【赢在课堂】高中数学 2.1.2 椭圆的简单几何性质检测试题 新人教A版选修1-1
人教a版数学【选修1-1】作业：2.1.2椭圆的简单几何性质(含答案)
2.1.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的 位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准 方程范围 顶点轴长 短轴长＝______，长轴长＝______焦点 焦距对称性 对称轴是________，对称中心是______离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 216＋y 236＝1C ．x 26＋y 24＝1D ．y 26＋x 24＝13．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A ． 3B ．32C ．83D ．234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．06．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。
高中数学 专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(2)测试(含
椭圆的简单的几何性质（2）（时间：25分，满分55分）班级 姓名 得分一、选择题1．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( ) A ．±34 B ．±32C ．±22D ．±34答案：A2．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析：由条件知：F 1(－2，0)，B (0，1)，所以b ＝1，c ＝2， 所以a ＝22＋12＝5，所以e ＝c a＝25＝255.答案：D3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x29＋y24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x29＋y24＝1相交，故选B ．4．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )A.67B.167C.716D.76答案：B5．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12解析：S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.答案：D6．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n的值是( ) A ．22B ．233C ．922D ．2327解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n， 代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n．由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A ． 二、填空题7．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM |＝1，且PM ·AM ＝0，则|PM |的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ·AM ＝0， ∴AM ⊥PM ．∴|PM |2＝|AP |2－|AM |2＝|AP |2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP |min ＝2，∴|PM |min ＝3． 答案： 38．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为____________________．9．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为________．解析：由x24＋y23＝1可得F(－1,0)．设P(x ，y)，－2≤x≤2，则OP ·FP ＝x2＋x ＋y2＝x2＋x ＋31－x24＝14x2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ·FP 取得最大值6． 答案：610．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF→|＝________．解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝1，即c ＝1，所以右焦点F (1，0)． 所以由FA →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． 所以1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. 所以x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1.解得n 2＝1，所以|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.答案： 2 三、解答题11．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．解：设直线l 与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1x 2＝0.由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329.即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329. 化简，得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1. 所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.12．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x ＋1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →，求实数λ的取值范围．(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－48)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt3＋4k2， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t 3＋4. 因为，λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以C ⎝⎛⎭⎪⎫－8kt （3＋4k 2）λ，6t （3＋4k 2）λ. 又因为点C 在椭圆上，所以，4k 2t 2（3＋4k 2）2λ2＋3t2（3＋4k 2）2λ2＝1⇒λ2＝t 23＋4k 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1. 因为t 2＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1＞1， 所以0＜λ2＜1，所以λ的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．。
2019-2020学年数学人教A版选修1-1作业与测评：2.1.2 椭圆的简单几何性质(1)
课时作业12 椭圆的简单几何性质(1)知识点一 由椭圆方程研究简单几何性质 1.椭圆25x 2＋9y 2＝1的范围为( ) A ．|x |≤5，|y |≤3 B ．|x |≤15，|y |≤13 C ．|x |≤3，|y |≤5 D ．|x |≤13，|y |≤15答案 B解析 椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15， 又焦点在y 轴上， 所以|x |≤15，|y |≤13.故选B.2．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( ) A ．C 1与C 2顶点相同 B ．C 1与C 2长轴长相等 C ．C 1与C 2短轴长相等 D ．C 1与C 2焦距相等 答案 D解析 由两个椭圆的标准方程，可知C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.知识点二 由椭圆的几何性质求方程3.已知直线2x ＋y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为( )A.x 25＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1C.x 29＋y 24＝1 D.x 26＋y 24＝1答案 A解析 直线2x ＋y －2＝0与坐标轴的交点坐标为(1,0)，(0,2)， 由题意得c ＝1，b ＝2， 所以a ＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．答案 x 281＋y 272＝1解析 由2a ＝18，得a ＝9. 又因为2c ＝183＝6，所以c ＝3. 所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为x 281＋y 272＝1. 知识点三 椭圆的离心率问题 5.椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23 答案 A解析 将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程得x 2＋y214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，c ＝a 2－b 2＝32，离心率e ＝c a ＝32.6．如图所示，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 解法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则k AB ＝－ba .又PF ⊥x 轴，∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac .∵OP ∥AB ，∴k AB ＝k OP ， 即－b a ＝－b 2ac ，∴b ＝c ，a 2＝2c 2， 因此，a ＝2c ，∴e ＝22.解法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .又OP ∥AB ，∴∠POF ＝∠BAO ， ∴Rt △OPF ∽Rt △ABO ， ∴|PF ||BO |＝|OF ||AO |，即b 2a b ＝c a ，即b a ＝c a ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝π3，求椭圆离心率的取值范围．解 在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝π3，由余弦定理，可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以4c 2＝4a 2－3|PF 1|·|PF 2|.结合基本不等式，可得4a 2－4c 2＝3|PF 1||PF 2|≤3⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝3a 2(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝a 时等号成立)，即a 2≤4c 2，可得e ≥12，又∵e <1，∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.一、选择题1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0) D ．(0，－6)，(0，6)答案 D解析 方程化为标准形式为x 2＋y 26＝1，其焦点在y 轴上，由于a 2＝6，∴a ＝ 6.∴长轴的端点坐标为(0，±6)，故选D.2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1答案 B解析 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为x 2＋y26＝1.3．如果椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1(k >－8)的离心率为e ＝12，则k ＝( )A ．4B ．4或－54 C ．－45 D ．4或－45答案 B解析 若椭圆的焦点在x 轴上，则k ＋8－9k ＋8＝14，解得k ＝4；若椭圆的焦点在y 轴上，则9－(k ＋8)9＝14， 解得k ＝－54.所以k ＝4或k ＝－54.4．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( )A.5－12B.3－12C.32 D.5＋12 答案 A解析 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝c a ，即1－e 2＝e .∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值)．5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 答案 C解析 由题意得，F (－1,0)， 设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， 因为OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋1，y 0)， 所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 2＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 二、填空题6．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点的坐标为F (2,0)，给出下列四个条件：①短半轴长为2；②长半轴长为22；③离心率为22；④一个顶点坐标为(2,0)．其中可求得椭圆方程为x 28＋y 24＝1的条件有________(填序号)．答案 ①②③解析 只需保证a ＝22，b ＝2，c ＝2即可，而椭圆的顶点坐标为(0，±2)，(±22，0)，故①②③可求得椭圆方程为x 28＋y 24＝1.7．比较椭圆①x 2＋9y 2＝36与②x 29＋y25＝1的形状，则________更扁(填序号)．答案 ①解析 x 2＋9y 2＝36化为标准方程得x 236＋y 24＝1，故离心率e 1＝426＝223；椭圆x 29＋y 25＝1的离心率e 2＝23.因为e 1>e 2，故①更扁．8．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．答案 33解析 由题意，△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2|PF 1|.设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝2x ，|F 1F 2|＝3x ，又|F 1F 2|＝2c ，所以x ＝2c 3，即|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3.由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2c 3＋4c 3＝2a ，即e ＝c a ＝33.三、解答题9．求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长：2a ＝18；短轴长：2b ＝6；焦点坐标：(0,62)，(0，－62)；顶点坐标：(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．离心率e ＝c a ＝223. 10．如下图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3， 从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.。
高中数学 专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(1)测试(含解析)新人教A版选修2-1(2021年
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椭圆的简单的几何性质(1）（时间：25分，满分55分) 班级 姓名 得分一、选择题1．已知椭圆错误!＋错误!＝1与椭圆错误!＋错误!＝1有相同的长轴，椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长与椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长相等，则( ）A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9,b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋错误!＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为（ )A.错误!B.错误!C.错误! D 。
错误!答案：A3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是（－错误!,0），(错误!,0），离心率是错误!,则椭圆C 的方程为（ ）A 。
错误!＋y 2＝1B ．x 2＋错误!＝1 C.错误!＋错误!＝1 D.错误!＋错误!＝1 解析:因为错误!＝错误!,且c ＝错误!，所以a ＝错误!，b ＝错误!＝1。
所以椭圆C 的方程为1322=+y x 。
答案：A4．已知椭圆x2a2＋错误!＝1(a＞b＞0）的左焦点为F1，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF1⊥x轴,直线AB与y轴交于点P,其中错误!＝2错误!，则椭圆的离心率为（) A.错误!B。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：2.1.2 椭圆的简单几何性质(一) Word版含解析
2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)课时过关·能力提升一、基础巩固1.椭圆x 22+y 24=1的短轴长为( )A .2B.2C.22D.42.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0),离心率等于12,则C 的方程是( )A .x 23+y 24=1B.x 24+y 23=1C .x 24+y 22=1D.x 24+y 23=13.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(‒3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是( )A .x 24+y 2=1B.x 2+y 24=1C .x 23+y 2=1D.x 2+y 23=1一个焦点为(‒3,0),∴焦点在x 轴上,且c =3.又长轴长是短轴长的2倍,即2a=2×2b ,∴a=2b.故选A .4.在椭圆中,若以焦点F 1,F 2为直径两端点的圆恰好过椭圆短轴的两个端点,则此椭圆的离心率e 等于( )A .12B.22C.32D.255b=c ,故a e =2c .所以=ca =22.5.椭圆x 225+y 29=1与x 29-k +y 225-k =1(0<k <9)的关系为( )A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率,a=5,b=3,c=4,且焦点在x轴上.在椭,圆x 225+y 29=1中圆x 29-k +y 225-k =1中∵0<k<9,且25-k>9-k ,∴焦点在y 轴上,且c=4,∴两个椭圆有相等的焦距.6.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的一个动点,且点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为‒12,则椭圆的离心率为( )A .32B.22C.12D.33P (x 0,y 0),则y 0x 0-a ·y 0x 0+a =‒12,化简得x 20a 2+2y 20a 2=1.又因为点P 在椭圆上,所a 2=2b 2,故e 以x 20a 2+y 20b 2=1,所以=22.7.若椭圆的中心在原点,其对称轴为坐标轴,长轴长为23,离心率为33,则该椭圆的方程为______________.,a =3.又e =33,∴c =1.∴b 2=2,∴椭圆的方程为x 23+y 22=1或y 23+x 22=1.+y 22=1或y 23+x 22=18.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且BF =2FD ,则椭圆C 的离心率为 .为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则不妨设B (0,b ),F (c ,0).设D (x 0,y 0),∵BF =2FD ,∴(c ,-b )=2(x 0-c ,y 0).∴x 0=32c ,y 0=‒b2.代入椭圆方程得9c 24a 2+b 24b 2=1,∴c 2a 2=13,∴e =ca =33.9.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1·MF 2=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是_________.F 1F 2为直径的圆在椭圆内,即b>c.MF 1·MF 2=0,可知以故a 2-c 2>c 2,所以0<e <22,即离心率的取值范围为(0,22).0,22)10.已知A 为y 轴上一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,△AF 1F 2为等边三角形,且AF 1的中点B 恰好在椭圆上,求此椭圆的离心率.,连接BF 2.∵△AF 1F 2是等边三角形,且B 为线段AF 1的中点,∴AF 1⊥BF 2.又∠BF 2F 1=30°,|F 1F 2|=2c ,∴|BF 1|=c ,|BF 2|=3c .根据椭圆定义得|BF 1|+|BF 2|=2a ,即c +3c =2a ,∴ca =3‒1.∴椭圆的离心率e =3‒1.二、能力提升1.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有两个顶点在直线x +2y =2上,则此椭圆的焦点坐标是( )A.(±3,0)B.(0,±3)C.(±5,0)D.(0,±5)2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,椭圆C 与x 轴正半轴交于点A ,与y轴正半轴交于点B (0,2),且·=42+4,则椭圆C 的方程为( )A .x 24+y 22=1B.x 26+y 24=1C .x 28+y 24=1D.x 216+y 28=13.已知F 是椭⊥圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点,A 为右顶点,P 是椭圆上一点,且PF x 轴.若|PF|=14|AF |,则该椭圆的离心率是( )A .14B.34C.12D.32x=-c ,代入椭圆方程,解得y 2=b y=2(1-c 2a 2)=b 4a 2,即±b 2a .由PF ⊥x 轴,可设点P (-c ,b 2a ).又由|PF|=14|AF |,可得b 2a =14(a +c ),即4(a 2-c 2)=a 2+ac ,即(3a-4c )(a+c )=0,解得a =43c .故e =ca =34.4.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为55,且过点P (‒5,4),则椭圆的方程为____________.e =c a =55,∴c 2a 2=a 2-b 2a2=15,∴5a 2-5b 2=a 2,即4a 2=5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2+5y 24a2=1(a >0).∵椭圆过点P (-5,4),∴25a 2+5×164a 2=1.解得a 2=45.∴椭圆方程为x 245+y 236=1.y 236=1★5.已知椭△ABF 2的面积圆x 225+y 216=1的左、右焦点分别是F 1,F 2,弦AB 过点F 1.若是5,A ,B 两点的坐标是(x 1,y 1),(x 2,y 2),则|y 1-y 2|= .知,S △ABF 2=S △AF 1F 2+S △BF 1F 2=c |y 1‒y2|(A ,B 在x 轴上、下两侧),又S△ABF 2=5,∴|y 1‒y2|=5c =53.6.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,过点F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点.若△ABF 2是等边三角形,求该椭圆的离心率.x 轴上,如图.∵AB ⊥F 1F 2,且△ABF 2为等边三角形,∴在Rt △AF 1F 2中,∠AF 2F 1=30°.令|AF 1|=x ,则|AF 2|=2x.∴|F 1F 2|=|AF 2|2-|AF 1|2=3x =2c .由椭圆定义,可知|AF 1|+|AF 2|=2a.∴e =2c2a =3x 3x=33.★7.设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率e =32,已知点P(0,32)到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),M (x ,y )为椭圆上的点.由ca =32,a=2b ,|PM|2=x 2≤y ≤b ).得+(y -32)2=‒3(y +12)2+4b 2+3(‒b 若0<b y=-b 时|PM|2最大,b .<12,则当即(b +32)2=7,解得=7‒32>12,故矛盾若b ≥y=,4b 2+3=7,b 2=1,12,则当‒12时从而a 2=4.所求方程为x 24+y 2=1.。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：2.1.2 椭圆的简单几何性质(二) Word版含解析
6.若直线 3x-y-2=0 截焦点为(0,±5 2)的椭圆所得弦中点的横坐标是12,
则该椭圆的标准方程是_____________.
������2 ������2
解析:设椭圆的标准方程为������2 + ������2 = 1(������ > ������ > 0),
{由
������2 ������2
由椭圆的定义,得|AF|+|AF'|=2a.
所以 2a=|AF|+|AF'|=6+8=14.
������ 2������ 5
故离心率 e = ������ = 2������ = 7. 答案:57
8.已知椭圆 ax2+by2=1(a>0,b>0,且 a≠b)与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两点,C 是 AB 的中点
2.1.2 椭圆的简单几何性质(二)
课时过关·能力提升
一、基础巩固
������2 ������2
1.已知椭圆25 + 4 = 1的两个焦点为������1,������2,过点������2的直线交椭圆于������,������两点.若|������������| = 8,
则|������������1| + |������������1|的值为( )
②
由①②,得 a2=75,b2=25.
������2 ������2
故所求椭圆方程为25 + 75 = 1.
答案:
������2 25
+
������2 75
=
1
������2 ������2
7.已知椭圆 C:������2 + ������2 = 1(������ > ������ > 0)的左焦点为������,椭圆������与过原点的直线相交于������,������两点,
2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测：2.1.2-1椭圆的简单几何性质
2．1.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质填一填1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的简单几何性质(1)范围易知y 2b 2＝1－x 2a 2≥0，故x 2a ≤1，即－a ≤x ≤a ；同理－b ≤y ≤b .故椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形框里． (2)对称性在方程中，以－y 代替y 或以－x 代替x 或以－y 代替y 、以－x 代替x ，方程都不改变，故椭圆关于x 轴、y 轴和原点都对称．原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心．(3)顶点椭圆与x 轴、y 轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点．其中x轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，y轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为2a，短轴长为2b.说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置．(4)离心率椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆．2．椭圆x2a2＋y2b2＝1，y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的几何性质比较1.若点P (m ，n )在椭圆x 9＋y 2＝1上，则实数m 的取值范围是[－1,1]．(×)解析：椭圆焦点在x 轴上，且a ＝3，所以－3≤m ≤3.故错误．2．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则点(－3，－2)不在椭圆上．(×)解析：根据椭圆的对称性可知点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)均在椭圆上，故错误． 3．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是10,6,0.8.(√)解析：将方程25x 2＋9y 2＝225化为椭圆的标准方程为x 232＋y 252＝1，所以a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以e ＝c a ＝45＝0.8，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝6.4．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝23.(×)解析：由题椭圆x 22＋y 2m ＝1焦点在x 轴上，且离心率为12，故e ＝2－m 2＝12⇒m ＝32，故错误．5．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－233，233.(×)解析：因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故错误．6．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1.(×)解析：因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.故错误．1.提示：一般的步骤(通常采用待定系数法)：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于a ，b ，c 的关系式，利用方程(组)求出a ，b ，c .带入②即可．2．如何求解椭圆的离心率？提示：求解方法一般有两种：①易求a ，c ，代入e ＝ca 求解；易求b ，c ，由e ＝cb 2＋c 2求解；易求a ，b ，由e ＝a 2－b 2a 求解．②列出含a ，c 的齐次方程，列式时常用公式b ＝a 2－c 2代替式子中的b ，然后将等式两边同时除以a 的n 次方(一般除以a 或a 2)，从而利用e ＝ca转化为含e 的方程，解方程即可．但应注意0<e <1.思考感悟：1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6) 解析：因为椭圆的焦点在y 轴上，且a 2＝6，所以长轴的两个端点坐标为(0，－6)，(0，6)．故选D. 答案：D2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12解析：因为2x 2＋3y 2＝m (m >0)⇒x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以c 2＝m 2－m 3＝m 6，故e 2＝13，解得e ＝33.故选B.答案：B3．椭圆以两坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)答案：(0，±69)4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．解析：由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34. 答案：341.A ．|x |≤5，|y |≤3B ．|x |≤15，|y |≤13C ．|x |≤3，|y |≤5D ．|x |≤13，|y |≤15解析：椭圆方程可化为x 2125＋y219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上， 所以|x |≤15，|y |≤13.故选B.答案：B2．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相等 C ．C 1与C 2短轴长相等D ．C 1与C 2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程，可知C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.3.已知直线2x ＋y －2＝0经过椭圆x a 2＋y b2＝1(a >0，b >0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为( )A.x 25＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 26＋y 24＝1 解析：直线2x ＋y －2＝0与坐标轴的交点坐标为(1,0)，(0,2)， 由题意得c ＝1，b ＝2，所以a ＝b 2＋c 2＝5，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.答案：A4．已知椭圆中心在原点，一个焦点为(－3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D ．x 2＋y 23＝1 解析：∵一个焦点为(－3，0)， ∴焦点在x 轴上且c ＝ 3.∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a ＝2·2b ，即a ＝2b ，∴(2b )2－b 2＝3.∴b 2＝1，a 2＝4，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.答案：A5．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．解析：由2a ＝18，得a ＝9.又因为2c ＝183＝6，所以c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为x 281＋y 272＝1.答案：x 2＋y2＝16.椭圆x 2A.32 B.34 C.22 D.23 解析：将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程得x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，c ＝a 2－b 2＝32，离心率e ＝c a ＝32. 答案：A7．如图所示，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，则椭圆的离心率为________．解析：方法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则k AB ＝－ba.又PF ⊥x 轴，∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac .∵OP ∥AB ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac，∴b ＝c ，a 2＝2c 2，因此，a ＝2c ，∴e ＝22.方法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 又OP ∥AB ，∴∠POF ＝∠BAO ，∴Rt △OPF ∽Rt △ABO ，∴|PF ||BO |＝|OF ||AO |，即b 2a b ＝c a ， 即b a ＝c a ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 答案：228．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝π3，求椭圆离心率的取值范围． 解析：在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝π3，由余弦定理，可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以4c 2＝4a 2－3|PF 1|·|PF 2|. 结合基本不等式，可得4a 2－4c 2＝3|PF 1||PF 2|≤3⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝3a 2(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝a 时等号成立)，即a 2≤4c 2，可得e ≥12，又∵e <1，∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.一、选择题1．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为( )A ．2 B. 3C.32D.12解析：由椭圆的方程x 24＋y 23＝1可得a ＝2，b ＝3⇒c ＝1，所以椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ＝c a ＝12，故选D.答案：D2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1 C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 解析：椭圆方程9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1.答案：B3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y23＝1 解析：由题可知，椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为c a ＝63，c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.故选A.答案：A4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：由题可知e ＝c a ＝33，又△AF 1B 的周长为43，所以4a ＝43， 所以a ＝3，所以c ＝1.所以b 2＝a 2－c 2＝2.故C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A. 答案：A5．点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫±152，1B.⎝⎛⎭⎫152，±1C.⎝⎛⎭⎫152，1D.⎝⎛⎭⎫±152，±1 解析：设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1，∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，∵x 205＋y 204＝1，∴x 0＝±152.故选D. 答案：D6．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析：由条件知：F 1(－2,0)，B (0,1)，所以b ＝1，c ＝2，所以a ＝22＋12＝5，所以e ＝c a ＝25＝255.故选D. 答案：D7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，63 C.⎣⎡⎦⎤3－1，63 D.⎣⎡⎦⎤3－1，32解析：如图，因为AF ⊥BF ，所以点F 在以AB 为直径的圆上，则|OA |＝|OB |＝|OF |＝c .根据图形的对称性知，|AF |＋|BF |＝2a .又因为∠ABF ＝α，所以|AF |＋|BF |＝|AB |·cos α＋|AB |·sin α＝2c (sin α＋cos α)＝2a ，因此e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4.又因为α∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，所以e ∈⎣⎡⎦⎤3－1，63，故选C. 答案：C二、填空题8．比较椭圆①x 2＋9y 2＝36与②x 29＋y 25＝1的形状，则________更扁(填序号)． 解析：x 2＋9y 2＝36化为标准方程得x 236＋y 24＝1，故离心率e 1＝426＝223；椭圆x 29＋y 25＝1的离心率e 2＝23.因为e 1>e 2，故①更扁． 答案：① 9．若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝13，则k 的值为________． 解析：由题意得c a ＝13⇒a 2＝9c 2⇒a 2b 2＝98，即k ＋89＝98或k ＋89＝89，解得k ＝0或k ＝178. 答案：0或178 10．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________． 解析：∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4， 又∵a 2－1>0，∴a 2>1，∴1<a ≤2，故长轴长为2<2a ≤4. 答案：(2,4]11．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点的坐标为F (2,0)，给出下列四个条件：①短半轴长为2；②长半轴长为22；③离心率为22；④一个顶点坐标为(2,0)．其中可求得椭圆方程为x 28＋y 24＝1的条件有________(填序号)． 解析：只需保证a ＝22，b ＝2，c ＝2即可，而椭圆的顶点坐标为(0，±2)，(±22，0)，故①②③可求得椭圆方程为x 28＋y 24＝1. 答案：①②③12．与椭圆y 24＋x 23＝1有相同的离心率，且长轴长与x 28＋y 23＝1的长轴长相等的椭圆方程为________．解析：椭圆y 24＋x 23＝1的离心率为e ＝12，椭圆x 28＋y 23＝1的长轴长为4 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，2a ＝42，解得a ＝22，c ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝6. 又因为所求椭圆焦点既可在x 轴上，也可在y 轴上，故方程为x 28＋y 26＝1或y 28＋x 26＝1.答案：x 28＋y 26＝1或y 28＋x 26＝1 三、解答题13．求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解析：椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长：2a ＝18；短轴长：2b ＝6；焦点坐标：(0,62)，(0，－62)；顶点坐标：(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．离心率e ＝c a ＝223. 14．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程． 解析：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b2＝1， 得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32 ⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.15. (1)离心率e ＝34，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是8； (2)椭圆过定点A ⎝⎛⎭⎫2，212、B ⎝⎛⎭⎫－3，74. 解析：(1)∵P 到两焦点的距离和为8，∴2a ＝8，a ＝4，又∵e ＝c a ＝34，c ＝3， b 2＝16－9＝7，∴椭圆方程为x 216＋y 27＝1或y 216＋x 27＝1. (2)设椭圆方程为x 2m ＋y 2n＝1(m ≠n ≠0)， ∵椭圆过点A ⎝⎛⎭⎫2，212、B ⎝⎛⎭⎫－3，74， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ＋214n＝19m ＋4916n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝16n ＝7， ∴椭圆的方程为x 216＋y 27＝1. 16．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－3，0)、F 2(3，0)，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上的点M (x 0，y 0)满足MF 1⊥MF 2，求y 0的值．解析：(1)由题意得，(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫122b2＝1，且a 2－b 2＝3， 解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)点M (x 0，y 0)满足MF 1⊥MF 2，则有MF 1→·MF 2→＝0且y 0≠0，即(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)＝x20＋y20－3＝0①，＋y20＝1②，而点M(x0，y0)在椭圆C上，则x204取立①②消去x20，得y20＝13≠0，所以y0＝±33.。
[精品]新人教A版选修1-1高中数学强化训练2.1.2椭圆的简单几何性质和答案
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2.1.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的焦点在x轴上焦点在y轴上位置图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝______，长轴长＝______焦点焦距对称性对称轴是________，对称中心是______离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 216＋y 236＝1 C ．x 26＋y 24＝1 D ．y 26＋x 24＝13．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A ．3B ．32C ．83D ．234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。
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2.1.2 椭圆的简单几何性质
1.椭圆C1:=1与椭圆C2:x2+=1在扁圆程度上( )
A.C1较扁
B.C2较扁
C.C1与C2的扁圆程度一样
D.不能确定
答案:B
解析:∵C1的离心率e1=,C2的离心率e2=,且e1<e2,∴C2较扁.
2.已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-,0),(,0),离心率是,则椭圆C的方程为( )
A.+y2=1
B.x2+=1
C.=1
D.=1
答案:A
解析:∵,且c=,
∴a=,b==1.
∴椭圆C的方程为+y2=1.
3.设F1,F2是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
答案:C
解析:设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°,
在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos 60°=,
解得,故离心率e=.
4.椭圆=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是( )
A.±
B.±
C.±
D.±
答案:A
解析:由=1知a=2,b=.
∴c=3,不妨取F1(-3,0),F2(3,0).
又PF1的中点M在y轴上,则OM∥PF2,
∴PF2⊥x轴.
设P(3,y P),则=1,
∴y P=±,故y M=±.
5.若直线y=x+与椭圆x2+=1(m>0且m≠1)只有一个公共点,则该椭圆的长轴长为( )
A.1
B.
C.2
D.2
答案:D
解析:联立方程消去y得(1+m2)x2+2x+6-m2=0.
由已知Δ=24-4(1+m2)(6-m2)=0,
解得m2=5或m2=0(舍).
∴椭圆的长轴长为2.
二、填空题
6.一个顶点为(0,2),离心率e=,坐标轴为对称轴的椭圆方程为.
答案:=1或=1
解析:(1)当椭圆焦点在x轴上时,
由已知得b=2,e=,
∴a2=,b2=4,∴方程为=1.
(2)当椭圆焦点在y轴上时,
由已知得a=2,e=,
∴a2=4,b2=3,∴方程为=1.
7.已知椭圆C:+y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0<<1,则|PF1|+|PF2|的取值范围
为.
答案:[2,2)
解析:由于0<<1,
所以点P(x0,y0)在椭圆+y2=1内部,且不能与原点重合.
根据椭圆的定义和几何性质知,|PF1|+|PF2|<2a=2,且|PF1|+|PF2|的最小值为点P落在线段F1F2上,此时|PF1|+|PF2|=2.
故|PF1|+|PF2|的取值范围是[2,2).
8.椭圆=1(a为定值,且a>)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.
答案:
解析:如图所示,设椭圆右焦点为F1,AB与x轴交于点H,则|AF|=2a-|AF1|,△ABF的周长为
2|AF|+2|AH|=2(2a-|AF1|+|AH|),
∵△AF1H为直角三角形,∴|AF1|>|AH|,仅当|AF1|=|AH|,即F1与H重合时,△AFB的周长最大,即最大周长为2(|AF|+|AF1|)=4a=12,∴a=3,而b=,∴c=2,离心率e=.
三、解答题
9.已知椭圆的中心为坐标原点,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A,B两点,且与m=(3,-1)共线,求椭圆的离心率.
解:设椭圆方程为=1(a>b>0),右焦点为(c,0),
则直线方程为y=x-c.
联立方程消去y得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,y1+y2=x1+x2-2c=-2c=.
∵与m=(3,-1)共线,
∴(x1+x2)+3(y1+y2)=0.
∴2a2c-6b2c=0,∴a2=3b2.
∴c2=2b2.∴e2=.
∴椭圆的离心率为e=.
10.设椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,=2.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)如果|AB|=,求椭圆C的方程.
解:设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1<0,y2>0).
(1)直线l的方程为y=(x-c),其中c=.
联立消去x得
(3a2+b2)y2+2b2cy-3b4=0.
解得y1=,y2=,
因为=2,所以-y1=2y2,
即=2²,
得离心率e=.
(2)因为|AB|=|y2-y1|,
所以².
由得b=a.
所以a=,得a=3,b=.
所以椭圆C的方程为=1.。