福建省三明一中2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试卷及答案
福建省三明市第一中学2021届高三数学上学期10月月考试题(含解析)
福建省三明市第一中学2021届高三数学上学期10月月考试题（含解析）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．2．本试卷包括必考和选考两部分．第22题为选考题，考生可在其中的（A ），（B ）两题中任选一题作答；其它试题为必考题，所有考生都必须作答．一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N ⋂=A. (0,4]B. [0,4)C. [1,0)-D. (1,0]-【答案】B 【解析】试题分析：()()234041014x x x x x --<⇒-+<⇒-<<，故M N ⋂=[0,4)，故选B ．考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算．2.在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则8a =（ ） A. 2- B. 0C. 6D. 8【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ,根据等差数列的公差公式n ma a d n m-=-求得公差d ,然后根据等差数列的通项公式的变形形式()n m a a n m d =+-可求得. 【详解】设等差数列公差为d ,则4242a a d -=-2442-=-1=-, 所以82(82)46(1)2a a d =+-=+⨯-=-. 故选A .【点睛】本题考查了等差数列的公差公式以及通项公式的变形形式的应用,这样可以避开首项,减少计算量,属基础题.3.已知a b >，c d >，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是（ ） A. ad bc > B. ac bd > C. a c b d ->- D. a c b d +>+【答案】D 【解析】试题分析：根据不等式的性质，可知,a b c d >>，则a c b d +>+，故选D. 考点：不等式的性质.4.已知(5,2),(4,3)a b =-=--，若230a b c -+=，则c 的坐标为（ ） A. 8(1,)3B. 138(,)33-C. 134(,)33D.134(,)33-- 【答案】D 【解析】 【分析】设(,)c x y =,将向量,,a b c 的坐标代入230a b c -+=中,利用向量的坐标的加法,减法和数乘运算可以得到.【详解】设(,)c x y =,因为230a b c -+=, 所以(5,2)2(4,3)3(,)(0,0)x y ----+=. 所以(583,263)(0,0)x y ++-++=, 所以1330,430x y +=+=,解得:133x ,43y =-.所以134(,)33c =--.故选D .【点睛】本题考查了平面向量的加法,减法和数乘的坐标运算,属基础题.5.设l为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A. 若//lα，//lβ，则//αβ B. 若lα⊥，lβ⊥，则//αβC. 若lα⊥，//lβ，则//αβ D. 若αβ⊥，//lα，则lβ⊥【答案】B【解析】A中，,αβ也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，,αβ也可能相交；D中，l也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系6.若实数x、y满足1x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值为（）．A. 0B. 1C.32D. 2【答案】D【解析】所以过()0,1时，max2z=，故选D。
2021届福建省三明市一中高三上学期第一次月考数学(文)试题Word版含答案
2021届福建省三明市一中高三上学期第一次月考数学（文）试题考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟，满分150分． 2．本试卷包括必考．．和选考．．两部分．第22题为选考题，考生可在其中的（A ），（B ）两题中任选一题作答；其它试题为必考题，所有考生都必须作答．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合2{|340},{|05}M x x x N x x =--<=≤≤，则M N =A.(0,4]B. [0,4)C. [1,0)-D. (1,0]-2. 在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则8a = A ．2- B ．0C ．6D ．83．已知,a b c d >>，且,c d 不为0，则下列不等式成立的是 A.ad bc >B.ac bd >C.a c b d ->-D. a c b d +>+4．已知(5,2),(4,3)a b =-=--，若230a b c -+=，则c 的坐标为 A ．8(1,)3B ．138(,)33-C ．134(,)33D ．134(,)33-- 5．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若//,//l l αβ，则//αβ B. 若,l l αβ⊥⊥，则//αβC. 若,//l l αβ⊥，则//αβD. 若,//l αβα⊥，则l β⊥6．若变量x ，y 满足100x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则目标函数2z x y =+的最大值为A. 0B. 1C. 2D.327．要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图象A. 向左平移12π个单位 B. 向左平移3π个单位C. 向右平移3π个单位D. 向右平移12π个单位8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 8B. 12C.332 D. 403 9．已知0,0a b >>，且,a b 的等比中项为1，若11,m b n a a b=+=+，则m n +的最小值是A ．3B ．4C. 5D ．610．已知tan()16α+=π，则tan()6α-=πA. 23-B. 23+C. 23--D. 23-+11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15S S ==，则6S = A. 31B.32C. 63D. 6412．函数()sin(),(0,0)2f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，且0OM ON ⋅=，则,ωϕ的值分别是A.,362ππB.,3ππC.4π2,D. 1,3π 第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）13．已知向量,a b 均为单位向量，且<a ,b >=3π，则||a b += ____________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则数列{}n a 的通项公式是____________.15．在Rt ABC ∆中，2C π=，且角,,A B C 所对的边,,a b c 满足a b cx +=，则实数x 的取值范围是____________．16．已知四面体ABCD 内接于球O ，且2,2AB BC AC ===，若四面体ABCD 的体积为23，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是____________．三、解答题：（本大题共6小题，第17-21每题12分，第22题10分，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程、演算步骤） 17．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量22(,),(sin ,cos ),(0,)22a b x x x =-=∈π．（1）若//a b ，求2sin 1sin 2x x+的值；（2）若a 与b 的夹角为3π，求x 的值．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，12364a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21(1)log n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ； （2）设1,3AP AD ==P-ABD 3，求点A 到平面PBC 的距离．20.（本小题满分12分）已知函数231()2cos ,2f x x x x =--∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期、最小值、对称轴、对称中心；（2）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若B A sin sin 2=，求,a b 的值．21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，2366,27a a a =+=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项的和n S ，且132nn n S T -=⋅，若对于一切正整数n ，总有n T m ≤成立，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分10分，考生可在其中的（A ），（B ）两题中任选一题作答）（A ）4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,(26x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． （B ）4－5：不等式选讲已知函数()|||1|f x x a x =-++．（1）若2a =，求不等式()2f x x >+的解集；（2）如果关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集，求实数a 的取值范围．2021届福建省三明市一中高三上学期第一次月考数学（文）试题参考答案一、选择题：（5×12=60）二、填空题：（4×5=20）13.14.2,121,2N*n n a n n n =⎧=⎨-∈⎩≥且15. 16. 16π三、解答题：（第17-21每题12分，第22题10分，共70分） 17.解： （1）∵2(,),(sin ,cos )22a b x x =-=且//a b0x x +=……2分 ∴tan 1x =-……4分 ∴2222sin 1cos 2sin 12tan 3sin 22sin cos 2tan 2x x x x x x x x +++===-……6分（说明：也可由tan 1x =-求出34x π=代入2sin 1sin 2x x +求得）（2）∵2(,),(sin ,cos )22a b x x =-= ∴||||1a b ==……7分∵a 与b 的夹角为3π∴1cos ,cos 32||||a ba b a b a b π⋅<>====⋅……8分∴1cos 222x x -= ……9分 ∴1sin()42x π-=……10分又(0,)x ∈π∴444x ππ3π-<-<∴46x ππ-=∴12x 5π=……12分F G18.解：（1）∵等比数列{}n a 满足12364a a a =∴3264a =，即24a =……3分 又等比数列{}n a 的公比为2∴数列{}n a 的通项公式为2*422,n n n a n -=⋅=∈N ．……6分 （2）由（1）知22111(1)log (1)log 2(1)n nn b n a n n n ===+++ ……8分 ∴111n b n n =-+……9分 ∴1111111223111n nS n n n n 1=-+-++-=-=+++ ……11分 ∴数列{}n b 的前n 项和1n nS n =+．……12分19. 解：（1）设AC 与BD 的交点为F ，连接EF……1分 ∵底面ABCD 为矩形∴点F 为BD 中点 ……2分 又E 为PD 的中点∴三角形PBD 中，//EF PB ……3分 又,AEC AEC EF PB ⊂⊄平面平面 ……5分 ∴//PB 平面AEC……6分（2）法一：直接法 过点A 作AG PB ⊥ ∵底面ABCD 为矩形∴AB BC ⊥ 又PA ⊥平面ABCD ∴PA BC ⊥又PA 与AB 是平面PAB 上两相交直线 ∴BC ⊥平面PAB 又AG PAB ⊂平面∴AG BC ⊥又PB 与BC 是平面PBC 上两相交直线 ∴AG ⊥平面PBC∴AG 是点A 到平面PBC 的距离 ……9分又1,3AP AD ==P-ABD 的体积为34∴11331324AB ⨯⨯⨯⨯= ∴32AB =∴22313()122PB =+= 由PB AG PA AB ⋅=⋅解得31313AG =∴点A 到平面PBC 的距离为31313．……12分法二：等体积法设点A 到平面PBC 的距离为h已知Rt PBC ∆中，13,32PB BC ==∴111339322Rt PBC S BC PB ∆=⋅=⨯⨯= ……8分∴由P ABC A PBC V V --=有113139313223h ⨯⨯⨯⨯=⨯ ∴31313h =……11分∴点A 到平面PBC 的距离为31313． ……12分20. 解： （1）∵31cos 21()sin 2222x f x x +=--=sin(2)16x π-- ……2分 ∴()f x 的最小正周期是22T π==π，最小值是-2. ……4分 令2,62x k k ππ-=+π∈Z ，则()f x 的对称轴为,32k x k ππ=+∈Z ……5分 令2,6x k k π-=π∈Z ，则()f x 的对称中心为(,1),212k k ππ+-∈Z……6分（2）()sin(2)106f C C π=--=,则sin(2)6C π-=10,022C C <<π∴<<π,112666C ππ∴-<-<π26C π∴-=2π, 解得3C π= ……8分 又sin 1sin 2A B =，由正弦定理得12a b = ①……10分由余弦定理得2222cos 3c a b ab π=+-，即3=22a b ab +- ② 由①②解得1,2a b ==.……12分21.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ∵2366,27a a a =+= ∴1162727a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：133a d =⎧⎨=⎩……2分∴数列{}n a 的通项公式为*3,n a n n =∈N……4分（2）由（1）知等差数列{}n a 的首项和公差均为3∴23322n S n n =+ ……5分∴2211332232322n n n n nn n S n n T --++===⋅⋅ ……6分又对于一切正整数n ，总有n T m ≤成立 ∴*max (),n T m n ∈N ≤……7分∴22111(1)1(1)(2)222n n n n n n n n n n n T T ++++++++--=-= ……8分∴当3n ≥时，1n n T T +≥且123312T T T =<==……10分 ∴n T 的最大值是32，即32m ≥ ……11分 ∴实数m 的取值范围是3[,)2+∞.……12分22.（A ）4－4：坐标系与参数方程 解：（1）∵直线l 的参数方程为,(26x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数)∴直线l 的普通方程为260x y -+=……2分又曲线C的极坐标方程为ρθ=∴曲线C的直角坐标方程为220x y +-=……4分（2）由（1）知曲线C是以的圆∴圆C的参数方程为：,(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数) ……5分∴可设圆C 上的点(,)M x y的坐标为)θθ，即x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……6分∴2sin()4x y θθθπ+=+=+ ……8分∵1sin()14θπ-+≤≤∴22sin()24θπ-++≤22x y -++≤ ……9分∴x y +的取值范围是[22-++．……10分（B ）4－5：不等式选讲解：（1）当2a =时，()|2||1|f x x x =-++ ∴不等式化为|2||1|2x x x -++>+当1x -≤时，不等式可化为31x >-，解得：13x <-，此时不等式的解集为{|1}x x -≤； ……1分 当12x -<<时，解不等式得1x <，即此时不等式的解集为{|11}x x -<<； ……2分 当2x ≥时，解不等式得3x >，即此时不等式的解集为{|2}x x ≥； ……3分 综上述，原不等式的解集为{|12}x x x <或≥.……4分（2）若关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集，即不等式()2f x <有解 ∴,|||1|2x x a x ∃∈-++<R 成立 ①……6分考虑命题①的否定：,|||1|2x x a x ∀∈-++R ≥ ∴|||1||1||1||1|x a x x a x a a -++---=--=+≥ 当且仅当()(1)0x a x -+≤时，等号成立……8分∴|1|2a +≥，解得：3a -≤或1a ≥……9分 ∴命题①成立时，实数a 的取值范围是(3,1)-．……10分。
2020-2021高三年级第一次月考试卷+详细答案
12020-2021学年度第一学期高三年级数学学科第一次月考考试时间：120分钟；学校： 姓名： 班级： 考号：第I 卷(选择题)一、选择题(本大题共9小题，共45.0分)1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x ∈R |x ≥3}，则A ∩∁U B ＝（ ） A ．{4，5}B ．{3，4，5}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}2．已知α∈R ，则“cosα=−√32”是“α＝2kπ+5π6，k ∈Z ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若命题p ：∀x ≥0，e x +2x ﹣1≥0，则命题p 的否定为（ ） A ．∃x 0＜0，e x 0+2x 0﹣1＜0 B ．∀x ≥0，e x +2x ﹣1＜0 C ．∃x 0≥0，e x 0+2x 0﹣1＜0 D ．∃x 0＜0，e x 0+2x 0﹣1≥04．函数y ＝4xx 2+1的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．设a ＝30.7，b ＝(13)−0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b6．函数f（x）＝sin（2x﹣π3）+1，下列结论正确的是（）A．向右平移π6个单位，可得到函数y＝sin2x的图象B．y＝f（x）的图象关于（0，1）中心对称C．y＝f（x）的图象关于直线x＝5π12对称D．y＝f（x）在（π6，2π3）为增函数7．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足C＝π3，a cos B＝b cos A，那么△ABC的形状一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．无法确定8．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π＝是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（π4）＝√2，则f（3π8）＝（）A．﹣2B．﹣√2C．√2D．29．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），且当0≤x≤2时，f（x）＝min{﹣x2+2x，2﹣x}，若方程f（x）﹣（2t+1）x＝0恰有两个根，则t的取值范围是（）A．[−32，−23]∪[−13，12]B．(−32，−23)∪(−13，12)C．(−32，−23]∪[−13，12)D．[−32，−23)∪(−13，12]第II卷(非选择题)二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)10．函数y=13tan(x−π4)的定义域是．2311.若α∈(0，π2)，sin (α−π4)=35,则cos2α= . 12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），（ω＞0）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式为 ．13．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝xlnx +1，则曲线y ＝f (x )在x ＝﹣1处的切线方程为 ．14．已知函数f (x )＝{x 2+4x ，x ≥04x −x 2，x <0若f （2﹣a 2）＞f （a ），则实数a 的取值范围为 ．15．已知函数f (x )＝{a −|x +1|，x ≤1(x −1)2，x >1，函数g (x )＝2﹣f (x )，若函数y ＝f (x )﹣g (x )恰有4个零点，则实数a 的取值范围是三、解答题(本大题共5个题，共75.0分)16．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c cos C ＝a cos B +b cos A ． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3√32，且a +b ＝5，求c ．17．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励20元；共两只球都是绿色，则奖励10元；若两只球颜色不同，则不奖励．（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率；（2）记X为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量X的分布列和数学期望．18．已知函数f（x）＝2sin x cos x+√3cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，π2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．（Ⅲ）若函数g(x)＝f(x)﹣k在[0，π445619．如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2． （Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E ﹣BD ﹣F 的余弦值为13，求线段CF 的长．20．已知函数f(x)=alnx +a+12x 2+1．（Ⅰ）当a =−12时，求f(x)在区间[1e ，e ]上的最值； （Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a ＜0时，有f (x )>1+a2ln(−a)恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题(本大题共9小题,共45.0分) CBCADCCCB二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)10.{x|x≠kπ+3π4，k∈Z}11.−242512.f(x)＝sin（2x+π6） 13.x+y＝014.(−2，1) 15.(2，3]三、解答题(本大题共5个题，共75.0分).16.解：（Ⅰ）由正弦定理知，＝＝，因为2c cos C＝a cos B+b cos A，所以2sin C cos C＝sin A cos B+sin B cos A＝sin（A+B）＝sin C．因为sin C≠0，所以cos C＝，因为C∈（0，π），所以C＝．（Ⅱ）由知，，所以ab＝6，又a+b＝5，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝13﹣2×6×＝7，所以c＝．17.解：（1）记一名顾客摸球中奖20元为事件A，则．（2）记一名顾客摸球中奖10元为事件B，不中奖为事件C，则，，78所以，，，，，X 0 10 20 30 40p所以E （X ）＝．18.解：（I ）由，得f （x ）的最小正周期为π． （II ）因为，所以 ，所以 ．从而 ．所以 当，即时，f （x ）的最大值为2；当，即时，f （x ）的最小值为．（III ）由，得，而函数f （x ）在上单调递增，，在上单调递减，f （x ）∈[1，2]，所以若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 在上有两个不同的零点，则．19.（Ⅰ）证明：以A 为坐标原点，分别以，，所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）．设CF＝h（h＞0），则F（1，2，h）．则是平面ADE的法向量，又，可得．又∵直线BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE；（Ⅱ）解：依题意，，，．设为平面BDE的法向量，则，令z＝1，得．∴cos＜＞＝．∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：设为平面BDF的法向量，则，取y＝1，可得，由题意，|cos＜＞|＝，解得h＝．经检验，符合题意．∴线段CF的长为．920.解：（Ⅰ）当a＝﹣时，，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）＝0得x＝1．∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）＝，f（）＝，f（e）＝，∴f（x）max＝f（e）＝，f（x）min＝f（1）＝．（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min＝f（）10即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a），整理得ln（a+1）＞﹣1∴a＞﹣1，又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．11。
福建省三明市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)答案
三明一中2019～2020学年上学期月考一 高三理科数学试卷参考答案二、填空题(本题4小题，每小题5分,共20分) 13. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38 14. 10 6 15. 5. 16. 8三、解答题（共6题，70分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本题满分10分)解：（1）设向量a 与b 的夹角为θ，因为2=a ，==b ，所以cos θ⋅=⋅a b a b 22== 考虑到0πθ，得向量a 与b 的夹角4π． （2）若()λ-⊥b a a ，则()0λ-⋅=b a a ，即20λ⋅-=b a a ，因为2⋅=b a ，24=a ， 所以240λ-=，解得2λ=． 18.(本题满分12分)解：(1)()21cos cos sin 32+-=x x x x f x x 2cos 212sin 23-=3362sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx 又⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 3626πππ≤-≤-∴x 3662cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πx1cos 2cos 2cos 2266662x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦632233212336-=⨯-⨯=（2）由a c A b 32cos 2-≤，得a c bca cb b 3222222-≤-+⋅ac b c a 3222≥-+ 222cos 22a cb B ac +-∴=≥(0,)0,6B B ππ∈∴<≤从而得6626πππ≤-<-B 故()⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,2162sin πB B f19.(本题满分12分)解 (1)设等差数列{a n }的公差是d ，∵a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，∴d ＝－3. ∴a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，∴a n ＋b n ＝q n －1，即－3n ＋2＋b n ＝q n －1，∴b n ＝3n －2＋q n －1.∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1) ＝(31)2n n -＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)， 故当q ＝1时，S n ＝(31)2n n -＋n ＝3n 2＋n 2；当q ≠1时，S n ＝(31)2n n -＋1－qn1－q .20.(本题满分12分)解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt△ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt△BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196， 所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14. (2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14. 由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由m ＝AB →＋tAC →，n ＝tAB →＋AC →，知k ＝m n ⋅＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →) ＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.21.（本题满分12分)解析:（1）∵12,,n n S a +成等差数列，∴122n n S a +=+，当1n =时， 11224S a a ==+,122aa =+ 当2n ≥时， 112n n n n a S S --=-=， ∵{}n a 是等比数列，∴11a =,则212a+=，得2a =-, ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -= ()*n N ∈ （2）由（1）得 ()()121212n n n b n a n -=-=-⋅， 则2311325272n T =⨯+⨯+⨯+⨯ ()1212n n -++-⋅，①232123252n T =⨯+⨯+⨯++ ()()1232212n n n n --⋅+-⋅，② ①-②得2112222n T -=⨯+⨯+⨯++ ()122212n n n -⨯--⋅()()2112222212n n n -=++++--⋅()()11421212n n n -=+---⋅ ()2323n n =--⋅-．∴()2323n n T n =-⋅+． 22.(本题满分12分)【解析】（1）()x f x e m '=-，若0m ≤，则()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞单调递增，所以()f x 无极值。
福建省三明市第一中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 理
三明一中2019～2020学年上学期月考一高三 理科数学 试卷（总分150分，时间：120分钟）（注意：请将所有题目的解答都写到“答题卡”上）一、选择题(本题12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。
)1. 已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∪(∁R B )等于( )A.[－1，0]B.[1，2]C.[0，1]D.(－∞，1]∪[2，＋∞)2. 已知三点A (－1，－1)、B (3，1)、C (1，4)，则向量BC→在向量BA →方向上的投影为( )A.55B.－55C.21313D.－213133. 函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)4. 在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则2019202020172018a aa a--等于( )A.3或－1B.9或1C.1D.95. 设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，则“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件6. 已知函数f (x )＝(14)x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数是( )A.1B.2C.3D.47. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，给出下列五个命题：①d <0；②S 11>0；③使S n >0的最大n 值为12；④数列{S n }中的最大项为S 11；⑤|a 6|>|a 7|，其中正确命题的个数是( )A.5B.4C.3D.18. 如图所示，在△ABC 中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋2y 的最小值为( )A.8＋2 2B. 6＋2 2C.6D. 89. 设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞10. 已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋3n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项为( )A.a n ＝1n ＋1B.a n ＝n n ＋1C.a n ＝12＋n －1n 2＋n ＋2 D.a n ＝n ＋1n ＋211. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)其中A ＞0，|φ|＜π2的图象如图所示， 为了得到g (x )＝sin 2x 的图象，则只需将f (x )的图象( ) A.向右平移π6个长度单位 B.向左平移π6个长度单位 C.向右平移π3个长度单位 D.向左平移π3个长度单位12. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A.(－∞，－2]∪(－1，32) B. (－1，14)∪(14，＋∞) C. (－∞，－2]∪(－1，－34)D.(－1，－34)∪(14，＋∞)二、填空题(本题4小题，每小题5分,共20分)13. 已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________.14. 为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米.15. 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，点P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为________.16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________.三、解答题（共6题，70分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本题满分10分)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(cos sin αα-，cos sin αα+)．（1）求向量a 与b 的夹角； （2）若()b a λ-⊥a ，求实数λ的值．已知向量()()23cos ,1,sin ,cos m x n x x =-=，函数()12f x m n =⋅+.（1）若()0,,43x f x π⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，求cos 2x 的值；（2）在ABC ∆中，角A,B,C 对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤， 求()f B 的取值范围.19.(本题满分12分)在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n .20.(本题满分12分)在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →. (1)求|AB→－AC →|； (2)存在实数t ≥1，使得向量m ＝AB →＋tAC →，n ＝tAB →＋AC →，令k ＝m n ⋅，求k 的最小值.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12,,n n S a +成等差数列()*n N ∈． （1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若()1n n b an a =-+ 求数列{}n b 的前n 项和n T ．22.(本题满分12分)已知函数()(1)1()x f x e m x m R =-++∈.（1）若函数()f x 的极小值为1，求实数m 的值； （2）当0x ≥时，不等式()ln(1)02mf x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.草稿纸。
2020-2021学年上学期第一次月考高三数学试卷答案
2020-2021学年上学期高三第一次月考数学答案一、选择题：1-4:CACD 5—8:BDAB 9:BC 10:ABD 11:BC 12:AD 二、填空题：13、 3365 14、3π15、 32πϕ= 16、>三、解答题：17.（本小题满分10分）解：（1）将代入圆的方程得：y = 在第四象限，∴y =由任意角三角函数的定义得：tan yxθ==……………………………………5分 （2）cos()cos(2)sin cos 2sin cos()sin cos πθθπθθθπθθθ-+-+=++-，由任意角三角函数的定义得：sin 2θ=-，1cos 2θ=，将之代入上式得：1sin cos 2sin cos θθθθ++===-…………………10分18.（本小题满分12分）（1）由题可知()f x 和x 轴两交点为()0,0，()4,0，………2分 故可设()()()40f x ax x a =-≠，…………………………………………3分 由题可知：()()222441f a a =⨯⨯-=-⇒=，………………………………4分 所以()24f x x x =-．…………………………………………6分（2）设()()()()343g x f x t t x t x t t =++=++-+， 则()0g x ≤在[]2,4上恒成立，故有()()()()()()2222243340404444370g t t t t t t g t t t t t ⎧=++-+=+-≤⎪⇒-≤≤⎨=++-+=+≤⎪⎩．…………………12分 ),21(y P 122=+y x ),21(y P19.（本小题满分12分） 解：ABC △中，由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+ 得sin 2sin cos sin cos cos sin sin cos B B C A C A C A C +=++sin sin cos B A C =+ ………………………………………………………1分∴(2sin sin )cos 0B A C -=…………………………………………………………2分 ∵ABC △不是直角三角形 ∴cos 0C ≠∴2sin sin B A =………………………………………………………………………3分 即2a b =………………………………………………………………………4分∵1b = ∴2a =………………………………………………………………………6分 选①：由1cos 2B =，及0B π<< 得3B π=………………………………………8分由sin sin b aB A= 得sin 1A =>……………………………………………………10分 不合理，故ABC △不存在．……………………………………………………12分 选②：由1cos 2C =得c ==8分 ∴222b c a +=………………………………………………………………………10分 ∴A 为直角，不合题设，故ABC △不存在．…………………………………12分选③：由cos 2C =得c ==12分． 20. （本小题满分12分）（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-． …………………………………………6分（Ⅰ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ． 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．……………12分 21.（本小题满分12分）解：（1）∵2299()sin cos 1cos cos 88f x x x x x =+-=-+-21cos cos 8x x =-+-， ∴211()cos 28f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵[]0,x π∈，∴1cos 1x -≤≤，∴171()88f x -≤≤， ∴()f x 的值域为171,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………………………………6分 （2）∵函数21()cos cos 8f x x x =-+-，[]0,x π∈的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像， ∴21()cos cos 228h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin sin 8x x =---，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 依题意，不等式()()sin 2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解， 设5()()sin 2cos sin sin 24y f x h x x x x x =++=--+ 52sin cos cos sin 4x x x x =+--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令cos sin 4t x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]1,1t ∈-，则221142y t t t ⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭，[]1,1t ∈-，∴函数()()sin 2y f x h x x =++的值域为9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.∴min 94m y >=-，故实数m 的取值范围为9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.…………………………………12分 22. （本小题满分12分） 解：（1）1a =， ∴1()ln ,(0)f x x x x =+> ∴22111'()x f x x x x-=-+= ……1分 令'()0f x =，得1x =当x 变化时，(),'()f x f x 的变化情况如下表：分 ∴当1x =时，函数()f x 有极小值1；函数()f x 的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞； ………………5分 （2）若在区间(0,]e 上至少存在一点0x ，使0()0f x <成立，即()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0 ………………6分221()1'(),(0)a x a a f x a x x x-=-+=≠令'()0f x =，得1x a = …………7分 ①当0a <时，'()0f x < ∴函数()f x 在区间(0,]e 上单调递减∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln f e a e a e e=+=+∴由1()0f e a e =+<得1a e <-，即1(,)a e ∈-∞- ………8分②当0a >时，（i ）当1e a ≤即10a e<≤时，'()0f x ≤∴函数()f x 在区间(0,]e 上单调递减 ∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln 0f e a e a e e=+=+>显然，这与()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不符 ……9分（ii ）当10e<<即1a >时 当x 变化时，的变化情况如下表：∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()lnf a a aa =+………10分∴由11()ln 0f a a a a=+<，得a e >，即(,)a e ∈+∞ ……………11分∴综上述，实数a 的取值范围是1(,)(,)e e-∞-+∞． ………………12分)(),(x f x f '。
2021届福建省三明一中高三上学期第一次月考数学试题
5．已知 ， ，则 等于（）．
A． B． C． D．
6．将两枚均匀的骰子投掷一次所得的点数分别为 ， ．已知 ，则 的概率为（）．
A． B． C． D．
7． 中 ， ， 为线段 上任一点，则 （）．
A．2B．4C．8D．不确定
8．已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的取值范围是（）．
C． 在 单调递增D． 的取值范围是
三、填空题：
13． 展开式中含 项的系数为______．（用数学作答）
14．来自甲、乙、丙3个班级的5名同学站在一排照相，其中甲班有2名同学，乙班有2名同学，丙班有1名同学，则仅有甲班的同学相邻的站法种数为______．
15．已知平面向量 ， ，其中 ， ， ，则 ______；若 为实数，则 的最小值为______．
设向量 与 所成角为 ，
则 ，
所以向量 与 所成角的余弦值为 ．
（2）∵ ，
又∵ ，
∵ 可知 ，解得 ．
18．解：（1）
．
由已知 ， ，
即 ，∴ ．
（2）依题意， ，
令 ， 时，函数单调递增，
解得 ，
联立 ，解得 ，
即 在区间 的单调递增区间为 ．
19．解：（1）由正弦定理可得 ，
∵ ，∴ ，所以 ，∴ ．
（2）为提高该系统的工作性能，拟增加两个功能一样的其它品牌元件，且每个元件正常工作的概率均为 ，则 满足什么条件时，可以提高整个系统的工作性能？
参考答案
1．B2．A3．C4．C5．D6．D7．B8．A
9．AD10．ABC11．ACD12．ACD
13．6014．2415．（1）2（2） 16．
17．解：（1）∵ ， ，∴ ．
2024-2025学年福建省三明一中高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年福建省三明一中高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|−2<x <3}，B ={x|x 2−5x <0,x ∈N}，则A ∩B =( )A. {x|0<x <3}B. {x|−2<x <5}C. {0,1,2}D. {1,2}2.已知函数y =a x +3+3(a >0，且a ≠1)的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则cosα=( )A. 35B. −35C. 45D. −453.已知α∈(0,π2),3sin 2α=cos 2α+1，则tan 2α=( )A.2B.3C. 34D. 434.某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数R 与可见叶片数x 进行分析研究，其关系可以用函数R =15e ax (a 为常数)表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为( )(参考数据：ln2≈0.7，ln5.5≈1.7)A. 15B. 16C. 17D. 185.设x 、y ≥1，a >1，b >1.若a x =b y =3，a +b =23，则1x +1y 的最大值为( )A. 2B. 32C. 1D. 126.已知函数f(x)=−x 3+2x 2−x ，若过点P (1,t )可作曲线y =f (x )的三条切线，则t 的取值范围是( )A. (0,130)B. (0,129)C. (0,128)D. (0,127)7.已知α，β∈(0,π)，且cos α=−7 210，tan (α−β)=13，则α−2β=( )A. −π4或3π4B. −3π4 C. −π4 D. −3π4或π48.已知函数f(x)=2x +2−x +cosx +x 2，若a =f(5ln 4π)，b =f(4ln 5π)，c =f(5lnπ4)，则( )A. c <b <aB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c二、多选题：本题共3小题，共15分。