考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究试题
九年级数学中考复习中档题训练含答案解析 专题5 圆中的计算(五)隐圆中的最值模型
专题5 圆中的计算(五)隐圆中的最值模型典例精讲基本模型1垂线段最短【例1】如图,等边△ABC 的边长为3,F 为BC 上的动点,DF ⊥AB 于点D ,EF ⊥AC 于点E ,则DE 的长的最小值为 .基本模型2定弦定角【例2】如图, ⊙O 的半径为2,AB 是弦,△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°,∠BAC =30°,连接OC .则OC 的最大值为 .基本模型3 直径是圆中最长的弦【例3】(2020原创题)如图,在△ABC 中,AB =2,∠ACB =120°,则△ABC 周长的最大值为 .基本模型4定弦所对弧的中点到弦的距离最大【例4】(2020 原创题)在△ABC 中,AB =6,∠ACB = 45°,则△ABC 面积的最大值为CB D基本模型5隐切线【例5】已知半圆⊙O的直径AB长为12,点P是半圆上的一动点,点Q是弦AP上的一点,且AQ=2PQ, 连接BQ并延长交⊙0于点M,则AM长度的最大值为2π微专题5 圆中的计算(五)隐圆中的最值模型典例精讲基本模型1垂线段最短【例1】如图,等边△ABC的边长为3,F为BC上的动点,DF⊥AB于点D,EF⊥AC于点E,则DE的长的最小值为94.【解析】过A,D，F ,E作⊙О,取AF的中点О,则OA=OD=OF=OE，∴A,D,F,E在以AF为直径的⊙О上,作直径DM,连接EM, 则∠M=60°，∴DE=2,DM=2AF,∴AF⊥BC时,AF最小,此时AF=2,故DE有最小值94.基本模型2定弦定角【例2】如图,⊙O的半径为2,AB是弦,△ABC为直角三角形，∠ACB=90°,∠BAC=30°,连接OC.则OC的最大值为1 .1C【解析】设直线BC 与⊙О交于点D ，∠ACB =90°, ∠BAC =30°,则╱B =60°，∴AD 为定弦﹐连接ОA,OD, 易得AD,∵∠ACB =90°,取AD 中点Q ， 则点C 在以AD 为直径的⊙Q 上,作射线OQ 交⊙Q 于点E ， 则OC 的最大值为OE=OQ+QE基本模型3 直径是圆中最长的弦【例3】(2020原创题)如图,在△ABC 中,AB =2,∠ACB =120°,则△ABC2 【解析】延长AC 至点D ,使CD=CB ,连接DB,则∠ADB =60° ∴点D 在以AB 为弦，其所对的圆周角为60°的弧上运动 ∴当AD 为直径时,其长度最大,即AC+CB 最大. ∵当AD 为直径时﹐∠ABD =90°， ∴AD=2sin 3AB ADB ==∠ ∴△ABC的周长最大值为23+. 基本模型4定弦所对弧的中点到弦的距离最大【例4】(2020 原创题)在△ABC 中,AB =6,∠ACB = 45°,则△ABC面积的最大值为9 [解析]如图，作△ABC 的外接圆⊙O ,当点C 运动至ACB 的中点C ′处时,AB 边上的高最大，即△ABC 的面积最大. 易证C ′O ⊥AB 于点D , 连接OA.OB .则∠AOB =90°， ∴AO=BO=C ′O=2AB=OD =12AB =3,∴C ′D=+3 ∴△ABC 面积的最大值为12AB ⋅CD=()16392⨯⨯基本模型5隐切线【例5】已知半圆⊙O 的直径AB 长为12,点P 是半圆上的一动点,点Q 是弦AP 上的一点,且AQ =2PQ, 连接BQ 并延长交⊙0于点M ,则AM 长度的最大值为2π[解析]连接OP ,在AB 上取一点1O ,使A 1O =23AO =4.连接1O Q, 则123AO AQ AP AO ==,∴△AO 1Q ∽△AOP ,∴O 1Q =23OP =4,B DC'∴点Q 在以4为半径的⊙01上，∴当BM 与⊙01相切时, ∠ABM 最大,AM 最长，设切点为Q 1.则01Q 1⊥BM ,∵01Q 1=4，01B =8. ∴∠01BQ 1= 30°，∴AM 的长度最大时所对的圆心角为60°,最大值为：606=2180ππ⨯⨯1。
(河北专版)中考数学 第二编 中档题突破专项训练篇 中档题型训练(二)解方程(组)、不等式(组)及其
中档题型训练(二) 解方程(组)、不等式(组)及其应用题本专题主要考查方程(组)、不等式(组)的解法以及方程(组)和不等式的应用，某某中考往往以解答题的形式出现，属基础题或中档题．复习时要熟练掌握方程(组)与不等式(组)的解法以及它们的应用，并会检验解答结果的正确与否．方程(组)的解法【例1】解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2（x －y ）3－（x ＋y ）4＝－112，3（x ＋y ）－2（2x －y ）＝3.【思路分析】先化简方程组，再灵活选择代入法或加减法．【学生解答】原方程组整理得：⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ＝－1，①－x ＋5y ＝3.②由②得x ＝5y －3.③将③代入①得25y －15－11y ＝－1，14y ＝14，y ＝1.将y ＝1代入③得x ＝2.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.1．(2016某某中考)解方程：12x ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋1＝8＋x.解：去括号，得12x ＋52x ＋2＝8＋x ，移项，得12x ＋52x －x ＝8－2，合并同类项，得2x ＝6，系数化为1，得x ＝3.2．(2016某某中考)解方程：x 2＋2x ＝3. 解：原方程可化为(x ＋1)2＝4， 所以x ＋1＝±2， 所以x 1＝－3，x 2＝1.3．(2015甘孜中考)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝1，①x ＋2y ＝6.②解：②－①，得y ＝1.把y ＝1代入①，得x ＝4.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.4．(2016宿迁中考)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①3x ＋4y ＝－1.②解：①×2＋②得5x ＝5， 所以x ＝1，把x ＝1代入①得y ＝－1，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.5．解方程：x x －1－1＝3x 2＋x －2.解：去分母，得x(x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3， 去括号，得x 2＋2x －x 2－x ＋2＝3.解得x ＝1，经检验，x ＝1是原方程的增根， ∴原分式方程无解．解不等式(组)【例2】(2016某某九中二模)解不等式组： ⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5<8x ＋7，①43x ＋2>1－23x.②并写出其整数解． 【思路分析】先求不等式组的解集，在解集中找整数解．【学生解答】解：解不等式①得x<2.解不等式②得x>－12.把①、②的解集表示在数轴上，故原不等式组的解集是－12<x<2.其整数解是0，1.6．(2016某某某某中考一模)解不等式2x －13－9x ＋26≤1，并把解集表示在数轴上．解：去分母，得2(2x －1)－(9x ＋2)≤6， 去括号，得4x －2－9x －2≤6， 移项，得4x －9x≤6＋2＋2， 合并同类项，得－5x≤10， 系数化为1，得x≥－2， 解集在数轴上表示如图：7．(2016某某中考)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2），①2x －1＋3x2<1.②将不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．解：解不等式①，得x≥－1，解不等式②，得x<3，所以原不等式组的解集是－1≤x<3. 解集在数轴上表示如图：所以不等式组的非负整数解有0，1，2.8．(2017预测)已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a≥0，3－2x>－1的整数解共有5个，求a 的取值X 围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －a≥0，3－2x>－1得⎩⎪⎨⎪⎧x≥a，x<2，∵不等式组有5个整数解，∴a ≤x<2，则知这5个整数解应是－3，－2，－1，0，1，∴a 的取值X 围是－4<a≤－3.9．(2017预测)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝11a ＋18，2x －3y ＝12a －8的解满足x>0，y>0，某某数a 的取值X 围． 解：解方程组得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3a ＋2，y ＝－2a ＋4.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2>0，－2a ＋4>0.解这个不等式组得－23<a<2.方程(组)、不等式(组)的应用【例3】(2016某某中考)在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每X 降价80元，这样按原定票价需花费6 000元购买的门票X 数，现在只花费了4 800元．(1)求每X 门票的原定票价；(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．【思路分析】根据题意分别建立分式方程模型和一元二次方程模型求解．【学生解答】解：(1)设每X 门票原定的票价x 元，由题意得：6 000x ＝4 800x －80，解得x ＝400. 经检验，x ＝400是原方程的解.答：每X 门票原定的票价400元；(2)设平均每次降价的百分率为y ，由题意得：400(1－y)2＝324, 解得y 1，y 2＝1.9(不合题意，舍去). 答：平均每次降价10%.10．(2016某某中考)李老师家距学校1 900 m ，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23 min ，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20 min ，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4 min .(1)求李老师步行的平均速度；(2)请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．解：(1)设李老师步行的平均速度为x m /min ，骑电瓶车的平均速度为5x m /min ，由题意得1 900x －1 9005x＝20，，x ＝76是原分式方程的解，且符合题意．答：李老师步行的平均速度为76 m /min ；(2)能．理由：由(1)可知李老师走回家需要的时间为1 9002×76＝12.5(min )，骑电瓶车到学校的时间为1 90076×5＝5(min )，则李老师从发现忘带手机到学校所用的时间为12.5＋5＋4＝21.5(min )，21.5<23.答：李老师能按时上班．11．(2016某某二中一模)如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m 的住房墙，另外三边用25 m 长的建筑材料围成，为方便进出， 在垂直于住房墙的一边留一个1 m 宽的门. 所围矩形猪舍的长、 宽分别为多少时，猪舍面积为80 m 2?解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m ，则矩形猪舍的另一边长为(26－2x)m ，依题意，得x(26－2x)＝80，化简，得x 2－13x ＋40＝0，解这个方程得x 1＝5，x 2＝8，当x ＝5时，26－2x ＝16>12(舍去)，当x ＝8时，26－2x ＝10<12.答：所建矩形猪舍的长为10 m ，宽为8 m .12．(2016某某中考)学校准备购进一批节能灯，已知1只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需26元；3只A 型节能灯和2只B 型节能灯共需29元．(1)一只A 型节能灯和一只B 型节能灯的售价各是多少元？(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A 型节能灯的数量不多于B 型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．解：(1)设一只A 型节能灯的售价是x 元，一只B 型节能灯的售价是y 元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝26，3x ＋2y ＝29.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7.所以一只A 型节能灯的售价是5元，一只B 型节能灯的售价是7元；(2)设购进A 型节能灯m 只，总费用为w 元．依题意得w ＝5m ＋7(50－m)＝－2m ＋350，∵k ＝－2<0，∴当m 取最大值时w 有最小值．又∵m≤3(50－m)，∴m ≤37.5.而m 为正整数，∴当m ＝37时，w 最小，13只B 型节能灯．13．(2016眉山中考)“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，万元，今年经过改造升级后A 型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A 型车数量相同，则今年6月份A 型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%.(1)求今年6月份A 型车每辆销售价多少元；(用列方程的方法解答)(2)该车行计划7月份新进一批A 型车和B 型车共50辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A 、B 两种型号车的进货和销售价格如表：解：(1)设去年A 型车每辆x 元，那么今年每辆(x ＋400)元，根据题意得x ＝32 000（1＋25%）x ＋400，解之得x ＝1 600, 经检验，x ＝1 600是方程的解．所以x ＋400＝200.答：今年A 型车每辆2 000元．(2)设今年7月份进A 型车m 辆，则B 型车(50－m)辆，获得的总利润为y 元，根据题意得50－m≤2m ，解之得m≥1623，∵y ＝(2 000－1 100)m ＋(2 400－1 400)(50－m)＝－100m ＋50 000, ∴y 随m 的增大而减小，∴当m＝17时，可以获得最大利润.答：进货方案是A 型车17辆，B 型车33辆.。
二、解答重难题型突破+题型5 圆的综合++++课件+2025年中考数学总复习人教版(山东)
P在半圆弧AB上运动(不与A,B两点重合),过点C作直线PB的垂线CD交PB于点D.
(1)如图1,求证:△PCD∽△ABC.
(2)当点P运动到什么位置时,△PCD≌△ABC?请在图2中画出△PCD并说明理由.
(3)如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠BCD的度数.
28
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠BCD=30°.
31
本课结束
∴BF=BE=5.
∵∠ABE=∠AMF=90°,∠BAE=∠MAF,
∴△AMF∽△ABE,
∴ = ,即 = = =2.
设MF=x,则AM=2x,
∴BM=10-2x.
5
∵BM2+MF2=BF2,
∴(10-2x)2+x2=52,解得x=3,x=5(不符合题意,舍去),即MF=3.
∴∠PCD=60°.
∵四边形ABDC内接于☉O,
∴∠B=∠PCD=60°.
9
(2)∵点C为的中点,
∴∠CAD=∠CDA,∴AC=CD.
∵∠ADB=90°,
∴∠CDA+∠CDP=90°.
在Rt△ADP中,∠CAD+∠P=90°,
∴∠CDP=∠P,
∴CD=PC=2 ,
∴AC=CD=PC=2 ,
,对角线AC为☉O
【例2】(2024·济南三模)如图,四边形ABCD内接于☉O,=
的直径,延长BC交过点D的切线于点E.
(1)求证:DE⊥BE;
3
(2)若☉O的半径为5,tan∠DAC= ,求DE的长.
4
12
【自主解答】(1)连接DO并延长交AB于F,
圆的中档题
内容基本要求略高要求较高要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长 了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题1．理解直线与圆的位置关系；2．能够证明切线及利用切线解决相关问题．模块一 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切(内切或外切)、两圆相离、两圆内含．设两个圆为1O 、2O ，半径分别为1R 、2R ，且12R R ≥，1O 与2O 间距离为d ，那么就有 12d R R >+⇔两圆相离； 12d R R =+⇔两圆相外切； 12d R R =-⇔两圆相内切； 1212R R d R R -<<+⇔两圆相交； 12d R R <-⇔两圆内含(这里12R R ≠)．2. 连心线的性质连心线是指通过两圆圆心的一条直线．连心线是它的对称轴．例题精讲中考要求重难点与圆有关的计算两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上． 如果两圆1O 、2O 相交于A 、B 两点，那么12O O 垂直平分AB ．如果两个半径不相等的圆1O 、圆2O 相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线12O O 上，并且 直线12O O 上，并且直线12O O 平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角．如果两条外公切线分别切圆1O 于A 、B 两点、切圆2O 于C 、D 两点，那么两条外公切线长相等，且AB 、 CD 都被12O O 垂直平分．【例1】 如图是一个五环图案，它由五个圆组成．下排的两个圆的位置关系是（ ）A ．内含B ．外切C ．相交D ．外离【巩固】右图是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切【例2】 大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切 Ｃ．相交 D ．内含【巩固】已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O 2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O 1O 2为1cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．内含 C ．内切 D ．外切【拓展】两圆的圆心坐标分别是)0，和()01，，它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是（ ） A ．相交B ．外离C ．外切D ．内切【例3】 已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根，且122O O =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是 ．【巩固】已知1O ⊙与2O ⊙半径的长是方程27120x x -+=的两根，且1212O O =，则1O ⊙与2O ⊙的位置关系是___________．【例4】 如图，1O ⊙和2O ⊙的半径为1和3，连接12O O 交2O ⊙于点P ，128O O =，若将1O ⊙绕点P 按顺时针方向旋转360︒，则1O ⊙与2O ⊙共相切_______次．【例5】 如图，点A B ，在直线MN 上，11AB =厘米，A B ，的半径均为1厘米．A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，B 的半径也不断增大，其半径r (厘米)与时间t (秒)之间的关系式为1r t =+(0)t ≥． （1）试写出点A B ，之间的距离d (厘米)与时间t (秒)之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？模块二 与圆有关的计算 与圆有关的面积和长度计算：设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，弧长公式：π180n Rl =扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+(l 为母线) 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法☞求弧长【例1】 如图，已知O ⊙的半径6OA =，80AOB ∠=°，则AOB ∠所对的弧AB 的长为( )A ．5π3B ．7π3C ．8π3D ．2πO BA【巩固】已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 cm (结果保留π)．【巩固】如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B C ，两点恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC的长度等于( )A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π FDCBEA【例2】 矩形ABCD 的边86AB AD ==，，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时(如图所示)，则顶点A 所经过的路线长是_________．【巩固】如图，有一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上的顶点A 的位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A 2C 与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时，共走过的路径长为( )A ．10cmB ．3.5πcmC ．4.5πcmD ．2.5πcm【拓展】如图1，是用边长为2cm 的正方形和边长为2cm 正三角形硬纸片拼成的五边形ABCDE ．在桌面上由图1起始位置将图片沿直线l 不滑行地翻滚，翻滚一周后到图2的位置． 则由点A 到点4A 所走路径的长度为（ ）lB 4A 4D 4C 4E 4E 1D 1B 1A 1E DCBAA ．310πcmB ．()3238π+ cm C ．3212πcm D ．313πcm☞求面积【例3】 将ABC △绕点B 逆时针旋转到A BC ''△使A B C '、、在同一直线上，若90BCA ∠=°，4cm 30AB BAC ︒=∠=，，则图中阴影部分面积为 cm 2【巩固】如图7，在Rt ABC ∆中，9042C AC BC ∠=︒==，，分别以AC BC ，为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．(结果保留π)【巩固】（石景山一模）12．已知：如图，直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，DEF 的圆心为A ，如果图中两个阴影部分的面积相等，那么AD 的长是 （结果不取近似值）．FC EBD【巩固】（2010山东临沂） 如图，直径AB 为6的半径，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点'B ，则图中阴影部分的面积是（A ）6π （B ）5π （C ）4π （D ）3π60°B'【拓展】如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，直径MN ∥AD ，则阴影面积占圆面积 （ ）A ．12 B ．14C ．16D ．18MN【例4】 (09河南)如图，，圆心角等于45︒的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA上，点D E 、在OB 上，点F 在AB 上，则阴影部分的面积为____________．【巩固】设计一个商标图案如图中阴影部分，矩形ABCD 中， 2AB BC =，且8AB cm =，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则商标图案的面积等于（ ）A ．()248cm π+B ．()24+16cm πC ．()238cm π+D ．()2316cm π+F C【巩固】（2008•鄂州）如图， Rt ABC △中，90ACB ∠=︒， 30CAB ∠=︒，2BC =，O ，H 分别为边AB ，AC 的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120︒到A BC ''△的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为 ．H'C'☞与圆柱、圆锥有关的计算【例5】 如果矩形纸片的两条邻边分别为18cm 和30cm ，将其围成一个圆柱的侧面，求圆柱的底面半径．【巩固】圆柱的侧面展开图是一个矩形，如右图所示，对角线8AC =，30CAB ∠=︒，求圆柱的底面积．30︒DCBA【例6】 如图已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为( )A ． 24πcmB ． 26πcmC ． 29πcmD ． 212πcmOBA6cm120°【巩固】某个圆锥的侧面展开图形是一个半径为6cm ，圆心角为120︒的扇形，则这个圆锥的底面半径为______________cm ．【巩固】如果圆锥的底面半径是4，母线长是16，那么这个圆锥侧面展开图圆心角的度数是__________．【巩固】圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为( )．A ．36πB ．48πC ．72πD ．144π【巩固】若一个圆锥的底面积是侧面积的13，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是____ _度．【巩固】半径为5的弧长等于半径为2的圆周长，则这条弧所对的圆心角的度数是______________．【拓展】设矩形ABCD 的长与宽的和为2，以AB 为轴心旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积有( )A ．最小值4πB ．最大值4πC ．最大值2πD ．最小值2π☞正多边形与圆正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心角；⑵正多边形的中心；⑶正多边形的半径；⑷正多边形的边心距 正多边形的性质：⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴；⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 正多边形的有关计算⑴正n 边形的每个内角都等于()2180n n-⋅︒；⑵正n 边形的每一个外角与中心角相等，等于360n︒；⑶设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n r ，周长为n P ，面积为n S ，则2221801801112sin cos 422n n n n n n n n n n n a R r R R r a P na S n r a r P n n ︒︒===+==⋅⋅=⋅，，，，【例7】 （2004•丽水）如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB 的度数是 ．EDCBAO【巩固】若正三角形、正方形、正六边形和圆的周长都相等，那么____________的面积最大；若它们的面积都相等，那么_____________的周长最大．．【例8】已知正六边形的边心距为，则它的周长是．【巩固】一个圆内接正六边形的边长为2，那么这个正六边形的边心距为_________．【巩固】已知圆内接正六边形面积为【拓展】已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积．O BADCFE1． 已知60ABC ∠=︒，点O 在ABC ∠的平分线上，5cm OB =，以O 为圆心3cm 为半径作圆，则O与BC 的位置关系是________． 2．如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ． （1）求证：DE 为O 的切线；（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．OE DCBAABC DEO课堂检测总结复习1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．② ．③ ．1． 如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．E D C BA FE D CBA2． 已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅． ODCBAEA BCDO3． 如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．课后作业。
中档题型训练(六) 圆的有关计算、证明与探究
中档题型训练(六) 圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是贵阳中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要记住弧长公式和扇形面积公式．与圆有关性质的证明和计算x k b 1 . c o m1．(2016上海中考)已知，如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，︵AB ＝︵AC，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，AE ＝BD. (1)求证：AD ＝CE ；(2)如果点G 在线段DC 上(不与点D 重合)，且AG ＝AD.求证：四边形AGCE 是平行四边形．证明：(1)在⊙O 中．∵︵AB ＝︵AC，∴AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB.∵AE ∥BC ，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠EAC.又∵BD ＝AE ，∴△ABD ≌△CAE ，∴AD ＝CE ；(2)连接AO 并延长，交边BC 于点H.∵︵AB ＝︵AC，OA 是半径，∴AH ⊥BC ，∴BH ＝CH.∵AD ＝AG ，∴DH ＝H G ，∴BH －DH ＝CH －GH ，即BD ＝CG.∵BD ＝AE ，∴CG ＝AE.又∵CG ∥AE ，∴四边形AGCE 是平行四边形．2．(2016无锡中考)已知，如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，∠ABD ＝45°.(1)求BD 的长；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，∴AB ＝10 cm ，∴OB ＝5 cm .连接OD.∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ＝45°，∴∠BOD ＝90°，∴BD ＝＝5 cm ；(2)S 阴影＝S 扇形BOD －S △OBD ＝36090π·52－21×5×5＝425π－50(cm 2)．w w w .x k b 1.c o m圆的切线的性质与判定X 3．(2015丽水中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F.(1)求证：DF ⊥AC ；(2)若⊙O 的半径为4，∠CDF ＝22.5°，求阴影部分的面积．解：(1)连接OD.∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠ODC ＝∠C ，∴OD ∥AC.∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD ，∴DF ⊥AC ；(2)连接OE.∵DF ⊥AC ，∠CDF ＝22.5°，∴∠B ＝∠C ＝67.5°，∴∠A ＝45°.∵OA ＝OE ，∴∠AOE ＝90°.∵⊙O 的半径为4，∴S 阴影＝S 扇形OAE －S △AOE ＝36090×π×42－21×4×4＝4π－8.4．(2016丽水中考)如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E.(1)求证：AD 是半圆O 的切线； (2)连接CD.求证：∠A ＝2∠CDE ；(3)若∠CDE ＝27°，OB ＝2，求︵BD的长．x k b 1 . c o mx k b 1 . c o m解：(1)连接OD ，BD.∵AB 是半圆O 的切线，∴AB ⊥BC ，即∠ABO ＝90°.∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB.∵OB ＝OD ，∴∠DBO ＝∠BDO ，∴∠ABD ＋∠DBO ＝∠ADB ＋∠BDO ，∴∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴AD 是半圆O 的切线；(2)由(1)得，∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴∠A ＝360°－∠ADO －∠ABO －∠BOD ＝180°－∠BOD.而∠DOC ＝180°－∠BOD ，∴∠A ＝∠DOC.∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE ＝90°，∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°.∵BC 是直径，∴∠ODC ＋∠BDO ＝90°，∴∠BDO ＝∠CDE.∵∠BDO ＝∠OBD ，∴∠DOC ＝2∠BDO ，∴∠DOC ＝2∠CDE ，∴∠A ＝2∠CDE ；(3)∵∠CDE ＝27°，∴由(2)，得∠DOC ＝2∠C DE ＝54°，∴∠BOD ＝180°－54°＝126°，∵OB ＝2，∴l ︵BD ＝180n πR ＝180126×π×2＝57π.5．(2016襄阳中考)如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线AO 与⊙O 交于点E 和点D ，OB 与⊙O 交于点F ，连接DF ，DC.已知OA ＝OB ，CA ＝CB ，DE ＝10，DF ＝6.(1)求证：①直线AB 是⊙O 的切线；②∠FDC ＝∠EDC ； (2)求CD 的长．解：(1)①连接OC.∵OA ＝OB ，AC ＝BC ，∴OC ⊥AB ，∴直线AB 是⊙O 的切线；②∵OA ＝OB ，AC ＝BC ，∴∠AOC ＝∠BOC.∵∠EDC ＝21∠AOC ，∠FDC ＝21∠BOC ，∴∠EDC ＝∠FDC ；(2)连接EF 交OC 于点G ，连接E C.∵DE 是直径，∴∠DFE ＝∠DCE ＝90°.∵DE ＝10，DF ＝6，∴EF ＝＝8.∵∠EOC ＝∠FOC ，OE ＝OF ，∴OC ⊥EF ，EG ＝GF ＝21EF ＝4.∵OE ＝OD ，∴OG ＝21DF ＝3，∴GC ＝OC －OG ＝2.在Rt △EGC 中，CE ＝＝2，在Rt △ECD 中，CD ＝＝4.新*课*标*第*一*网]圆与相似及三角函数的综合6．(2016丹东中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E.(1)求证：∠BDC ＝∠A ； (2)若CE ＝4，DE ＝2，求AD 的长．x#k#b#1解：(1)连接OD.∵CD 是⊙O 的切线，∴∠ODC ＝90°.即∠ODB ＋∠BDC ＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.即∠ODB ＋∠ADO ＝90°.∴∠BDC ＝∠ADO.∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠A.∴∠BDC ＝∠A ；(2)∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝∠ADB ＝90°，∴DB ∥EC ，∴∠DCE ＝∠BDC.∵∠BDC ＝∠A ，∴∠A ＝∠DC E.∵∠E ＝∠E ，∴△AEC ∽△CED ，∴EC 2＝DE ·AE ，∴16＝2(2＋AD)，∴AD ＝6.7．(2016随州中考)如图，AB 是⊙O 的弦，点C 为半径OA 的中点，过点C 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，连接BD ，且DE ＝DB.(1)判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若CD ＝15，BE ＝10，tan A ＝125，求⊙O 的直径．解：(1)BD 为⊙O 的切线．证明：连接OB.∵CD ⊥OA ，∴∠A ＋∠AEC ＝90°.又∵∠DEB ＝∠AEC ，∴∠A ＋∠DEB ＝90°.又∵DE ＝DB ，∴∠DEB ＝∠DBE ，∴∠A ＋∠DBE ＝90°.又∵OB ＝OA ，∴∠OBA ＝∠A ，∴∠OBA＋∠DBE ＝90°，即∠DBO ＝90°，∴OB ⊥BD ，∴BD 为⊙O 的切线；(2)作DF ⊥BE 于点F.∵DE ＝DB ，∴EF ＝21BE ＝21×10＝5，易证：∠EDF ＝∠A.在Rt △DEF 中．∵tan ∠EDF ＝tan A ＝DF EF ＝DF 5＝125，∴DF ＝12，DE ＝＝＝13，∴CE ＝CD －DE ＝15－13＝2，易证：Rt △ACE ∽Rt △DFE ，∴DF AC ＝EF EC ，AC ＝EF DF ×EC ＝524，∴圆的直径为：2OA ＝4AC ＝4×524＝596(或19.2)．8．(2015黔南中考)如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，O 是BC 边上一点，以点O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与AC ，BC 边分别交于点E ，F ，G ，连接OD ，已知BD ＝2，AE ＝3，tan ∠BOD ＝32.(1)求⊙O 的半径OD 的长； (2)求证：AE 是⊙O 的切线； (3)求图中两部分阴影面积的和．解：(1)∵AB 与⊙O 相切，∴OD ⊥AB.在Rt △OBD 中，BD ＝2，tan ∠BOD ＝OD BD ＝32，∴OD ＝3；(2)连接OE.∵∠A ＝90°，则CA ⊥AB ，∴AE ∥OD.又∵AE ＝OD ＝3，∴四边形AEOD 是平行四边形，∴AD ∥EO ，∴∠OEC ＝∠A ＝90°，∴OE ⊥AC.又∵OE 是⊙O 的半径，∴AE 是⊙O 的切线；(3)由(2)知，AD ＝OE ＝3，∠DOE ＝∠A ＝90°.∵OD ∥AC ，∴AB BD ＝AC OD ，即2＋32＝AC 3，解得AC ＝7.5，∴EC ＝AC －AE ＝7.5－3＝4.5，∴S 阴影＝S △BDO ＋S △OEC －(S 扇形OFD ＋S 扇形OEG )＝21×2×3＋21×3×4.5－36090π×32＝439－9π.新课标第一网系列资料。
【中考命题研究】中考数学 中档题型训练五 圆的有关计算、证明与探究
圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是贵阳中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．与圆的有关性质【例1】(2015黔西南中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠C. (1)求证：CB∥PD；(2)若BC ＝3，sin ∠P ＝35，求⊙O 的直径．【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等；(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形，利用三角函数解决直径问题．【学生解答】1．(2015黄石中考)如图，A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点． (1)求证：AB 平分∠OAC；(2)延长OA 至P 使得OA ＝AP ，连接PC ，若⊙O 的半径R ＝1，求PC 的长．圆的切线的性质与判定【例2】(2015雅安中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD ＝CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E.(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若BD 的弦心距OF ＝1，∠ABD ＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt △OBF 中，∠ABD ＝30°，OF ＝1，可求得BD 的长，∠BOD 的度数，又由S 阴影＝S 扇形OBD －S △BOD ，即可求解．【学生解答】2．(2015黄冈中考)已知：如图，在△ABC 中 ，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点N ，连接AN ，过点C 的切线交AB 的延长线于点P.求证：(1)∠BCP＝∠BAN； (2)AM MN ＝CB BP.3．(2015深圳中考)如图(1)，水平放置着一个三角板和一个量角器，三角板的边AB 和量角器的直径DE 在一条直线上，AB＝BC＝6cm，OD＝3cm，开始的时候BD＝1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．(1)当B和O重合的时候，求三角板运动的时间；(2)如图(2)，当AC与半圆相切时，求AD；(3)如图(3)，当AB和DE重合时，求证：CF2＝CG·CE.4．(2015临沂中考)如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)圆与相似及三角函数综合【例3】(2015资阳中考)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD.(1)求证：△CDE∽△CAD；(2)若AB＝2，AC＝22，求AE的长．【解析】(1)利用圆的知识证角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知识解决线段长度的计算．【学生解答】5．(2015乐山中考)已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图甲的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图乙，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)。
第二编 中档题型突破专项训练篇 中档题型专训(5)圆的有关计算、证明与探究试题
中档题型专训(五)圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．与圆的有关性质【例1】如图，已知OA ，OB 是⊙O 的两条半径，C ，D 为OA ，OB 上的两点，且AC ＝BD.求证：AD ＝BC.【解析】首先证明OC ＝OD ，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD ＝BC. 【答案】证明：∵OA，OB 是⊙O 的两条半径， ∴AO ＝BO.∵AC ＝BD ，∴OC ＝OD ，在△ODA 和△OCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝BO ，∠O ＝∠O，OD ＝OC ，∴△ODA ≌△OCB(SAS )， ∴AD ＝BC.1．(2017玉林一模)如图，AB 是半圆O 上的直径，E 是BC ︵的中点，OE 交弦BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线交OE 的延长线于点F ，已知BC ＝8，DE ＝2.(1)求⊙O 的半径； (2)求CF 的长．解：(1)设⊙O 的半径为x ， ∵E 点是BC ︵的中点，O 点是圆心， ∴OD ⊥BC ，DC ＝12BC ＝4，在Rt △ODC 中，OD ＝x －2， ∴OD 2＋DC 2＝OC 2，∴(x －2)2＋42＝x 2， ∴x ＝5，即⊙O 的半径为5； (2)∵FC 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CF.又∵E 是BC ︵的中点．∴OD ⊥BC ，∴OC 2＝OD·OF，即52＝3·OF， ∴OF ＝253.在Rt △OCF 中，OC 2＋CF 2＝OF 2，∴CF ＝203.圆的切线的性质与判定【例2】(2017遵义二中一模)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD ＝CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E.(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若BD 的弦心距OF ＝1，∠ABD ＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt △OBF 中，∠ABD ＝30°，OF ＝1，可求得BD 的长，∠BOD 的度数，又由S 阴影＝S 扇形OBD －S △BOD ，即可求解．【答案】解：(1)连接OD ，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°. ∵CD ＝CB ，∴∠CBD ＝∠CDB. ∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB， ∴∠ODC ＝∠ABC＝90°，即OD ⊥CD. ∵点D 在⊙O 上，∴CD 为⊙O 的切线； (2)在Rt △OBF 中， ∵∠ABD ＝30°，OF ＝1， ∴∠BOF ＝60°，OB ＝2，BF ＝ 3. ∵OF ⊥BD ，∴BD ＝2BF ＝23，∠BOD ＝2∠BOF＝120°. ∴S 阴影＝S 扇形OBD －S △BOD＝120π×22360－12×23×1＝43π－ 3.2．(2017南宁中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为H ，连接AC ，过BD ︵上一点E 作EG∥AC 交CD 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG ，连接CE.(1)求证：△ECF∽△GCE； (2)求证：EG 是⊙O 的切线；(3)延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tan G ＝34，AH ＝33，求EM 的值．解：(1)∵AC∥EG， ∴∠G ＝∠ACG. ∵AB ⊥CD ， ∴AD ︵＝AC ︵， ∴∠CEF ＝∠ACD， ∴∠G ＝∠CEF. ∵∠ECF ＝∠ECG， ∴△ECF ∽△GCE ； (2)连接OE. ∵GF ＝GE ，∴∠GFE ＝∠GEF＝∠AFH. ∵OA ＝OE ， ∴∠OAE ＝∠OEA. ∵∠AFH ＋∠FAH＝90°， ∴∠GEF ＋∠AEO＝90°， ∴∠GEO ＝90°， ∴GE ⊥OE.又∵OE 为⊙O 半径， ∴EG 是⊙O 的切线，(3)连接OC.设⊙O 的半径为r.在Rt △AHC 中，tan ∠ACH ＝tan G ＝AH HC ＝34，∵AH ＝33， ∴HC ＝43， 在Rt △HOC 中，∵OC ＝r ，OH ＝r －33，HC ＝43， ∴(r －33)2＋(43)2＝r 2， ∴r ＝2536.∵GM ∥AC ， ∴∠CAH ＝∠M. ∵∠OEM ＝∠AHC，∴△AHC ∽△MEO ， ∴AH EM ＝HC OE ， ∴33EM ＝432536，∴EM ＝2538.圆与相似及三角函数综合【例3】(2017无锡中考)如图，以原点O 为圆心，3为半径的圆与x 轴分别交于A ，B 两点(点B 在点A 的右边)，P 是半径OB 上一点，过P 且垂直于AB 的直线与⊙O 分别交于C ，D 两点(点C 在点D 的上方)，直线AC ，DB 交于点E.若AC∶CE＝1∶2.(1)求点P 的坐标；(2)求过点A 和点E ，且顶点在直线CD 上的抛物线的函数解析式．【解析】(1)如图，作EF⊥y 轴于F ，DC 的延长线交EF 于H.设C(m ，n)，则P(m ，0)，PA ＝m ＋3，PB ＝3－m.首先证明△ACP∽△ECH，推出AC CE ＝PC CH ＝AP HE ＝12，推出CH ＝2n ，EH ＝2m ＋6，再证明△DPB∽△DHE，推出PB EH ＝DP DH ＝n4n ＝14，可得3－m 2m ＋6＝14，求出m 即可解决问题；(2)由题意设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋3)(x －5)，求出E 点坐标代入即可解决问题．【答案】解：(1)如图，作EF⊥y 轴于F ，DC 的延长线交EF 于H.设C(m ，n)，则P(m ，0)，PA ＝m ＋3，PB ＝3－m.∵EH ∥AP ，∴△ACP ∽△ECH ， ∴AC CE ＝PC CH ＝AP HE ＝12， ∴CH ＝2n ，EH ＝2m ＋6， ∵CD ⊥AB ，∴PC ＝PD ＝n ， ∵PB ∥HE ，∴△DPB ∽△DHE ， ∴PB EH ＝DP DH ＝n 4n ＝14， ∴3－m 2m ＋6＝14，∴m ＝1，∴P(1，0)； (2)由(1)可知，PA ＝4，HE ＝8，EF ＝9， 连接OC ，在Rt △OCP 中， PC ＝OC 2－OP 2＝22， ∴CH ＝2PC ＝42，PH ＝62，∴E(9，62)，∵抛物线的对称轴为直线CD ，∴(－3，0)和(5，0)在抛物线上，设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋3)(x －5)， 把E(9，62)代入得到a ＝28， ∴抛物线的解析式为y ＝28(x ＋3)(x －5)， 即y ＝28x 2－24x －1528.3．(2017呼和浩特中考)如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上的四个点，C 是劣弧BD ︵的中点，AC 与BD 交于点E.(1)求证：DC 2＝CE·AC；(2)若AE ＝2，EC ＝1，求证：△AOD 是正三角形；(3)在(2)的条件下，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点H ，求△ACH 的面积． 解：(1)∵C 是劣弧BD ︵的中点， ∴∠DAC ＝∠CDB， ∵∠ACD ＝∠DCE， ∴△ACD ∽△DCE ， ∴AC DC ＝CD CE， ∴DC 2＝CE·AC； (2)连接OC ，OD ， ∵AE ＝2，EC ＝1， ∴AC ＝3，∴DC 2＝CE·AC＝1×3＝3， ∴DC ＝ 3.∵C 是劣弧BD ︵的中点， ∴OC 平分∠DOB，BC ＝DC ＝ 3. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AC B ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝23， ∴OB ＝OC ＝OD ＝DC ＝BC ＝3， ∴△OCD ，△OBC 是正三角形， ∴∠COD ＝∠BOC＝∠OBC＝60°， ∴∠AOD ＝180°－2×60°＝60°.又∵OA＝OD ， ∴△AOD 是正三角形； (3)∵CH 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CH. ∵∠COH ＝60°， ∴∠H ＝30°，∵∠BAC ＝90°－60°＝30°， ∴∠H ＝∠BAC， ∴AC ＝CH ＝3，∴OH ＝CH 2＋OC 2＝23， ∴AH ＝33，∴AH 上的高为BC·sin 60°＝32，∴△ACH 的面积＝12×33×32＝934.4．(2017云南中考)已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，C 是⊙O 上的点，AC ∥OP ，M 是直径AB 上的动点，A 与直线CM 上的点连线距离的最小值为d ，B 与直线CM 上的点连线距离的最小值为f.(1)求证：PC 是⊙O 的切线； (2)设OP ＝32AC ，求∠CPO 的正弦值；(3)设AC ＝9，AB ＝15，求d ＋f 的取值范围．解：(1)连接OC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠OCA， ∵AC ∥OP ，∴∠A ＝∠BOP，∠ACO ＝∠COP， ∴∠COP ＝∠BOP.∵PB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴∠OBP ＝90°.在△POC 与△P OB 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OB ，∠COP ＝∠BOP，OP ＝OP ，∴△COP ≌△BOP ， ∴∠OCP ＝∠OBP＝90°. 又∵OC 为⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线；(2)过O 作OD⊥AC 于D ，∴∠ODC ＝∠OCP＝90°，CD ＝12AC ，∵∠DCO ＝∠COP， ∴△ODC ∽△PCO ， ∴CD OC ＝OC PO， ∴CD ·OP ＝OC 2. ∵OP ＝32AC ，∴AC ＝23OP ，∴CD ＝13OP ，∴13OP ·OP ＝OC 2， ∴OC OP ＝33， ∴sin ∠CPO ＝OC OP ＝33；(3)连接BC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥BC ， ∵AC ＝9，AB ＝15， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝12，当M 与A 重合时，d ＝0，f ＝BC ＝12， ∴d ＋f ＝12，当M 与B 重合时，d ＝9，f ＝0， ∴d ＋f ＝9，∴d ＋f 的取值范围是：9≤d＋f≤12.。
中考数学专题突破(圆的综合题)测试题(含答案)
中考数学专题突破(圆的综合题)测试题(含答案)（一）1．如图1，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，以AB 为直径作⊙O ，交AC 于点D ，连接OD 并延长，交BC 的延长线于点F ，过点F 作EF ⊥BF ，交BD 的延长线于点E ，过点D 作DG ⊥BF 于点G.图1(1)求证：BF 是⊙O 的切线； (2)求EF 的长； (3)求证：1OB ＋1EF ＝1DG.中考数学专题突破(圆的综合题)测试题参考答案（一）1．(1)证明：∵AB 2＋BC 2＝42＋32＝25，AC 2＝52＝25， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径，∴BF 是⊙O 的切线． (2)∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＋∠EBF ＝90°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∴∠A ＋∠ABD ＝90°. ∴∠A ＝∠EBF.∵EF ⊥BF ，∴∠EFB ＝90°. ∴sin ∠EBF ＝EF BE ＝sin A ＝BC AC ＝35.设EF ＝3m ，则BE ＝5m.∵S △ABC ＝12AB ·BC ＝12AC ·BD ，∴12×4×3＝12×5×BD.解得BD ＝125.∴DE ＝BE －BD ＝5m －125.∵OB ⊥BF ，EF ⊥BF ，∴OB ∥EF. ∴△OBD ∽△FED.∴OB FE ＝BD ED ，即 23m ＝1255m －125.解得m ＝127. ∴EF ＝3×127＝367.(3)证明：∵DG ⊥BF ，OB ⊥BF ，EF ⊥BF ，∴OB ∥DG ∥EF. ∴△DGF ∽△OBF ，△DGB ∽△EFB.∴GF BF ＝DG OB ，BG BF ＝DGEF .∴DG OB ＋DG EF ＝GF BF ＋BG BF ＝GF ＋BG BF ＝BF BF ＝1. ∴1OB ＋1EF ＝1DG. 中考数学专题突破(圆的综合题)测试题(含答案)（二）1．如图1，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，AD 平分∠BAC 交BC 于点F ，交⊙O 于点D ，连接BD ，BE 与⊙O 相切于点B ，交AC 的延长线于点E.(1)求证：∠ABD ＝∠DBE ＋∠E ；图1(2)若 AC ︵ ＝BC ︵，求证：AF ＝2BD ； (3)若BD ＝2，DF ＝1，求⊙O 的半径．中考数学专题突破(圆的综合题)测试题参考答案（二）1．(1)证明：如图1，延长BD 交AE 于点G.图1∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∴∠ADG ＝∠ADB ＝90°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠GAD ＝∠BAD. ∵AD ＝AD ，∴△ADG ≌△ADB(ASA)． ∴∠ABD ＝∠AGD. ∵∠AGD ＝∠DBE ＋∠E ， ∴∠ABD ＝∠DBE ＋∠E.(2)证明：∵AC ︵ ＝BC ︵，∴AC ＝BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠ACF ＝∠BCG ＝90°. ∵∠CAD ＝∠CBG ，∴△ACF ≌△BCG(ASA)．∴AF ＝BG. 由(1)得△ADG ≌△ADB ，∴GD ＝BD.∴AF ＝2BD. (3)在Rt △BDF 中，∠BDF ＝90°，BD ＝2，DF ＝1， ∴BF ＝BD 2＋DF 2＝ 5.∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠DAB.∵∠CAD ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠DAB.∴△DBF ∽△DAB. ∴BF AB ＝DF DB ，即 5AB ＝12. ∴AB ＝2 5.∴⊙O 的半径为 5.中考数学专题突破(圆的综合题)测试题(含答案)（三）1．如图1，△ABC 是⊙O 的内接三角形，直径AB 垂直于弦CG ，垂足为点H ，过点C 作ED ⊥CG ，交⊙O 于点E ，且∠CBD ＝∠A ，连接BE ，交CG 于点F.图1(1)判断BD 与⊙O 的位置关系； (2)求证：BC 2＝BF ·BE ；(3)若CG ＝8，AB ＝10，求sin E 的值．中考数学专题突破(圆的综合题)测试题参考答案（三）1．(1)BD 与⊙O 相切．理由如下：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠A ＋∠CBA ＝90°. ∵∠CBD ＝∠A ，∴∠CBA ＋∠CBD ＝90°，即∠ABD ＝90°. ∴AB ⊥BD.∵OB 是⊙O 的半径，∴BD 与⊙O 相切．(2)证明：∵AB ⊥CG ，∴BG ︵ ＝BC ︵.∴∠BCG ＝∠E. 又∠CBF ＝∠EBC ，∴△CBF ∽△EBC.图1∴BC BE ＝BF BC .∴BC 2＝BF ·BE. (3)如图1，连接OC. ∵AB ＝10，CG ＝8，AB ⊥CG ， ∴CH ＝12CG ＝4，OB ＝OC ＝12AB ＝5.在Rt △OCH 中，由勾股定理，得OH ＝OC 2－CH 2＝3. ∴BH ＝OB －OH ＝2.在Rt △BCH 中，由勾股定理，得BC ＝CH 2＋BH 2＝42＋22＝2 5. 由(2)得∠E ＝∠BCG ，∴sin E ＝sin ∠BCG ＝BH BC ＝225＝55.中考数学专题突破(圆的综合题)测试题(含答案)（四）1．如图1，△ABE 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，DC 与⊙O 相切于点E ，连接OD ，OC ，分别交AE ，BE 于点F ，G.图1(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)试说明四边形EFOG 的形状，并说明理由； (3)若AD ＝1，BC ＝4，求⊙O 的半径．中考数学专题突破(圆的综合题)测试题参考答案（四）1．(1)证明：∵AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°. ∵AD ∥BC ，∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°. ∴∠DAB ＝90°.∴AD ⊥AB.∵OA 是⊙O 的半径，∴AD 是⊙O 的切线． (2)四边形EFOG 是矩形．理由如下： 如图1，连接EO.图1∵AD，DC为⊙O的切线，∴AD＝DE.∵OE＝OA，∴DO垂直平分AE.∴∠EFO＝90°.同理可证∠EGO＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴四边形EFOG是矩形．(3)由(2)可知CE＝BC＝4，DE＝AD＝1.∵DC是⊙O的切线，∴OE⊥DE.∴∠DEO＝∠OEC＝90°. ∵四边形EFOG是矩形，∴∠DOC＝90°.∴∠DOE＋∠COE＝90°.∵∠COE＋∠OCE＝90°，∴∠DOE＝∠OCE.∴△DEO∽△OEC.∴DEOE＝EOEC，即EO2＝DE·EC＝1×4＝4.∴EO＝2.∴⊙O的半径为2.中考数学专题突破(圆的综合题)测试题(含答案)（五）1．如图1，点A，B是⊙O上的两点，连接OA，OB，PB是⊙O的切线，过半径OA的中点C的直线DC与⊙O交于点D，与弦AB交于点E，与切线PB交于点P，且PE＝PB．图1(1)求证：PC⊥AO；(2)连接AD，若∠OBA＝30°，OB＝43，求△ADE的面积；(3)在(2)的条件下，求线段PD的长．中考数学专题突破(圆的综合题)测试题参考答案（五）1．(1)证明：∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°，即∠OBA ＋∠ABP ＝90°. ∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB. ∵PB ＝PE ，∴∠ABP ＝∠PEB.又∠PEB ＝∠AEC ，∴∠OAB ＋∠AEC ＝90°.∴∠ACE ＝90°. ∴PC ⊥AO.图1(2)如图1，连接OD.∵点C 为AO 的中点，PC ⊥AO ， ∴PC 垂直平分OA.∴OD ＝AD. ∵OA ＝OD ，∴OA ＝OD ＝AD. ∴△AOD 是等边三角形．∴∠ADO ＝∠OAD ＝60°，AD ＝OA ＝OB ＝4 3. ∴∠ADE ＝12∠ADO ＝30°.又∠OBA ＝30°，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝30°. ∴∠DAE ＝∠OAB ＋∠OAD ＝90°. ∴AE ＝AD ·tan ∠ADE ＝43×33＝4. ∴S △ADE ＝12AE ·AD ＝12×4×43＝8 3.(3)∵∠OAB ＝∠OBA ＝30°，∴∠AOB ＝120°. 由(2)得△ADO 是等边三角形，∴∠DOA ＝60°. ∴∠DOA ＋∠AOB ＝180°.∴D ，O ，B 三点共线． ∵OB ＝43，∴BD ＝2OB ＝8 3. 在Rt △DBP 中，∠PDB ＝30°，∴PD ＝BD cos ∠PDB ＝8332＝16.。
中考数学 第二编 中档题突破专项训练篇 中档题型训练(
中档题型训练(五) 圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．圆的切线性质与判定【例1】(2016天水中考)如图，点D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA＝∠CBD. (1)判断直线CD 和⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)过点B 作⊙O 的切线BE 交直线CD 于点E ，若AC ＝2，⊙O 的半径是3，求BE 的长．【思路分析】(1)连接OD ，根据圆周角定理求出∠DAB＋∠DBA＝90°，从而得出∠CDA＋∠ADO＝90°，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC ，由切线长定理得出DE ＝EB ，在Rt △CBE 中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【学生解答】解：(1)直线CD 和⊙O 的位置关系是相切．理由是：连接OD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＋∠DBA＝90°.∵∠CDA ＝∠CBD，∴∠DAB ＋∠CDA＝90°.∵OD ＝OA ，∴∠DAB ＝∠ADO，∴∠CDA ＋∠ADO＝90°，即OD⊥CE，∴直线CD 是⊙O 的切线，即直线CD 和⊙O 的位置关系是相切；(2)∵A C ＝2，⊙O 的半径是3，∴OC ＝2＋3＝5，OD ＝3.在Rt △CDO 中，由勾股定理得CD ＝4.∵CE 切⊙O 于点D ，EB 切⊙O 于点B ，∴DE ＝EB ，∠CBE ＝90°，设DE ＝EB ＝x ，在Rt △CBE 中，由勾股定理，得CE 2＝BE 2＋BC 2，则(4＋x)2＝x 2＋(5＋3)2，解得x ＝6，即BE ＝6.1．(2016毕节中考)如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交B C 于点F ，AC ＝FC.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)已知圆的半径R ＝5，EF ＝3，求DF 的长．解：(1)如图，连接AE ，AO.∵BE 为半圆，∴∠BAE ＝90°.∵BD ︵＝ED ︵，∴∠BAD ＝∠EAD＝45°，∴∠AFC ＝∠B ＋45°，∴∠CAF ＝∠EAC＋45°.∵AC ＝FC ，∴∠AF C ＝∠CAF，∴∠B ＋45°＝∠EAC＋45°，∴∠B ＝∠EAC.∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠B，∴∠EAC ＝∠OAB，∴∠OAC ＝∠OAE＋∠EAC＝∠OAE＋∠OAB＝∠BAE＝90°，∴AC ⊥OA ，∴AC 为⊙O 为切线；(2)如图，连接OD.∵BD ︵＝DE ︵，∴∠BOD ＝∠DOE＝90°.在Rt △OFD 中 ，OF ＝5－3＝2，OD ＝5，∴DF ＝OF 2＋OD 2＝29.2．(2016承德二中一模)已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF.(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长．解：(1)连接FO ，易证OF∥AB.∵AC 是⊙O 的直径，∴CE ⊥AE ，∵OF ∥AB ，∴OF ⊥CE.又∵OE＝OC ，∴OF 是线段CE 的垂直平分CE ，∴FC ＝FE ，∴∠FEC ＝∠FCE.∵OE＝OC ，∴∠OEC ＝∠OCE.∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，即∠OCE＋∠FCE＝90°，∴∠OEC ＋∠FEC＝90°，即∠FEO＝90°，∴EF 为⊙O 的切线；(2)∵⊙O 的半径为3，∴AO ＝CO ＝EO ＝3.∵∠EAC＝60°，OA ＝OE ，∴∠EOA ＝60°，∴∠COD ＝∠EOA＝60°.∵在Rt △OCD 中，∠COD ＝60°，OC ＝3，∴CD ＝3 3.∵在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，CD ＝33，AC ＝6，∴AD ＝37.圆与相似【例2】如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上的任意一点(不与点A ，B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD.(1)弦长AB ＝________；(结果保留根号) (2)当∠D＝20°时，求∠BOD 的度数；(3)当AC 的长度为多少时，以A ，C ，D 为顶点的三角形与以B ，C ，O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．【思路分析】(1)结合垂径定理过点O 作BC 的垂线，再由特殊直角三角形得12AB ＝32OB ＝3，则AB ＝23；(2)结合“三角形的外角定理”和“同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可解答；(3)首先分析要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时，∠BOC ＝60°，∠BOD ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴△DAC ∽△BOC.∵∠BCO ＝90°，即OC⊥AB，∴AC ＝12AB ＝ 3.【学生解答】解：(1)23；(2)连接OA.∵OA＝OB ＝OD ，∴∠BAO ＝∠B＝30°，∠D ＝∠DAO＝20°，∴∠DAB ＝∠BAO＋∠DAO＝50°，∴∠BOD ＝2∠DAB＝100°；(3)∵∠BCO＝∠DAC＋∠D，∴∠BCO>∠DAC ，∠BCO>∠D ，∴要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时∠BOC＝60°，∠BOD ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴△DAC ∽△BOC.∵∠BCO ＝90°，即OC⊥AB，∴AC ＝12AB ＝ 3.3．(2016黄冈中考)已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点N ，连接AN ，过点C 的切线交AB 的延长线于点P.求证：(1)∠BCP＝∠BAN；(2)AM MN ＝CBBP.证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ANC ＝90°，∴∠NAC ＋∠ACN＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠BAN ＝∠CAN，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠ACP ＝90°，∴∠ACN ＋∠PCB＝90°，∴∠BCP ＝∠CAN，∴∠BCP ＝∠BAN；(2)连接MN ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，又∵四边形AMNC 为⊙O 的内接四边形，∴∠ACB ＋∠AMN ＝180°，又∵∠CBP＋∠ABC＝180°，∴∠PBC ＝∠AMN，由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC ∽△MNA ，∴AM MN ＝CBBP.4．(2016广东中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，过点B 作⊙O 的切线BD ，与CA 的延长线交于点D ，与半径AO 的延长线交于点E ，过点A 作⊙O 的切线AF ，与直径BC 的延长线交于点F.(1)求证：△ACF∽△DAE;(2)若S △AOC ＝34，求DE 的长；(3)连接EF ，求证：EF 是⊙O 的切线．解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，又∠ABC＝30°，∴∠ACB ＝60°，又OA ＝OC ，∴△OAC 为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°，∵AF 为⊙O 的切线，∴∠OAF ＝90°，∴∠CAF ＝∠AFC＝30°，∵DE 为⊙O 的切线，∴∠DBC ＝∠OBE＝90°，∴∠D ＝∠DEA＝30°，∴∠D ＝∠CAF，∠DEA ＝∠AFC，∴△ACF ∽△DAE ；(2)∵△AOC 为等边三角形，∴S △AOC ＝34OA 2＝34，∴OA ＝1，∴BC ＝2，OB ＝1，又∠D＝∠BEO＝30°，∴BD ＝23，BE ＝3，∴DE＝33；(3)如图，过点O 作OM⊥EF 于点M ，∵OA ＝OB ，∠O AF ＝∠OBE＝90°，∠BOE ＝∠AOF，∴△OAF ≌△OBE ，∴OE ＝OF ，∵∠EOF ＝120°，∴∠OEM ＝∠OFM＝30°，∴∠OEB ＝∠OEM＝30°，即OE 平分∠BEF，又∠OBE＝∠OME＝90°，∴OM ＝OB ，∴EF 为⊙O 的切线．圆与锐角三角函数【例3】(2016菏泽中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CE DE ＝23，求cos ∠ABC 的值．【思路分析】 (1)连接OC.欲证DE 是⊙O 的切线，只需证得OC⊥DE；(2)由CE DE ＝23，可设CE ＝2k(k>0)，则DE＝3k ，在Rt △DAE 中，由勾股定理求得AE ＝DE 2－AD 2＝22k ，则tan E ＝AD AE ＝24，所以在Rt △OCE 中，tan E ＝OC CE ＝OC 2k ，求得OC ＝k 2.在Rt △AOD 中，由勾股定理得到OD ＝AO 2＋AD 2＝32k ，从而求出cos ∠ABC 的值． 【学生解答】解：(1)如图，连接OC. ∵AD 是过点A 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥AB. ∴∠DAB ＝90°. ∵OD∥BC, ∴∠DOC ＝∠BCO，∠DOA ＝∠CBA.∵OC＝OB ，∴∠BCO ＝∠CBA，∴∠DOC ＝∠DOA.在△COD和△AOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OA ，∠DOC ＝∠DOA，OD ＝OD ，∴△COD ≌△AOD(SAS )，∴∠OCD ＝∠DAB＝90°.即OC⊥DE 于点C.∵OC 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线； (2)由CE DE ＝23，可设CE ＝2k(k>0)，则DE ＝3k ，∴AD ＝DC ＝k ，∴在Rt △DAE 中，AE ＝DE 2－AD 2＝22k ，∴tan E ＝AD AE ＝24.∵在Rt △OCE 中，tan E ＝OC CE ＝OC 2k ，∴24＝OC 2k ，∴OC ＝OA ＝22k ，∴在Rt △AOD 中，OD ＝AO 2＋AD 2＝62k ，∴cos ∠ABC ＝cos ∠AOD ＝OA OD ＝33.5．(2016唐山九中一模)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF.(1)求∠CDE 的度数；(2)求证：DF 是⊙O 的切线；(3)若AC ＝25DE ，求tan ∠ABD 的值．解：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，∴∠EDC ＝90°；(2)连接DO ，∵∠EDC ＝90°，F 是EC 的中点，∴DF ＝FC ，∴∠FDC ＝∠FCD，∵OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠ODC，∴∠ODC ＋∠FDC＝∠OCD ＋∠FCD，∴∠ODF ＝∠OCF，∵E C ⊥AC ，∴∠OCF ＝90°，∴∠ ODF ＝90°，∴DF 是⊙O 的切线；(3)在△ACD 与△ACE 中，∠ADC ＝∠ACE＝90°，∠EAC ＝∠CAD，∴△ACD ∽△AEC ，∴AC AE ＝AD AC，∴AC 2＝AD·AE.又∵AC＝25DE ，∴20DE 2＝(AE －DE)·AE，∴(AE －5DE)(AE ＋4DE)＝0，∴AE ＝5DE ，AD ＝4DE ，在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2，∴CD ＝2DE.又在⊙O中，∠ABD ＝∠ACD，∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝ADCD＝2.6．(2016自贡模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足CF FD ＝13，连接AF 并延长⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，若CF ＝2，AF ＝3.(1)求证：△ADF∽△AED； (2)求FG 的长；(3)求证：tan E ＝54.解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∴AD ︵＝AC ︵，∴∠ADF ＝∠AED.∵∠FAD＝∠DAE，∴△ADF ∽△AED ；(2)∵CF FD ＝13，CF ＝2，∴FD ＝6，∴CD ＝DF ＋CF ＝8，∴CG ＝DG ＝4，∴FG ＝CG －CF ＝2；(3)∵AF＝3，FG ＝2，∴AG＝AF 2－FG 2＝5，∴在Rt △AGD 中，tan ∠ADG ＝AG DG ＝54.∵∠ADG ＝∠E，∴tan E＝54.。
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中档题型训练(五) 圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．圆的切线性质与判定【例1】(2016天水中考)如图，点D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA＝∠CBD. (1)判断直线CD 和⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)过点B 作⊙O 的切线BE 交直线CD 于点E ，若AC ＝2，⊙O 的半径是3，求BE 的长．【思路分析】(1)连接OD ，根据圆周角定理求出∠DAB＋∠DBA＝90°，从而得出∠CDA＋∠ADO＝90°，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC ，由切线长定理得出DE ＝EB ，在Rt △CBE 中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【学生解答】解：(1)直线CD 和⊙O 的位置关系是相切．理由是：连接OD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＋∠DBA＝90°.∵∠CDA ＝∠CBD，∴∠DAB ＋∠CDA＝90°.∵OD ＝OA ，∴∠DAB ＝∠ADO，∴∠CDA ＋∠ADO＝90°，即OD⊥CE，∴直线CD 是⊙O 的切线，即直线CD 和⊙O 的位置关系是相切；(2)∵AC＝2，⊙O 的半径是3，∴OC ＝2＋3＝5，OD ＝3.在Rt △CDO 中，由勾股定理得CD ＝4.∵CE 切⊙O 于点D ，EB 切⊙O 于点B ，∴DE ＝EB ，∠CBE ＝90°，设DE ＝EB ＝x ，在Rt △CBE 中，由勾股定理，得CE 2＝BE 2＋BC 2，则(4＋x)2＝x 2＋(5＋3)2，解得x ＝6，即BE ＝6.1．(2016毕节中考)如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交B C 于点F ，AC ＝FC.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)已知圆的半径R ＝5，EF ＝3，求DF 的长．解：(1)如图，连接AE ，AO.∵BE 为半圆，∴∠BAE ＝90°.∵BD ︵＝ED ︵，∴∠BAD ＝∠EAD＝45°，∴∠AFC ＝∠B ＋45°，∴∠CAF ＝∠EAC＋45°.∵AC ＝FC ，∴∠AF C ＝∠CAF，∴∠B ＋45°＝∠EAC＋45°，∴∠B ＝∠EAC.∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠B，∴∠EAC ＝∠OAB，∴∠OAC ＝∠OAE＋∠EAC＝∠OAE＋∠OAB＝∠BAE＝90°，∴AC ⊥OA ，∴AC 为⊙O 为切线；(2)如图，连接OD.∵BD ︵＝DE ︵，∴∠BOD ＝∠DOE＝90°.在Rt △OFD 中 ，OF ＝5－3＝2，OD ＝5，∴DF ＝OF 2＋OD 2＝29.2．(2016承德二中一模)已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF.(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长．解：(1)连接FO ，易证OF∥AB.∵AC 是⊙O 的直径，∴CE ⊥AE ，∵OF ∥AB ，∴OF ⊥CE.又∵OE＝OC ，∴OF 是线段CE 的垂直平分CE ，∴FC ＝FE ，∴∠FEC ＝∠FCE.∵OE＝OC ，∴∠OEC ＝∠OCE.∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，即∠OCE＋∠FCE＝90°，∴∠OEC ＋∠FEC＝90°，即∠FEO＝90°，∴EF 为⊙O 的切线；(2)∵⊙O 的半径为3，∴AO ＝CO ＝EO ＝3.∵∠EAC＝60°，OA ＝OE ，∴∠EOA ＝60°，∴∠COD ＝∠EOA＝60°.∵在Rt △OCD 中，∠COD ＝60°，OC ＝3，∴CD ＝3 3.∵在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，CD ＝33，AC ＝6，∴AD ＝37.圆与相似【例2】如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上的任意一点(不与点A ，B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD.(1)弦长AB ＝________；(结果保留根号) (2)当∠D＝20°时，求∠BOD 的度数；(3)当AC 的长度为多少时，以A ，C ，D 为顶点的三角形与以B ，C ，O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．【思路分析】(1)结合垂径定理过点O 作BC 的垂线，再由特殊直角三角形得12AB ＝32OB ＝3，则AB ＝23；(2)结合“三角形的外角定理”和“同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可解答；(3)首先分析要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时，∠BOC ＝60°，∠BOD ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴△DAC ∽△BOC.∵∠BCO ＝90°，即OC⊥AB，∴AC ＝12AB ＝ 3.【学生解答】解：(1)23；(2)连接OA.∵OA＝OB ＝OD ，∴∠BAO ＝∠B＝30°，∠D ＝∠DAO＝20°，∴∠DAB ＝∠BAO＋∠DAO＝50°，∴∠BOD ＝2∠DAB＝100°；(3)∵∠BCO＝∠DAC＋∠D，∴∠BCO>∠DAC ，∠BCO>∠D ，∴要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时∠BOC＝60°，∠BOD ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴△DAC ∽△BOC.∵∠BCO ＝90°，即OC⊥AB，∴AC ＝12AB ＝ 3.3．(2016黄冈中考)已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点N ，连接AN ，过点C 的切线交AB 的延长线于点P.求证：(1)∠BCP＝∠BAN；(2)AM MN ＝CBBP.证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ANC ＝90°，∴∠NAC ＋∠ACN＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠BAN ＝∠CAN，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠ACP ＝90°，∴∠ACN ＋∠PCB＝90°，∴∠BCP ＝∠CAN，∴∠BCP ＝∠BAN；(2)连接MN ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，又∵四边形AMNC 为⊙O 的内接四边形，∴∠ACB ＋∠AMN＝180°，又∵∠CBP＋∠ABC＝180°，∴∠PBC ＝∠AMN，由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC ∽△MNA ，∴AM MN ＝CBBP.4．(2016广东中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，过点B 作⊙O 的切线BD ，与CA 的延长线交于点D ，与半径AO 的延长线交于点E ，过点A 作⊙O 的切线AF ，与直径BC 的延长线交于点F.(1)求证：△ACF∽△DAE;(2)若S △AOC ＝34，求DE 的长；(3)连接EF ，求证：EF 是⊙O 的切线．解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，又∠ABC＝30°，∴∠ACB ＝60°，又OA ＝OC ，∴△OAC 为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°，∵AF 为⊙O 的切线，∴∠OAF ＝90°，∴∠CAF ＝∠AFC＝30°，∵DE 为⊙O 的切线，∴∠DBC ＝∠OBE＝90°，∴∠D ＝∠DEA＝30°，∴∠D ＝∠CAF，∠DEA ＝∠AFC，∴△ACF ∽△DAE ；(2)∵△AOC 为等边三角形，∴S △AOC ＝34OA 2＝34，∴OA ＝1，∴BC ＝2，OB ＝1，又∠D＝∠BEO＝30°，∴BD ＝23，BE ＝3，∴DE＝33；(3)如图，过点O 作OM⊥EF 于点M ，∵OA ＝OB ，∠O AF ＝∠OBE＝90°，∠BOE ＝∠AOF，∴△OAF ≌△OBE ，∴OE ＝OF ，∵∠EOF ＝120°，∴∠OEM ＝∠OFM＝30°，∴∠OEB ＝∠OEM＝30°，即OE 平分∠BEF，又∠OBE＝∠OME＝90°，∴OM ＝OB ，∴EF 为⊙O 的切线．圆与锐角三角函数【例3】(2016菏泽中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CE DE ＝23，求cos ∠ABC 的值．【思路分析】 (1)连接OC.欲证DE 是⊙O 的切线，只需证得OC⊥DE；(2)由CE DE ＝23，可设CE ＝2k(k>0)，则DE＝3k ，在Rt △DAE 中，由勾股定理求得AE ＝DE 2－AD 2＝22k ，则tan E ＝AD AE ＝24，所以在Rt △OCE 中，tan E ＝OC CE ＝OC 2k ，求得OC ＝k 2.在Rt △AOD 中，由勾股定理得到OD ＝AO 2＋AD 2＝32k ，从而求出cos ∠ABC 的值． 【学生解答】解：(1)如图，连接OC. ∵AD 是过点A 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥AB. ∴∠DAB ＝90°. ∵OD∥BC, ∴∠DOC ＝∠BCO，∠DOA ＝∠CBA.∵OC＝OB ，∴∠BCO ＝∠CBA，∴∠DOC ＝∠DOA.在△COD和△AOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OA ，∠DOC ＝∠DOA，OD ＝OD ，∴△COD ≌△AOD(SAS )，∴∠OCD ＝∠DAB＝90°.即OC⊥DE 于点C.∵OC 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线； (2)由CE DE ＝23，可设CE ＝2k(k>0)，则DE ＝3k ，∴AD ＝DC ＝k ，∴在Rt △DAE 中，AE ＝DE 2－AD 2＝22k ，∴tan E ＝AD AE ＝24.∵在Rt △OCE 中，tan E ＝OC CE ＝OC 2k ，∴24＝OC 2k ，∴OC ＝OA ＝22k ，∴在Rt △AOD 中，OD ＝AO 2＋AD 2＝62k ，∴cos ∠ABC ＝cos ∠AOD ＝OA OD ＝33.5．(2016唐山九中一模)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF.(1)求∠CDE 的度数；(2)求证：DF 是⊙O 的切线；(3)若AC ＝25DE ，求tan ∠ABD 的值．解：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，∴∠EDC ＝90°；(2)连接DO ，∵∠EDC ＝90°，F 是EC 的中点，∴DF ＝FC ，∴∠FDC ＝∠FCD，∵OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠ODC，∴∠ODC ＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD，∴∠ODF ＝∠OCF，∵E C ⊥AC ，∴∠OCF ＝90°，∴∠ ODF ＝90°，∴DF 是⊙O 的切线；(3)在△ACD 与△ACE 中，∠ADC ＝∠ACE＝90°，∠EAC ＝∠CAD，∴△ACD ∽△AEC ，∴AC AE ＝AD AC，∴AC 2＝AD·AE.又∵AC＝25DE ，∴20DE 2＝(AE －DE)·AE，∴(AE －5DE)(AE ＋4DE)＝0，∴AE ＝5DE ，AD ＝4DE ，在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2，∴CD ＝2DE.又在⊙O中，∠ABD ＝∠ACD，∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝ADCD＝2.6．(2016自贡模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足CF FD ＝13，连接AF 并延长⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，若CF ＝2，AF ＝3.(1)求证：△ADF∽△AED； (2)求FG 的长；(3)求证：tan E ＝54.解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∴AD ︵＝AC ︵，∴∠ADF ＝∠AED.∵∠FAD＝∠DAE，∴△ADF ∽△AED ；(2)∵CF FD ＝13，CF ＝2，∴FD ＝6，∴CD ＝DF ＋CF ＝8，∴CG ＝DG ＝4，∴FG ＝CG －CF ＝2；(3)∵AF＝3，FG ＝2，∴AG＝AF 2－FG 2＝5，∴在Rt △AGD 中，tan ∠ADG ＝AG DG ＝54.∵∠ADG ＝∠E，∴tan E＝54.。