复变函数教案7.3.2
《复变函数》(西安交大 第四版)第7章 拉普拉斯变换
当 f (t)在一个周期上连续或分段连续时,则有
ℒ
f
(t)
1
1 es
T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
例8 设f (t)是以2 为周期的函数，且在一个
周期内 的表达式 为f (t)
cos
0
t
0
t t
2
求: ℒ f (t)
est dt
k
k2
sin k t estdt
0
s2 s2 0
所以
sin
k
t
s2
k
k2
Res 0
即
k sin kt s2 k 2 (Re(s) 0)
同理可得
cos kt
s s2 k2
(Re(s) 0)
如
ℒ
sin
2t
s2
2
4
Res 0
ℒ
cos
3t
s2
s
9
Res 0
例7 求: f (t) e t (t) e tu(t) ( 0)
函数可写为 F(s) f (t) estdt 0
我们称上式为函数 f (t)的拉普拉斯变换式 ,记做
F (s) ℒ f (t)
F(s) 叫做 f (t) 的拉氏变换,象函数.
f (t) 叫做 F(s) 的拉氏逆变换,象原函数,f (t) =ℒ 1 F(s)
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理
d ds
s2
s
k
2
s2 k2 s2 k2 2
例13 求: f (t) te t cos t 的Laplace变换。
复变函数备课教案设计方案
复变函数备课教案设计方案教案标题：复变函数备课教案设计方案教学目标：1. 了解复变函数的定义和性质；2. 掌握复变函数的运算规则；3. 能够应用复变函数解决实际问题；4. 培养学生的分析和解决问题的能力。
教学重点：1. 复变函数的定义和性质；2. 复变函数的运算规则。
教学难点：1. 复变函数的应用；2. 解决实际问题的能力培养。
教学准备：1. 教材：复变函数教材；2. 备课资料：复变函数的定义、性质和运算规则的总结；3. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用投影仪展示一幅复变函数的图形，引发学生对复变函数的兴趣和好奇心；2. 提问：你们对复变函数有什么了解？是否听说过复变函数的应用？二、知识讲解（20分钟）1. 通过讲解复变函数的定义和性质，让学生对复变函数有一个初步的了解；2. 结合实例，讲解复变函数的运算规则，如加减乘除、复合函数等；3. 强调复变函数的特殊性，包括无穷远点、奇点等概念。
三、案例分析（15分钟）1. 提供一些实际问题，如电路问题、流体力学问题等，引导学生应用复变函数进行分析和解决；2. 分组讨论，让学生在小组内共同解决问题，并展示解题过程和答案；3. 教师给予指导和点评，引导学生思考和总结。
四、巩固练习（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成；2. 收集学生的答案，进行讲评，纠正错误，强化知识点。
五、拓展延伸（10分钟）1. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考和探索；2. 鼓励学生自主学习和研究，提供相关参考资料。
六、总结反思（5分钟）1. 学生对本节课的学习进行总结和反思；2. 教师对学生的学习情况进行总结和评价；3. 预告下节课内容。
教学方式：1. 教师讲授；2. 学生讨论；3. 学生独立完成练习。
教学手段：1. 讲解；2. 提问；3. 分组讨论；4. 练习。
教学评价：1. 学生课堂表现；2. 学生练习成绩；3. 学生解决实际问题的能力。
复变函数教案
《复变函数》教案目录第一次课………………复数第二次课………………复平面上的点集第三次课………………复变函数复球面与无穷远点第四次课………………解析函数的概念与柯西-黎曼方程第五次课………………初等解析函数第六次课………………初等多值函数第七次课………………复积分的概念及其简单性质第八次课………………柯西积分定理第九次课………………柯西积分公式及其推论第十次课………………解析函数与调和函数的关系第十一次课……………复级数的基本性质第十二次课……………幂级数第十三次课……………解析函数的泰勒展式第十四次课……………解析函数零点的孤立性及惟一性定理第十五次课……………解析函数的洛朗展开式第十六次课……………解析函数的孤立奇点第十七次课……………孤立奇点在无穷远点的性质整函数与亚纯函数的概念第十八次课……………留数第十九次课……………用留数计算实积分第二十次课……………辐角原理及其应用第二十一次课…………解析变换的特性第二十二次课…………分式线性变换第二十三次课…………某些初等函数所构成的共形映射关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理第二十四次课…………总复习第一次课：复数一．教学目的：1．掌握复数的四则运算及共轭运算；2．熟练掌握复数的各种表示法；3．熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。
二．教学重点：复数的三角表示和复数的乘方与开方。
三．教学难点：用复数形式方程（或不等式）表示平面图形来解决有关几何问题的方法。
四．教学方法：启发式、讨论式五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等。
六．教学过程：[引言]：（约10分钟）简述复分析的发展历史、复变函数的主要内容及其应用背景以及学习该课程应该注意的方法，引入本课主题。
●复数的基本概念（约5分钟）1．虚数单位。
2．实部与虚部。
3．共轭复数。
●复数的四则运算（约20分钟）1．复数的加、减、乘和除法运算。
2．复数运算的性质。
举例并让学生穿插进行练习。
●复数的几何表示（约20分钟）1．复平面。
大学复变函数教案
课时安排：2课时教学目标：1. 使学生掌握复数的基本概念和运算规则；2. 使学生了解复变函数的定义、性质和分类；3. 使学生掌握复变函数的积分、级数和留数等基本理论；4. 培养学生运用复变函数解决实际问题的能力。
教学重点：1. 复数的基本概念和运算规则；2. 复变函数的定义、性质和分类；3. 复变函数的积分、级数和留数等基本理论。
教学难点：1. 复变函数的积分、级数和留数等理论的理解和运用；2. 利用复变函数解决实际问题的能力。
教学过程：第一课时一、导入1. 复数的引入：从实数引入，说明实数无法解决的数学问题，进而引入复数。
2. 复数的基本概念：实部、虚部、模、辐角等。
二、新课内容1. 复数的运算：加法、减法、乘法、除法、共轭复数等。
2. 复变函数的定义：定义域为复数集，值域为复数集的函数。
3. 复变函数的性质：奇偶性、周期性、连续性等。
4. 复变函数的分类：解析函数、解析函数的连续性、解析函数的导数等。
三、课堂练习1. 复数的运算练习；2. 复变函数的性质和分类练习。
四、课堂小结1. 复数的基本概念和运算规则；2. 复变函数的定义、性质和分类。
第二课时一、导入1. 复变函数的积分：介绍复变函数积分的定义、性质和计算方法。
2. 复变函数的级数：介绍复变函数级数的定义、性质和计算方法。
二、新课内容1. 复变函数的积分：a. 定义：从曲线积分引入，说明复变函数积分的定义；b. 性质：线性、连续性、对称性等；c. 计算方法：格林公式、柯西积分公式等。
2. 复变函数的级数：a. 定义：从实数级数引入，说明复变函数级数的定义；b. 性质：收敛性、级数和的连续性等；c. 计算方法：幂级数、泰勒级数等。
三、课堂练习1. 复变函数的积分练习；2. 复变函数的级数练习。
四、课堂小结1. 复变函数的积分、级数等基本理论；2. 利用复变函数解决实际问题的能力。
教学反思：1. 通过本次课程的学习，使学生掌握复变函数的基本概念、性质和理论；2. 通过课堂练习，提高学生的实际操作能力；3. 在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
复变函数教案
复变函数教案一、引言复变函数作为数学分析中的重要概念，在学生学习过程中往往会遇到一定的困难。
本教案旨在通过系统化的教学内容和生动活泼的教学方式，帮助学生更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
二、基本概念1. 复数的定义与运算规则- 复数的定义：复数是由实数和虚数部分组成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
- 复数的加法和减法规则- 复数的乘法和除法规则2. 复变函数的定义与性质- 函数的复数定义：将复数作为自变量和因变量的函数。
- 复变函数的连续性与可微性- 复变函数的共轭与模三、复变函数的分析1. 函数的解析性- 函数的柯西黎曼方程- 柯西黎曼方程的应用2. 解析函数的性质- 洛朗级数展开- 单值函数与多值函数的区别3. 复积分的应用- 柯西定理与柯西积分公式- 留数定理与留数定理的应用四、实例分析与练习1. 复变函数的图形绘制- 零点、极点和奇点的图形表示- 复平面上的路径积分计算2. 复变函数的级数展开- 泰勒级数与洛朗级数的计算- 级数展开在解析函数中的应用3. 练习题与解析- 通过实例题目引导学生独立思考和解决问题 - 深化对复变函数知识的理解和应用五、教学方法与评价1. 采用案例分析法- 引入生活中的实际问题，激发学生兴趣和学习动力- 培养学生综合分析和解决问题的能力2. 实施小组合作学习- 鼓励学生互相讨论、合作，促进思维碰撞和共同进步- 培养团队合作和沟通能力，提高学习效果3. 评价方式- 组织课堂小测验或作业检查，及时发现学生问题并进行针对性辅导- 采用期末考试等形式进行综合评价，检验学生掌握情况并对教学效果进行总结通过以上系统化的复变函数教学内容和生动活泼的教学方式，相信学生将能够更好地理解和掌握复变函数的相关知识，提高数学分析能力，为日后的学习和研究奠定坚实基础。
希望本教案能够为复变函数教学提供一定的参考和指导，使学生在探索数学世界的道路上越走越远。
复变函数教案
复变函数教案一、引言复变函数是数学分析中的一个重要分支，它研究了具有两个独立实变量的函数，主要包括复数、复平面、复函数以及复变函数的性质和应用。
本教案旨在帮助学生初步了解复变函数的基本概念和相关知识，并能够应用所学内容解决实际问题。
二、基本概念1. 复数的引入复数是由实数扩展而来，形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
2. 复平面复平面是由复数构成的平面，通过实部和虚部的坐标轴形成。
3. 复函数的定义复函数是将复数映射到复数的函数，形式为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy为自变量，u(x,y)和v(x,y)为实函数。
4. 复函数的性质- 连续性：复函数在定义域内连续。
- 解析性：复函数满足柯西-黎曼方程。
- 奇偶性：复函数的奇偶性与实部和虚部的奇偶性有关。
三、复变函数的运算法则1. 复函数的加法和减法复函数的加法和减法满足分量相加减的原则，即实部和虚部分别相加减。
2. 复函数的乘法和除法复函数的乘法和除法可以通过展开运算得到，需要注意虚数单位的运算法则。
3. 复共轭函数复共轭函数是将复函数的虚部取相反数，得到与原函数关于实轴对称的复函数。
四、复变函数的应用1. 复变函数在物理学中的应用复变函数在物理学中广泛应用于电路分析、波动现象、量子力学等领域，例如复数阻抗的应用。
2. 复变函数在工程学中的应用复变函数在电气工程、信号处理、控制系统等领域有着重要的应用，例如复指数函数的应用。
3. 复变函数在经济学中的应用复变函数在金融市场的波动预测、经济模型的建立等方面有一定的应用，例如复数利率的计算。
五、教学方法1. 理论讲解通过清晰简洁的语言和具体的例子，讲解复变函数的基本概念和性质。
2. 示例分析选取一些实际问题，引导学生运用所学知识解决问题，加深对复变函数的理解和应用。
3. 计算练习提供一些练习题，让学生进行计算和推导，提高对复变函数的操作能力。
六、教学评估1. 课堂测试在课堂上进行一些习题的测试，检验学生对复变函数的掌握情况。
高数课堂复变函数教学设计
高数课堂复变函数教学设计一、教学背景和目标复变函数作为高等数学中的重要内容之一，对于学生来说是一门相对较难的课程。
在复变函数的教学中，我们的目标是启发学生的数学思维和创新能力，培养学生的数学建模与解决实际问题的能力，使学生能够理解和应用复变函数的基本概念、性质和技巧。
二、教学内容和方法1. 复变函数的基本概念和性质：- 复数平面及复数的表示方法；- 复数的运算规则和性质；- 复变函数的定义及其相关概念。
方法：通过课堂讲解和示例引入，让学生理解复数的基本定义和运算规则。
同时，通过解决一些具体的实际问题，让学生了解复变函数的应用价值和意义。
2. 复变函数的解析性和全纯性：- 复变函数的解析性和全纯性的概念及其判定方法；- 函数的解析性与全纯性的关系；- 高斯复数平面和柯西-黎曼方程。
方法：通过展示一些典型的解析函数和非解析函数的例子，让学生理解解析函数和全纯函数的概念。
通过讲解柯西-黎曼方程的推导过程和应用案例，引导学生理解复变函数的解析性和全纯性。
3. 复变函数的积分计算和级数展开：- 复变函数积分的基本定义和计算方法；- 复变函数积分的性质和应用；- 复变函数的幂级数展开。
方法：通过演示一些实际问题的解决过程，让学生了解复变函数积分的基本定义和计算方法。
通过讲解幂级数的概念和性质，并通过一些具体的例子来展示级数展开的应用意义。
4. 边界相关性质和留数定理：- 边界的定义和相关概念；- 留数定理的概念和推导过程；- 应用留数定理解决实际问题。
方法：通过一些实际问题的引入，让学生了解边界的相关概念和性质。
通过演示留数定理的推导过程和应用案例，引导学生理解留数定理的概念和作用。
三、教学手段和评价方法1. 教学手段：- 课堂讲解：通过讲解和示范，引导学生掌握复变函数的基本概念和性质。
- 案例分析：通过具体的实际问题的解决过程，培养学生的数学建模与解决问题的能力。
- 小组讨论：通过小组合作学习，促进学生的互动交流和思维碰撞。
《复变函数》教案
《复变函数》教案第一章：复数的概念与运算1.1 复数的基本概念介绍复数的定义：形如a + bi 的数，其中i 是虚数单位，i^2 = -1。
解释实部和虚部的概念。
强调复数是实数域的拓展。
1.2 复数的运算掌握复数加法、减法、乘法和除法的运算规则。
举例说明复数运算的实质：代数形式的运算。
1.3 复数的几何表示引入复平面（复数坐标系）。
讲解复数在复平面上的表示：点的坐标。
介绍共轭复数的概念及其在复平面上的表示。
第二章：复变函数的定义与基本性质2.1 复变函数的定义给出复变函数的定义：定义在复平面上的函数，输入为复数，输出也为复数。
强调函数的连续性和可导性。
2.2 复变函数的基本性质介绍复变函数的奇偶性、周期性和可积性等基本性质。
举例说明这些性质的应用和判定方法。
2.3 复变函数的极限与连续性讲解复变函数在一点或一点的邻域内的极限概念。
强调复变函数的连续性及其与实变函数连续性的联系。
第三章：解析函数3.1 解析函数的定义引入解析函数的概念：在其定义域内具有无穷导数的复变函数。
解释解析函数的导数性质：解析函数是解析的，即在其定义域内每个点上都可以求导。
3.2 解析函数的例子举例说明常见解析函数：三角函数、指数函数、对数函数等。
强调解析函数在复平面上的图形特点：没有奇点。
3.3 解析函数的积分讲解解析函数的积分性质：解析函数在其定义域内积分路径无关。
介绍柯西积分定理和柯西积分公式。
第四章：积分变换4.1 傅里叶变换引入傅里叶变换的概念：将一个函数从时域转换到频域的积分变换。
讲解傅里叶变换的数学表达式及其物理意义。
4.2 拉普拉斯变换介绍拉普拉斯变换的概念：解决偏微分方程的积分变换方法。
强调拉普拉斯变换的应用领域：工程和物理学。
4.3 其他积分变换简要介绍希尔伯特变换、哈特莱变换等其他积分变换。
强调这些变换在信号处理等领域的应用。
第五章：复变函数在几何中的应用5.1 复数与几何的关系强调复变函数与复数几何的紧密联系。
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第七章 共形映射
教学课题：第三节 黎曼存在定理
教学目的：1、充分理解黎曼存在定理极其重要意义；
2、充分了解边界对应定理；
3、了解线性变换的不动点；
4、掌握线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性。
教学重点：线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性 教学难点：线性变换的保交比性、保对称点性 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合
教材分析：由于线性变换的保形性、保圆性、保交比性和保对称点性，它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中，起着重要的作用。
教学过程： 8、实例：
在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。
例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|<1，Im z >0保形映射成上半平面。
解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数
1
1
'-+=
z z w ， 把-1及+1分别映射成w'平面上的0及∞两点，于是把|z|=1及Im z =0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。
由于分式线性函数中的系数是实数，所以z 平面上的实轴映射成w'平面上的实轴；又由于z =0映射成w'=-1，半圆的直径AC 映射成w'平面上的负半实轴。
平面-z O
)
1(-B )(i D -)
0(A C
平面-'w C
)1(-D )
1(B )0(A C
平面
-w
显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴；又由于z =i 映射成i i i w -=-+=1
1
'，
半圆ADC 映射成w'平面上的下半虚轴。
根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w'平面上的的区域，应当在周界ABC 的左方，因此它是第三象限2
'arg π
π<
<w 。
最后作映射
2'w w =，
当w'在第三象限中变化时，arg w'在π2及π3之间变化。
因此w'平面上的第三象限就映照成w 平面上的上半平面。
因此，所求单叶函数为： 2
2
)1
1('-+==z z w w 。
例2、求作一个单叶函数，把z 平面上的带形π<<z Im 0保形映射成w 平面上的单位圆|w|<1。
解：函数
z e w ='，
把z 平面上的已给带形保形映射成w'平面上的上半平面。
取
w'
平面上
关于
实轴的对称点-i 及i ，那么函数
i
w i
w w +-='', O
i
-i
平面-'
w
把的w'平面上的上半平面保形映射成w 平面上的单位圆|w|<1。
因此，我们得到
i
e i e w z z +-=.
例3、求作一个单叶函数，把扩充z 平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成扩充w 平面上去掉割线0Im ,1Re 1=≤≤-w w 而得的区域。
解：容易验证，分式线性函数
1
1
'-+=
w w w ， 把割线0Im ,1Re 1=≤≤-w w 保形映射成
w'平面上的负实轴，把扩充w
平面上已给区域保形映射成w'平面上除去负实轴（包括0）而得的区域。
另一方面，分式线性函数
1
1-+=
z z ζ， 把圆|z |=1保形映射成
ζ平面上的 虚轴。
由于它把z=2映射成3=ζ，可见它
把扩充z 平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成
ζ平面上的右半平面。
显然
2'ζ=w ，
平面
-z O
平面
-ζC
平面
-w 1
-1
平面
-'w O
把ζ平面上的这一部分保形映射成w'平面上除去负实轴而得的区域。
因此我们得到
2
1111⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=-+z z w w
由此可得函数
)
1(21z
z w += 即为所求函数。
例4、求作一个单叶函数，把z 平面上半带域0,2/2/><<-y x ππ保形映
射成w 平面上的上半平面，并且使得
0)0(,1)2/(=±=±f f π。
解：把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用指数函数做映射，我们求得函数
iz e w ='，
把上述半带域映射成w'平面上的半圆盘。
把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用例1中的映射，得到函数
2
11'1'⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+=iw iw w ，
因此，我们得到把以给半带域保形映射成1w 平面的上半平面的单叶函数，不过
这时2/,0,2/ππ-=z 分别被映射成0,1,1-∞=w 。
作分式线性函数，
把0,1,1
-∞=w 映射成1,0,1+-=w ：
1
111-+-=w w w ，
最后得到所求的单叶函数：
z e e i
iw w iw iw iw iw w iz
iz sin )(21'21')1'()1'()1'()1'(22
222=-=-=--+-++-=-。
例5、在z 平面的上半平面上，沿虚轴作一长h 为的割线。
求作一个单叶函数，把上述半平面去掉割线而得的区域保形映射成w 平面上的上半平面。
解：首先作映射，把割线去掉，使已给区域的全部边界都变到w'平面的实轴上。
为此，用在上述区域内的单叶解析函数
2'z w =，
)
1(-A )
1(C )0(B 平面
-w
平面-z 平面
-'w )
(∞A )
0(C )1(-B 平面
-1w
把z 平面的第一及第二象限分别映射成w'平面的上半平面及下半平面。
这时射线AD 被映射成w'平面上正实轴的上沿，DC 被映射成从0到2h 的线段的上沿，CB 被映射成这条线段的下沿，BA 被映射成正实轴的下沿，于是z 平面上已给区域
被保形影射成w'平面除去射线2'Re ,0'Im h w w -≥=而得的区域。
显然，函数
21'h w w +=，
把w'平面的上述区域映射成1w 平面上除去正实轴所得的区域；而函数
1w w =，
又把这一区域映射成w 平面上的上半平面，其中1w 应理解为在正实轴的上沿
取正值的一个解析分支。
结合以上讨论，我们得到所求的单叶函数是：
2221'h z h w w w +=+==。
x
y
O
平面
-z A
A
B
)(hi C D
平面
-'w )
(∞A )
(∞A )
0(D )
0(B )
(2h C -平面
-1w )
(∞A )
(∞A )
(2h D )
(2h B )
0(C 平面
-w )
(∞A )
(A )
(h B -)
(h D )0(C。