江苏省泰州中学2021届高三上学期第一次月度检测数学试题及答案
江苏省泰州中学2021届高三上学期第一次月度检测数学试题及解析
17．在①
m
a
b,
c
a
，n
a
b,
c
，且
m
n
，②
2a
c
2b
cos
C
，③
sin
B
π 6
cos
B
1 2
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答． 在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且______． （1）求角 B ； （2）若 b 4 ，求△ABC 周长的最大值． 【注】如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、
四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：
等级 水平一 水平二 水平三 水平四
男生/名
4
8
12
6
女生/名
6
8
4
2
（1）根据表中统计的数据填写下面 2 2 列联表，并判断是否有 95% 的把握认为学生实践操作
18．设数列 an
的前
nLeabharlann 项和为Sn，点
n,
Sn n
，
n N
均在函数
y
x
的图象上．
（1）数列an 的通项公式；
（2）记数列
1 anan1
的前
n
项和为 Tn
，若对任意的
n N
，不等式
4Tn
a2
a
恒成立，求实数
a 的取值范围．
19．某学校八年级共有学生 400 人，现对该校八年级学生随机抽取 50 名进行实践操作能力测
C． f x1 f x2 0
江苏省泰州市泰州中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理(含解析)
江苏省泰州市泰州中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1.已知集合{}1,0,2,3U =-，{}0,3A =，则U C A =______. 【答案】{}1,2- 【解析】 【分析】根据补集定义直接求解可得结果.【详解】由补集定义可知：{}1,2U C A =- 本题正确结果：{}1,2-【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x tt y t =+⎧⎨=-+⎩为参数），则圆C 的普通方程为_____.【答案】()()22324x y -++= 【解析】 【分析】利用22cos sin 1t t +=消去参数即可得到结果.【详解】由22cos sin 1t t +=可得：()()22324x y -++= 即圆C 的普通方程为：()()22324x y -++= 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，属于基础题.3.设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的______________条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）． 【答案】充分不必要 【解析】x-<，得1＜x＜3；由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，再根据充分条件和必要条件的由21定义进行判断即可．【详解】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为_______.【答案】8【分析】按照程序框图运行程序，直到4i时输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入1i =，0S =1i =不是偶数，则011S =+=，1124i =+=<，循环2i =是偶数，则1j =，11225S =+⨯=，2134i =+=<，循环 3i =不是偶数，则538S =+=，3144i =+=≥，输出结果：8S =本题正确结果：8【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果，属于基础题.5.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人. 【答案】900 【解析】 【分析】计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数. 【详解】由题意可知，高二年级抽取：45201015--=人 ∴抽样比为：151453= ∴该校学生总数为：13009003÷=人 本题正确结果：900【点睛】本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占比相同.6.两位男同学和两位女学生随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是______. 【答案】12【解析】 分析】利用捆绑法可求得两位女同学相邻的排法数；通过全排列求得四位同学排成一列的排法总数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】两位女同学相邻的排法共有：23232612A A =⨯=种排法四位同学排成一列共有：4443224A =⨯⨯=种排法∴两位女同学不相邻的概率：121242p == 本题正确结果：12【点睛】本题考查古典概型求解概率问题，关键是能够利用排列的知识求解出符合题意的排法数和总体的排法数，涉及到利用捆绑法解决排列中的相邻问题. 7.已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=_______.【解析】 【分析】根据二倍角公式可将已知等式化简为24sin cos 2cos ααα=，根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得1tan 2α=；根据同角三角函数关系，结合0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得结果.【详解】由二倍角公式可知：sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=-24sin cos 2cos ααα∴=又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α∴≠ 2sin cos αα∴=，即1tan 2α=sin 5α∴=【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.8.设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.【答案】3π 【解析】 【分析】根据图象首先求得()f x 最小正周期2T ππω==，从而解得2ω=；代入712f A π⎛⎫=-⎪⎝⎭可得到23k πϕπ=+，结合0ϕπ<<即可求得结果.【详解】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω= 2ω∴= 又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又0ϕπ<< 3πϕ∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.9.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3 【解析】 【分析】当0x >时0x ->，()()axf x f x e-=--=代入条件即可得解.【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()axf x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．10.若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为___.【答案】1 【解析】【详解】令1x =，得423014(2a a a a a =++++；令1x =-，得142340(2a a a a a =+---+；两式相加得22024130241302413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++⋅++--444(2(2(1)1=+⋅-=-=．点睛： “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)nax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.11.在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，已知3A π=，a =A 的平分线交边BC 于点D ，其中AD =ABC S ∆=______.【答案】【解析】 【分析】根据余弦定理可得()23112b c bc +-=；利用ABC ACD ABD S S S ∆∆∆=+和1sin 2ABC S bc A ∆=可构造方程求得13b c bc +=，代入余弦定理的式子可求出48bc =，代入三角形面积公式求得结果.【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：()2223112b c bc b c bc +-=+-=)1133sin sin 2222ABC ACD ABD A A S S S b AD c AD b c ∆∆∆=+=⋅+⋅=+又13sin 2ABC S bc A ∆== )333b c =+ 13b c bc ∴+= ()2131129bc bc ∴-=，解得：48bc = 348123ABC S ∆∴== 本题正确结果：123【点睛】本题考查解三角形中三角形面积的求解问题，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用；本题的解题关键是能够通过面积桥的方式构造方程求得b c +和bc 之间的关系，进而结合余弦定理求得所需的值.12.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局， 则ξ的期望值()E ξ=______. 【答案】26681【解析】 【分析】首先确定ξ所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数学期望计算公式求得结果.【详解】由题意可知ξ所有可能的取值为：2,4,6则()222152339P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3311221212204333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()520166198181P ξ==--=()520162662469818181E ξ∴=⨯+⨯+⨯=本题正确结果：26681【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型. 13.已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【答案】10【解析】 【分析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan 3α=-或tan 2α=；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭)22cos sin 2sin cos αααα-+，根据正余弦齐次式的221tan 2tan 1tan ααα-++，代入tan α即可求得结果. 【详解】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=()cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 24442πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭)222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos cos sin αααααααααα-+=-+=+221tan 2tan 1tan ααα-+=+当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-== ⎪⎝⎭+当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式. 14.设直线12,l l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l 与2l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB ∆的面积的取值范围是_______. 【答案】()0,1 【解析】 【分析】首先可确定12,P P 分别在分段函数的两段上，设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<，通过导数可求得切线斜率；根据12,l l 相互垂直可得到121=x x ；通过12,l l 的方程可求得,A B 两点坐标，从而得到2AB =；联立12,l l 求得P 点横坐标，从而将PAB ∆面积表示为1121PAB S x x ∆=+，根据()10,1x ∈可求得PAB ∆面积的取值范围.【详解】由题意可知，12,P P 分别在分段函数的两段上设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<< ()1,011,1x xf x x x⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩111l k x ∴=-，221l k x = 1212111l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =---；2l 方程为：()2221ln y x x x x =-+ ()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x - ()12121ln ln 12ln 2AB x x x x ∴=---=-=联立12,l l 可得P 点横坐标为：12121222x x x x x x =++121211122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=⋅==+++()10,1x ∈且1y x x =+在()0,1上单调递减 111112x x ∴+>+= 01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1本题正确结果：()0,1【点睛】本题考查三角形面积取值范围的求解问题，求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；本题的解题关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．．．．．．．．．．．．说明、证明或演算步骤．．．．．．．．．．.．15.已知矩阵0A a⎡=⎢⎣ 10⎤⎥⎦，矩阵0B b⎡=⎢⎣ 20⎤⎥⎦，直线1:40l x y -+=经矩阵A 所对应的变换得到直线2l ，直线2l 又经矩阵B 所对应的变换得到直线3:40l x y ++=. （1）求,a b 的值； （2）求直线2l 的方程. 【答案】（1）12a =，1b =-；（2）240x y --= 【解析】 【分析】（1）根据矩阵的乘法运算可建立关于,a b 的方程组，解方程组求得结果；（2）根据（1）可得矩阵A ，得到变换公式，从而可得所求方程.【详解】（1）020120000a BA b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1l ∴变换到3l 的变换公式为：2x ax y by ''=⎧⎨=⎩可得到直线240ax by ++=即直线1:40l x y -+=211a b =⎧∴⎨=-⎩，解得：12a =，1b =-（2）由（1）知：01102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦1l ∴变换到2l 的变换公式为：12x yy x =⎧''⎪⎨=⎪⎩ ∴直线2l 的方程为：240y x -+=，即240x y --=【点睛】本题考查矩阵的乘法运算和直线在矩阵下的线性变换，关键是能够通过矩阵运算得到线性变换的公式，属于常考题型.16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A =，cos A =（1）求角B 的值； （2）若a =的面积．【答案】（1）π4B =（2）S = 【解析】 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，由正弦定理化简已知等式可求1sinBtanB cosB==，结合范围0＜B ＜π，可求B 的值． （2）由（1）及正弦定理可求b 的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C 的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）在△ABC中，因为cos 3A =，0πA <<，所以sin A==因为cos cosa B A=，由正弦定理sin sina bA B=，得sin cos cosA B B A=．所以cos sinB B=．若cos=0B，则sin=0B，与22sin cos1B B+=矛盾，故cos0B≠．于是sin tan1cos B B B==．又因为0πB<<，所以π4B=．（2）因为a=sin3A=，由（1）及正弦定理sin sina bA B==，所以2b=．又()()sin sinπsinC A B A B=--=+=sin cos cos sinA B A B+32326=+⋅=．所以△ABC的面积为116sin22264S ab C+==⨯=.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.如图，AE⊥平面ABCD，//CF AE，//AD BC，AD AB⊥，1AB AD==，2AE BC==.（1）直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （2）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长. 【答案】（1）49；（2）87. 【解析】 【分析】以A 为原点建立空间直角坐标系；（1）表示出,,,C E B D 的坐标，首先求解出平面BDE 的法向量()12,2,1n =，根据直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值等于11CE n CE n ⋅⋅可求得结果；（2）设()0CF t t =>得到()2,1,F t ，可求解出平面BDF 的法向量()2,,2n t t =-，从而得到122cos ,324n n t <>=+；根据二面角余弦值与法向量夹角余弦值的关系可建立方程24213324t t -=+，解方程求得结果.【详解】以A 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：（1）由题意得：()2,1,0C ，()0,0,2E ，()0,1,0B ，()1,0,0D()2,1,2CE ∴=--，()1,1,0BD =-，()0,1,2BE =-设平面BDE 的法向量()1111,,n x y z =111111020BD n x y BE n y z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z =，则12y =，12x = ()12,2,1n ∴=设直线CE 与平面BDE 所成角为θ114224sin 339CE n CE n θ⋅--+∴===⨯⋅ 即直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为：49（2）设()0CF t t =>，则()2,1,F t ()2,0,BF t ∴= 设平面BDF 的法向量()2222,,n x y z =222222020BD n x y BF n x tz ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令22z =-，则2x t =，2y t = ()2,,2n t t ∴=-由（1）知，平面BDE 的法向量()12,2,1n =1212212cos ,3nn n n n n t ⋅∴<>===⋅又二面角E BD F --的余弦值为1313=，解得：87t = ∴线段CF 的长为：87【点睛】本题考查空间向量法求解直线与平面所成角、利用平面与平面所成角求解其他量的问题；关键是能够熟练掌握直线与平面所成角、平面与平面所成角的向量求法，对于学生的计算能力有一定要求，属于常考题型.18.如图，一楼房高AB 为某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌的倾角为60EF 站在楼前观察该广传牌的安装效果：为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方：设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=.（1）试将tan θ表示为x 的函数； （2）求点E 的位置，使θ取得最大值. 【答案】（1）()23363tan 2x x θ+=>；（2）当121018AE =-米时，θ取得最大值. 【解析】 【分析】（1）作CG AB ⊥，垂足为G ；作FHAB ⊥，垂足为H ，交CG 于M ；作BN CG⊥，垂足为N ；在Rt CFM ∆和Rt BFH ∆分别用x 表示出tan CFM ∠和tan BFH ∠，根据()tan tan CFM BFH θ=∠-∠，利用两角和差正切公式可求得结果；（2）根据（1）的结论，设18t x =+，可得23tan 38t tθ=+-1210t =时，tan θ取最大值，又tan θ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，可知1210t =时，θ最大，从而可得到结果. 【详解】（1）作CG AB ⊥，垂足为G ；作FH AB ⊥，垂足为H ，交CG 于M ；作BN CG ⊥，垂足为N ，如下图所示：在Rt CFM ∆中，4sin 601933203tan CM CN NM CFM MF AE BN ++-∠====- 在Rt BFH ∆中，183tan BH AB EF BFH HF AE -∠===()tan tan tan tan 1tan tan CFM BFHCFM BFH CFM BFHθ∠-∠∴=∠-∠=+∠∠221080x x +==-+ 监理人员必须在G 的右侧 2x ∴>综上所述：)tan 2x θ=> （2）由（1）可得：()218tan 221080x x x x θ+==>-+ 令18t x =+，则()20,t ∈+∞()()2tan 18218108038tt t t tθ∴==---++-1440t t +≥=（当且仅当1440t t =，即t=tanθ∴≤=∴当t =18x =时，tan θ取最大值又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan θ在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增tan θ∴最大时，θ最大 ∴当18AE =米时，θ取得最大值【点睛】本题考查函数模型的实际应用问题，涉及到两角和差正切公式的应用、利用基本不等式求解函数的最值问题；关键是能够建立起准确的函数模型，在求解最值时，将函数化为符合基本不等式的形式；易错点是忽略了函数模型中定义域的要求. 19.已知函数()()ln 425f x a x a ⎡⎤=-+-⎣⎦，()1ln g x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中a 为常数． ()1当3a =时，设函数()()()2221h x f x f x =--，判断函数()h x 在()0,+∞上是增函数还是减函数，并说明理由；()2设函数()()()F x f x g x =-，若函数()F x 有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(]1,2{3⋃，4} 【解析】 【分析】()1代入a 的值，求出()h x 的解析式，判断函数的单调性即可；()2由题意把函数()F x 有且仅有一个零点转化为()()24a x a 5x 10-+-+=有且只有1个实数根，通过讨论a 的范围，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可．【详解】（1）由题意，当a 3=时，()()f x ln x 1=+，则()()222x h x ln x 0x 1=≠+，因为2222x 22x 1x 1=-++，又由22x 1+在()0,∞+递减， 所以222x 1-+在()0,∞+递增， 所以根据复合函数的单调性，可得函数()h x 在()0,∞+单调递增函数；()2由()F x 0=，得()()f x g x =，即()1ln 4a x 2a 5ln a x⎛⎫⎡⎤-+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭， 若函数()F x 有且只有1个零点，则方程()1ln 4a x 2a 5ln a x ⎛⎫⎡⎤-+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭有且只有1个实数根， 化简得()14a x 2a 5a x-+-=-， 即()()24a x a 5x 10-+-+=有且只有1个实数根，a 4=①时，()()24a x a 5x 10-+-+=可化为x 10-+=，即x 1=，此时(4)12530130a a a -⋅+-=>⎧⎨-=>⎩，满足题意，②当a 4≠时，由()()24a x a 5x 10-+-+=得：()()4a x 1x 10⎡⎤---=⎣⎦，解得：14x a=-或x 1=，()i 当114a=-即3a =时，方程()()24510a x a x -+-+=有且只有1个实数根， 此时(4)12520120a a a -⋅+-=>⎧⎨-=>⎩，满足题意，()ii 当114a≠-即3a ≠时， 若1x =是()F x 的零点，则(4)125010a a a -⋅+->⎧⎨->⎩，解得：1a >，若14x a =-是()F x 的零点，则(4)1250114a a a a -⋅+->⎧⎪⎪⎨->⎪⎪-⎩，解得：2a >， 函数()F x 有且只有1个零点，所以12a a >⎧⎨≤⎩或12a a ≤⎧⎨>⎩，1a 2∴<≤，综上，a 的范围是(]1,2{3⋃，4}．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性，函数的零点，以及二次函数的性质等知识点的综合应用，同时把函数()F x 有且仅有一个零点转化为方程有且只有1个实数根，合理令二次函数的性质，分类讨论是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 20.已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数.【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）04a <≤. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.【详解】(1)当34a =-时，()3ln 4f x x =-()0,∞+，且： ()3433'4x x f x x -+=-+== 因此函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3. (2)由1(1)2f a ≤，得04a <≤，当04a <≤时，()2f x a≤，等价于22ln 0x a a --≥， 令1t a=，则t ≥， 设()22lng t t x =，t ≥，则2()2ln g t t x =-， （i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()(22)2ln g xg x =， 记1()ln ,7px x x =≥，则1()p x x '=== 列表讨论：()(1)0,()(22)2()0p x p g t g p x ∴=∴=（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q x'=>， 故()q x 211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a≤，综上所述，所求的a 的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
2021届江苏省泰州市高三上学期数学期末调研测试题答案及答案解析(解析版)
元．另外已知每件次品的销毁费用为 4 元．若甲厂抽检的玩具中有 10 件为 A 等
级，用样本的频率估计概率，试判断甲、乙两厂是否都能盈利，并说明理由．
附：
2
=
(a
+
n(ad − bc)2 b)(c + d )(a + c)(b
+
d)
，其中
n=a+b+c+d．
( ) P 2 x0 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
A
B
C
频数
20
120
60
(表一)
厂家
合格品
次品
合计
甲
75
乙
35
合计
(表二)
在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有
的次品必须由原厂家自行销毁．
(1)请根据所提供的数据，完成上面的 2×2 列联表(表二)，并判断是否有 95%
的把握认为产品的合格率与厂家有关？
(2)每件玩具的生产成本为 30 元，A、B 等级产品的出厂单价分别为 60 元、40
A． f (x)的一个周期是 2
B． f (x)的值域是 −1，1
C． f (x)的图象关于点（ ，0）对称 D． f (x)在区间 (0， )上单调递减
【答案】AD
11．引入平面向量之间的一种新运算“ ”如下：对任意的向量 m= (x1，y1)，n= (x2，y2 )，
规定 m n= x1x2 − y1y2 ，则对于任意的向量 a，b，c，下列说法正确的有( ▲ )
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2021届高江苏省泰州中学三上学期第一次月考文数试题Word版含解析
2021届高江苏省泰州中学三上学期第一次月考文数试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}2|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则A B = ．【答案】{}0,2考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.若31zi i=+-，i 是虚数单位，则复数z 的虚部为 ． 【答案】2- 【解析】 试题分析：3421zi z i i=+⇒=--，所以复数z 的虚部为2- 考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 22+a b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.函数22()log (6)f x x =-的定义域为 ． 【答案】(,6)(6,)-∞+∞【解析】试题分析：由题意得26066x x x ->⇒><-或，即定义域为(,6)(6,)-∞-+∞考点：函数定义域 4.已知函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期是3π，则正数k 的值为 ．【答案】6 【解析】试题分析：由题意得263k k ππ=⇒= 考点：三角函数周期5.已知幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()4f 的值为 ． 【答案】2考点：幂函数解析式6.“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的 条件．（填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【解析】试题分析：三个数a ，b ，c 成等比数列，则2b cb ac a b=⇒=，充分性成立； 0a b c ===满足2b ac =，但a ，b ，c 不成等比数列，必要性不成立，所以“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的充分不必要条件． 考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．7.已知53cos()25πα+=，02πα-<<，则sin 2α的值是 ． 【答案】2425-考点：二倍角公式【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。
江苏省泰州市2021届新高考数学一模试卷含解析
江苏省泰州市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（ ） A ．201912-- B ．201912-+ C ．201912- D ．201912+【答案】A 【解析】 【分析】取1x =-，得到201902a =，取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-，计算得到答案.【详解】取1x =-，得到201902a =；取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-.故22019201912201933312a a a ⋅+⋅++⋅=--.故选：A . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键.2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ）A BC ．D 【答案】D 【解析】 【分析】先计算a b ⋅，然后将3a b -进行平方，，可得结果. 【详解】 由题意可得：1cos1201212a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭∴()222369163643a ba ab b -=-⋅+=++=∴则343a b -=.故选：D.3．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =的最大值是2【答案】D 【解析】 【分析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]1,1t ∈-则()322g t t t =-，()226g t t '=-，[1t ∈-，1]，则t <<时()0g t '>，1t -<<1t >>()0g t '<，即()g t 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在1,3⎛-- ⎝⎭和,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；且39g ⎛=⎝⎭，()10g -=，max y g ∴==<⎝⎭，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．4．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】 【分析】根据题意计算21n a n =-，12n n b -=，122n n T n +=--，解不等式得到答案.∵{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n nb -=.∴2112n n n b b b T c c c a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+11242n a a a a -=+++⋯+()1(211)(221)(241)221n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()121242n n -=+++⋅⋅⋅+-11222212nn n n +-=⨯-=---.∵2020n T <，∴1222020n n +--<，解得9n ≤.则当2020n T <时，n 的最大值是9. 故选：B . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f 分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.5．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A ．3- B ．6-C ．4D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.【详解】根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-则DC =则CD AB ⊥则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=- 故选：B 【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键. 7．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A1 B1CD．12【答案】B 【解析】 【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则PA m PF====当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==，点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.9．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )2⎡⎤2⎡⎤【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，又()()()()xx g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 10．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】由2m =，则(2,4)(2,1)440a b ⋅=-⋅=-+=，所以a b ⊥；而当a b ⊥，则2(,4)(,1)40a b m m m ⊥=-⋅=-+=，解得2m =或2m =-.所以 “2m =”是“a b ⊥”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.11．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i - B ．33i +C ．13i +D ．13i -【答案】D直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果 【详解】∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D 【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质. 12．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x axx =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭， 所以2≥14a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省泰州中学 2021 届高三第一次月度检测(数学)及答案
x1 f x2
x1 x2
0．
当1 x1 x2 时， g x1 g x2 ∴ f x1 x1 f x2 x2 ，
∴
f
x1
f
x2
x1 x2 ，∴
f
x1 f x2
x1 x2
0．
D．正确；因为 ln x 1 时， f x 单调递增，又∵A 正确，
9．关于双曲线 C1 ：
x2 9
y2 16
1与双曲线 C2 ：
y2 9
x2 16
1 ，下列说法正确的是（
）．
A．它们有相同的渐近线
B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等
D．它们的焦距相等
10．函数 y Asin x （ A 0 ， 0 ， 0 π ）在一个周期内的图象如图所示，则（ ）．
x2
即
x2
f
x1 x1 f
x2 ．
B．错误；因为令 g x f x x x ln x x ，∴ g x ln x 2 ，
∴ x e2, 时， g x 0 ， g x 单调递增， x 0, e2 时， g x 0 ， g x 单调递减．
∴ x1 f x1 与 x2 f x2 无法比较大小． C．错误；因为令 g x f x x x ln x x ， g x ln x ，
B
π 6
cos
B
1 2
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．
在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且______． （1）求角 B ；
（2）若 b 4 ，求△ABC 周长的最大值．
【注】如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．设数列 an
江苏省泰州市2021届新高考数学一模试卷含解析
江苏省泰州市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（ ） A ．201912-- B ．201912-+ C ．201912- D ．201912+【答案】A 【解析】 【分析】取1x =-，得到201902a =，取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-，计算得到答案.【详解】取1x =-，得到201902a =；取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-.故22019201912201933312a a a ⋅+⋅++⋅=--.故选：A . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键.2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ）A BC ．D 【答案】D 【解析】 【分析】先计算a b ⋅，然后将3a b -进行平方，，可得结果. 【详解】 由题意可得：1cos1201212a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭∴()222369163643a ba ab b -=-⋅+=++=∴则343a b -=.故选：D.3．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =的最大值是2【答案】D 【解析】 【分析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]1,1t ∈-则()322g t t t =-，()226g t t '=-，[1t ∈-，1]，则t <<时()0g t '>，1t -<<1t >>()0g t '<，即()g t 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在1,3⎛-- ⎝⎭和,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；且39g ⎛=⎝⎭，()10g -=，max y g ∴==<⎝⎭，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．4．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】 【分析】根据题意计算21n a n =-，12n n b -=，122n n T n +=--，解不等式得到答案.∵{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n nb -=.∴2112n n n b b b T c c c a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+11242n a a a a -=+++⋯+()1(211)(221)(241)221n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()121242n n -=+++⋅⋅⋅+-11222212nn n n +-=⨯-=---.∵2020n T <，∴1222020n n +--<，解得9n ≤.则当2020n T <时，n 的最大值是9. 故选：B . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f 分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.5．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A ．3- B ．6-C ．4D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.【详解】根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-则DC =则CD AB ⊥则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=- 故选：B 【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键. 7．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A1 B1CD．12【答案】B 【解析】 【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则PA m PF====当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==，点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.9．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )2⎡⎤2⎡⎤【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，又()()()()xx g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 10．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】由2m =，则(2,4)(2,1)440a b ⋅=-⋅=-+=，所以a b ⊥；而当a b ⊥，则2(,4)(,1)40a b m m m ⊥=-⋅=-+=，解得2m =或2m =-.所以 “2m =”是“a b ⊥”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.11．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i - B ．33i +C ．13i +D ．13i -【答案】D直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果 【详解】∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D 【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质. 12．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x axx =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭， 所以2≥14a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届江苏省泰州市普通高中高三年级上学期期末调研测试数学试题
1 绝密★启用前江苏省泰州市普通高中2021届高三年级上学期期末教学质量调研测试数学试题2021年1月本试卷满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）1．若集合A ={}04|2<-x x ，B ={}0lg |<x x ，则B A =( ▲ )A.()12，- B ．()22，- C ．()10， D ．()20， 2．设R x ∈，则“1<x ”是“13<x ”的( ▲ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若复数i z -=2，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是( ▲ )A ．z 的虚部为iB ．5=zC ．i z --=2D ．i z 432-=4．人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值设某人的血压满足函数式p (t )=102+24sin(160πt )，其中p (t )为血压(单位:mm Hg )，t 为时间(单位:min)，则下列说法正确的是( ▲ )A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值C.收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D.收缩压低于标准值、舒张压高于标准值5. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日：置积尺数,以十六乘之, 九而一,所得开立方除之,即立圆径．意思是：球的体积V 乘16,除以9,再开立方,即为球的直径d,由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为( ▲ )。
2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷
2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|y =ln (x −1)}，B ={x|x 2−4≤0}，则A ∩B =( ) A.{x|x ≥−2} B.{x|1<x <2} C.{x|1<x ≤2} D.{x|−2≤x ≤2}2. α,β∈[−π2, π2]，且αsin α−βsin β>0，则下面结论正确的是（ ） A.α>β B.α+β>0 C.α<βD.α2>β23. 函数f(x)=ln |x|x 3的部分图像是( )A.B.C. D.4. 已知角α的终边经过点(1,3)，则2cos 2α−sin 2αcos 2α=（ ）．A.−178 B.78C.±78D.35. 已知sin (β−α)cos β−cos (α−β)sin β=35，α为第三象限角，则cos (α+π4)=（ ）A.−√210 B.−7√210C.√210 D.7√2106. 在△ABC 中，如果cos (2B +C )+cos C >0，那么△ABC 的形状为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形7. 如图，在等腰直角△ABC 中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则 AF →=( )A.35AB →+15AC →B.25AB →+15AC →C.815AB →+415AC →D.415AB →+815AC →8. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割. 如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36∘的等腰三角形（另一种是顶角为 108∘ 的等腰三角形）. 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BCAC =√5−12. 根据这些信息，可得sin 1314∘=( )A.−3+√58B.−4+√58C.−2√5−14D.−√5+14二、多选题已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边上的一点为P (2m,−m )(m ≠0)，则下列各式一定为负值的是( ) A.sin αcos α B.tan α C.cos α−sin α D.cos 2α已知函数f (x )=sin x cos x −cos 2x ，则（ ） A.函数f (x )在区间(0,π8)上为增函数 B.直线x =3π8是函数f (x )图象的一条对称轴C.函数f (x )的图象可由函数y =√22sin 2x 的图象向右平移π8个单位得到 D.对任意x ∈R ，恒有f (π4+x)+f (−x )=−1将函数f(x)=sin (ωx +φ)的图象向左平移π2个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值可能等于（ ） A.4 B.6C.8D.12数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是（ ）A.对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B.f(x)=x 3可以是某个圆的“优美函数”C.正弦函数y =sin x 可以同时是无数个圆的“优美函数”D.函数y =f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y =f(x)的图象是中心对称图形 三、填空题已知函数f(x)={log 3(x +1)−2,x ≥0,f(x +3),x <0,则f(−2020)=________.sin 65∘−sin 35∘cos 30∘cos 35∘=_________.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD =80，∠ADB =135∘，∠BDC =∠DCA =15∘，∠ACB =120∘，则图中海洋蓝洞的口径为________.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2√2且△ABC 面积为S =√312(b 2−a 2−c 2)，则面积S 的最大值为________. 四、解答题设函数f(x)=a x −(k −1)a −x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 值；(2)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x 2+tx)+f(4−x)<0恒成立的t 的取值范围．如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，AE=12EC ，AD ，BE 交于点F ，设AC →=a →，AD →=b →．(1)用a →，b →分别表示向量AB →，EB →；(2)若AF →=tAD →，求实数t 的值．已知α，β为锐角， sin α=45，cos (α+β)=−√55. (1)求cos 2α的值；(2)求sin β的值．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =2．设F 为线段AC 上一点，CF =√2BF ．有下列条件：①c =2；②b =2√3；③a 2+b 2−√3ab =c 2．请从这三个条件中任选两个，求∠CBF 的大小和△ABF 的面积．已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)将函数y =f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向左平移π3个单位长度．得到函数y =g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[−π2,π12]时，求函数y =f (2x +π12)−√2f (2x +π3)的值域．已知函数f (x )=e x ，g (x )=ax +b, a, b ∈R .(1)若g (−1)=0，且函数g (x ) 的图象是函数f (x ) 图象的一条切线，求实数a 的值；(2)若不等式f (x )>x 2+m 对任意x ∈(0,+∞)恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若对任意实数a ，函数F (x )=f (x )−g (x )在(0,+∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法对数函数的定义域交集及其运算【解析】化简集合A，B，再求它们的交集即可．【解答】解：集合A={x|y=ln(x−1)}={x|x>1}，集合B={x|x2−4≤0}={x|−2≤x≤2}，∴A∩B={x|1<x≤2}.故选C．2.【答案】D【考点】函数单调性的性质【解析】观察本题的形式，当角的取值范围是[−π2,π2]时，角与其正弦值符号是相同的，故αsinα与βsinβ皆为正，αsinα−βsinβ>0可以得出|α|>|β|，故可以确定结论．【解答】解：y=x sin x是偶函数且在(0, π2)上单调递增，∵α，β∈[−π2,π2 ]，∴αsinα，βsinβ皆为非负数. ∵αsinα−βsinβ>0，∴αsinα>βsinβ，∴|α|>|β|，∴α2>β2.故选D.3.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间函数图象的作法函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(x)=ln|x|x3的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(−x)=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选项B错误；当x>1时，x3>0,ln|x|>0，故f(x)>0，故选项C，D错误；综上，只有选项A符合题意.故选A.4.【答案】B【考点】三角函数的恒等变换及化简求值任意角的概念【解析】由题意任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得结论．【解答】解：∵角α终边经过点(1,3)，∴tanα=31=3,则2cos2α−sin2αcos2α=2cos2α−sin2αcos2α−sin2α=2−tan2α1−tan2α=2−321−32=78.故选B．5.【答案】A【考点】两角和与差的正弦公式三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵sin(β−α)cosβ−cos(α−β)sinβ=35，sin(β−α)cosβ−cos(β−α)sinβ=35，∴sin(β−α−β)=35，∴sin(−α)=35，即sinα=−35，∵α是第三象限角，sin2α+cos2α=1, ∴cosα=−45,∴cos(α+π4)=cosαcosπ4−sinαsinπ4=−45×√22−(−35)×√22=−√210．故选A．6.【答案】A【考点】三角形的形状判断两角和与差的余弦公式【解析】结合A+B+C=π和余弦的两角和差公式，可将原不等式化简为−2cos B cos A>0，即cos A<0,A<0，又A，B∈(0,π)，所以cos B与cos A一正一负，故而得解．【解答】解：∵ A+B+C=π,∴cos(2B+C)+cos C=cos[B+(π−A)]+cos[π−(B+A)]=−cos(B−A)−cos(B+A)=−cos B cos A−sin B sin A−cos B cos A+sin B sin A=−2cos B cos A>0,∴cos A cos B<0，即cos B与cos A异号.又∵A，B∈(0,π)，∴cos B与cos A一正—负，故必有一角为钝角，∴△ABC为钝角三角形．故选A．7.【答案】C【考点】余弦定理向量的减法及其几何意义向量的加法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解∶设BC=6，则DE=2，AD=AE=√10，cos∠DAE=10+10−42×10=45，所以AFAD=AFAE=45，所以AF→=45AD→.因为AD→=AB→+13BC→=AB→+13(AC→−AB→)=23AB→+13AC→,所以AF→=45×(23AB→+13AC→)=815AB→+415AC→.故选C.8.【答案】D【考点】三角函数的化简求值正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可知：BCAC=sin∠BACsin∠ABC=sin36∘sin72∘=sin36∘2sin36∘cos36∘=12cos36∘=√5−12，∴cos36∘=√5−1=√5+14，又sin1314∘=sin(3×360∘+234∘)=sin234∘=sin(180∘+54∘)=−sin54∘=−sin(90∘−36∘)=−cos36∘=−√5+14．故选D.二、多选题【答案】A,B【考点】二倍角的余弦公式任意角的三角函数【解析】利用三角函数的定义，逐个判断即可. 【解答】解：由三角函数的定义可知：sinα=√5m2，cosα=√5m2，tanα=−m2m =−12<0，①当m>0时，sinα<0，cosα>0,②当m<0时，sinα>0，cosα<0,A，sinαcosα<0，故选项A满足题意；B，tanα=−12<0，故选项B满足题意；C，由①可知：cosα−sinα>0，故选项C不满足题意；D，cos2α=cos2α−sin2α=4m25m2−m25m2=35>0.故选项D不满足题意.故选AB.【答案】A,B,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性正弦函数的单调性【解析】求出三角函数的增区间判断A；把x=3π8代入函数y(x)的解析式求解函数值判断B；利用函数图象的平移求得函数解析式判断C；直接代入验证判断D．【解答】解：f(x)=sin x cos x−cos2x=12sin2x−1+cos2x2=√22sin(2x−π4)−12，由−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ，k∈Z，取k=0，得−π8≤x≤3π8，∴f(x)在区间(0,π8)上为增函数，故A正确；取x=3π8，得f(x)=√22sin(2×3π8−π4)−12=√2−12为函数的最大值，∴直线x=3π8是函数f(x)图象的一条对称轴，故B正确；函数f(x)=√22sin2x的图象向右平移π8个单位，得y=√22sin[2(x−π8)]=√22sin(2x−π4)，故C错误；对任意x∈R，f(π4+x)+f(−x)=√22sin[2×(π4+x)−π4]−12+√22sin(−2x−π4)−12=√22sin(2x+π4)+√22sin(−2x−π4)−1=−1，故D正确．故选ABD.【答案】A,C,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数的周期性及其求法【解析】由题意将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移π2个单位．若所得图象与原图象重合，说明π2是函数周期的整数倍，求出ω与k，的关系，然后判断选项．【解答】解：因为将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，所以π2是已知函数周期的整数倍，即k⋅2πω=π2(k∈Z)，解得ω=4k(k∈Z)，A，C，D符合题意.故选ACD.【答案】A,B,C【考点】函数新定义问题【解析】利用“优美函数”的定义判断选项A，B，C正确，函数y＝f(x)的图象是中心对称图形，则函数y＝f(x)是“优美函数”，但是函数y＝f(x)是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D错误．【解答】解：对于A，圆的‘’优美函数‘’可以有无限个，故选项A正确；对于B，因为函数f(x)=x3图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数f(x)=x3是该圆“优美函数”，故选项B正确；对于C，将圆的圆心放在正弦函数y=sin x的对称中心上，则正弦函数y=sin x是该圆的“优美函数”，故选项C正确；对于D，函数y=f(x)的图象是中心对称图形，则函数y=f(x)是“优美函数”，但是函数y=f(x)是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：所以函数y=f(x)的图象是中心对称图形是函数y=f(x)是“优美函数”的充分不必要条件，故选项D错误.故选ABC．三、填空题【答案】−1【考点】分段函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：f(−2020)=f(−2017)=⋯=f(−1)=f(2)=log3(2+1)−2=−1.故答案为：−1.【答案】12【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】化65∘为35∘+30∘，然后展开两角和的正弦求解．【解答】解：sin65∘−sin35∘cos30∘cos35∘=sin(35∘+30∘)−sin35∘cos30∘cos35∘=sin35∘cos30∘+cos35∘sin30∘−sin35∘cos30∘cos35∘=sin30∘=12．故答案为：12.【答案】80√5【考点】解三角形余弦定理正弦定理【解析】根据题意画出图形，△BCD中利用正弦定理求出BD的值，△ACD中利用等角对等边求出AD的值，再在△ABD中由余弦定理求得AB的值．【解答】解：如图所示，在△BCD中，CD=80，∠BDC=15∘，∠BCD=∠ACB+∠DCA=120∘+15∘=135∘，所以∠CBD=30∘.由正弦定理得：BDsin135∘=80sin30∘，解得BD=80×√2212=80√2，在△ACD中，CD=80，∠DCA=15∘，∠ADC=∠ADB+∠BDC=135∘+15∘=150∘，所以∠CAD=15∘，所以AD=CD=80；在△ABD中，由余弦定理得：AB 2=AD 2+BD 2−2AD ⋅BD ⋅cos ∠ADB =802+(80√2)2−2×80×80√2×cos 135∘ =802×5，所以AB =80√5，即A ，B 两点间的距离为80√5. 故答案为：80√5. 【答案】4−2√3 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 余弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】由已知利用三角形的面积公式可求tan B ，可得cos B ，sin B 的值，由余弦定理，基本不等式可求ac ≤8(2−√3)，根据三角形的面积公式即可求解其最大值． 【解答】解：由余弦定理得b 2−a 2−c 2=−2ac cos B ，∴ S =√312(b 2−a 2−c 2)=√312⋅(−2ac cos B)=12ac sin B ， ∴ tan B =−√33，B =5π6，cos B =−√32，sin B =12.又∵ b =2√2，由余弦定理可得：8=a 2+c 2+√3ac ≥(2+√3)ac ， ∴ ac ≤2+√3=8(2−√3)，∴ S △ABC =12ac sin B ≤12×8(2−√3)×12=4−2√3． ∴ 面积S 的最大值为4−2√3． 故答案为：4−2√3． 四、解答题【答案】解：(1)∵ f(x)是定义域为R 的奇函数， ∴ f(0)=0，∴ 1−(k −1)=0， ∴ k =2．(2)函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠1)， ∵ f(1)<0，∴ a −1a <0，∵ a >0，∴ 1>a >0．由于y =a x 在R 上单调递减，y =a −x 在R 上单调递增， 故f(x)在R 上单调递减.不等式f(x 2+tx)+f(4−x)<0， 可化为f(x 2+tx)<f(x −4),∴ x 2+tx >x −4，即x 2+(t −1)x +4>0 恒成立， ∴ Δ=(t −1)2−16<0. 解得−3<t <5．【考点】奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质【解析】（1）根据奇函数的性质可得f(0)＝0，由此求得k 值．（2）由f(x)＝a x −a −x (a >0且a ≠1)，f(1)<0，求得1>a >0，f(x)在R 上单调递减，不等式化为f(x 2+tx)<f(x −4)，即x 2+(t −1)x +4>0 恒成立，由△<0求得t 的取值范围． 【解答】解：(1)∵ f(x)是定义域为R 的奇函数， ∴ f(0)=0，∴ 1−(k −1)=0， ∴ k =2．(2)函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠1)， ∵ f(1)<0，∴ a −1a <0，∵ a >0，∴ 1>a >0．由于y =a x 在R 上单调递减，y =a −x 在R 上单调递增， 故f(x)在R 上单调递减.不等式f(x 2+tx)+f(4−x)<0， 可化为f(x 2+tx)<f(x −4),∴ x 2+tx >x −4，即x 2+(t −1)x +4>0 恒成立， ∴ Δ=(t −1)2−16<0. 解得−3<t <5．【答案】解：(1)由题意，D 为BC 的中点， 且AE →=13AC →.∵ AB →+AC →=2AD →， ∴ AB →=2b →−a →，∴ EB →=AB →−AE →=2b →−a →−13a →=−43a →+2b →.(2)∵ AF →=tAD →=tb →，∴ FB →=AB →−AF →=−a →+(2−t)b →. ∵ EB →=−43a →+2b →， ∴ FB →，EB →共线， ∴−1−43=2−t 2，∴ t =12．【考点】向量的线性运算性质及几何意义 向量的共线定理 【解析】（1）利用向量的线性运算，即可用a →，b →分别表示向量AB →，EB →； （2）若AF →=tAD →，利用FB →，EB →共线，求实数t 的值． 【解答】解：(1)由题意，D 为BC 的中点， 且AE →=13AC →.∵ AB →+AC →=2AD →， ∴ AB →=2b →−a →，∴ EB →=AB →−AE →=2b →−a →−13a →=−43a →+2b →. (2)∵ AF →=tAD →=tb →，∴ FB →=AB →−AF →=−a →+(2−t)b →. ∵ EB →=−43a →+2b →， ∴ FB →，EB →共线， ∴−1−43=2−t 2，∴ t =12． 【答案】解：(1)因为sin α=45， 所以cos 2α=1−2sin 2α =1−3225=−725. (2)因为α，β为锐角，所以0<α+β<π，0<α<π2， 又因为sin α=45，cos (α+β)=−√55， 所以cos α=√1−(45)2=35， sin (α+β)=√1−(−√55)2=2√55， 所以sin β=sin [(α+β)−α]=sin (α+β)cos α−cos (α+β)sin α =2√55×35+√55×45=2√55． 【考点】二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)因为sin α=45， 所以cos 2α=1−2sin 2α =1−3225=−725.(2)因为α，β为锐角，所以0<α+β<π，0<α<π2，又因为sin α=45，cos (α+β)=−√55， 所以cos α=√1−(45)2=35，sin (α+β)=√1−(−√55)2=2√55，所以sin β=sin [(α+β)−α]=sin (α+β)cos α−cos (α+β)sin α =2√55×35+√55×45=2√55． 【答案】解：选①②，则a =c =2，b =2√3， 由余弦定理可得cos ∠ABC =a 2+c 2−b 22ac=−12.又∠ABC ∈(0,π)， 所以∠ABC =2π3，所以A =C =π6.在△BCF 中，由正弦定理CFsin ∠CBF =BFsin C 及CF =√2BF ， 可得sin ∠CBF =√22. 又∠CBF <∠CBA =2π3，所以∠CBF=π4，所以∠ABF=∠AFB=5π12，所以AF=AB=2，所以S△ABF=12×2×2×sinπ6=1.选②③，因为a=2，b=2√3，a2+b2−√3ab=c2，所以c=2.由余弦定理可得cos C=a 2+b2−c22ab=√32.又C∈(0,π)，所以C=π6，所以A=C=π6，∠ABC=π−A−C=2π3.在△BCF中，由正弦定理CFsin∠CBF =BFsin C及CF=√2BF，可得sin∠CBF=√22.又∠CBF<∠CBA=2π3，所以∠CBF=π4，所以∠ABF=∠AFB=5π12，所以AF=AB=2，所以S△ABF=12×2×2×sinπ6=1.选①③，由余弦定理可得cos C=a 2+b2−c22ab=√32.又C∈(0,π)，所以C=π6.因为a=c，所以A=C=π6，所以∠ABC=π−A−C=2π3.在△BCF中，由正弦定理CFsin∠CBF =BFsin C及CF=√2BF，可得sin∠CBF=√22.又∠CBF<∠CBA=2π3，所以∠CBF=π4．所以∠ABF=∠AFB=5π12，所以AF=AB=2，所以S△ABF=12×2×2×sinπ6=1.【考点】余弦定理正弦定理【解析】【解答】解：选①②，则a=c=2，b=2√3，由余弦定理可得cos∠ABC=a2+c2−b22ac=−12.又∠ABC∈(0,π)，所以∠ABC=2π3，所以A=C=π6.在△BCF中，由正弦定理CFsin∠CBF=BFsin C及CF=√2BF，可得sin∠CBF=√22.又∠CBF<∠CBA=2π3，所以∠CBF=π4，所以∠ABF=∠AFB=5π12，所以AF=AB=2，所以S△ABF=12×2×2×sinπ6=1.选②③，因为a=2，b=2√3，a2+b2−√3ab=c2，所以c=2.由余弦定理可得cos C=a2+b2−c22ab=√32.又C∈(0,π)，所以C=π6，所以A=C=π6，∠ABC=π−A−C=2π3.在△BCF中，由正弦定理CFsin∠CBF=BFsin C及CF=√2BF，可得sin∠CBF=√22.又∠CBF<∠CBA=2π3，所以∠CBF=π4，所以∠ABF=∠AFB=5π12，所以AF=AB=2，所以S△ABF=12×2×2×sinπ6=1.选①③，由余弦定理可得cos C=a 2+b2−c22ab=√32.又C∈(0,π)，所以C=π6.因为a=c，所以A=C=π6，所以∠ABC=π−A−C=2π3.在△BCF中，由正弦定理CFsin∠CBF =BFsin C及CF=√2BF，可得sin∠CBF=√22.又∠CBF<∠CBA=2π3，所以∠CBF=π4．所以∠ABF=∠AFB=5π12，所以AF=AB=2，所以S△ABF=12×2×2×sinπ6=1.【答案】解：(1)由图得34T=116π−π3=32π，∴ T=2π，∴ ω=2πT=1．由f(11π6)=0得A sin(11π6+φ)=0，∴11π6+φ=kπ(k∈Z)，∴ φ=kπ−11π6(k∈Z).∵ 0<φ<π2，∴ φ=π6．由f(0)=2得A sinπ6=2，∴ A=4,∴ f(x)=4sin(x+π6),∴ g(x)=4sin[2(x+π3)+π6]=4sin(2x+5π6)．令2kπ−π2≤2x+5π6≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ−2π3≤x≤kπ−π6(k∈Z)．∴ g(x)的单调递增区间为[kπ−2π3,kπ−π6](k∈Z)．(2)y=f(2x+π12)−√2f(2x+π3)=4sin(2x+π4)−4√2sin(2x+π2)=4(sin2x cosπ4+cos2x sinπ4)−4√2cos2x=2√2sin2x−2√2cos2x=4sin(2x−π4)．∵ x∈[−π2,π12]，∴ 2x−π4∈[−5π4,−π12]，∴sin(2x−π4)∈[−1,√22]，∴ y∈[−4,2√2]，即y的值域为[−4,2√2]．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由图得34T=116π−π3=32π，∴ T=2π，∴ ω=2πT=1．由f(11π6)=0得A sin(11π6+φ)=0，∴11π6+φ=kπ(k∈Z)，∴ φ=kπ−11π6(k∈Z).∵ 0<φ<π2，∴ φ=π6．由f(0)=2得A sinπ6=2，∴ A=4,∴ f(x)=4sin(x+π6),∴ g(x)=4sin[2(x+π3)+π6]=4sin(2x+5π6)．令2kπ−π2≤2x+5π6≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ−2π3≤x≤kπ−π6(k∈Z)．∴ g(x)的单调递增区间为[kπ−2π3,kπ−π6](k∈Z)．(2)y=f(2x+π12)−√2f(2x+π3)=4sin(2x+π4)−4√2sin(2x+π2)=4(sin2x cos π4+cos2x sinπ4)−4√2cos2x=2√2sin2x−2√2cos2x =4sin(2x−π4)．∵ x∈[−π2,π12]，∴ 2x−π4∈[−5π4,−π12]，∴sin(2x−π4)∈[−1,√22]，∴ y∈[−4,2√2]，即y的值域为[−4,2√2]．【答案】解：(1)由g(−1)=0知，g(x)的图象过点(−1,0).设函数g(x)的图象与函数f(x)的图象切于点T(x0, y0),由f′(x)=e x得切线方程是y−e x0=e x0(x−x0)，此直线过点(−1,0),故0−e x0=e x0(−1−x0)，解得x0=0，所以a=f′(0)=e0=1.(2)由题意得m<e x−x2，x∈(0,+∞)恒成立．令ℎ(x)=e x−x2，x∈(0,+∞)，则ℎ′(x)=e x−2x，再令n(x)=ℎ′(x)=e x−2x，则n′(x)=e x−2，故当x∈(0,ln2)时，n′(x)<0, n(x)单调递减；当x∈(ln2,+∞)时，n′(x)>0, n(x)单调递增，从而n(x)在(0,+∞)上有最小值n(ln2)=2−2ln2>0，即有ℎ′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，故ℎ(x)>ℎ(0)=e0−02=1，所以m≤1.所以实数m的取值范围是(−∞,1].(3)若a<0，F(x)=f(x)−g(x)=e x−ax−b在(0,+∞)上单调递增，故F(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上总有零点的必要条件是F(0)<0，即b>1. 以下证明当b>1时，F(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上总有零点．①若a<0，由于F(0)=1−b<0, F(−ba)=e−b a−a(−ba)−b=e−b a>0，且F(x)在(0,+∞)上连续，由零点存在定理可知F(x)在(0,−ba)上必有零点．②若a≥0，由(2)知e x>x2+1>x2在x∈(0,+∞)上恒成立．取x0=a+b，则F(x0)=F(a+b)=e a+b−a(a+b)−b>(a+b)2−a2−ab−b=ab+b(b−1)>0.由于F(0)=1−b<0，F(a+b)>0，且F(x)在(0，+∞)上连续，由零点存在定理可知F(x)在(0，a+b)上必有零点．综上，实数b的取值范围是(1,+∞).【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题函数恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由g(−1)=0知，g(x)的图象过点(−1,0).设函数g(x)的图象与函数f(x)的图象切于点T(x0, y0),由f′(x)=e x得切线方程是y−e x0=e x0(x−x0)，此直线过点(−1,0),故0−e x0=e x0(−1−x0)，解得x0=0，所以a=f′(0)=e0=1.(2)由题意得m<e x−x2，x∈(0,+∞)恒成立．令ℎ(x)=e x−x2，x∈(0,+∞)，则ℎ′(x)=e x−2x，再令n(x)=ℎ′(x)=e x−2x，则n′(x)=e x−2，故当x∈(0,ln2)时，n′(x)<0, n(x)单调递减；当x∈(ln2,+∞)时，n′(x)>0, n(x)单调递增，从而n(x)在(0,+∞)上有最小值n(ln2)=2−2ln2>0，即有ℎ′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，故ℎ(x)>ℎ(0)=e0−02=1，所以m≤1.所以实数m的取值范围是(−∞,1].(3)若a<0，F(x)=f(x)−g(x)=e x−ax−b在(0,+∞)上单调递增，故F(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上总有零点的必要条件是F(0)<0，即b>1.以下证明当b>1时，F(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上总有零点．①若a<0，由于F(0)=1−b<0, F(−ba)=e−b a−a(−ba)−b=e−b a>0，且F(x)在(0,+∞)上连续，由零点存在定理可知F(x)在(0,−ba)上必有零点．②若a≥0，由(2)知e x>x2+1>x2在x∈(0,+∞)上恒成立．取x0=a+b，则F(x0)=F(a+b)=e a+b−a(a+b)−b>(a+b)2−a2−ab−b=ab+b(b−1)>0.由于F(0)=1−b<0，F(a+b)>0，且F(x)在(0，+∞)上连续，由零点存在定理可知F(x)在(0，a+b)上必有零点．综上，实数b的取值范围是(1,+∞).。
江苏省泰州中学2021-2022学度度第一学学期高三数学摸底考试(含详细解析)20220831
江苏省泰州中学2021-2022学度度第一学学期高三数学摸底考试（含详细解析）20220831高三数学考试试题2021.8.31一、填空题(请将答案填写在答题纸相应的位置)1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B=____▲___ ___．2．已知i是虚数单位，若=b+i(a,b)，则ab的值为____▲______．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，1 0.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为____▲______．4．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）____▲_____f（﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为____▲______．6．如右图，该程序运行后输出的结果为____▲______．7．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范畴是（a，+∞），则实数a的值是____▲______．8．函数f(x)=2sin()，x∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为____▲______．9．在集合{x|x=}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cosx=的概率是____▲______．10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是____▲______．BADCFE11．已知点A （1，1）和点B （﹣1，﹣3）在曲线C ：y=ax3+bx2+d （a ，b ，d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则a3+b2+d=____▲______．12．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为____▲______． 13．已知函数f （x ）=，当t ∈[0，1]时，f （f（t ））∈[0，1]，则实数t 的取值范畴是____▲______．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范畴是____▲______．二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a=2，求△ABC 面积S 的最大值. 16．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．17.有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距()d m 与车速(/)v km h 和车长()l m 的关系满足：ll kv d 212+=（k 为正的常数），假定车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长.写出车距d 关于车速v 的函数关系式;应规定如何样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？18．给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,假如线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的方程.19.已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩ (1)若0＜n a ≤6，求证：0＜1n a +≤6;(2)若a ，k ∈N*，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ； 20．已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =． （1）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m的取值范畴；（2）当 1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数t 的取值范畴； （3）求证：()*1ln[(1)]2n i i i n n N =⋅+>-∈∑．江苏省泰州中学2021届高三数学摸底考试教师讲评参考 一、填空题1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A ∩B= {2} ．考点： 交集及其运算．专题： 阅读型． 分析： 直截了当运用交集概念求得结果． 解答： 解：由集合A ={1，2，3}，B ={2，4，6}，因此A ∩B ={1，2，3}∩{2，4，6}={2}．故答案为{2}． 点评： 本题考查了交集及其运算，是会考题型，是基础题．2．已知i 是虚数单位，若=b+i(a,b )，则ab 的值为 ﹣3．考点： 复数代数形式的乘除运算．xyoABCDP专题：运算题．分析：把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a，b的值，则答案可求．解答：解：由，得．因此b=3，a=﹣1．则ab=（﹣1）×3=﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，1 0.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先运算数据的平均数后，再依照方差的公式运算．解答：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．点评：本题考查方差的定义．一样地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．4．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（﹣a）＜f（﹣b）（用“＞”或“＜”填空）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：依照奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x）求解．解答：解：依照奇函数的性质，f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b）；∵f（a）＞f（b），∴﹣f（a）＜﹣f（b），即f（﹣a）＜f（﹣b）．故答案是＜点评：本题考查函数的奇偶性．5．在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．专题：运算题；平面向量及应用．分析：依照向量、的坐标，得到=（﹣3，3），设=（m，n）可得•=﹣3m+3n=0．而=（m﹣3，n+1）=λ，得到m﹣3=0且n+1=2λ，两式联解即可得到实数λ的值．解答：解：∵=（3，﹣1），=（0，2）∴=﹣=（﹣3，3）设=（m，n），可得•=﹣3m+3n=0…①又∵=（m﹣3，n+1），=λ，∴m﹣3=0且n+1=2λ…②将①②联解，可得m=﹣3，n=﹣3，λ=2故答案为：2点评：本题给出向量、的坐标，再•=0且=λ的情形下求实数λ的值．着重考查了向量的平行与垂直、平面向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．6．如图，该程序运行后输出的结果为16．考点：循环结构．专题：阅读型．分析：依照流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条件即跳出循环体，求出现在的b即可．解答：解：第一次运行得：b=2，a=2，满足a≤3，则连续运行第二次运行得：b=4，a=3，满足a≤3，则连续运行第三次运行得：b=16，a=2，不满足a≤3，则停止运行输出b=16故答案为：16点评：本题要紧考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判定后循环，直到型循环是先循环后判定，属于基础题．7．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范畴是（a，+∞），则实数a的值是1．考点：一元二次不等式的解法．专题：运算题．分析：由题意知“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，由二次函数的性质得△＜0，求出m的范畴，结合题意求出a的值．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故a的值是1．故答案为：1．点评：本题考查了二次函数恒成立问题，即依照二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范畴．8．函数f(x)=2sin()，x∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为．考点：正弦函数的单调性．专题：运算题；三角函数的图像与性质．分析：由x∈[﹣π，0]⇒z=x﹣∈[﹣，﹣]，利用正弦函数y=s inz在[﹣，﹣]上单调递增，即可求得答案．解答：解：∵x∈[﹣π，0]∴x﹣∈[﹣，﹣]，令z=x﹣，则z∈[﹣，﹣]，∵正弦函数y=s inz在[﹣，﹣]上单调递增，∴由﹣≤x﹣≤﹣得：﹣≤x≤0．∴函数f（x）=2s in（x﹣）在x∈[﹣π，0]的单调递增区间为[﹣，0]．故答案为[﹣，0]．点评：本题考查正弦函数的单调性，考查整体代入思想的应用，属于中档题．9．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是．考点：等可能事件的概率；空集的定义、性质及运算．专题：运算题．分析：本题考查的知识点是古典概型，由集合中共有10个元素，然后我们分析各个元素，求出满足条件的差不多事件个数，代入古典概型公式，即可得到结论．解答：解：∵集合中共有10个元素而当n=2和n=10时，故满足条件的差不多事件个数为2故所取元素恰好满足方程的概率P==故答案为：点评：古典概型要求所有结果显现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果显现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个差不多事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：运算满足条件的差不多事件个数，及差不多事件的总个数，然后代入古典概型运算公式进行求解．10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x2﹣2y2=1．考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：运算题．分析：欲求双曲线方程，只需求出双曲线中的a，b的值即可，依照双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，求出椭圆中的c值，也即双曲线中的c值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，因此可得双曲线中离心率，据此求出a值，再利用a，b，c之间的关系式，就可得到双曲线的方程．解答：解：椭圆+y2=1中c=1∵中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点∴双曲线中c=1，∵椭圆+y2=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，∴双曲线中a=，b2=c2﹣a2=，b=∴双曲线的方程为2x2﹣2y2=1故答案为2x2﹣2y2=1．点评：本题要紧考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用．11．已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+ bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=7．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f′（1）=f′（﹣1），再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可．解答：解：设f（x）═ax3+bx2+d，∵f′（x）=3ax2+2bx，∴f′（1）=3a+2b，f′（﹣1）=3a﹣2b．依照题意得3a+2b=3a﹣2b，∴b=0．又点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C上，∴解得：a3+b2+d=7．故答案为：7．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．12．给出下列命题：（1）若一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）．考点：命题的真假判定与应用．专题：证明题．分析：依照面面垂直的判定定理，可判定（1）；依照平面与平面平行的判定定理，可判定（2）；依照空间直线夹角的定义，可判定（3），依照面面垂直的性质定理及反证法，可判定（4）解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故（1）正确；假如一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故（2）错误；依照空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即（3）正确；依照面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故（4）正确故真命题有（1）、（3）、（4）三个故答案为：（1）、（3）、（4）点评：本题以命题的真假判定为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练把握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特点是解答的关键．13．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范畴是．考点：函数与方程的综合运用．专题：运算题；不等式的解法及应用．分析：通过t的范畴，求出f（t）的表达式，判定f（t）的范畴，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范畴即可．解答：解：因为t∈[0，1]，因此f（t）=3t∈[1，3]，又函数，因此f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，因此解得：，又t∈[0，1]，因此实数t的取值范畴．故答案为：．点评：本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查运算能力．14．已知函数f（x）=||x﹣1|﹣1|，若关于x的方程f（x）=m （m∈R）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3 x4的取值范畴是（﹣3，0）．考点：根的存在性及根的个数判定．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）=||x﹣1|﹣1|的图象，可得方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根是地，m的取值范畴，进而求出方程的四个根，进而依照m的范畴和二次函数的图象和性质，可得x1x2x3x4的取值范畴．解答：解：函数f（x）=||x﹣1|﹣1|的图象如下图所示：BADCFE（第16题）由图可知，若f （x ）=m 的四个互不相等的实数根，则m ∈（0，1） 且x 1，x 2，x 3，x 4分别为：x 1=m ，x 2=2﹣m ，x 3=m +2，x 4=﹣m ，∴x 1x 2x 3x 4=（m 2）2﹣4•m 2=（m 2﹣2）2﹣4∈（﹣3，0） 故答案为：（﹣3，0） 点评： 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判定，其中画出函数的图象，引入数形结合思想是解答本题的关键二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a=2，求△ABC 面积S 的最大值.15.解：（1）由已知得23sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ⇒=⋅-+ ……4分又在锐角△ABC 中，因此A=60° ……7分（2）因为a=2，A=60°因此bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ ……8分而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b ……10分又344343sin 21=⨯≤==bc A bc S ……14分因此△ABC 面积S 的最大值等于316．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面A BCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．16．（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE=AB ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面ABE ，AD ⊥AE ．∵AD ∥BC ，则BC ⊥AE ． ………………………3分又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AE ．∵BC ∩BF=B ，∴AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥BE ． ……………………… 7分（2）设AC ∩BD=G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥CE ．而BC=BE ，∴F 是EC 中点． …………………10分 在△ACE 中，FG ∥AE ，∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE ∥平面BFD ． ………………………14分 17.（本题满分14分）有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距()d m 与车速(/)v km h 和车长()l m 的关系满足：ll kv d 212+=（k 为正的常数），假定车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长.写出车距d 关于车速v 的函数关系式;应规定如何样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？ 17．⑴因为当60v =时，l d 66.2=，因此0006.06016.2602166.222==-=l l l k ，∴20.00242dv . …………6分G B A DCFE⑵设每小时通过的车辆为Q ，则10004=+vQ d ．即Q21000100060.002460.0024v v v v==++∴1000125000.243Q =≤，当且仅当60.0024v v =，即50v =时，Q 取最大值125003 (13)分答：当()50v =km /h 时，大桥每小时通过的车辆最多．…………14分 18．（本小题满分16分）给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,假如线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一 个等差数列,求直线l 的方程.18．解：圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2BC =,圆心为()1,0P ,设l 的方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y ，有121244y y k y y +=⎧⎨=-⎩,则222121212()()416(1)y y y y y y k -=+-=+.故222222212121212||()()()()4y y AD y y x x y y -=-+-=-+ 因此2||4(1)AD k =+. …… 8分据等差，2BC AB CD AD BC =+=-,因此36AD BC ==，即()2416k +=,22k =±，………14分 即：l 方程为220x y --=或220x y +-=. ………16分19.(本小题满分16分)已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩(1)若0＜na ≤6，求证：0＜1n a +≤6;(2)若a ，k ∈N ﹡，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ； 19．（1）当]3,0(∈n a 时，则∈=+n n a a 21]6,0(，当]6,3(∈n a 时，则]3,0(31∈-=+n n a a ,xyoAB CDP故]6,0(1∈+n a ，因此当60≤<n a 时，总有601≤<+n a ． …………8分 （2）①当1=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的∈=t t k ,3N*． 同理可得，当2=a 或4时，满足题意的∈=t t k ,3N*． 当3=a 或6时，满足题意的∈=t t k ,2N*．②当5=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的k 不存在． ③当7≥a 时，由（1）知，满足题意的k 不存在．综上得：当421，，a =时，满足题意的∈=t t k ,3N*；当63，a =时，满足题意的∈=t t k ,2N*．…………16分 20．（本小题满分16分）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =． （1）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m的取值范畴；（2）当 1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数t 的取值范畴； （3）求证：()*1ln[(1)]2n i i i n n N =⋅+>-∈∑． 解：（1）由题意()1ln x k f x x +==，0x >,因此()21ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==- ⎪⎝⎭ …………………2分当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．因此()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()f x 在1x =处取得极大值．因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0m >）上存在极值， 因此01113m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩，得213m <<．即实数m 的取值范畴是213⎛⎫ ⎪⎝⎭，．……………4分（2）由()1tf x x ≥+得()()11ln x x t x ++≤，令()()()11ln x x g x x ++=，则()2ln x x g x x -'=． ……………………………………………………6分 令()ln h x x x=-，则()111=xh x x x -'=-，因为1,x ≥因此()0h x '≥,故()h x 在[)1+∞，上单调递增．……………………8分因此()()110h x h ≥=>,从而()0g x '>()g x 在[)1+∞，上单调递增, ()()12g x g ≥=因此实数t 的取值范畴是(],2-∞． …………………………………………10分 （3）由(2) 知()21f x x ≥+恒成立, 即1ln 2122ln 11111x x x xx x x x +-≥⇔≥=->-+++ ……………………12分令()1,x n n =+则()()2ln[1]11n n n n +>-+，……………………14分 因此()2ln 12112⨯>-⨯， ()2ln 23123⨯>-⨯，……,()()2ln 111n n n n +>-+．将以上n 个式子相加得：()1111ln[(i 1)]212231n i i n n n =⎡⎤+>-++⋅⋅⋅+⎢⎥⨯⨯+⎣⎦∑故()*1ln[(i 1)]2n i i n n N =+>-∈∑． (16)分江苏省泰州中学2021-2021学年度第一学期高三数学考试试题参考答案 2021.8.31一、填空题1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A ∩B= {2} ． 2．已知i 是虚数单位，若=b+i(a,b)，则ab 的值为 ﹣3．3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为 0.032 ．4．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （a ）＞f （b ），则f （﹣a ） ＜ f （﹣b ）（用“＞”或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为 2 ．6．如图，该程序运行后输出的结果为 16 ． 7．由命题“存在x ∈R ，使x2+2x+m ≤0”是假命题，求得m 的取值范畴是（a ，+∞），则实数a 的值是 1 ．8．函数f(x)=2sin()，x ∈[﹣π，0]的单调递减区间单间为．9．在集合{x|x=}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cosx=的概率是．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是 2x2﹣2y2=1 ．11．已知点A （1，1）和点B （﹣1，﹣3）在曲线C ：y=ax3+bx2+d （a ，b ，d 为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则a3+b2+d= 7 ．12．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为 （1）、（3）、（4） ． 13．已知函数f （x ）=，当t ∈[0，1]时，f （f（t ））∈[0，1]，则实数t 取值范畴是．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范畴是 （﹣3，0） ．二、解答题15. （本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ； （2）若a=2，求△ABC 面积S 的最大值.解：（1）由已知得23sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ⇒=⋅-+ ……4分又在锐角△ABC 中，因此A=60° ……7分（2）因为a=2，A=60°因此bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ ……8分而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b ……10分又344343sin 21=⨯≤==bc A bc S ，因此△ABC 面积S 的最大值等于3。