状态反馈与状态观测器
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现代控制理论 状态反馈与状态观测器
• 设计方法见书。
五、带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 其结构图如下图所示.
• 状态估计器
x ( A GC ) x Bu Gy ˆ ˆ ˆ y Cx
• 原系统
x Ax Bu ˆ x Ax Bkx Bv y Cx ˆ x ( A Bk ) x Bk ( x x) Bv u v kx ˆ
• 传函不变,即
y C (sI A Bk ) B.v
1
• 显然系统的特性由矩阵的特征多项式
ˆ A Bk A 0 A GC Bk
决定.
• 由
ˆ det[ I A] det( I A Bk ) det( A GC ) 0
• 注意上述方法仅适用于SISO系统.
4.几点说明
(1).对SISO系统来说,状态反馈只改变极点位 臵,不影响零点. (2).由于改变了极点,因此可能出现零极点对 消,从而影响系统的可观性.
(3).从实现的角度,状态反馈比输出反馈 困难,复杂. (4)对SISO系统来说,极点配臵只改变了极 点在S平面上的位臵,显然不采用这种方法 难于达到系统动静性能的一致. (5).对MIMO来说,极点配臵的方法与SISO 方法是一致的,但SISO的k阵是唯一的,而 MIMO的k阵是非唯一的.
• 系统的状态估计器极点可任意配臵的充要 条件是:该系统的状态是可观的.
(3).状态估计器的设计方法. • 仿照状态反馈的极点配臵设计方法,只需先 进行可控性检验,改成可观性检查即可,其余 步骤相同.
四、降维观测器设计
• 一般情况下观测器是建立在对原系统模拟基 础上的，因而其维数和受控系统维数是相同 的，称为全维观测器（或估计器）。
五、带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 其结构图如下图所示.
• 状态估计器
x ( A GC ) x Bu Gy ˆ ˆ ˆ y Cx
• 原系统
x Ax Bu ˆ x Ax Bkx Bv y Cx ˆ x ( A Bk ) x Bk ( x x) Bv u v kx ˆ
• 传函不变,即
y C (sI A Bk ) B.v
1
• 显然系统的特性由矩阵的特征多项式
ˆ A Bk A 0 A GC Bk
决定.
• 由
ˆ det[ I A] det( I A Bk ) det( A GC ) 0
• 注意上述方法仅适用于SISO系统.
4.几点说明
(1).对SISO系统来说,状态反馈只改变极点位 臵,不影响零点. (2).由于改变了极点,因此可能出现零极点对 消,从而影响系统的可观性.
(3).从实现的角度,状态反馈比输出反馈 困难,复杂. (4)对SISO系统来说,极点配臵只改变了极 点在S平面上的位臵,显然不采用这种方法 难于达到系统动静性能的一致. (5).对MIMO来说,极点配臵的方法与SISO 方法是一致的,但SISO的k阵是唯一的,而 MIMO的k阵是非唯一的.
• 系统的状态估计器极点可任意配臵的充要 条件是:该系统的状态是可观的.
(3).状态估计器的设计方法. • 仿照状态反馈的极点配臵设计方法,只需先 进行可控性检验,改成可观性检查即可,其余 步骤相同.
四、降维观测器设计
• 一般情况下观测器是建立在对原系统模拟基 础上的，因而其维数和受控系统维数是相同 的，称为全维观测器（或估计器）。
现在控制理论第五章状态反馈与状态观测器
(5-5)
引出的反馈系数，则
变换后k的0， 状态， 反kn馈1系统动态方程为 ：
x1， ，xn
式中：
xAbkxbv
y Cx
0
1
0
0
0
1
Abk
0
0
0
a0k0 a1k1 a2k2
(5-6)
(5-7)
0
0
1
an1kn1
I A (5 -b 9)k n a n 1 k n 1 n 1 a 2 k 2 2 a 1 k 1 1
过 行
待设 矩阵
计的 ，负
参 反
y Cx 馈至系统的参考输入，于是存在
01 式中v为纯量， 为 为 维行矩阵，为 环状态阵，
维向量， 为
维矩阵， 为
维向量， 为
维矩阵。
为闭环特征多项式。
维向量， 为闭
02 用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能 控
03
证明 ：0
若1式
(
k0, ,kn1
k
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，
实现闭环极点任意配置的状态反馈阵 K为 pn维 。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。 状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所 包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任 何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。若不能控 状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
0
1
0
A
h
第六章状态反馈与状态观测器
.
y 0 1x
1）判断原系统的能控性，能观性。 0 1 rankb Ab rank 2 能控 1 0
C 0 1 rank rank 2 CA 1 0
能观
13
6.1 状态反馈和输出反馈
2）引入状态反馈： u v Kx
则： x ( A bK ) x bV 可得：
Modern Control Theory
第六章
状态反馈和状态观测器
1
第六章 状态反馈和状态观测器
目前为止，我们已经：
建立了系统的状态空间模型
提出了基于状态空间模型的系统的运动分析
探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 “认识了世界” ⇒ 如何来“改变世界”？！ 设计控制系统！ 系统的控制方式----反馈？：开环控制、闭环控制
– 极点位置（系统矩阵的特征值）
通过反馈控制器的设计，可使得闭环系 统的极点位于预先给定的期望位置。
16
6.2 极点配置问题
定义：通过选择反馈增益矩阵K,将闭环系统的 极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获 得所希望的动态性能。
极点配置的方法：
一、采用状态反馈
(Ⅰ)定理：线性定常系统可通过线性状态反馈 任意地配置其全部极点的充要条件 是：此被控系统状态完全能控。
不改变 系统的 能控性 和能观 性
状态反馈 — 效果佳
都不改变 系统维数 （因为两种 反馈形式均 输出反馈 — 实现方便 但能力有限
未增加新的 状态变量）
15
6.2 极点配置问题
• 系统性能：稳态性能和动态性能
– 稳态性能：稳定性、静态误差 – 动态性能：调节时间、响应速度...
• 影响系统稳定性、动态性能的因素：
y 0 1x
1）判断原系统的能控性，能观性。 0 1 rankb Ab rank 2 能控 1 0
C 0 1 rank rank 2 CA 1 0
能观
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6.1 状态反馈和输出反馈
2）引入状态反馈： u v Kx
则： x ( A bK ) x bV 可得：
Modern Control Theory
第六章
状态反馈和状态观测器
1
第六章 状态反馈和状态观测器
目前为止，我们已经：
建立了系统的状态空间模型
提出了基于状态空间模型的系统的运动分析
探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 “认识了世界” ⇒ 如何来“改变世界”？！ 设计控制系统！ 系统的控制方式----反馈？：开环控制、闭环控制
– 极点位置（系统矩阵的特征值）
通过反馈控制器的设计，可使得闭环系 统的极点位于预先给定的期望位置。
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6.2 极点配置问题
定义：通过选择反馈增益矩阵K,将闭环系统的 极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获 得所希望的动态性能。
极点配置的方法：
一、采用状态反馈
(Ⅰ)定理：线性定常系统可通过线性状态反馈 任意地配置其全部极点的充要条件 是：此被控系统状态完全能控。
不改变 系统的 能控性 和能观 性
状态反馈 — 效果佳
都不改变 系统维数 （因为两种 反馈形式均 输出反馈 — 实现方便 但能力有限
未增加新的 状态变量）
15
6.2 极点配置问题
• 系统性能：稳态性能和动态性能
– 稳态性能：稳定性、静态误差 – 动态性能：调节时间、响应速度...
• 影响系统稳定性、动态性能的因素：
第六章 状态反馈和状态观测器
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第六章状态反馈和状态观测器
其中，显然有
0 ( A bK ) 0 an k1 1 0 an 1 k 2 1 a1 k n
系统 K 的闭环特征方程为
sn (a1 kn )sn1 (a2 kn1 )sn2 (an k1 ) 0
D v L －
u
B
+
∫
A
x
C
+y
K
图6.1.1 状态反馈示意图
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第六章状态反馈和状态观测器
ΣK的状态空间表达式为：
x ( A BK ) x BLv K ： y (C DK ) x DLv
若 D＝0，则
x ( A BK ) x BLv K ： y Cx
uc [B AB A2 B
An1 B] ( A BK )n1 B]
' uc [B ( A BK )B ( A BK )2 B
由 ( A BK )B AB B( KB) ，可知
( A BK )B 的列向量可以由 ( B AB )
的列向量的线性组合表示。
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
于是，从v 到 y 的传递函数矩阵
G( s；K，L) C ( sI A)1 B[ I K ( sI A)1 B]1 L G( s )[ I K ( sI A)1 B]1 L
定理 6.1.1 对于任何实常量矩阵K ，系统 ΣK 完全
能控的充要条件是系统 Σ 完全能控。P193 即引入状态反馈控制律(K,I) 不影响系统的能控性，
第六章 状态反馈与状态观测器
• 考察
T & u x = Ax+B z = A z +CTυ & 的对偶系统 n = BT z y =Cx
(4)Biblioteka 且定义 v=r-Kz • 则
T z =(A −CTk)z +CTr & n = BT z
(5)
• 注意到 AT −CTk =(A−kTC)T
(A−kTC)T 和 A−kTC • 而
(4).带观测器的状态反馈系统 带观测器的状态反馈系统. 带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中 不采样原系统的状态进行反 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈 其结构图如下图所示. 其结构图如下图所示
• 状态估计器
2.极点配置条件 极点配置条件 • 若被控系统 Σ0(A, B) 是状态完全能控的,那么 是状态完全能控的 那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 反馈系统的极点必是可以任意配置的 或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控. 控系统完全可控
极点配置(仅讨论单输入 单输出系统) 二.极点配置 仅讨论单输入 单输出系统 极点配置 仅讨论单输入/单输出系统 1.什么是极点配置 什么是极点配置. 什么是极点配置 A− • 如果 Σk[(A−Bk), B,C]的全部 个)极点可以通过 的全部(n个 极点可以通过 选择状态反馈矩阵K的各元素而移至 的各元素而移至S平面 选择状态反馈矩阵 的各元素而移至 平面 任意指定的位置,称该系统是极点可任意配 任意指定的位置 称该系统是极点可任意配 置的。 置的。
• 由(1)和(2)得 和 得
状态反馈与状态观测器
Ax Bu x y Cx
状态完全能控，且设其特征多项式和传递函数分别为
f o (s) detsI A s a1 s
n
n 1
a n1 s a n
n2
（5-16）
Go ( s) C ( sI A) B
1
b1 s
n 1 n
（5-8） 式（5-8）可简记为 H ( A BHC, B, C ) ，其对应的 传递函数矩阵为
W H (s) C (sI ( A BHC )) B
1
（5-9）
在被控系统D=0时，比较两种基本反馈控制律 （只要取 F HC 的状态反馈即可达到与线性非动 态输出反馈H相同的控制效果。
b2 s
bn 1 s bn
s a1 s
n 1
a n 1 s a n
（5-17） 可通过如下变换（设 Tc 为能控标准型变换矩阵）
x Tc x
（5-18）
__
将 o ( A, B, C ) 化为能控标准型 o ( A , B , C ) ，即
Ax Bu x y Cx
p (s) (s 1 )(s 2 ) (s 1 j )(s 1 j ) s 2s 2
2
2
a2 ，
2
阵 F f1
(3)求满足期望极点配置要求的状态反馈增益矩
f2
方法一
规范算法
被控系统 o ( A, B, C )的特征多项式为
a1 AB 1
根据式（5-29），原状态x下的状态反馈增益阵F应为
5. 3 反馈控制对能控性与能观测性的影响
定理5-1 状态反馈不改变被控系统 o ( A, B, C ) 的能控性，但不一定能保持系统的能观性。
状态完全能控，且设其特征多项式和传递函数分别为
f o (s) detsI A s a1 s
n
n 1
a n1 s a n
n2
（5-16）
Go ( s) C ( sI A) B
1
b1 s
n 1 n
（5-8） 式（5-8）可简记为 H ( A BHC, B, C ) ，其对应的 传递函数矩阵为
W H (s) C (sI ( A BHC )) B
1
（5-9）
在被控系统D=0时，比较两种基本反馈控制律 （只要取 F HC 的状态反馈即可达到与线性非动 态输出反馈H相同的控制效果。
b2 s
bn 1 s bn
s a1 s
n 1
a n 1 s a n
（5-17） 可通过如下变换（设 Tc 为能控标准型变换矩阵）
x Tc x
（5-18）
__
将 o ( A, B, C ) 化为能控标准型 o ( A , B , C ) ，即
Ax Bu x y Cx
p (s) (s 1 )(s 2 ) (s 1 j )(s 1 j ) s 2s 2
2
2
a2 ，
2
阵 F f1
(3)求满足期望极点配置要求的状态反馈增益矩
f2
方法一
规范算法
被控系统 o ( A, B, C )的特征多项式为
a1 AB 1
根据式（5-29），原状态x下的状态反馈增益阵F应为
5. 3 反馈控制对能控性与能观测性的影响
定理5-1 状态反馈不改变被控系统 o ( A, B, C ) 的能控性，但不一定能保持系统的能观性。
状态反馈和状态观测器
试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2±j4和-10。 [解]： （1）先判断该系统的能控性
20112011-4-20 9
0 rank[Qc ] = rank[ B M AB M A2 B ] = rank 0 1
0 1 −6
1 − 6 = 3 31
该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。 （2）计算闭环系统的特征多项式 设状态反馈增益矩阵为：K = [k1 k 2 k 3 ]
期望的闭环极点有时直接给定；有时给定某些性能指标： 如超调量 M p % 和调整时间 t s 等）
α i*还可以由期望闭环传递函数得到：
β n −1 s n −1 + β n − 2 s n − 2 + L + β 1 s + β 0 G( s) = * * * s n + α n −1 s n − 1 + L + α 1 s + α 0
−1 0 0 & x= x + 1 u 0 2
[解]： （1）先判断该系统的能控性 由对角线标准型判据可知，特征值为－1的状态不能控。 (2)假如加入状态反馈阵K，得到反馈后的特征多项式为：
20112011-4-20 11
λ − 2 + k2 从中可以看出，对于－1的极点，状态反馈不起作用，状态
输出反馈控制规律： u = v − Hy
& x = ( A − BHC ) x + Bv 输出反馈系统状态空间描述为： y = Cx
20112011-4-20 5
h11 h 输出反馈增益矩阵： H = M21 hr 1
h12 L h1m h22 L h2 m M M hr 2 L hrm
现代控制理论 状态反馈与状态观测器
• 在状态反馈中,有些状态是无法观测的,或无 法用物理方法量测出来,因此可用状态观测 器来解决这一问题.
• 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值.
2.极点配置条件
• 若被控系统0(A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控.
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配置所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
• 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
• 估计的模型
xˆAxˆBuG(yCxˆ) (2) (AGC)xˆBuGy
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 exxˆ 则 exxˆ(AG C)e显然误差e的特性是由
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使 e tt1 0,t1 足够地小,从而G的选择也是使 A-GC的特征根按要求放在合适的位置上.
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述:
1).状态反馈. 2).极点配置. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈
• 对于方程
x Ax Bu
y
Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
四、降维观测器设计
x Ax Br
y
Cx
• A 是满足要求的方阵
• 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值.
2.极点配置条件
• 若被控系统0(A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控.
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配置所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
• 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
• 估计的模型
xˆAxˆBuG(yCxˆ) (2) (AGC)xˆBuGy
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 exxˆ 则 exxˆ(AG C)e显然误差e的特性是由
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使 e tt1 0,t1 足够地小,从而G的选择也是使 A-GC的特征根按要求放在合适的位置上.
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述:
1).状态反馈. 2).极点配置. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈
• 对于方程
x Ax Bu
y
Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
四、降维观测器设计
x Ax Br
y
Cx
• A 是满足要求的方阵
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实验七 状态反馈与状态观测器
一、实验目的
1. 掌握用状态反馈进行极点配置的方法。
2. 了解带有状态观测器的状态反馈系统。
二、实验原理
1. 闭环系统的动态性能与系统的特征根密切相关，在状态空间的分析中可利用状态反馈来配置系统的闭环极点。
这种校正手段能提供更多的校正信息，在形成最优控制率、抑制或消除扰动影响、实现系统解耦等方面获得广泛应用。
在改善与提高系统性能时不增加系统零、极点，所以不改变系统阶数，实现方便。
2. 已知线形定常系统的状态方程为
x Ax Bu
y cx
=+=为了实现状态反馈，需要状态变
量的测量值，而在工程中，并不是状态变量都能测量到，而一般只有输出可测，因此希望利用系统的输入输出量构成对系统状态变量的估计。
解决的方法是用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模拟系统，用模拟系统的状态向量
ˆ()x
t 作为系统状态向量()x t 的估值。
状态观测器的状态和原系统的状态之间存在着误差，而引起误差的原因之一是无法使状态观测器的初态等于原系统的初态。
引进输出误差ˆ()()y
t y t -的反馈是为了使状态估计误差尽可能快地衰减到零。
状态估计的误差方程为
误差衰减速度，取决于矩阵（A-HC ）的特征值。
3. 若系统是可控可观的，则可按极点配置的需要选择反馈增益阵k ，然后按观测器的动态要求选择H ，H 的选择并不影响配置好的闭环传递函数的极点。
因此系统的极点配置和观测器的设计可分开进行，这个原理称为分离定理。
三、实验内容
1. 设控制系统如6.1图所示，要求设计状态反馈阵K ，使动态性能指标满足超调量%5%σ≤，峰值时间0.5p t s ≤。
2. 被控对象传递函数为
写成状态方程形式为
式中
模拟电路图如6.2图所示。
3. 带有状态观测器的状态反馈系统方框图如6.3图所示。
四、实验结果
1、图6.1系统状态空间表达式
[]11222020010110x x u
x x y x
-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦= 设计状态反馈矩阵[]5.910.9k =-
加入状态反馈的系统结构图
2、对给定系统配置状态观测器
状态反馈阵K 与状态观测阵H 均由计算机给出，系统模拟运算电路图如下：
输入阶跃信号，系统仿真结果如下：(图1、3未加状态观测，图2、4加状态观测)
数字仿真结果：
不加状态观测器
图1
加状态观测器
图2
半实物仿真结果：
图3
图4
结论：从实验的波形能够看出，系统增加状态观测器后，可以减小超调量和调节时间，另外系统的振荡性降低，更加平稳。
3改变观测极点值：
0.1+0.1i0.1-0.1i
0.1+0.2i0.1-0.2i
0.1+0.25i0.1-0.25i
0.1+0.3i0.1-0.3i
0.1+0.4i0.1-0.4i
数字
结论：观测极点y绝对值小于0.3时，系统超调量减少，调节时间变短，振荡减少。
当y绝对值大于0.3，系统处于发散状态。
实验感想：学习并了解用状态反馈进行极点配置的方法。
了解带有状态观测器的状态反馈系统，了解改变观测极点对系统影响。
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