复变函数教案1.2

第一章 复数与复变函数
教学课题：第二节 复平面上的点集
教学目的：1、理解关于平面点集的几个基本概念；
2、理解区域与约当曲线这两个重要概念；
3、了解约当定理和区域的连通性。

教学重点：平面点集的几个基本概念
教学难点：区域与约当曲线
教学方法：启发式教学
教学手段：多媒体与板书相结合
教材分析：理解关于平面点集的几个基本概念、掌握区域与约当曲线这两个重要概念、了解约当定理和区域的单连通和多连通，对于学好该门课程具有重要的作用。

教学过程：
1、平面点集的几个基本概念：
定义1.1 设),0(, +∞∈∈r C a ，a 的r -邻域),(r a U 定义为
},,|| |{C z r a z z ∈<-
称集
},,|| |{C z r a z z ∈≤-
为以a 为中心，r 为半径的闭圆盘，记为),(r a U 。

定义1.2设C a C E ∈⊂,，
若E r a U r ⋂>∀),(,0中有无穷个点，则称a 为E 的极限点；
若0>∃r ，使得E r a U ⊂),(，则称a 为E 的内点；
若E r a U r ⋂>∀),(,0中既有属于E 的点，又有不属于E 的点，则称a 为E 的边界点；
集E 的全部边界点所组成的集合称为E 的边界，记为E ∂；
E E ∂⋃称为E 的闭包，记为E ；
若0>∃r ，使得}{),(a E r a U =⋂，则称a 为E 的孤立点（是边界点但不是聚
点）；
定义1.3 开集：所有点为内点的集合；
闭集E ：或者没有聚点，或者所有聚点都属于E ；则任何集合E 的闭包E 一定是闭集；
定义1.4如果0>∃r ，使得),0(r U E ⊂，则称E 是有界集，否则称E 是无界集；
复平面上的有界闭集称为紧集。

例1、圆盘),(r a U 是有界开集；闭圆盘),(r a U 是有界闭集；
例2、集合}|||{r a z z =-是以a 为心，半径为r 的圆周，它是圆盘),(r a U 和闭圆盘),(r a U 的边界。

例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。

例4、集合}||0|{r a z z E <-<=是去掉圆心的圆盘。

圆心E a ∂∈，它是E ∂的孤立点，是集合E 的聚点。

无穷远点的邻域：0>∀r ，集合},|||{∞∈>C z r z z 称为无穷远点的一个邻域。

类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。

∞C 我们也称为C 的一点紧化。

2、区域、约当（Jordan ）曲线：
定义1.5复平面C 上的集合D ，如果满足：
（1）、D 是开集；
（2）、D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D 。

则称D 是一个区域。

结合前面的定义，有有界区域、无界区域。

性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。

区域D 内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。

扩充复平面∞C 上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C
上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。

设已给
)(),(b t a t z z ≤≤=
如果)(Re t z 和)(Im t z 都在闭区间],[b a 上连续，则称集合]},[|)({b a t t z ∈为一条连续曲线。

如果对],[b a 上任意不同两点1t 及2t ，但不同时是],[b a 的端点，我们有)()(21t z t z ≠，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或约当曲线。

若还有)()(b z a z =，则称为一条简单连续闭曲线，或约当闭曲线。

约当定理：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。

光滑曲线：如果)(Re t z 和)(Im t z 都在闭区间],[b a 上连续，且有连续的导函数，在],[b a 上，0)('≠t z 则称集合]},[|)({b a t t z ∈为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。

设D 是一个区域，在复平面C 上，如果D 内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于D ，则称D 是单连通区域，否则称D 是多连通区域。

∞C 中区域的连通性：如果D 内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于D ，则称D 是单连通区域，否则称D 是多连通区域。

例1、 集合}0)1()1(|{>++-z i z i z 为半平面，它是一个单连通无界区域，其边
界为直线
0)1()1(=++-z i z i
即0=+y x 。

例2、 集合}3Re 2|{<<z z 为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界
为直线2Re =z 及3Re =z 。

例3、 集合}3)arg(2|{<-<i z z 为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为
半射线
2)arg(=-i z 及3)arg(=-i z 。

例4、 集合}3||2|{<-<i z z 为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为
圆2||=-i z 及3||=-i z 。

例5、 在∞C 上，集合}||2|{+∞≤<z z 与}||2|{+∞<<z z 分别为单连通及多连通的
无界区域，其边界分别为}2|{|=z 及}{}2|{|∞⋃=z 。

定义1.6设连续弧AB 的参数方程为)(),(βα<<=t t z z
任取实数列{}βα=<<<<=-n n n t t t t t 110:
并且考虑AB 弧上对应的点列：
)3,2,1(),(n i t z z i i ==
将它们用以折线n Q 连接起来，n Q 的长度
∑=--=n
i i i n t z t z I 11)()(
如果对于所有的数列，上述都有界，责成AB 弧为可求长的。

上确界n I L sup =称为AB 弧的长度。

定义1.7 设简单（或简单闭）曲线C 的参数方程为
),(),()(βα≤≤+=t t iy t x z
又在βα≤≤t 上，)(),(t y t x ''存在、连续且不全为零，则C 称为光滑（闭）曲线。

定义1.8 有有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线成为逐段光滑曲线。

特别，简单折线是逐段光滑曲线。

定理（约当定理）任意简单闭曲线C 将平面z 惟一地分成C 、I （C ）、 E （C ）三个电集，它们具有如下性质：
（1）、彼此不交；
（2）、I （C ）是一个有界区域（称为C 的内部）；
（3）、E （C ）是一个无界区域（称为C 的外部）；
（4）、若简单折线P 的端点属于I （C ），另一个端点属于E （C ），则P 必与C
相交。

沿着一条简单闭曲线C有两个相反的方向，其中一个方向是: 当观察者顺次方向沿C前进一周时，C的内部一直在C的左边，即“逆时针”方向，成为正方向；另一个方向是: 当观察者顺次方向沿C前进一周时，C的外部一直在C的左边，即“顺时针”方向，成为负方向。

定义1.9 设D 为复平面上的区域，若在D内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于D，则称D为单连通区域。

否则，称为多连通区域。