复变函数教案51.docx
大学复变函数教案模板范文
课程名称：复变函数授课对象：大学本科生课时安排：8课时教学目标：1. 理解复变函数的基本概念，包括复数、复变函数、解析函数等；2. 掌握复变函数的运算方法，如求导、积分、级数展开等；3. 了解复变函数在几何、物理、工程等领域的应用；4. 培养学生分析问题和解决问题的能力。
教学内容：1. 复数及其运算2. 复变函数的概念与性质3. 解析函数及其应用4. 复变函数的积分5. 复变函数的级数展开6. 复变函数的应用教学重点：1. 复数及其运算2. 解析函数及其应用3. 复变函数的积分教学难点：1. 解析函数的判定2. 复变函数的积分计算教学过程：一、导入1. 回顾实变函数的基本概念，引出复变函数；2. 介绍复变函数在各个领域的应用，激发学生的学习兴趣。
二、教学内容1. 复数及其运算（1）讲解复数的概念，包括实部、虚部、模、辐角等；（2）介绍复数的四则运算，如加减、乘除等；（3）举例说明复数在几何中的应用。
2. 复变函数的概念与性质（1）讲解复变函数的定义，包括函数、映射、域等；（2）介绍复变函数的性质，如连续性、可导性、解析性等；（3）举例说明复变函数在几何中的应用。
3. 解析函数及其应用（1）讲解解析函数的定义，包括定义域、值域、导数等；（2）介绍解析函数的性质，如可导性、解析性等；（3）举例说明解析函数在几何、物理、工程等领域的应用。
4. 复变函数的积分（1）讲解复变函数积分的定义，包括积分路径、积分区域等；（2）介绍复变函数积分的计算方法，如直接计算、参数方程等；（3）举例说明复变函数积分在几何、物理、工程等领域的应用。
5. 复变函数的级数展开（1）讲解复变函数级数展开的定义，包括泰勒级数、傅里叶级数等；（2）介绍复变函数级数展开的计算方法，如直接展开、间接展开等；（3）举例说明复变函数级数展开在几何、物理、工程等领域的应用。
三、课堂小结1. 回顾本节课的主要内容，强调重点、难点；2. 鼓励学生在课后复习巩固所学知识。
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教学目标：1. 理解复变函数的基本概念和性质。
2. 掌握复变函数的运算和微分、积分方法。
3. 熟悉复变函数的典型例子和应用。
4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1. 复变函数的定义和性质。
2. 复变函数的运算、微分和积分。
3. 典型复变函数的应用。
教学难点：1. 复变函数的运算、微分和积分的计算方法。
2. 复变函数的应用。
教学过程：一、导入1. 引入复数的基本概念，引导学生回顾实数的运算和性质。
2. 引出复变函数的定义，强调其在实际应用中的重要性。
二、新课讲解1. 复变函数的定义：函数f(z)在复平面上的每个点z都对应一个唯一的实数f(z)，则称f(z)为复变函数。
2. 复变函数的性质：奇偶性、周期性、连续性等。
3. 复变函数的运算：加减法、乘除法、乘幂、开方等。
4. 复变函数的微分：导数、偏导数、全微分等。
5. 复变函数的积分：曲线积分、面积分、曲线积分与路径无关等。
6. 典型复变函数的应用：解析函数、共形映射、留数定理等。
三、课堂练习1. 给学生发放练习题，要求学生在规定时间内完成。
2. 教师巡视课堂，解答学生疑问。
四、课堂总结1. 回顾本节课所讲内容，强调重点和难点。
2. 对学生的练习情况进行点评，指出优点和不足。
五、课后作业1. 布置课后作业，巩固所学知识。
2. 要求学生在下次课前完成作业，并提交给教师。
教学反思：1. 在教学过程中，注重引导学生理解和掌握复变函数的基本概念和性质，提高学生的逻辑思维能力。
2. 通过实例讲解，使学生了解复变函数在实际应用中的重要性。
3. 注重课堂练习，提高学生的动手能力。
4. 课后作业的布置，帮助学生巩固所学知识，提高学习成绩。
备注：本教案仅供参考，教师可根据实际情况进行调整。
复变函数教案
《复变函数》教案目录第一次课………………复数第二次课………………复平面上的点集第三次课………………复变函数复球面与无穷远点第四次课………………解析函数的概念与柯西-黎曼方程第五次课………………初等解析函数第六次课………………初等多值函数第七次课………………复积分的概念及其简单性质第八次课………………柯西积分定理第九次课………………柯西积分公式及其推论第十次课………………解析函数与调和函数的关系第十一次课……………复级数的基本性质第十二次课……………幂级数第十三次课……………解析函数的泰勒展式第十四次课……………解析函数零点的孤立性及惟一性定理第十五次课……………解析函数的洛朗展开式第十六次课……………解析函数的孤立奇点第十七次课……………孤立奇点在无穷远点的性质整函数与亚纯函数的概念第十八次课……………留数第十九次课……………用留数计算实积分第二十次课……………辐角原理及其应用第二十一次课…………解析变换的特性第二十二次课…………分式线性变换第二十三次课…………某些初等函数所构成的共形映射关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理第二十四次课…………总复习第一次课：复数一．教学目的：1．掌握复数的四则运算及共轭运算；2．熟练掌握复数的各种表示法；3．熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。
二．教学重点：复数的三角表示和复数的乘方与开方。
三．教学难点：用复数形式方程（或不等式）表示平面图形来解决有关几何问题的方法。
四．教学方法：启发式、讨论式五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等。
六．教学过程：[引言]：（约10分钟）简述复分析的发展历史、复变函数的主要内容及其应用背景以及学习该课程应该注意的方法，引入本课主题。
●复数的基本概念（约5分钟）1．虚数单位。
2．实部与虚部。
3．共轭复数。
●复数的四则运算（约20分钟）1．复数的加、减、乘和除法运算。
2．复数运算的性质。
举例并让学生穿插进行练习。
●复数的几何表示（约20分钟）1．复平面。
大学复变函数教案
课时安排：2课时教学目标：1. 使学生掌握复数的基本概念和运算规则；2. 使学生了解复变函数的定义、性质和分类；3. 使学生掌握复变函数的积分、级数和留数等基本理论；4. 培养学生运用复变函数解决实际问题的能力。
教学重点：1. 复数的基本概念和运算规则；2. 复变函数的定义、性质和分类；3. 复变函数的积分、级数和留数等基本理论。
教学难点：1. 复变函数的积分、级数和留数等理论的理解和运用；2. 利用复变函数解决实际问题的能力。
教学过程：第一课时一、导入1. 复数的引入：从实数引入，说明实数无法解决的数学问题，进而引入复数。
2. 复数的基本概念：实部、虚部、模、辐角等。
二、新课内容1. 复数的运算：加法、减法、乘法、除法、共轭复数等。
2. 复变函数的定义：定义域为复数集，值域为复数集的函数。
3. 复变函数的性质：奇偶性、周期性、连续性等。
4. 复变函数的分类：解析函数、解析函数的连续性、解析函数的导数等。
三、课堂练习1. 复数的运算练习；2. 复变函数的性质和分类练习。
四、课堂小结1. 复数的基本概念和运算规则；2. 复变函数的定义、性质和分类。
第二课时一、导入1. 复变函数的积分：介绍复变函数积分的定义、性质和计算方法。
2. 复变函数的级数：介绍复变函数级数的定义、性质和计算方法。
二、新课内容1. 复变函数的积分：a. 定义：从曲线积分引入，说明复变函数积分的定义；b. 性质：线性、连续性、对称性等；c. 计算方法：格林公式、柯西积分公式等。
2. 复变函数的级数：a. 定义：从实数级数引入，说明复变函数级数的定义；b. 性质：收敛性、级数和的连续性等；c. 计算方法：幂级数、泰勒级数等。
三、课堂练习1. 复变函数的积分练习；2. 复变函数的级数练习。
四、课堂小结1. 复变函数的积分、级数等基本理论；2. 利用复变函数解决实际问题的能力。
教学反思：1. 通过本次课程的学习，使学生掌握复变函数的基本概念、性质和理论；2. 通过课堂练习，提高学生的实际操作能力；3. 在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
复变函数教案
复变函数教案一、引言复变函数作为数学分析中的重要概念，在学生学习过程中往往会遇到一定的困难。
本教案旨在通过系统化的教学内容和生动活泼的教学方式，帮助学生更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
二、基本概念1. 复数的定义与运算规则- 复数的定义：复数是由实数和虚数部分组成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
- 复数的加法和减法规则- 复数的乘法和除法规则2. 复变函数的定义与性质- 函数的复数定义：将复数作为自变量和因变量的函数。
- 复变函数的连续性与可微性- 复变函数的共轭与模三、复变函数的分析1. 函数的解析性- 函数的柯西黎曼方程- 柯西黎曼方程的应用2. 解析函数的性质- 洛朗级数展开- 单值函数与多值函数的区别3. 复积分的应用- 柯西定理与柯西积分公式- 留数定理与留数定理的应用四、实例分析与练习1. 复变函数的图形绘制- 零点、极点和奇点的图形表示- 复平面上的路径积分计算2. 复变函数的级数展开- 泰勒级数与洛朗级数的计算- 级数展开在解析函数中的应用3. 练习题与解析- 通过实例题目引导学生独立思考和解决问题 - 深化对复变函数知识的理解和应用五、教学方法与评价1. 采用案例分析法- 引入生活中的实际问题，激发学生兴趣和学习动力- 培养学生综合分析和解决问题的能力2. 实施小组合作学习- 鼓励学生互相讨论、合作，促进思维碰撞和共同进步- 培养团队合作和沟通能力，提高学习效果3. 评价方式- 组织课堂小测验或作业检查，及时发现学生问题并进行针对性辅导- 采用期末考试等形式进行综合评价，检验学生掌握情况并对教学效果进行总结通过以上系统化的复变函数教学内容和生动活泼的教学方式，相信学生将能够更好地理解和掌握复变函数的相关知识，提高数学分析能力，为日后的学习和研究奠定坚实基础。
希望本教案能够为复变函数教学提供一定的参考和指导，使学生在探索数学世界的道路上越走越远。
复变函数教案
复变函数教案一、引言复变函数是数学分析中的一个重要分支，它研究了具有两个独立实变量的函数，主要包括复数、复平面、复函数以及复变函数的性质和应用。
本教案旨在帮助学生初步了解复变函数的基本概念和相关知识，并能够应用所学内容解决实际问题。
二、基本概念1. 复数的引入复数是由实数扩展而来，形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
2. 复平面复平面是由复数构成的平面，通过实部和虚部的坐标轴形成。
3. 复函数的定义复函数是将复数映射到复数的函数，形式为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy为自变量，u(x,y)和v(x,y)为实函数。
4. 复函数的性质- 连续性：复函数在定义域内连续。
- 解析性：复函数满足柯西-黎曼方程。
- 奇偶性：复函数的奇偶性与实部和虚部的奇偶性有关。
三、复变函数的运算法则1. 复函数的加法和减法复函数的加法和减法满足分量相加减的原则，即实部和虚部分别相加减。
2. 复函数的乘法和除法复函数的乘法和除法可以通过展开运算得到，需要注意虚数单位的运算法则。
3. 复共轭函数复共轭函数是将复函数的虚部取相反数，得到与原函数关于实轴对称的复函数。
四、复变函数的应用1. 复变函数在物理学中的应用复变函数在物理学中广泛应用于电路分析、波动现象、量子力学等领域，例如复数阻抗的应用。
2. 复变函数在工程学中的应用复变函数在电气工程、信号处理、控制系统等领域有着重要的应用，例如复指数函数的应用。
3. 复变函数在经济学中的应用复变函数在金融市场的波动预测、经济模型的建立等方面有一定的应用，例如复数利率的计算。
五、教学方法1. 理论讲解通过清晰简洁的语言和具体的例子，讲解复变函数的基本概念和性质。
2. 示例分析选取一些实际问题，引导学生运用所学知识解决问题，加深对复变函数的理解和应用。
3. 计算练习提供一些练习题，让学生进行计算和推导，提高对复变函数的操作能力。
六、教学评估1. 课堂测试在课堂上进行一些习题的测试，检验学生对复变函数的掌握情况。
高数课堂复变函数教学设计
高数课堂复变函数教学设计一、教学背景和目标复变函数作为高等数学中的重要内容之一，对于学生来说是一门相对较难的课程。
在复变函数的教学中，我们的目标是启发学生的数学思维和创新能力，培养学生的数学建模与解决实际问题的能力，使学生能够理解和应用复变函数的基本概念、性质和技巧。
二、教学内容和方法1. 复变函数的基本概念和性质：- 复数平面及复数的表示方法；- 复数的运算规则和性质；- 复变函数的定义及其相关概念。
方法：通过课堂讲解和示例引入，让学生理解复数的基本定义和运算规则。
同时，通过解决一些具体的实际问题，让学生了解复变函数的应用价值和意义。
2. 复变函数的解析性和全纯性：- 复变函数的解析性和全纯性的概念及其判定方法；- 函数的解析性与全纯性的关系；- 高斯复数平面和柯西-黎曼方程。
方法：通过展示一些典型的解析函数和非解析函数的例子，让学生理解解析函数和全纯函数的概念。
通过讲解柯西-黎曼方程的推导过程和应用案例，引导学生理解复变函数的解析性和全纯性。
3. 复变函数的积分计算和级数展开：- 复变函数积分的基本定义和计算方法；- 复变函数积分的性质和应用；- 复变函数的幂级数展开。
方法：通过演示一些实际问题的解决过程，让学生了解复变函数积分的基本定义和计算方法。
通过讲解幂级数的概念和性质，并通过一些具体的例子来展示级数展开的应用意义。
4. 边界相关性质和留数定理：- 边界的定义和相关概念；- 留数定理的概念和推导过程；- 应用留数定理解决实际问题。
方法：通过一些实际问题的引入，让学生了解边界的相关概念和性质。
通过演示留数定理的推导过程和应用案例，引导学生理解留数定理的概念和作用。
三、教学手段和评价方法1. 教学手段：- 课堂讲解：通过讲解和示范，引导学生掌握复变函数的基本概念和性质。
- 案例分析：通过具体的实际问题的解决过程，培养学生的数学建模与解决问题的能力。
- 小组讨论：通过小组合作学习，促进学生的互动交流和思维碰撞。
《复变函数》教案
《复变函数》教案第一章：复数的概念与运算1.1 复数的基本概念介绍复数的定义：形如a + bi 的数，其中i 是虚数单位，i^2 = -1。
解释实部和虚部的概念。
强调复数是实数域的拓展。
1.2 复数的运算掌握复数加法、减法、乘法和除法的运算规则。
举例说明复数运算的实质：代数形式的运算。
1.3 复数的几何表示引入复平面（复数坐标系）。
讲解复数在复平面上的表示：点的坐标。
介绍共轭复数的概念及其在复平面上的表示。
第二章：复变函数的定义与基本性质2.1 复变函数的定义给出复变函数的定义：定义在复平面上的函数，输入为复数，输出也为复数。
强调函数的连续性和可导性。
2.2 复变函数的基本性质介绍复变函数的奇偶性、周期性和可积性等基本性质。
举例说明这些性质的应用和判定方法。
2.3 复变函数的极限与连续性讲解复变函数在一点或一点的邻域内的极限概念。
强调复变函数的连续性及其与实变函数连续性的联系。
第三章：解析函数3.1 解析函数的定义引入解析函数的概念：在其定义域内具有无穷导数的复变函数。
解释解析函数的导数性质：解析函数是解析的，即在其定义域内每个点上都可以求导。
3.2 解析函数的例子举例说明常见解析函数：三角函数、指数函数、对数函数等。
强调解析函数在复平面上的图形特点：没有奇点。
3.3 解析函数的积分讲解解析函数的积分性质：解析函数在其定义域内积分路径无关。
介绍柯西积分定理和柯西积分公式。
第四章：积分变换4.1 傅里叶变换引入傅里叶变换的概念：将一个函数从时域转换到频域的积分变换。
讲解傅里叶变换的数学表达式及其物理意义。
4.2 拉普拉斯变换介绍拉普拉斯变换的概念：解决偏微分方程的积分变换方法。
强调拉普拉斯变换的应用领域：工程和物理学。
4.3 其他积分变换简要介绍希尔伯特变换、哈特莱变换等其他积分变换。
强调这些变换在信号处理等领域的应用。
第五章：复变函数在几何中的应用5.1 复数与几何的关系强调复变函数与复数几何的紧密联系。
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第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点
教学课题：第一节解析函数的洛朗展式
教学目的：1、了解双边幕级数在其收敛圆环内的性质；
2、充分掌握洛朗级数与泰•勒级数的关系；
3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数
教学重点：掌握洛朗级数的展开方法
教学难点：掌握洛朗级数的展开方法
教学方法：启发式、讨论式
教学手段：多媒体与板书相结合
教材分析：洛朗级数是推广了的幕级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。
教学过程：
1、双边基级数
在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。
首先考虑级数
00 + （Z - Z（）+ 0_2（Z - Z（）尸 +
・・・ + 0_〃（Z-Z（））-" +・・・
其屮堤复常数。
此级数可以看成变量丄的幕级数；设这幕级
z_z°
数的收敛半径是心如果ovRv+oe,那么不难看出，此级数在|z-z01>丄内绝
R
对收敛并且内闭一致收敛，在|Z-Z O |<1内发散。
同样，如果/? = +oo,那么此级
R
数在|z-z（） |> 0内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果/?二0,那么此级数在每一点发散。
在上列情形下，此级数在z = z。
没有意义。
于是根据定理2.3,按照不同情形，此级数分别在
| z-z0 |>^ = 7?,（0< /?<4-OO）及I z-Zo |>0 内收敛于一个解析函数。
R
2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数
工0“（Z-Zo）",
这里勺,爲3=0±口2…是复常数。
当级数
乞伏（z - z°y及乞仇d -
川=0 /?=-!
+8
都收敛吋，我们说原级数£A（Z-Z0）W收敛，并且它的和等于上式屮两个级数的”=-oo
和函数相加。
设上式中第一个级数在|z-z0\<R2内绝对收敛并且内闭一致收敛，
第二个级数在I z-z（）|>尺内绝对收敛并且内闭一致收敛。
于是两级数的和函数分
别|z-z0|</?2及|z-z°|>K在内解析。
又设&V&,那么这两个级数都在圆环
D:R l<lz-z0\<R2内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数乞伏（z-z$在
7l=—oo
这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解析函数。
我们称级数£%（z-Z。
）"为洛朗级数。
因此，洛朗级数的和函数是圆环D内的解析川二一oo
函数，我们也有
定理5・1 （洛朗级数）设函数/（z）在圆环：D:R} <\ z - z0\< R2（0 < R} < R2
<+oo）
内解析，那么在£>内
/(z)=工匕(z-z。
)",
/|=-00
其中,
%哙嫁go,±1,±2,…)
y是圆I z-z01= p.p是一个满足& <P<R2的任何数。
证明：设Z是圆环D内任一点，在D内作圆环D'：/?'] v|z-Zo |<尺2‘‘使得zeD\这里咕心帆小。
用耳及G分别表示圆|z — Zol=/?[及|z —Zol=/?2‘。
由于/（G在闭圆环D上解析，根据柯西定理，有
其中积分分别是沿及「2关于它们所围成圆盘的正向取的。
当^G T2时，级数
1 1 1 1
------- =----------------------- =---------- • -------------
g-z（）-（z-Zo）$-Z（）[ Z-z°
二〒（Z_Z。
）"
£c z。
）曲
一致收敛；而当^er；时，级数
__ 二1 二节（—））”
§ _ z （z- z0）（l- "=o （z _ z°）刊
z_z°
一致收敛。
把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到/U）有展式
/(z)= £%(z — z。
)",
M=-00
其屮,
/(G 市茗,(〃=0,1,2,・・.)乙12沁《譽曲十•••）
由柯西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。
注解1、由于函数./（Z）的解析区域不是单连通区域，所以公式好旦肖^'（"“出垃…）不能写成：°”
+00 _8
注解2、我们称工乞（z-z°）“为比）的解析部分，而称工％（z-z。
）"为其主要部/?=0 n=-l
分。
注解3、我们称£%（z-z（y,为沧）的洛朗展式。
”=一8
+8
定理5・2设洛朗级数工禹（z-z。
）”在圆环
"=-8
D: R[ <1 z-z01< R2（0 < R}< R2< +OO）
中内闭一•致收敛于和函数g（z）,那么此展式就是在D内的洛朗展式:
纟⑵二2伏(z-zj.
”=-oo
证明：现在把系数用g ⑵计算出來。
在D 内任取一圆Z :|z-z 0|=p(/?I <p</?2),用 乘2^(Z ~Z()yk ~l 以定理屮展式的两边，然后沿卩求积分。
由于所讨论的级数在 卩上一致收敛，在求积分时，对有关级数可以逐项积分，于是我们有
占曲=il (Z_ Zo)/"1 dZ = A
伙=0,±l,±2,…)
这里因为上式屮求和记号左 后各项只有在n=k 时不为零，因此定理的结论成
注解：此定理表明，洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算，同时，这也表明, g ⑵在D 内不可能有其他形式的洛朗展式，因此我们有下面的解析函数洛朗展式 的唯一性定理：
推论5・1在定理5.1的假设下，/(z)在D 的洛朗展式式唯一的。
例1、求函数——!—— 分别在圆环l<|z|<2及2v|z|v+oo 内的洛朗级数展式。
(z-l)(z-2)
解：如果l<|z|<2,那么|-|< 1,|丄|vl,利用当|Q|vl 时的幕级数展式 2 z
----- =1 + Q + (X^ +... + CX H
+...
\-a
我们得 7
I 如果2<|Z|< +oo,那么|-|< 同样，我们有
z z 1 1 +<x> Q/l —l 1 1 1 _ T 1 -V 2 V 丄 _V
---------- = ----------- 一 ----- 9 ------------ 一乙-一乙乙 (z-l)(z-2) z — 2 z-l z(l--) z(l--) “=1 Z “=1 Z
Z Z
例2、 漳及沁在0 V z |v +oo 内的洛朗级数展式是:
Z Z
工］吕2"一_1 H=1 (z-l)(z-2) z-2 z-l
J, i 3 / i \ 2 刃一1
sinz 1 z z (—1) z
z2z 3! 5! (2n + l)!
sinz t z2z4(-l),?z2/,
Z 3! 5! (2H +1)!
1
例3、e2在Ov|z|v+oo内的洛朗级数展式是：
! , 1 11 1 1
— 1H - 1 --- + … ---------- …o
Z2! Z271! z"
例4、求函数 ------------ 在圆环l<|z|<3内的洛朗级数展式。
(Z2-1)(2-3)
解：由于l<|z|<3,那么|-|<1,|-|< 1,利用当|Q|V1时的幕级数展式z 3
----- =1 + Q + (X^ +... + CX n +... \-a 我们得
1 _ 1 __ z + 3 —丄 __________ z ______ 3_
(Z2-1)(Z-3) ~ 8 7^3 ~ z2-l ~8 7^3~Z2-1~Z2-1
z2-l
所以，有
-foo
Q Z”
2“+12〃—1 畀=0 °??=0 z 2n-2
).。