域为(),a b ，其导函数()f x '在(),a b 的图象如图所示，则函数()f x 在(),a b 内的极小值点个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、多选题11．下列说法正确的是（ ）A ．若x ，y >0，x +y =2，则22x y +的最大值为4；B ．若12x <，则函数y=1221x x +-的最大值为-1；C ．若x,y >0，x +y +xy =3，则xy 的最小值为1;D ．函数2214sin cos y x x=+的最小值为9. 12．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =13．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列结论正确的是（ ）. A ．()()2112x f x x f x <B ．()()1122x f x x f x +<+C ．()()12120f x f x x x -<-D ．当ln 1x >-时，()()()1122212x f x x f x x f x +>三、填空题14．已知b 克糖水中含有a 克糖（0b a >>），再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式__________．15．已知数列{}n a 的前n 项和为2233n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式为__________．16．设()ln =f x x ，若函数()()g x f x ax =-在区间(0,4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是__________．四、双空题17．将边长分别为()*1,2,3,,,n n ∈N 的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，把各阴影部分所在图形的面积由小到大依次记为(1),(2),(3),,(),f f f f n ，则()f n =_________，前n 个阴影部分图形的面积的平均值为__________．五、解答题18．设函数323(1)4()1()322a f f x x x x a '+=-++∈R .（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）若不等式2()1f x x x a '>--+对任意()0,a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.19．已知正项等比数列{}n a 是单调递增数列，且34a 与53a 的等差中项为44a ，3a 与7a 的等比中项为16.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21log n n b a +=，求数列{}n n a b +的前n 项和n S .20．甲、乙两地相距120km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过110/km h .已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （单位：/km h ）的平方成正比，且比例系数为b ，固定部分为a 元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v 的函数，并求出当64a =，1144b =时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；（2）随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当100a =，1144b =元，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小. 21．已知函数()1x f x ex -=-.（1）求()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；（2）若存在40,1ln 3x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，满足10x a e x --+<成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()tan 1f x x =-在()0,∞+上的零点按从小到大的顺序构成数列{}()*n a a N ∈.（1）试判断数列{}n a 是否为等差数列，并说明理由； （2）设42n n n b a π=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .23．已知函数2()ln f x x ax x =-+- （1）判断()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极值，求这些极值的和的取值范围.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据不等式对应方程的韦达定理得到1123b a -=-+，计算得到答案. 【详解】不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则根据对应方程的韦达定理得到：1123b a -=-+即16b a = 故选：D 【点睛】本题考查了不等式的系数关系，转化为对应方程的根与系数的关系是解题的关键. 2．D 【分析】利用不等式的性质，判断出三者的大小关系. 【详解】由于10a -<<，0b <，所以20,0ab a b ><，故ab 为三者中的最大值.由于10a -<<，所以()20,1a ∈，所以()22210,a b b a b a b b -=->>，所以2b a b ab <<.故选D. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查比较大小的方法，属于基础题. 3．B 【分析】先根据等比数列求 1k =－，再验证k = －1时，{}n a 是等比数列. 【详解】因为3n n S k =+，所以当2n ≥时111=3323n n n n n n a S S ----=-=⋅，当1n =时1=3+a k ， 若{}n a 是等比数列，则01=3+=231,a k k ⨯∴=-，若k = －1，则11=23,(1),3n n n na a n a -+⋅≥=∴{}n a 是等比数列.因此选B. 【点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若1(n na q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且212n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列； (3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则{}n a 是等比数列.4．C 【解析】 【分析】 配凑()111111a a a a +=-++--，再利用均值不等式。
山东省烟台市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024∼2025学年度第一学期期中学业水平诊断高二数学注意事项：1、本试题满分150分，考试时间为120分钟，2、答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上，3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线和直线平行，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．C ．1D ．或13．在三棱锥中，点M 在线段上，且，N 为中点，设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．5．正四棱柱中，，E ，F ，G 分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD6．过点的直线与曲线）A ．B ．C ．D ．7．在平行六面体中，底面是正方形，，，，M 是棱的中点，与平面交于点H ，则线段的长度为（ ）O xyz -()2,3,1P -xOy ()2,3,1--()2,3,1--()2,3,1---()2,3,1--210x my m ++-=10mx y ++=1-1-A BCD -AB 2AM MB = CD AB a = AC b =AD c = MN =111322a b c-- 111322a b c -++ 211322a b c--211322a b c-++()3,2-()2,12310x y ++=2370x y +-=3280x y +-=3240x y ++=1111ABCD A B C D -12AA AB =1CC BD 11A B 1C G EF ()1,2--y =22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)22,00,3⎛⎤- ⎥⎝⎦422,0,33⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦322,0,43⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ABCD A B C D '-'''ABCD 60A AB A AD ''∠=∠=︒2AB =4AA '=A B ''A C 'AMD 'A H 'ABCD8．过直线上一点P 作圆的切线，，切点为A ，B ，当最小时，直线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2022-2023学年山东省烟台市高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省烟台市高二上学期期末数学试题一、单选题 1．164是数列12、14、18、116、的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】A【分析】列举出该数列的前6项，可得结果.【详解】由题意可知，该数列为12、14、18、116、132、164、，故164是数列12、14、18、116、的第6项.故选：A.2．已知椭圆2213x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若过1F 且斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF △的周长为（ ） A ．2 B．C ．4 D．【答案】D【分析】利用椭圆的定义可求得2ABF △的周长. 【详解】在椭圆2213x y +=中，a =所以，2ABF △的周长为()()2212124AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==故选：D.3．在数列{}n a 中，12,123,1n n n n n a a a a a +<⎧=⎨->⎩，若125a =，则103a =（ ）A ．15B ．25C ．45D ．85【答案】D【分析】推导出对任意的n *∈N ，4n n a a +=，利用数列的周期性可求得103a 的值.【详解】在数列{}n a 中，12,123,1n n n n n a a a a a +<⎧=⎨->⎩，且125a =，则21425a a ==，32825a a ==，431235a a =-=，54225a a ==，，以此类推可知，对任意的n *∈N ，4n n a a +=，所以，1034253385a a a ⨯+===.故选：D.4．如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m 时，拱顶距离水面4m ，当水面上升1m 后，桥洞内水面宽为（ ）A ．4mB ．43mC ．83mD ．12m【答案】C【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，过原点且垂直于y 轴的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =->，分析可知点()8,4-在该抛物线上，求出p的值，可得出抛物线的方程，将=3y -代入抛物线方程，即可得出结果.【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，过原点且垂直于y 轴的直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =->，由题意可知点()8,4-在抛物线上，所以，()6424p =-⨯-，可得8p =，所以，抛物线的方程为216x y =-， 当水面上升1m 后，即当=3y -时，248x =，可得43x =± 因此，当水面上升1m 后，桥洞内水面宽为83m . 故选：C.5．《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载了如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（ ） A ．12B ．24C ．48D ．96【答案】B【分析】由题意可知每层灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和为381列式计算即可.【详解】设灯塔每层的灯数满足数列{}n a ，顶层的灯数为1a ，前n 项和为n S ， 则{}n a 为公比为2的等比数列，根据题意有()7171238112a S -==-,解得13a =，∴334123224a a =⨯=⨯=，塔的正中间一层悬挂灯的数量为24. 故选:B .6．若椭圆C 的中心为坐标原点､焦点在y 轴上；顺次连接C 的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接C的四个顶点构成四边形的面积为C 的方程为（ ） A ．22143y x +=B ．22162y y +=C ．22184y x +=D ．22186y x +=【答案】A【分析】由题可知，22221222a c a b a b c =⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩a 和b 的值，从而求得椭圆的方程；【详解】设椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>，由题可知，22221222a c a b a b c=⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩2a =，3b =，故椭圆的标准方程为22143y x +=．故选：A.7．已知数列{}n a 、{}n b 的通项公式分别为31n a n =-和()43n b n n *=-∈N ，设这两个数列的公共项构成集合A ，则集合{}2023,A n n n *⋂≤∈N 中元素的个数为（ ）A ．166B ．168C ．169D ．170【答案】C【分析】利用列举法可知，将集合A 中的元素由小到大进行排序，构成的数列记为{}n c ，可知数列{}n c 为等差数列，求出数列{}n c 的通项公式，然后解不等式2023n c ≤，即可得出结论.【详解】由题意可知，数列:2n a 、5、8、11、14、17、20、23、26、29、，数列:1n b 、5、9、13、17、21、25、29、33、37、，将集合A 中的元素由小到大进行排序，构成数列:5n c 、17、29、，易知数列{}n c 是首项为5，公差为12的等差数列，则()5121127n c n n =+-=-， 由1272023n c n =-≤，可得1015116966n ≤=+， 因此，集合{}2023,A n n n *⋂≤∈N 中元素的个数为169.故选：C.8．已知直线l 过双曲线22:13y C x -=的左焦点F ，且与C 的左､右两支分别交于,A B 两点，设O 为坐标原点，P 为AB 的中点，若OFP △是以FP 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为（ ） A． B． C．D． 【答案】D【分析】由点差法得3OP AB k k ⋅=，由条件知直线OP 的倾斜角为AB 倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式3OP AB k k ⋅=即可求得l 的斜率. 【详解】设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y , 由,A B 均在22:13y C x -=上，P 为AB 的中点， 得221122223333x y x y ⎧=+⎨=+⎩，则()()()()121212123x x x x y y y y -+=-+， ∴01212121212120232y y y y y y y x x x x x x x -+-=-+⋅-⋅=， ∴3OP AB k k ⋅=，设直线AB 的倾斜角为α，则tan AB k α=，不妨设α为锐角，∵OFP △是以FP 为底边的等腰三角形，∴直线OP 的倾斜角为2α，则tan 2OP k α=. ∴tan tan 23αα⋅=， ∴22tan tan 31tan ααα⋅=-，解得15tan α= ∴由对称性知直线l 的斜率为15. 故选：D【点睛】中点弦定理：直线与椭圆（双曲线）交于A B ，两点，中点为P ，则有21AB OP k k e =-，（O 为坐标原点）此题解答过程中中点弦定理起了核心作用，通过中点弦定理建立了AB k 与OP k 的关系，另一方面通过OFP △是以FP 为底边的等腰三角形可能建立两直线倾斜角的关系，从而得到所求直线的斜率.二、多选题9．已知曲线()22:121x y C m m m -=∈--R ，下列说法正确的有（ ）A ．若曲线C 表示椭圆，则m>2或1m <B ．若曲线C 表示椭圆，则椭圆的焦距为定值 C ．若曲线C 表示双曲线，则12m <<D ．若曲线C 表示双曲线，则双曲线的焦距为定值 【答案】BCD【分析】根据椭圆、双曲线的方程求出m 的取值范围，可判断AC 选项；利用椭圆、双曲线的几何性质可判断BD 选项.【详解】对于A 选项， 若曲线C 表示椭圆，则201021m m m m ->⎧⎪-<⎨⎪-≠-⎩，解得1m <，A 错；对于B 选项，若曲线C 表示椭圆，则1m <，椭圆C 的标准方程为22121x y m m+=--， 椭圆C 的焦距为2=，B 对；对于C 选项，若曲线C 表示双曲线，则()()210m m --<，解得12m <<，C 对； 对于D 选项，若曲线C 表示双曲线，则双曲线C 的标准方程为22121x y m m -=--， 双曲线C的焦距为2=，D 对.故选：BCD.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*N n S n ∈，若14120,a S S >=，则（ ）A ．公差0d <B ．790a a +<C ．n S 的最大值为8SD ．满足0n S <的n 的最小值为16【答案】AC【分析】根据14120,a S S >=求出1a 与公差d 的关系即可判断AB ；再根据等差数列前n 项和公式即可判断CD.【详解】因为14120,a S S >=，则()()1411241222a a a a ++=，即()141123a a a a +=+， 则12015d a =-<，故A 正确；7912140a a a d d +=+=->，故B 错误；由790a a +>，得80a >， 911802a a d d =+=<, 因为100,d a <>，所以数列{}n a 是递减数列，且当8n ≤时，0n a >，当9n ≥时，0n a <， 所以n S 的最大值为8S ，故C 正确； 2211116221515n a a d d S n a n n n ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，令0n S <，解得16n >，所以满足0n S <的n 的最小值为17，故D 错误. 故选：AC.11．已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且()*1121N 2n n n a S n ++=+∈，则（ ） A ．数列{}2nn a 为等差数列B ．32n nna -=C ．n S 随n 的增大而减小D ．n S 有最大值【答案】ABD【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项，即可判断AB ；根据数列{}n a 的符号，即可判断n S 的增减性，即可判断CD. 【详解】由11212n n na S ++=+， 当2n ≥时，111212n n n a S --+=+， 两式相减得11222n n n na a a +-+=-， 即1122n n na a +=-，所以()112212n nn n a a n ++-=-≥， 当1n =时，21322a a +=，则214a =， 则221221a a -=-，所以数列数列{}2nn a 是以1-为公差，122a =为首项的等差数列，故A 正确；则23nn a n =-，所以32n nna -=，故B 正确； 由32n nna -=，得当2n ≤时，0n a >，30a =，当4n ≥时，0n a <， 所以当2n ≤时，n S 随n 的增大而增大，当4n ≥时，n S 随n 的增大而减小，故C 错误； 所以当2n =或3时，n S 取得最大值，故D 正确. 故选：ABD.12．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，则（ ） A ．过点()0,2A 且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条 B ．设点()3,2B ，则PB PF -的最大值为C ．点P 到直线30x y -+=的最小距离为2D ．点P 到直线4360x y -+=与点P 到y 轴距离之和的最小值为1 【答案】BCD【分析】根据直线与抛物线有一个交点，求出直线的方程，可判断A 选项；数形结合求出PB PF-的最大值，可判断B 选项；设点()24,4P t t ，其中t ∈R ，利用点到直线的距离公式以及二次函数的基本性质可判断C 选项；利用抛物线的定义以及数形结合思想求出点P 到直线4360x y -+=与点P 到y 轴距离之和的最小值，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，设过点A 的直线为m ，若直线m 方程为0x =，此时直线m 与抛物线24y x =只有一个公共点，若直线m 的方程为2y =，此时直线m 与抛物线24y x =只有一个公共点， 若直线m 的斜率存在且不为零，设直线m 的方程为2y kx =+，联立224y kx y x=+⎧⎨=⎩可得()224440k x k x +-+=，若直线m 与抛物线24y x =相切，则()220Δ44160k k k ≠⎧⎪⎨=--=⎪⎩，解得12k =， 此时，直线m 的方程为122y x =+， 综上所述，过点()0,2A 且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有三条，A 错； 对于B 选项，如下图所示：易知点()1,0F ，()()2231202PB PF BF -≤=-+-=当且仅当点P 为射线BF 与抛物线24y x =的交点时，等号成立， 故PB PF -的最大值为22B 对；对于C 选项，设点()24,4P t t ，其中t ∈R ，则点P 到直线30x y -+=的距离为222114242244322222t t t t d ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪-+ ⎪-+⎝⎭⎝⎭===≥， 当且仅当12t =时，等号成立，故点P 到直线30x y -+=的最小距离为2，C 对； 对于D 选项，如下图所示：抛物线24y x =的准线为:1l x =-，过点P 作PA l ⊥，垂足为点A ，设PA 交y 轴于点B ， 过点P 作直线4360x y -+=的垂线，垂足为点D ，连接PF ， 则11PB PD PA PD PF PD +=+-=+-，当DF 与直线4360x y -+=垂直时，PD PF +取最小值， 且最小值为点F 到直线4360x y -+=的距离()22243d ==+-，因此，1211PB PD PF PD +=+-≥-=，故点P 到直线4360x y -+=与点P 到y 轴距离之和的最小值为1，D 对. 故选：BCD.三、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，35125a S =，则公差d 的值为__________. 【答案】1或4-##4-或1【分析】由等差数列的求和公式以及等差中项的性质可求得3a 的值，由此可求得d 的值. 【详解】由等差数列的求和公式可得()1553552a a S a +==，则23535125a S a ==，可得35a =±.当35a =时，3112a a d -==；当35a =-时，3142a ad -==-.综上所述，1d =或4-. 故答案为：1或4-.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心､a 为半径的圆与C 的一条渐近线相交于,M N 两点，若120MAN ∠=，则C 的离心率为__________. 【答案】233##233【分析】由题意知120MAO ∠=,所以30MOA ∠=,故tan 30ba=,从而求得离心率. 【详解】如图所示，设双曲线C 的一条渐近线y=bax 的倾斜角为θ，由题意可得OA AN AM a ===，所以N 与O 重合, 所以120MAO ∠=，所以30θ=. 又tan θ=b a ，所以3b a =∴e=22123113c b a a ==+=+ 2315．去掉正整数中被4整除以及被4除余1的数，剩下的正整数按自小到大的顺序排成数列{}123:,,,n a a a a ，再将数列{}n a 中所有序号为123,,,a a a 的项去掉，{}n a 中剩余的项按自小到大的顺序排成数列{}()*N n b n ∈，则1920b b +的值为__________.【答案】153【分析】由题意，整理数列{}n a 的通项公式，以及分析数列{}n b 与数列{}n a 的对应关系，可得答案. 【详解】由题意可知，数列{}n a 所有的奇数项为被4除余2的数，所有的偶数项为被4除余3的数，则当n 为奇数时，14222n n a n -=⋅+=；当n 为偶数时，243212n n a n -=⋅+=-. 即12a =，23a =，36a =，47a =，510a =，611a =，显然数列{}n b 是数列{}n a 从第二项开始去掉两项、保留两项所组成的 对于19b ，由()1912137-⨯+=，则193774b a ==； 对于20b ，由20240⨯=，则2040240179b a ==⨯-=， 故19207479153b b +=+=. 故答案为：153.四、双空题16．在平面直角坐标系中，若点()(),0P x y y ≥到点10,4⎛⎫⎪⎝⎭的距离比它到x 轴的距离大14，则点P 的轨迹Γ的方程为__________，过点10,4⎛⎫⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线分别与曲线Γ交于点A 、B 和点C 、D ，则2241ABCD+的最小值为__________. 【答案】 2x y =45##0.8 【分析】利用抛物线的定义可得出点P 的轨迹Γ的方程；分析可知直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的方程为()104y kx k =+≠，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式以及二次函数的基本性质可求得2241CD AB+的最小值.【详解】由题意可知，点()(),0P x y y ≥到点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离与它到直线14x =-的距离相等，故曲线点P 的轨迹Γ是以点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点，直线14x =-为准线的抛物线，其方程为2x y =，若直线AB y ⊥轴，则直线CD 为y 轴，此时直线CD 与抛物线2x y =只有一个交点，不合乎题意， 设直线AB 的方程为()104y kx k =+≠，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立214y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2104x kx --=，210k ∆=+>，则12x x k +=， ()212121112AB y y k x x k =++=++=+，同理可得211CD k =+，所以，()()422222222414141111k kkk ABCD++=+=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，令210t k =+>，则21k t =-，令()()222214521141555t f t t t t t -+⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为0t >，所以，()()min 455f t f ==. 故答案为：2x y =；45.五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =-，3a 、41a -、51a +成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()22,n n T b n *+=∈N .(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)记[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]2.13-=-，[]1.21=，设10n n a c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}n n b c 的前7项和.【答案】(1)49n a n =-，2nn b =(2)218【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件可得出关于d 的等式，解出d 的值，可得出等差数列{}n a 的通项公式，当2n ≥时，由22n n T b =-可得出1122n n T b --=-，两式作差可得出数列{}n b 为等比数列，当1n =时，求出1b 的值，可得出等比数列{}n b 的通项公式；（2）列举出数列{}n c 前7项的值，进而可求得数列{}n n b c 前7项的和. 【详解】（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3a 、41a -、51a +成等比数列，所以()()243511a a a -=+， 即()()()2362544d d d -=--，整理可得28160d d -+=，解得4d =， 故()()1154149n a a n d n n =+-=-+-=-， 因为22n n T b =-①，当2n ≥时，1122n n T b --=-②，①-②可得122n n n b b b -=-，即()122n n b b n -=≥， 又1n =时，1122b b +=，即12b =，所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，故1222n nn b -=⋅=.（2）解：由（1）知，49n a n =-，则4910n n c -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以121c c ==-，340c c ==，5671c c c ===，则数列{}n n b c 的前7项和()()()123456771220221222218H =-⨯++⨯++⨯++=.18．已知双曲线C 与221416y x -=有相同的渐近线，()2为C 上一点.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为45的直线与C 相交于A 、B 两点，求2ABF △的面积.【答案】(1)2214x y -=【分析】（1）设双曲线C 的方程为22416y x λ-=，将点()2的坐标代入双曲线C 的方程，求出λ的值，即可得出双曲线C 的标准方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与双曲线C 的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得2ABF △的面积.【详解】（1）解：设双曲线C 的方程为22416y x λ-=，将点()2代入方程中得14λ=-， 所以双曲线C 的方程为2214164y x -=-，即双曲线C 的方程为2214x y -=.（2）解：在双曲线C 中，2a =，1b =，则c则()1F ，所以直线AB 的方程为y x =()11,A x y 、()22,B x y ，联立2244x y x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可得2310y +-=，20120∆=+>，由韦达定理可得12y y +=，1213y y =-，则12y y -==所以，212121212ABF SF F y y y =⋅-=-=. 19．已知数列{}n a 满足()()*112,N n n n a a n a a n +==-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设211=-n nb a ，数列{}n b 的前n 顶和为n S ，求证：1132n S ≤<. 【答案】(1)2n a n = (2)证明见解析【分析】（1）由()1+=-n n n a n a a 得1111n n a a a n n -===-，可求得{}n a 的通项公式； （2）用裂项求和求得111221n S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再根据单调性求得n S 的范围.【详解】（1）由()1+=-n n n a n a a 得，()11n n n a na ++=， 所以11n na a n n+=+对任意*N n ∈恒成立， 于是1111n n a a a n n -===-，又12a =，所以2n a n =. （2）由（1）知，211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， 所以12111111123352121n n S b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 因为110213n <≤+，所以2111321n ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭， 从而1132n S ≤<.20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过拋物线C 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，当30MNF ∠=时，1MN =. (1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，与,x y 轴分别交于,P Q （异于坐标原点O ），且2AP PB =，若AP BP OP OQ λ=，求实数λ的取值范围.【答案】(1)23y x = (2)1λ≥【分析】（1）由抛物线的定义可知MNF 为等腰三角形，当1MN =时，3NF =. 设准线与x 轴交点为T ，则32TF p ==，求得抛物线方程. （2）设直线方程为()()()()11220,,,,,,0x my t m A x y B x y P t =+≠，联立直线与抛物线方程得韦达定理，由2AP PB =得122y y =-，代入韦达定理得26t m =，根据条件AP BP OP OQ λ=可得112m mλ⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，由基本不等式求得λ的取值范围. 【详解】（1）如图：设准线与x 轴交点为T ， 由题意知30MNF NFO ∠∠==，由抛物线的定义可知MNF 为等腰三角形，所以30MNF MFN ∠∠==，120NMF ∠=， 由1MN =得，1MF =，在MNF 中由余弦定理得3,NF = 在Rt NTF 看，3cos30,2TF NF ==则32TF p ==，故抛物线方程为23y x =.（2）设直线方程为()()()()11220,,,,,,0x my t m A x y B x y P t =+≠，显然0t ≠，联立23x my t y x=+⎧⎨=⎩，消x 得2330y my t --=，所以123y y m +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ①，123y y t =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅②因为2AP PB =，所以()()1122,2,t x y x t y --=-，可得122y y =-， 将122y y =-代入①式得23y m -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅③，将122y y =-代入②式得2223y t -=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅④，将③式平方代入④得26t m =.由题意可得，22121,1AP m BP m =++，所以()()222121181AP BP m y y m m =+=+，又336||tOP OQ t m m=⋅=， 所以211122AP BPm m OP OQ m m λ⎛⎫+===+ ⎪ ⎪⎝⎭， 故1λ≥，当且仅当1m m=，即1m =±时等号成立. 21．已知数列{}n a 满足()*1133,N 222n n na a a n a +=-=∈-. (1)证明：12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足()1312n n b n a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T tb ≤对*N n ∀∈恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)证明见解析；12223n na =⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)21t -≤≤【分析】（1）将1322n n n a a a +=-变形为1121233n n a a +=⋅-，两边同加2后可证得12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并可求得{}n a 通项公式.（2）由错位相减求和法求得n T ，由n n T tb ≤恒成立分离常数后得t 的取值范围. 【详解】（1）因为11330,222n n na a a a +=-≠=-，所以0n a ≠， 1221212333n n n n a a a a +-==⋅-， 于是*1121221222,N 333n n n n a a a +⎛⎫+=⋅-+=+∈ ⎪⎝⎭， 又因为11423a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以43为首项､23为公比的等比数列， 于是1142222333n nn a -⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12223n na =⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由（1）得，()()1231323nn n b n n a ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()1231222222104333333n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()23122222214333333nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得，()2311422223333333nn n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()114219342323313n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+--⨯⎪⎝⎭-()111442221333333n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以223nn T n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由n n T tb ≤，得()222333nnn t n ⎛⎫⎛⎫-≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即()320t n n -+≥恒成立，3n =时不等式恒成立； 3n <时，26233n t n n ≤-=----，()623g n n =---增函数，故当1n =时，()min 1g n =，所以1t ≤；3n >时，26233n t n n ≥-=----，()623g n n =---增函数，所以()2g n <，所以2t ≥-；所以21t -≤≤.22．已知椭圆2221(1)x y a a+=>的右焦点F 恰为抛物线22y px =的焦点，过点F 且与x 轴垂直的直线截拋物线､椭圆所得的弦长之比为(1)求a 的值；(2)已知P 为直线y a =-上任一点，A B ､分别为椭圆的上､下顶点，设直线PA ，PB 与椭圆的另一交点分别为,C D ，求证：直线CD 过定点. 【答案】(1)2a = (2)证明详见解析【分析】(1)设点(),0F c ，则2pc =，得到过点F 且与x 轴垂直的直线截抛物线､椭圆的弦长分别为222b p a､,根据题意建立,,a b c 的方程，求之即可; (2) 设点()()(),2,,,,C C D D P m C x y D x y -，易知()()0,1,0,1A B -，分别求出直线PA 的方程为31,y x PB m=-+的方程为11y x m =--，再分别跟椭圆方程联立求得,C D 的坐标，最后求出直线CD的方程，化为斜截式，可知直线CD 恒过定点直线10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】（1）设点(),0F c ，则2pc =，又过点F 且与x 轴垂直的直线截抛物线､椭圆的弦长分别为222b p a ､，所以222b p a =，又221,1b a c ==+，所以2a =. （2）由（1）知，椭圆的方程为2214x y +=.设点()()(),2,,,,C C D D P m C x y D x y -，易知()()0,1,0,1A B -， 当0m ≠时，直线PA 的方程为31,y x PB m=-+的方程为11y x m =--，联立223114y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22362410x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2222436,3636C C m m x y m m -==++，同理可得22284,44D D m m x y m m --==++，所以21216CD m k m-=， 所以直线CD 的方程为222241284164m m m y x m m m --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭， 整理得2121162m y x m -=-，所以直线CD 恒过定点直线10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当0m =时直线CD 的方程为0x =，也经过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上所述,直线CD 恒过定点直线10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.。