2021年高三第一次摸底考试数学试题 Word版含答案

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2021年高三上学期摸底考试数学理试题含答案

2021年高三上学期摸底考试数学理试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号、座号”处填涂考生号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班级，以及自己的姓名填写在答题卷上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将试卷和答题卷一并交回．参考公式：圆锥的侧面积公式，其中是圆锥的底面半径，是圆锥的母线长.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）.A. B. C. D.2.已知，则（）.A. B. C. D.3.设，则“”是“直线与直线平行”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的全面积为（）. A. B. C. D.5.在△ABC 中，，，则△ABC 的面积为（）.A.3B.4C.6D.6.函数的零点所在的一个区间是（）. A. B. C. D.7.若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）. A. B. C.2 D. 8.若过点的直线与曲线和都相切，则的值为（）. A.2或 B.3或 C.2 D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．若复数满足，则复数的实部是 .10.的展开式中的常数项是 .（用数字作答）11.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 . 12.已知实数满足，则的最大值是 .13.在区间上随机取一个数，在区间上随机取一个数，则关于的方程有实根的概率是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 相交于点P ，若，，则的值为 . 15．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程是（为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，的最大值是1，最小正周期是，其图像经过点．（1）求的解析式；（2）设、、为△ABC的三个内角，且，，求的值．17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物一次购物量（件）1≤n≤3 4≤n≤6 7≤n≤9 10≤n≤12 n≥13 顾客数（人）20 10 5结算时间（分钟/人）0.5 1 1.5 2 2.5（1）确定与的值；（2）若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望；（3）在（2）的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2分钟的概率.18.（本小题满分14分）如图，菱形的边长为4，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与的大小，并予以证明.20．（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上任意一点，且的最小值为.（1）求椭圆的方程；（2）动圆与椭圆相交于A 、B 、C 、D 四点，当为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积.21.(本小题满分14分)已知函数.（1）是否存在点，使得函数的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（2）定义2111221()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==++⋅⋅⋅+∑，其中，求；（3）在（2）的条件下，令，若不等式对且恒成立，求实数的取值范围.xx 届越秀区高三摸底考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9.1 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16.（1）依题意得.由，解得.所以.因为函数的图像经过点，所以，即. 因为，所以.所以. （2）由（1）得，所以，.因为，所以，.因为为△ABC 的三个内角，所以()cos cos[()]cos()f C C A B A B π==-+=-+ .17.（1）依题意得，，，解得，. （2）该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本，将频率视为概率得，，，，，.所以的分布列为的数学期望为.（3）记“该顾客结算前的等候时间不超过2分钟”为事件A ，该顾客前面第位顾客的结算时间为，由于各顾客的结算相互独立，且的分布列都与的分布列相同，所以121212()(0.5(0.5)(0.5(1)(0.5( 1.5)P A P X P X P X P X P X P X ==⋅=+=⋅=+=⋅=)))121212(1(0.5)(1(1)( 1.5(0.5)P X P X P X P X P X P X +=⋅=+=⋅=+=⋅=)))0.20.20.20.40.20.20.40.20.40.40.20.20.44=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 为所求.18.（1）因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以.因为平面ABD ，平面ABD ，所以平面.（2）因为在菱形ABCD 中，，所以在三棱锥中，.在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，，所以BD ＝4.因为O 为BD 的中点，所以.因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以.因为，所以，即.因为平面ABC ，平面ABC ，，所以平面ABC . 因为平面DOM ，所以平面平面.（3）作于，连结DE .由（2）知，平面ABC ，所以AB .因为，所以平面ODE .因为平面ODE ，所以. 所以是二面角的平面角. 在Rt △DOE 中，，，，所以.所以二面角的余弦值为.19.（1）当时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+- .又也适合上式，所以. （2）由（1）得，所以.因为①，所以②. 由①－②得，，所以121111112212122222212n n n n n n n n n T --+=+++⋅⋅⋅+-=-=--. 因为33222(2)(221)221212212(21)2n n n n nn n n n n n n T n n n n ++++--⎛⎫-=--=-= ⎪++++⎝⎭，所以确定与的大小关系等价于比较与的大小.当时，；当时，；当时，；当时，；……，可猜想当时，.证明如下：当时，.综上所述，当或时，；当时，. 20.（1）因为P 是椭圆上一点，所以.在△中，，由余弦定理得()22121212122444122PF PF PF PF a PF PF PF PF +-⋅--==-⋅⋅. 因为，当且仅当时等号成立. 因为，所以.因为的最小值为，所以，解得. 又，所以.所以椭圆C 的方程为. （2）设，则矩形ABCD 的面积.因为，所以.所以2222222000003231632124332x S x y x x ⎛⎫⎛⎫==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为且，所以当时，取得最大值24.此时，.所以当时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为.21.（1）假设存在点，使得函数的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数的图像上，则函数图像的对称中心为. 由，得，即对恒成立，所以解得所以存在点，使得函数的图像上任意一点关于点M 对称的点也在函数的图像上. （2）由（1）得.令，则.因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n nn=++⋅⋅⋅+-+-①，所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②，由①+②得，所以.所以.（3）由（2）得，所以.因为当且时，2()121ln ln 2n amnmn n ma n n ⋅>⇔⋅>⇔>-. 所以当且时，不等式恒成立.设，则. 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增. 因为，所以，所以当且时，. 由，得，解得.所以实数的取值范围是.]28210 6E32 渲30080 7580 疀|22043 561B 嘛33037 810D 脍u39819 9B8B 鮋20257 4F21 伡32313 7E39 縹26508 678C 枌.O &。

2021年高三上学期摸底数学试卷含解析

2021年高三上学期摸底数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置．1．已知集合A={x|x＞0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B等于．2．已知复数z满足（1+i）•z=﹣i，则的模为．3．已知+=2，则a= ．4．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为．5．若双曲线x2﹣=1的焦点到渐进线的距离为2，则实数k的值是．6．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是．7．下面求2+5+8+11+…+xx的值的伪代码中，正整数m的最大值为．8．向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），|﹣2|= ．9．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是．10．函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值之和为．11．已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）及圆上的点A（0，﹣r），过点A的直线l交圆于另一点B，交x轴于点C，若OC=BC，则直线l的斜率为．12．已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．13．已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是．14．设等比数列{a n}满足公比q∈N*，a n∈N*，且{a n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1=281，则q的所有可能取值的集合为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知0＜α＜＜β＜π且sin（α+β）=，tan=．（1）求cosα的值；（2）证明：sinβ．16．如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．17．某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．18．已知椭圆Γ：．（1）椭圆Γ的短轴端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆Γ交于E，F两点，其中点M（m，）满足m≠0，且m．①证明直线EF与y轴交点的位置与m无关；②若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值；（2）若圆φ：x2+y2=4．l1，l2是过点P（0，﹣1）的两条互相垂直的直线，其中l1交圆φ于T、R两点，l2交椭圆Γ于另一点Q．求△TRQ面积取最大值时直线l1的方程．19．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n2+S n a n，若数列{b n}为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设c n=4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n ﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．20．已知函数f（x）=（e为自然数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数x使得f（1﹣x）=f（1+x），若存在求出x，否则说明理由；（3）若存在不等实数x1，x2，使得f（x1）=f（x2），证明：f（）＜0．xx学年江苏省泰州中学高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置．1．已知集合A={x|x＞0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B等于．【考点】交集及其运算．【分析】直接由交集的运算性质得答案．【解答】解：由集合A={x|x＞0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B={x|x＞0}∩{﹣1，0，1，2}={1，2}．故答案为：{1，2}．2．已知复数z满足（1+i）•z=﹣i，则的模为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式变形得到，运用复数的除法运算化简z，从而得到，则的模可求．【解答】解：由（1+i）•z=﹣i，得：．所以，所以．故答案为．3．已知+=2，则a=．【考点】对数的运算性质．【分析】利用换底公式对等式进行化简，便可求出a值．【解答】解：，可化为log a2+log a3=2，即log a6=2，所以a2=6，又a＞0，所以a=．故答案为：．4．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为．【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图计算甲乙的平均数，利用古典概率的概率公式即可得到结论．【解答】解：由图示可知，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90，设被污损的数字为x，则乙的平均成绩为90+（﹣7﹣7﹣3+9+x）＞90，即x﹣8＞0，解得x＞8．即x=9，故所求概率为．故答案为：5．若双曲线x2﹣=1的焦点到渐进线的距离为2，则实数k的值是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先分别求双曲线的渐近线方程，焦点坐标，再利用焦点到渐近线的距离为，可求实数k的值【解答】解：双曲线的渐近线方程为；焦点坐标是．由焦点到渐近线的距离为，不妨．解得k=8．故答案为8．6．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是．【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】如图，大圆锥的体积减去小圆锥的体积就是旋转体的体积，结合题意计算可得答案．【解答】解：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以OA=，OB=1所以旋转体的体积：故答案为：7．下面求2+5+8+11+…+xx的值的伪代码中，正整数m的最大值为．【考点】伪代码．【分析】根据已知中程序的功能，我们可以分析出累加项的步长为3，循环变量I的终值为xx，故xx＜m＜xx，进而可得m的最大值．【解答】解：由伪代码知，这是当型循环结构的算法，由于累加项的步长为3，循环变量I的终值为xx故xx＜m＜xx由于m是正整数，所以最大值为xx．故答案为：xx8．向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），|﹣2|=．【考点】向量的模；平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积运算及其性质、向量模的计算公式即可得出．【解答】解：∵向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），∴=cos10°cos70°+sin10°sin70°=cos（70°﹣10°）=cos60°=．||==1，同理=1．∴|﹣2|===．故答案为：．9．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k ＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是．【考点】函数的值域．【分析】由于f（x）在定义域{x|x＞0}内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g（e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k ＜1+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k的取值范围．【解答】解：∵f（x）=lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b为方程lnx+x=kx的两个不同根．∴k=1+，令1+=g（x），令g'（x）==0，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程k=1+有两个解．故所求的k的取值范围为（1，1+），故答案为（1，1+）．10．函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值之和为．【考点】奇偶函数图象的对称性；函数奇偶性的性质．【分析】构造函数g（x）=﹣，可判断g（x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案．【解答】解：f（x）=1﹣，x∈R．设g（x）=﹣，因为g（﹣x）=﹣==﹣g（x），所以函数g（x）是奇函数．奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数．设g（x）的最大值为M，则g（x）的最小值为﹣M．所以函数f（x）的最大值为1+M，则f（x）的最小值为1﹣M．∴函数f（x）的最大值与最小值之和为2．故答案为211．已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）及圆上的点A（0，﹣r），过点A的直线l交圆于另一点B，交x轴于点C，若OC=BC，则直线l的斜率为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx﹣r，求出B，C的坐标，利用OC=BC，建立方程，即可求出直线l的斜率．【解答】解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx﹣r，联立直线与圆的方程，可得B（，），∵C（，0），OC=BC，∴（）2=（﹣）2+[]2，解得k=±．故答案为：±．12．已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．【考点】解三角形．【分析】设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=9﹣3mn，利用基本不等式，可得，再利用△CDE的外接圆的半径，即可得到结论．【解答】解：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=CD2+CE2﹣2CD•CEcos∠DCE=m2+n2﹣mn=（m+n）2﹣3mn=9﹣3mn又，当且仅当时，取“=”，所以，又△CDE的外接圆的半径∴△CDE的外接圆的半径的最小值是故答案为：．13．已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是．【考点】简单线性规划；函数恒成立问题．【分析】确定约束条件的平面区域，求得与原点连线的斜率的范围，再分离参数，利用函数的单调性，确定函数的最值，即可得到结论．【解答】解：实数x、y满足的可行域是一个三角形，三角形的三个顶点分别为（1，4），（2，4），与原点连线的斜率分别为4，2，∴a（x2+y2）≥（x+y）2等价于a≥1+∵∈[2，4]∴≤+≤4+=∴a≥1+=∴实数a的最小值是故答案为：14．设等比数列{a n}满足公比q∈N*，a n∈N*，且{a n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1=281，则q的所有可能取值的集合为．【考点】等比数列的通项公式．【分析】依题意可求得该等比数列的通项公式a n，设该数列中的任意两项为a m，a t，它们的积为a p，求得q=，分析即可．【解答】解：由题意，a n=281q n﹣1，设该数列中的任意两项为a m，a t，它们的积为a p，则为a m•a t=a p，即281q m﹣1•281q t﹣1=281•q p﹣1，（q，m，t，p∈N*），∴q=，故p﹣m﹣t+1必是81的正约数，即p﹣m﹣t+1的可能取值为1，3，9，27，81，即的可能取值为1，3，9，27，81，所以q的所有可能取值的集合为{281，227，29，23，2}二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知0＜α＜＜β＜π且sin（α+β）=，tan=．（1）求cosα的值；（2）证明：sinβ．【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；半角的三角函数．【分析】（1）利用二倍角的正切公式可求得tanα，结合0＜α＜即可求得cosα的值；（2）由于β=（α+β）﹣α，利用两角差的正弦结合已知即可求得sinβ的值，从而使结论得证．【解答】解：（1）将tan=代入tanα=得：tanα=所以，又α∈（0，），解得cosα=．（2）证明：∵0＜α＜＜β＜π，∴＜α+β＜，又sin（α+β）=，所以cos（α+β）=﹣，由（1）可得sinα=，所以sinβ=sin[（α+β）﹣α]=×﹣（﹣）×=＞．16．如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据正方形对边平行可得AB∥CD，结合线面平行的判定定理可得AB∥平面CDE；（2）由已知AE⊥平面CDE，可得AE⊥CD，结合正方形ABCD邻边垂直及线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADE，进而由面面垂直的判定定理可得平面ABCD⊥平面ADE【解答】证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．（2）因为AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD，又正方形ABCD中，CD⊥AD且AE∩AD=A，AE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE．17．某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）当1≤x≤20时，f（x）=1，易知f（1）=f（2）=f（3）=…=f（9）=f（10）=1，从而知（2）求第x个月的当月利润率，要考虑1≤x≤20，21≤x≤60时f（x）的值，代入即可．（3）求那个月的当月利润率最大时，由（2）得出的分段函数，利用函数的单调性，基本不等式可得，解答如下：【解答】解：（1）由题意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1g（x）===．（2）当1≤x≤20时，f（1）=f（2）═f（x﹣1）=f（x）=1∴g（x）====．当21≤x≤60时，g（x）=====∴当第x个月的当月利润率；（3）当1≤x≤20时，是减函数，此时g（x）的最大值为当21≤x≤60时，当且仅当时，即x=40时，，又∵，∴当x=40时，所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为．18．已知椭圆Γ：．（1）椭圆Γ的短轴端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆Γ交于E，F两点，其中点M（m，）满足m≠0，且m．①证明直线EF与y轴交点的位置与m无关；②若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值；（2）若圆φ：x2+y2=4．l1，l2是过点P（0，﹣1）的两条互相垂直的直线，其中l1交圆φ于T、R两点，l2交椭圆Γ于另一点Q．求△TRQ面积取最大值时直线l1的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）①设出AM和BM的方程，与椭圆方程联立表示出E，F的坐标，用两点式写出EF的方程，令x=0即可确定与y轴的交点；②根据△BME面积是△AMF面积的5倍可推出5|MA||MF|=|MB||ME|，从而建立关于m的方程，求解即可；（2）直接设出两条直线方程，联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，表示出|OP|，然后表示出△TRQ面积，利用基本不等式可求出最大值，并确定直线方程．【解答】解：（1）①A（0，1），B（0，﹣1），M （m，），且m≠0，∴直线AM 的斜率为，直线BM 斜率为，∴直线AM 的方程为，直线BM 的方程为．由得（m 2+1）x 2﹣4mx=0，∴x=0或x=．∴E 点的坐标为（）．由得（m 2+9）x 2﹣12mx=0，解得x=0或x=．∴F 点的坐标为（）；由已知，m ≠0，m 2≠3，∴直线EF 的斜率==．∴直线EF 的方程为，令x=0，得y=2，∴EF 与y 轴交点的位置与m 无关．②，，∠AMF=∠BME ，5S △AMF =S △BME ，∴5|MA ||MF |=|MB ||ME |，∴，∴，（m ≠0），∴整理方程得，即（m 2﹣3）（m 2﹣1）=0，又∵，∴m 2﹣3≠0，∴m 2=1，∴m=±1（2）∵直线l 1⊥l 2，且都过点P （0，﹣1），∴设直线l 1：y=kx ﹣1，即kx ﹣y ﹣1=0．直线，即x +ky +k=0，∴圆心（0，0）到直线l 1的距离为，∴直线l 1被圆x 2+y 2=4所截的弦=；由得，k 2x 2+4x 2+8kx=0，∴，∴．∴=．即时等号成立，此时直线19．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n2+S n a n，若数列{b n}为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设c n=4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n ﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质；数列递推式．【分析】（1）当n=1时，S1=t（S1﹣a1+1），得a1=t．当n≥2时，由（1﹣t）S n=﹣ta n+t，得，（1﹣t）S n﹣1=﹣ta n﹣1+t．故a n=ta n﹣1，由此能求出{a n}的通项公式．（2）由，得数列{b n}为等比数列，，由此能求出t的值．（3）由t=，得，所以，由不等式恒成立，得恒成立，由此能求出实数k的取值范围．【解答】解：（1）当n=1时，S1=t（S1﹣a1+1），得a1=t．当n≥2时，由S n=t（S n﹣a n+1），即（1﹣t）S n=﹣ta n+t，①得，（1﹣t）S n﹣1=﹣ta n﹣1+t，②①﹣②，得（1﹣t）a n=﹣ta n+ta n﹣1，即a n=ta n﹣1，∴，∴{a n}是等比数列，且公比是t，∴．（2）由（1）知，，即，若数列{b n}为等比数列，则有，而，故[a3（2t+1）]2=（2a2）•a4（2t2+t+1），解得，再将代入b n，得，由，知{b n}为等比数列，∴t=．（3）由，知，∴，由不等式恒成立，得恒成立，设，由，∴当n ≤4时，d n +1＞d n ，当n ≥4时，d n +1＜d n ，而，∴d 4＜d 5，∴，∴．20．已知函数f （x ）=（e 为自然数的底数）．（1）求f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数x 使得f （1﹣x ）=f （1+x ），若存在求出x ，否则说明理由；（3）若存在不等实数x 1，x 2，使得f （x 1）=f （x 2），证明：f （）＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式从而求出函数的单调区间；（2）通过讨论x 的范围，假设存在x 使得f （1﹣x ）=f （1+x ），当x=1时不成立，当x ≠1时化简整理得e 2x =，进一步说明x ＞1，0＜x ＜1，﹣1＜x ＜0，x ＜﹣1时不成立；（3）由于存在不等实数x 1、x 2，使得f （x 1）=f （x 2），即x 1﹣lnx 1=x 2﹣lnx 2，令g （x ）=x ﹣lnx ，g （x 1）=g （x 2），不妨设0＜x 1＜1＜x 2，则2﹣x 1＞1，g （2﹣x 1）﹣g （x 2）=g （2﹣x 1）﹣g （x 1），化简整理，设F （t ）=﹣lnt ，求出导数，判断单调性，得到x 1+x 2＞2，即可得证【解答】解：（1）f ′（x ）==，令f ′（x ）＞0，解得：x ＜1，令f ′（x ）＜0，解得：x ＞1，∴函数f （x ）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减；（2）①若存在正实数x ，使得f （1﹣x ）=f （1+x ），即有 =．当x=1时等式左边等于0，右边大于0，等式不成立；当x ≠1时整理得e 2x =，当x ＞1时，等式左边大于0，右边小于0，等式不成立，当0＜x ＜1时，有e 2x ＜，故不存在正实数x ，使得f （1﹣x ）=f （1+x ）；②同理可证不存在负实数x ，使得f （1﹣x ）=f （1+x ）；③x=0时，显然满足条件，综上x=0时，存在实数x 使得f （1﹣x ）=f （1+x ）；（3）证明：由于存在不等实数x 1、x 2，使得f （x 1）=f （x 2），即为 =，即 =ex 1﹣x 2，即有x 1﹣x 2=lnx 1﹣lnx 2，即x 1﹣lnx 1=x 2﹣lnx 2，令g （x ）=x ﹣lnx ，g ′（x ）=1﹣，g （x 1）=g （x 2），不妨设0＜x 1＜1＜x 2，则2﹣x 1＞1，而g （2﹣x 1）﹣g （x 2）=g（2﹣x1）﹣g（x1）=（2﹣x1）﹣ln（2﹣x1）﹣x1+lnx1=2﹣2x1﹣ln，令=t，则t＞1，x1=，故F（t）=﹣lnt，故F′（t）=＜0，故F（t）在（1，+∞）上是减函数，故F（t）＜F（1）=0，故g（2﹣x1）﹣g（x2）＜0，又∵g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴2﹣x1＜x2，故x1+x2＞2，即＞1，则有f′（）=＜0，故f′（）＜0xx年10月14日29358 72AE 犮28380 6EDC 滜39181 990D 餍38734 974E 靎] x22129 5671 噱40074 9C8A 鲊j$MJ37841 93D1 鏑。

2021年高三上学期开学摸底考试数学(理)试题含答案

2021年高三上学期开学摸底考试数学（理）试题含答案第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1.已知集合，，则（）A． B． C． D．2.如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于（）A．-6 B． C． D．23.设等差数列的前项和为，若，则的值为（）A． 27 B．36 C．45 D．544.下列命题错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”B．若命题，则C．中，是的充要条件D．若向量满足，则与的夹角为钝角5.某几何体的三视图如上图所示（单位：），则该几何体的体积是（）A． B． C． D．6.若用下边的程序框图求数列的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（）A． B．C．D．7.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是（）A． B． C．D．8.已知实数满足约束条件，则的最小值是（）A． B．2 C． D．19. 若函数y＝（a＞0，且a≠1）的值域为{y｜0＜y≤1}，则函数y＝的图像大致是10.已知双曲线与抛物线相交于两点，公共弦恰过它们的公共焦点，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（）A． B． C． D．11.已知满足，，，则（）A． B． C． D．12.已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为．14.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是．15.已知两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有．16.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2021年高三第一次模拟考试数学 Word版含答案

2021年高三第一次模拟考试数学 Word 版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．设集合，集合，若，则 ▲ . 答案：12．若复数（其中为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 ▲ . 答案：－13．在一次射箭比赛中，某运动员次射箭的环数依次是，则该组数据的方差是 ▲ .答案：4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为，甲、乙下和棋的概率为，则乙获胜的概率为 ▲ . 答案：解读：为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。

5．若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则 ▲ . 答案：6．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ .答案：42解读：此题的答案容易错为22。

7．若变量满足，则的最大值为 ▲ .答案：88．若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为 ▲ .答案：9．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点成中心对称，，则 ▲ . 答案：10．若实数满足，且，则的最小值为 ▲ . 答案：4 11．设向量，，则“”是“”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 答案：必要不充分 12．在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则 ▲ . 答案：解读：方法1：（平面向量数量积入手）22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即：，整理化简得：，过点作的垂线交于，则，得，又圆心到直线的距离为，所以，所以，.第6题图方法2：（平面向量坐标化入手）设，,,由得，，则22222222121211112222535325251525251544441616816168x y x x y y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意得，，联立直线与圆的方程，由韦达定理可解得：. 方法3：（平面向量共线定理入手）由得，设与交于点，则三点共线。

北京市延庆区2021届高三一模考试数学试题Word版含解析

北京市延庆区2021届高三一模考试数学试题第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( )A. 0B. 1C. 1-D. 1± 【答案】C【解析】【分析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.【详解】因为2222(1)z a i a i a a i =--=-+-为正实数，所以20a ->且210a -=，解得1a =-.故选：C【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.2.已知向量()()1,,,2,a k b k ==若a 与b 方向相同，则k 等于( )A. 1B.C. 【答案】D【解析】【分析】依题a //b ，且a 与b 符号相同，运用坐标运算即可得到答案.【详解】因为a 与b 方向相同，则存在实数λ使(0)a b λλ=>，因为()()1,,,2a k b k ==，所以(,2)b k λλλ=，所以12k k λλ=⎧⎨=⎩，解之得22k =，因为0λ>，所以0k >，所以k =故答案选：D【点睛】本题考查共线向量的基本坐标运算，属基础题.3.下列函数中最小正周期为π的函数是( )A. y sinx =B. 12y cos x = C. 2y tan x = D. y sinx = 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数周期公式即可得到答案.【详解】A 选项的最小正周期为221T ππ==；B 选项的最小正周期为2412T ππ==；C 选项的最小正周期为2T π=；D 选项的最小正周期为1T ππ==.故选：D【点睛】本题考查三角函数的周期性，属基础题.4.下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( ) A. 1y x = B. y tanx = C. x xy e e -=- D. 2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的定义及函数单调性的判断即可得出答案.【详解】对于A 选项，反比例函数1y x =，它有两个减区间，对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意；对于C 选项，令()x x f x e e -=-知()x x f x e e --=-，所以()()0f x f x +-=所以()x x f x e e -=-为奇函数，又x y e =在定义内单调递增，所以x y e -=-单调递增，所以函数x x y e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为433，则它的表面积为( )A. 8B. 12C. 443+D. 20【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，底面为正方形，根据三视图的数据即可求出该四棱柱的表面积.【详解】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，如图所示，底面边长为2，设四棱锥的高为h ，则依题意有1223V h =⨯⨯=所以h =12h === 所以四棱锥的侧面积11=422=82S ⨯⨯⨯，所以该四棱锥的表面积为：2=8+22=12S ⨯.故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，锥体体积公式应用，表面积的求法，属于基础题. 6.5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是( ) A. 160B. 80C. 50D. 10【答案】B【解析】【分析】由二项式定理公式1C r n r r r n T a b -+=即可得到结果. 【详解】依题5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为: 2551031551(2)()2r r r r r r r T C x C x x---+==，当1034r -=时，2r，此时523552280r r C C -==，所以5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是80. 故选：B【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.7.在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )A. 5-B. 5-C. 5D. 25- 【答案】A【解析】【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβ，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β 依题有OA OB ⊥,则90αβ，所以25cos cos(90)sin αββ，故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.8.已知直线,a b ，平面,//b a a b αβαβα⋂=⊥，，，，那么“a β⊥”是“αβ⊥”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结论.【详解】若//a α，则在平面α内必定存在一条直线a '有//a a '，因为a b ⊥，所以a b '⊥，若a β⊥，则a β'⊥，又a α'⊂，即可得αβ⊥，反之，若αβ⊥，由b αβ=，a b '⊥，a α'⊂可得a β'⊥，又//a a '，则有a β⊥.所以“a β⊥”是“αβ⊥”的充分必要条件.故选：C【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的判定定理，属中档题.9.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）( )A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年【答案】B【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310()2x ，640()5x ，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22x x+=） B 产品的年产量为1640(140()55x x +=），依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40()25x x >化简得154x x +>，即lg5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 2 6.206213lg 2≈- 所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.10.已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF 的面积为( )C. 32D. 92【解析】【分析】根据题意画出图像，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，即可得四边形1AFBF 为平行四边形，从而求出1F BF ∠，利用余弦定理和双曲线的定义联立方程可求出1|BF ||BF|的值，利用面积公式可求出1F BF 的面积，根据1F BF 和BOF 的关系即可得到答案. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，依题可知四边形1AFBF 的对角线互相平分，则四边形1AFBF 为平行四边形，由60AFB ∠=︒可得1120F BF ∠=︒，依题可知12||2216910F F c ==+=，由余弦定理可得：2221111|BF |+|BF|-2|BF ||BF|cos |||F BF F F ∠= 即2211|BF |+|BF|+|BF ||BF|100=；又因为点B 在椭圆上，则1||BF |-|BF||28a ==，所以2211|BF |+|BF|-2|BF ||BF|64=. 两式相减得13|BF ||BF|36=，即1|BF ||BF|12=，所以1F BF 的面积为： 111113||||sin 123322F BF S BF BF F BF =∠=⨯=因为O 为1F F 的中点，所以11332OBF F BFS S ==【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及到了双曲线的定义，余弦定理和面积公式，考查学生转化和化归的能力，属中档题.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分11.已知集合|1k M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,且3M -∈，则k 的取值范围是____________. 【答案】(,3)-∞【解析】【分析】由集合元素与几何的关系即可得到答案. 【详解】因为集合|1k M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,且3M -∈，所以13k >--，解得3k <，所以k 的取值范围是(,3)-∞.故答案为：(,3)-∞【点睛】本题考查集合的基本定义，属基础题.12.经过点()2,0M -且与圆221x y +=相切的直线l 的方程是____________.【答案】(2)3y x =±+ 【解析】【分析】设直线l 方程为(2)y k x =+，根据题意有圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到答案.【详解】依题满足条件的直线斜率存在，设直线l 方程为：(2)y k x =+即20kx y k -+=.又221x y +=的圆心为(0,0)，半径为1,又直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，1=，解之得：k =所以直线的方程为(2)3y x =±+.故答案为：(2)3y x =±+ 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离解决问题，属于基础题.13.已知函数()222f x sin x sin x cos x =+-，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭____________.【解析】【分析】利用倍角公式化简，代入即可得到答案.【详解】()222sin 2cos2f x sin x sin x cos x x x =+-=-所以11sin cos 1266222f πππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故答案为：12 【点睛】本题考查三角函数的倍角公式，代入法求值，属基础题.14. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.【答案】①16；②29【解析】【详解】试题分析：①设第一天售出商品的种类集为A ，第二天售出商品的种类集为B ，第三天售出商品的种类集为C ，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为①16；②29．【名师点睛】本题将统计与实际情况相结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论时要做到不重复、不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.15.在ABC 中，10AB D =，是BC 边的中点.若660AC A =∠=︒，，则AD 的长等于________；若4562CAD AC ∠=︒=，，则ABC 的面积等于____________.【答案】 (1). 7 (2). 42【解析】【分析】（1）依题可得1()2AD AB AC =+，则有1||||2AD AB AC =+，利用向量运算即可得到答案. （2）在ADC 和ADB △中分别用正弦定理，求出AD DB ，，再利用AD DB =，180ADB ADC ∠+∠=，即可求得sin BAC ∠，再利用三角形的面积公式即可得到答案.【详解】（1）依题在ABC 中，D 是AB 的中点，所以1()2AD AB AC =+所以1||||2AD AB AC =+ 又6,60AC A =∠=所以22||2AB AC AB AB AC AC +=+⋅+ 22102106cos60619614=+⨯⨯+==所以1||||72AD AB AC =+= 所以AD 的长等于7. （2）在ADC 中，由正弦定理有：sin sin AC DAC D A C C D =∠∠ 所以sin 62456sin sin sin AC DAC DC ADC ADC ADC ∠===∠∠∠；在ADB △中，由正弦定理有：sin sin BD AB BAD ADB=∠∠ 所以sin 10sin sin sin AB BAD BAD BD ADB ADB ∠∠==∠∠ 因为D 是AB 的中点，则AD DB =，180ADB ADC ∠+∠=,所以sin sin ADB ADC ∠=∠，所以10sin 6BAD ∠=即3sin 5BAD ∠=，所以4cos 5BAD ∠==± 当4cos 5BAD ∠=时， sin sin(45)sin cos 45cos sin 45BAC BAD BAD BAD ∠=∠+=∠+∠34cos )()55BAD BAD =∠+∠=+=当4cos 5BAD ∠=-时，sin sin(45)BAC BAD ∠=∠+34)55=-=不符合题意，所以ABC 的面积为：11sin 10422210ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯= 故答案为：（1）7；（2）42【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算及模的运算，考查正弦定理和三角形的面积公式，考查学生推理和计算能力，属中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，4AB PD PC O =⊥，，是CD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点，//PA 平面BDE .（1）求证：E 是PC 的中点；（2）求证：PD 和BE 所成角等于90.︒【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）因为//PA 平面BDE ，由线面平行的性质定理及三角形中位线的判定即可得证.（2）由PO ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形可证BC ⊥平面PDC ,从而可证PD ⊥平面PBC ，从而得证结论. 【详解】（1）如图，联结AC ，设AC 与BD 交于F ，联结EF ，因//PA 平面BDE ，平面PAC 平面BDE =EF ,所以//PA EF .又因为四边形ABCD 是正方形，所以F 是AC 的中点，所以EF 是PAC 的中位线，所以E 是PC 的中点（2）因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO BC ⊥.因为四边形ABCD 是正方形，所以BC CD ⊥又PO CD O =，所以BC ⊥平面PDC ，所以BC PD ⊥又因为PD PC ⊥且BC PC C ⋂=，所以PD ⊥平面PBC因为BE ⊂平面PBC ，所以PD BE ⊥，所以PD 与BE 成90︒角.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和线面平行的判定定理的运用，考查学生逻辑推理能力，属中档题.17.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，1016a =.（1）判断2024是否是数列{}n a 中的项，并说明理由；（2）求n S 的最值.从 ①810a =；②88a =；③820a =中任选一个，补充在上面的问题中并作答.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）n S 最小值-26，无最大值 .【解析】【分析】（1）选择①，用等差数列的通项公式即可求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出数列{}n a 的通项，令2024n a =，求出的n 若为整数则2024是数列{}n a 中的项，否则不是.（2）令0n a >，求出n 的范围，从而可确定n S 的最大最小值情况.【详解】选①810a =（1）选①810a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1081610a a =⎧⎨=⎩，所以11916710a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1311d a =⎧⎨=-⎩ 所以1(1)11(1)3n a a n d n =+-=-+-⨯314n =-令 3142024n -=，则32038n =，此方程无正整数解所以2024不是数列{}n a 中的项.（2）令0n a >，即3140n ->，解得：142433n >= 所以当5n ≥时，0,n a >当4n ≤时，0,n a <所以当4n =时，n S 的最小值为41185226S =----=-.n S 无最大值.选②88a =设等差数列{}n a 的公差为d ，因为108168a a =⎧⎨=⎩，所以1191678a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1420d a =⎧⎨=-⎩ 所以1(1)20(1)4n a a n d n =+-=-+-⨯424n =-令 4242024n -=，则512n =，此方程有正整数解所以2024是数列{}n a 中的项.（2）令0n a >，即4240n ->，解得：6n >所以当7n ≥时，0,n a >当6n ≤时，0,n a ≤所以当5n =或6n =时，n S 的最小值为56656(20)4602S S ⨯==⨯-+⨯=-. n S 无最大值.若选②820a =设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1081620a a =⎧⎨=⎩，所以11916720a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1234d a =-⎧⎨=⎩ 所以1(1)34(1)(2)n a a n d n =+-=+-⨯-362n =-令 3622024n -=，则994n =-，此方程无正整数解所以不是数列{}n a 中的项.（2）令0n a ≥，即3620n -≥，解得：18n ≤，所以当18n >时，0n a <，当18n >时，0n a < ，所以当17n =或18n =时，n S 的最大值为171818171834(2)3062S S ⨯==⨯+⨯-=. n S 无最小值. 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，以及等差数列的前n 项和的最值问题，主要考查学生的计算能力和直观想象能力，属于基础题.18.A B C ，，三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：（1）试估计A 班的学生人数；（2）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（3）从A 班抽出的6名学生中随机选取2人，从B 班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.【答案】（1）36；（2）920；（3）1135. 【解析】【分析】（1）利用分层抽样的方法即可得到答案；（2）利用古典概率的公式即可得到答案；（3）利用分类和分步计数原理和组合公式即可得到答案.【详解】（1）由题意知，抽出的20名学生中，来自A 班的学生有6名．根据分层抽样的方法可知A 班的学生人数估计为61203620⨯=人．（2）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，设此人一周上网时长超过15小时为事件D, 其中D 包含的选法有3+2+4=9种，所以 9()20P D =. 由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为920. （3）设从A 班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有(12)i i ≤≤人一周上网超过15小时为事件i E ,从B 班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件F ，则所求事件的概率为：2111135332212167151811()15735C C C C C P E F E F C C ++⋃===⨯. 【点睛】本题主要考查分层抽样，古典概型及计数原理和组合公式，属基础题.19.已知函数()2221,1ax a f x x +-=+其中0a ≠ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.【答案】（1）2y x =；（2）(,1](0,1]-∞-⋃.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用直线的点斜式即可得到答案；（2）利用导数求出函数的极值及单调区间，列表求出函数的最值，根据题意即可确定a 的取值范围. 【详解】（1）解：2222(1)1()(1)x a f x x -'==+当时，. 所以切线的斜率(0)2k f '==；又(0)0f =所以曲线()y f x =在原点处的切线方程为：2y x =.（2）22222(1)(21)2()(1)a x ax a x f x x +-'+-=+ ()()22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++ 当0a >时，()0f x '=解得 121,x a x a=-= 则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为21()f a a=，若()f x 存在最小值，则()0x ∈+∞，时， 2()(0)1f x f a ≥=-恒成立，即2222111ax a a x +-≥-+，所以()2221ax a x ≥-即2112a a x -≤在(0,)x ∈+∞恒成立，所以2102a a-≤.又因为 0a >，所以210a -≤，则01a <≤. 当0a <时，()0f x '=解得 121,x a x a=-= 则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为1-，若()f x 存在最大值，则()0x ∈+∞，时，2()(0)1f x f a ≤=-恒成立，即2222111ax a a x +-≤-+，所以()2221ax a x ≤-即2112a a x -≤在(0,)x ∈+∞恒成立，所以2102a a-≤.又因为 0a <，所以210a -≥，则1a ≤-. 综上所述，a 的取值范围为(,1](0,1]-∞-⋃.【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的最大值和最小值，考查学生的运算求解能力，分类讨论和转化与化归的能力，属中档题.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b G +=>>：的左焦点为(),F 且经过点(),,C A B 分别是G 的右顶点和上顶点，过原点O 的直线l 与G 交于,P Q 两点（点Q 在第一象限），且与线段AB 交于点M .（1）求椭圆G 的标准方程；（2）若3PQ =，求直线l 的方程；（3）若BOP △的面积是BMQ 的面积的4倍，求直线l 的方程.【答案】（1）22142x y +=；（2）2y x =；（3）814y x =. 【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义即可求出a 的值，从而求出b ，从而得到答案.（2）根据题意设出直线方程，联立方程由根与系数的关系可得1212,x x x x +，再利用弦长公式即可得到答案.（3）依题设出点,,P Q M 的坐标以及直线l 的斜率，根据题目条件即可得坐标之间的关系，从而求出直线l 的斜率，从而求出直线直线l 的方程.【详解】（1）依题知c =1F ），因为点()C 在椭圆上，且1||CF =，又||1CF =，所以12||||4a CF CF =+=，所以2a =所以222422b a c =-=-=，所以椭圆的标准方程为22142x y +=. （2）因为点Q 在第一象限，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为(0)k k >，则直线l 的方程为y kx =，设直线 l 与该椭圆的交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩可得22(12)40k x +-=，易知>0∆，且1212240,12x x x x k -+==+，则PQ ==3===，所以27,22k k ==±，又0k >，所以直线l的方程为2y x =. （3）设(,)m m M x y ，()00,Q x y ，则()00,P x y --，易知002x <<，001y <<.由()2,0A，B ，所以直线AB的方程为12x +=，即20x +-=. 若BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的4倍，则||4||OP MQ =,由,P Q 关于原点对称，可得||||OP OQ =,所以||4||OQ MQ =，所以3||||4OM OQ =即034m x x = ① . 设直线l 的方程为y kx =，由20y kx x =⎧⎪⎨-=⎪⎩得m x =，由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得0x =34=,化简得21470k-+=，解得814k=，所以直线l的方程为：814y x=.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系、弦长公式等，考查运算求解能力，方程思想，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养.21.在数列{}n a中，若*,na N∈且()1,?1,2,3,?··23,nnnn naaa na a+⎧⎪==⎨⎪+⎩是偶数，是奇数则称{}n a为“J数列”.设{}na为“J数列”，记{}n a的前n项和为.n S（1）若110a=，求3nS的值；（2）若317S=，求1a的值；（3）证明：{}n a中总有一项为1或3.【答案】（1）3716nS n=+；（2）15a=；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据递推公式列出数列{}n a中的项，找规律，发现周期性即可得到答案;（2）根据题意分情况进行求解即可得到答案;（3）首先证明：一定存在某个i a，使得6ia≤成立，再进行检验即可得到答案.【详解】（1）当110a=时，{}na中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,，即数列{}n a从第四项开始每三项是一个周期，所以312323S a a a=++=，634564217S S a a a-=++=++=，9678933(1)42177n nS S a a a S S--=++=++=-=，所以3237(1)716nS n n=+-=+.（2）① 若1a 是奇数，则213a a =+是偶数，213322a a a +==，由317S =，得1113(3)172a a a ++++=，解得15a =，适合题意. ② 若1a 是偶数，不妨设*12()a k k =∈N ，则122a a k ==. 若k 是偶数，则2322a k a ==，由317S =，得2172k k k ++=，此方程无整数解；若k 是奇数，则33a k =+，由317S =，得2317k k k +++=，此方程无整数解.综上，15a =.（3）首先证明：一定存在某个i a ，使得6ia ≤成立. 否则，对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则在i a 为奇数时，必有232i i i a a a ++=<；在i a 为偶数时，有232i i i a a a +=+<，或24i i i a a a +=<. 因此，若对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则135,,,a a a 单调递减，注意到*n a ∈N ，显然这一过程不可能无限进行下去，所以必定存在某个i a ，使得6i a ≤成立. 经检验，当2i a =，或4i a =，或5i a =时，{}n a 中出现1；当6i a =时，{}n a 中出现3，综上，{}n a 中总有一项为1或3.【点睛】本题主要考查递推数列以及推理知识的综合应用，考查学生逻辑思维能力、运算求解能力和推理论证能力，属中档题.。

2021年高三上学期摸底考试数学(理)试题含答案

2021年高三上学期摸底考试数学（理）试题含答案本卷共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题：1．已知集合 M= ，集合为自然对数的底数），则=（） A ． B ． C ． D ．2．命题“x ∈R ，x 2－x+l<0”的否定是 A ． x ∈R,x 2一x+1≥0B ．x ∈R,x 2 －x+1>0C ． x ∈R,x 2－x+l ≥0 D ． x ∈R,x 2－x+l>0 3．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10= (A) 12 (B) 16 (C)20 (D)24 4．若的值为 A ． -1 B ． C ．l D ．2 5.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为（）.A. 4B. 4C. 3D. 2 6．定义在上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为（） A ． B ． C ． D ．7、若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，∠=，则到轴的距离为（）A ．B ．C ．D ．8．如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（） A ． B ． C ． D ．9、在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集DABC主视图左视图{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（）A ．B ．C ．D ． 10、已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．11、在三棱锥S －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝，SA ＝SC ＝2，AC 的中点为M ，∠SMB 的余弦值是，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A. B. C. D.12、设定义在上的函数，若关于的方程有3个不同实数解、、，且，则下列说法中错误的是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题。

2021届广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学试题(一)(word版,含官方答案)

★启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）数学本试卷共5页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。

将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合M={x|-7<3x-1<2},N={x|x+1>0},则M ∪N=A.(-2,+∞)B. (-1,1)C.(-∞,1)D.(-1,+∞) 2.若复数z 满足（z-1)(1+i)=2-2i,则｜z|=3.已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则f(2e)= A. 2e 2 B. 2e C. 1+ln2 D. 21n 24.函数f(x)=cos 2x+6cos(2π-x)(x ∈[0, 2π])的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.75.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则数列｛log 2a n }的前10项和等于 A. 1023 B.55 C.45 D.356.已知a,b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是A. ab 的最小值是1B.ab 的最大值是1C. 11a b +的最小值是92D. 11a b +的最大值是927.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h,计算其体积V 的近似公式V≈2136L h .用该术可求得圆率π的近似值。

2021年高三数学开学第一次摸底考试试题

2021年高三数学开学第一次摸底考试试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若，则复数=A. B. C. D.2、设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+）（D）[0，+）3、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种4、执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（A）120 （B）720（C）1440（D）50405、设函数和分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Ａ．是偶函数Ｂ．是奇函数Ｃ．是偶函数Ｄ．是奇函数6、甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A． B．C． D．7、某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元） 4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（A）63.6万元（B）65.5万元（C）67.7万元（D）72.0万元8、下列命题中错误的是（A）如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面（B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（C）如果平面，平面，，那么（D）如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面9、已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是A.[-1.0]B.[0.1]C.[0.2]D.[-1.2]10、已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则（A）（B）（C）（D）第II卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。

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2021年高三第一次摸底考试数学试题 Word 版含答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1、若}1log |{},822|{2>∈=≤≤∈=x R x B Z x A x ，则=__________。

2、设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______________。

3、已知复数，,那=______________。

4、若角的终边落在射线上，则=____________。

5、在数列中，若，，，则该数列的通项为。

6、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表
（单位:环）
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是。

7、在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是。

8、已知对称中心为原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程为___________________。

9、阅读下列程序:
Read S1
For I from 1 to 5 step 2
SS+I
Print S
End for
End
输出的结果是。

10、给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是。

①若；②函数的图象关于x=对称；③函数为偶函数，④函数是周期函数，且周期为2。

11、若函数在上是增函数，则的取值范围是____________。

12、设，则的最大值是_________________。

13、棱长为1的正方体中,若E 、G 分别为、的中点,F 是正方
形的中心,则空间四边形BGEF 在正方体的六个面内射影的面积的最大值为。

14、已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是。

二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、设函数,其中向量R x x x n x m ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(，
(1)求的最小正周期；
(2)在中，分别是角的对边，求的值。

16、已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视
图是边长为2的正三角形，主视图是矩
形，且，设为的中点。

(1)作出该几何体的直观图并求其体积；
(2)求证：平面平面；
(3)边上是否存在点，使平面？若不存在，说明理
由；若存在，证明你的结论。

17、某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交元（为常数，2≤a ≤5 ）的税收。

设每件产品的售价为x 元(35≤x ≤41), 根据市场调查,日销售量与(e 为自然对数的底数)成反比例。

已知每件产品的日售价为40 元时，日销售量为10件。

(1)求该商店的日利润L （x ）元与每件产品的日售价x 元的函数关系式；
(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L （x ）最大，并求出L （x ）的最大值。

18、已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切。

(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线,垂足为点,线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
(3)设与轴交于点，不同的两点在上，且满足，求的取值范围。

19、已知数列中，且点在直线上。

(1)求数列的通项公式;
(2)若函数(),2,1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n
且求函数的最小值； (3)设表示数列的前项和。

试问：是否存在关于的整式，使得
对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

20、已知()()x
x x g e x x ax x f )ln()(),0,(,ln --=-∈--=，其中是自然常数， (1)讨论时, 的单调性、极值；
(2)求证：在（1）的条件下，；
(3)是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。

必做题答案一、填空题：
1、 2、 3、 4、0 5、 6、甲
7、 8、 9、2，5，10 10、1，2，4 11、
12、1 13、 14、2
二、解答题：
15、解：(1)1)62sin(22sin 3cos 2)(2++=+=π
x x x x f 3分
6分
(2) 9分
余弦定理可得 12分
又∵
∴ 14分
16、
17、解（1）设日销售量为4040,10,10,.x k k k e e e =∴=40
x 10e 则则日售量为件e
-------2分则日利润40
401030()(30)10x x
e x a L x x a e e e --=--=----------------------------4分（2）-------------------------------------------------7分
①当2≤a ≤4时，33≤a +31≤35，当35 <x<41时，
∴当x =35时，L （x ）取最大值为-----------------------------------10分
②当4＜a ≤5时，35≤a +31≤36，
易知当x=a +31时，L （x ）取最大值为-----------------------------------13分综合上得---------- ------------------------15分
18、解：(1)由得，又由直线与圆相切，得，，∴椭圆的方程为：. 4分
(2)由得动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，∴点的轨迹的方程为. 8分
(3)，设，
∴，
由，得，∵
∴化简得， 10分
∴(当且仅当时等号成立)， ∵64)8(4
1)4(||22222222-+=+=y y y ，又∵，∴当，即时，
∴的取值范围是 15分
19、解：（1）由点P 在直线上，
即， 2分
且，数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列
，同样满足，所以---------------4分
（2） 2
21121413121)1(+++++++++=
+n n n n n n f ---------------------6分 01122122111221121)()1(=+-++>+-+++=-+n n n n n n n f n f 所以是单调递增，故的最小值是---------------10分
（3），可得，-------12分
，
……
113211-+++++=--n S S S S S nS n n
)1(1321-=-=++++-n n n S n n nS S S S S ，n ≥2------------------14分
故存在关于n 的整式g （x ）=n ,使得对于一切不小于2的自然数n 恒成立----16分
20、解（1） ------------2分
当时，，此时为单调递减
当时，，此时为单调递增
的极小值为-----------------------------------4分
（2）的极小值，即在的最小值为1
令
又 ---------------------------------------6分当时
在上单调递减
()()()min max 12
121211x f e e h x h ==+<+=-= ---------------7分当时，------------------------------8分
（3）假设存在实数，使有最小值3，
①当时，由于，则
函数是上的增函数
解得（舍去） ---------------------------------12分 ②当时，则当时，
此时是减函数
当时，，此时是增函数
解得 16分
附加卷答案
选做1：选做2：选做3：弦长为
选做4：
三式相加得证。

必做1：(1)略，(2)
必做2：(1) (2)120
64)5(,12036)4(,12016)3(,1204)2(=======
=ξξξξP P P P ;
39901 9BDD 鯝26229 6675 晵Y|37584 92D0 鋐30525 773D 眽_ 29716 7414 琔)25251 62A3 抣'%33566 831E 茞V。