广东省2020届高三六校联盟第三次联考文科数学试题及答案

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2020届广东省惠州市高三第三次调研考试数学(文)试题(解析版)

2020年1月2日高中数学作业一、单选题1．若{}{}=0,1,2,32,A B y y x x A ==∈，，则A B =U （）A ．{}0,2,4,6B ．{}0,2C ．{}0,1,2,3,4,6D ．{}0,1230246,,,,,, 【答案】C【解析】【分析】先求集合B ，再根据并集定义求结果.【详解】∴B={0,2,4,6}A B=｛0，1，2，3，4，6｝Q U . 故选：C【点睛】本题考查集合并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2．设i 为虚数单位，复数212z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应的点在第（）象限A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法求复数代数形式，再确定象限.【详解】 22111122422z ⎛⎫⎫=+=+⋅+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以z 在复平面内对应的点为12⎛-⎝⎭，在第二象限. 故选：B【点睛】3．已知数列{}n a 是等比数列，函数2=53y x x -+的两个零点是15a a 、，则3a =（）A ．1B ．1-C ．D 【答案】D【解析】【分析】根据韦达定理得155a a +=，再根据等比数列性质结果.【详解】由韦达定理可知155a a +=，153a a ⋅=，则10a >，50a >，从而30a >，且231533a a a a =⋅=∴=故选：D【点睛】本题考查方程与函数零点关系以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．“()()110m a -->”是“log 0a m >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当()() “110m a -->”时，则11m a >⎧⎨>⎩或11m a <⎧⎨<⎩ 此时a log m 可能无意义，故0a log m >不一定成立，而当0a log m >时，则11m a >⎧⎨>⎩或0101m a <<⎧⎨<<⎩，“()() 110m a -->”成立故“()() 110m a -->”是0a log m >的一个必要不充分条件。

2024届广东省高三第三次六校联考数学试题及答案

东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第三次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2A =，集合{}2,0,1B =-，则A B = （）A. {}0,1B. {}2,0- C. {}2,1,0- D. {}0,1,22. 若复数z 满足()34i 1z -=，则z =（）A. 1B.15C.17 D.1253. 已知非零向量a 、b 满足2b a = ，且()a a b ⊥- ，则a 与b夹角为（）A.π3B.π2C.2π3D.5π64. 已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（）A. 12-B.12C. 45-D.455. 已知函数()sin2f x x =和直线l ：2y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22121a b a b+++的最小值为（）A. 1+B. 2+C. 3+D. 4+7. 已知三棱锥S ABC -如图所示，AS 、AB 、AC两两垂直，且AS AB AC ===E 、F 分别是棱AS 、BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC -的体积为（）的A.B.C.D.8. 已知数列{}k a 为有穷整数数列，具有性质p ：若对任意的{}1,2,3,4n ∈，{}k a 中存在i a ，1i a +，2i a +，…，i j a +（1i ≥，0j ≥，i ，N j *∈），使得12i i i i j a a a a n ++++++⋅⋅⋅+=，则称{}k a 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（）A. 1,1,1B. 1,1,2C. 1,3,1D. 2,3,6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A 9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),8b k = ，若//a b r r，则6k =B. 若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则a b= C. 若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D. 若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a 上投影向量为2a10. 已知函数22si 1()s cos co n f x x x x =+-的图象为C ，以下说法中正确的是（）A. 函数()f xB. 图象C 相邻两条对称轴的距离为π2C. 图象C 关于π,08⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D.要得到函数in y x =的图象，只需将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位.的11. 若函数()f x 的定义域为D ，若对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，则称()f x 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（）A. 函数()ln f x x =是“Ⅰ型函数”B. 函数()sin f x x =是“Ⅰ型函数”C. 若函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则函数()1f x -也是“Ⅰ型函数”D. 已知R m ∈，若()sin f x m x =+，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“Ⅰ型函数”，则12m =12. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AC 上一动点，则下列判断正确的是（）A. 存在点P ，使得11//C P AB B. 三棱锥1P BC D -C. 当P 为1AC 的中点时，过P 与平面1BC DD. 存在点P ，使得点P 到直线11B C 的距离为45三、填空题：本题共45分，共20分.13. 关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a b +=______.14. 已知数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则210log a =_________.15. 已知函数()()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()()20f x a f x -⋅=有六个不等的实根，则实数a 的取值范围是______.16. 如图，已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2≤ϕ）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，π3OCB ∠=，2OA =，AD =.则函数()f x 在[]1,6上的值域为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()211n n nS n S n n +=+++，n *∈N .（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n S 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 前n 项和为n T ，求n T .18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=-.（1）求角A 的值；（2）已知点D 为BC 的中点，且2AD =，求a 的最大值.19. 若二次函数()f x 满足()()25152f x f x x x +=---（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()ln g x x x f x =+，解关于x 的不等式：()()22g x x g +≥.20. 如图（1）所示，在ABC 中，60ABC ∠= ，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC上，且AD =CD =，沿AD 将CDA 折起（如图（2）），点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点.的（1）证明：AD EF ⊥；（2）若二面角C DA B --所成角的正切值为2，求二面角C DF E --所成角的余弦值.21. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列，14a =，364a =.数列{}n b 满足：21n n nb a a =+（N n *∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：{}22n n b b -是等比数列；（3）证明：)N*k n k =∑<∈22. 已知函数()()ln f x x t x =-，R t ∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1t =时，设1x ，2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x a ==，证明：121(2e)e ex x a +>-+-..东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第三次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2A =，集合{}2,0,1B =-，则A B = （）A. {}0,1B. {}2,0- C. {}2,1,0- D. {}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为{}0,1,2A =，{}2,0,1B =-，所以{}0,1A B = .故选：A2. 若复数z 满足()34i 1z -=（）A. 1 B.15C.17D.125【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算及模长公式计算即可.【详解】由()()()134i 34i 3434i 1i 34i 34i 34i 252525z z ++-=⇒====+-+⋅-，所以15z ==.故选：B.3. 已知非零向量a 、b 满足2b a = ，且()a ab ⊥- ，则a 与b的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3D.5π6【答案】A【解析】【分析】分析可得()0a a b ⋅-= ，利用平面向量数量积的运算性质可得出cos ,a b的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出a 与b的夹角.【详解】因为非零向量a 、b满足2b a = ，且()a ab ⊥- ，则()2222cos ,2cos ,0a a b a a b a a b a b a a a b ⋅-=-⋅=-⋅=-=，所以，1cos ,2a b = ，又因为0,πa b ≤≤ ，故π,3a b = .因此，a 与b 的夹角为π3.故选：A.4. 已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（）A. 12-B.12C. 45-D.45【答案】C 【解析】【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=，解得tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.5. 已知函数()sin2f x x =和直线l ：2y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线l 与曲线()y f x =相切，求出2π,a k k Z =-∈，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论．【详解】设函数()sin 2f x x =和直线:2l y x a =+的切点坐标为()00,x y ，则()0000'2cos 22sin 22f x x x x a ⎧==⎨=+⎩，可得2π,a k k Z =-∈，所以0a =时，直线l 与曲线()y f x =相切；直线l 与曲线()y f x =相切不能推出0a =．因此“0a =”是“直线l 与曲线()y f x =相切”的必要不充分条件．故选：B ．6. 已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22121a b a b+++的最小值为（）A. 1+B. 2+C. 3+D. 4+【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】正实数,a b 满足21a b +=，则221211111(2)()1(2)()a b a b a b a b a b a b+++=+++=+++2444b a a b =++≥+=+2b a a b =，即1a ==-时取等号，所以当1,1a b ==时，22121a b a b +++取得最小值4+.故选：D7. 已知三棱锥S ABC -如图所示，AS 、AB 、AC两两垂直，且AS AB AC ===E 、F 分别是棱AS 、BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC -的体积为（）A.B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，证明出GH ⊥平面SAB ，计算出三棱锥C SAB -、G SEF -的体积，可得出EFG ABC C SAB G SEF V V V ---=-，即可得解.【详解】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，因为AC AB ⊥，AC SA ⊥，AB AS A ⋂=，AB 、AS ⊂平面SAB ，所以，AC ⊥平面SAB ，因为//GH AC ，则GH ⊥平面SAB ，且34GH SG AC SC ==，则34GH AC ==因为E 、F 分别为SA 、BS 的中点，则(21111442SEF ABS S S ==⨯⨯=△△，所以，11133G SEF SEF V S GH -=⋅=⨯=△(3111332C SABSAB V S AC -=⋅=⨯⨯=△，因此，EFG ABC C SAB G SEF V V V ---=-==故选：C.8. 已知数列{}k a 为有穷整数数列，具有性质p ：若对任意的{}1,2,3,4n ∈，{}k a 中存在i a ，1i a +，2i a +，…，i j a +（1i ≥，0j ≥，i ，N j *∈），使得12i i i i j a a a a n ++++++⋅⋅⋅+=，则称{}k a 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（）A. 1,1,1 B. 1,1,2C. 1,3,1D. 2,3,6【答案】B 【解析】【分析】根据新定义进行验证即可得．【详解】选项A 中，1233a a a ++=，和不可能为4，A 不是4-连续可表数列；选项B 中，112231231,2,3,4a a a a a a a a =+=+=++=，B 是4-连续可表数列；选项C 中，没有连续项的和为2，C 不是4-连续可表数列；选项D 中，没有连续项的和为1，D 不是4-连续可表数列．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A. 9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),8b k = ，若//a b r r ，则6k =B. 若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则a b= C. 若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D. 若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a【答案】CD 【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A 选项；利用向量垂直的表示可判断B 选项；利用三角形重心的向量性质可判断C 选项；利用投影向量的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，已知9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，(),8b k = ，若//a b r r ，则298362k =⨯=，解得6k =±，A 错；对于B 选项，若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则()0a c b c c a b ⋅-⋅=⋅-= ，所以，a b = 或()c a b ⊥-，B 错；对于C 选项，若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=，C 对；对于D 选项，若向量()1,1a =- ，()2,3b =，则向量b 在向量a上的投影向量为21cos ,2a a b a a b b a b b a a a a b a a⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅，D 对.故选：CD.10. 已知函数22si 1()s cos co n f x x x x =+-的图象为C ，以下说法中正确的是（）A. 函数()f xB. 图象C 相邻两条对称轴的距离为π2C. 图象C 关于π,08⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D.要得到函数in y x =的图象，只需将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位【答案】BCD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为22si 1()s cos co n f x x x x =+-cos 2111sin2π222224x x x x x ⎫+⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以函数()f x，故A 错误；函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，所以图象C 相邻两条对称轴的距离为π2，故B 正确；因为πππ20884f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以图象C 关于π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；将()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到y x =，故D 正确；故选：BCD11. 若函数()f x 的定义域为D ，若对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，则称()f x 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（）A. 函数()ln f x x =是“Ⅰ型函数”B. 函数()sin f x x =是“Ⅰ型函数”C. 若函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则函数()1f x -也是“Ⅰ型函数”D. 已知R m ∈，若()sin f x m x =+，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“Ⅰ型函数”，则12m =【答案】ACD 【解析】【分析】根据所给函数的定义求解C ，根据对数运算求解A ，根据三角函数的周期性以及单调性求解BD.【详解】对于A,由()()121f x f x +=可得121212ln ln 1ln 1e x x x x x x +=⇒=⇒=，所以21ex x =，故A 正确，对于B ，取1π2x =，则由()()121f x f x +=以及()sin f x x =可得22sin 0π,Z x x k k =⇒=∈,故这与存在唯一2x D ∈矛盾，故B 错误，对于C ，由于函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，故()()12111f x f x -+-=，因此对于对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()12111f x f x -+-=，故()1f x -是“Ⅰ型函数”，C 正确，对于D ，对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得12sin sin 1m x m x +++=，所以21sin 12sin x m x =--，由于[]11ππ,,sin 1,122x x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣∈⎦，所以[]21sin 12sin 2,22,x m x m m =--∈--，由于sin y x =在ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦单调递增，的所以21m -≥-且221m -≤，故12m =，D 正确，故选：ACD12. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AC 上一动点，则下列判断正确的是（）A. 存在点P ，使得11//C P ABB. 三棱锥1P BC D -C. 当P 为1AC 的中点时，过P 与平面1BC DD. 存在点P ，使得点P 到直线11B C 的距离为45【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间坐标系，根据向量共线求解A ，根据正三棱锥的性质，结合外接球半径的求解即可判定B ，根据面面平行的性质，结合六边形的面积求解即可判定C ，建立空间坐标系，利用点线距离的向量求法，由二次函数的性质即可求解D.【详解】由于111BC C D BD BDC ===∴ 为等边三角形，且其外接圆的半径为12r ==，由于1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又11,,,AC BD AC AA A AC AA ⊥⋂=⊂平面11AAC C ，所以BD ⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，故1BD AC ⊥，同理可证11BC AC ⊥,因此11,,BD BC B BD BC ⋂=⊂平面1BDC ，故1AC ⊥平面1BDC ，因此三棱锥1P BC D -为正三棱锥，设外接球半径为R ，球心到平面1BDC 的距离为h ，则R =0h =时，R r ==B 正确，取11,,ABCD AD 的中点为,M Q ,N ,连接,,NM MQ NQ ,当P 是1AC 的中点，也是QM 的中点，则该截面为与平面1BC D 平行的平面截正方体所得的截面，进而可得该截面为正六边形，边长为NM==,所以截面面积为16sin602⎛⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，C正确，对于D,建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()10,0,0,0,1,0,1,0,1D C A()111,0,0C B DA==,设()()111,1,1,,A P a A C a a a a==--=--，(01a≤≤),()()()1111,,0,1,0,1,B P A P A B a a a a a a=-=---=---,所以点P到直线11B C的距离为d====，由于01a≤≤，所以d⎤=⎥⎦，由于45⎤∈⎥⎦,故D正确，由于()()1,1,,1,,1B P a a a P a a a=---∴--，()10,1,1C,则()11,1,C P a a a=---,()()()111,0,0,1,1,1,0,1,1A B AB=,若()10,1,1AB=与()11,1,C P a a a=---共线，则10a-=，1a=，此时()10,0,1C P=-，此时()10,1,1AB=与()10,0,1C P=-不共线，故11,C P AB不平行故A错误，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 关于x 不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a b +=______.【答案】43-##113-【解析】【分析】分析可知，3-、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，利用韦达定理可得出a b +的值.【详解】因为关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a<0，且3-、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，由韦达定理可得31a b a +-+=-，231a -⨯=，解得23a =-，所以，423a b a +==-.故答案为：43-.14. 已知数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则210log a =_________.【答案】9【解析】【分析】根据10109a S S =-求出10a ，再根据对数的运算性质计算可得.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，所以()10991010921212a S S =-=---=，所以92102log log 29a ==.故答案为：9的15. 已知函数()()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()()20f x a f x -⋅=有六个不等的实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(0,1)【解析】【分析】方程变形为()0f x =或()f x a =，其中()0f x =可解得两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象得它们有4个交点时的参数范围．【详解】2()()0f x af x -=，则()0f x =或()f x a =，2100x x -=⇒=，2(2)02x x -=⇒=，即()0f x =有两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象可知，当01a <<时满足题意，故答案为：(0,1)．16. 如图，已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2≤ϕ）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，π3OCB ∠=，2OA =，AD =.则函数()f x 在[]1,6上的值域为______.【答案】816,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】π|sin |2A ϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据||AD =222π28(1243A sin ϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ，即可求出()f x ，再由三角函数的性质求解．【详解】由题意可得：||||OB OC =，2πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，(2,0)A ，2,0B πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(0,sin )C A ，πsin 1,22A D ϕω⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，AD = ，222πsin 281243A ϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，把πsin A ϕω=+代入上式可得：2ππ(2240ωω-⨯-=，0ω>.解得π6ω=，π6ω∴=，πsin()03ϕ∴+=，π||2ϕ≤，解得π3ϕ=-.πsin 263⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，0A >，解得163A =，所以函数16ππ()sin()363f x x =-，[]1,6x ∈时，πππ2π,6363x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ1sin(,1632x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，16ππ816()sin(),36333f x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：816,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()211n n nS n S n n +=+++，n *∈N .（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n S 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）证明见解析，2n S n = （2）n T =【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可得出数列{}n S 的通项公式；（2）利用n S 与n a 的关系可求出数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法可求得n T .【小问1详解】解：对任意的n *∈N ，()211n n nS n S n n +=+++，则()()()21111111n n n n nS n S S S n nn n n n n n ++-++-===+++，所以，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且其首项为111S =，公差为1，所以，11nS n n n=+-=，故2n S n =.【小问2详解】解：当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，11a =也满足21n a n =-，故对任意的n *∈N ，21n a n =-.所以，()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，故111111111111232352212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=-.（1）求角A 的值；（2）已知点D 为BC 的中点，且2AD =，求a 的最大值.【答案】（1）2π3A = （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用平面向量的线性运算可得出2AD AB AC =+，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理、基本不等式可得出关于a a 的最大值.【小问1详解】解：因为A 、()0,πC ∈，则sin 0C >，由正弦定理可得()2cos sin sin cos sin cos sin sin A C B A A B A B C -=+=+=，所以，1cos 2A =-，故2π3A =.【小问2详解】解：因为D 为BC 中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，所以，2AD AB AC =+，所以，22222222π422cos 163AD AC AB AC AB b c bc b c bc =++⋅=++=+-= ，由余弦定理可得222222π2cos 3a b c bc b c bc =+-=++，所以，222162a b c ++=，2216bc a =-，的由基本不等式可得222b c bc +≥，即2216162a a +≥-，解得0a <≤，当且仅当2216b cb c bc =⎧⎨+-=⎩时，即当4b c ==时，等号成立，故a的最大值为19. 若二次函数()f x 满足()()25152f x f x x x ++=---（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()ln g x x x f x =+，解关于x 的不等式：()()22g x x g +≥.【答案】（1）()2122f x x x =-- （2）[)(]2,10,1--⋃【解析】【分析】（1）()()20f x ax bx c a =++≠，根据()()25152f x f x x x ++=---可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）求出函数()g x 的定义域，利用导数分析函数()g x 的单调性，由()()22g x x g +≥可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得实数x 的取值范围.【小问1详解】解：设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()22111f x f x a x b x c ax bx c++=+++++++()225222252ax a b x a b c x x =+++++=---，所以，21225522a a b a b c ⎧⎪=-⎪+=-⎨⎪⎪++=-⎩，解得1220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，故()2122f x x x =--.【小问2详解】解：函数()()2l ln 1n 22x x x x g x x x f x +-==-的定义域为()0,∞+，且()ln 12ln 1g x x x x x '=+--=--，令()ln 1h x x x =--，其中0x >，则()111x h x x x-'=-=，由()0h x '>可得01x <<，由()0h x '<可得1x >，所以，函数()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故对任意的0x >，()()()10g x h x h '=≤=，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数，由()()22g x x g +≥可得202x x <+≤，解得21x -≤<-或01x <≤，因此，不等式()()22g x x g +≥的解集为[)(]2,10,1--⋃.20. 如图（1）所示，在ABC 中，60ABC ∠= ，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上，且AD =CD =，沿AD 将CDA 折起（如图（2）），点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点.（1）证明：AD EF ⊥；（2）若二面角C DA B --所成角的正切值为2，求二面角C DF E --所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1319【解析】【分析】（1）证明出AD ⊥平面BCD ，可得出AD BC ⊥，利用中位线的性质可得出//EF BC ，即证得结论成立；（2）分析可知，二面角C DA B --的平面角为BDC ∠，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角C DF E --所成角的余弦值.【小问1详解】证明：翻折前，AD BC ⊥，则AD CD ⊥，AD BD ⊥，翻折后，则有AD CD ⊥，AD BD ⊥，因为BD CD D ⋂=，BD 、CD ⊂平面BCD ，所以，AD ⊥平面BCD ，因为BC ⊂平面BCD ，所以，AD BC ⊥，在四棱锥A BCD -中，因为点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点，则//EF BC ，因此，AD EF ⊥.【小问2详解】解：因为AD CD ⊥，AD BD ⊥，则二面角C DA B --的平面角为BDC ∠，即tan 2BDC ∠=，因AD ⊥平面BCD ，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为60ABD ∠=o ，AD BD ⊥，AD =2tan 60AD BD ===，又因为CD =()0,A 、()2,0,0B 、()1,0,2C 、()0,0,0D、12E ⎛⎫⎪⎝⎭、()F ，设平面CDF 的法向量为()111,,m x y z =，()1,0,2DC =，()DF = ，则1111200m DC x z m DF x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，可得(2,m =- ，设平面DEF 的法向量为()222,,x n y z = ，1,0,12EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则22220102n DF x n EF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =，可得(n =- ，为所以，13cos ,19m n m n m n ⋅===⋅，由图可知，二面角C DF E --的平面角为锐角，故二面角C DF E --的余弦值为1319.21. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列，14a =，364a =.数列{}n b 满足：21n n nb a a =+（N n *∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：{}22n n b b -是等比数列；（3）证明：)N*k n k =∑<∈.【答案】（1）2144nn n b =+（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式运算可得{}n a 的通项公式，进而求出数列{}n b 的通项公式；（2）运算可得2224nn n b b -=⋅，结合等比数列的定义即可得证；（3）放缩得2222(21)(21)422n n n n n n b b -+<-⋅，进而可得112k k n n k ==-∑<∑，结合错位相减法即可得证.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2231464a a q q =⋅==，则4q =，所以1444n n n a -=⋅=，又221144n n n n n b a a =+=+.【小问2详解】所以22242211442444n n n n n n nb b ⎛⎫⎛⎫-=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以220nn b b -≠，且211222224424n n n nn n b b b b +++-⋅==-⋅，所以数列{}22n n b b -是首项为8，公比为4的等比数列；【小问3详解】由题意知，()()2222222121(21)(21)414242222n n nn n n n n n n n b b -+-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-<==，所以112k k n n k==-∑<∑，设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n nT =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以4n T =所以1112422k k n n n k n ==--+⎫∑<∑=-<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为k n =∑相减法即可得证.22. 已知函数()()ln f x x t x =-，R t ∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1t =时，设1x ，2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x a ==，证明：121(2e)e ex x a +>-+-.【答案】22. ()10,e t -上单调递增，()1e,t -+∞上单调递减.23. 证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性；（3）利用切割线放缩证明.【小问1详解】()()ln f x x t x =-,()n 1l 1ln t x f x t x x x ⎛'⎫-⎝=-+=-- ⎪⎭,()100e t f x x ->⇔<<',()10e t x f x -<⇔>',()10,e t -上单调递增，()1e,t -+∞上单调递减.【小问2详解】()()1ln f x x x =-,()ln f x x '=-,()()1ln f x x x =-在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减.()11f =()e 0f =，()()00000211ln lim lim 1ln lim lim lim 011x x x x x x x f x x x x x x +++++→→→→→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭=--⎝-==⎭，因()10f x x'⎤⎦=-<⎡⎣'，所以函数()f x 在区间()0,e 上为上凸函数，函数()f x 在区间(]0,e 的图象如图所示.不妨设12x x <，则1201e x x <<<<.连接()1,1A 和点()e,0的直线l 2的方程为：()1e 1ey x =--,当y a =时，()41e e x a =-+,由图可知24x x >,所以要证明121(2e)e e x x a +>-+-，只需证明411(2e)e ex x a +>-+-，即只需证明1411(2e)e e ex a x a >-+--=-，连接OA 的直线1l 的方程为y x =,设函数()f x 的图象的与OA 平行的切线是直线3l ，为()1ln 1e x f x x '-===⇒，11121ln e e e e f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭=，直线3l 的方程为21e e y x -=-,即1ey x =+，令y a =,得直线y a =与直线3l 的交点横坐标为1ea -,由图可知，11ex a >-，故要证不等式成立.。

2020届广东省六校第三次联考文科数学+答案

2020届高三六校联盟第三次联考试题文科数学命题学校：珠海市第一中学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合{}123A ,,=，{}|(1)(2)0,B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃等于( ) A ．{}1 B ．{}12, C ．{}0123,,,D ．{}10123,,,,-2．若复数z 满足(1)2z i i +=（i 为虚数单位），则z =（） A ．1B ．2C ．22D ．233．已知向量1a ,m =（）r ，32b ,=-（）r ，且a b b +⊥（）rr r ，则m =( )A ．8-B ．6-C ．6D ．84．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述不正确的是( )A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好5．已知直线1l ：0(1)x y m m ++=+，2l ：210mx y ++=，则“12l l //”的一个必要不充分条件是（）A ．2m =-或1m =B ．1m =C ．2m =-D ．2m =或1m = 6．已知0a >，0b >，并且1a ，12，1b成等差数列，则9a b +的最小值为( ) A ．16B ． 9C ．5D ． 47．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a,b 分别为52,，则输出的n 等于( )A ． 2B ． 3C ．4D ．5 8．若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是( ) A.8πB. 38 πC. 2 πD. 58π9．在正四棱锥S ABCD -中，E ,M ,N 分别是BC ，CD ，SC 的中点．动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论，不一定成立的为（） ①EP AC ⊥； ②EP BD ∥； ③EP ∥平面SBD ； ④EP ⊥平面SAC . A ．①③ B ．③④ C ．①② D ．②④10．已知函数1()1f x x lnx =--，则()y f x =的图象大致为( )A B C D11．设F 为双曲线C ：()2222100x y a ,b a b-=>> 的右焦点，过F 且斜率为a b 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于AB ，两点，且2AF BF =uu u r uu u r，则双曲线C 的离心率为（） A ．2B ．233C ．3或2D ．233或212．已知球O 的表面积为64π，,,A B C 在球面上，且线段AB 的长为42，记AB 的中点为D ，若OD 与平面ABC 的所成角为60︒，则三棱锥O ABC -外接球的体积为（）A ．256327π B ．512327π C ．256627π D ．512627π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线ln 2()x xf x x-=在点(1,2)-处的切线方程为．14．在数列{}n a 中，13a =，()111n n a a n n +=++，则通项公式n a = ．15．如图，ABC V 上，D 是BC 上的点，且AC CD =，23AC AD =，2AB AD =，则sin B 等于．16．设函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减,则实数a 的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17至21题为必考题，每位考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S ．18．（12分）等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，D 为AC 的中点，正方形11BCC B 与三角形ABC 所在的平面互相垂直．（1）求证：1AB //平面1DBC ；（2）若2AB =，求点D 到平面1ABC 的距离．19．（12分）某校学生营养餐由A 和B 两家配餐公司配送.学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分.根据收集的80份问卷的评分，得到如图A 公司满意度评分的频率分布直方图和如表B 公司满意度评分的频数分布表：满意度评分分组频数[50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90)14 [90,100]2（1）根据A 公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数；（2）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A 公司评分的概率；（3）不经过计算，请从平均数和方差两个角度，对A 、B 两家公司做出评价．20．（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b ab+=>>的右焦点为()1,0F ，短轴长为2，过定点()0,2P 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A 、B （点B 在点A ，P 之间）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若射线BO 交椭圆C 于点M （O 为原点），求ABM ∆面积的最大值．21．（12分）已知函数()2pf x px ln x x=--．（1）若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（2）设()2e g x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x >成立，求实数p 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为14x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点M 的坐标为()14,，求MA MB +的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）若a b c R ∈＋，，，且满足2a b c ++=．（1）求abc 的最大值；（2）求111a b c ++的最小值．2020届高三六校联盟第三次联考文科数学参考答案一、选择题CBDCA ACA D B DD二、填空题13、30x y --= 14、14n -15、6 16、(]1,2 三、解答题17、解：（1）设{}n a 的公比为q 由已知得3162q =，解得2q =，所以2n n a =………………5分（2）由（1）得38a =，532a =，则38b =，532b = ………………7分设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=+=⎧⎨⎩解得11612b d =-=⎧⎨⎩ ………………9分从而1612(1)1228n b n n =-+-=- 所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==- ……………12分18、解：（1）连1B C ,设1B C 交1BC 于O ,连OD ,如下图所示: 因为O 为1B C 的中点,D 为AC 的中点, 则1//OD ABOD ⊂面1BDC ,1AB ⊂/面1BDC所以1AB ∥平面1DBC ………………6分（2）因为等腰直角三角形ABC 中,90BAC ∠=︒ 则BA AC ⊥,又因为1BA CC ⊥ 所以BA ⊥平面1ACC 则1BA AC ⊥设点D 到平面1ABC 的距离为h . 由11D ABC C ABD V V --=,代入可得11121332h ⨯=⨯⨯⨯⨯解得3h =分19、解：（1）设A 公司调查的40份问卷的中位数为x ，则有0.015100.025100.03(70)0.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得：73.3x ≈，所以，估计该公司满意度得分的中位数为73.3． ………………4分（2）满意度高于90分的问卷共有6份，其中4份评价A 公司，设为1a ，2a ，3a ，4a ，2份评价B 公司，设为1b ，2b从这6份问卷中随机取2份，所有可能的结果有：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，34(,)a a ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，12(,)b b ，共有15种．其中2份问卷都评价A 公司的有以下6种：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，23(,)a a ，24(,)a a ，34(,)a a ．设两份问卷均是评价A 公司为事件C ，则有62()155P C ==． ………………10分（3）由所给两个公司的调查满意度得分知：A 公司得分的平均数数低于B 公司得分的平均数，A 公司得分比较分散，而B 公司得分相对集中，即A 公司得分的方差高于B 公司得分的方差． ……………12分20、解：(1)因为右焦点为()1,0F ,故221a b -=.又短轴长为2,故22,1b b ==,解得2221a b ==⎧⎨⎩故椭圆C 的方程：2212x y += ……………4分(2)当直线l 斜率不存在时, 直线:0l x =,不合题意,舍去.当直线l 斜率存在时,设直线:2l y kx =+,1122(,),(,)A x y B x y .联立直线与椭圆22122x y y kx +==+⎧⎪⎨⎪⎩有22(12)860k x kx +++=,此时122812k x x k +=-+,122612x x k =+.222644()6023012k k k ∆=-⨯>⇒->+ . ……………7分12122212ABM ABO S S OP x x k∆∆==⨯⋅-=+ ……………9分令0t => ,则ABM S t t ∆==≤=+故ABM ∆……………12分21、解：（1）22222'()p px x pf x p x x x-+=+-= 令2()2h x px x p =-+，要使()f x 在其定义域(0,)+∞内是单调函数，只需()h x 在(0,)+∞内满足：()0h x ≥或()0h x ≤恒成立. ……………2分当且仅当2(1)2p x x +≥时()0h x ≥，2(1)2p x x +≤时()0h x ≤，210x +>Q ∴当且仅当221x p x ≥+时()0h x ≥，221xp x ≤+时()0h x ≤，Q 在(0,)+∞内有2222201111x x x x x x <==≤+++当且仅当1x x=即1x =时取等 ∴当1p ≥时()0h x ≥，'()0f x ≥，此时()f x 在(0,)+∞单调递增，当0p ≤时()0h x ≤，'()0f x ≤，此时()f x 在(0,)+∞单调递减，综上，p 的取值范围为1p ≥或0p ≤. ……………5分（2）∵2()eg x x=在[1,]e 上是减函数， ∴x e =时，min ()2g x =；时，max ()2g x e =，即()[2,2]g x e ∈，①当0p ≤时，由（1）知()f x 在[1,]e 上递减max ()(1)02f x f ⇒==<，不合题意； ②当01p <<时，由1[1,]0x e x x∈⇒-≥，又由（1）知当1p =时，()f x 在[1,]e 上是增函数， ∴1111()()2ln 2ln 2ln 22f x p x x x x e e e x x e e=--≤--≤--=--<，不合题意； ③当1p ≥时，令()()()x f x g x ϕ=-，[1,]x e ∈，由题意可得，只需[1,]x e ∈时()0max x ϕ≥即可；由（1）知()f x 在[1,]e 上是增函数，(1)02f =<，又()g x 在[1,]e 上是减函数，则()max min max ()()x f x g x ϕ=-，[1,]x e ∈，而max 1()()()2ln f x f e p e e e==--，min ()2g x =，则只需()max 1()2ln 20x p e e e ϕ=--->，解得241e p e >-，综上，p 的取值范围是24(,)1ee +∞- ……………12分 22、解：(1)圆C 的方程为4sin ρθ=，24sin ρρθ∴=，∴圆C 的直角坐标方程为2240x y y +-=．即22(2)4x y +-=． ……………4分 (2)将直线l 的参数方程代入圆的方程，整理，得210t -+=，184140∆=-=>，设,A B 对应的参数为1t ，2t ，则12t t +=121t t =1t ∴， 2t 均为正数，又直线l 过1,4M （），由t 的几何意义得：1212||||||||MA MB t t t t +=+=+= ……………10分23、解:（1）因为a b c R ∈＋，，，所以2a b c =++…，故827abc ….当且仅当23a b c ===时等号成立，所以abc 的最大值为827. ……………4分（2）因为a b c R ∈＋，，，且2a b c ++=，所以根据柯西不等式，可得1111111()()2a b c abca b c++=++++222222]1]2=++⋅++21922≥=.所以11192a bc ++≥. ……………10分。

2020届广东省六校联盟高三下学期第三次联考数学(文)试题(解析版)

2020届广东省六校联盟高三下学期第三次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃= A ．{1} B ．{12}， C ．{0123}，，， D ．{10123}-，，，，【答案】C【解析】试题分析：集合{}{|12,}0,1B x x x Z =-<<∈=，而{}1,2,3A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，故选C.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（）A ．1B ．2CD ．【答案】C【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1z i =+=【考点】复数的模3．已知向量()()1,3,2a m b ==-v v ，，且()a b b +⊥vv v ，则m =( )A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D【解析】由已知向量的坐标求出a b +rr 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-r r r r ，又()a b b +⊥rr r ，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4．AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是()A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日,空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知,AQI不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. AQI最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是929593.52+=,C错.从图中可以4日到9日AQI越来越小,D对.所以选C.5．已知直线l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则“l1∥l2”的必要不充分条件是（）A．m＝﹣2 B．m＝1 C．m＝﹣2或m＝1 D．m＝2或m＝1【答案】C【解析】直线l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0平行的充要条件是“m＝﹣2”，进而可得答案．【详解】∵直线l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，若l1∥l2，则m（m+1）-2＝0，解得：m＝﹣2或m＝1当m＝1时，l1与l2重合，故“l1∥l2”⇔“m＝﹣2”，故“l1∥l2”的必要不充分条件是“m＝-2或m＝1”，故选：C．【点睛】本题主要考查了充要条件的定义，难度不大，属于容易题.6．已知0a >，0b >，并且1a ，12，1b成等差数列，则9a b +的最小值为( ) A ．16 B ．9C ．5D ．4【答案】A【解析】根据题意，由等差中项的定义分析可得11a b+=1，进而分析可得a +9b ＝（a +9b ）（11a b +）＝109b aa b++，由基本不等式的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，a ＞0，b ＞0，且1a ，12，1b成等差数列，则11a b +=212⨯=1；则a +9b ＝（a +9b ）（11a b +）＝109b a a b ++≥10+29b aa b⨯=16；当且仅当9b a a b =，即a 4,b ==43时取到等号， ∴a +9b 的最小值为16；故选A ．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，关键是分析得到11a b+=1． 7．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：当1n =时，152a =，4b =，满足进行循环的条件，当2n =时，454a =，8b =满足进行循环的条件，当3n =时，1358a =，16b =满足进行循环的条件，当4n =时，40516a =，32b =不满足进行循环的条件，故输出的n 值为4，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（） A ．4π B ．8π C ．38π D ．58π 【答案】B【解析】函数()sin 2cos 22sin(2)4f x x x x π=+=+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，得到2sin(22)4y x πϕ=++ 图象关于y 轴对称，即2()42k k Z ππϕπ+=+∈，解得1=28k πϕπ+，又0ϕ>，当0k =时，ϕ的最小值为8π，故选B.9．在正四棱锥S ABCD -中，E ,M ,N 分别是BC ，CD ，SC 的中点．动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论，不一定成立的为（）①EP ⊥AC ；②EP BD ∥；③EP ∥平面SBD ；④EP ⊥平面SAC . A ．①③ B ．③④C ．①②D ．②④【答案】D【解析】根据线面平行与垂直的判定逐个判断即可. 【详解】作出如图的辅助线.对①,再正四棱锥S ABCD -中,因为AC BD ⊥,AC SO ⊥,BD ⊂面SBD ,SO ⊂面SBD ,且SO BD O ⋂=,故AC ⊥面SBD .又因为E ,M ,N 分别是BC ,CD ,SC 的中点,故面//EMN 面SBD ,故AC ⊥面EMN ,因为EP ⊂面EMN ,故EP ⊥AC 成立.故①成立.对②,当且仅当P 与M 重合时, EP BD ∥.故②不一定成立.对③,由①有面//EMN 面SBD ,又EP ⊂面EMN ,故EP ∥平面SBD .故③成立. 对④, 当且仅当P 与M 重合时, 才有EP ⊥平面SAC .故④不一定成立.故选：D 【点睛】本题主要考查了线面线线平行与垂直的判定,属于中等题型. 10．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项. 【详解】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()10010020101f ee =>-，排除D 选项.故选A. 【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.11．设F 为双曲线2222:10,0()x y C a b a b -=>>的右焦点，过F 且斜率为a b 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，且||2||AF BF =u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为（） A ．2 B 23C 3 2D 23或2 【答案】D【解析】对A,B 的位置分两种情况讨论，先求出,A B 的坐标，再根据||2||AF BF =u u u r u u u r得到,,a b c 的方程，化简即得双曲线C 的离心率. 【详解】当点A 在x 轴上方，B 在x 轴下方时，如图，设(c,0)F ，则2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点且斜率为a b 的直线:()al y x c b=-，而渐近线的方程是ay x b=±，由()ay x c bb y xa⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，由()a y x c bb y xa ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2,a ab c B c ⎛⎫-⎪⎝⎭， ||2||AF BF =u u u r u u u r Q ，222abc aba b c∴=-，可得223a b =，2213b a ∴=，22221211333c a b b e a a +∴===+=+=.同理，当点A B 、在x 轴下方时，如图，计算得2e =.综上所述，双曲线C 的离心率为223. 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知求O 的表面积为64π，,,A B C 在球面上，且线段AB 的长为42AB 的中点为D ，若OD 与平面ABC 的所成角为60︒，则三棱锥O ABC -外接球的体积为（） A ．2563B 5123C 2566D 5126【答案】D【解析】先确定OD 与平面ABC 所成的角，得到OAB ∆是等腰直角三角形，进而得出三棱锥O ABC -外接球的球心E 在射线1OO 上，设O ABC -外接球半径为R ，由22211O B O E BE +=，得2210(6)R R +-=，解得R ，即可求解．【详解】设ABC ∆所在截面圆的圆心为1O ，AB 中点为D ，连接OD ，1OD ，OA OB =，所以⊥OD AB ，同理1O D AB ⊥，所以1ODO ∠即为OD 与平面ABC 所成的角，故160ODO ∠=°；因为4OA OB ==，42AB = 所以OAB ∆是等腰直角三角形，22OD =∴，在1Rt ODO ∆中，由1cos60O DOD=°，得12O D = 由勾股定理得：16OO = 因为1O 到,,A B C 三点的距离相等，所以三棱锥O ABC -外接球的球心E 在射线1OO 上，设四面体OABC 外接球半径为R ，在1Rt O BE ∆中，2211110,,|6O B OB OO BE R O E R =-===，由勾股定理可得：22211O B O E BE +=，即2210(6)R R +=，解得46R =，故所求球体积334446512633V R ππ===⎝⎭，故选D ．【点睛】本题考查球的有关计算、考查空间几何体的结构特征、考查逻辑推理、考查学生空间想象能力、逻辑思维能力，是中档题．二、填空题 13．曲线ln 2()x xf x x-=在点(1,2)-处的切线方程为_______________ 【答案】30x y --=【解析】先对函数求导，得到21ln ()xf x x -'=，求出切线斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果. 【详解】因为ln 2()x xf x x-=， 2212(ln 2)1ln ()⎛⎫--- ⎪-⎝⎭'∴==x x x x x f x x x ，因此21ln1(1)11-'==f ，即曲线ln 2()x x f x x-=在点(1,2)-处切线斜率为(1)1k f '==，因此，曲线ln 2()x xf x x-=在点(1,2)-处的切线方程为21y x +=-，所以，30x y --=即为所求切线方程. 故答案为：30x y --= 【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型. 14．设数列{}n a 满足1113,(1)n n a a a n n +==++，则通项公式n a =________.【答案】14n-【解析】将11(1)n n a a n n +=++变形得到111=1+--+n n a a n n ，然后逐项列举，累加可得到111-=-n a a n，又13a =，代入即可得出结果. 【详解】由题意可得1111==(1)1+--++n n a a n n n n ，所以211=12--a a ，3211=23--a a ，L111=1----n n a a n n ，上式累加可得()()()121321--=-+-++-L n n n a a a a a a a a 111111112231=-+-++-=--L n n n ，又13a =，所以14=-n a n.故答案为：14n -.【点睛】本题主要考查由递推公式，用累加法求通项公式.15．如图，ABC V 上，D 是BC 上的点，且AC CD =，23AC AD =，2AB AD =，则sin B 等于______.【答案】66【解析】由题意设2AD x =，则3AC CD x ==，4AB x =，先利用余弦定理求出cos ,ADC ∠再利用正弦定理求出sin B 的值.【详解】由题意设2AD x =，则3AC CD x ==，4AB x =，在ADC V 中由余弦定理可得2223cos 223ADC x x∠==⨯⨯， 236sin sin 133ADB ADC ⎛⎫∴∠=∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴在ADB △中由正弦定理可得62sin 63sin 4x AD ADBB ABx ⋅∠===，故答案为：6【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________【答案】【解析】求出原函数的导函数，由题意得到关于a 的不等式组，求解得答案．【详解】解：由，得f ′（x ）＝x，∵在区间[a ﹣1，a +2]上单调递减，则，解得1＜a ≤2．∴实数a 的取值范围是（1，2]．故答案为：．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题．三、解答题17．等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S ．【答案】(1) 2n n a =. (2) 2622n S n n =-.【解析】试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．（2）由（1）可得等差数列{}n b 的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列{}n b 的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前n 项和．试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q 由已知得3162q =，解得2q =，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得38a =，532a =，则38b =，532b = 设{}n b 的公差为d ，则有1128{432b d b d +=+=解得116{12b d =-= 从而1612(1)1228n b n n =-+-=- 所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-【考点】等差、等比数列的性质18．等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，D 为AC 的中点，正方形11BCC B 与三角形ABC 所在的平面互相垂直．（Ⅰ）求证：1AB //平面1DBC ；（Ⅱ）若2AB =，求点D 到平面1ABC 的距离．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）63. 【解析】（Ⅰ）连1B C , 1B C 交1BC 于O ,连OD ,由中位线定理即可证明1AB ∥平面1DBC .（Ⅱ）根据11D ABC C ABD V V --=,由等体积法即可求得点D 到平面1ABC 的距离. 【详解】（Ⅰ）连1B C ,设1B C 交1BC 于O ,连OD ,如下图所示:因为O 为1B C 的中点,D 为AC 的中点, 则1//OD ABOD ⊂面1BDC ,1AB 不在面1BDC 内，所以1AB ∥平面1DBC（Ⅱ）因为等腰直角三角形ABC 中,90BAC ∠=︒ 则BA AC ⊥,又因为1BA CC ⊥ 所以BA ⊥平面1ACC则1BA AC ⊥设点D 到平面1ABC 的距离为h . 注意到22114823AC AC CC =+=+=，由11D ABC C ABD V V --=,代入可得：111122*********h ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得6h =. 即点D 到平面1ABC 的距离为6. 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定,等体积法求点到平面距离的方法,属于中等题. 19．某校学生营养餐由A 和B 两家配餐公司配送. 学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分. 根据收集的80份问卷的评分，得到A 公司满意度评分的频率分布直方图和B 公司满意度评分的频数分布表：（Ⅰ）根据A 公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数；（Ⅱ）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A 公司评分的概率；（Ⅲ）请从统计角度，对A 、B 两家公司做出评价．【答案】（Ⅰ）中位数为73.3；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）设A 公司调查的40份问卷的中位数为x ，根据面积为12可得结果；（Ⅱ）从这6份问卷中随机取2份，所有可能的结果有15种，其中2份问卷都评价A 公司的有以下6种，根据古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）可从平均数及分散集中程度两方面进行分析.试题解析：（Ⅰ）设A 公司调查的40份问卷的中位数为x则有0.015100.025100.03700.5x ⨯⨯⨯-（）解得： 73.3x ≈所以，估计该公司满意度得分的中位数为73.3（Ⅱ）满意度高于90分的问卷共有6份，其中4份评价A 公司，设为1234,,,a a a a ，2份评价B 公司，设为12,b b .从这6份问卷中随机取2份，所有可能的结果有： ()12,a a ， ()13,a a ， ()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ， ()23,a a ， ()24,a a ， ()21,a b ， ()22,a b ， ()34,a a ， ()31,a b ， ()32,a b ， ()41,a b ， ()42,a b ， ()12,b b ，共有15种.其中2份问卷都评价A 公司的有以下6种： ()12,a a ， ()13,a a ， ()14,a a ，()23,a a ， ()24,a a ， ()34,a a .设两份问卷均是评价A 公司为事件C ，则有()62155P C ==. （Ⅱ）由所给两个公司的调查满意度得分知： A 公司得分的中位数低于B 公司得分的中位数，A 公司得分集中在[)70,80这组，而B 公司得分集中在[)70,80和[)80,90两个组，A 公司得分的平均数数低于B 公司得分的平均数，A 公司得分比较分散，而B 公司得分相对集中，即A 公司得分的方差高于B 公司得分的方差.（注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分.）20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，短轴长为2，过定点()0,2P 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A 、B （点B 在点A ，P 之间）.（1）求椭圆C 的方程；（2）若PB PA λ=u u u v u u u v，求实数λ的取值范围；（3）若射线BO 交椭圆C 于点M （O 为原点），求ABM ∆面积的最大值.【答案】(1) 2212x y +=;(2) 1,13λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭;(3)【解析】(1)根据椭圆的基本量之间的关系求解即可.(2)分直线斜率存在于不存在两种情况,当斜率存在时,联立方程利用韦达定理与()2121212212x x x x x x x x +=++从而找到韦达定理与λ的不等式再求解即可. (3) ABM ∆的面积为ABO ∆的两倍,故求得ABO ∆面积最值即可. 【详解】(1)因为右焦点为()1,0F ,故221a b -=.又短轴长为2,故22,1b b ==,解得2221a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的方程：2212x y +=(2)当直线l 斜率不存在时, 直线:0l x =,此时(0,1),(0,1)B A -,故(0,1),(0,3)PB PA =-=-u u u r u u u r ,此时13PB PA =u u u r u u u r ,13λ=当直线l 斜率存在时,设直线:2l y kx =+,1122(,),(,)A x y B x y .联立直线与椭圆22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩有22(12)860k x kx +++=,此时122812k x x k +=-+,122612x x k =+. 22223644()60021223k k k k ∆=-⨯>⇒->⇒>+ .又PB PA λ=u u u r u u u r ,即21212(2)x x y y λλ=⎧⎨-=-⎩ ,故21x x λ= 又()22221212212212832122,63(12)12k x x x x k k x x x x k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭=⇒++=++即2110161033(12)3k λλ+=-<+, 又因为232k >,故23(12)12k +>,即21016233(12)k ->+,故110(2,)3λλ+∈ 有基本不等式12λλ+>(1)λ≠,故计算21101025163399λλλλ+<⇒-+<得454133333λλ-<-<⇒<<,又211x x λ=<,故113λ<<综上1,13λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭(3) 121222ABM ABOS S OP x x ∆∆==⨯⋅-==,令0t => ,则ABM S t t ∆===+故ABM ∆ 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,联立方程列出韦达定理再表示题中所给的信息计算求解.其中PB PA λ=u u u r u u u r 用()2121212212x x x xx x x x +=++去建立λ与韦达定理之间的关系,ABM ∆的面积利用两倍的ABO ∆面积去代换,属于难题. 21．已知函数()2ln pf x px x x=--. （1）若函数()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（2）设函数2()eg x x=，若在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x >成立，求实数p 的取值范围.【答案】（1）1p ≥或0p „（2）24,1e e ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭【解析】（1）先求导得到222()px x p f x x-+'=，令2()2h x px x p =-+，原命题等价于 ()h x 在(0,)+∞内()0h x …或()0h x „恒成立，再分两种情况讨论得解；（2）先求出函数()g x 的最值，再对p 分三种情况讨论得解. 【详解】（1）22222()p px x pf x p x x x-+'=+-=，令2()2h x px x p =-+，要使()f x 在其定义域(0,)+∞内是单调函数，只需()h x 在(0,)+∞内，满足()0h x …或()0h x „恒成立，当且仅当()212p x x +…时，()0h x …，()212p x x +„时，()0h x „，因为210x +>，所以当且仅当22x x 1p +…时，()0h x …，22xx 1p +„时，()0h x „，因为在(0,)+∞内有2222201111x x x x x x<==+++„，当且仅当1x x=即1x =时取等号，所以当1p ≥时，()0h x …，()0f x '…，此时()f x 在(0,)+∞单调递增，当0p „时，()0h x „，()0f x '„，此时()f x 在(0,)+∞单调递减，综上，p 的取值范围为1p ≥或0p „. （2）因为2()eg x x=在[1,]e 上是减函数，所以x e =时，min ()2g x =；1x =时，max ()2g x e =，即()[2,2]g x e ∈，①当0p „时，由（1）知()f x 在[1,]e 上递减，所以max ()(1)02f x f ==<，不合题意， ②当01p <<时，由1[1,]0x e x x∈⇒-…，由（1）知当1p =时，()f x 在[1,]e 上单调递增，所以1111()2ln 2ln 2ln 22f x p x x x x e e e x x e e⎛⎫=------=--< ⎪⎝⎭剟，不合题意，③当1p …时，()()()x f x g x ϕ=-，[1,e]x ∈，由题意可得，只需[1,e]x ∈时，max ()0x ϕ…，即可，由（1）知()f x 在[1,]e 上是增函数，(1)02f =<，又()g x 在[1,]e 上是增函数，则max max min ()()()x f x g x ϕ=-，[1,e]x ∈，而max 1()()2ln f x f e p e e e ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，min ()2g x =，只需max 1()2ln 20x p e e e ϕ⎛⎫=---> ⎪⎝⎭，解得24e e 1p >-，综上p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题，利用导数研究不等式的存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1242x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为()14，，求MA MB +的值．【答案】（1）22(2)4x y +-=（2）【解析】试题分析：（1）由222=,sin x y y ρρθ+= 可将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先将直线l 的参数方程代入圆C 方程，再根据参数几何意义得MA MB +12t t =+，最后根据韦达定理求MA MB +的值．试题解析：（1）224sin 4x y y ρθ=⇒+=；（2）直线l 的参数方程代入圆C方程得210t -+=⇒ MA MB +12t t =+=点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩.(t 是参数，t 可正、可负、可为0)若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α). (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122t t +. (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. 23．若a b c R ∈＋，，，且满足2a b c ++=. (1)求abc 的最大值； (2)求111a b c++的最小值. 【答案】(1)827 (2) 92【解析】（1）利用三个正数的算术平均不小于它们的几何平均即可得出结果；（2）由2a b c ++=，所以1111111()2a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再利用柯西不等式即可得出结果. 【详解】（1）因为a b c R ∈＋，，，所以2a b c =++ (8)27abc „. 当且仅当23a b c ===时等号成立，所以abc 的最大值为827. （2）因为a b c R ∈＋，，，且2a b c ++=，所以根据柯西不等式，可得1111111()2a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭22222212⎡⎤⎡⎤=++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦21922≥=. 所以11192a b c ++≥. 【点睛】本题主要考查基本不等式和柯西不等式的应用，属于基础题.。

2019-2020年高三第三次六校联考文科数学试题

2019-2020年高三第三次六校联考文科数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回.第I卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上.参考公式：·如果事件、互斥，那么柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.锥体的体积公式. 其中表示锥体的底面积,表示锥体的高.一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1、已知为虚数单位，则A. B. C. D.2、若变量满足则的最大值等于A. 1B. 2C. 3D. 4 3A. 10B. 9C. 8D. 74、已知集合,则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5、已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度6、设函数与的图像的交点为，则所在的区间是A. B. C. D.7、过双曲线的右焦点作圆的切线第(3)题(切点为), 交轴于点，若为线段的中点, 则双曲线的离心率是 A. B.C.D.8、已知都是定义在上的函数，且满足以下条件：；②；③．若，则等于 A.B. C.D. 2或第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二、填空题：（每题5分，共30分）9、如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径 10、一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体表面积为11、已知等差数列若将都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为12、已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称,直线与圆相交于两点,且,则圆的标准方程为 13、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是 14、已知函数, 若存在，当时，，则的取值范围是三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15、（本题13分）△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为且满足 (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求的最大值，并求取得最大值时A,B 的大小.正视图侧视图俯视图第10题第9题16、（本题13分）已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按 1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．(Ⅰ)若第1组抽出的号码为2，写出所有被抽出职工的号码；(Ⅱ)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，从体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工中抽取2人，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率.17、（本题13分）在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC=,AD=AC=1, O 为AC 中点，PO 平面ABCD,PO=2，M 为PD 中点 (Ⅰ)求证： PB ∥平面ACM ； (Ⅱ)求证：AD 平面PAC ； (Ⅲ)求二面角的正切值.18、（本题13分）已知函数R b a R a x b xax x f ∈≠∈≠++=,0),0()(且其中 (Ⅰ) 若曲线在点处的切线方程为,求函数解析式; (Ⅱ) 求函数的单调区间;(Ⅲ) 若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.19、（本题14分）已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在线段上是否存在点,使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.20、（本题14分）数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上. (Ⅰ) 求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由. （Ⅲ）已知数列，，，求证：.六校数学(文科)答案一、选择题 DCBA ABDA二、填空题（9）4 （10）28 （11）-11 （12）（13）18 （14）三、解答题 15、(Ⅰ)…………………………………………………..4分)6sin(2)cos 21sin 23(2cos sin 3)cos(sin 34-cos sin 3)4cos(sin 3)(πππππ+=+=+=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=+-A A A A A A A C A A B A ）（1252326)1211,6(6)43,0(ππππππππ===+∴∈+∴∈B A A A A ，时取得最大值，即，，16、(Ⅰ)抽出的10名职工的号码分别为 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.……4分 (Ⅱ)因为10名职工的平均体重为x －＝110(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71所以样本方差为：s 2＝110(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.…8分(Ⅲ)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．故所求概率为P (A )＝410＝25……13分17、证明(Ⅰ)连接OM,BD∴OM ∥PB ∵∴PB ∥平面ACM ……………………………….4分 (Ⅱ) ∵ PO 平面ABCD∴POAD ∵∠ADC=,AD=AC=1 ∴ACAD ∵∴AD 平面PAC ………………………..8分 (Ⅲ)取DO 中点N,连结MN 易知MN ∥PO ∴MN 平面ABCD 过点N 作NEAC=E……..13分易知E 为AO 中点,连结ME,由三垂线定理可知∠MEN 即为所求 MN=1，NE=∴tan ∠MEN=2………………………………………..13分18、 (Ⅰ) ,由导数的几何意义得于是由切点在直线上可得解得,函数解析式为……………………………4分 (Ⅱ)当时,显然,这时在内是增函数. 当时,显然,解得.在区间和内是增函数,在和内是减函数. …………………………………………………….9分 (Ⅲ) 由(Ⅱ)知, 在上的最大值为的较大者, 对于任意的,不等式在上恒成立,当节仅当即对任意的成立.从而得所以满足条件的取值范围是………………………….13分 19、解：（Ⅰ）因为椭圆的短轴长：，又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以：；故椭圆的方程为：……………4分（Ⅱ）（1）若与轴重合时，显然与原点重合，；（2）若直线的斜率，则可设，设则：22222(1)2(21)20220y k x x k x x x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩ 所以化简得：；的中点横坐标为：，代入可得：的中点为，由于得到所以：综合（1）（2）得到： ……14分 20、解：(Ⅰ)由题意可得： ① 时, ② ①─②得，是首项为，公比为的等比数列， ……………… 4分（Ⅱ）().2122221221n nn nn n n n S -++=++-=++∴-λλλλλλ欲使成等差数列,只须即便可.故存在实数，使得数列成等差数列. ……………… 9分（Ⅲ）又函数在上为增函数，，，．……… 14分。

2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析

三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列．（1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ；（2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2．（1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ．得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围．【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为，又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）．故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列．（1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +，当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1，由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|，即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。

2020年广东省“六校联盟”高三上第三次联考数学试卷文科解析版

2015-2016学年广东省“六校联盟”高三（上）第三次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知U={y|y=lnx，x＞1}，A={y|y=，x＞3}，则∁U A=（）A． B．（0，+∞）C．[）D．（﹣∞，0]∪[）2．（5分）已知a为实数，若复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）已知在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a4+a6=，则等比数列{a n}的公比q的值为（）A．B．C．2 D．84．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c5．（5分）如图，在△ABC中，已知，则=（）A．B．C．D．6．（5分）直线经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α＜πB．或πC．D．或π7．（5分）已知命题p：函数y=a x+2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣2，4）点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∧￢q D．￢p∧q8．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，现用油漆对该型号零件表面进项防锈处理，若100平方厘米的零件表面约需用油漆10克，那么对100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆（）（π取3.14）A．1.13千克 B．1.45千克 C．1.57千克 D．1.97千克9．（5分）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．10．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．B． C．24 D．4811．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[﹣1.2]=﹣2；则函数f（x）=[x[x]]在（﹣1，1）上（）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是增函数12．（5分）已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上）13．（5分）若向量=（cosα，1），=（1，2tanα），且，则sinα=．14．（5分）设x，y＞0，x+y=9，则的最大值为．15．（5分）点（a，b）在两直线y=x﹣2和y=x﹣4之间的带状区域内（含边界），则f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a ﹣2b的最小值与最大值的和为．16．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．18．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=2，S n为其前n项和，且2S3=5S1+3S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求的最大值．19．（12分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（1）求直线EC与平面ABE所成角的余弦值；（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为4+6，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|k|＞，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx，函数f（x）与g（x）=x有相同极值点．（1）求函数f（x）的最大值；（2）求实数a的值；（3）若∀x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上上的点（不与点A、C重合），延长BD至F．（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）的解集非空，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省“六校联盟”高三（上）第三次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015秋•广东月考）已知U={y|y=lnx，x＞1}，A={y|y=，x＞3}，则∁U A=（）A． B．（0，+∞）C．[）D．（﹣∞，0]∪[）【分析】化简集合U、A，求出A在U中的补集．【解答】解：U={y|y=lnx，x＞1}={y|y＞0}=（0，+∞），A={y|y=，x＞3}={y|0＜y＜}，∴∁U A={y|y≥}=[，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）（2016春•衡水校级月考）已知a为实数，若复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，∴，a=1．则====﹣1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2011•广东校级模拟）已知在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a4+a6=，则等比数列{a n}的公比q 的值为（）A．B．C．2 D．8【分析】先设公比为q，用a4+a6除以a1+a3正好等于q3进而求得q．【解答】解：依题意，设公比为q，由于a1+a3=10，a4+a6=，所以q3==，∴q=，故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．4．（5分）（2015秋•广东月考）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c【分析】利用对数的性质、运算法则、换底公式求解．【解答】解：∵设，∴a=，b===a，c==a，∴a=b＞c．故选：B．【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则、换底公式的合理运用．5．（5分）（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，已知，则=（）A．B．C．D．【分析】根据向量的减法法则，结合题中等式得=3（），化简可得=+，得到本题答案．【解答】解：∵=，∴由已知，得=3（）化简=+故选：C【点评】本题给出△ABC中，点D是BC边的一个三等分点，求向量关于、的表示式，着重考查了平面向量的减法法则和平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题．6．（5分）（2012秋•大田县校级期中）直线经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α＜πB．或πC．D．或π【分析】由倾斜角的范围可得0≤θ＜π，进而可得l的斜率为K==1﹣m2，进而可得K的范围，由倾斜角与斜率的关系，可得tanθ≤1，进而由正切函数的图象分析可得答案．【解答】解：由倾斜角的范围可得0≤θ＜π，根据斜率的计算公式，可得l的斜率为K==1﹣m2，由二次函数的性质易得k≤1，由倾斜角与斜率的关系，可得tanα≤1，由正切函数的图象，可得θ的范围是，，故选B【点评】本题考查直线的倾斜角，结合斜率的计算公式，结合斜率与倾斜角的关系是解决问题的关键，属基础题．7．（5分）（2015秋•广东月考）已知命题p：函数y=a x+2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣2，4）点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∧￢q D．￢p∧q【分析】分别判断命题p和命题q的真假，再利用符合命题真假表判断选项是否为真命题．【解答】选项中“∧”表示逻辑联结词“且”，易判断命题p为真命题．∵直线m∥α是直线m∥β的即不充分也不必要条件，故命题q为假命题．∴￢q为真命题，A选项：p真q假，故p∧q为假B选项：￢p为假￢q为真，故￢p∧￢q为假C选项：p为真￢q为真，故p∧￢q为真D选项：￢p为假q为假，故￢p∧q为假故答案选C【点评】考查复合命题的真假判断，指数型函数过定点问题，空间线面位置关系．是常规题型，属于基础题．8．（5分）（2016•河南模拟）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，现用油漆对该型号零件表面进项防锈处理，若100平方厘米的零件表面约需用油漆10克，那么对100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆（）（π取3.14）A．1.13千克 B．1.45千克 C．1.57千克 D．1.97千克【分析】根据三视图得出几何体是由两个圆柱组成，求出组合体的表面积，再计算100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆数．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，所以组合体的表面积是：32π+2π•3•2+22π+2π•2•4+π（32﹣22）=46π=46×3.14≈145（cm3）；对100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆为：×10×100=1450（克）=1.45（千克）．故选：B．【点评】本题考查了三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，也考查了空间想象能力以及计算能力，是基础题目．9．（5分）（2016•茂名二模）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．【分析】利用等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．故选：D．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．10．（5分）（2016•黄山一模）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．B． C．24 D．48【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，由双曲线的性质知，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积=．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．11．（5分）（2015秋•广东月考）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[﹣1.2]=﹣2；则函数f（x）=[x[x]]在（﹣1，1）上（）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是增函数【分析】根据[x]的定义，求出函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：当x∈（﹣1，1）时，f（x）=x[x]]=[x•0]=0，∴函数f（x）=[x[x]]在（﹣1，1）上既是奇函数又是偶函数，故选：C．【点评】本题考查函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简是关键．12．（5分）（2016•河南模拟）已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关【分析】令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，而x=1时：g（x）=a x﹣2a=﹣a＜0，h（x）=﹣（x﹣1）2=0，从而得出函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点．【解答】解：令f（x）=0，得：a x﹣2a=﹣（x﹣1）2，令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，x=1时：a x﹣2a=﹣a＜0，﹣（x﹣1）2=0，a＞1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点；0＜a＜1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点，故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查转化思想，考查数形结合思想，是一道基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上）13．（5分）（2015秋•广东月考）若向量=（cosα，1），=（1，2tanα），且，则sinα=．【分析】根据平面向量平行（共线）的坐标表示，列出方程，求出sinα的值．【解答】解：∵向量=（cosα，1），=（1，2tanα），且，∴cosα•2tanα﹣1×1=0，即2sinα=1，∴sinα=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量平行（共线）的坐标表示与运算问题，也考查了同角的三角函数的关系与应用问题，是基础题目．14．（5分）（2015秋•广东月考）设x，y＞0，x+y=9，则的最大值为．【分析】根据题意，分析可得（x+1）+（y+5）=15，令t=，对t求平方可得t2=（x+1）+（y+5）+2，由基本不等式计算可得t2的最大值，进而计算可得t的最大值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设x，y＞0，x+y=9，则（x+1）+（y+5）=15；令t=，则t2=（x+1）+（y+5）+2=15+2≤15+[（x+1）（y+5）]=30，故t≤，即的最大值为；故答案为：【点评】本题考查基本不等式的运用，注意将（x+1）与（y+5）看成一个整体，利用基本不等式分析求解．15．（5分）（2015秋•广东月考）点（a，b）在两直线y=x﹣2和y=x﹣4之间的带状区域内（含边界），则f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b的最小值与最大值的和为32．【分析】要先画出满足约束条件y=x﹣2和y=x﹣4的平面区域，又由f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b=（a﹣b）2+2（a﹣b），我们只要求出（a﹣b）的取值范围，然后根据二次函数在定区间上的最值问题即可求解【解答】解：由f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b=（a﹣b）2+2（a﹣b）=（a﹣b+1）2﹣1又（a，b）在两直线y=x﹣2和y=x﹣4之间的带状区域内（含边界）如图所示：得2≤（a﹣b）≤4，根据二次函数在定区间上的最小值为f（2）=8，根据二次函数在定区间上的最大值为f（4）=24，∴f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b的最小值与最大值的和为8+24=32，故答案为：32．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，数形结合是解决问题的基本方法，是中档题．16．（5分）（2015秋•福州校级期末）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O 就是球心，则其外接球的半径为OA1，又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，EA1==在直角三角形OEA1中，OE=，由勾股定理∴，球的表面积为，故答案为：．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•太原三模）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求出AC，再求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2asin（C+）=b，∴2sinAsin（C+）=sin（A+C），∴sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAsinC=cosAsinC，∴tanA=，∴A=60°；（2）设AC=2x，∵AB=3，AC边上的中线BD的长为，∴13=9+x2﹣2×3×x×cos60°，∴x=4，∴AC=8，∴△ABC的面积S==6．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2015秋•广东月考）已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=2，S n为其前n项和，且2S3=5S1+3S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求的最大值．【分析】（1）由等比数列的通项公式可知：2（a1+a1•q+a1•q2）=5a1+2（（a1+a1•q），即可求得q=2，求得数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可知：b n=log2a n=n，c n===﹣，采用“裂项法”即可求得数列{c n}的前n 项和T n，由==，由基本不等式的性质即可求得的最大值．【解答】解：（1）∵2S3=5S1+3S2，∴2（a1+a1•q+a1•q2）=5a1+2（（a1+a1•q），…（1分）整理得：2q2﹣q﹣6=0 …（2分）解得：q=2或q=﹣…（3分）∵数列{a n}的各项均为正数，∴q=﹣不合题意…（4分）∴{a n}的通项公式为：a n=2n；…（5分）（2）由（1）可知：b n=log2a n=n，…（6分）∴c n===﹣，…（7分）∴数列{c n}的前n项和T n=c1+c2+…+c n，=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=…（8分）==，…（9分）∵n++5≥2+5=9，当且仅当n=，即n=2时等号成立…（10分）∴≤…（11分）的最大值是．…（12分）【点评】本题考查等比数列的通项公式及性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016•河南模拟）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB ∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（1）求直线EC与平面ABE所成角的余弦值；（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．【分析】（1）由已知可得BC⊥平面ABE，则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=a，可求CE=a，直角三角形CBE中，即可求得sin∠CEB=的值，进而可求直线EC与平面ABE所成角的余弦值．（2）连结AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连结MF、BF、DF，证明FM∥EC，即可证明EC∥平面FBD，从而可得点F满足=时，有EC∥平面FBD．【解答】解：（1）因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE．…（1分）则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角…（2分）设BC=a，则AB=2a，BE=a，所以CE=a，…（3分）直角三角形CBE中，sin∠CEB===…（4分）可得：…（5分）即直线EC与平面ABE所成角的余弦值为．…（6分）（2）存在点F，且=时，有EC∥平面FBD．证明如下：…（7分）连结AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连结MF、BF、DF因为AB∥CD，AB=2CD，所以，…（8分）所以，…（9分）因为=，所以FM∥EC…（10分）EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD．即点F满足=时，有EC∥平面FBD．…（12分）【点评】本题主要考查直线和平面所成角的计算，以及线面平行的判断，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•天河区校级月考）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为4+6，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|k|＞，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意得，解出即可得出．（Ⅱ）由，化为（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由AF2⊥BF2，可得•=0，再利用根与系数的关系化简整理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a2=12，b2=3．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由，化为（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=0，x1x2=，易知，AF2⊥BF2，∵=（x1﹣3，y1），=（x2﹣3，y2），∴•=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=（1+k2）x1x2﹣3（x1+x2）+9=（1+k2）x1x2+9=0．∴+9=0，将其整理为k2==﹣1﹣．∵|k|＞，∴12＜a2＜18，解得，∴离心率．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2014•甘肃一模）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx，函数f（x）与g（x）=x有相同极值点．（1）求函数f（x）的最大值；（2）求实数a的值；（3）若∀x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；（2）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；（3）先求出x1∈[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．【解答】解（1）f′（x）=﹣2x+=﹣2×（x＞0），由f′（x）＞0得0＜x＜1；由f′（x）＜0得x＞1．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．（2）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．由（1）知，x=1是函数f（x）的极值点．又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点．∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．经检验，当a=1时，函数g（x）取到极小值，符合题意（3）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴∀x1∈（，3），f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1．由①知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．故g（x）在[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．故g（x）在[，e）上为减函数，在（1，3]上为增函数．∵g（）=e+，g（1）=2，g（3）=3+=，而2＜e+＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）．∴∀x2∈[，e]，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=．当k﹣1＞0，即k＞1时，对于∀x1，x2∈[，e]，不等式≤1恒成立⇔k﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max⇔k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1．∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣3+1=﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．当k﹣1＜0，即k＜1时，对于∀x1，x2∈[，e]，不等式≤1恒成立⇔k﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min⇔k≤[f（x1）﹣g（x2）]min+1．∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣9+2ln3﹣=﹣+2ln3，∴k≤﹣+2ln3．又∵k＜1，∴k≤﹣+2ln3．综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，﹣+2ln3））∪（1，+∞）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•新余二模）已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上上的点（不与点A、C重合），延长BD至F．（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．【分析】（1）根据A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（2）设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，设圆半径为r，则r+r=2+，求出r，即可求△ABC外接圆的面积．【解答】（1）证明：如图，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC．又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，又由对顶角相等得∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE．…（5分）（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°，设圆半径为r，则r+r=2+，得r=2，外接圆的面积为4π．…（10分）【点评】本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查外接圆的面积，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016•衡阳三模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．【分析】本题（1）可以先消参数，求出直线l的普通方程，再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程，（2）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．【解答】解：（1）∵，∴x﹣y=1．∴直线的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ=1．即，即．∵，∴，∴ρcos2θ=sinθ，∴（ρcosθ）2=ρsinθ即曲线C的普通方程为y=x2．（2）设P（x0，y0），，∴P到直线的距离：．∴当时，，∴此时，∴当P点为时，P到直线的距离最小，最小值为．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（2016•河南模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）的解集非空，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据绝对值的性质表示成分段函数形式，进行解不等式即可．（2）设，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：（1）函数f（x）=，…（3分）若x≥3，由f（x）＞4得x﹣＞4，得x＞，若1＜x＜3，由f（x）＞4得x+＞4，得x＞7，此时x无解，若x≤1，由f（x）＞4得﹣x+＞4，得x＜﹣1，此时x＜﹣1，综上f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）…（5分）（2）设，g（x）表示过点，斜率为a的直线，…（6分）的解集非空，即y=f（x）的图象在g（x）图象下方有图象，或与g（x）图象有交点，…（7分）当经过点A（3，2）时，（3+）a=2，得a=，当，与y=﹣x+平行时，a=﹣，结合图象可知…（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的求解，以及不等式恒成立问题，利用数形结合是解决本题的关键．。

广东省实验中学2020届高三年级第三次阶段考试文科数学试题及答案解析评分标准(13页)

广东省实验中学2020届高三年级第三次阶段考试文科数学试题数学（文科）本试卷共4页，考试时间120分钟满分150分一、单项选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．请将答案填涂在答题卷上1．已知集合}12|{},023|{2>∈=≤+-=x Z x B x x x A ，则=B A ( ) A ．)2,1( B ．]2,1( C ．]2,1[ D ．}2,1{ 2．已知复数i i z +=+3)1(，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数．．．．所对应的点在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量()()2,1,,-==b y x a ，且()3,1=+b a b a 2- ( ) A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 4．已知1c 0,1b a <<>>，则 ( )A ．c c b a <B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log < 5．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是 ( )① 2至3月份的收入的变化率与1l 至12月份的收入的变化率相同；②支出最高值与支出最低值的比是6:1; ③第三季度平均收入为50万元； ④利润最高的月份是2月份。

A ．①②③B ．②③C ．②③④D ．①②④ 6． 18sin 2m =，若4n m 2=+，则=-127cos 2nm 2 ( )A ．1B ．2C ．4D ．87．某同学用“随机模拟方法”计算曲线x ln y =与直线0y ,e x ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[l ，e]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0，l]上的均匀随机数1*N i (y i ，∈)10i ≤≤，其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为 ( )A ．)1e (53-B ．)1e (54- C ．)1e (21- D ．)1e (32- 8．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 ( )A ．32B ．21C ．61D ．31 9．直线l 过抛物线x y 42=的焦点F 且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AF ，BF的长分别为m ，n ，则nm 11+等于 ( ) A ．41 B ．21C ．1D ．210．函数()x cos 1e 12x f x⎪⎭⎫⎝⎛-+=的图象的大致形状是 ( )11．在△ABC 中，6,2π==C AB ，则BC AC 3+的最大值为 ( )A ．72B ．73C ．74D ．7512．已知离心率为e ，焦点为21,F F 的双曲线C 上一点P 满足0sin sin 1221=/∠⋅=∠F PF e F PF ，则双曲线的离心率e 的取值范围为 ( )A ．]2,1(B ．]3,1(|C ．)2,1(D ．)21,1(+ 二、填空题（每题5分，满分20分，请将答案填在答题卷上） 13．己知数列}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，*N n ∈，且,6,3654321=++=++a a a a a a 则=12S .14．己知直线l 与正方体1111D C B A ABCD -的所有面所成的角都相等，且 l 平面H D D BB =11，则l 与平面D D BB 11所成角的正切值是 .15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()C B B A +-<2cos sin sin 2，则对任意的n n n C b a N n n ,,,2，∈≥都必须满足 .16、若定义在R 上的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数)R k (k ∈使得()()0x kf k x f =++对任意实数x 都成立，则称()x f y =是一个“k ～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为 .①()x 3x f =是一个“k ～特征函数”；② ()3x x f -=不是“k ～特征函数”； ③()0x f =是常数函数中唯一的“k ～特征函数”；④“31～特征函数”至少有一个零点；三、解答题：共70分。

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2019-2020学年广东省六校联盟高三（下）第三次联考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5分）若复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．3．（5分）已知向量＝（1，m），＝（3，﹣2），且（+）⊥，则m＝（）A．﹣8B．﹣6C．6D．84．（5分）AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好5．（5分）已知直线11：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则11∥l2“的一个必要不充分条件是（）A．m＝﹣2B．m＝1C．m＝﹣2或m＝1D．m＝2或m＝16．（5分）已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a+9b的最小值为（）A．16B．9C．5D．47．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．28．（5分）若将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则φ的最小值是（）A．B．C．D．9．（5分）在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论，不一定成立的为（）①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC．A．①③B．③④C．①②D．②④10．（5分）已知函数f（x）＝，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F且斜率为的直线1与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，且||＝2||，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．或2D．或212．（5分）已知求O的表面积为64π，A，B，C在球面上，且线段AB的长为4，记AB 的中点为D，若OD与平面ABC的所成角为60°，则三棱锥O﹣ABC外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线f（x）＝在点（1，﹣2）处的切线方程为．14．（5分）在数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝a n+，则通项公式a n＝．15．（5分）如图，△ABC上，D是BC上的点，且AC＝CD，2AC＝AD，AB＝2AD，则sin B等于．16．（5分）设函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每位考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n．18．（12分）等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为AC的中点，正方形BCC1B1与三角形ABC所在的平面互相垂直．（1）求证：AB1∥平面DBC1；（2）若AB＝2，求点D到平面ABC1的距离．19．（12分）某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送．学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分．根据收集的80份问卷的评分，得到如图A公司满意度评分的频率分布直方图和如表B公司满意度评分的频数分布表：频数满意度评分分组[50，60）2[60，70）8[70，80）14[80，90）14[90，100]2（Ⅰ）根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数；（Ⅱ）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率；（Ⅲ）请从统计角度，对A、B两家公司做出评价．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴长为2，过定点P（0，2）的直线l交椭圆C于不同的两点A、B（点B在点A、P之间）．（1）求椭圆C的方程；（2）若，求实数λ的取值范围；（3）若射线BO交椭圆C于点M（O为原点），求△ABM面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝px﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）＝，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第-题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为ρ＝4sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l将于点A、B，若点M的坐标为（1，4），求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．若a，b，c∈R+，且满足a+b+c＝2．（1）求abc的最大值；（2）求++的最小值．2019-2020学年广东省六校联盟高三（下）第三次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}＝{0，1}，∴A∪B＝{0，1，2，3}．故选：C．2．（5分）若复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．【解答】解：∵复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），∴z＝＝＝1+i，∴|z|＝＝，故选：C．3．（5分）已知向量＝（1，m），＝（3，﹣2），且（+）⊥，则m＝（）A．﹣8B．﹣6C．6D．8【解答】解：∵向量＝（1，m），＝（3，﹣2），∴+＝（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）＝0，解得：m＝8，故选：D．4．（5分）AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好【解答】解：这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92，故A正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故B正确；这12天的AQI指数值的中位数是＝99.5，故C不正确；从4日到9日，AQI数值越来越低，空气质量越来越好，故D正确，故选：C．5．（5分）已知直线11：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则11∥l2“的一个必要不充分条件是（）A．m＝﹣2B．m＝1C．m＝﹣2或m＝1D．m＝2或m＝1【解答】解：∵直线l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，若l1∥l2，则m（m+1）﹣2＝0，解得：m＝﹣2或m＝1当m＝1时，l1与l2重合，故“l1∥l2”⇔“m＝﹣2”，故“l1∥l2”的必要不充分条件是“m＝﹣2或m＝1”，故选：C．6．（5分）已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a+9b的最小值为（）A．16B．9C．5D．4【解答】解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，则+＝2×＝1；则a+9b＝（a+9b）（+）＝10++≥10+2＝16；即则a+9b的最小值为16；故选：A．7．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：当n＝1时，a＝，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝，b＝8满足进行循环的条件，当n＝3时，a＝，b＝16满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝，b＝32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．8．（5分）若将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则φ的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sin2x+cos2x＝图象向左平移φ可得：sin （2x+2φ）图象关于y轴对称，即2φ＝（k∈Z）解得：φ＝．∵φ＞0，当k＝0时，φ的值最小值为．故选：C．9．（5分）在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论，不一定成立的为（）①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC．A．①③B．③④C．①②D．②④【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．在①中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．∴恒不一定成立的结论是：②④．故选：D．10．（5分）已知函数f（x）＝，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x＝1时，函数g（x）有最小值，g（x）min＝g（0）＝0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．11．（5分）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F且斜率为的直线1与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，且||＝2||，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．或2D．或2【解答】解：设F（c，0），则C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点且斜率为的直线l：y＝（x﹣c），而渐近线的方程是：y＝±x，由得：A（﹣，），由得，B（，），∵||＝2||，∴＝，可得：3a2＝b2，∴＝3，∴e＝＝＝＝＝2．同理，当点A、B在x轴下方时，e＝．综上所述，双曲线C的离心率为2或．故选：D．12．（5分）已知求O的表面积为64π，A，B，C在球面上，且线段AB的长为4，记AB 的中点为D，若OD与平面ABC的所成角为60°，则三棱锥O﹣ABC外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：设△ABC所在截面圆的圆心为O1，AB中点为D，连接OD，O1D，OA＝OB，所以OD⊥AB，同理OD1⊥AB，所以∠ODO1即为OD与平面ABC所成的角，故∠ODO1＝60°；因为OA＝OB＝4，AB＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，所以OD＝2，在Rt△ODO1中，由，得，由勾股定理得：，因为O 1到A、B、C三点的距离相等，所以三棱锥O﹣ABC外接球的球心E在射线OO1上，设四面体OABC外接球半径为R，在Rt△O1BE中，＝，BE＝R，，由勾股定理可得：，即10+，解得R＝，故所求球体积V＝，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线f（x）＝在点（1，﹣2）处的切线方程为x﹣y﹣3＝0．【解答】解：∵f（x）＝＝﹣2，∴f′（x）＝，∴f′（1）＝1，又f（1）＝﹣2，∴曲线f（x）＝在点（1，﹣2）处的切线方程为：y﹣（﹣2）＝（x﹣1），整理得：x﹣y﹣3＝0，故答案为：x﹣y﹣3＝0．14．（5分）在数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝a n+，则通项公式a n＝4﹣．【解答】解：∵a n+1﹣a n＝＝∴…a n﹣a n﹣1＝以上n﹣1个式子相加可得，a n﹣a1＝∵a1＝3，∴故答案为：4﹣15．（5分）如图，△ABC上，D是BC上的点，且AC＝CD，2AC＝AD，AB＝2AD，则sin B等于．【解答】解：由题意设AD＝2x，则AC＝CD＝x，AB＝4x，在△ADC中由余弦定理可得cos∠ADC＝＝，∴sin∠ADB＝sin∠ADC＝＝，∴在△ADB中由正弦定理可得sin B＝＝＝，故答案为：16．（5分）设函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（1，2]．【解答】解：根据题意，函数，其导数f′（x）＝x﹣＝，（x ＞0）若f′（x）＝≤0，解可得0＜x≤3，即f（x）的递减区间为（0，3]；若函数f（x）在[a﹣1，a+1]上单调递减，则有，解可得：1＜a≤2，即a的取值范围为（1，2]；故答案为：（1，2]三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每位考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴a n＝2n．（2）由（1）得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32．设{b n}的公差为d，则，解得从而b n＝﹣16+12（n﹣1）＝12n﹣28，所以数列{b n}的前n项和S n＝＝6n2﹣22n．18．（12分）等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为AC的中点，正方形BCC1B1与三角形ABC所在的平面互相垂直．（1）求证：AB1∥平面DBC1；（2）若AB＝2，求点D到平面ABC1的距离．【解答】解：（1）证明：连结B1C，设B1C∩BC1＝O，连结OD，如图，∵O是B1C的中点，D为AC的中点，∴OD∥AB1，∵OD⊂面BDC1，AB1⊄面BDC1，∴AB1∥平面DBC1．（2）解：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∵BA⊥CC1，∴BA⊥平面ACC1，∴BA⊥AC1，设点D到平面ABC1的距离为h，由＝，代入可得：＝，解得点D到平面ABC1的距离为．19．（12分）某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送．学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分．根据收集的80份问卷的评分，得到如图A公司满意度评分的频率分布直方图和如表B公司满意度评分的频数分布表：频数满意度评分分组[50，60）2[60，70）8[70，80）14[80，90）14[90，100]2（Ⅰ）根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数；（Ⅱ）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率；（Ⅲ）请从统计角度，对A、B两家公司做出评价．【解答】解：（Ⅰ）设A公司调查的40份问卷的中位数为x，则有0.015×10+0.025×10+0.03×（x﹣70）＝0.5解得：x≈73.3所以，估计该公司满意度得分的中位数为73.3 …（4分）（Ⅱ）满意度高于9（0分）的问卷共有6份，其中4份评价A公司，设为a1，a2，a3，a4，2份评价B公司，设为b1，b2．从这6份问卷中随机取2份，所有可能的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2），共有15种．其中2份问卷都评价A公司的有以下6种：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4）．设两份问卷均是评价A公司为事件C，则有．…（9分）（Ⅲ）由所给两个公司的调查满意度得分知：A公司得分的中位数低于B公司得分的中位数，A公司得分集中在[70，80）这组，而B公司得分集中在[70，80）和[80，90）两个组，A公司得分的平均数数低于B公司得分的平均数，A公司得分比较分散，而B公司得分相对集中，即A公司得分的方差高于B公司得分的方差．…（13分）20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴长为2，过定点P（0，2）的直线l交椭圆C于不同的两点A、B（点B在点A、P之间）．（1）求椭圆C的方程；（2）若，求实数λ的取值范围；（3）若射线BO交椭圆C于点M（O为原点），求△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）由题得c＝1，b＝1，所以a2＝1+1＝2，则椭圆C的方程为：；（2）①当直线l斜率不存在时，其方程为x＝0，此时A（0，﹣1），B（0，1），所以＝（0，﹣1），＝（0，﹣3），因为，则λ＝；②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x1，y1﹣2），＝（x2，y2﹣2），由，得，整理得，联立，得x2+2（kx+2）2＝2，即（1+2k2）x2+8kx+6＝0，△＝64k2﹣24（1+2k2）＞0，解得k2＞，且x1+x2＝，x1x2＝，代入（1）中得，因为k2＞，所以2＜＜，解得，又因为B在A、P之间，所以，综上：；（3）由椭圆对称性可知BO＝MO，S△ABM＝2S△AOB，设O到直线l的距离为d，则S△AOB＝＝××|x2﹣x1|×＝|x2﹣x1|＝＝＝＝＝＝≤，当且仅当2k2﹣3＝（k2＞）时取“＝”，所以△ABM面积的最大值＝2△AOB面积的最大值＝，即．21．（12分）已知函数f（x）＝px﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）＝，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝p+﹣＝，令h（x）＝px2﹣2x+p，要使f（x）在其定义域（0，+∞）内是单调函数，只需h（x）在（0，+∞）内，满足：h（x）≥0或h（x）≤0恒成立，当且仅当p（x2+1）≥2x时，h（x）≥0，p（x2+1）≤2x时，h（x）≤0，因为x2+1＞0，所以当且仅当p≥时，h（x）≥0，p≤时，h（x）≤0，因为在（0，+∞）内有0＜＝＝≤1，当且仅当x＝即x＝1时取等号，所以当p≥1时，h（x）≥0，f′（x）≥0，此时f（x）在（0，+∞）单调递增，当p≤0时，h（x）≤0，f′（x）≤0，此时f（x）在（0，+∞）单调递减，综上，p的取值范围为p≥1或p≤0．（2）因为g（x）＝在[1，e]上是减函数，所以x＝e时，g（x）min＝2；x＝1时，g（x）max＝2e，即g（x）∈[2，2e]，①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减，所以f（x）max＝f（1）＝0＜2，不合题意，②当0＜p＜1时，由x∈[1，e]⇒x﹣≥0，由（1）知当p＝1时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）＝p（x﹣）﹣2lnx≤x﹣﹣2lnx≤e﹣﹣2lne＝e﹣﹣2＜2，不合题意，③当p≥1时，φ（x）＝f（x）﹣g（x），x∈[1，e]，由题意可得，只需x∈[1，e]时，φ（x）max≥0，即可，由（1）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）＝0＜2，又g（x）在[1，e]上是增函数，则φ（x）max＝f（x）max﹣g（x）min，x∈[1，e]，而f（x）max＝f（e）＝p（e﹣）﹣2lne，g（x）min＝2，只需φ（x）max＝p（e﹣）﹣2lne﹣2＞0，解得p＞，综上p的取值范围是（，+∞）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第-题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为ρ＝4sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l将于点A、B，若点M的坐标为（1，4），求|MA|+|MB|的值．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0．即x2+（y﹣2）2＝4．（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，整理，得t2﹣3t+1＝0，△＝18﹣4＝14＞0，设t1，t2为方程的两个实根，则t1+t2＝3，t1t2＝1，∴t1，t2均为正数，又直线l过M（1，4），由t的几何意义得：|MA|+|MB|＝|t1|+|t2|＝t1+t2＝3．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．若a，b，c∈R+，且满足a+b+c＝2．（1）求abc的最大值；（2）求++的最小值．【解答】解：a，b，c∈R+，且满足a+b+c＝2．（1）∴abc≤＝，当且仅当a＝b＝c时取等号，故abc的最大值；（2）∵++＝＝（3）（3+2+2+2）＝，当且仅当a＝b＝c时取等号∴++的最小值．。