一定积分计算的基本公式
定积分运算法则
• 通过定积分求解经济学中的边际产量、边际消费等边际问题
求解经济学中的总量问题
• 通过定积分求解经济学中的总产量、总消费等总量问题
求解经济学中的平均问题
• 通过定积分求解经济学中的平均产量、平均消费等平均问题
谢谢观看.
Thank you for watching.
Docs
⌛️
06
定积分的数值计算方法
数值积分的基本原理与方法
数值积分的定义
数值积分的方法
• 通过数值方法近似求解定积分的值
• 辛普森法
• 龙贝格法
• 高斯积分法
数值积分的误差分析与控制
误差分析
误差控制
• 分析数值积分方法的误差来源
• 选择合适的数值积分方法
• 估计数值积分方法的误差范围
• 控制积分区间的长度
求解物体的速度
• 通过定积分求解物体在变力作用下的速度
求解物体的加速度
• 通过定积分求解物体在变力作用下的加速度
定积分在工程学中的应用
求解工程问题的面积
求解工程问题的体积
求解工程问题的质心位置
• 通过定积分求解曲线围成的面积
• 通过定积分求解曲面围成的体积
• 通过定积分求解物体的质心位置
定积分在经济学中的应用
积分问题
换元积分法的原理
• 利用换元公式将原积分变量变换为新变量，从而简化积分过程
换元积分法的常见类型与方法
01
幂函数换元法
• 将复杂的幂函数积分问题转化为简单的指数函数积分问
题
02
三角函数换元法
• 将复杂的三角函数积分问题转化为简单的指数函数积分
问题
03
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的一种重要概念，用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、质量、质心等物理量。
本文将总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、换元积分法、分部积分法等。
一、基本定积分的计算基本定积分是指形如∫f(x)dx的定积分，其中f(x)为已知函数。
基本定积分的计算方法主要包括常数法、分段法和凑微分法。
1. 常数法：当被积函数为常数函数时，可以直接利用积分性质计算。
如∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为积分常数。
2. 分段法：当被积函数在不同区间上有不同的表达式时，可以将积分区间划分为不同的子区间，在每个子区间上分别计算积分，然后再求和得到整个区间上的积分值。
3. 凑微分法：当被积函数可以通过凑微分的方式转化为已知函数的微分形式时，可以利用凑微分法进行计算。
凑微分法的关键是找到合适的凑微分项，使得被积函数可以表示为一个函数的微分。
例如，对于∫x^2dx，可以将其转化为∫(x^2+1-1)dx，然后利用积分性质计算。
二、换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，通过引入新的变量进行替换，将原来的积分转化为更容易计算的形式。
换元积分法的关键是选择合适的换元变量和适当的换元公式。
1. 一般换元法：当被积函数中存在形如f(g(x))g'(x)的部分时，可以选择g(x)作为新的变量进行替换。
然后利用链式法则计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
2. 三角换元法：当被积函数中存在形如sin(x)或cos(x)等三角函数时，可以选择三角函数的反函数作为新的变量进行替换。
然后利用三角函数的导数和反函数的导数计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
三、分部积分法分部积分法是一种常用的定积分计算方法，通过将积分中的乘积拆解为两个函数的乘积，利用分部积分公式进行计算。
分部积分法的关键是选择合适的分部函数和求导函数。
分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
定积分 公式
定积分公式
1、定积分公式:积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
直观地说，对于一个给定的实函数f (x) ，在区间a，b]上的定积分记为: .(a，b)[f(x)+g(x)]dx=J(a，b)f(x)J(a，b)g(x)dxJ(a，b)kf(x)dx=k/(a，b)f(x)dx，若f (x) 在a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线(x，f (x)) 、直线x=a、
x=b以及x轴围成的面积值(一种确定的实数值)。
初等定积分就是计算曲线下方大的面积大小，方法将背积变量区间分成无限小的小格，再乘以响应函数值近似求和取极限，可以证明在积分变量是自变量的话，积分和导数运算是逆运算(牛顿莱布尼兹公式)
2、定积分简介: 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。
在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
主要分为定积分、不定积分以及其他积分。
积分的性质主要有线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。
定积分基本计算定律-定积分的计算定律
2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
证
令
F(x)
2x
x
0
f
(t )dt
1,
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1)
1
1
0
f
(t )dt
1
0 [1
f
(t )]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
例7 求 1 1dx.
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 2
ln1
ln 2
ln 2.
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 2
ln
sin
t
cos
t
定积分常见公式
定积分常见公式定积分在数学学习中可是个重要的家伙，它就像一把神奇的钥匙，能帮我们解决好多复杂的问题。
先来说说定积分的基本公式吧，就比如$\int_{a}^{b} kdx = k(b - a)$，这里的$k$是个常数。
这个公式理解起来其实不难，你就想象有一段长度为$b - a$的线段，然后常数$k$就像是给这段线段均匀地涂了一层厚度，最后的结果就是这层“厚度”的总量。
再看$\int_{a}^{b} xdx = \frac{1}{2}(b^2 - a^2)$，这个就像是计算一堆整齐排列的方块的体积。
从$a$到$b$，每个位置上的方块高度就是对应的$x$值，把它们加起来就得到了总体积。
还有$\int_{a}^{b} x^2dx = \frac{1}{3}(b^3 - a^3)$，这就好比是计算一个不断变高的积木塔的体积。
从$a$开始，积木的高度以平方的速度增长，一直到$b$，通过这个公式就能算出整个积木塔的体积啦。
我记得之前有一次给学生们讲定积分的课，当时有个学生特别有意思。
那节课刚开始讲定积分公式的时候，他一脸迷茫，眼睛瞪得大大的，好像这些公式是外星文字一样。
我就给他举例子，说假如我们要计算从 1 到 3 之间，函数$f(x) = 2x$图像与$x$轴围成的面积。
按照公式$\int_{1}^{3} 2xdx = x^2|_{1}^{3} = 3^2 - 1^2 = 8$，这不就很快算出面积是 8 了嘛。
这孩子听完，眼睛一下子亮了，嘴里还嘟囔着：“原来是这样啊，好像也没那么难！”从那以后，他对定积分的公式越来越感兴趣，每次做题都特别积极。
还有一个公式$\int_{a}^{b} e^xdx = e^b - e^a$，这就像是计算一个以指数速度增长的量的累积效果。
像$\int_{a}^{b} \sin xdx = -\cos b + \cos a$和$\int_{a}^{b} \cos xdx =\sin b - \sin a$这两个公式，在处理与三角函数相关的定积分问题时特别有用。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全在高等数学中，积分是求解不定积分、定积分和定积分的一种重要方法。
积分公式是指一些常见函数的积分表达式，熟悉和掌握这些公式可以加快求解积分的速度。
下面是一些常见的高等数学积分公式：一、不定积分公式：1. ∫kdx = kx + C （常数函数的积分）2. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （幂函数的积分）其中n不等于-1，C为常数。
3. ∫1/x dx = ln，x， + C （自然对数函数的积分）4. ∫e^x dx = e^x + C （指数函数的积分）5. ∫sinxdx = -cosx + C （正弦函数的积分）6. ∫cosxdx = sinx + C （余弦函数的积分）7. ∫sec^2xdx = tanx + C （正割函数的积分）8. ∫csc^2xdx = -cotx + C （余割函数的积分）9. ∫secxtanxdx = secx + C （正割函数与正切函数的积分）10. ∫cscxcotxdx = -cscx + C （余割函数与余切函数的积分）二、定积分公式：1. ∫[a,b]kdx = k(b-a) （常数函数的定积分）2. ∫[a,b]xdx = (b^2 - a^2)/2 （幂函数的定积分）3. ∫[a,b]1/x dx = ln，b/a，（自然对数函数的定积分）三、定积分计算方法与公式：1.分部积分法∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx2.代换法（换元积分法）∫f(g(x))*g'(x)dx = ∫f(g(x))d(g(x))3.增广方法当函数的导数是其本身的倍数，例如dy/dx = ky时，可以使用增广方法进行求解，具体公式为∫d(y)e^(-kx) = e^(-kx)y4.牛顿-莱布尼茨公式若F(x)为f(x)的一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)5.分式积分对于形如∫(P(x)/Q(x))dx的分式积分，其中P(x)和Q(x)是多项式函数，可以使用部分分式法进行分解，然后再分别求积分。
高数定积分公式大全
高数定积分公式大全在高等数学中，定积分是通过积分来求解某一特定函数的不定积分的一种特殊方法，是计算物理量变化，寻找函数极值点以及在区间内求定积分的有效工具。
定积分的定义如下：如果函数f(x)在给定区间[a,b]上可导，那么定积分的定义为：∫a^bf(x)dx = F(b) - F(a)其中F(x)是f(x)的某个不定积分，解析法求解定积分的步骤为：首先将函数f(x)分解为常数、x、x^2、x^n多项式，其次对于每一项分别求解其不定积分，最后再将每一项求得的不定积分相加，即可得出整体定积分的解析解。
定积分中常见的公式有：一、定积分中的基本公式1. 不定积分的基本公式：∫x^ndx = 1/n+1*x^n+1 + C2. 二次方程不定积分的公式：∫x^2dx = 1/3*x^3 + C3.用的其他不定积分的公式：(1)∫sinx dx = -cosx + C(2)∫cosx dx = sinx + C(3)∫1/(1+x^2)dx = arctanx + C(4)∫lnx dx = xlnx - x + C二、高阶定积分的公式1. 一阶定积分：∫ax+b dx = 1/a*(ax+b) + C2. 二阶定积分：∫ax^2 + bx + c dx = 1/3a*x^3 + 1/2b*x^2 + cx + C3.用的其他高阶定积分的公式：(1)∫sinax dx = -1/a*cosax + C(2)∫e^x dx = e^x + C(3)∫lnax dx = xlnax - x + C三、复合定积分的公式定积分可以复合求解，以求解复合定积分为例，复合定积分公式为：∫a^b f(x)dx =a^x f(x)dx +x^b f(x)dx其中f(x)为一个标量函数，[a,b]为被积函数的定积区间，求解步骤如下：1.根据f(x)的表达式求出该函数的不定积分F1(x)；2.复合定积分拆分成两部分，先求∫a^x f(x)dx，即F1(x)的定积分，再求∫x^b f(x)dx，即F2(x)的定积分；3.后将两部分求得的结果相加，即可得出复合定积分的解析解，解析解为F1(b) - F1(a) + F2(b) - F2(a)。
定积分基本计算公式-定积分的计算公式
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 l1 n l2 n l2 . n 2
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
成的平面图形的面积.
解
面积
A
sinxdx
0
y
cos x 2. o 0
x
.
二 定积分的换元公式 定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
.
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是
(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
证 (x x)a x xf(t)dyt
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
.
牛顿—莱布尼茨公式
a bf(x)d x F (b )F (a)
F
x
b a
基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它
的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之 间的关系．
注意
当a
b
时，
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t)的值在 [a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，
基本定积分计算公式
基本定积分计算公式定积分，听起来是不是有点让人头疼？其实啊，它就像是我们生活中的一个小帮手，能帮我们解决好多问题呢！咱们先来说说定积分的基本计算公式。
这就好比是一把神奇的钥匙，能打开很多数学难题的大门。
定积分的基本公式是∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a) ，这里的 F(x) 是 f(x)的一个原函数。
那啥是原函数呢？比如说，f(x) = 2x，那么它的一个原函数就是 F(x) = x²。
是不是有点迷糊？别着急，我给您举个例子。
假设我们要计算从 1 到 3 区间上，函数 f(x) = 2x 的定积分。
首先，我们得找到它的原函数 F(x) = x²。
然后呢，把上限 3 和下限 1 分别代入原函数，就是 F(3) - F(1) ，也就是 3² - 1² = 9 - 1 = 8 。
您看，这是不是挺有意思的？我记得之前有个学生，他刚开始学定积分的时候，那叫一个头疼啊！每次看到那些公式和符号，就感觉像是看天书一样。
有一次做作业，碰到一道定积分的题目，怎么算都算不对。
我就跟他说：“别着急，咱们一步步来，先找找原函数。
” 他一脸迷茫地看着我，那小眼神，充满了无助。
我就耐心地给他解释，带着他一步一步地算。
最后，他终于搞明白了，那种恍然大悟的表情，我到现在都还记得。
从那以后，他对定积分就没那么害怕了，成绩也慢慢提高了。
咱们再来说说定积分的几何意义。
它可以表示曲线与坐标轴围成的面积。
比如说，一个函数在某个区间上是正的，那么定积分的值就是这个区间上曲线下方的面积；如果函数在某个区间上是负的，定积分的值就是曲线上方的面积的相反数。
就像我们生活中的积累，每天进步一点点，一段时间后，积累的成果就是一个定积分。
可能有时候我们会遇到挫折，成果是负数，但只要不放弃，继续努力，总会有正数出现的时候。
在学习定积分的过程中，大家要多做练习题，就像我们锻炼身体一样，只有不断练习，才能让我们的“数学肌肉”更强大。
关于定积分的快速计算公式
关于定积分的快速计算公式定积分的快速计算公式。
在数学中，定积分是微积分的一个重要概念，它可以用来计算曲线下面积、求解体积、质量、质心等问题。
定积分的计算通常需要使用积分法或者数值积分法，但是有一些特定情况下可以使用快速计算公式来求解定积分，本文将介绍一些常用的定积分快速计算公式。
1. 基本积分表。
首先，我们需要了解一些基本的积分表，这些积分表中包含了一些常见函数的不定积分公式，可以帮助我们快速计算定积分。
例如：（1）常数函数积分，$\int k\,dx=kx+C$。
（2）幂函数积分，$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$。
（3）指数函数积分，$\int e^x\,dx=e^x+C$。
（4）三角函数积分，$\int \sin x\,dx=-\cos x+C$，$\int \cos x\,dx=\sin x+C$，$\int \tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$等。
这些基本积分表可以帮助我们快速计算一些简单的定积分，但是对于一些复杂的函数，我们可能需要使用其他方法来求解定积分。
2. 牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式是定积分的一个重要性质，它可以帮助我们将一个函数的定积分转化为另一个函数的不定积分。
具体来说，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么它的定积分可以表示为：$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$。
其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数。
这个公式可以帮助我们快速计算定积分，只需要求出函数$f(x)$的一个原函数$F(x)$，然后代入上式即可得到定积分的值。
3. 分部积分法。
分部积分法是一个常用的积分方法，它可以帮助我们将一个复杂的积分转化为两个简单的积分。
具体来说，如果函数$u(x)$和$v(x)$都具有连续的导数，那么定积分$\int u(x)v'(x)\,dx$可以表示为：$$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\,dx$$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例 3 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
证
令
x
F (x)2x0f(t)d t1 ,
f(x)1, F ( x ) 2 f( x ) 0 ,
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0 ) 10 ,
lim
x0
cosx
x2
sinxeco2sx
lim
x0
2x
1. 2e
Yunnan University
§4. 定积分的计算
例 2 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
x
证明函数F ( x)
0 tf
x
(t )dt
在(0,)内为单调增
0 f (t)dt
证:
0 b (x )
F (x ) f( t) dt
a (x ) 0
b(x)
f(t)dt
a(x)
f(t)d,t
0
0
F ( x ) f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
Yunnan University
§4. 定积分的计算
例1
1 e t 2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是 0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2dt d coxset2d,t
dx cosx
dx1
eco2x s(cox)s six neco2x s,
1 et2dt
原式 2
acots
dt
0 asitn a2(1si2nt)
2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
1 2 21 2ln sitn cots0 2
4
.
Yunnan University
2
2 co5sxsinxdx 0
0t5dt 1
t6 1
6
1. 6
0
Yunnan University
§4. 定积分的计算
例10 计算 a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解 令 xasitn , d xaco tds , t
xa t , x0t0,
2
F(1)101f(t)dt01[1f(t)d] t 0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
Yunnan University
§4. 定积分的计算
基本公式 如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间
[a, b]上的一个原函数，则
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
§4. 定积分的计算
补充 如果 f (t)连续，a( x)、b( x)可导，则
F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F( x)为 a( x)
F(x) d b(x) dx a(x)
f(t)dt
fb (x )b (x ) fa (x )a (x )
f
( x)dx中令 x
t ,
Yunnan University
§4. 定积分的计算
0
a
f(x)dxa0f(t)dt0a
f
(t)dt,
① f ( x)为偶函数，则 f(t)f(t),
a
0
a
af(x )d x af(x )d x 0f(x )dx
a
20 f(t)d;t
加函数.
证
dx
dx0
tf
(t)dtxf(x),
dx
dx0
f
(t)dtf(x),
x
x
F(x)x(fx)0
f(t)d tf(x)0tf(t)dt 0xf(t)d2 t
Yunnan University
§4. 定积分的计算
x
F(x)f(x)0x(xt)f2(t)dt,
0 f(t)dt
f( x ) 0 ,( x 0 )
x
0
f(t)dt0,
(x t)f(t) 0 , 0x(xt)f(t)d t0,
F (x ) 0(x 0 ).
故F ( x)在(0,)内为单调增加函数.
Yunnan University
§4. 定积分的计算
§4. 定积分的计算
例11 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a a
f
( x)dx
2 a 0
f
( x)dx ；
②
f
( x)为奇函数，则
a a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f(x )d xf(x )d xf(x )d,x
a
a
0
在 0 a
x
b a
基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它
的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
注意
当a
b
时，
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)仍成立.
Yunnan University
§4. 定积分的计算
F (x)a xf(t)d tC ,
x
af(t)d tF (x )F (a ), 令 xba bf(x )d x F (b )F (a ).
Yunnan University
§4. 定积分的计算
牛顿—莱布尼茨公式
a bf(x)d x F (b )F (a)
F
证 (x x)a x xf(t)dyt
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
oa
x xxb x
Yunnan University
§4. 定积分的计算
a xf( t) d t x x xf( t) d a txf( t) dt
x | 1 l1 n l2 n l2 . n 2
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
成的平面图形的面积.
解
面积
A
sinxdx
0
y
cos x 2. o 0
x
Yunnan University
§4. 定积分的计算
二 定积分的换元公式 定理 假设
xx
y
f(t)dt, x
由积分中值定理得
(x)
f()x, 在 x与 x o x之 a间 . x xxb x
f (), lim lim f()
x
x 0x x 0
x 0, x (x )f(x ).
Yunnan University
f[ (t) ] (t) d t( ) ( ),
Yunnan University
§4. 定积分的计算
( ) a、 ( ) b,
() () F [() ]F [( )]
F (b)F (a),
abf(x)dxF(b)F(a) () ()
F
(a).
证 已知F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x
a
f (t)dt也是
f ( x)的一个原函数,
F (x ) (x ) C x[a,b]
Yunnan University
§4. 定积分的计算
令 xa F ( a ) ( a ) C ,
(a)a af(t)d t0 F (a)C ,
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t)的值在
[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，
则有
b
a
f ( x)dx
f [ (t)] (t)dt .
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
单位圆的面积
4.
Yunnan University
§4. 定积分的计算
例 13 若 f ( x) 在 [0,1] 上 连 续 ， 证 明
§4. 定积分的计算
一 定积分计算的基本公式
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
[a, b]上的一点，考察定积分
x
a
f
(x)dxax
f (t)dt
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对
于每一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所
以它在[a, b]上定义了一个函数，
② f ( x)为奇函数，则 f( t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )d0x .