复变函数 3.2Cauchy积分定理的证明

是在D内确定的一个函数。取z0 D, 并取z D与z0 充分接近，把 z z0 F ( z ) F ( z0 ) f ( )d f ( )d

定理3.2 设 f(z)是单连通区域 D 的解析函数， 那么f(z)在D内有原函数。 证明：取定 D, 任取z D ，由定理3.1，得 z F ( z ) f ( ) d
引理的证明
用U表示周界 的长度，于是周界(n ) 的长度是
| (n)

M f ( z )dz | n , (n 0,1,2,...) 4
现在估计

( n )
U (n 1,2,...) n 2 f ( z )dz 的模。
由于三角形序列中每一个每一个包含它后面的 全部三角形，而且 Un 0(n )
有原函数 F0 ( z ) 。 由于 C 是一个紧集，由数学分析中的有限覆盖 定理，存在有限个圆盘覆盖了 C ；把这些圆盘 按反时针方向依次排列为
K1 , K 2 ,..., K n 1
柯西定理的证明：
并且用
F1 ( z ), F2 ( z ),..., Fn1 ( z )
表示f(z)在这些圆盘中的原函数。取
1 C K1 , 2 C K1 K 2 , ..., n 1 C K n 2 K n 1 , n C K n 1 K1
1 , 2 ,..., n1 n , 1 其中 是C上依序按反时针方向取的。由引理2.3，有
例2：
1 例2、在圆环内D : R1 | z | R2 (0 R1 R2 ), f ( z ) z z 及z . 解析，在D内取定两点
0 1
作连接 z 0 及z1 的两条简单曲线 C1及C2 ，取定 Argz在 z 0 的值为 arg z 0 。 当z沿 C1 从 z 0 连续变动到 z1 时，z的幅角从 arg z0 连续变动到 arg z1 。 于是当z沿 C2 从 z 0 连续变动到 z1 时，z的幅 角从arg z0连续变动到 arg z1 2 。
F ' ( z0 ) f ( z0 ).
例1
例1、设D是不含a的一个单连通区域，并且 z0 , z D 那么
d 1 1 1 z0 ( a)m 1 m [( z a)m1 ( z0 a)m1 ] 其中 m 是不等于1的整数。另外，还设 D 在复平 面上沿从 a 出发的任何射线割开而得得区域内 ，我们有 z d z0 a ln( z a) ln( z0 a), 其中对数应理解为Ln(z-a)在D内的一个解析分 支在z及z 0 的值。
而


C'
C'
f ( z )dz 0
f ( z )dz
C C1
f ( z )dz
C
C C1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
C1
所以定理的结论成立。
定理3.1‘
定理3.1’ 设C 是一条简单闭曲线，函数 f(z)在 以C为边界的有界闭区域D上解析，那么

于是当n充分大时，
| ( n ) dz || ( n ) [ f ( z ) f ( z0 ) ( z z0 ) f ' ( z0 )]dz |

U U U2 n n n 2 2 4
引理的证明
因此 即
M U n n 4 4
2
M U
2
由于的任意性，我们得到M=0。

定理3.2的证明：
D 中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其 中一条是另一条曲线 z 0 与连接及z的线段的并
集。于是有
F ( z ) F ( z0 ) ( z z0 ) f ( z0 ) [ f ( ) f ( z0 )]d
z0 z
这里积分是沿 z 0 及z的联线取的，同样可证， 有

C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz ...
C0 C1
f ( z )dz 0
Cn
柯西定理的注解：
也有：

C0
f ( z )dz f ( z )dz ... f ( z )dz
C1 Cn
柯西定理的注解：
注解4、上面规定区域D的方向称为正向，以后， 我们总是规定取正向，除非另有说明； 注解5、多连通区域内的不定积分与多值函数： 设f(z)是多连通区域D的解析函数。在D内作连接 z 0 及z两点的任一条简单曲线。在某两条这样 的曲线所包成的闭区域上，f(z)可能不解析，因 此不能应用柯西定理，所以f(z)沿这两条曲线的 积分可能不相等。假定这两个积分不相等。那么 函数： z F ( z ) f ( )d z
2
因此由数学分析中的闭区域套定理，得存在着 一点 z 0 属于序列中的所有三角形。
引理的证明
又因为f(z)在 z 0 有导数
f ' ( z0 ) ，所以
0, 0 使得当 z D并且0 | z z0 | 时
f ( z ) f ( z0 ) f ' ( z0 ) z z0
其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。 （2） C是在D内连接z 0 及z两点的任一条简单曲 线，那么沿C从z 0 到z的积分值由 z 0 及z所确定， 而不依赖于曲线C，这时，积分记为.

z
z0
f ( )d
2 几个引理
引理3.1 设 f(z)是在单连通区域 D 内的解析函 数。设C是D内的一个多角形的周界。那么
0

d
C2

ln z1 ln z0 2i.

d
Ck
相应于连接 z0及z1 的其它曲线，还可得到F(z) 在D内的其它解析分支，F(z)就是对数函数。


z
d
z1

ln z1 ln z0
z
d
z1

2(k 1)i(k 1,2)
4 不定积分
设 f(z) 及 F(z) 是 区 域 D 内 确 定 的 函 数 ， F(z)是 D 内的一个解析函数，并且在 D 内，有 F’(z)=f(z)，那么函数F(z)称为f(z)在区域是D 内的一个不定积分或原函数；除去可能相差一 个常数外，原函数是唯一确定的。即f(z)的任 意两个不定积分或原函数的差是一个常数。事 实上，设 F(z)及 G(z)都是 f(z)在区域是 D 内的 原函数，则有
第三章 复变函数的积分
第二节 柯西积分定理
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第二节 柯西积分定理
1 2 3 4 柯西积分定理 柯西积分定理的证明 不定积分 柯西积分定理的推广
1 柯西定理
定理3.1 设f(z)是单连通区域D的解析函数， （1）设C是D内任一条简单闭曲线，那么

C
f ( z )dz 0
例2
现在求
1

沿的 C 积分。令 ei
1
，则
d ei d iei d
从而

d
C1


d
C1

i d
C1
ln | z1 | ln | z0 | i (arg z1 arg z0 ) ln z1 ln z0
例2：
同样求得 这样，在含z1 的一个单连通区域 在D内）内 （ ，相应 C1及C2 ，多值函数 z d F ( z) z 有两个不同的解析分支
且有
U f ( z ) f ( z0 ) ( z z0 ) f ' ( z0 ) n 2 其次，由于 ( n ) dz 0, ( n ) zdz 0,

U | z z0 | n 2
，所以 ，我们有

( n )
dz ( n ) [ f ( z ) f ( z0 ) ( z z0 ) f ' ( z0 )]dz,
k k 1

C
f ( z )dz
k 1
n
k k 1
f ( )d
因为构成中的一条闭合折线，所以由引理2.1 ，得

C
f ( z )dz 0;
柯西定理证明
下面证明（2）成立。设C1 是在D内连接 z 0 及z C ' C C1 是D内的 两点的另一条简单曲线。则 一条简单闭曲线，由（1），有
于是当 z D并且0 | z z0 | 时
f ( z ) f ( z0 ) ( z z0 ) f ' ( z0 ) | z z0 |
显然，当n充分大时，( n )包含在 | z z0 | 所确定的圆盘内，因此当 z (n ) 时，上式成立。
引理的证明

C
f ( z )dz 0
在这里沿C的积分是按反时针方向取的。
证明：先对 C 是三角形周界的情形进行证明， 然后证明一般情形。
引理的证明
（1）C为三角形的周界 设
| f ( z )dz | M


下面证明M=0。 等分给定的三角形的每一边，两两连接这些分 点，给定的三角形被分成四个全等的三角形， 1 , 2 , 3 , 4 我们显然有：
z
柯西定理的注解：
注解1、我们可以用原函数求解析函数的积分； 注解2、区域的单连通性不能直接取掉。 注解3、柯西定理可以推广到多连通区域：设有 n+1条简单闭曲线 C0 , C1 ,..., Cn , 曲线 C1 ,..., Cn 中每一条都在其余曲线的外 区域内，而且所有这些曲线都在 C0 的内区域， 围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个 闭区域 D 。