复变函数教案3.3

第三章
教学课题：第三节 柯西积分公式及其推论
教学目的：1、充分掌握柯西积分公式以及其解析函数的平均值定理；
2、了解柯西高阶导数分公式；
3、切实掌握解析函数的无穷可微性；
4、理解柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画。

教学重点：柯西积分公式；
教学难点：柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画
教学方法：启发式
教学手段：多媒体与板书相结合
教材分析：柯西积分公式是解析函数的积分表达式，可以帮助我们详细地去研究解析函数的局部性质。

柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式。

教学过程：
1、柯西积分公式：
定理3.11设f (z )在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，则有
其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，这就是柯西积分公式。

它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。

证明：设D z ∈，显然函数在z
f -ζζ)(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析。

以到z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC 。

在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD 。

在ρD 上，ζ的函数)(ζf 以及z
f -ζζ)(解析，所以有 其中，沿曲线C 的积分是按关于D 的正向取的，沿ρC 的积分是按反时针方向取的。

因此，结论成立。

说明：f(z)沿C 的积分为零。

考虑积分
则有：（1）被积函数在C 上连续，积分I 必然存在；
（2）在上述闭圆盘上0
)(z z z f -不解析，I 的值不一定为0，例如i I z f π21)(=≡时，； 现在考虑f (z )为一般解析函数的情况。

作以为
0z 心，以)0(0ρρρ<<为半径的圆ρC ，由柯西定理，得
因此，I 的值只f (z )与在点
0z 附近的值有关。

令θρi e z z =-0， 则有
由于I 的值只f (z )与在点
0z 附近的值有关，与ρ无关，由f (z )在点0z 的连续性，应该有)(20z if I π=，即
事实上，当ρ趋近于0时，有
由于由f (z )在点0z 的连续性，所以)(0,00ρδδε≤>∃>∀，使得当ρδρC z ∈<<,0时，ε<-|)()(|0z f z f ，因此
即当ρ趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋近于0；而i dz z z C πρ210
=-⎰，因此，结论成立。

注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。

注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。

注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。

2、解析函数的无穷可微性
定理3.12 设D 是以有限条简单闭曲线C 为边界的有界区域。

设f (z )在D 及C 所组成的闭区域D 上解析，那么f (z )在D 内有任意阶导数
,...)3,2,1( )()(2!)(1
)(=-=⎰+n d z f i n z f C n n ζζζπ, 证明：先证明结论关于n =1时成立。

设D h z ∈+是D 内另一点。

只需证明，当h 趋近于0时，下式也趋近于0
现在估计上式右边的积分。

设以z 为心，以2d 为半径的圆盘完全在D 内，并且
在这个圆盘内取z+h ，使得0<|h|<d ，那么当D ∈ζ时，
设|f (z )|在C 上的一个上界是M ，并且设C 的长度是L ，于是我们有
因此当h 趋近于0时，要证的积分趋于0。

现在用数学归纳法完成定理的证明。

设n=k 时，结论成立。

取z 及z+h 同上，那么有
由此证明，当h 趋近于0时，上式的右边趋于0，于是定理的结论当n =k+1时成立。

定理3.13 设函数f (z )在区域D 内解析，那么f (z )在D 内有任意阶导数。

注解1、以上讨论表明，函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异；
注解2、任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；
3、柯西不等式与刘维尔定理
柯西不等式 设函数f (z )在以
)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界
的闭圆盘上解析，那么
其中 )0(|)(|max )(0||0ρρρρ
≤<==-z f M z z 。

证明：令ρC 是圆)0(||00ρρρ≤<=-z z ，那么，由导数公式，有
其中，n=0,1,2,…;0!=1。

注解1、上面的不等式称为柯西不等式。

注解2、如果在C 上解析，那么我们称它为一个整函数，例如z e z z ,cos ,sin 等。

关于整函数，我们有下面的刘维尔定理：
刘维尔定理 有界整函数一定恒等常数。

证明：f (z )是有界整函数，即存在),0(+∞∈M ，使得M z f z <∈∀|)(|C,。

),0(,C 0+∞∈∀∈∀ρz ，f (z )在}|||{0ρ<-z z z 上解析。

由柯西公式，有ρ/|)('|0M z f ≤，令+∞→ρ，可见0)(',C 00=∈∀z f z ，从而f (z )在C 上恒等于常数。

4、莫勒拉定理：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，称
为莫勒拉定理。

定理3.14 如果函数f (z )在区域D 内连续，并且对于D 内的任一条简单闭曲线C ，我们有
那么f (z )在区域D 内解析。

证明：,C 0∈∀z 作以0
z 为心的圆盘D K ⊂。

在凸区域K 内，函数f (z )连续，并且对于K 内任何一个三角形的周界C ，则可以证明f (z )在K 内有原函数F (z )，即)()('z f z F =∃。

于是F (z )在K 内解析。

由系4.1，f (z )在K 内，在0
z 解析，从而有任意阶导数。

又因为0
z 的任意性，结论成立。

定理3.15 f (z )在区域G 内解析的充要条件是
（1） f (z ) 在区域G 内连续，
（2） 对任意纬线C ，只要C 及其内部全含于G 内，就有。