第1章绪论√有限元
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专业ABAQUS有限元建模经验笔记
基于ABAQUS的有限元分析和应用第一章绪论1.有限元分析包括下列步骤：2.为了将试验数据转换为输入文件，分析者必须清楚在程序中所应用的和由实验人员提供的材料数据的应力和应变的度量。
3.ABAQUS建模需注意以下内容：4.对于许多包含过程仿真的大变形问题和破坏分析，选择合适的网格描述是非常重要的，需要认识网格畸变的影响，在选择网格时必须牢牢记住不同类型网格描述的优点。
第二章ABAQUS基础1.一个分析模型至少要包含如下的信息：离散化的几何形体、单元截面属性、材料数据、载荷和边界条件、分析类型和输出要求。
①离散化的几何形体：模型中所有的单元和节点的集合称为网格。
②载荷和边界条件：2.功能模块：（1）Assembly（装配）：一个ABAQUS模型只能包含一个装配件。
（2）Interaction（相互作用）：相互作用与分析步有关，这意味着用户必须规定相互作用是在哪些分析步中起作用。
（3）Load（载荷）：载荷和边界条件与分析步有关，这意味着用户指定载荷和边界条件是在哪些分析步中起作用。
（4）Job（作业）：多个模型和运算可以同时被提交并进行监控。
3.量纲系统ABAQUS没有固定的量纲系统，所有的输入数据必须指定一致性的量纲系统，常用的一致性量纲系统如下：4.建模要点（1）创建部件：设定新部件的大致尺寸的原则必须是与最终模型的最大尺寸同一量级。
（2）用户应当总是以一定的时间间隔保存模型数据（例如，在每次切换功能模块时）。
（3）定义装配：在模型视区左下角的三向坐标系标出了观察模型的方位。
在视区中的第2个三向坐标系标出了坐标原点和整体坐标系的方向（X，Y和Z轴）。
（4）设置分析过程：（5）在模型上施加边界条件和荷载：用户必须指定载荷和边界条件是在哪个或哪些分析步中起作用。
所有指定在初始步中的力学边界条件必须赋值为零，该条件是在ABAQUS/CAE中自动强加的。
在许多情况下，需要的约束方向并不一定与整体坐标方向对齐，此时用户可定义一个局部坐标系以施加边界条件。
有限元分析课程 第一章 绪论PPT
1 T I [ y ( x)] = ∫ [ y L( y ) + yT f ]d Ω + b.t.( y, g ) Ω 2
其中: b.t.( y, g ) 与边界条件有关。）
14
若假设试探函数只选取一项，即
ϕ ( x ) = α1 ( x − x 2 )
5 易得 α1 = 9 ，则问题的近似解为 5 ϕ ( x) = ( x − x 2 ) 9 变分法的试探函数定义于整个求解域，且必须满足
23
转向机构支架的强度分析
24
动力分析
模态分析—计算线性结构的自振频率及振形. 谱分析—是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起 的结构应力和应变 (也叫作响应谱).
整机的模态分析
25
谐响应分析—确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载 荷的响应. 旋转设备（如压缩机、发动机、泵、涡轮机械等）的支 座、固定装置和部件； 受涡流（流体的漩涡运动）影响的结构，例如涡轮叶片、 飞机机翼、桥和塔等。 瞬态动力学分析—确定结构对随时间任意变化的载荷的响 应. 可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为. 显式动力分析—计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所 有的非线性行为.
L=∫
b a
{ y( x)}
dy 1 + dx dx
2
L依赖于函数y(x)的形式，L随着曲线的形状而变化。L就是函 数y(x)的泛函。 12
假设试探函数为多项式： ϕ ( x) = α1 ( x − x 2 )+α 2 ( x − x 3 )+L +α n ( x − x n +1 )
P
meshing
P
其中: b.t.( y, g ) 与边界条件有关。）
14
若假设试探函数只选取一项，即
ϕ ( x ) = α1 ( x − x 2 )
5 易得 α1 = 9 ，则问题的近似解为 5 ϕ ( x) = ( x − x 2 ) 9 变分法的试探函数定义于整个求解域，且必须满足
23
转向机构支架的强度分析
24
动力分析
模态分析—计算线性结构的自振频率及振形. 谱分析—是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起 的结构应力和应变 (也叫作响应谱).
整机的模态分析
25
谐响应分析—确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载 荷的响应. 旋转设备（如压缩机、发动机、泵、涡轮机械等）的支 座、固定装置和部件； 受涡流（流体的漩涡运动）影响的结构，例如涡轮叶片、 飞机机翼、桥和塔等。 瞬态动力学分析—确定结构对随时间任意变化的载荷的响 应. 可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为. 显式动力分析—计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所 有的非线性行为.
L=∫
b a
{ y( x)}
dy 1 + dx dx
2
L依赖于函数y(x)的形式，L随着曲线的形状而变化。L就是函 数y(x)的泛函。 12
假设试探函数为多项式： ϕ ( x) = α1 ( x − x 2 )+α 2 ( x − x 3 )+L +α n ( x − x n +1 )
P
meshing
P
第一讲有限元绪论
考虑微段dx，内力 N=q (L-x)
dx的伸长为
Δ(dx) N(x)dx q(L x)dx
EA
x截面上的位移：
x N(x)dx x q(L x)dx q
x2
u 0 EA 0
EA
(Lx )
EA
2
根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里
应变
du q ε x dX EA(L X)
实验方法的最大优点是结果真实可靠，通
常被当作产品最终定型的权威性依据。
实验方法也存在不足：
1）实验一定要在样品或样机试制之后才 能进行，成本高、周期长，并且只适合 批量生产的产品。
2）可以获得的数据量有限，无法对设计 提供更多的指导，更无法进行结构优化。
3）受实验手段的限制，有些参数无法测 准。
应力
σx
Eε x
q A
(L X)
有限单元法求解直杆拉伸：
1、离散化
2、外载荷集中到结点上，即把投 影部分的重量作用在结点i上
L1
1
L2
2
Li Li+1
i-1 i i+1
n-1 n
图 2-2
i-1
Li
i q (Li + Li+1)
Li+1
2
i+1
图 2-3
有限单元法求解直杆拉伸：
3、假设线单元上的位移为线性函数
五、数值分析与实验分析的比较
分析方法可分为理论计算和实验两大类。
1、基于实验的分析方法
指通过的实验测试获取需要的性能参数的 方法。这种方法获取不同的性能参数需要采用 不同的测试方法、仪器设备和辅助实验装置。 如：强度实验，可以采用电阻应变片及应变仪、 光弹涂膜或云纹栅、应变涂料等；扭转与弯曲 刚度实验则需要专门的实验台等等。
有限元分析基础课件第一章
物体离散化 将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型， 这一步称作单元剖分。 离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来； 单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描 述变形形态的需要和计算进度而定。 用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划 分单元数目非常多而又合理，则所获 得的结果就与实 际情况相符合。
1956年Turener和Clough等用有限元法第一次得 出了平面应力问题的正确答案。 1960年Clough又进一步应用有限元法处理了平面弹 性问题，并提出了有限元法的名称，这才使得有限元 法的理论和应用都得到了迅速发展。 20世纪70年代以后，随着计算机和软件技术的发展 有限元法得到了迅猛的发展。
对于实际的连续结构，任何位置的物体都是相 互连接、相互作用的，而在被离散成有限元模型 后，假设相邻单元除节点外都是不相互连接、不相 互作用的，这一点是不符合实际的，但当单元趋近 无限小、节点无限多时，则这种离散结构将趋近于 实际的连续结构。 有限元法的离散处理的本质就是将原始的无限 自由度的连续体物理系统转换成由有限个节点自由 度组成的离散系统，且当所分割的单元无限小时， 该离散系统完全等价于原始的连续系统。
有限元基础理论
与ANSYS应用
CAD/CAE/CAM：CAD 工具用于产品结构设计，形 成产品的数字化模型，有限元法则用于产品性能的分 析与仿真，帮助设计人员了解产品的物理性能和破坏 的可能原因，分析结构参数对产品性能的影响，对产 品性能进行全面预测和优化；帮助工艺人员对产品的 制造工艺及试验方案进行分析设计。当前，有限元法 在产品开发中的作用，已从传统的零部件分析、校核 设计模式发展为与计算机辅助设计、优化设计、数字 化制造融为一体的综合设计。
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能 目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强 的前置建模和后置数据处理模块。使用户能以可视图 形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有限元分 析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形 图、等值分布云图，便于极值搜索和所需数据的列表 输出。
有限元-第1章
L K 1n u1 L K 2n u 2 L L M L K in u i L L M L K nn u n
为了看出该方程能给出所需的结果，取出该方程组中第 i 个方程式
10 30 u i* = K i1u1 + K i 2 u 2 + L + 10 30 u i + L + K in u n
单元节点载荷列阵。
五、 约束处理 由于结构刚度矩阵是奇异的、不能求逆。造成刚度矩阵奇异的原因是在建立刚度矩阵 时，解除了结构的外界约束而成了自由结构，使结构可产生刚体运动。因此必须排除结构 的刚体位移，使结构刚度矩阵成为非奇异的，才能求解出节点位移。一般情况下，引进边 界位移约束条件后可排除刚体运动，否则，还应适当给定某些节点的位移值。经引进边界 约束条件后，可适当地减少待求的节点位移的数目和方程的数目。 在这里介绍一种适合计算机实施的约束处理的作法，称“置大数法” 。设给定的节点 位移为 ui= u i* ,只需在 ui 所在行中， 将结构刚度矩阵的主对角元素 K ij 置入一个大数， 如 10 30 , 同时，将对应行的载荷项 Pi 用 10 30 u i* 代替,于是结构刚度方程成为
{ } { } { } { }
e V
——单元的等效节点载荷列阵， PVe , Pse , P0e 分别是
{ }{ }{ }
e s
单元的体力、面力、节点上的集中力的等效节点载荷列阵，
{P } = ∫∫∫[N ] {f }dv
T Ve
{P } = ∫∫ [N ] {P}ds
T se p
(1-10a)
方程（1-10）表示了结构的总位能是各单元的应变能之和加上各单元等效节点载荷的 位能之和。将单元刚度矩阵 K e 和单元节点载荷列阵 P e 按结构节点位移列阵 {∆} 的自由 度数和排列顺序添零升阶，式（1-10）可进一步完成 1 1 T T T T Π = {∆} ∑ K e {∆} − {∆} ∑ P e = {∆} [K ]{∆} − {∆} {P} 2 2
有限元第一讲 绪论、弹簧单元
有限元法基础及应用
1 绪论
一、有限元是什么？
一般意义上，有限元法是一种求解连续介质、连续 场力学和物理问题的数值方法。是工程分析和科学
研究的重要工具。
该方法诞生于结构应力分析，目前广泛应用于固体 力学、流体力学、传热学、电磁场等连续域问题的 领域以及计算数学。
该方法的发展和推广应用与计算机密切相关。
2个节点：
i, j
ui知弹簧力——位移关系：
节点位移：
节点力： 弹簧刚度：
F k
F 弹簧力，拉伸为正
u j ui — 弹簧伸长
k
考虑弹簧的特性和平衡关系有：
f i F k (u j ui ) kui ku j
f j F k (u j ui ) kui ku j
由于单元可以有不同的大小，形状和类型，因此可以求解复杂的工
程和科学问题。
2、数学上的理解
通过把求解区域剖分成数目有限的子区域（单元），设置节点上
的待求函数值（位移）为问题的基本未知量。在每个单元内用插值
的方法，根据待定节点位移假设出单元上简单位移分布，从而把一 个求解连续位移场的无限自由度问题转变成求解离散节点上位移值
(d)：弹簧2内力
200 3 2 200( N )
F k2 k2 (u3 u2 )
2 2
（拉力）
4、练习题
对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵
解
七、第一章要点回顾
1、弹簧单元刚度方程的建立 弹簧变形平衡
f i F k (u j ui ) kui ku j f j F k (u j ui ) kui ku j
1 绪论
一、有限元是什么？
一般意义上，有限元法是一种求解连续介质、连续 场力学和物理问题的数值方法。是工程分析和科学
研究的重要工具。
该方法诞生于结构应力分析，目前广泛应用于固体 力学、流体力学、传热学、电磁场等连续域问题的 领域以及计算数学。
该方法的发展和推广应用与计算机密切相关。
2个节点：
i, j
ui知弹簧力——位移关系：
节点位移：
节点力： 弹簧刚度：
F k
F 弹簧力，拉伸为正
u j ui — 弹簧伸长
k
考虑弹簧的特性和平衡关系有：
f i F k (u j ui ) kui ku j
f j F k (u j ui ) kui ku j
由于单元可以有不同的大小，形状和类型，因此可以求解复杂的工
程和科学问题。
2、数学上的理解
通过把求解区域剖分成数目有限的子区域（单元），设置节点上
的待求函数值（位移）为问题的基本未知量。在每个单元内用插值
的方法，根据待定节点位移假设出单元上简单位移分布，从而把一 个求解连续位移场的无限自由度问题转变成求解离散节点上位移值
(d)：弹簧2内力
200 3 2 200( N )
F k2 k2 (u3 u2 )
2 2
（拉力）
4、练习题
对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵
解
七、第一章要点回顾
1、弹簧单元刚度方程的建立 弹簧变形平衡
f i F k (u j ui ) kui ku j f j F k (u j ui ) kui ku j
有限元基础及应用
（2）对于静不定问题，则需要变形协调方程， 才能求解出应力变量，在构建问题的变形协调 方程时，则需要一定的技巧；
（3）若采用位移作为首先求解的基本变量，则 可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基 于 A、B、C 三个点的位移 来进行以上问题的 求解。
方法二：节点位移求解及平衡关系
要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建 相应的平衡关系，然后再进行求解。
课程介绍
一、课程内容： 1、有限元法理论基础； 2、应用ANSYS有限元软件对汽车/机械结构进
行分析。 二、学习方法：
理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实 际问题来掌握有限元理论。 三、学时数：54学时（36学时理论+18学时实 验） 四、考核方式：平时成绩+上机考试+笔试成绩
第一章 绪论
1.1 有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶（1943
PA
C
A
Rc
a
b
A'
A
C
A
图（a）所示一平衡的杠杆，对C点写力矩
PB
平衡方程：
(a)
B
PB b PA a
图（b）表示杠杆绕支点C转动时的刚体位
移图：
B b A a
综合可得：
(b)
B
即：
B
PA b B PB a A PAA PBB 0
上式是以功的形式表述的。表明：图a的
B'
平衡力系在图b的位移上作功时，功的总
目前应用较多的通用有限元软件如下表：
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
简介 著名结构分析程序，最初由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
（3）若采用位移作为首先求解的基本变量，则 可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基 于 A、B、C 三个点的位移 来进行以上问题的 求解。
方法二：节点位移求解及平衡关系
要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建 相应的平衡关系，然后再进行求解。
课程介绍
一、课程内容： 1、有限元法理论基础； 2、应用ANSYS有限元软件对汽车/机械结构进
行分析。 二、学习方法：
理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实 际问题来掌握有限元理论。 三、学时数：54学时（36学时理论+18学时实 验） 四、考核方式：平时成绩+上机考试+笔试成绩
第一章 绪论
1.1 有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶（1943
PA
C
A
Rc
a
b
A'
A
C
A
图（a）所示一平衡的杠杆，对C点写力矩
PB
平衡方程：
(a)
B
PB b PA a
图（b）表示杠杆绕支点C转动时的刚体位
移图：
B b A a
综合可得：
(b)
B
即：
B
PA b B PB a A PAA PBB 0
上式是以功的形式表述的。表明：图a的
B'
平衡力系在图b的位移上作功时，功的总
目前应用较多的通用有限元软件如下表：
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
简介 著名结构分析程序，最初由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
有限元及其分析绪论PPT课件
以处理很复杂的连续介质问题，是一种普遍方法。
60年代后期，J.T.Oden 等学者进一步研究了加权残值法与有限元法之间的关系，建立有限元法的计算格式， 并指出有限元法所利用的主要是Galerkin加权残值法，它可以用于即使泛函无法构造或泛函根本不存在的 问题，从而进一步扩大了有限元法的应用领域。
1972年，J.T.Oden 出版了第一本处理非线性连续介质问题的专著 《非线性连续体的有限元法 》。
• 在此期间，O.C.Zienkiewicz、卞学璜、董平等人进一步推动有限元的发展，分别提出了等参单元、杂交 单元的概念。1967年，O.C.Zienk iewic e 和Y.K.Cheung( 张佑启) 出版了第一本有关有限元分析的专著 《连续体和结构的有限元法》，此书是有限元法的名著，后更名为《有限单元法》。
V
•
Galerkin 方法
在Galerkin方法中，选择的加权函数wi为试函数（如取为形函数N，wi=Ni ）
L(x) EIv' ' ' ' p
R(x) EIv' ' ' ' p
L
0 wi(EIv''''' p)dx 0
i 0~n
• 以三角函数为试探函数求ci • 以幂级数为试探函数求ci • 以形函数为试探函数求ci
近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利 用与原问题的等效的变分原理（如最小势能原理）建立有限元基本方程（刚度方程）又体现了其明确的物理背 景。
• 厚实的理论基础，数值计算稳定、高效
• 有限元法计算格式的建立既可基于物理概念推得，如刚度法、虚功原理，也可基于纯数学原理推 得，如泛函变分原理、加权残值法。通常直接刚度法、虚功原理用于杆系结构或结构问题的方程 建立；而变分原理设计泛函极值，既适用于简单的结构问题，也适应于更复杂的工程问题（如温 度场问题）。当给定的问题存在经典变分叙述时，则利用变分原理很容易建立这类问题的有限元 方程，如加权残值法。加权残值法由问题的基本微分方程出发而不依赖于泛函，可用于处理一般 问题的有限元方程建立，如流固耦合问题。所以，有限元法不仅具有明确的物理背景，更具有坚 实的数学基础，且数值计算的收敛性、稳定性均可从理论上得到证明，有关这方面的内容可参考 相关资料。
60年代后期，J.T.Oden 等学者进一步研究了加权残值法与有限元法之间的关系，建立有限元法的计算格式， 并指出有限元法所利用的主要是Galerkin加权残值法，它可以用于即使泛函无法构造或泛函根本不存在的 问题，从而进一步扩大了有限元法的应用领域。
1972年，J.T.Oden 出版了第一本处理非线性连续介质问题的专著 《非线性连续体的有限元法 》。
• 在此期间，O.C.Zienkiewicz、卞学璜、董平等人进一步推动有限元的发展，分别提出了等参单元、杂交 单元的概念。1967年，O.C.Zienk iewic e 和Y.K.Cheung( 张佑启) 出版了第一本有关有限元分析的专著 《连续体和结构的有限元法》，此书是有限元法的名著，后更名为《有限单元法》。
V
•
Galerkin 方法
在Galerkin方法中，选择的加权函数wi为试函数（如取为形函数N，wi=Ni ）
L(x) EIv' ' ' ' p
R(x) EIv' ' ' ' p
L
0 wi(EIv''''' p)dx 0
i 0~n
• 以三角函数为试探函数求ci • 以幂级数为试探函数求ci • 以形函数为试探函数求ci
近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利 用与原问题的等效的变分原理（如最小势能原理）建立有限元基本方程（刚度方程）又体现了其明确的物理背 景。
• 厚实的理论基础，数值计算稳定、高效
• 有限元法计算格式的建立既可基于物理概念推得，如刚度法、虚功原理，也可基于纯数学原理推 得，如泛函变分原理、加权残值法。通常直接刚度法、虚功原理用于杆系结构或结构问题的方程 建立；而变分原理设计泛函极值，既适用于简单的结构问题，也适应于更复杂的工程问题（如温 度场问题）。当给定的问题存在经典变分叙述时，则利用变分原理很容易建立这类问题的有限元 方程，如加权残值法。加权残值法由问题的基本微分方程出发而不依赖于泛函，可用于处理一般 问题的有限元方程建立，如流固耦合问题。所以，有限元法不仅具有明确的物理背景，更具有坚 实的数学基础，且数值计算的收敛性、稳定性均可从理论上得到证明，有关这方面的内容可参考 相关资料。
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泰勒展开式 对于任意场函数 f，其泰勒展开式为
f f0 ( f x ) 0 ( x x 0 ) 2 1 ! ( 2 x f 2 ) 0 ( x x 0 ) 2 3 1 ! ( 3 x f 3 ) 0 ( x x 0 ) 3
考虑在1，3 点展开，略去三阶以上的高阶小量
f3
1947年，电子计算机问世，为有限元法提供了强大的计算 工具．
1960年，克拉夫(Clough)最先提出“有限元”(Finite Element Method）这一术语，把杆件结构力学的位移法推广到求 解连续介质力学问题．
1960’年代开始，有限元理论的研究与应用快速发展： 单元研究：协调元、非协调元，不同形状单元；
有三条有效的解决途径：
一是引入简化假设，将方程和边界条件简化为能够处理的 问题，从而得到它在简化状态下的解答。这种方法只在有限的 情况下可行，因为过多的简化将可能导致不正确的甚至错误的 解答。
二是数值解法，如有限差分法、边界元法、有限元法、离 散元法和加权余量法等。对于非线性问题，其中以有限元法更 为有效，且已经出现了许多通用程序。
2 有限元的发展史
1909年，里兹(Ritz)提出求解连续介质力学近似解的方法， 利用未知量的试探函数将势能泛函近似化，然后由求泛函极小 值条件，导出求解未知量的代数方程组．
1943年，科朗（Courant）将里兹法作了重要推广，将 ( 平 面）求解区域进行三角形剖分，在每个三角形的区域上引入分 片线性函数．
应用领域：三维问题、板壳问题、材料非线性和几何非线 性、动力分析、流体力学、渗流、热传导、电磁场分析；
ij ij i
状态二相应的体力、面力、应力、应变、位移分别是由 Nhomakorabea的互等定理得
fi(2),F i(2),
, ,u (2) (2) (2)
ij ij i
f i ( 1 ) u i ( 2 ) d Ω s F i ( 1 ) u i ( 2 ) d s f i ( 2 ) u i ( 1 ) d Ω s F i ( 2 ) u i ( 1 ) d s
三是利用现代科学知识，提出新的求解方法。
有限差分法 是从方程本身的角度出发，将问题的基本微 分方程和边界条件化为差分方程，从而将求解微分方程问题转 化为求解代数方程组问题．
比如，我们要求解下面的问题
2f 2f f f
x2
y2
f x y
F,
(x,y)
f f, (x,ys)
在求解域Ω上画上差分网 格，将每个结点的 1,2阶 导数通过有限差分方式， 变换成函数 f 的结点值。
有限元法是从结构本身出发，将连续问题离散化为一个个 单元，以插值函数表示单元内场函数的分布规律，建立平衡方 程（或通过变分原理建立有限元方程），从而将求解微分方程 问题转化为求解代数方程组问题。
有限单元法处理弹性力学问题的基本思路是：
① 离散化：将受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有 限小的单元集合体。单元之间只在结点上互相联系，亦即只有 结点才能传递力；
第1章 绪 论
1. 有限元法发展概况 2. 有限元法在工程中的应用 3. 有限元法的解题过程 4. 有限元软件简介
1.1 有限元法发展概况
1 什么是有限元
在工程中有许多力学问题和场问题，尽管人们已建立了求 解这些力学问题和场问题的基本方程和边界方程，但是只有少 数简单的问题才能求出解析解。对于数学物理方程较复杂，物 体边界又不规则的问题，采用解析法求解在数学上会遇到难以 克服的困难，因此会寻求各种行之有效的分析方法。
当状态一取实际状态，状态二为单位集中力时，功的互等 定理为
u i ( 1 ) s F i( 1 ) u i ( 2 ) d s f i( 2 ) u i ( 1 ) d Ω s F i( 2 ) u i ( 1 ) d s
有限单元法 的理论基础是变分原理。常用的变分原理有
最小势能原理、最小余能原理和混合变分原理。采用不同的变 分原理，将得到不同的未知场变量。当采用最小势能原理时， 必须假设单元内位移场函数的形式。这种以位移作为基本未知 量的分析方法称作位移法。当采用最小余能原理时，须假设应 力场的形式，这种方法称为应力法。当采用混合变分原理，例 如基于 Hellinger-Reissner 变分原理的混合板单元，就必须同时 假设某些位移和某些应力，因而这种方法称为混合法。当用有 限元法处理瞬态问题时，常用的变分原理是 Hamilton原理。进 行静力分析时，对大多数问题，应用位移法较简单。因此，这 种方法得到了广泛的应用。
边界元法基于边界积分方程，而建立边界积分方程的基础 有两个，一是基本解，二是功的互等定理（贝蒂互换定理）。
基本解 一单位力作用于无限大域中产生的应力和位移
互换定理 （功的互等定理）。设弹性体受到两种力系作
用，产生两种状态。状态一相应的体力、面力、应力、应变、
位移分别是
fi(1),Fi(1),
, ,u (1) (1) (1)
f0
f h(x)0
h2 2
2 f ( x2
)0
f1
f0
h(fx)0
h2 2
(2xf2
)0
从上式解出一、二次偏导数在0点的值
( fx)0f1 2 h f3； ( 2 xf2)0f1fh 3 2 2f0
这样就把二阶偏微分方程转化为仅包含函数值的代数方程。
边界单元法 依据边界积分方程，将物体的边界离散化， 建立边界未知量的代数方程组，求出边界未知量后，进而求解 域内的未知量．
② 单元分析：根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元 结点力和结点位移之间的关系；
③ 整体分析：根据结点力的平衡条件建立有限元方程、引入 边界条件、解线性方程组求出位移以及计算单元应力。
有限元法主要优点是：概念清楚，易于掌握，既可以从直 观的物理模型来理解，也可以按严格的数学逻辑来研究；适应 性强，府用范围广，不仅能成功地分析具有复杂边界条件、非 线性、非均质材料、动力学等难题，而且还可以推广到求解数 学方程中的其它边值问题，如热传导、电磁场、流体力学等问 题；已经出现了许多大型结构分析通用程序，如ASKA、SAP、 NASTRAN、ADINA、ANSYS、ABAQUS等。这些优点, 使有 限单元法得到了广泛的应用和发展。