广东省惠州市博罗县杨侨中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
2020-2021学年八年级下期中数学试卷及答案解析
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．式子“①3x +y ＝2；②3x ＞y ；③4x +2y ；④4x ﹣3y ≥1；⑤4x ＜0，”属于不等式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列计算正确的是（ ） A ．（−32）﹣1=32B ．1a+1b =2a+bC ．a 2−b 2a−b=a +bD ．（−120）0＝04．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 与CD 互相垂直平分 B ．CD 垂直平分ABC ．AB 垂直平分CDD ．CD 平分∠ACB5．下列各式中，正确的有（ ）①(3b 22a )3=3b 62a 3；②(2x x+y )2=4x 2x 2+y 2；③−a+b −a−b =a+b a−b ；④−x+y x−y =−1；⑤x+y x+y=0；⑥(x−y)−2(x+y)−2=(x+y)2(x−y)2． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，延长BC 到E ，使CE =12BC ，F 是AC 的中点，连接EF 并延长EF 交AB 于G ，BG 的垂直平分线分别交BG ，AD 于点M ，点N ，连接GN ，CN ，下列结论：①EG ⊥AB ；②GF =12EF ；③∠GNC ＝120°；④GN ＝GF ；⑤∠MNG ＝∠ACN ．其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题．答对一题加10分，答错或不答一题扣5分，小辉在初赛得分超过160分顺利进入决赛．设他答对x 道题，根据题意，可列出关于x 的不等式为 ． 8．若关于x 的分式方程2x−3+x+m 3−x=2有增根，则m 的值为 ．9．如图所示，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，HG ＝24cm ，WG ＝8cm ，WC ＝6cm ，求阴影部分的面积为 cm 2．10．如图．网格上的小正方形边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上．若△DEF 是由△ABC 向右平移a 个单位，再向下平移b 个单位得到的．则ba 的值为11．不等式组﹣1＜x ＜4的整数解有 个．12．如图，已知点O 为△ABC 内角平分线的交点，过点O 作MN ∥BC ，分别交AB 于AC 点M 、N ，若AB ＝12，AC ＝14，则△AMN 的周长是 ．三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分） 13．（6分）计算题（1）分解因式：2x 2y ﹣8xy +8y （2）解方程：x x−1=3x 2−2x+114．（6分）先化简，再求值：（2−x−1x+1）÷x 2+6x+9x 2−1，其中x ＝2．15．（6分）如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （0，1），B （3，3），C （1，3）． （1）画出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 1B 1C 1． （2）①画出△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°的△A 2B 2C 2； ②直接写出点B 2的坐标为 ．16．（6分）是否存在这样的整数m ，使方程组{x +y =m +22x −y =5m +4的解满足x ≥0，y ＞0；若存在，求m 的取值；若不存在，请说明理由．17．（6分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 是CB 的中点，将△ACD 沿AD 折叠后得到△AED ，过点B 作BF ∥AC 交AE 的延长线于点F ．求证：BF ＝EF ．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 18．（8分）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：的解；（2）不等式kx+b＜0的解集是；（3）当x时，kx+b≥mx﹣n；（4）若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．19．（8分）若一多项式除以2x2﹣3，得到的商式为x+4，余式为3x+2，求此多项式．20．（8分）若3x−5x2−2x−3=ax−3−bx+1（a，b为常数），求（a+2b）b的值．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．（9分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？22．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B （b，0），且a、b满足a2﹣4a+4+√2b+2=0．（1）求a，b的值；（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．①求证CF=12BC；②直接写出点C到DE的距离．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； B 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； 故选：A ．2．式子“①3x +y ＝2；②3x ＞y ；③4x +2y ；④4x ﹣3y ≥1；⑤4x ＜0，”属于不等式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】解：式子“3x ＞y ；4x ﹣3y ≥1；4x ＜0，”属于不等式， 故选：B ．3．下列计算正确的是（ ） A ．（−32）﹣1=32B ．1a+1b=2a+bC ．a 2−b 2a−b=a +bD ．（−120）0＝0 【解答】解：A 、原式=−23，错误； B 、原式=a+bab ，错误； C 、原式=(a+b)(a−b)a−b =a +b ，正确；D 、原式＝1，错误； 故选：C ．4．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 与CD 互相垂直平分 B ．CD 垂直平分ABC ．AB 垂直平分CDD ．CD 平分∠ACB【解答】解：∵AC ＝AD ，BC ＝BD ， ∴AB 是线段CD 的垂直平分线， 故选：C ．5．下列各式中，正确的有（ ）①(3b 22a )3=3b 62a 3；②(2x x+y )2=4x 2x 2+y 2；③−a+b −a−b =a+b a−b ；④−x+y x−y =−1；⑤x+y x+y=0；⑥(x−y)−2(x+y)=(x+y)2(x−y)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①(3b 22a )3=27b 68a 3，故选项错误；②(2x x+y )2=4x 2x 2+2xy+y 2，故选项错误；③−a+b −a−b =a−b a+b，故选项错误；④−x+y x−y =−1，故选项正确；⑤x+y x+y=1，故选项错误；⑥(x−y)−2(x+y)=(x+y)2(x−y)，故选项正确；所以正确的有2个． 故选：B ．6．如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，延长BC 到E ，使CE =12BC ，F 是AC 的中点，连接EF 并延长EF 交AB 于G ，BG 的垂直平分线分别交BG ，AD 于点M ，点N ，连接GN ，CN ，下列结论：①EG ⊥AB ；②GF =12EF ；③∠GNC ＝120°；④GN ＝GF ；⑤∠MNG ＝∠ACN ．其中正确的个数是（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝BC，∵CE=12BC，F是AC的中点，∴CF＝CE，∴∠E＝∠CFE，∵∠ACB＝∠E+∠CFE＝60°，∴∠E＝30°，∴∠BGE＝90°，∴EG⊥AB，故①正确；②设AG＝x，则AF＝FC＝CE＝2x，∴FG=√3x，BE＝6x，Rt△BGE中，BG＝3x，EG＝3√3x，∴EF＝EG﹣FG﹣3√3x−√3x＝2√3x，∴GF=12EF，故②正确；③如图，过N作NH⊥AC于H，连接BN，等边三角形ABC，∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BN＝CN，∵MN⊥AB，∴NH＝NM，∵MN是BG的垂直平分线，∴BN＝NG，∴BN＝CN＝NG，在Rt△NGM和Rt△NCH中，{MN=NHGN=NC，∴Rt△NGM≌Rt△NCH（HL），∴∠GNM＝∠CNH，∴∠MNH＝∠CNG，∵∠ANM＝∠ANH＝60°，∴∠CNG＝120°，故③正确；④∵MN是BG的垂直平分线，∴BM＝MG=32x，∴AM＝x+32x=52x，等边△ABC中，AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，∴MN=5√3x 6，∴GN=√GM2+MN2=(32x)2+(53x6)2=√39x2≠FG，故④不正确；⑤∵BN＝CN＝NG，∴∠DCN＝∠DBN，∠NBM＝∠NGM，∵∠ACN＝∠ACB﹣∠DCN＝60°﹣∠DBN＝∠ABN＝∠NGM，∵MG=32x，MN=5√36x，∴MG≠MN，∴∠NGM≠∠MNG，∴∠MNG≠∠ACN，故⑤不正确；其中正确的有：①②③，一共3个，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题．答对一题加10分，答错或不答一题扣5分，小辉在初赛得分超过160分顺利进入决赛．设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为10x﹣5（20﹣x）＞160．【解答】解：设他答对x道题，则答错或不答的题数为（20﹣x）道，根据题意，可列出关于x的不等式为10x﹣5（20﹣x）＞160，故答案为：10x﹣5（20﹣x）＞160．8．若关于x的分式方程2x−3+x+m3−x=2有增根，则m的值为﹣1．【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得2﹣x﹣m＝2（x﹣3）∵原方程增根为x＝3，∴把x＝3代入整式方程，得2﹣3﹣m＝0，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．9．如图所示，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG＝24cm，WG＝8cm，WC＝6cm，求阴影部分的面积为168cm2．【解答】解：∵直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，∴HG＝CD＝24，∴DW＝DC﹣WC＝24﹣6＝18，∵S阴影部分+S梯形EDWF＝S梯形DHGW+S梯形EDWF，∴S阴影部分＝S梯形DHGW=12（DW+HG）×WG=12×（18+24）×8＝168（cm2）．故答案为168．10．如图．网格上的小正方形边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上．若△DEF 是由△ABC 向右平移a 个单位，再向下平移b 个单位得到的．则ba 的值为23【解答】解：由图知△DEF 是由△ABC 向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的， ∴a ＝3、b ＝2， 则ba=23，故答案为：23．11．不等式组﹣1＜x ＜4的整数解有 4 个．【解答】解：在﹣1＜x ＜4范围内的整数只有0，1，2，3， 所以等式﹣1＜x ＜4的整数解有4个， 故答案为4．12．如图，已知点O 为△ABC 内角平分线的交点，过点O 作MN ∥BC ，分别交AB 于AC 点M 、N ，若AB ＝12，AC ＝14，则△AMN 的周长是 26 ．【解答】解：∵BO 平分∠ABC ， ∴∠MBO ＝∠CBO ， ∵MN ∥BC ， ∴∠MOB ＝∠CBO ， ∴∠MOB ＝∠MBO ， ∴OM ＝BM ， 同理CN ＝NO ，∴BM+CN＝MN，∴△AMN的周长是AN+MN+AM＝AN+CN+OM+ON＝AB+AC＝12+14＝26．故答案为：26．三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13．（6分）计算题（1）分解因式：2x2y﹣8xy+8y（2）解方程：xx−1=3x2−2x+1【解答】解：（1）原式＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2；（2）去分母得：2x＝﹣3x+2x﹣2，解得：x=−2 3，经检验x=−23是分式方程的解．14．（6分）先化简，再求值：（2−x−1x+1）÷x2+6x+9x2−1，其中x＝2．【解答】解：（2−x−1x+1）÷x2+6x+9x2−1=2(x+1)−(x−1)x+1⋅(x+1)(x−1)(x+3)2=2x+2−x+1x+1⋅(x+1)(x−1)(x+3)2=x+3 x+1⋅(x+1)(x−1)(x+3)2=x−1 x+3，当x＝2时，原式=2−12+3=15．15．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1．（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；②直接写出点B2的坐标为（﹣3，3）．【解答】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作； （2）①画如图，△A 2B 2C 2为所作；②点B 2的坐标为（﹣3，3）． 故答案为（﹣3，3）．16．（6分）是否存在这样的整数m ，使方程组{x +y =m +22x −y =5m +4的解满足x ≥0，y ＞0；若存在，求m 的取值；若不存在，请说明理由．【解答】解：解方程组{x +y =m +22x −y =5m +4得：{x =2m +2y =−m ，根据题意，得：{2m +2≥0−m ＞0，解得：﹣1≤m ＜0， 则整数m ＝﹣1．17．（6分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 是CB 的中点，将△ACD 沿AD 折叠后得到△AED ，过点B 作BF ∥AC 交AE 的延长线于点F ．求证：BF ＝EF ．【解答】证明：如图，连接DF，∵D是CB的中点，∴CD＝BD．∵将△ACD沿AD折叠后得到△AED，∴CD＝ED，∠AED＝∠C＝90°，∴BD＝ED，∠DEF＝90°，∵BF∥AC，∠C＝90°，∴∠CBF＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DBF＝∠DEF＝90°，在Rt△DBF和Rt△DEF中，{DF=DFDE=DB，∴Rt△DBF≌Rt△DEF（HL），∴BF＝EF．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18．（8分）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：{y=2x−1y=−12x+32的解；（2）不等式kx+b＜0的解集是x＞3；（3）当x≤1时，kx+b≥mx﹣n；（4）若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．【解答】解：（1）把A （0，﹣1），P （1，1）分别代入y ＝mx ﹣n 得{−n =−1m −n =1，解得{m =2n =1，所以直线l 1的解析式为y ＝2x ﹣1，把P （1，1）、B （3，0）分别代入y ＝kx +b 得{k +b =13k +b =0，解得{k =−12b =32， 所以直线l 2的解析式为y =−12x +32，所以交点P 的坐标（1，1）是一元二次方程组{y =2x −1y =−12x +32的解； （2）不等式kx +b ＜0的解集为x ＞3； （3）当x ≤1时，kx +b ≥mx ﹣n ；（4）当y ＝0时，2x ﹣1＝0，解得x =12，则M 点的坐标为（12，0）；当x ＝0时，y =−12x +32=32，则N 点坐标为（0，32），所以四边形OMPN 的面积＝S △ONB ﹣S △PMB =12×3×32−12×（3−12）×1 ＝1．故答案为{y =2x −1y =−12x +32；x ＞3；≤1．19．（8分）若一多项式除以2x 2﹣3，得到的商式为x +4，余式为3x +2，求此多项式． 【解答】解：根据题意得：（2x 2﹣3）（x +4）+3x +2＝2x 3+8x 2﹣10． 20．（8分）若3x−5x 2−2x−3=a x−3−bx+1（a ，b 为常数），求（a +2b ）b 的值．【解答】解：a x−3−bx+1=ax+a−bx+3b(x−3)(x+1)=(a−b)x+a+3bx 2−2x−3，∵3x−5x 2−2x−3=a x−3−bx+1，∴{a −b =3a +3b =−5， 解得，{a =1b =−2，∴（a +2b ）b ＝[1+2×（﹣2）]﹣2＝（﹣3）﹣2=19．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．（9分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同． （1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？【解答】解：（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x 元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x ﹣50）元， 由题意得：300x=4003x−50，解得：x ＝30，经检验，x ＝30是原方程的解且符合实际意义， 3x ﹣5═40，答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元； （2）设购买甲种品牌的消毒剂y 瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y ）瓶， 由题意得：30y +40（40﹣y ）＝1400， 解得：y ＝20， ∴40﹣y ＝40﹣20＝20，答：购买了20瓶乙品牌消毒剂．22．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交y 轴、x 轴于点A （0，a ），点B（b，0），且a、b满足a2﹣4a+4+√2b+2=0．（1）求a，b的值；（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．①求证CF=12BC；②直接写出点C到DE的距离．【解答】解：（1）∵a2−4a+4+√2b+2=0，∴(a−2)2+√2b+2=0，∵（a﹣2）2≥0，√2b+2≥0，∴a﹣2＝0，2b+2＝0，∴a＝2，b＝﹣1；（2）由（1）知a＝2，b＝﹣1，∴A（0，2），B（﹣1，0），∴OA＝2，OB＝1，∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝45°，∴只有∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，Ⅰ、当∠BAC＝90°时，如图1，∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°， ∴AB ＝CB ，过点C 作CG ⊥OA 于G ， ∴∠CAG +∠ACG ＝90°， ∵∠BAO +∠CAG ＝90°， ∴∠BAO ＝∠ACG ， 在△AOB 和△BCP 中， {∠CGA =∠AOB =90°∠ACG =∠BAO AC =AB， ∴△AOB ≌△CGA （AAS ）， ∴CG ＝OA ＝2，AG ＝OB ＝1， ∴OG ＝OA ﹣AG ＝1， ∴C （2，1），Ⅱ、当∠ABC ＝90°时，如图2，同Ⅰ的方法得，C （1，﹣1）；即：满足条件的点C （2，1）或（1，﹣1） （3）①如图3，由（2）知点C （1，﹣1）， 过点C 作CL ⊥y 轴于点L ，则CL ＝1＝BO ，在△BOE 和△CLE 中， {∠OEB =∠LEC ∠EOB =∠ELC BO =CL， ∴△BOE ≌△CLE （AAS ）， ∴BE ＝CE ， ∵∠ABC ＝90°， ∴∠BAO +∠BEA ＝90°， ∵∠BOE ＝90°， ∴∠CBF +∠BEA ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBF ， 在△ABE 和△BCF 中， {∠BAE =∠CBF AB =BC ∠ABE =∠BCF， ∴△ABE ≌△BCF （ASA ）， ∴BE ＝CF ， ∴CF =12BC ；②点C 到DE 的距离为1．如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，由①知BE＝CF，∵BE=12BC，∴CE＝CF，∵∠ACB＝45°，∠BCF＝90°，∴∠ECD＝∠DCF，∵DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴CK＝CH＝1．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是60°；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是AC＝CD+CE．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，故答案为60°；②由（1）知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∴AC＝CE+CD，故答案为AC＝CE+CD；（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴BC=√2AC，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴√2AC＝CE+CD；（3）由（2）知，△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∵∠DAE＝90°，∴∠BCE+∠DAE＝180°，∴点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，∵AC与DE交于点F，∴AF是直径DE上的一点到点A的距离，即：当AF⊥DE时，AF最小，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠ACB＝45°，∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AF最小=12AC＝4．。
2020-2021学年度第二学期期中质量检测八年级数学试题及答案
2020-2021学年度第⼆学期期中质量检测⼋年级数学试题及答案2020-2021学年度第⼆学期期中质量检测⼋年级数学试题满分：120分，考试时间：100分⼀、选择题（本⼤题共有8⼩题，每⼩题3分，共24分在每⼩题所给的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1．下列图形中，既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形的有（▲）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．.菱形不具有的性质是（▲）A.对⾓线互相平分B.对⾓线相等C.对⾓线互相垂直D.每⼀条对⾓线平分⼀组内⾓3.下列各式：()22214151 ,, ,, 232x x y a x x b y π-+--,4x-y 其中分式共有（▲）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．⼀个不透明的布袋中装有5个⽩球和3个红球，它们除了颜⾊不同外，其余均相同．从中随机摸出⼀个球，摸到红球的概率是（▲）A ．13 B ．15 C ．38 D ．585.关于反⽐例函数xy 1=的图像，下列说法不正确的是（▲）A ．图像在第⼀、三象限B ．图像经过点（1，1）C ．当0D ．当1>x 时，10<6.如图，菱形纸⽚ABCD 中，∠A=60°，折叠菱形纸⽚ABCD ，使点C 落在DP(P 为AB 中点)所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ．则∠DEC 的⼤⼩为( ▲ )A ．78°B ．75°C ．60°D ．45°学校＿＿＿＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿考试学＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿＿………………………………密……………………………………封………………………………………线…………………………………………7.设有反⽐例函数=y －x2，),(11y x 、),(22y x 、()33,y x 为其图像上的三个点，210x x <<<3x ，则下列各式正确的是（▲）A ．321y y y <<B ．132y y y <<C ．123y y y <<D ．231y y y << 8.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC =6cm ，点P 从点B 出发，沿BA ⽅向以每秒 2 cm 的速度向终点A 运动；同时，动点Q 从点C 出发沿CB ⽅向以每秒2cm 的速度向终点B 运动，将△BPQ 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′，设Q 点运动的时间t 秒，若四边形QPBP ′为菱形，则t 的值是（▲）A ．1.5B ． 2C ．2 2D ．3⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，每⼩题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9.当分式6562---x x x 的值为0时，x 的值为▲ .10.下列命题：①⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等的四边形是平⾏四边形；②对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形；③在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，那么这个四边形ABCD 是平⾏四边形；④⼀组对边相等，⼀组对⾓相等的四边形是平⾏四边形.其中正确的命题是▲．（将命题的序号填上即可）．11.已知反⽐例函数25ky -=（k-1）x ,那么k 的值是▲ .12. 已知y 与x ?3成反⽐例，当x=4时，y=?1；那么y 与x 的函数关系可以表⽰为y= ▲__.13.从形状、⼤⼩相同的9张数字卡⽚（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9）中任意抽1张，抽出的恰好是：①偶数；②⼩于6的数；③不⼩于9的数，这些事件按发⽣的可能性从⼤到⼩排列是▲（填序号）14.⽤反证法证明“等腰三⾓形的底⾓是锐⾓”时，⾸先应假设▲. 15.下列4个分式：①332++a a ；②22y x y x --；③n m m 22；④1m 2+，中最简分式有▲个．16. 若关于x 的⽅程221--=-x mx x ⽆解，则m 的值是___▲_____. 17.如图，在平⾯直⾓坐标系中，直线y ＝﹣kx +m 与双曲线y ＝（x ＞0）交于A 、B 两点，点A 的横坐标为1，点B 的横坐标为4，则不等式﹣kx +m ＞的解集为 _▲_ ．18.如图，在△ABC 中，AB=3cm ，AC=4cm ，BC=5cm,M 是BC 边上的动点，MD ⊥AB ，ME ⊥AC ，垂⾜分别是D 、E.线段DE 的最⼩值是 _▲_ cm.三、解答题（本⼤题共9⼩题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出⽂字说明，推理过程或演算步骤）19. （本题满分6分）计算(1)22x x y x y-++ (2)22214()244x x x x x x x x +---÷--+ 20．（本题满分6分）解⽅程：（1）21122x x x =--- (2) 3911332-=-+x x x 21．（本题满分6分））先化简：)112(1222xx x x x x --÷+-+，再从﹣2＜x ＜3的范围内选取⼀个你喜欢的x 值代⼊求值．22. （本题满分8分已知21y y y +=，y1与x 成正⽐例，2y 与2x 成反⽐．当x ＝1时，y ＝﹣12；当x ＝4时，y ＝7．（1）求y 与x 的函数关系式和x 的取值范围；（2）当x ＝41时，求y 的值． 23．（本题满分8分）△ABC 在平⾯直⾓坐标系xOy 中的位置如图所⽰．（1）作△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 1B 1C 1．（2）将△ABC 向右平移3个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2．（3）若点M 是平⾯直⾓坐标系中直线AB 上的⼀个动点，点N 是x 轴上的⼀个动点，且以O 、A 2、M 、N 为顶点的四边形是平⾏四边形，请直接写出点N 的坐标．24．（本题满分8分）准备⼀张矩形纸⽚，按如图操作：将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对⾓线BD 上的M 点，将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对⾓线BD 上的N 点．（1）求证：四边形BFDE 是平⾏四边形；（2）若四边形BFDE 是菱形，BE ＝2，求菱形BFDE 的⾯积．25．（本题满分8分）某⼀⼯程，在⼯程招标时，接到甲，⼄两个⼯程队的投标书．施⼯⼀天，需付甲⼯程队⼯程款1.2万元，⼄⼯程队⼯程款0.5万元．⼯程领导⼩组根据甲，⼄两队的投标书测算，有如下⽅案：①甲队单独完成这项⼯程刚好如期完成；②⼄队单独完成这项⼯程要⽐规定⽇期多⽤6天；③若甲，⼄两队合做3天，余下的⼯程由⼄队单独做也正好如期完成．试问：规定⽇期是多少天？在不耽误⼯期的前提下，你觉得哪⼀种施⼯⽅案最节省⼯程款？请说明理由．26．（本题满分12分）如图，在平⾯直⾓坐标系中，A 点的坐标为（a ，6），AB ⊥x 轴于点B ，AB 3OB 4，反⽐例函数y=kx 的图象的⼀⽀分别交AO 、AB 于点C 、D ．延长AO 交反⽐例函数的图象的另⼀⽀于点E ．已知点D 的纵坐标为32．(1)求反⽐例函数的解析式及点E 的坐标； (2)连接BC ，求S △CEB ．(3)若在x 轴上的有两点M （m,0）N(-m,0).①以E 、M 、C 、N 为顶点的四边形能否为矩形？如果能求出m 的值，如果不能说明理由。
2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷及答案
2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ） A ．m ﹣4＜n ﹣4B ．m 4＞n4C ．4m ＜4nD ．﹣2m ＞﹣2n2．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是（ ）A ．∠B ＝∠CB ．AD ⊥BCC ．AD 平分∠BACD ．AB ＝2BD3．不等式组{2x −4≤0x +2＞0的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，点E ，F ，G ，Q ，H 在一条直线上，且EF ＝GH ，我们知道按如图所作的直线l 为线段FG 的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）A ．l 是线段EH 的垂直平分线B ．l 是线段EQ 的垂直平分线C ．l 是线段FH 的垂直平分线D ．EH 是l 的垂直平分线5．已知a ＜b ，则下列不等式不成立的是（ ） A ．a ﹣1＜b ﹣1B ．a2＜b2C ．a ﹣b ＜0D ．1−a 3＜1−b 36．如图，将三角形ABE 向右平移1cm 得到三角形DCF ，如果三角形ABE 的周长是10cm ，那么四边形ABFD的周长是（）A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm7．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确8．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣ab＝a（a﹣b）C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）9．已知一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（﹣2，0），则不等式ax＞b的解集为（）A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜210．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD 上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为（）A．14B．13C．12D．10二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝．12．已知a+b+c＝0，a＞b＞c，则ca的取值范围是．13．若关于x的不等式组{2x−k＞0x−2≤0有且只有五个整数解，则k的取值范围是．14．如图，是由边长为1个单位长度的小正方形的网格，在格点中找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有个．15．如图所示，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，2），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是．三．解答题（共7小题，满分63分，每小题9分）16．（9分）（1）分解因式：ax2﹣2ax+a；（2）解不等式组：{x+3≤2(x+2)x3+1＞3x−14，并写出所有非负整数解．17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣1，1）（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；平移△ABC，若A对应的点A2坐标为（﹣4，﹣5），画出△A2B2C2；（2）若△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，直接写出旋转中心坐标．（3）在x轴上有一点P使得P A+PB的值最小，直接写出点P的坐标．18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、点D，∠A＝36°．求证：AD＝BC．19．（9分）（1）已知3m＝6，9n＝2，求32m﹣2n+1的值；（2）已知a+b＝6，ab＝8，求a2+b2与（a﹣b）2的值．20．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，DE=20√39，求S△ABC．21．（9分）随着夏季的来临，某公司决定购买10套设备生产电风扇，现有甲、乙两种型号的设备，其中每套的价格、日生产量如表：甲型乙型价格（万元/套）m n生产量（台/日）120100经调查：购买两套甲型设备比购买一套乙型设备多6万元，购买一套甲型设备和购买三套乙型设备共需10万元．（1）求m，n的值；（2）经预算，该公司购买生产设备的资金不超过26万元，且每日的生产量不低于1020台，为了节约资金，请你为公司设计一种最省钱的购买方案．22．（9分）如图，△ABC中，AB＝30cm，AC＝20cm，以BC为边作等边△BCD，连接AD，求AD的最大值，最小值分别是多少？2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ） A ．m ﹣4＜n ﹣4B ．m 4＞n4C ．4m ＜4nD ．﹣2m ＞﹣2n【解答】解：∵m ＞n ，∴m ﹣4＞n ﹣4；14m ＞14n ；4m ＞4n ，﹣2m ＜﹣2n ．故选：B ．2．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是（ ）A ．∠B ＝∠CB ．AD ⊥BCC ．AD 平分∠BACD ．AB ＝2BD【解答】解：∵△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 中点 ∴∠B ＝∠C ，（故A 正确） AD ⊥BC ，（故B 正确） ∠BAD ＝∠CAD （故C 正确） 无法得到AB ＝2BD ，（故D 不正确）． 故选：D ．3．不等式组{2x −4≤0x +2＞0的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：{2x −4≤0①x +2＞0②，由①得x ≤2，由②得x ＞﹣2， 故此不等式组的解集为：故选：C ．4．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l 为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线【解答】解：如图：A．∵直线l为线段FG的垂直平分线，∴FO＝GO，l⊥FG，∵EF＝GH，∴EF+FO＝OG+GH，即EO＝OH，∴l为线段EH的垂直平分线，故此选项正确；B．∵EO≠OQ，∴l不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误；C．∵FO≠OH，∴l不是线段FH的垂直平分线，故此选项错误；D ．∵l 为直线，EH 不能平分直线l ， ∴EH 不是l 的垂直平分线，故此选项错误； 故选：A ．5．已知a ＜b ，则下列不等式不成立的是（ ） A ．a ﹣1＜b ﹣1B ．a2＜b2C ．a ﹣b ＜0D ．1−a 3＜1−b 3【解答】解：∵a ＜b ，∴a ﹣1＜b ﹣1，12a ＜12b ，a ﹣b ＜0，1−a 3＞1−b 3．故选：D ．6．如图，将三角形ABE 向右平移1cm 得到三角形DCF ，如果三角形ABE 的周长是10cm ，那么四边形ABFD 的周长是（ ）A ．12cmB ．16cmC ．18cmD ．20cm【解答】解：∵△ABE 的周长＝AB +BE +AE ＝10（cm ），由平移的性质可知，BC ＝AD ＝EF ＝1（cm ），AE ＝DF ，∴四边形ABFD 的周长＝AB +BE +EF +DF +AD ＝10+1+1＝12（cm ）． 故选：A ．7．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（ ）A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【解答】解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．8．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣ab＝a（a﹣b）C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为：a2﹣b2；拼成的长方形的面积为：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．9．已知一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（﹣2，0），则不等式ax＞b的解集为（）A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜2【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，则函数y随x的增大而增大，∴a＞0．把点（﹣2，0），代入即可得到：﹣2a+b＝0．即2a﹣b＝0．不等式ax＞b的解集就是求函数y＝ax﹣b＞0，故当x＞2时，不等式ax＞b成立．则不等式ax＞b的解集为x＞2．故选：C．10．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD 上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为（）A．14B．13C．12D．10【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°，∵BF＝7，∴BG＝2BF＝14，∴EG＝8，∵CE＝CG＝4，∴AC＝BC＝10，故选：D．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝（a+1）100．【解答】解：原式＝（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]＝（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]＝（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]＝…＝（a+1）100．故答案为：（a+1）100．12．已知a+b+c＝0，a＞b＞c，则ca 的取值范围是﹣2＜ca＜−12．【解答】解：∵a+b+c＝0，∴a＞0，c＜0 ①∴b＝﹣a﹣c，且a＞0，c＜0∵a＞b＞c∴﹣a﹣c＜a，即2a＞﹣c②解得ca＞−2，将b＝﹣a﹣c代入b＞c，得﹣a﹣c＞c，即a＜﹣2c③解得ca ＜−12，∴﹣2＜ca＜−12．故答案为：﹣2＜ca＜−12．13．若关于x的不等式组{2x−k＞0x−2≤0有且只有五个整数解，则k的取值范围是﹣6≤k＜﹣4．【解答】解：解不等式2x﹣k＞0得x＞k 2，解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，∵不等式组有且只有5个整数解，∴﹣3≤k2＜−2，解得﹣6≤k＜﹣4，故答案为：﹣6≤k＜﹣4．14．如图，是由边长为1个单位长度的小正方形的网格，在格点中找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有6个．【解答】解：AB=√5，以B为顶点，BC＝BA，这样的C点有4个；以A为顶点，AC＝AB，这样的C点有2个；以C为顶点，CA＝CB，这样的点不存在，但与前面的重合；所以使△ABC的等腰三角形，这样的格点C的个数有6个．故答案为6．15．如图所示，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，2），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是y＝2x﹣8．【解答】解：∵A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，过点C作CD⊥x轴于点D，∵∠ABO +∠BAO ＝∠BAO +∠CAD ，∴∠ABO ＝∠CAD ，在△ACD 和△BAO 中{∠ABO =∠CAD ∠AOB =∠CDA AB =AC，∴△ACD ≌△BAO （AAS ）∴AD ＝OB ＝2，CD ＝OA ＝4，∴C （6，4）设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将点A ，点C 坐标代入得{4k +b =06k +b =4， ∴{k =2b =−8， ∴直线AC 的解析式为y ＝2x ﹣8．故答案为：y ＝2x ﹣8．三．解答题（共7小题，满分63分，每小题9分）16．（9分）（1）分解因式：ax 2﹣2ax +a ；（2）解不等式组：{x +3≤2(x +2)x 3+1＞3x−14，并写出所有非负整数解． 【解答】解：（1）ax 2﹣2ax +a ＝a （x 2﹣2x +1）＝a （x ﹣1）2；（2）{x +3≤2(x +2)①x 3+1＞3x−14②， 解不等式①得，x ≥﹣1，解不等式②得，x ＜3将两个不等式的解集在数轴上表示为：∴不等式组的解集为﹣1≤x ＜3：∴非负整数解有：0，1，2．17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣1，1）（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；平移△ABC，若A对应的点A2坐标为（﹣4，﹣5），画出△A2B2C2；（2）若△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，直接写出旋转中心坐标（﹣1，﹣2）．（3）在x轴上有一点P使得P A+PB的值最小，直接写出点P的坐标（−134，0）．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．（2）如图所示，点Q即为所求，其坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2）；（3）如图所示，点P即为所求，设直线A′B的解析式为y＝kx+b，将点A′（﹣4，﹣1），B（﹣1，3）代入，得：{−4k +b =−1−k +b =3， 解得：{k =43b =133， ∴直线A ′B 的解析式为y =43x +133， 当y ＝0时，43x +133=0， 解得x =−134，∴点P 的坐标为（−134，0）． 故答案为：（−134，0）． 18．（9分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、点D ，∠A ＝36°．求证：AD ＝BC ．【解答】证明：∵AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、点D ，∴DB ＝DA ，∴△ABD 是等腰三角形；∵∠A ＝36°，∴∠ABD ＝∠A ＝36°，∠ABC ＝∠C ＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∴∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝72°，∴∠C ＝∠BDC ，∴BD ＝BC ，∴AD ＝BC ．19．（9分）（1）已知3m ＝6，9n ＝2，求32m ﹣2n +1的值；（2）已知a +b ＝6，ab ＝8，求a 2+b 2与（a ﹣b ）2的值．【解答】解：（1）∵3m ＝6，9n ＝2，∴32m﹣2n+1＝（3m）2÷9n×3＝36÷2×3＝54；（2）将a+b＝6平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36，把ab＝8代入得：a2+b2+16＝36，即a2+b2＝20；∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝20﹣16＝4．20．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，DE=20√39，求S△ABC．【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝60°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=12∠BAC=30°∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°（2）过点D作DF⊥AC于点F．∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE=20√3 9，又AB＝10，AC＝8，∴S△ABC=12×10×20√39+12×8×20√39=20√321．（9分）随着夏季的来临，某公司决定购买10套设备生产电风扇，现有甲、乙两种型号的设备，其中每套的价格、日生产量如表：甲型 乙型 价格（万元/套）m n 生产量（台/日） 120 100经调查：购买两套甲型设备比购买一套乙型设备多6万元，购买一套甲型设备和购买三套乙型设备共需10万元．（1）求m ，n 的值；（2）经预算，该公司购买生产设备的资金不超过26万元，且每日的生产量不低于1020台，为了节约资金，请你为公司设计一种最省钱的购买方案．【解答】解：（1）根据题意知{m −n =6m +3n =10， 解得：{m =7n =1； （2）设购买甲型设备x 台、乙型设备（10﹣x ）台，根据题意，得：{7x +10−x ≤26120x +100(10−x)≥1020， 解得：1≤x ≤83，∵x 为整数，∴x ＝1或x ＝2，即有两种购买方案：方案一：购买1台甲型设备、9台乙型设备，购买总费用为1×7+9×1＝16万元； 方案二：购买2台甲型设备、8台乙型设备，购买总费用为2×7+8×1＝22万元； 所以购买1台甲型设备、9台乙型设备最省钱．22．（9分）如图，△ABC 中，AB ＝30cm ，AC ＝20cm ，以BC 为边作等边△BCD ，连接AD ，求AD 的最大值，最小值分别是多少？【解答】解：∵△BCD为等边三角形，∴DC＝DB，∠BDC＝60°，把△DAC绕点D逆时针旋转60°得到△DEB，如图，连接AE，∴DA＝DE，∠ADE＝60°，BE＝AC＝20，∴△DAE为等边三角形，∴AD＝AE，∵AB+BE≥AE或AB﹣BE≤AE（当且仅当A、B、E共线时取等号），∴AE的最大值为30+20＝50，AE的最小值为30﹣20＝10．。
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷及答案
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列属于最简二次根式的是（）A．√8B．√5C．√4D．√1 3【解答】解：A．√8=2√2，不符合题意；B．√5是最简二次根式；C．√4=2，不符合题意；D．√13=√33，不符合题意；故选：B．2．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是（）A．1B．√3C．2D．√5【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB=√AC2−BC2=√22−12=√3，故选：B．3．下列各式中，化简后能与√2合并的是（）A．√12B．√8C．√23D．√0.2【解答】解：A、√12=2√3，不能与√2合并；B、√8=2√2，能与√2合并；C、√23=√63，不能与√2合并；D、√0.2=√55，不能与√2合并；故选：B．4．下列计算正确的是（）A．2√3+3√2=5B．√8÷√2=2C．5√3×5√2=5√6D．√412=2√12【解答】解：A、2√3与3√2不能合并，所以A选项错误；B、原式=√8÷2=2，所以B选项正确；C、原式＝25√3×2=25√6，所以C选项错误；D、原式=√92=3√22，所以D选项错误．故选：B．5．下列命题是真命题的是（）A．如果a2＝b2，那么a＝bB．0的平方根是0C．如果∠A与∠B是内错角，那么∠A＝∠BD．三角形的一个外角等于它的两个内角之和【解答】解：A、如果a2＝b2，那么a＝b或a＝﹣b，故原题说法错误；B、0的平方根是0，故原题说法正确；C、如果∠A与∠B是内错角，∠A不一定等于∠B，故原题说法错误；D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，故原题说法错误；故选：B．6．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为（）A．14B．16C．20D．18【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∵△CDE的周长为10，∴DE+CE+CD＝BE+CE+CD＝BC+CD＝10，∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝20；故选：C．7．以下列三个数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（）A．2，3，4B．4，5，6C．5，12，13D．5，6，7【解答】解：A、22+32≠42，故不能构成直角三角形；B、42+52≠62，故不能构成直角三角形；C 、52+122＝132，故能构成直角三角形；D 、52+62≠72，故不能构成直角三角形．故选：C ．8．如图，下面不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ＝CD ，AB ∥CDB ．∠A ＝∠C ，∠B ＝∠DC ．AB ＝CD ，AD ∥BC D ．AB ＝CD ，AD ＝BC 【解答】解：A 、∵AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，正确；B 、∵∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，∴四边形ABCD 是平行四边形，正确；C 、∵AB ＝CD ，AD ∥BC ，不能得出四边形ABCD 是平行四边形，错误；D 、∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，正确；故选：C ．9．如图，▱ABCD 中，AC ．BD 为对角线，BC ＝3，BC 边上的高为2，则阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．24【解答】解：∵▱ABCD 中，AC ．BD 为对角线，BC ＝3，BC 边上的高为2，∴S ▱ABCD ＝3×2＝6，AD ∥BC ，∴OA ＝OC ，∠OAE ＝∠OCF ，在△AOE 和△COF 中，{∠OAE =∠OCF OA =OC ∠AOE =∠COF，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴S △AOE ＝S △COF ，同理：S △EOG ＝S △FOH ，S △DOG ＝S △BOH ，∴S阴影＝S△ABD=12S▱ABCD=12×6＝3．故选：A．10．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，AB=12BC＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD=√7；③S平行四边形ABCD＝AB•AC；④OE=14AD；⑤S△APO=√310中，正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝1，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝1，∵BC＝2，∴EC＝1，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝30°，∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACE＝30°，故①正确；②∵BE＝EC，OA＝OC，∴OE=12AB=12，OE∥AB，∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，Rt△EOC中，OC=√12−(12)2=√32，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∴∠ACB＝30°，∴∠ACD＝90°，Rt△OCD中，OD=12+(32)2=√72，∴BD＝2OD=√7，故②正确；③由②知：∠BAC＝90°，∴S▱ABCD＝AB•AC，故③正确；④由②知：OE是△ABC的中位线，∴OE=12AB，∵AB=12BC，∴OE=14BC=14AD，故④正确；⑤∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=√3 2，∴S△AOE＝S△EOC=12OE•OC=12×12×√32=√38，∵OE∥AB，∴EPAP =OEAB=12，∴S△POES△AOP =12，∴S△AOP=23S△AOE=23×√38=√312；故⑤错误；本题正确的有：①②③④，4个，故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．计算√3x⋅√13xy(x＞0)结果为x√y．【解答】解：原式=√3x⋅13xy=√x2y=x√y．故答案为：x√y．12．若√x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3．【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝5．∠BCD的平分线交AD于点F，交BA 的延长线于点E，则AE的长为3．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝5，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝5，AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∵CE平分∠DCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF＝2，∴AF＝3，∵AB∥CD，∴∠E＝∠DCF，又∵∠EF A＝∠DFC，∠DFC＝∠DCF，∴∠AEF＝∠EF A，∴AE＝AF＝3，故答案为：3．14．如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为 2.2m．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．故答案为：2.2．15．如图，在等边△ABC 中，BC ＝5cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s的速度运动，点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动．如果点E 、F 同时出发，设运动时间为t （s ），当t ＝ 53或5 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形．【解答】解：①当点F 在C 的左侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，则CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣2t （cm ），∵AG ∥BC ，∴当AE ＝CF 时，四边形AECF 是平行四边形，即t ＝5﹣2t ，解得：t =53；②当点F 在C 的右侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，则CF ＝BF ﹣BC ＝2t ﹣5（cm ），∵AG ∥BC ，∴当AE ＝CF 时，四边形AEFC 是平行四边形，即t ＝2t ﹣5，解得：t ＝5；综上可得：当t =53s 或5s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形．故答案为：53或5． 三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）计算下列各题（1）(√2+1)(√2−1)+(√3−2)2（2）−12√1024×5．【解答】解：（1）原式＝2﹣1+5﹣4√3=6﹣4√3；（2）原式=−12×2×4√5=−4√5．17．（9分）计算题：（1）2√12÷12√50×12√34−35√2；（2）先化简，再求值．（6x √y x +3y √xy 3）﹣（4x √x y +√36xy ），其中x =32，y ＝27． 【解答】解：（1）原式＝2×2×12√12÷50×34−35√2＝2×310√2−35√2=35√2−35√2 ＝0；（2）原式＝6x √y x +3y √xy 3−4x √x y −√36xy＝6√xy +3√xy −4x y √xy −6√xy ＝（3−4x y ）√xy =3y−4x y √xy ， 当x =32，y ＝27时，原式=81−627√812=252√2．18．（9分）如图，在▱ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB ＝AE ．（1）求证：△ABC ≌△EAD ；（2）若∠B ＝65°，∠EAC ＝25°，求∠AED 的度数．【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝AD ，∴∠EAD ＝∠AEB ，又∵AB ＝AE ，∴∠B ＝∠AEB ，∴∠B ＝∠EAD ，在△ABC 和△EAD 中，{AB =AE ∠ABC =∠EAD BC =AD，∴△ABC ≌△EAD （SAS ）．（2）解：∵AB ＝AE ，∴∠B＝∠AEB，∴∠BAE＝50°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+25°＝75°，∵△ABC≌△EAD，∴∠AED＝∠BAC＝75°．19．（9分）观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112√1+122+132=1+12−13=116√1+132+142=1+13−14=1112请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）√1+142+152=1120（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；（3）利用上述规律计算：√5049+164（仿照上式写出过程）【解答】解：（1）√1+142+152=1+14−15=1120；故答案为：1120；（2）√1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=1+1n(n+1)；故答案为：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；（3）√5049+164=√1+172+182=1156．20．（9分）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为格点（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，一共可以画多少个？其中，哪些是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形？哪些是等腰三角形？【解答】解：如图，一共可以画9个三角形，其中，△ABE，△BCE，△CDE是直角三角形、△ACD，△BCD，ABD是钝角三角形、△ADE，△AEC，△BDE是锐角三角形，△AEC，△CDE是等腰三角形．21．（10分）如图所示，已知O为坐标原点，矩形ABCD（点A与坐标原点重合）的顶点D、B分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为（﹣4，8），连接BD，将△ABD沿直线BD翻折至△A′BD，交CD于点E．（1）求点A′坐标．（2）试在x轴上找点P，使A'P+PB的长度最短，请求出这个最短距离．【解答】解：（1）∵点C的坐标为（﹣4，8），∴OD＝BC＝4，CD＝OB＝8，连接AA′，与BD交于点G，过A′作A′F⊥OB于点F，由折叠知，A′B＝OA＝8，OG＝A′G，OA′⊥BD，∴S△OBD=12BD⋅OG=12OD⋅OB，∴OG=OD⋅OBBD=√4+8=8√55，∴OA′=2OG=16√5 5，设OF ＝x ，则BF ＝8﹣x ，∵OA ′2﹣OF 2＝A ′F 2＝A ′B 2﹣BF 2，即(16√55)2−x 2=82−(8−x)2， 解得，x =165，即OF =165， ∴A′F =2−OF 2=325，∴A ′（−325，165）；（2）作A ′点关于x 轴的对称点A ″，连接BA ″，与x 轴交于点P ，则A 'P +PB ＝A ″P +PB ＝A ″B 的值最小，∴A ″（−325，−165），∵B （0，8），∴A″B =√(325)2+(8+165)2=8√655故A 'P +PB 的长度的最短距离为8√655．22．（10分）在平行四边形ABCD 中，以AB 为边作等边△ABE ，点E 在CD 上，以BC 为边作等边△BCF ，点F 在AE 上，点G 在BA 延长线上且FG ＝FB ．（1）若CD ＝6，AF ＝3，求△ABF 的面积；（2）求证：BE ＝AG +CE ．【解答】（1）解：∵△ABE是等边三角形，∴∠BAF＝60°，AB＝AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，∴AE＝AB＝6，∵AF＝3，∴AF＝EF，∴S△ABF=12S△ABE=12•√34•62=9√32．（2）作FH⊥AB于H，CJ⊥AE交AE的延长线于J．∵△ABE，△FBC都是等边三角形，∴BA＝BE，BF＝BC，∠ABE＝∠FBC＝60°，∴∠ABF＝∠EBC，∴△ABF≌△EBC（SAS），∴AF＝EC，∵AB∥CD，∴∠CEJ＝∠F AH，∵∠FHA＝∠J＝90°，∴△FHA≌△CJE（AAS），∴FH＝CJ，AH＝EJ，∵FB＝FG＝FC，FH＝CJ，∴Rt△FGH≌Rt△CJF（HL），∴GH＝FJ，∵AH＝EJ，∴EF＝AG，∵BE＝AE＝AF+EF，∴BE＝EC+AG．23．（11分）如图，已知∠A＝90°，BD＝BE，BC是边DE的中线，BC＝15．（1）若AB＝7，求AC的长度；（2）若DE＝16，求△BED的周长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，BC＝15，AB＝7，∴AC=√BC2−AB2=√152−72=4√11．（2）∵BD＝BE，CD＝CE＝8，∴BC⊥DE，∴∠BCD＝∠BCE＝90°，∴BD＝BE=√BC2+CD2=√152+82=17，∴△BDE的周长＝17+17+16＝50．。
2020-2021学年八年级下期中考试数学试题及答案解析
2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．下列调查适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A ．翠湖的水质情况B ．某品牌节能灯的使用寿命C ．乘坐动车时对乘客的安检D ．端午节期间市场上粽子质量情况【解答】解：A 、调查翠湖的水质情况适合抽样调查； B 、调查某品牌节能灯的使用寿命适合抽样调查； C 、乘坐动车时对乘客的安检必须全面调查；D 、调查端午节期间市场上粽子质量情况适合抽样调查； 故选：C ．2．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．三角形的外心到三边的距离相等 B ．某射击运动员射击一次，命中靶心 C ．任意画一个三角形，其内角和是180° D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上【解答】解：A 、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合题意； B 、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意； C 、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意； D 、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C ． 3．分式2−x x−3有意义的x 的取值范围为（ ）A ．x ≠2B ．x ≠3C ．x ＝2D ．x ＝3【解答】解：由题意得：x ﹣3≠0， 解得：x ≠3， 故选：B ．4．下列各式中，正确的是（ ）A ．ab=a 2b 2B ．2(x−1)1−x 2=−21+xC ．ab+1a=b +1D ．a 2+b 2a+b=a +b【解答】解：ab 与a 2b 在a ＝0或a ＝b 时才成立，故选项A 不正确；2(x−1)1−x =2(x−1)(1+x)(1−x)=−21+x，故选项B 正确；ab+1a =b +1a，故选项C 不正确； a 2+b 2a+b不能化简，故选项D 不正确；故选：B ．5．下列图标中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不属于中心对称图形； B 、属于中心对称图形； C 、不属于中心对称图形； D 、不属于中心对称图形； 故选：B ．6．一件工作，甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，则甲，乙两人合作完成需要（ ）小时 A ．1a+1bB ．1abC ．1a+bD ．aba+b【解答】解：甲和乙的工作效率分别是1a，1b，合作的工作效率是1a+1b，所以合作完成需要的时间是11a +1b=1b+a ab=ab a+b．故选：D ．7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ）A．AO＝BO B．AC＝AD C．AB＝BC D．OD＝AC【解答】解：A、AO＝BO，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；B、AC＝AD，不能判断▱ABCD是菱形，错误；C、根据菱形的定义可得，当AB＝BC时▱ABCD是菱形，正确；D、OD＝AC，不能判断▱ABCD是菱形，错误；故选：C．8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD=√2DF；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中正确结论的序号为（）A．①②④B．①②C．①④D．①②③④【解答】解：∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC，∴PF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，∵四边形ABCD是正方形∴∠DBC＝45°∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，∴PD=√2DF．故①正确；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，故②正确；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，∴当∠P AD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．④∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，∵正方形为轴对称图形，∴AP＝PC，∴AP＝EF，故④正确；故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．已知一组数据有40个，把它分成五组，第一组、第二组、第四组、第五组的频数分别是10，8，7，6，第三组频数是9．【解答】解：∵一组数据有40个，把它分成五组，第一组、第二组、第四组、第五组的频数分别是10，8，7，6，∴第三组频数是：40﹣10﹣8﹣7﹣6＝9．故答案为：9．10．为了了解某市2019年10000名考生的数学中考成绩，从中抽取了200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法：①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本；④样本容量是200．其中说法正确的有①③④（填序号）．【解答】解：①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体，正确；②每个考生的数学中考成绩是个体，故原说法错误；③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本，正确；④样本容量是200，正确；故答案为：①③④．11．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于12019，则密码的位数至少要设置4位．【解答】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为110；取两位数时一次就拨对密码的概率为1100；取三位数时一次就拨对密码的概率为11000；取四位数时一次就拨对密码的概率为110000．故一次就拨对的概率小于12019，密码的位数至少需要4位．故答案为：4．12．下列说法中：①在367人中至少有两个人的生日相同；②一次摸奖活动的中奖率是1%，那么摸100次必然会中一次奖；③一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件；④一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球，搅匀后想从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性；以上说法中正确的有①、③（填序号）．【解答】解：①在367人中至少有两个人的生日相同，正确；②一次摸奖活动的中奖率是1%，那么摸100次不一定会中一次奖，错误；③一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件，正确；④一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球，搅匀后想从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性小于于摸到白球的可能性，错误；故答案为：①、③．13．计算2m−2+m2−m的结果是﹣1．【解答】解：原式=2m−2−mm−2=2−mm−2=−(m−2)m−2＝﹣1，故答案为：﹣1．14．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=√2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝1+√2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2+√2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014＝1342+672√2．【解答】解：由题意可得：AP1=√2，AP2＝1+√2，AP3＝2+√2；AP4＝2+2√2；AP5＝3+2√2；AP6＝4+2√2；AP7＝4+3√2；AP8＝5+3√2；AP9＝6+3√2；∵2013＝3×671，∴AP2013＝（2013﹣671）+671√2=1342+671√2，∴AP2014＝1342+671√2+√2=1342+672√2．故答案为：1342+672√2．15．菱形ABCD的对角线AC＝4，BD＝2，以AC为边作正方形ACEF，则BF的长为√29或√13．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝2，∴AO=12AC＝2，BO=12BD＝1，①如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交F A的延长线于G，则BG＝AO＝2，AG＝OB＝1，FG＝AF+AG＝4+1＝5，在Rt△BFG中，BF=√BG2+FG2=√22+52=√29；②如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G，则BG＝AO＝2，FG＝AF﹣AG＝4﹣1＝3，在Rt△BFG中，BF=√BG2+FG2=√22+32=√13，综上所述，BF长为√29或√13．故答案为：√29或√13．16．如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD 上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是10√33．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．∴A′B＝AB＝2BM．在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，∴sin∠MA′B=BM BA′=12，∴∠MA′B＝30°，∵MN∥BC，∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABA′＝60°，∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，∴BE =AB cos30°=532=10√33．故答案为：10√33．17．若关于x 的分式方程6x−1=x+3x(x−1)−kx无解，则k 的值为 ﹣3或﹣5 ．【解答】解：方程两边同时乘以x （x ﹣1），得 6x ＝x +3﹣k （x ﹣1）， ∴（5+k ）x ＝3+k ， ∵方程无解， ∴k ＝﹣5，∵x ＝0和x ＝1是方程的增根， ∴3+k ＝0， ∴k ＝﹣3，故答案为﹣3或﹣5．18．如图，F 是矩形ABCD 内一点，AF ＝BF ．连结DF 并延长交BC 于点G ，且点C 与AB 的中点E 恰好关于直线DG 对称．若AD ＝9，则AB 的长为 6√3 ．【解答】解：连接EF 、EG 、EC ，如图所示： ∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝9，AD ∥BC ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥AD ，∵AF ＝BF ，点E 是AB 的中点， ∴EF ⊥AB ， ∴EF ∥AD ∥BC ，∴EF 是梯形ABGD 的中位线，∠EFG ＝∠CGF ， ∴EF =12（AD +BG ），设BG ＝x ，则CG ＝9﹣x ，EF =12（9+x ）， ∵点C 与AB 的中点E 关于直线DG 对称， ∴EG ＝CG ，∠CGF ＝∠EGF ， ∴∠EFG ＝∠EGF ， ∴EG ＝EF ， ∴EF ＝CG ， ∴12（9+x ）＝9﹣x ，解得：x ＝3，∴BG ＝3，EG ＝CG ＝6，∴BE =√EG 2−BG 2=√62−32=3√3， ∴AB ＝2BE ＝6√3； 故答案为：6√3．三．解答题（共10小题，满分96分）19．（8分）先化简，再求值：(2x 2x+1−14x 2+2x )÷(1−4x 2+14x)，其中x ＝3．【解答】解：原式=4x 2−12x(2x+1)÷4x−4x 2−14x =(2x+1)(2x−1)2x(2x+1)•4x −(2x−1)=−22x−1， 当x ＝3时，原式=−25． 20．（8分）解方程：x x−3+6x+3=1【解答】解：方程两边乘 （x ﹣3）（x +3）， 得 x （x +3）+6 （x ﹣3）＝x 2﹣9， 解得：x ＝1，检验：当 x ＝1 时，（x ﹣3）（x +3）≠0， 所以，原分式方程的解为x ＝1．21．（8分）如图，在3×3正方形方格中，有3个小正方形涂成了黑色，所形成的图案如图所示，图中每块小正方形除颜色外完全相同．（1）一个小球在这个正方形方格上自由滚动，那么小球停在黑色小正方形的概率是多少？（2）现将方格内空白的小正方形（A 、B 、C 、D 、E 、F ）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率．【解答】解：（1）由题意可得， 小球停在黑色小正方形的概率是39=13，即小球停在黑色小正方形的概率是13；（2）中心对称的情况是：（BE ）、（CD ）、（AF ），（EB ），（DC ），（F A ）， 则新图案是中心对称图形的概率是：65×6=15，即新图案是中心对称图形的概率是15．22．（8分）为了了解同学们寒假期间每天健身的时间t （分），校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表，已知C 组所在扇形的圆心角为108°．组别 频数统计A （t ＜20） 8B （20＜40）12C（40t＜60）aD（60≤t＜80）15E（80）b请根据如图图表，解答下列问题：（1）填空：这次被调查的同学共有60人，a＝18，b＝7，m＝25；（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；（3）该校共有学生1200人，请估计每天健身时间不少于1小时的人数．【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），15÷60＝25%，因此m＝25，∵C组所在扇形的圆心角为108°，∴C组的人数a＝60×108360=18（人），b＝60﹣15﹣18﹣12﹣8＝7（人），故答案为：60，18，7，25；（2）扇形统计图中扇形E的圆心角度数为360°×760=42°，答：扇形统计图中扇形E的圆心角度数为42°；（3）每天健身时间不少于1 小时的人数是1200×15+760=440（人），答：该校1200名学生中每天健身时间不少于1小时的大约有440人．23．（10分）如图，已知点A（2，4）、B（1，1）、C（3，2）．（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标为（﹣2，3）；（2）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标为（﹣2，﹣4）；（3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣2，3）．故答案为（﹣2，3）．（2）△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（﹣2，﹣4）故答案为（﹣2，﹣4）．（3）如图，满足条件的点D的坐标为（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）．故答案为（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）．24．（10分）如图，▱ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG 于点E，连接AE，AE⊥AD．（1）若BG＝1，BC=√10，求EF的长度；（2）求证：AB−√2BE＝CF．【解答】解：（1）∵CG⊥AB，BG＝1，BC=√10，∴CG=√BC2−BG2=√(√10)2−12=3．∵∠ABF＝45°，∴△BGE是等腰直角三角形，∴EG＝BG＝1，∴EC＝CG﹣EG＝3﹣1＝2，∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABF＝45°，CG⊥AB，∴∠CFE＝∠ABF＝45°，∠FCE＝∠BGE＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF=√EC2+CF2=√22+22=2√2；（2）证明：过E作EH⊥BE交AB于H，∵∠ABF＝45°，∠BEH＝90°，∴△BEH是等腰直角三角形，∴BH=√BE2+EH2=√2BE，BE＝HE，∴∠BHE＝45°，∴∠AHE＝180°﹣∠BHE＝180°﹣45°＝135°，由（1）知，△BGE和△ECF都是等腰直角三角形，∴∠BEG＝45°，CE＝CF，∴∠BEC＝180°﹣∠BEG＝180°﹣45°＝135°，∴∠AHE＝∠CEB，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝90°+∠EAB，由（1）知，∠FCE＝90°，∴∠BCD ＝∠FCE +∠BCG ＝90°+∠BCG ，∵在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ，∴90°+∠EAB ＝90°+∠BCG ，∴∠EAB ＝∠BCG ，即∠EAH ＝∠BCE ，在△△EAH 和△BCE 中，{∠EAH =∠BCE ∠EHA =∠BEC EH =BE∴△EAH ≌△BCE （AAS ），∴AH ＝CE ＝CF ，∴AB −√2BE ＝AB ﹣BH ＝AH ＝CF ，即AB −√2BE ＝CF ．25．（10分）受疫情影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用8000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场用17600元购进第二批这种“84”消毒液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．（1）求该商场购进的第一批“84”消毒液的单价；（2）商场销售这种“84”消毒液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？【解答】解：（1）设该商场购进的第一批“84”消毒液单价为x 元/瓶，依题意得：2×8000x=17600x+1． 解得，x ＝10．经检验，x ＝10是原方程的根．所以该商场购进的第一批消毒液的单价为10元/瓶；（2）共获利：（800010+1760010+1−200）×13+200×13×0.9﹣（8000+17600）＝5340（元）．在这两笔生意中商场共获得5340元．26．（10分）如图，矩形ABCD ，延长CD 至点E ，使DE ＝CD ，连接AC ，AE ，过点C 作CF ∥AE 交AD 的延长线于点F ，连接EF ．（1）求证：四边形ACFE 是菱形；（2）连接BE 交AD 于点G ．当AB ＝2，∠ACB ＝30°时，求BG 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，∴AF ⊥CE ，∵CD ＝DE ，∴AE ＝AC ，EF ＝CF ，∴∠EAD ＝∠CAD ，∵AE ∥CF ，∴∠EAD ＝∠AFC ，∴∠CAD ＝∠CF A ，∴AC ＝CF ，∴AE ＝EF ＝AC ＝CF ，∴四边形ACFE 是菱形；（2）解：如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠BCE ＝90°，CD ＝AB ，∵AB ＝2，CD ＝DE ，∴BC ＝2√3，CE ＝4，∴BE =√BC 2+CE 2=2√7，∵AB ＝CD ＝DE ，∠BAE ＝∠EDG ＝90°，∠AGB ＝∠DGE ，∴△ABG ≌△DEG （AAS ），∴BG ＝EG ，∴BG =12BE =√7．27．（12分）阅读下列材料：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如4x−1，x+1x 当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：x+1x−1，x 2+1x+1假分式可以化为整式与真分式和的形式，我们也称之为带分式，如：x+1x−1=(x−1)+2x−1=1+2x−1．解决问题：（1）下列分式中属于真分式的是（ ）A ．x 2x−1B ．x−1x+1C ．32x−1 D ．x 2+1x 2−1 （2）将假分式3x+1x−1、x 2+1x+1分别化为带分式； （3）若假分式2x 2+3x−6x+3的值为整数，请直接写出所有符合条件的整数x 的值．【解答】解：（1）选（C ）；（2）3x+1x−1=3(x−1)+4x−1=3+4x−1； x 2+1x+1=(x 2−1)+2x+1=(x+1)(x−1)+2x+1=x ﹣1+2x+1； （3）原式=(2x−3)(x+3)+3x+3 ＝2x ﹣3+3x+3，由x 是整数，原分式的值也为整数，∴x +3＝±1或±3，∴x ＝﹣6、﹣4、﹣2、0．28．（12分）如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．（1）发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示．①线段DG 与BE 之间的数量关系是 DG ＝BE ；②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是 DG ⊥BE ；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD ＝2AB ，AG ＝2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG 、DE ，若AE ＝1，AB ＝2，求BG 2+DE 2的值（直接写出结果）．【解答】解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴AE ＝AG ，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠EAG ＝90°，∴∠BAE ＝∠DAG ，在△ABE 和△DAG 中，{AB =AD ∠BAE =∠DAG AE =AG，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴BE ＝DG ；②如图2，延长BE 交AD 于T ，交DG 于H ．由①知，△ABE ≌△DAG ，∴∠ABE ＝∠ADG ，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴ABAD =AEAG=12，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，BEDG =1 2，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE ⊥DG ；（3）如图④中，作ET ⊥AD 于T ，GH ⊥BA 交BA 的延长线于H ．设ET ＝x ，AT ＝y ．∵△AHG ∽△ATE ，∴GH ET =AH AT =AG AE =2，∴GH ＝2x ，AH ＝2y ，∴4x 2+4y 2＝4，∴x 2+y 2＝1，∴BG 2+DE 2＝（2x ）2+（2y +2）2+x 2+（4﹣y ）2＝5x 2+5y 2+20＝25．。
2020-2021学年八年级下期中数学试题及答案解析
2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A ．{x =0y =2B ．{x +y =0z +y =2C ．{x +y =01x+y =2D ．{x +y =0xy =2【解答】解：A 、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； B 、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C 、该方程组的第二个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D 、该方程组中的第二个方程的最高次数2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：A ．2．如图是12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影，现随机丢一粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是（ ）A ．56B ．512C ．59D ．712【解答】解：如图所示：12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影， 则随机丢一粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是：512．故选：B ．3．如图，∠DAC 是△ABC 的一个外角，AE 平分∠DAC ，且AE ∥BC ，则△ABC 一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【解答】证明：∵AE 平分∠DAC ，∴∠1＝∠2，∵AE∥BC，∴∠1＝∠C，∠B＝∠2，∴∠B＝∠C，即AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．故选：C．4．下列命题中，真命题是（）A．两个锐角的和一定是钝角B．相等的角是对顶角C．垂线段最短D．带根号的数一定是无理数【解答】解：A、两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，不符合题意；C、垂线段最短，正确，是真命题，符合题意；D、带根号的数不一定是无理数，如√4，故原命题错误，不符合题意，故选：C．5．下列说法正确的是（）A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查B．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为x甲、x乙，方差分别为s甲2、s乙2，若x甲=x乙，s甲2＝0.4，s乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定D．一个抽奖活动中，中奖概率为120，表示抽奖20次就有1次中奖【解答】解：了解三名学生的视力情况，由于总体数量较少，且容易操作，因此宜采取普查，因此选项A 不符合题意；任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，因此选项B 不符合题意； 根据平均数和方差的意义可得选项C 符合题意； 一个抽奖活动中，中奖概率为120，表示中奖的可能性为120，不代表抽奖20次就有1次中奖，因此选项D 不符合题意； 故选：C ．6．如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD ＝CE ，∠D ＝74°，则∠B 的度数为（ ）A ．74°B ．32°C ．22°D ．16°【解答】解：∵CD ＝CE ，∠D ＝74°， ∴∠DEC ＝∠D ＝74°，∴∠C ＝180°﹣74°﹣74°＝32°， ∵AB ∥CD ， ∴∠B ＝∠C ＝32°， 故选：B ．7．已知方程组{2x −y +3=0ax −y +c =0的解为{x =−1y =1，则一次函数y ＝2x +3与y ＝ax +c 的图象的交点坐标是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（1，﹣1）C ．（2，﹣2）D ．（﹣2，2）【解答】解：∵方程组{2x −y +3=0ax −y +c =0的解为{x =−1y =1，∴一次函数y ＝2x +3与y ＝ax +c 的图象的交点坐标是（﹣1，1）， 故选：A ．8．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：设袋中白球有x 个，根据题意得：x x+14=0.3，解得：x ＝6，经检验：x ＝6是分式方程的解，故选：B ．9．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，如果一托为5尺，那么索长（ ）尺． A ．25B ．20C ．15D ．10【解答】解：设索长x 尺，竿子长y 尺， 依题意，得：{x −y =5y −12x =5， 解得：{x =20y =15．故选：B ．10．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点C 、D 分别落在M 、N 的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AEN 等于（ ）A ．25°B ．50°C ．65°D ．70°【解答】解：∵∠EFB ＝65°，AD ∥CB ， ∴∠DEF ＝65°，由折叠可得∠NEF ＝∠DEF ＝65°， ∴∠AEN ＝180°﹣65°﹣65°＝50°， 故选：B ．11．足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x 负的场数为y ，则可列方程组为（ ） A ．{x +y =83x −y =12B ．{x −y =83x −y =12C ．{x +y =183x +y =12D ．{x −y =83x +y =12【解答】解：设这个队胜x 场，负y 场， 根据题意，得{x +y =83x −y =12．故选：A ．12．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km ，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km ．现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地．则B 地最远可距离A 地（ ） A ．120kmB ．140kmC ．160kmD ．180km【解答】解：设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，如图：设AB ＝xkm ，AC ＝ykm ，根据题意得： {2x +2y =210×2x −y +x =210， 解得：{x =140y =70．∴乙在C 地时加注行驶70km 的燃料，则AB 的最大长度是140km ．或者：设AC ＝ykm 即可，从甲车的角度考虑问题，甲车给乙车注入燃料，要想最远，需满足一下两个条件：①注满乙车；②刚好够甲车从C 回到A ．从A 到C ，甲、乙两车都行驶了AC ，即乙车耗油量为ykm ，也即甲车注入燃料量为ykm ，注入后甲车剩余ykm （刚好返回A 地），所以对于甲车，y +y +y ＝210，所以y ＝70．从乙车角度，从C 出发是满燃料，所以AB 为：105+70÷2＝140（km ）． 故选：B ．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．14．甲乙两人同解方程组{ax +by =2cx −7y =8时，甲正确解得{x =3y =−2，乙因抄错c 而得{x =−2y =2，则a +c ＝ 2 ．【解答】解：{ax +by =2①cx −7y =8②把{x =3y =−2代入②得：3c +14＝8， 解得：c ＝﹣2，把{x =3y =−2和{x =−2y =2代入①得：{3a −2b =2−2a +2b =2， 解得：{a =4b =5，所以a +c ＝4+（﹣2）＝2， 故答案为：2．15．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为13，那么盒子内白色乒乓球的个数为 4 ．【解答】解：盒子内乒乓球的个数为2÷13=6（个）， 白色乒乓球的个数6﹣2＝4（个） 故答案为4．16．一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那它停在4号板上的概率是116．【解答】解：因为4号板的面积占了总面积的116，故停在4号板上的概率为116，故答案为：116．17．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系是 ∠1﹣∠3+∠2＝180° ．【解答】解：∵CD ∥EF ，∴∠2+∠CEF ＝180°， ∵AB ∥EF ， ∴∠1＝∠3+∠CEF ， ∴∠CEF ＝∠1﹣∠3， ∴∠2+∠1﹣∠3＝180°， 即∠1﹣∠3+∠2＝180°． 故答案为：∠1﹣∠3+∠2＝180°．18．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知AB ∥CD ，∠BAE ＝78°，∠DCE ＝120°，则∠E 的度数是 42° ．【解答】解：如图，延长DC 交AE 于F ， ∵AB ∥CD ，∠BAE ＝78°， ∴∠CFE ＝78°， 又∵∠DCE ＝120°，∴∠E ＝∠DCE ﹣∠CFE ＝120°﹣78°＝42°． 故答案为：42°．三．解答题（共6小题，满分66分）19．（12分）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：解方程组{x +y +z =2，①2x +3y −z =8，②3x −2y +z =3，③小曹同学的部分解答过程如下：解： ① + ② ，得3x +4y ＝10，④ ② + ③ ，得5x +y ＝11，⑤ ⑤ 与 ④ 联立，得方程组 {3x +4y =10，④5x +y =11，⑤（1）请补全小曹同学的解答过程：（2）若m 、n 、p 、q 满足方程组{m +n +p +q =42(m +n)+3p −q =163(m +n)−2p +q =6，则m +n ﹣2p +q ＝ ﹣2 ．【解答】解：（1）方程组{x +y +z =2，①2x +3y −z =8，②3x −2y +z =3，③小曹同学的部分解答过程如下： 解：①+②，得3x +4y ＝10，④ ②+③，得5x +y ＝11，⑤ ⑤与④联立，得方程组 {3x +4y =10，④5x +y =11，⑤ 解得：{x =2y =1把{x =2y =1代入①得：2+1+z ＝2， 解得：z ＝﹣1，∴原方程组的解是{x =2y =1z =−1故答案为：①，②，②，③，⑤，④．（2）{m +n +p +q =4①2(m +n)+3p −q =16②3(m +n)−2p +q =6③②﹣①×2得：p ﹣3q ＝8④， ③﹣①×3得：﹣5p ﹣2q ＝﹣6⑤， 由④与⑤组成方程组{p −3q =8−5p −2q =−6解得：{p =2q =−2，代入①得：m +n ＝4 ∴m +n ﹣2p +q ＝﹣2 故答案为：﹣2．20．（10分）（1）解方程组：{x +2y =1，①3x −2y =11，②（2）计算：√4+|﹣2|+√−273+（﹣1）2016．【解答】解：（1）①+②得：4x ＝12， 解得：x ＝3；把x ＝3代入①得：y ＝﹣1， 则方程组的解为{x =3y =−1；（2）原式＝2+2﹣3+1 ＝4﹣3+1 ＝1+1 ＝2．21．（10分）（1）解方程组：{23x −34y =124(x −y)−3(2x +y)=17； （2）已知关于x 、y 的方程组{x −y =a +32x +y =5a 的解满足x ＞y ＞0，化简|a |+|3﹣a |．【解答】解：（1）原方程化为{8x −9y =6①2x +7y =−17②，①﹣②×4得：﹣37y ＝74， 解得y ＝﹣2，把y ＝﹣2代入①得x =−32， ∴原方程组的解为{x =−32y =−2；（2）由方程组{x −y =a +32x +y =5a ，解得{x =2a +1y =a −2，由x ＞y ＞0，得{2a +1＞a −2a −2＞0，解得a＞2，当2＜a≤3时，|a|+|3﹣a|＝a+3﹣a＝3；当a＞3时，|a|+|3﹣a|＝a+a﹣3＝2a﹣3．22．（12分）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°（1）求证：AD∥FG；（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．【解答】证明：（1）∵DE∥AC∴∠2＝∠DAC∵∠l+∠2＝180°∴∠1+∠DAC＝180°∴AD∥GF（2）∵ED∥AC∴∠EDB＝∠C＝40°∵ED平分∠ADB∴∠2＝∠EDB＝40°∴∠ADB＝80°∵AD∥FG∴∠BFG＝∠ADB＝80°23．（10分）小明和小刚用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分．这个游戏对双方公平吗？若公平，说明理由．若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？【解答】解：公平．画树状图得：从表中可以得到：P 积为奇数=26=13，P 积为偶数=46=23，∴小明的积分为26×2=23，小刚的积分为46×1=46=23．24．（12分）5G 时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A 、B 两种型号的5G 手机，进价和售价如表所示：型号价格进价（元/部） 售价（元/部） A3000 3400 B 3500 4000某营业厅购进A 、B 两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．（1）营业厅购进A 、B 两种型号手机各多少部？（2）若营业厅再次购进A 、B 两种型号手机共30部，其中B 型手机的数量不多于A 型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？【解答】解：（1）设营业厅购进A 、B 两种型号手机分别为a 部、b 部，{3000a +3500b =32000(3400−3000)a +(4000−3500)b =4400， 解得，{a =6b =4， 答：营业厅购进A 、B 两种型号手机分别为6部、4部；（2）设购进A 种型号的手机x 部，则购进B 种型号的手机（30﹣x ）部，获得的利润为w 元，w＝（3400﹣3000）x+（4000﹣3500）（30﹣x）＝﹣100x+15000，∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，∴30﹣x≤2x，解得，x≥10，∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，∴w随x的增大而减小，∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．四．解答题（共2小题，满分30分）25．（14分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟10米，乙在A地时距地面的高度b为30米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？【解答】解：（1）甲登山上升的速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），b＝15÷1×2＝30．故答案为：10；30；（2）当0≤x＜2时，y＝15x；当x≥2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y={15x(0≤x ＜2)30x−30(2≤x≤11)；（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y ＝10x+100（0≤x≤20）．当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时，解得：x＝3；当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝10；当300﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝13．答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．26．（16分）探究与发现：【探究一】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图①，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD 的数量关系，并证明你探究的数量关系．【探究二】三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图②，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠A与∠P的数量关系，并证明你探究的数量关系．【探究三】若将△ADC改成任意四边形ABCD呢？已知：如图③，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠BDC和∠ACD，试利用上述结论直接写出∠A+∠B与∠P的数量关系2∠P＝∠B+∠A．【解答】解：探究一：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A．理由如下：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；探究二：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A．理由如下：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠ACD，∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD，＝180°−12∠ADC−12∠ACD，＝180°−12（∠ADC+∠ACD），＝180°−12（180°﹣∠A），＝90°+12∠A；探究三：2∠P＝∠B+∠A．理由如下：∵DP，CP分别平分∠BDC和∠ACD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠BCD，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°−12∠ADC−12∠BCD＝180°−12（∠ADC+∠BCD）＝180°−12（360°﹣∠A﹣∠B）=12（∠A+∠B）．即2∠P＝∠B+∠A．故答案为：2∠P＝∠B+∠A．。
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．能使√x−1有意义的x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞1D．x≥1 2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、6 3．下列计算正确的是（）A．2√3+3√2=5B．√8÷√2=2C．5√3×5√2=5√6D．√412=2√124．下列各式与√2是同类二次根式的是（）A．√8B．√24C．√27D．√125 5．已知a＜b，则化简二次根式√−a3b的正确结果是（）A．−a√−ab B．−a√ab C．a√ab D．a√−ab 6．下列各式属于最简二次根式的是（）A．√8B．√x2+1C．√y2D．√1 27．使代数式√2x+6有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣3B．x≤﹣3C．x＞﹣3D．﹣3＜x≤08．已知x−1x=2，则x2+1x2的值为（）A．2B．4C．6D．89．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．如图，桌面上的正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A 点出发，到达B点，则它运动的最短路程为（）A．√10B．4C．√17D．5二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．若√12x是一个整数，则x可取的最小正整数是3．（判断对错）12．已知最简二次根式√7−2a与2√3可以合并，则a的值是．13．已知直角三角形的两边x，y的长满足|x﹣4|+√y−3=0，则第三边的长为．14．观察下列等式：32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252；92+402＝412；112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是．15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．三．解答题（共8小题）16．计算：（1）(√6−2√15)×√3−6√1 2（2）(√2+1)2√32×√508．17．先化简，再求值（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6，其中x=√2+1．18．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？19．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；（2）一个长宽高分别为l，b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？20．四边形ABCD是长方形，将长方形ABCD折叠，如图①所示，点B落在AD边上的点E处，折痕为FG，将图②折叠，点C与点E重合，折痕为PH．（1）在图②中，证明：EH＝EP；（2）若EF＝6，EH＝8，FH＝10，求长方形ABCD的面积．21．阅读下列材料，并解决相应问题：√5−√3=√5+√3)(√5−√3)(√5+√3)=2(√5+√3)2=√5+√3用上述类似的方法解答问题：若a是√5的小数部分，求√5a的值．22．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．点P为矩形外一点且满足AP＝PC，AP ⊥PC．PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．（1）若AP=√5，AB=13BC，求矩形ABCD的面积；（2）若CD＝PM，求证：AC＝AP+PN．23．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，DC＝4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．①经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是厘米/秒．（直接写出答案）2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．能使√x−1有意义的x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞1D．x≥1【解答】解：∵√x−1有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故选：D．2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、6【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，故A选项错误；B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵32+42＝52，∴组成直角三角形，故C选项正确；D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．故选：C．3．下列计算正确的是（）A．2√3+3√2=5B．√8÷√2=2C．5√3×5√2=5√6D．√412=2√12【解答】解：A、2√3与3√2不能合并，所以A选项错误；B、原式=√8÷2=2，所以B选项正确；C、原式＝25√3×2=25√6，所以C选项错误；D、原式=√92=3√22，所以D选项错误．故选：B．4．下列各式与√2是同类二次根式的是（）A．√8B．√24C．√27D．√125【解答】解：（A）原式＝2√2，故A与√2是同类二次根式；（B）原式＝2√6，故B与√2不是同类二次根式；（C）原式＝3√3，故C与√2不是同类二次根式；（D）原式＝5√5，故D与√2不是同类二次根式；故选：A．5．已知a＜b，则化简二次根式√−a3b的正确结果是（）A．−a√−ab B．−a√ab C．a√ab D．a√−ab 【解答】解：∵√−a3b有意义，∴﹣a3b≥0，∴a3b≤0，又∵a＜b，∴a＜0，b≥0，∴3b=−a√−ab．故选：A．6．下列各式属于最简二次根式的是（）A．√8B．√x2+1C．√y2D．√1 2【解答】解：A、√8含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；B、√x2+1符合最简二次根式的定义，故本选项正确；C、√y2含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；D、√12被开方数含分母，故本选项错误；故选：B．7．使代数式√2x+6有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣3B．x≤﹣3C．x＞﹣3D．﹣3＜x≤0【解答】解：∵代数式√2x+6有意义，∴2x+6＞0，∴x＞﹣3，故选：C．8．已知x−1x=2，则x2+12的值为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：原式＝（x−1x）2+2＝22+2＝6，故选：C．9．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵x2≥0，∴x2+1≥1，∴点P（﹣2，x2+1）在第二象限．故选：B．10．如图，桌面上的正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A 点出发，到达B点，则它运动的最短路程为（）A．√10B．4C．√17D．5【解答】解：如图，它运动的最短路程AB=√(2+2)2+(22)2=√17，故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．若√12x是一个整数，则x可取的最小正整数是3．√（判断对错）【解答】解：∵√12x=2√3x，∴若√12x是一个整数，则x可取的最小正整数是3，故答案为：√．12．已知最简二次根式√7−2a与2√3可以合并，则a的值是2．【解答】解：由最简二次根式√7−2a与2√3可以合并，得7﹣2a＝3．解得a＝2，故答案为：2．13．已知直角三角形的两边x，y的长满足|x﹣4|+√y−3=0，则第三边的长为5或√7．【解答】解：∵|x−4|≥0，√y−3≥0，|=0，√y−3=0，∴|x−4即x＝4，y＝3，在直角三角形中，（1）边长为4的边是斜边，则第三边的长为√42−32=√7；（2）边长为4的边是直角边，则第三边即斜边的长为√32+42=5，故答案为5或√7．14．观察下列等式：32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252；92+402＝412；112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是132+842＝852．【解答】解：∵第一个等式是：32+42＝52；第二个等式是52+122＝132；第三个等式是72+242＝252；第四个等式是92+402＝412；第五个等式是112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是：132+842＝852，故答案为：132+842＝852．15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为16或4√5．【解答】解：（i）如图1所示：当B′D＝B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE ＝90°．当B′C＝B′D时，AG＝DH=12DC＝8．由AE＝3，AB＝16，得BE＝13．由翻折的性质，得B′E＝BE＝13．∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝5，∴B′G=√B′E2−EG2=√132−52=12，∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4，∴DB′=√B′H2+DH2=√42+82=4√5（ii）如图2所示：当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知点F在BC上且不与点C、B 重合）．（iii）当CB′＝CD时，∵EB＝EB′，CB＝CB′，∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．综上所述，DB′的长为16或4√5．故答案为：16或4√5．三．解答题（共8小题）16．计算：（1）(√6−2√15)×√3−6√1 2（2）(√2+1)2√32×√508．【解答】解：（1）原式=√6×3−2√15×3−3√2＝3√2−6√5−3√2＝﹣6√5；（2）原式＝2+2√2+1−√32×508＝3+2√2−10√2＝3﹣8√2．17．先化简，再求值（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6，其中x=√2+1．【解答】解：（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6=x+3−4x+3⋅2(x+3) (x−1)2=x−11⋅2(x−1)2=2x−1，当x=√2+1时，原式=2+1−1=√2．18．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？【解答】解：BM＝8×2＝16海里，BP＝15×2＝30海里，在△BMP中，BM2+BP2＝256+900＝1156，PM2＝1156，BM2+BP2＝PM2，∴∠MBP＝90°，180°﹣90°﹣60°＝30°，故乙船沿南偏东30°方向航行．19．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC 为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；（2）一个长宽高分别为l ，b ．h 的长方体纸箱装满了一层高为h 的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？【解答】解：（1）由题意，⊙O 是△ABC 内接圆，D 为切点，如图1，连结OD ，OC ．设⊙O 半径为r ，纸盒长度为h '，则CD =√3r ，BC ＝2√3r 则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：2√34(2√3r)2ℎ′#/DEL/#=√39π#/DEL/#（若设△ABC 的边长为a 112πa 2√34a =√39π） （2）易拉罐总体积和纸箱容积的比：l 2r ⋅b 2r ⋅πr 2ℎlbℎ=π4；（3）∵√39ππ4=4√39=√4881＜1 ∴第二种包装的空间利用率大．20．四边形ABCD是长方形，将长方形ABCD折叠，如图①所示，点B落在AD边上的点E处，折痕为FG，将图②折叠，点C与点E重合，折痕为PH．（1）在图②中，证明：EH＝EP；（2）若EF＝6，EH＝8，FH＝10，求长方形ABCD的面积．【解答】（1）证明：如图2，由折叠得：∠CHP＝∠EHP，∵EG∥BC，∴∠EPH＝∠CHP，∴∠EHP＝∠EPH，∴EP＝EH；（2）解：∵EF＝6，EH＝8，FH＝10，∴∠FEH＝90°，∴S△EFH=12EF×EH＝24，由折叠得：BF＝EF＝6，CH＝EH＝8，∴BC＝BF+FH+HC＝6+10+8＝24，过E作EM⊥BC于M，∴S△EFH=12FH×EM＝24，∴FH×EM＝48，∵FH＝10，∴EM＝4.8，∴S矩形ABCD＝BC×EM＝115.2．21．阅读下列材料，并解决相应问题： √5−√3=√5+√3)(√5−√3)(√5+√3)=2(√5+√3)2=√5+√3 用上述类似的方法解答问题：若a 是√5的小数部分，求√5a 的值． 【解答】解：∵2＜√5＜3，a 是√5的小数部分，∴a =√5−2， ∴√5a =√5√5−2=√5(√5+2)(√5−2)(√5+2)=5+2√5． 22．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线．点P 为矩形外一点且满足AP ＝PC ，AP⊥PC ．PC 交AD 于点N ，连接DP ，过点P 作PM ⊥PD 交AD 于M ．（1）若AP =√5，AB =13BC ，求矩形ABCD 的面积；（2）若CD ＝PM ，求证：AC ＝AP +PN ．【解答】（1）解：∵AP ⊥CP 且AP ＝CP ，∴△APC 为等腰直角三角形，∵AP =√5，∴AC =√10，∵AB =13BC ，∴设AB ＝x ，BC ＝3x ，∴在Rt △ABC 中， x 2+（3x ）2＝10，10x 2＝10，x＝1，∴S ABCD＝AB•BC＝1×3＝3；（2）解：延长AP，CD交于Q，∵∠1+∠CND＝∠2+∠PNA＝90°，且∠CND＝∠ANP，∴∠1＝∠2，又∠3+∠5＝∠4+∠5＝90°，∴∠3＝∠4，在△APM和△CPD中∵{∠1=∠2 AP=CP ∠3=∠4，∴△APM≌△CPD（ASA），∴DP＝PM，又∵CD＝PM，∴CD＝PD，∴∠1＝∠4＝∠3，∵∠1+∠Q＝∠3+∠6＝90°∴∠Q＝∠6∴DQ＝DP＝CD∴D为CQ中点，又∵AD⊥CQ∴AC＝AQ＝AP+PQ，在△APN和△CPQ中∵{∠1=∠2AP=CP∠APC=∠CPQ，∴△APN≌△CPQ（ASA），∴PQ＝PN∴AC＝AP+PQ＝AP+PN．23．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，DC＝4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．①经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是 3.8或2.6厘米/秒．（直接写出答案）【解答】解：（1）①△BMN≌△CDM．理由如下：…（1分）∵V N＝V M＝3厘米/秒，且t＝2秒，∴CM＝2×3＝6（cm）BN＝2×3＝6（cm）BM＝BC﹣CM＝10﹣6＝4（cm）∴BN＝CM…（1分）∵CD＝4（cm）∴BM＝CD…（1分）∵∠B＝∠C＝60°，∴△BMN≌△CDM．（SAS）…（1分）②设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况：Ⅰ．当∠NMB＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．∴BN＝2BM，…（1分）∴3t＝2×（10﹣3t）∴t=209（秒）；…（1分）Ⅱ．当∠BNM＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．∴BM＝2BN，…（1分）．∴10﹣3t＝2×3t∴t=109（秒）．…（1分）∴当t=209秒或t=109秒时，△BMN是直角三角形；（2）分两种情况讨论：I．若点M运动速度快，则3×25﹣10＝25V N，解得V N＝2.6；Ⅱ．若点N运动速度快，则25V N﹣20＝3×25，解得V N＝3.8．故答案是3.8或2.6．…（2分）。
2020-2021学年八年级下期中考试数学试题及答案
2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形这几个图形中是中心对称图形的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】解：由题可得，中心对称图形的有：线段、平行四边形、矩形、菱形共4个． 故选：C ．2．如果分式x 2−4x+2的值为零，那么x 的值为（ ） A ．2B ．﹣2C ．0D ．±2 【解答】解：∵分式x 2−4x+2的值为零，∴{x 2−4=0x +2≠0， 解得，x ＝2，故选：A ．3．将分式x 2y x−y 中的x ，y 的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大6倍B ．扩大9倍C ．不变D ．扩大3倍 【解答】解：∵把分式x 2y x−y 中的x 与y 同时扩大为原来的3倍， ∴原式变为：27x 2y 3x−3y =9x 2y x−y=9×x 2y x−y ， ∴这个分式的值扩大9倍．故选：B ．4．如果反比例函数y =a−2x （a 是常数）的图象在第二、四象限，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞2 B ．a ＜2C ．a ＞0D ．a ＜0 【解答】解：∵反比例函数y =a−2x 的图象分布在第二、四象限，∴a ﹣2＜0，解得a ＜2，故选：B ．5．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 内部，点P 1与点P 关于OA 对称，点P 2与点P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是（ ）A．含30°角的直角三角形B．顶角是30°的等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，∴OP＝OP1＝OP2且∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴故△P1OP2是等边三角形．故选：C．6．下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2＞0，那么x＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，所以②正确；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，所以③错误；如果x2＞0，那么x≠0，所以④错误．故选：A．7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．8【解答】解：作CE ⊥x 轴于E ，∵AC ∥x 轴，OA ＝2，OB ＝1，∴OA ＝CE ＝2，∵∠ABO +∠CBE ＝90°＝∠OAB +∠ABO ，∴∠OAB ＝∠CBE ，∵∠AOB ＝∠BEC ，∴△AOB ∽△BEC ，∴BE OA =CE OB ，即BE 2=21， ∴BE ＝4，∴OE ＝5，∵点D 是AB 的中点，∴D （52，2）． ∵反比例函数y =k x（k ＞0，x ＞0）的图象经过点D ，∴k =52×2＝5． 故选：B ．8．如图，△ABC 为钝角三角形，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转120°得到△AB ′C ′，连接BB ′，若AC ′∥BB ′，则∠CAB ′的度数为（ ）A．45°B．60°C．70°D．90°【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，∴∠AB′B=12（180°﹣120°）＝30°，∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝120°﹣30°＝90°．故选：D．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，顶点A、B的坐标分别是A（1，0），B（0，﹣2），顶点C、D在双曲线y=kx(k≠0)上，边AD与y轴相交于点E，S四边形BEDC＝5S△ABE＝10，则k的值是（）A．﹣16B．﹣9C．﹣8D．﹣12【解答】解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CH⊥DG，垂足为H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵BO∥DG，∴∠OBC＝∠GDE，∴∠HDC＝∠ABO，在△CDH和△ABO中，{∠ABO =∠HDC ∠AOB =∠CDH AB =CD，∴△CDH ≌△ABO （AAS ），∴CH ＝AO ＝1，DH ＝OB ＝2，设C （m ﹣1，n ），D （m ，n +2），则（m ﹣1）n ＝m （n +2）＝k ，解得n ＝﹣2m ，则D 的坐标是（m ，﹣2m +2），设直线AD 解析式为y ＝ax +b ，将A 、D 两点坐标代入得{a +b =0ma +b =−2m +2， 由①得：a ＝﹣b ，代入②得：﹣mb +b ＝﹣2m +2，即﹣b （m +1）＝﹣2（m +1），解得b ＝2，则{a =−2b =2， ∴y ＝﹣2x +2，∴E （0，2），BE ＝4，∴S △ABE =12×BE ×AO ＝2， ∵S 四边形BCDE ＝5S △ABE ＝5×12×4×1＝10，∵S 四边形BCDE ＝S △ABE +S 四边形BEDM ＝10，即2+4×m ＝10，解得：m ＝2，∴n ＝2m ＝4，∴|k |＝（m +1）n ＝12．∵双曲线图形在第二象限，∴k ＝﹣12故选：D ．10．如图，以Rt△ABC的两条直角边向内分别作两个等边三角形△ABD与△ACE，连结DE，若∠AED＝45°，则下列叙述正确的是（）A．DE=12AE B．DE=√22AE C．DE=12AB D．DE=√22AB【解答】解：设BD与AE交于F点，∵∠BAC＝90°，△ABD和△AEC是等边三角形，∴∠BAD+∠CAE＝120°，∴∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC＝120°﹣90°＝30°，∴AF为∠BAD的平分线，∴AF⊥BD，且F为BD的中点，∵∠AED＝45°，∴∠FDE＝90°﹣∠FED＝90°﹣45°＝45°，∴△FED是等腰直角三角形，∴FD ＝FE ，设FD ＝x ，在Rt △FED 中，DE =√FD 2+FE 2=√x 2+x 2=√2x ，在Rt △AFD 中，∠F AD ＝30°，∴AB ＝AD ＝2FD ＝2x ，∴AF =√AD 2−FD 2=√4x 2−x 2=√3x ，∴AE ＝AF +FE =(√3+1)x ，∴DE =√2√3+1=√6−√22AE ，故选：D ．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．若分式2x−3x+2无意义，则x 的值为 ﹣2 ．【解答】解：由分式2x−3x+2无意义，得x +2＝0．解得x ＝﹣2，故答案是：﹣2． 12．若关于x 的分式方程m(x+1)−52x+1=m −3无解，则m ＝ 6，10 ． 【解答】解：∵关于x 的分式方程m(x+1)−52x+1=m −3无解， ∴x =−12， 原方程去分母得：m （x +1）﹣5＝（2x +1）（m ﹣3）解得：x =26−m ，m ＝6时，方程无解．或26−m =−12是方程无解，此时m ＝10． 故答案为6，10．13．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝18cm ，∠A ＝60°，点E 以2cm /s 的速度沿AB 边由A 向B 匀速运动，同时点F 以4cm /s 的速度沿CB 边由C 向B 运动，F 到达点B 时两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当△DEF 为等边三角形时，t 的值为 3s ．【解答】解：连接BD ．如图：∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ＝18，△ADB ，△BDC 都是等边三角形，∴AD ＝BD ，∠ADB ＝∠DBF ＝60°，∵△DEF 是等边三角形，∴∠EDF ＝60°，∴∠ADB ＝∠EDF ，∴∠ADE ＝∠BDF ，在△ADE 和△BDF 中，{∠A =∠DBF =60°AD =BD ∠ADE =∠BDF，∴△ADE ≌△BDF （ASA ），∴AE ＝BF ，∴2t ＝18﹣4t ，∴t ＝3，故答案为：3s ．14．如图，一次函数y ＝ax +b 的图象交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，交反比例函数y =k x 的图象于点C ，若AB ＝BC ，且△OBC 的面积为2，则k 的值为 8 ．【解答】解：作CD ⊥y 轴于D ，则OB ∥CD ，∴OA OD =AB BC ，∵AB ＝BC ，∴OA ＝OD ，∴S △OCD ＝S △AOC∵AB ＝BC ，∴S △AOB ＝S △OBC ＝2，∴S △AOC ＝S △AOB +S △OBC ＝4，∴S △OCD ＝4，∵反比例函数y =k x的图象经过点C ，∴S △OCD =12|k |＝4，∵在第一象限，∴k ＝8．故答案为8．15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，以A 为圆心，任意长为半径画弧交AB ，AC于M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 为半径画弧，两弧交于点G ，连接AG ，交边BC 于E ，则△AEC 的面积为 15 ．【解答】解：作EF ⊥AC 于F ，如图：由题意得：AE 平分∠BAC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，BC ＝AD ＝8，∴AC =2+BC 2=√62+82=10，EB ⊥AB ，∵AE 平分∠BAC ，∴EF ＝EB ，在Rt △AEF 和Rt △AEB 中，{AE =AE EF =EB， ∴Rt △AEF ≌Rt △AEB （HL ），∴AF ＝AB ＝6，∴CF ＝AC ﹣AF ＝4，设EF ＝EB ＝x ，则CE ＝8﹣x ，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：x 2+42＝（8﹣x ）2， 解得：x ＝3，∴EF ＝3，∴△AEC 的面积=12AC ×EF =12×10×3＝15； 故答案为：15．16．如图，点A、B在反比例函数y=12x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是9．【解答】解：∵点A、B在反比例函数y=12x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，∴A（4，3），B（2，6），作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，∴S△AOD＝S△BOE=12×12＝6，∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，∴S△AOB=12（4+2）×（6﹣3）＝9，故答案为9．17．如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝115°．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴CA 平分∠BCD ，AB ∥CD ，∴∠BAE +∠AEC ＝180°，∠B +∠BCD ＝180°， ∴∠BCD ＝180°﹣∠B ＝180°﹣50°＝130°， ∴∠ACE =12∠BCD ＝65°， ∵AE ＝AC ，∴∠AEC ＝∠ACE ＝65°， ∴∠BAE ＝180°﹣∠AEC ＝115°； 故答案为：115．18．如图，矩形ABCD 的两个顶点A 、B 分别落在x 、y 轴上，顶点C 、D 位于第一象限，且OA ＝3，OB ＝2，对角线AC 、BD 交于点G ，若曲线y =kx （x ＞0）经过点C 、G ，则k ＝72．【解答】解：如图，分别过C 、G 两点作x 轴的垂线，交x 轴于点E 、F ， ∴CE ∥GF ， 设C （m ．n ），∵四边形ABCD 是矩形， ∴AG ＝CG ，∴GF =12CE ，EF =12（3﹣m ）， ∴OF =12（3﹣m ）+m =32+12m ， ∴G （3+m 2，12n ），∵曲线y =kx （x ＞0）经过点C 、G ， ∴mn =3+m 2×12n ，解得m ＝1， 作CH ⊥y 轴于H ， ∴CH ＝1， ∵∠ABC ＝90°， ∴∠CBH +∠ABO ＝90°， ∵∠OAB +∠ABO ＝90°， ∴∠OAB ＝∠CBH ， ∵∠AOB ＝∠BHC ＝90°， ∴△AOB ∽△BHC ， ∴BH OA=CH OB，即BH 3=12，∴BH =32， ∴OH =32+2=72， ∴C （1，72），∴k ＝1×72=72； 故答案为72．三．解答题（共10小题，满分64分）19．（8分）阅读下面的材料，并解答后面的问题 材料：将分式3x 2+4x−1x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．解：由分母为x +1，可设3x 2+4x ﹣1＝（x +1）（3x +a ）+b ． 因为（x +1）（3x +a ）+b ＝3x 2+ax +3x +a +b ＝3x 2+（a +3）x +a +b ， 所以3x 2+4x ﹣1＝3x 2+（a +3）x +a +b ． 所以{a +3=4a +b =−1，解之，得{a =1b =−2．所以3x 2+4x−1x+1=(x+1)(3x+1)−2x+1=(x+1)(3x+1)x+1−2x+1=3x +1−2x+1这样，分式就被拆分成了一个整式3x +1与一个分式2x+1的差的形式．问题：（1）请将分式2x 2+3x+6x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）请将分式5x 4+9x 2−3x +2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．【解答】解：（1）由分母为x ﹣1，可设2x 2+3x +6＝（x ﹣1）（2x +a ）+b ． 因为（x ﹣1）（2x +a ）+b ＝2x 2+ax ﹣2x ﹣a +b ＝2x 2+（a ﹣2）x ﹣a +b ， 所以2x 2+3x +6＝2x 2+（a ﹣2）x ﹣a +b ． 所以{a −2=3−a +b =6，解得{a =5b =11．所以分式2x 2+3x+6x−1=(x−1)(2x+5)+11x−1＝2x +5+11x−1．（2）由分母为x 2+2，可设5x 4+9x 2﹣3＝（x 2+2）（5x 2+a ）+b ． 因为（x 2+2）（5x 2+a ）+b ＝5x 4+ax 2+10x 2+2a +b ＝5x 4+（a +10）x 2+2a +b ，所以5x 4+9x 2﹣3＝5x 4+（a +10）x 2+2a +b ． 所以{a +10=92a +b =−3，解得{a =−1b =−1．所以5x 4+9x 2−3x 2+2=(x 2+2)(5x 2−1)−1x 2+2＝5x 2﹣1−1x 2+2．20．（4分）解方程：4x 2−1+x+21−x=−1．【解答】解：两边都乘以（x +1）（x ﹣1），得：4﹣（x +2）（x +1）＝﹣（x +1）（x ﹣1）， 解得：x =13，检验：当x =13时，（x +1）（x ﹣1）≠0， 所以原分式方程的解为x =13． 21．（5分）计算：2x+2+2x−2−x 2+4x 2−4．【解答】解：原式=2(x−2)(x+2)(x−2)+2(x+2)(x−2)(x+2)−x 2+4(x+2)(x−2)，=2x−4+2x+4−x 2−4(x+2)(x−2)，=4x−4−x 2(x+2)(x−2)， =−(x−2)2(x−2)(x+2)，=−x−2x+2．22．（6分）先化简，再求值：(x 2+4x +4)÷x 2−4x 2−2x −x−x 2x−1，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的x 值，代入求值．【解答】解：原式=(x+2)2x ÷(x+2)(x−2)x(x−2)−x(1−x)x−1=2x +2不能代入0，1，2 所以只能代入3得：8． 23．（5分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2017年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2017年地铁每小时的客运量？【解答】解：设2002年地铁每小时客运量x 万人，则2017年地铁每小时客运量4x 万人， 由题意得240x−30=2404x，解得x ＝6，经检验x ＝6是分式方程的解，答：2017年每小时客运量24万人．24．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1．（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；②直接写出点B2的坐标为（﹣3，3）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）①画如图，△A2B2C2为所作；②点B2的坐标为（﹣3，3）．故答案为（﹣3，3）．25．（5分）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）AB＝6，AC＝4，求四边形AEDF的周长；（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．【解答】解：（1）∵AD是高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADB中，E是AB的中点，∴DE=12AB＝3，AE=12AB＝3，同理可得，AF＝DF=12AC＝2，∴四边形AEDF的周长＝3+3+2+2＝10；（2）EF垂直平分AD，理由如下：∵EA＝ED，F A＝FD，∴EF是AD的垂直平分线．26．（7分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10﹣4＝6，在Rt△ABE中，AE=2−BE2=√102−62=8，在Rt△AEC中，AC=√AE2+EC2=√82+42=4√5，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴OE=12AC=2√5．27．（9分）已知点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的解，tan∠BAO=1 2．（1）求点A的坐标；（2）点E在y轴负半轴上，直线EC⊥AB，交线段AB于点C，交x轴于点D，S△DOE＝16．若反比例函数y=kx的图象经过点C，求k的值；（3）在（2）条件下，点M是DO中点，点N，P，Q在直线BD或y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的解，∴OB＝4，在Rt△AOB中，tan∠BAO=OBOA=12，∴OA＝8，∴A （﹣8，0）．（2）∵EC ⊥AB ，∴∠ACD ＝∠AOB ＝∠DOE ＝90°，∴∠OAB +∠ADC ＝90°，∠DEO +∠ODE ＝90°， ∵∠ADC ＝∠ODE ， ∴∠OAB ＝∠DEO ， ∴△AOB ∽△EOD ， ∴OA OE=OB OD，∴OE ：OD ＝OA ：OB ＝2，设OD ＝m ，则OE ＝2m ， ∵12•m •2m ＝16，∴m ＝4或﹣4（舍弃）， ∴D （﹣4，0），E （0，﹣8）， ∴直线DE 的解析式为y ＝﹣2x ﹣8， ∵A （﹣8，0），B （0，4）， ∴直线AB 的解析式为y =12x +4，由{y =−2x −8y =12x +4，解得{x =−245y =85， ∴C （−245，85），∵若反比例函数y =kx的图象经过点C ， ∴k =−19225．（3）如图1中，当四边形MNPQ 是矩形时，∵OD ＝OB ＝4， ∴∠OBD ＝∠ODB ＝45°， ∴∠PNB ＝∠ONM ＝45°， ∴OM ＝DM ＝ON ＝2， ∴BN ＝2，PB ＝PN =√2， ∴P （﹣1，3）．如图2中，当四边形MNPQ是矩形时（点N与原点重合），易证△DMQ是等腰直角三角形，OP＝MQ＝DM＝2，P（0，2）；如图3中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交BD于R，易知R（﹣1，3），可得P（0，6）如图4中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交y轴于R，易知PR＝MR，可得P（2，6）．综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）；28．（9分）定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）①如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝√13；②如图2，直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是（5，3），（3，5）；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（2）如图3，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是√15+√3，√39+√3，2√15．【解答】解：（1）①∵∠ABC＝90°，∴BD＝AC=2+BC2=√4+9=√13，故答案为√13，②∵A（0，3），B（5，0），∴AB=√52+32=√34，设点P（m，n），O（0，0），∴OP=√m2+n2=√34，∵m，n都为整数，∴点P（3，5）或（5，3）；故答案为P（3，5）或（5，3）；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠EBF+∠EBC＝90°，∵BE⊥CF，∴∠EBC+∠BCF＝90°，∴∠EBF＝∠BCF，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF，∴四边形BCEF是准矩形；（3）√15+√3，√39+√3，2√15∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，∴BC＝2√3，AC＝4，准矩形ABCD中，BD＝AC＝4，①当AC＝AD时，如图1，作DE⊥AB，∴AE＝BE=12AB＝1，∴DE=√AD2−AE2=√16−1=√15，∴S准矩形ABCD＝S△ADE+S梯形BCDE=12DE×AE+12（BC+DE）×BE=12×√15+12（2√3+√15）×1=√15+√3；②当AC＝CD时，如图2，作DF⊥BC，∴BD＝CD，∴BF＝CF=12BC=√3，∴DF=√CD2−CF2=√16−3=√13，∴S准矩形ABCD＝S△DCF+S梯形ABFD=12FC×DF+12（AB+DF）×BF=12×√3×√13+12（2+√13）×√3=√39+√3；③当AD＝CD，如图3，连接AC中点和D并延长交BC于M，连接AM，连接BG，过B作BH⊥DG，在Rt△ABC中，AC＝2AB＝4，∴BD＝AC＝4，∴AG=12AC＝2，∵AB＝2，∴AB＝AG，∵∠BAC＝60°，∴∠ABG＝60°，∴∠CBG＝30°在Rt△BHG中，BG＝2，∠BGH＝30°，∴BH＝1，在Rt△BHM中，BH＝1，∠CBH＝30°，∴BM=2√33，HM=√33，∴CM=4√3 3，在Rt△DHB中，BH＝1，BD＝4，∴DH=√15，∴DM＝DH﹣MH=√15−√3 3，∴S准矩形ABCD＝S△ABM+S四边形AMCD，=12BM×AB+12AC×DM=12×2√33×2+12×4×（√15−√33）＝2√15；故答案为√15+√3，√39+√3，2√15．。
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广东省惠州市博罗县杨侨中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列二次根式是最简二次根式的是（）A B C D2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1C．6，8，11 D．5，12，23 3．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm24．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A 的大小为（）A．150°B．130°C．120°D．100°5．下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2B．x+2y=3xyC0=D．（﹣a3）2=﹣a66．（11·佛山）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形7．已知数a，b－a，则（）A．a>b B．a < b C．a≥b D．a≤b8．下列叙述，错误的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形9．如图，在△ABC中，AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．10．如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E 点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形，⑤CF=BD．正确的有（）个．GHCEA．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11有意义，则x的取值范围是________．12．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍________放入（填“能”或“不能”）．13．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的中点，若CD=5cm，则AB=_____________cm.14．长方形的面积是24，其中一边长是，则另一边长是_______ ．15．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和，则此平行四边形是_______形。
它的面积为_______ ．16．如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在轴，轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D=60°，BC=2，则点D 的坐标是____________．三、解答题17．计算：(222-+-+18．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形.（1）作图，作∠A 的平分线AE ，交CD 于点E ，(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);（2）在（1）的条件下，判断AD 与DE 的大小关系，并说明理由.19．如图所示，沿AE 折叠矩形，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长．20．如图，每个小正方形的边长为1.(1)求四边形ABCD 的周长；(2)求证：∠BCD ＝90°.21．如图，点D 在△ABC 的边AB 上，点E 为AC 的中点，过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于点F ，连接AF ．(1)求证：CD=AF；(2)若∠AED=2∠ECD，求证：四边形ADCF是矩形．22．如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B=60°，BC=6，求四边形ADCE的面积．23．先化简，再求值：2222222a b a ba ab b b a a ab⎛⎫-+÷⎪-+--⎝⎭，其中,a b满足b=.24．阅读下列材料,然后回答问题:在进行二次根式运算时,我们有时会碰上如这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:==1===.以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简:221====-.(1)(2)化简: ...+++25．如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，∠QPN 的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C、D不重合）．(1)如图①，当α=90°时，求证：DE+DF=AD．(2)如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，(1)中的结论变为12DE DF AD+=，请给出证明．(3)在(2)的条件下，将∠QPN绕点P旋转，若旋转过程中∠QPN的边PQ与边AD的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．参考答案1．D【解析】【分析】根据最简二次根式的定义即可求就出答案．【详解】（A ）原式＝A 错误；（B ）原式＝2，故错误；（C ）原式＝，故错误；（D ）为最简二次根式，故选：D ．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2．B【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．【详解】解：A 、222456+≠，故不是直角三角形，错误；B 、22211,+= ，故是直角三角形，正确；C 、2226811,+≠ 故不是直角三角形，错误；D 、22251223,+≠故不是直角三角形，错误．故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3．C【解析】（cm），∴S阴影=5×1=5（cm2），故选C．4．C【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABE，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．故选C．考点：平行四边形的性质．5．C【分析】根据平方差公式、合并同类项、幂的乘方、二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】（A）原式＝a2﹣2ab+b2，故A错误；（B）x与2y不是同类项，不能合并，原式＝x＋2y，故B错误；（C）原式＝0=，故C正确；（D）原式＝a6，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了平方差公式、合并同类项、幂的乘方、二次根式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．6．A【解析】分析：先连接AC、BD，由于E、H是AB、AD中点，利用三角形中位线定理可知EH∥BD，同理易得FG∥BD，那么有EH∥FG，同理也有EF∥HG，易证四边形EFGH是平行四边形，而四边形ABCD是菱形，利用其性质有AC⊥BD，就有∠AOB=90°，再利用EF∥AC以及EH∥BD，两次利用平行线的性质可得∠HEF=∠BME=90°，即可得证．解答：解：如右图所示，四边形ABCD是菱形，顺次连接个边中点E、F、G、H，连接AC、BD，∵E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，同理有FG∥BD，∴EH∥FG，同理EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，又∵EF∥AC，∴∠BME=90，∵EH∥BD，∴∠HEF=∠BME=90°，∴四边形EFGH是矩形．故选A．7．D【分析】根据二次根式的非负性质即可得出答案.【详解】－，所以a≤b，=≥b a故选D．【点睛】考点：二次根式的性质．8．D【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四边形的判定方法分别分析即可得出答案．【详解】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，此选项正确，不符合题意；B、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，此选项正确，不符合题意；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，此选项正确，不符合题意；D、根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，此选项错误，符合题意；选：D．【点睛】此题主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，关键是需要同学们准确把握矩形、菱形正方形以及平行四边形的判定定理之间的区别与联系．9．A【解析】【分析】先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC的长，再由三角形的中位线定理得出DE的长即可．【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝12AB＝4，又∵DE是中位线，∴DE＝12BC＝2．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握含30°角的直角三角形的性质及三角形的中位线定理．10．C【分析】根据BC=2AB，H为BC中点，可得△ABH为等腰直角三角形，HE=BH=HC，可得△CEH为等腰三角形，又∠BCD=90°，CE⊥BD，利用互余关系得出角的相等关系，根据基本图形判断全等三角形，特殊三角形进行判断．【详解】解：①在△BCE中，∵CE⊥BD，H为BC中点，∴BC=2EH，又BC=2AB，∴EH=AB，①正确；②由①可知，BH=HE∴∠EBH=∠BEH，又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°，∴∠ABG=∠HEC，②正确；③由AB=BH，∠ABH=90°，得∠BAG=45°，同理：∠DHC=45°，∴∠EHC＞∠DHC=45°，∴△ABG≌△HEC，③错误；④作AM⊥BD，则AM=CE，△AMD≌△CEB，∵AD∥BC，∴△ADG∽△HGB，∴AGGH=2，即△ABG的面积等于△BGH的面积的2倍，根据已知不能推出△AMG的面积等于△ABG的面积的一半，即S△GAD≠S四边形GHCE，∴④错误⑤∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，又∠ECH=∠CDE=∠BAO，∠BAO=∠BAH+∠HAC，∴∠F=∠HAC，∴CF=BD，⑤正确．正确的有3个．故选C．【点睛】考查了等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定．解答该题的关键是证明等腰三角形，全等三角形．11．x≥3【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解．【详解】x-≥，由题意知，30解得，x≥3，故答案为：x≥3．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．12．能【解析】根据勾股定理可计算出长方体最大容纳长度70>,故答案为:能.13．10【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴线段CD是斜边AB上的中线；又∵CD=5cm，∴AB=2CD=10cm．故答案是：10．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．14．【分析】长方形的面积＝长×宽，已知长方形的面积和一边的长，求另一边的长，用面积除以一边的长就能求出另一边的长．【详解】∵长方形的面积＝24，一边的长是∴另一边的长＝24÷故填：【点睛】本题考查了长方形面积公式的运用，更重要的是二次根式除法的计算，体现了乘法与除法的互相转化关系．15．菱【分析】根据勾股定理的逆定理可得对角线互相垂直，然后根据菱形性质可求出面积．【详解】∵平行四边形两条对角线互相平分，∴它们的一半分别为2∵222＝32，∴两条对角线互相垂直，∴这个四边形是菱形，∴S ＝142⨯⨯故答案为：菱；【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半．16．（2，1）．【解析】试题分析：过点D作DG⊥BC于点G，∵四边形BDCE是菱形，∴BD=CD．∵BC=2，∠D=60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD=BC=CD=2，∴CG=1，GD=CD•sin60°=2×∴D（2，1）．故答案为（2，1）．2考点：正方形的性质；坐标与图形性质；菱形的性质．17．1【分析】根据平方差公式与二次根式的运算法则即可求解.【详解】(222-+=4-3-3+3=1【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知乘方公式与二次根式的运算法则. 18．（1）见解析；（2）AD=DE，理由见解析.【分析】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作AE平分∠BAD；（2）先利用平行四边形的性质得AB∥CD，则∠AED＝∠BAE，再利用角平分线定义得到∠DAE＝∠BAE，所以∠DAE＝∠DEA，于是可判定AD=DE．【详解】（1）解：如图，AE为所求；（2）△ADE为等腰三角形，理由是：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AED＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD=DE．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．19．3【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF ＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则CF＝BC−BF＝4，设CE＝x，则DE＝EF＝8−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2＋42＝（8−x）2，再解方程即可得到CE的长．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝10，EF＝DE，在Rt△ABF中，∵BF＝6，∴CF＝BC−BF＝10−6＝4，设CE＝x，则DE＝EF＝8−x在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，∴x2＋42＝（8−x）2，解得x＝3，即CE＝3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．20．（1）8√2＋2√34；（2）证明见解析.【解析】试题分析：(1)借助正方形的小格，根据勾股定理分别计算四边形的各边的长，从而求得四边形的周长；(2)在ΔABC中，根据勾股定理的逆定理进行判定．试题解析：(1)根据勾股定理可知AB＝3√2，BC＝√34，CD＝√34，AD＝5√2，∴四边形ABCD 的周长为8√2＋2√34.(2)证明：连接BD，∵BC＝√34，CD＝√34，DB＝√68，∴BC2＋CD2＝BD2.∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用以及勾股定理逆定理的运用，属于中档题，看清题目，仔细分析题意，搞清楚所要求的问题，结合所给条件才开始动手做题可以事半功倍，切勿没分析清楚就冒然下手，造成错误且浪费时间.做完后要养成及时检查正误的习惯，才能提高正确率21．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）首先证明△AED≌△CFE，即可证得四边形ADCF的对角线互相平分，依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证得；（2）利用三角形的外角的性质即可证得∠EDC＝∠ECD，则根据等角对等边即可证得DE ＝EC，从而证明平行四边形ADCF的对角线相等，即可证得．【详解】（1）∵CF∥AB，∴∠EFC＝∠ADE，则在△AED和△CFE中，EFC ADE AED CEF AE CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AED ≌△CFE ，∴DE ＝FE ，又∵AE ＝CE ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∴CD ＝AF ；（2）∵∠AED ＝2∠ECD ，∠AED ＝∠ECD ＋∠EDC ，∴∠EDC ＝∠ECD ，∴DE ＝EC ，又∵DE ＝FE ，AE ＝CE ，∴AC ＝DF ，∴平行四边形ADCF 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法与矩形的判定方法，以及等腰三角形的判定方法，正确理解判定方法是关键．22．【解析】【分析】（1）欲证明四边形ADCE 是菱形，需先证明四边形ADCE 为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC 的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE 的长度，然后由菱形的面积公式：S=12AC•DE 进行解答． 【详解】（1）证明：∵DE ∥BC ，EC ∥AB ，∴四边形DBCE 是平行四边形．∴EC ∥DB ，且EC=DB ．在Rt △ABC 中，CD 为AB 边上的中线，∴AD=DB=CD ．∴EC=AD ．∴四边形ADCE 是平行四边形．∴ED ∥BC ．∴∠AOD=∠ACB ．∵∠ACB=90°，∴∠AOD=∠ACB=90°．∴平行四边形ADCE 是菱形；（2）解：Rt △ABC 中，CD 为AB 边上的中线，∠B=60°，BC=6，∴AD=DB=CD=6．∴AB=12，由勾股定理得AC=∵四边形DBCE 是平行四边形，∴DE=BC=6．∴=2ADCE AC ED S ⋅菱形． 考点： 菱形的判定与性质；勾股定理23．-3【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入计算即可求出值．【详解】原式=22()()()[]()a b a b a a a b a b a b b +---⨯-- =2()b a a b a b b-⨯- =a b ，0b =，∴10{0a b +==， 解得：a=-1，则原式24．（12）1【分析】（1）根据材料的方法即可求解，（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案.【详解】 （1222==；②原式==；（2...+++=21222...1...1=1【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．25．（1）见解析（2）见解析（3）DF−DE ＝12AD ． 【分析】 （1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE ≌△DPF ，可得出AE ＝DF ，即可得出结论DE ＋DF ＝AD ，（2）取AD 的中点M ，连接PM ，利用菱形的性质，可得出△MDP 是等边三角形，易证△MPE ≌△FPD ，得出ME ＝DF ，由DE ＋ME ＝12AD ，即可得出DE ＋DF ＝12AD ， （3）①当点E 落在AD 上时，DE ＋DF ＝12AD ，②当点E 落在AD 的延长线上时，DF−DE ＝12AD ． 【详解】（1）正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点P ，∴PA ＝PD ，∠PAE ＝∠PDF ＝45°，∵∠APE ＋∠EPD ＝∠DPF ＋∠EPD ＝90°，∴∠APE ＝∠DPF ，在△APE 和△DPF 中APE DPE PA PDPAE PDE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△APE ≌△DPF （ASA ），∴AE ＝DF ，∴DE ＋DF ＝AD ；（2）如图②，取AD 的中点M ，连接PM ，∵四边形ABCD 为∠ADC ＝120°的菱形，∴BD ＝AD ，∠DAP ＝30°，∠ADP ＝∠CDP ＝60°，∴△MDP 是等边三角形，∴PM ＝PD ，∠PME ＝∠PDF ＝60°，∵∠PAM ＝30°，∴∠MPD ＝60°，∵∠QPN ＝60°，∴∠MPE ＝∠FPD ，在△MPE 和△DPF 中，PME PDF PM PDMPE EPD ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△MPE ≌△DPF （ASA ）∴ME ＝DF ，∴DE ＋DF ＝12AD ； （3）如图，如图③，当点E 落在AD 的延长线上时，取AD 的中点M ，连接PM ，∵四边形ABCD 为菱形，∠ADC ＝120°，∴AD ＝CD ，∠DAP ＝30°，AC ⊥BD ，∴∠ADP ＝∠CDP ＝60°，∵AM ＝MD ，∴PM ＝MD ，∴△MDP 是等边三角形，∴∠PME ＝∠MPD ＝60°，PM ＝PD ，∵∠QPN ＝60°，∴∠MPE ＝∠FPD ，在△MPE 和△DPF 中，PME PDF PM PDMPE FPD ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△MPE ≌△DPF （ASA ）．∴ME ＝DF ，∴DF−DE ＝ME−DE ＝DM ＝12AD ． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，涉及全等三角形，正方形及菱形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系．。