复变函数
第一章复变函数
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
大学数学复变函数
大学数学复变函数数学是一门广泛应用于各个领域的学科，不论是物理学、工程学还是经济学，都离不开数学的支持和应用。
而复变函数作为数学中的一个重要分支，具有多样化的性质和广泛的应用。
本文将对大学数学中的复变函数进行详细的介绍和探讨。
一、复变函数的定义与性质复变函数是数学中的一种特殊函数形式，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以写成以下形式：f(z) = u(x, y) + i * v(x, y)其中，z = x + i * y，u(x, y)和v(x, y)分别为实部和虚部。
复变函数的定义可以看作是将复平面上的点z映射到另一个复平面上的点w，从而建立起了一个函数关系。
复变函数有一些重要的性质：1. 解析性：如果在某个区域内，函数f(z)在该区域上处处可导，则称该函数在该区域内解析。
2. 共轭函数：对于一个复变函数，可以定义其共轭函数。
共轭函数是将函数中所有虚部的符号取反而得到的的函数。
3. 调和函数：对于一个复变函数，如果其实部和虚部都是调和函数，则称该函数为调和函数。
4. 周期性：复变函数可以具有周期性，即存在某个常数T，使得f(z + T) = f(z)对于所有的z成立。
5. 极限性质：与实变函数类似，复变函数也具有极限性质，包括一致收敛、点态收敛等。
二、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用领域：1. 电路理论：复数电路理论是电工学中的一个重要部分，复变函数可以用来分析交流电路的性质和行为。
2. 信号处理：在信号处理领域，复变函数有着广泛的应用。
例如，复数域中的傅里叶变换在信号处理中起着重要的作用。
3. 流体力学：复变函数在流体力学中的应用也非常广泛。
例如，通过复变函数可以分析流体的速度场、流线场等。
4. 统计学：复变函数在统计学中也有重要的应用，特别是在复数域中的概率论和数理统计学中。
5. 工程优化：复变函数在工程优化中也发挥着重要的作用。
复变函数
复变函数一、复数与复变函数1、w n =ZW=r 1/n [cos(θ+2ki πn )+isin(a +2ki πn )]其中k 取1、2、3、、、、、n-12、区域是开集，闭区域是闭集，除了全平面既是区域又是闭区域这一个特例外，区域与闭区域是两种不同的点集，闭区域并非区域。
3、单连通域：区域中没有洞和缝多连通域：区域中有洞或者缝二、解析函数1、解析函数：在z 0处可导，且在z 0的领域中可导。
2、解析函数的一个充分必要条件：函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微，而且满足柯西——黎曼方程。
（C-R 方程）∂u ∂x =∂v ∂y ∂u ∂y =−∂v ∂xf(z) =∂u ∂x +i ∂v ∂x =∂v ∂y +i ∂v ∂x =∂u ∂x −i ∂u ∂y =∂v ∂y −i ∂u ∂yC-R 方程为函数f （z ）可导的必要条件4、调和函数和共轭调和函数调和函数：二元实函数φ（x,y ）在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程∂φ2∂x +∂φ2∂y =0 共轭调和函数：φ（x,y ）及ρ(x,y)均在区域D 内的调和函数，且满足C-R 方程函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D 内解析的充分必要条件：在D 内u x,y 是v x,y 的共轭调和函数 5、初等函数指数函数：e iy =cosy+isinye z 是以2ki π为周期的周期函数对数函数：lnz=ln z +iargzLnz= ln z +iArgz= ln z +i(argz+2k π)Ln z 2≠2LnzLn z n ≠1n Lnz幂函数：z α=e αlnz α为正整数，函数为单值函数α=1n n 为正整数 有限值α=z 复数 无限个值三角函数：cosy=e iy +e −iy 2 siny=e iy −e −iy 2i 三、复变函数的积分1、常用的公式dz (z −z 0)n = 2πi n =1 0 n ≠1成立条件：a 、封闭区间的积分b 、z 0在封闭曲线C 的内部C 、被积函数分子为常数2、复合闭路定理3、闭路变形定理4、柯西——古萨定理设函数f （z ）在单连通域D 内解析，则f （z ）在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分f z dz =05、柯西积分公式f(z)在简单闭曲线c 所围成的区域D 内解析，z 0为D 内任一点f(z 0)=12πi f(z)z −z 0dz 6、高阶导数公式f(z)在c 围成的D 内解析，f(z)的各阶导数均在D 内解析，z 0为D 内任一点f z 0（n ）=n ！2πi f(z)(z −z 0)dz7、计算积分的步骤a.分析奇点b.奇点在曲线的内部还是外部c.应用定理四、级数1、常见函数的级数e x =1+x +x 2+x 3+⋯,−∞<x <∞sinz= (−1)n ∞n=0z 2n +1 2n+1 ! e z = z n n!∞n=0cosz= (−1)n ∞n=0z 2n 2n !ln(1+z)= (−1)n ∞n=0z n +1n+111+z= (−1)n ∞n=0z n 11−z = z n ∞n=0 2、幂级数 只有 z −z 0 的正幂次项在其收敛域内可以为解析函数 收敛域：所要求的点到函数所有的孤立奇点最短的距离收敛半径：比值法、根值法函数在一点解析的充分必要条件:它在这点的领域可以展开为幂级数3、泰勒级数设函数f （z ）在区域D 内解析，z 0为D 内的一点，R 为z 0到D 的边界上各点的最短距离，则当 （z −z 0） <R 时，f(z)可展开为幂级数。
复变函数
1 x , lim 2 2 2 x 0 x (1 k ) 1 k
随 k 值的变化而变化 ,
所以 lim u ( x, y ) 不存在,
x →0 y →0
lim v( x, y ) = 0,
x →0 y →0
根据定理一可知, lim f ( z ) 不存在.
z0
证 (二)
令 z r (cos i sin ),
r cos 则 f (z) cos , r
25
当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时, f ( z )趋于不同的值. 例如 z 沿正实轴arg z 0 趋于零时, f ( z ) 1,
π 沿 arg z 趋于零时, f ( z ) 0, 2
故 lim f ( z ) 不存在.
12
4. 反函数的定义:
设w = f ( z )的定义集合为Z 平面上的集合M , 函数值集合为W 平面上的集合M *, 那末M * 中的 每一个点w必将对应着M中的一个(或几个)点.
于是在M *上就确定了一个单值 (或多值)函数 z = ( w ),它称为函数w = f ( z )的反函数, 也称 为映射w = f ( z ) 的逆映射.
13
根据反函数的定义,
w M *, w f [ ( w )],
当反函数为单值函数时, z [ f ( z )], z G .
如果函数 (映射) = f ( z )与它的反函数 w (逆映射) z = ( w )都是单值的, 那末称函数 (映 射) = f ( z )是一一对应的. 也可称集合M 与集 w 合M *是一一对应的.
2
2.单(多)值函数的定义:
如果 z 的一个值对应着一个w 的值, 那末 我们称函数 f ( z ) 是单值的. 如果 z 的一个值对应着两个或 两个以上 w 的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
数学复变函数的基本概念
数学复变函数的基本概念一、引言数学复变函数是复数域上的函数，它在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍数学复变函数的基本概念、性质和应用。
二、复数与复平面复数是实数的扩充，可以写成形式为a+bi的形式，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复平面是由实轴和虚轴组成的平面，通过将复数表示为复平面上的点，实现了运算与几何之间的联系。
三、复变函数的定义复变函数是指定义在复数域上的函数，形如f(z) = u(z) + iv(z)，其中u(z)和v(z)均为实数函数。
复变函数既可以描述平面上的点，也可以描述平面上的区域。
四、复变函数的解析性复变函数的解析性是指函数在某个区域内可导，并且在该区域内的导数处处存在。
解析函数具有许多重要的性质，例如：解析函数的导数也是解析函数。
五、复变函数的调和性复平面上的实部与虚部分别满足拉普拉斯方程，即u_xx+u_yy=0和v_xx+v_yy=0，则复变函数为调和函数。
具有调和性的函数在物理学的电势和流体力学等领域有着广泛的应用。
六、复变函数的整函数如果一个函数在整个复平面上都解析，则该函数称为整函数。
整函数不仅在有限区域内解析，而且在无穷远点也解析。
七、复变函数的级数展开利用级数展开可以将复变函数展开为无穷项的和。
泰勒级数和洛朗级数是常用的级数展开形式，在分析和计算上有着重要的应用。
八、复变函数的留数定理复变函数的留数定理是计算复变函数的积分的重要工具。
根据留数定理，函数在有限奇点上的留数等于该函数在该奇点处的展开式中-1次幂的系数。
九、复变函数的应用复变函数在科学和工程问题中有着广泛的应用。
例如：在电工中可以利用复变函数来计算交流电路中的各种参数；在流体力学中可以利用复变函数描述流体的速度场等。
结论数学复变函数作为一门基础学科，在各个领域都有着重要的地位和应用价值。
通过对其基本概念、性质和应用的学习，可以更好地理解和应用复变函数。
复变函数的概念
复变函数的概念复变函数的概念复变函数是指定义在复平面上的函数，它可以将一个复数映射到另一个复数。
与实变函数不同，复变函数具有更加丰富的性质和应用。
一、复数及其运算要理解复变函数的概念，首先需要了解复数及其运算。
一个复数可以表示为z=x+yi，其中x和y分别表示实部和虚部。
虚数单位i满足i²=-1。
在复数中，我们可以进行加、减、乘、除等基本运算。
其中加法和减法与实数类似，乘法和除法则需要注意公式的推导。
二、复平面及其坐标表示为了更方便地描述和分析复变函数，在平面直角坐标系中引入了一个新的坐标轴——虚轴，并将实轴称为实部轴，虚轴称为虚部轴。
这样就构成了一个二维平面——复平面。
在复平面中，每个点都可以表示为z=x+yi的形式。
这样我们就可以通过坐标来描述每个点，并将其映射到另一个点。
三、复变函数的定义与实变函数类似，对于给定的自变量z∈C（即z是一个复数），如果存在唯一确定的因变量w∈C（即w也是一个复数），则称w是z的函数值，记作f(z)。
四、复变函数的性质与实变函数不同，复变函数具有更加丰富的性质。
以下是一些常见的复变函数性质：1. 解析性：如果一个函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内解析。
2. 共形性：如果一个函数在某个区域内保持角度不变，则称该函数在该区域内共形。
3. 周期性：如果存在一个非零复数c，使得对于所有z∈C，有f(z+c)=f(z)，则称f(z)为周期函数。
4. 解析延拓：如果一个解析函数可以通过某种方式扩展到整个复平面上，则称该解析函数具有解析延拓性质。
五、复变函数的应用由于复变函数具有丰富的性质和应用，因此在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 电路分析：利用复变函数可以方便地描述电路中电流和电压等物理量之间的关系。
2. 流体力学：利用共形映射可以将流体力学问题转化为更简单的几何问题。
3. 计算机图形学：利用复变函数可以方便地描述图形的旋转、缩放等变换。
1-3复变函数
和函数 w = u + iv ( w = ρ e iϕ )
第二步：根据映射， 第二步：根据映射，找 出 u, v与 x , y的关系
第三步： 的关系， 的关系式， 第三步：根据 x , y的关系，定 u , v的关系式， 即可得到像的图形。 即可得到像的图形。
15
三、函数的极限
1.函数极限的定义 函数极限的定义: 函数极限的定义
w = z →
2
v o
4
−2
o
2
u
平行于 v 轴的直线.
10
例1 在映射 w = z 2 下求下列平面点集在 w 平面
上的象 :
π ( 3) 扇形域 0 < θ < , 0 < r < 2. 4 解 设 z = re iθ , w = ρe iϕ , 则 ρ = r 2 , ϕ = 2θ ,
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB; f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似. 与实变函数的极限运算法则类似
18
Re( z ) 当 z → 0 时的极限 例3 证明函数 f ( z ) = z 不存在.
u v + = 1. 关系式： 即得 u, v 关系式： 2 2 5 3 2 2 表示 w 平面上的椭圆 .
14
2 2
总结， 总结，求 z 平面上的图形在某映射 平面上的像集： 在 w 平面上的像集：
第一步： 第一步：先设出自变量
下,
z = x + iy ( z = re iθ ),
设函数 w = f ( z ) 定义在 z0 的去心邻域 0 < z − z0 < ρ 内, 如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 ε > 0, 相应地必有一正数 δ (ε ) 使得当 0 < z − z0 < δ (0 < δ ≤ ρ )时, 有 f ( z ) − A < ε 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限 .
复变函数公式及常用方法总结
复变函数公式及常用方法总结复变函数是指在复平面上定义域为复数集的函数。
复变函数与实变函数不同，其定义域和值域都是复数集合，因此需要引入复数的运算和性质来研究这类函数。
复变函数在数学以及物理、工程学等领域有广泛的应用，如电路分析、信号处理、流体力学等。
1.复变函数的定义与性质：复变函数可以用以下形式表示：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy；u(x, y)和v(x, y)为实变量x和y的实函数。
复变函数的一些性质如下：(1)复变函数可以进行加减、乘法和除法运算；(2)复变函数的连续性：若f(z)在特定点z0处连续，则其实部和虚部在该点均连续；(3)复变函数的解析性：若f(z)在特定点z0处可导，则其在该点解析；若f(z)在定义域内每一点都解析，则称其为全纯函数；(4)复变函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程式：∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0和∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2.常用的复变函数：(1)幂函数：f(z)=z^n，其中n为整数；(2) 指数函数：f(z) = e^z = e^(x+iy) = e^x * e^(iy) = e^x * (cosy + isiny)；(3) 对数函数：f(z) = ln(z)；(4) 三角函数：正弦函数f(z) = sin(z)，余弦函数f(z) = cos(z)，正切函数f(z) = tan(z)等；(5) 双曲函数：双曲正弦函数f(z) = sinh(z)，双曲余弦函数f(z)= cosh(z)，双曲正切函数f(z) = tanh(z)等。
3.复变函数的常用方法：(1)极坐标表示法：将复数z表示为模长r和辐角θ的形式：z=r*e^(iθ)。
在极坐标下，复变函数的运算更加方便，例如可以用欧拉公式将指数函数表示为e^(iθ)的形式。
(2) 复变函数的导数：复变函数的导数可以用极限的形式表示，即f'(z) = lim(h→0) [f(z+h) - f(z)] / h。
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充要条件
• 偏导数 ux ，vy ， vx ，uy 连续 • 满足C-R条件
f ( z ) u iv u v lim i x x0 x x0 z x x x y y lim
0
意义
• 可导函数的虚部与 实部不是独立的， 而是相互紧密联系 的。
x x0 y y0
复变函数
100 50 10 5 0 -5 0 5 10 -10 -5 0 -50 -100 -10
基本函数
二次函数
• 定义
• w = z2
• 分析
• u + iv = (x+iy)2 = x2 +2ixy -y2 • u = x2 -y2 , • v = 2xy
200 100 0 -100 -200 -10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10
• 性质
• • • • 对称性 无周期性 无界性 单值性
复变函数
2000 1000 0
10 5 0 -5 -5 5 10 -10
三次函数
• 定义
• w= z3
-1000 -2000 -10 0
• 分析
• u + iv = (x+iy)3 = x3 +3ix2y-3xy2 -iy3 • u = x3 – 3xy2 , • v = 3x2y - y3
• u + iv = exp(x+iy) = exp(x)[cosy +i siny] • u = exp(x) cos y , • v = exp(x) sin y
• 性质
• 不对称性 • 周期性 • exp(z+2i)= exp(z) • 无界性 • 单值性
4 2 0 -2 -4 -2 -1 0 1 2 -5 0 -2.5 5 2.5
例子：
• (sin2z)’ = 2 sin z cos z • [exp(z2 )]’ = 2 z exp(z2 ) • (z3)” = 6 z
复变函数的导数
导数的意义
微商表示
• f’(z) = dw/dz
模：
• |f’(z)|= |dw|/|dz|
幅角：
• Arg[f’(z)] = Arg(dw) - Arg(dz)
解析函数
定义
点解析
• 函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导
区域解析
• 函数f(z)在区域B上每一点都解析
性质
调和性
• 解析函数的实部与虚部都是调和函数， • 即 △u=uxx + uyy = 0, △v=vxx + vyy = 0
正交性
• 解析函数的实部与虚部梯度正交， • 即 uv=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 • 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。
• 联系
• u = u(x,y), v = v(x,y) • 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。
复变函数
结构
• 相同点：
• 复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。
• 不同点：
• 基本实变函数 • xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x) • 基本复变函数 • zn, z1/n,exp(z),ln(z) • 原因 • cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i
• 性质
• • • • 对称性 无周期性 无界性 单值性
2000 1000 0 -1000 -2000 -10 -5 0 5 10 -10 -5 5 0Biblioteka 10复变函数5
指数函数
• 定义
• w = exp(z)
2.5 0 -2.5 -5 -2 -1 0 1 2 -5 0 -2.5 5 2.5
• 分析
复变函数
2
对数函数
• 定义
• w = Ln(z)
1.5 1 0.5 0 1 2 3 4 5 1 4 3 2
• 分析
• u + iv = Ln [ r × exp(iφ)] = ln r + iφ • u = ln r, • v=φ
• 性质
• • • • 对称性 非周期性 无界性 多值性：|φ|
复 变 函 数
有理函数
复变函数的分类
复变函数（广义）
复数数列
复变函数（狭义）
初等函数
非初等函数
代数函数
超越函数
无限次运算
无限次复合
无理函数
级数
无穷乘积
整式
分式
幂级数
傅立叶级数
复变函数
分析与比较
定义域和值域
• 相同点：
• 都是数集
• 不同点：
• 实数集是一维的，可以在(直)线上表示； • 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。
• 性质
• • • • 对称性 周期性 无界性 单值性
20 4 0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
复变函数的导数
基本概念
实变函数 复变函数
z z0
极限 连续 导数
x x0
lim f ( x) A
lim f ( z ) A
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
三角表示
• z = r (cosφ + i sinφ)
• r = |z|, φ= Arg(z)
指数表示
• z = r exp(iφ)
• exp(iφ) = cosφ + i sinφ
复数
几何表示
关系
• • • • x = r cosφ y = r sinφ r = √(x2+y2) φ= Arctan(y/x)
• 典型例子：
• |x|<2 是连通的， 1<|x|是不连通的； • |z|<2是单连通的， 1<|z|是复连通的。
复变函数
映射
• 相同点
• 在形式上：y = f(x), w = f(z)
• 不同点
• 在变量上：z = x+iy, w = u+iv • 在描述上： • 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示； • 复变函数不能用一个图形完全表示。
解析函数
例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势 u(x,y)。 分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式， 电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。 解：设电势为 u=f(x2+y2) ux=2xf’, uxx=2f’+4x2f” uy=2yf’, uyy=2f’+4y2f” uxx+uyy=4f’+4(x2+y2)f”=0 令 t = x2+y2, g = f’(t) g +t g’ = 0 g = -ln t +C f=
数学物理方法
复变函数论
复变函数论
复数 复变函数 导数 解析函数 本章小结
复数
数的扩张（完善化）
自然数 减法不封闭→整数 除法不封闭→有理数 不完备√2 →实数 方程可解性→复数
复数
复数的表示
代数表示
• z = x + iy
• x = Real(z), y = Imagine(z)
复变函数
更多的例子
• • • • • • • • • • • w w w w w w w w w w w = = = = = = = = = = = az2 az2 + bz +c 1/(az + b) √(az + b) Ln(az + b) sin z Arccos z ∑ an zn ∑ an sin(nωz) ∏(1-z2/n22) ∫exp(-z2)dz
lim
f ( z) u iv v u lim i y y 0 z iy y y
复变函数的导数
典型情况
初等函数在定义域内都可导； 函数Re(z),Im(z),|z|, Arg(z), z*不可导。 法则：
• 复变函数的求导法则与实变函数完全相同；
导数的计算
1 0 -1 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1
复变函数
20 4
三角函数
• 定义
• w = sin(z)
0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
• 分析
• u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y) • u = sin(x)ch(y) , • v = cos(x)sh(y)
解析函数
应用
例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方 程。 分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一 个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。 解：设电力线为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy) v = 2xy 注意：电力线方程的一般形式为 f(2xy)=C
复共轭
• z = x + iy → z* = x – iy • z = r exp(iφ) → z* = r exp(-iφ)