1413积的乘方-
1413积的乘方
(5) 2( x y)2 3
解： （1）原式＝ 22 (x2 )2 ( y3)2 4x4 y6 （2）原式＝ (2)2 (x2 )2 ( y3)2 4x4 y6
这两道题要注意确定符 号，看负号是否参与乘
方。
(3)(3 103 )3
解：原式 (3)3 109 27109
(4（ ) 1 ab2）3 2
1
下面的计算对不 对？ 如果不对，怎样改正？
(1)(3cd)3=297cc33dd33;
×
(2)(-3a3)2= 9-9aa6 6;
×
(3)(a3+b2)3=a9+b6 × (4)(-2x3y)3= -88xx69yy33; ×
(5)(-
1ab2)2=
3
1 9
a2
b4;
√
下列选项中正确的是
（-3xy2)2 = 9x2 y4 (2ab3c2)4 =16a4b12c6 (-2×103)3=(-2)3×(103)3=-8×106 -27x6y9=( 3x2 y3 )3
14.1.3 积的乘方
一.复习回顾 看谁算得快！
（1） -b8 ·b5 = -b13
（6） [(-5)2]3= 56
（2）x n ·xn+1 = x2n+1 （7）[(-52)]3= -56 （3）（-a）3 ·（-a4 ）= a7 （8）[(-x)3]5= -x15
（4）(x+y)3 ·(x+y)4=(x+y)（7 9）[(x-y)3]2= (x-y)6
知识拓展
注意：运算顺序是先乘方，再乘除， 最后算加减。
（1） a3 .a4.a+(a2)4+(-2a4)2
（2） 2(x3)2.x3－(3x3)3＋(5x)2.x7
人教版初二数学上册14.1.3 积的乘方课件
15. 计算： (1)(－2a)3·(－a2)4； －8a11
(2) (－3a2b)2·(－b2)2. 9a4b6
(2)(x2y3)2＋x4·(y2)3. 2x4y6
第3关
16.
计算(
1 4
)1 000×(－4)999.
(
1 4
)1000×(－4)9源自9＝(3（) -2）2 43 ___2_8___； (4)x2 (x2 )3 _x_8____.
探究
填空，运算过程用到哪些运算律？
(1)(ab)2 (ab) (ab) (a a) (b b) a( 2)b( 2) (2)(ab)3 _(a_b_)_(_a_b_)_(_a_b_) (_a__a_ a_)__(b__b_b_) a( 3)b( 3)
B．m＝5，n＝3
C．m＝12，n＝3 D．m＝9，n＝3
（2）若x2n＝2，(xy)3n＝3，则x5ny3n＝_____． 6
逆用公式
an·bn＝ (ab)n
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.说一说积的乘方法则？ 2.积的乘方法则可以逆用吗？
达标测评
1．下列计算正确的是(
)
C
A．m2·m4＝m8 B．(3m2)2＝3m4
C．(－m3)2＝m6 D．(mn)3＝m3n
2 ．填空：
9x2y2
(1)(3xy)2＝_______；
(2)(－3a)3＝________；－27a3
(3)(－2×102)5＝____________． －3.2×1011
达标测评
3．计算：4 3 (1)(－ ab2c3)2； (2)[(－a2b3)3]2；
1413积的乘方
(乘方的意义)
(单项式的乘法法则)
即：(ab)n=an bn
11/23/2013
总结：积的乘方
积的乘方公式： (ab)n=an .bn 语言表述：积的乘方，等于把积的每一 个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
推广：当三个或三个以上因式的积乘方时, 也具
有这一性质
如 ： (abc)n=anbncn
14.1.3.积的乘方
复习巩固：
1、叙述同底数幂乘法法则并用字母表示。
语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 字母表示：am· n=am+n ( m、n都为正整数) a
2、叙述幂的乘方法则 并用字母表示。
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 字母表示：(a ) =a
11/23/2013
m n
n n n
16 17
（（ .125 ) . (8) 1 0 ）
5 ( 2) ( ) 13
2004
3 2003 .( 2 ) 5
15
(3) (0.125 ) .( 2 5 ) 3
11/23/2013
练一练：
1、口答：
(1)(ab)6; (2)(-a)3; (3)(-2x)4 ； (4)( 1 ab)3
(am)n=amn
n n n (ab) =a b
( m、n都为正整数)来自2、 运用积的乘方法则时要注意什么？
11/23/2013
每一个因式都要“乘方”，还有符号问 题。
mn
(m,n都是正整数）
探究：
1、计算: (2×3)2与22 × 32，我们发现了什么？
∵ (2×3)2=62=36
∴ 22 ×32=4×9=36
教学设计2：14.1.3积的乘方
14.1.3积的乘方
教学目标知识与技能目标理解积的乘方的法则；运用积的乘方法则计算。
过程与方法目标能反向运用积的乘方法则进行计算。
情感、态度
与价值观目标
了解()n n n
ab a b
=能正向和反向计算的事实，培养我们用发展变化的思想看问题的价值观。
教学重点运用积的乘方法则进行计算．
教学难点能反向运用积的乘方法则进行计算．
教学过程
环节教学内容调整意见
复习回顾新课导入1.乘方的意义：n
a a a a
⋅⋅=
n个a
2.同底数幂的乘法运算法则：m n m n
a a a+
⋅=（m,n都是正整数）
3.幂的乘方运算法则:()m n mn
a a
=（m,n都是正整数）
自学指导阅读课本97-98页，
(1)说出以下推导过程变形的依据。
(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)=(aaa) ·(bbb)=a3b3
(2)若小正方体的棱长为1cm,则魔方的体积为1cm 3？
(3)若小正方体的棱长为bcm,则魔方的体积为bcm 3？
合作探究活动1：猜想
()n
ab=_____. (n为正整数)
()n
ab=(ab)· (ab) · … ·(ab)
n个ab
=(a·a·…a) ·(b·b·…b)
n个a n个b
=n n
a b
结论：积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.。
最新初中数学14.1.3 积的乘方1
14．1.3 积的乘方1．掌握积的乘方的运算法则．(重点) 2．掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．(难点)一、情境导入 1．教师提问：同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．幂的乘方公式：幂的乘方，底数不变，指数相乘．2．肯定学生的发言，引入新课：今天学习幂的运算的第三种形式——积的乘方．二、合作探究探究点一：积的乘方【类型一】 直接利用积的乘方法则进行计算计算：(1)(－5ab )3；(2)－(3x 2y )2；(3)(－43ab 2c 3)3；(4)(－x m y 3m )2.解析：直接应用积的乘方法则计算即可．解：(1)(－5ab )3＝(－5)3a 3b 3＝－125a 3b 3；(2)－(3x 2y )2＝－32x 4y 2＝－9x 4y 2；(3)(－43ab 2c 3)3＝(－43)3a 3b 6c 9＝－6427a 3b 6c 9；(4)(－x m y 3m )2＝(－1)2x 2m y 6m＝x 2m y 6m. 方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．【类型二】积的乘方在实际中的应用 太阳可以近似地看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么V＝43πR 3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？(π取3)解析：将R ＝6×105千米代入V ＝43πR 3，即可求得答案．解：∵R ＝6×105千米，∴V ＝43πR 3＝43×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)． 答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．【类型三】含积的乘方的混合运算计算：(1)－4xy 2·(12xy 2)2·(－2x 2)3；(2)(－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3.解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．解：(1)原式＝4xy 2·14x 2y 4·8x 6＝8x 9y 6；(2)原式＝a 6b 12－a 6b 12＝0.方法总结：先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．探究点二：积的乘方的逆运算【类型一】 利用积的乘方的逆运算进行简便运算计算：(23)2015×(32)2016.解析：将(32)2016转化为(32)2015×32，再逆用积的乘方公式进行计算．解：原式＝(23)2015×(32)2015×32＝(23×32)2015×32＝32. 方法总结：对公式a n·b n＝(ab )n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式．运用此公式可进行简便运算．【类型二】 利用积的乘方比较数的大小试比较大小：213×310与210×312.解：∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，23＜32，∴213×310＜210×312.方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数的幂是解答此类问题的关键． 三、板书设计积的乘方积的乘方公式：(ab )n ＝a n b n(n 为正整数)．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学．教师在讲解积的乘方公式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：a n ·b n ＝(ab )n，同时教师为了提高学生的运算速度和应用能力，也可以补充讲解：当n 为奇数时，(－a )n ＝－a n(n 为正整数)；当n 为偶数时，(－a )n ＝a n(n 为正整数)．。
八年级数学上册141整式的乘法1413积的乘方教案新人教版
课题：14.1.3积的乘方教学目标：理解积的乘方运算法则，并能利用法则解决实际问题． 重点：积的乘方运算法则及其应用． 难点：幂的运算法则的灵活运用． 教学流程： 一、知识回顾1.说一说同底数幂相乘与幂的乘方是如何计算的？ 答案：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 幂的乘方，底数不变，指数相乘．2.填空2342323223(1)______;(2)()______(3)24_______(4)()______.x x x a x x ⋅⋅=-=⨯=⋅=；（-）；答案：x 9；－a 6；28；x 8二、探究问题：填空，运算过程用到哪些运算律？()()()23()(1)()()()()()(2)()______________________ab ab ab a a b b a b ab ab=⋅=⋅⋅⋅====答案：（1）2，2；（2）()()()ab ab ab ⋅⋅，()()a a a b b b ⋅⋅⋅⋅⋅，3，3 乘法交换律、结合律追问：观察计算结果，你发现了什么？指出：一般地，对于任意底数a ，与任意正整数nn n abn an bn nab ab ab ab a a a b b b a b =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=个个个（）（）（）（）归纳：积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． ．即：()(nn nab a b n =为正整数） 练习：1．计算(－xy 3)2的结果是( ) A ．x 2y 6B ．－x 2y 6C ．x 2y 9D ．－x 2y 9答案：A2．下列各式中，正确的个数有( ) ①(2x 2)3＝6x 6； ②(a 3y 3)2＝(ay)6； ③(32m 2)3＝272m 6；④(－3a 2b 2)4＝81a 8b 8. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：B 3.计算：332234(1)2;(2)5;(3);(4)2.a b xy x --（）（）（）（）解：3333333322222243443412(1)228(2)55125(3)(4)2216.a a a b b b xy x y x y x x x =⨯=-=-⋅=-=⋅=-=-⋅=（）；（）（）；（）（）；（）（）（） 三、应用提高（1）若(a n b m )3＝a 9b 15，则( ) A ．m ＝3，n ＝5 B ．m ＝5，n ＝3 C ．m ＝12，n ＝3 D ．m ＝9，n ＝3 答案：B（2）若x 2n＝2，(xy)3n＝3，则x 5n y 3n＝_____． 答案：6提示：逆用公式：a n· b n＝ (ab)n四、体验收获今天我们学习了哪些知识？ 1.说一说积的乘方法则？ 2.积的乘方法则可以逆用吗？ 五、达标测评1．下列计算正确的是( ) A ．m 2·m 4＝m 8B ．(3m 2)2＝3m 4C ．(－m 3)2＝m 6D ．(mn)3＝m 3n答案：C 2 ．填空：(1)(3xy)2＝_______；(2)(－3a)3＝________；(3)(－2×102)5＝____________．答案：9x2y2；－27a3；－3.2×1011 3．计算：(1)(－43ab2c3)2；(2)[(－a2b3)3]2；(3)(－3a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3.解：（1）原式＝169a2b4c6（2）原式＝(－a6b9)2＝a12b18（3）原式＝ (－27a6)·a3＋(16a2) ·a7－125a9＝－27a9＋16a9－125a9＝－136a94．已知n是正整数，且x3n＝2，求(3x3n)3＋(－2x2n)3的值．解：原式＝(3x3n)3－8(x3n)2＝(3×2)3－8×22＝216－32＝184六、布置作业教材98页练习题(1)－(4)题．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A．1 B．5 C．7 D．49【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质可知BC上的中线AD同时是BC上的高线，根据勾股定理求出AB的长即可．【详解】∵等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，∴BD=CD=12BC=3，AD同时是BC上的高线，∴AB=2222345BD AD+=+=．故它的腰长为1．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出中线AD同时是BC上的高线．2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．九年级二班45名同学在学校举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如下表捐款数（元）10 20 30 40 50捐款人数（人）8 17 16 2 2则全班捐款的45个数据，下列错误的（）A．中位数是30元B．众数是20元C．平均数是24元D．极差是40元【答案】A【解析】经计算平均数是24元，众数是20元，中位数是20元，极差是40元．所以A选项错误．4．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣3表示的点最接近的是( )A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B【分析】3 1.732-≈-，计算-1.732与-3，-2，-1的差的绝对值，确定绝对值最小即可. 【详解】3 1.732-≈-，()1.7323 1.268---≈，()1.73220.268---≈，()1.73210.732---≈，因为0.268＜0.732＜1.268，所以3-表示的点与点B最接近，故选B.5．下列各命题的逆命题中，①三个角对应相等的两个三角形是全等三角形；②全等三角形对应边上的高相等；③全等三角形的周长相等；④两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是全等三角形；假命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①④【答案】D【分析】写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定定理和性质定理判断.【详解】解：①三个角对应相等的两个三角形是全等三角形的逆命题是全等三角形的三个角对应相等，是真命题；②全等三角形对应边上的高相等的逆命题是三边上的高相等的两个三角形全等，是真命题；③全等三角形的周长相等的逆命题是周长相等的两个三角形全等，是假命题；④两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是全等三角形的逆命题是全等三角形两边及其中一边的对角对应相等，是真命题；故选：D.【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．若a－2b=1，则代数式a2－2ab－2b的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】已知a−2b的值，将原式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：∵a−2b＝1，∴2b=a-1，∴a2－2ab－2b=a2－a（a-1）－（a-1）=a2－a2+a－a+1）=1，故选：C．【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．下列图形中，是轴对称图形的是（）．A．B．C．D．【答案】A【分析】轴对称图形的定义：图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分重合，则这个图形是轴对称图形；根据轴对称图形定义，逐个判断，即可得到答案．【详解】四个选项中，A是轴对称图形，其他三个不是轴对称图形；故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，即可完成求解．8．下列各数是无理数的是（）A．227-B．0.1010010001....(两个1之间的0依次多1个)C D．3.14【答案】B【分析】根据无理数是无限不循环小数对四个选项进行逐一分析即可．【详解】A．227-是分数，是有理数，故该选项不符合题意，B．0.1010010001....(两个1之间的0依次多1个)是无限不循环小数，是无理数，故该选项符合题意，C=2，是整数，是有理数，故该选项不符合题意，D．3.14是有限小数，是有理数，故该选项不符合题意，故选：B．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．9．在代数式2222123252,,,,,33423xx xy xx x x+-+中，分式共有( )．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式进行分析即可．【详解】解：代数式21325,,42xx x x++是分式，共3个，故选：B．【点睛】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是AB的形式，从本质上看分母必须含有字母． 10．直线y x m =+与直线4y x =-+的交点不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】判断出直线4y x =-+可能经过的象限，即可求得它们的交点不可能在的象限． 【详解】解：因为y ＝−x ＋4的图象经过一、二、四象限，所以直线y ＝x ＋m 与y ＝−x ＋4的交点不可能在第三象限， 故选：C ． 【点睛】本题考查一次函数的图象和系数的关系，根据一次函数的系数k ，b 与0的大小关系判断出直线4y x =-+经过的象限即可得到交点不在的象限．二、填空题11．已知△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，且DE ＝3cm ，则BC ＝___________cm ． 【答案】6【解析】根据三角形的中位线性质可得，26BC DE cm ==12．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰ABC 中，75A ∠=︒，则它的特征值k =__________． 【答案】107或25【分析】分∠A 为顶角和底角两类进行讨论，计算出其他角的度数，根据特征值k 的定义计算即可．【详解】当∠A 为顶角时，等腰三角形的两底角为18075=52.52︒-︒︒，∴特征值k=7510=52.57︒︒； 当∠A 为底角时，等腰三角形的顶角为180752=30︒-︒⨯︒，∴特征值k=302=755︒︒． 故答案为：107或25【点睛】本题考查了等腰三角形的分类，等腰三角形的分类讨论是解题中易错点．一般可以考虑从角或边两类进行讨论．13．如图，在△ABC 中，∠A ＝α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；…；∠A 2019BC 与∠A 2019CD 的平分线相交于点A 2020，得∠A 2020，则∠A 2020＝_____．【答案】20202α【分析】根据角平分线的定义以及三角形外角的性质，可知：∠A 1=12∠A ，∠A 2=12∠A 1=212∠A ，…，以此类推，即可得到答案．【详解】∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1， ∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， ∵∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，即：12∠ACD=∠A 1+12∠ABC ， ∴∠A 1=12(∠ACD−∠ABC)，∵∠A+∠ABC=∠ACD ， ∴∠A=∠ACD−∠ABC ，∴∠A 1=12∠A ， ∠A 2=12∠A 1=212∠A ，…，以此类推可知：∠A 2020=202012∠A=20202α．故答案为：20202α．【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，以及角平分线的定义，掌握三角形的外角等于不相邻的内角的和，是解题的关键．14．空调安装在墙上时，一般都采用如图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有______．【答案】稳定性【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．【详解】这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，故答案为：稳定性．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．15．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为____________．【答案】454353 x yx y+=⎧⎨-=⎩【分析】根据总费用列出一个方程，根据单价关系列出一个方程，联立方程即可.【详解】由题意得：4个篮球和5个足球共花费435元，可列方程：4x+5y=435，篮球的单价比足球的单价多3元，可列方程：x-y=3，联立得454353x yx y+=⎧⎨-=⎩.【点睛】本题考查二元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键.16．如图，将一张三角形纸片折叠，使得点A、点C都与点B重合，折痕分别为DE、FG，此时测得∠EBG＝36°，则∠ABC＝_____°．【答案】1．【分析】根据折叠的性质得到∠ABE＝∠A，∠CBG＝∠C，根据三角形的内角和定理，得到∠A+∠C＝180°﹣∠ABC，列方程即可得到结论．【详解】∵把一张三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，∴∠ABE＝∠A，∠CBG＝∠C，∵∠A+∠C＝180°﹣∠ABC，∵∠ABC＝∠ABE+∠CBG+∠EBG，∴∠ABC＝∠A+∠C+36°＝180°﹣∠ABC+36°，∴∠ABC＝1°，故答案为：1．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理与图形折叠的性质，根据角的和差关系，列出关于∠ABC的方程，是解题的关键．17．如图所示，已知∠1=22°，∠2=28°，∠A=56°，则∠BOC的度数是___________．【答案】106°【分析】利用了三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解．【详解】如图，连接AO，延长AO交BC于点D．根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，可得：∠BOD=∠1+∠BAO，∠DOC=∠2+∠OAC，∵∠BAO+∠CAO=∠BAC=56°，∠BOD+∠COD=∠BOC，∴∠BOC=∠1+∠2+∠BAC=22°+28°+56°=106°．故答案为：106°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，关键是利用了三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和求解．三、解答题18．陈史李农场2012年某特产种植园面积为y亩，总产量为m吨，由于工业发展和技术进步，2013年时终止面积减少了10%，平均每亩产量增加了20%，故当年特产的总产量增加了20吨．（1）求2013年这种特产的总产量；（2）该农场2012年有职工a人．2013年时，由于多种原因较少了30人，故这种特产的人均产量比2012年增加了14%,而人均种植面积比2012年减少了0.5亩．求2012年的职工人数a 与种植面积y ．【答案】 (1) 2013年的总产量270吨；(2)农场2012年有职工570人，种植面积为5700亩.【分析】(1)根据平均每亩产量增加了20%，故当年特产的总产量增加了20吨，列出方程()()20120%110%m m y y ++=-，解方程求出m 的值；(2)根据人均产量比2012年增加了14%,而人均种植面积比2012年减少了0.5亩，列出方程组()()270250114%30110%1302a a y y a a ⎧=+⎪-⎪⎨-⎪=-⎪-⎩①②，解方程组求出结果． 【详解】（1）根据题意得：()()20120%110%m m y y ++=-解得，m=250.∴m ＋20=270答：2013年的总产量270吨.（2）根据题意得：()()270250114%30110%1302a a y y a a ⎧=+⎪-⎪⎨-⎪=-⎪-⎩①② 解①得a=570.检验：当a=570时，a （a －30）≠0，所以a=570是原分式方程的解，且有实际意义.答：该农场2012年有职工570人；将a=570代入②式得，()110%15405702y y -=-， 解得，y =5700.答：2012年的种植面积为5700亩．考点：分式方程的应用19．如图①，直线AB 与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，OA 、OB 的长度分别为a 和b ，且满足a 2﹣2ab+b 2=1．（1）判断△AOB的形状；（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE 与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．【答案】（1）△AOB为等腰直角三角形；（2）OD⊥OE，证明见解析；（3）∠BDE与∠COE互余．【分析】（1）根据a2﹣2ab+b2=1，可得a=b，又由∠AOB=91°，所以可得出△AOB的形状；（2）OD=OE，OD⊥OE，通过证明△OAD≌△OBE可以得证；（3）由∠DEB+∠BEO=45°，∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，得出∠DEB=∠COE，根据三角形外角的性质得出∠ABC=∠BDE+∠DEB=91°，从而得出∠BDE+∠COE=91°，所以∠BDE与∠COE互余．【详解】解：（1）∵a2﹣2ab+b2=1．∴（a﹣b）2=1，∴a=b，又∵∠AOB=91°，∴△AOB为等腰直角三角形；（2）OD=OE，OD⊥OE，理由如下：如图②，∵△AOB为等腰直角三角形，∴AB=BC，∵BO⊥AC，∴∠DAO=∠EBO=45°，BO=AO，在△OAD和△OBE中，AO BODAOEBO 45AD BE△OAD ≌△OBE （SAS ），∴OD=OE ，∠AOD=∠BOE ，∵∠AOD+∠DOB=91°，∴∠DOB+∠BOE=91°，∴OD ⊥OE ；（3）∠BDE 与∠COE 互余，理由如下：如图③，∵OD=OE ，OD ⊥OE ，∴△DOE 是等腰直角三角形，∴∠DEO=45°，∴∠DEB+∠BEO=45°，∵∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，∴∠DEB=∠COE ，∵∠ABC=∠BDE+∠DEB=91°，∴∠BDE+∠COE=91°∴∠BDE 与∠COE 互余．20．如图，在等腰三角形ABC 中，90A ∠=︒，6AB AC ==，D 是BC 边的中点，点E 在线段AB 上从B 向A 运动，同时点F 在线段AC 上从点A 向C 运动，速度都是1个单位/秒，时间是t （06t <<），连接DE 、DF 、EF .（1）请判断EDF ∆形状，并证明你的结论.（2）以A 、E 、D 、F 四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值：若变化，用含t 的式子表示.【答案】（1）EDF ∆为等腰直角三角形，见解析；（2）不变，9【分析】⑴连结AD,由SAS 定理可证BDE ∆和ADF ∆全等，从而可证90EDF ∠=︒,DF=DE.所以EDF ∆为等腰直角三角形.⑵由割补法可知四边形AEDF 的面积不变，利用三角形的面积公式求出答案.【详解】（1）EDF ∆为等腰直角三角形，理由如下：连接AD ，∵AB AC =，90A ∠=︒，D 为BC 中点 ∴12AD BC BD CD ===且AD 平分BAC ∠∴45BAD CAD ∠=∠=︒∵点E 、F 速度都是1个单位秒，时间是t 秒，∴BE AF =在BDE ∆和ADF ∆中，45BD ADB DAF BE AF=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()BDE ADF SAS ∆∆≌∴DE DF =，BDE ADF ∠=∠∵90BDE ADE ∠+∠=︒∴90ADF ADE ∠+∠=︒即：90EDF ∠=︒∴EDF ∆为等腰直角三角形.（2）四边形AEDF 面积不变，理由：∵由（1）可知，AFD BED ∆∆≌，∴BDE ADF S S ∆∆=，∴ AED ADF AED BDE ABD AEDF S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四边形 ∵111669222ABD ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=∴ 9AEDF S =四边形【点睛】本题考查了三角形全等的判断SAS,及用割补法来证四边形的面积不变，四边形又三角形来组成。
1413,积的乘方课件
1413,积的乘方课件1214.1.3 积的乘方教者：谷丹时间：xx.10.15课型：新授课教学目标知识与技能1、经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义．2、理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．过程与方法：1、探索积的乘方的运算法则的过程发展推理能力和有条理的表达能力．2、学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．情感、态度与价值观在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步提高学习数学的兴趣。
感受数学的简洁美。
教学重点：积的乘方运算法则及其应用。
教学难点：幂的运算法则的灵活运用。
教学方法：师友合作、教师点拨教学用具：多媒体教学课时：一课时一、回顾旧知识，引入新课1．同底数幂的乘法2．幂的乘方二、交流预习指名学生展示自己的预习内容后，其他学生进行评价和补充，同时说说自己在预习过程中存在的问题，以便后面学习。
三、互助探究1、动脑筋，看看谁最棒学生在老师多媒体的展示下，初步体会积的乘方的运算法则。
2、猜想验证看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a( )b( )3 （2）（ab）=______=_______=a( )b( )（3）（ab）n=______=______=a( )b( )（n是正整数）师友通过交流和前面的感性认识，大胆猜想并验证其结果，培养学生触类旁通，举一反三的能力。
并叫一名同学推导运算法则。
3．得到结论：（1）积的乘方：（ab）n=an·bn（n是正整数）把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．学生通过前面的猜想验证，总结归纳，得出结论。
（2）例3指名学生到黑板做题后，让其他学生点评。
其他学生独立完成后师友交流之间存在的问题。
通过上述两题巩固学生对积的乘方的运算法则的掌握情况。
4．公式的拓展(abc)n=an·bn·5、积的乘方法则可以进行逆运算．即：an·bn=（ab）n（n为正整数）同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．试用简便方法计算: (1) 23×53；(2) 2xx × 4xx ×(-0.125)xx（4）（5）中的公式在计算过程中会常遇到，所以通过练习让学生掌握。
初中数学人教版八年级上册14.1.3积的乘方
这种形式为 积的乘方
根据乘方的意义及乘法交换律、结合 律进行运算.
(ab)3 (ab) (ab) (ab) （乘方的意义）
(aaa) (bbb)（乘法交换律、结合律）
a3b3
（乘方的意义）
同理：
(2m)4 =(2m).(2m).(2m).(2m) =(2×2×2×2）.(m.m.m.m.) =24m4=16m4
试用简便方法计算: (1) 28×58 = (2×5)8 = 108 (2) 24 × 44 ×0.1254 = （2×4×0.125)4 = 14 = 1
拓展 思考
（1）若 x-y = a，则（3x-3y）3 = 27a3 ，
（2）若 813×274 = x24，则 x = 3 ，
若 813×274 = y12，则 y = 9 。
交流与发现：积的乘方(ab)n =?
分组讨论积的乘方的运算性质：
♐
n个ab
(ab)n =（ ab）·（ab）·……·（ab ）
n个a
n个b
=(a·a·……·a) (b·b·……·b)
=an·bn
1、请你总结一下积的乘方法则是什么？ 积的乘方，等于把积的每一个因式分别 乘方，再把所得的幂相乘.
2、用字母表示积的乘方法则: (ab)n=an•bn（n是正整数）来自14.1.3 积的乘方
一三六团中学:王燕
回忆：
（1）叙述同底数幂乘法法则并用字母 表示。 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变， 指数相加。
字母表示： am ·an = am+n (m、n都是正整数).
（2）叙述幂的乘方法则 并用字母表示。
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 字母表示：(am)n=amn (m,n都是正整数）
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1、计算:
102×103× 104 = 109
2、回忆：
(x5 )2= x10
（1）叙述同底数幂乘法法则并用字母 表示。
语言叙述：同底数幂相乘，底数不变， 指数相加。
字母表示：am·an=am+n ( m、n都是
正整数)
2、叙述幂的乘方法则 并用字母表示。
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(4) -(-ab2)2=a2b4
(× ) (× ) (× ) (× )
(5) (- 7)5 (3 )5 = (- 7× 3)5 = -1
37
37
(√
)
练习2：计算: (1) (ab)8
(2) (2m)3
(3) (-xy)5
(4) (5ab2)3
(5) (2×102)2 (6) (-3×103)3
注意：运算顺序是先乘方，再乘除， 最后算加减。
练习5：探讨--如何计算简便？
(0.04)2004×[(-5)2004]2=?
解法一： (0.04)2004×[(-5)2004]2 =(0.22)2004 × 54008 =(0.2)4008 × 54008 =(0.2 ×5)4008 =14008 =1
解：(1)原式=a8·b8 (2)原式= 23 ·m3=8m3 (3)原式=(-x)5 ·y5=-x5y5 (4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125 a3 b6
(5)原式=22 ×(102)2=4 ×104
(6)原式=(-3)3 ×(103)3=-27 ×109=-2.7 ×1010
练习3：计算：
作业
习题第1，2，3题
字母表示：(am)n=amn
新课引入：
(m,n都是正整数）
1、 引例；
若已知一个正方体的棱长为2×103 cm ，
你能计算出它的体积是多少吗？
V=(2×103)3 (cm3)
*** 积的乘方
(ab)n=?
2、计算: (3×4)2与32 × 42，你会发现什么？ 填空:
∵ (3×4)2= 122 = 144 32 ×42= 9×16 = 144
推广：1.三个或三个以上的积的乘方等于 什么？ (abc)n = （n为正整数）
2.逆运用可进行化简：
anbn = (ab)n （n为正整数）
a·b是±1 、±0.1或± 10的整数次幂等
例3：计算:
(1) (2a)3
(2) (-5b)3
(3) (xy2)2
(4) (-2x3)4
解：(1)原式= (2)3a3 = 8a3
n个ab
证明：(ab) n= (ab)·(ab)·····(ab)
n个a
n个b
=(a·a·····a)·(b·b·····b)
=anbn 因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数)
积的乘方的运算法则： 积的乘方，等于把积的每个因
式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)n = anbn （n为正整数）
∴ (3×4)2 = 32 × 42
结论:(3×4)2与32 × 42相等
3、类比与猜想:
(ab)3与a3b3 是什么关系呢？
（ab)3=(ab)·(ab)·(ab) (aaa) ·(bbb)=a3b3 =
乘方的意义 乘法交换律、 乘方的意义 结合律
思考问题：积的乘方(ab)n =? 猜想结论：(ab)n=anbn (n为正整数)
1 3
）2010
×（-3）2010=？
练习6：能力提升
如果（an•bm•b)3=a9b15,求m, n的值
解： （an•bm•b)3=a9b15 （an）3•（bm）3•b3=a9b15 a 3n •b 3m•b3=a9b15 a 3n •b 3m+3=a9b15 3n=9 3m+3=15 n=3,m=4.
解法二： (0.04)2004×[(-5)2004]2
=(0.04)2004 × [(-5)2]2004
= (0.04)2004 ×(25)2004 =(0.04×25)2004 =12004
1
=1 都要转化为（ a ）n×an的形式
说明：逆用积的乘方法则 anbn = (ab)n可以
化简一些复杂的计算。如（
小结：
1、本节课的主要内容： 积的乘方
幂的运算的三条重要性质：
am·an=am+n
(am)n=amn
(ab)n=anbn ( m、n都是正整数)
2、 运用积的乘方法则时要注意什么？
公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式
都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆
向运用。（混合运算要注意运算顺序）
(2)原式= (-5)3a3b3 =-125b3
(3)原式= x2(y2)2 =x2y4
(4)原式=(-2)4(x3)4
=16x12
补充例题: 计算
[- 1 a2(a+b)]3 = (- 1 )3(a2)3(a+b)3
2
2
=- 1 a6(a+b)3
8
判断: 练习1：
(1)（ab2)3=ab6 (2) (3xy)3=9x3y3 (3) (-2a2)2=-4a4
(1)（-2x2y3)3 (2) (-3a3b2c)4
解：(1)原式=(-2)3 ·(x2)3 ·(y3)3 =-8x6y9
(2)原式=(-3)4 ·(a3)4 ·(b2)4 ·c4 = 81 a12b8c4
练习4：计算：
2(x3)2 ·x3－(3x3)3＋(5x)2 ·x7
解：原式=2x6 ·x3－27x9+25x2 ·x7 =2x9－27x9+25x9 =0