直梁的弯曲弯矩M
梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图
2、计算1-1 截面旳内力 FA
3、计算2-2 截面旳内力
M2
F=8kN
FS1
M1 FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
q=12kN/m
FS2
FB
FS2 q 1.5 FB 11kN
M2
FB
1.5 q 1.5 1.5 2
30kN m
2
1
例题
求下图所示简支梁1-1与2-2截面旳剪力和弯矩。
F=8kN
q=12kN/m
A 2m
FA 1.5m
1 1 1.5m
2
B
2
1.5m
3m
FB
解： 1、求支反力
3 M B 0 FA 6 F 4.5 q 3 2 0 FA 15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
梁任意横截面上旳剪力，等于作用在该截面左边 （或右边）梁上全部横向外力旳代数和。截面左 边向上旳外力(右边向下旳外力)使截面产生正旳 剪力，反之相反。【左上右下为正，反之为负】 梁任意横截面上旳弯矩，等于作用在该截面左 边（或右边）全部外力（涉及外力偶）对该截面 形心之矩旳代数和。截面左边（或右边）向上旳 外力使截面产生正弯矩，反之相反。【左顺右逆 为正，反之为负】
一、梁平面弯曲旳概念
1、平面弯曲旳概念
弯曲变形：作用于杆件上旳外力垂直于杆件旳轴线，使 杆旳轴线由直线变为曲线。
平面弯曲：梁旳外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁旳轴 线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。
q F
Me 纵 向
对称面
B
A
x
y FAy
FBy
以弯曲变形为主旳直杆称为直梁，简称梁。 平面弯曲是弯曲变形旳一种特殊形式。
土木工程力学基础 直梁弯曲
3）外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁。
。
二、梁的内力
1、外力特征及变形特点
外力特征：垂直杆轴方向作用外力，或杆轴平面内作用外力偶； 变形特点：杆轴由直变弯。
平面弯曲—荷载与反力均作用在梁的纵向对称平面内， 梁轴线在该平面内弯成一条曲线。
F
q
A
Me 纵 向
对称面
B x
y FAy
FBy
2、剪力和弯矩
突变，突变值 不变 为F
有尖点
有突变，突变值 为M
剪力突变的截 弯矩突变的某一
面
侧
2）内力FQ 、M 的变化规律,归纳如下：
q(x) 0 q C 0 q C 0 F
MO
荷载
水平直线 Q-图 + or - 上斜直线 下斜直线
F
(剪力图 无突变)
斜直线
M-图 or
下凸
上凸 F处有尖角
MOo
抛物线 抛物线
各点的正应力。
A l2
Fl
F B
C l2
h6 h2
a
b
h
c
b
a
M B ya IZ
1 FL h
2 bh3
3
12
1.65MPa
b 0
c
M B yc IZ
1 FL h
2 bh3
2
12
MB
1 2
FL
2.47MPa （压）
IZ
bh3 12
四、梁的正应力及其强度条件
4、正应力强度条件
要使梁有足够的强度，必须使梁内的最大的工作应力不超 过材料的许用应力。即
《土木工程力学基础》
直梁弯曲
本单元学习目标
直梁·弯曲变形
在上一章推导梁的弯曲正应力公式时，得到了在纯弯曲情况下梁的轴线的曲率表达式
（6.6），即
1= M ρ EIz 纯弯曲时，上式中的弯矩 M 为常数，若 EIz 不变，则ρ 为常数，即挠曲线是半径为ρ 的 圆弧线。 而横力弯曲时，由于剪力对弯曲变形的影响很小，通常忽略不计，因此上式也可用于横 力弯曲时的情形。此时，弯矩 M 和曲率半径ρ 都不再是常量，而是截面位置 x 的函数，根据
θ
(
x
)
=
dw dx
=
∫
M (x) EI
dx
+
C
（7.5）
再积分一次，可得挠曲线方程
w(
x)
=
∫
∫
M (x) EI
dxdx
+
Cx
+
D
（7.6）
·149·
材料力学
式中，C 和 D 为积分常数，其值可由梁横截面的已知边界
位移条件和光滑连续条件来确定。
以上应用二次积分求出挠曲线方程的方法称为二次
积分法，它是计算梁变形的最基本方法。
略去不计。 （2）转角：横截面绕中性轴所转过的角位移称为转角，通常用θ 表示。不同横截面的转
角不同，因此转角θ 也是截面位置 x 的函数，即
θ =θ (x)
（7.1b）
式（7.1b）称为梁的转角方程。转角的单位是弧度 rad 或度（°）。
7.1.3 挠度和转角的关系
挠度 w 和转角θ 都是截面位置 x 的函数，由图 7.1 可知它们之间存在以下关系
在外力作用下，梁变形后各横截面的位置将发生改变，梁的横截面将产生线位移和角位 移，故工程上常用这两个量来反映弯曲变形。
（1）挠度：横截面形心在垂直于梁轴线方向的线位移称为挠度，通常用 w（或 y、f）表 示。不同横截面的挠度不同，因此挠度 w 是截面位置 x 的函数，即
梁的集中荷载处弯矩计算公式!
梁的集中荷载处弯矩计算公式!
首先，我们需要确定梁的几何尺寸，这包括梁的长度、截面形状和截
面尺寸。
梁的长度可以以米为单位表示，截面形状可以是矩形、圆形或其
他各种形状，截面尺寸可以是宽度和高度等。
接下来，我们需要确定荷载的大小和施加点的位置。
集中荷载是指在
梁上的一个点上作用的力，其大小可以以牛顿（N）为单位表示，施加点
的位置可以以米为单位表示。
荷载可以为正或负，具体取决于荷载的方向
和梁的正方向。
弯矩（M）=荷载（F）×施加点到截面重心的距离（d）
其中，弯矩的单位是牛顿米（Nm），荷载的单位是牛顿（N），距离
的单位是米（m）。
施加点到截面重心的距离是从施加点到截面重心的垂直距离，也被称
为力臂。
这个距离可以通过几何关系或使用截面形状和尺寸来计算。
对于
一个简单的矩形截面，施加点到截面重心的距离等于截面高度的一半。
在实际计算中，弯矩的正负表示了弯矩的方向。
当弯矩为正时，表示
顺时针弯曲；当弯矩为负时，表示逆时针弯曲。
需要注意的是，梁的集中荷载处弯矩的计算公式适用于简单的加载和
边界条件。
对于复杂的情况，例如悬臂梁、连续梁或梁上存在其他荷载的
情况，计算方法可能会有所不同。
在实际工程设计中，需要根据具体情况
综合考虑梁的受力特点、边界条件和荷载情况来确定最终的弯矩计算方法。
《汽车机械基础》第六章直梁的弯曲
灌南中专教师授课教案2018 /2019 学年第一学期课程汽车机械基础教学内容旧知复习：1.圆轴扭转的概念。
2.圆轴扭转的外力偶矩、扭矩的计算方法。
3.圆轴扭转的强度计算方法。
讲授新课：第六章材料力学基础第5节直梁的弯曲一、平面弯曲的概念1. 平面弯曲在工程实际中，把发生弯曲变形为主的构件称为梁，如跨江大桥两桥墩之间的横梁、汽车前梁等。
梁在自重和载荷的作用下会产生平面弯曲变形。
梁弯曲变形的受力特点：外力垂直于轴线或在轴线的平面内受到力偶的作用。
变形的特点：轴线在纵向对称平面内由直线弯曲成曲线。
2. 梁的基本类型根据支座对梁的约束，将梁简化为三种基本形式。
（1）简支梁梁的两端均用铰链支座约束，一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，如图6-26a所示。
（2）外伸梁简支梁的一端（或两端）伸出支座以外，如图6-26b所示。
（3）悬臂梁梁的一端为固定支座，另一端为自由端，如图6-26c所示。
3.载荷的简化作用在梁上的载荷可简化为以下三种形式。
（1）集中力集中力是将作用于梁上方的长度很短的力简化为作用于一点的力，单位为N或kN。
（2）集中力偶矩集中力偶矩是将作用于梁上方的长度很短的力偶矩简化为作用于某一截面的集中力偶矩，单位为N·m或kN·m。
（3）分布载荷分布载荷是指沿梁的长度或部分长度连续均匀分布的载荷，称为分布载荷。
单位长度上的力用q表示，称集度载荷，单位为N/m或kN/m。
二、梁弯曲变形的内力1.用截面法求梁的内力为了计算梁的强度，必须研究梁上各截面上的内力，分析内力和计算内力的方法仍旧采用截面法。
例6-8剪力和弯矩的大小、方向或转向的确定原则如下：（1）截面上剪力的大小等于此截面以左（或右）所有外力的代数和。
截面左侧的外力，向上取正号，向下取负号。
截面右侧的外力与此相反。
（2）截面上弯矩的大小等于此截面以左（或右）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。
截面左侧的外力对截面形心的力矩顺时针转向为正，反之为负。
简支梁集中力弯矩计算公式
简支梁集中力弯矩计算公式
简支梁集中力弯矩计算公式是用来计算在简支梁上作用的集中力所产生的弯矩
值的公式。
弯矩是指物体在外力作用下发生弯曲时，单位截面上由于拉伸或压缩产生的力矩。
在简支梁上作用的集中力产生的弯矩计算公式为：
M = F * a
其中，M表示弯矩，F表示作用在简支梁上的集中力的数值，a表示集中力与
梁端点的距离。
这个公式适用于简支梁上的集中力作用点与梁端点之间的距离较小，即F作用在梁的近端或远端。
需要注意的是，在计算弯矩时，单位制要保持一致，例如力的单位为牛顿(N)，长度的单位为米(m)，则弯矩的单位为牛顿·米(N·m)。
通过使用简支梁集中力弯矩计算公式，我们可以快速准确地计算出集中力作用
在简支梁上产生的弯矩值，这对于工程设计和结构分析非常重要。
弯矩值的计算可以帮助我们评估梁的强度和稳定性，并确保结构的安全可靠性。
需要提醒的是，除了集中力产生的弯矩，还有均匀分布载荷、集中力矩等不同
情况下的弯矩计算公式。
在实际应用中，需要根据具体的情况选择正确的公式进行计算，并考虑到梁的几何形状和边界条件等因素，以得到更精确的结果。
总结而言，简支梁集中力弯矩计算公式为M = F * a，它是一种重要的工具，用于计算简支梁上作用的集中力所产生的弯矩值。
了解和应用这个公式可以帮助我们更好地理解和分析结构的力学性能。
梁的弯曲分析
连续梁的超静定结构问题
连续梁的刚度分析—三弯方程
L1
01
2
3
Ln n-2 n-1
n
n+1
Mn-1 n-1
Mn
Mn
n
Mn+1 n+1
连续梁的刚度分析
在对连续梁做出了结构上的分解简化以后，利用应变的几何 变化，以及莫尔积分和力法计算后，可以得到连续梁的三湾 方程：连续梁三弯方程的个数等于其超静定的次数。
变形几何关系 在纯弯曲梁中取一微段dx。变形前互相平行相 距dx的两个横截面变形后会形成一个角度为θ的夹角，OO代 表中性层，其弯曲后曲率半径为ρ，则设距离中性层y的纤维 长度bb变为b1b1
则线段的应变为：
物理与静力学关系 当应力不超过比例极限时，由胡克定律可 知，距中性轴为y处的正应力为：
如图所示悬臂梁抗弯刚度为EI，在自由端受到一集中载荷作用，
试求梁的剪力，弯矩方程，挠曲线方程和斜度，并确定其最
大挠度和最大转角。
解：
F
L
R
固定端支反力R=F
x
根据截面法易求出剪力和弯矩方程分别为：
Fs=F；M=F*x；最大M=Fl；
挠曲线的近似微分方程为：
积分后得到：
梁弯曲变形—挠度和斜度的计算—例 子
当在固定端即x=L时有，斜度i=0，挠度w=0；将此条件带入 到上述两个方程中得到： C=-(FL^2)/2,D=(FL^3)/3 将C和D两个带入挠度和斜度方程得到：
式中 为最大抗弯应力，等于最大弯矩和梁高h/2乘积除以 二次矩I的值。
梁的优化设计—提高刚度
梁的优化设计—提高刚度
等强梁的概念
T
T
弯曲 在包含杆件轴线的纵向平面内，作用大小相等、方向相
力学基础-(八) 梁的弯曲
ql FQ (l ) 2
用两点式画出剪力图的斜直线。
x
4. 画弯矩图
M(0) 0
ql 2 M(l / 2)
8
M(l) 0
用三点坐标描出弯矩图的二次曲线。
13
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
2.画剪力图和弯矩图的简便方法
（1）集中力作用处
剪力图有突变，突变幅值等于力 的大小，方向与力同向。
x
（4）集中力偶作用处 剪力图不变化。
弯矩图有突变，突变幅值等于力偶矩的大小，方向顺时针向上突变，反之 向下。
14
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
应用举例
例 图示跨长为l的简支梁AB，中点C 作用集中力F，试用简便画法画
梁剪力图和弯矩图。
F
A
l/2 FA=F/ FQ 2 F/
C l/2
B FB=F/
MA
A FA
x
l
FQ
F
F B
x
M
Fl
x
从上例可以得出
结论1：无荷载作用的梁段上 剪力图为常量; 弯矩图为斜直线。
确定直线两点的坐标，A点的临近截 面A+的弯矩值
MA+=-Fl
B点的临近截面B -的弯矩值 MB-=-F·=0
12
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
应用举例
例 图示的简支梁AB，作用均布荷载q，建立剪力、弯矩方程，画梁的
MA
A FA
x
l
FQ
F
M
-Fl
F
B
xC
FA
x
FQ
ql/
2
xM
l/2
ql/
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P 8kN
1m RA 1.5m
M1 Q1
（2）求内力
M1 = RA1.5–80.5 ； M1=6.5kN.m
P 8kN q 2kN m
M2
A
1m RA
1m
1m
Q2
3m
直梁的弯曲
M2
RA
3
P2
q 2
12
M 2 4KN m
q 2kN m
M2
B
Q2
1m RB
亦可取2-2截面的右侧研究
M2 RB 1 210.5 4KN m
直梁的弯曲
P
镗刀杆
直梁的弯曲
P
直梁的弯曲
火车轮轴
直梁的弯曲
把以弯曲为主要变形的杆称为
直梁的弯曲
梁 (Beam)
工程中的梁横截面一般都是对称的。
P
P
P
纵向对称面
直梁的弯曲
平面弯曲(Plane bending)
•具有纵向对称面
•外力都作用在此面内（受力特点）
挠曲线
•弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线（变形特点）
桥板
直梁的弯曲
主要内容
直梁的弯曲
3.1 梁的弯曲实例与概念 3.2 梁横截面上的内力—剪力与弯矩 3.3 弯矩方程与弯矩图 3.4 弯曲时横截面上的正应力及其分布规律 3.5 梁弯曲时的强度条件 3.6 梁截面合理形状的选择 3.7 梁的弯曲变形
3.1 梁的弯曲实例与概念
墙
直梁的弯曲
楼板
起重机大梁
Q2 RA P
M 2 RA x2 Px2 a
直梁的弯曲
剪力Q(Shearing force)
内 --截面一侧所有竖（切）向分力的代数和; 力 弯矩M(Bending moment)
--截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。
弯矩符号规定：
直梁的弯曲
弯矩M: 使梁弯曲呈凹形的弯矩为正，反之
梁的类型
简支梁
( Simply Supported Beam )
外伸梁
(Overhanging Beam)
悬臂梁
(Cantilever Beam)
直梁的弯曲
主要内容
直梁的弯曲
3.1 梁的弯曲实例与概念 3.2 梁横截面上的内力—剪力与弯矩 3.3 弯矩方程与弯矩图 3.4 弯曲时横截面上的正应力及其分布规律 3.5 梁弯曲时的强度条件 3.6 梁截面合理形状的选择 3.7 梁的弯曲变形
xm A nl
Q M
直梁的弯曲
P
力平衡：Q - P = 0
B
力矩平衡：M + P(l-x) = 0
P 弯矩：M = - P(l-x)
B
（问题：按左半边梁，能算出M吗？）
A QM
直梁的弯曲
例 一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面） 上的弯矩。
M1 2qa2 q
M2 2qa2
A
B
C
RA
弯矩—截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
如以右侧梁作为研究对象，则：
q Mc
C Fs
MC RB 2a 2qa a M 2
2qa2
直梁的弯曲
M2 2qa2
B
a
RB
直梁的弯曲 练习题：简支梁，求1-1，2-2截面上的弯矩
P 8kN q 2kN m
1
2
A
B
1m 1m
RA 1.5m 1
3m
2m
RB
2
直梁的弯曲
解答练习题：简支梁，求1-1，2-2截面上的弯矩
P 8kN q 2kN m
1
2
A
B
1m 1m
RA 1.5m 1
3m
2m
RB
2
（1）求支反力RA、RB
M A 0,
RB 4 2 2381 0
Fy 0 RB 5kN
则为负。
+M
+M
-M -M
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相 同的正负号。
直梁的弯曲
弯矩—截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
弯矩 : M1 RAx1
M 2 RA x2 Px2 a
弯矩等于该横截面一侧所有外力对该截面形心取力矩的代数和。 梁上向上的外力均产生正弯矩；而向下的外力均产生负弯矩。 截面左侧顺时针转向的力偶或截面右侧逆时针转向的力偶取正 值，反之取负值。
a
4a
a
RB
解： 1、根据平衡条件求支座反力
MA 0 MB 0
RB 3qa RA qa
2、求C截面（跨中截面）上的弯矩
M1 2qa2 q
Mc
A
C Fs
RA
a
直梁的弯曲
MC RA 2a 2qa a M1 2qa2
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
直梁的弯曲
3.2 梁横截面上的内力—剪力和弯矩
截面法(Method of Sections)：用截面假想将构 件分成两部分，以显示并确定内力的方法。
mA F 0
RB l P a 0
即RB
P a l
l a RA P l
直梁的弯曲
剪力：Q1弯矩R（A 内力偶矩）： M1 弯RA矩x1（内力偶矩）：
第三章 直梁的弯曲
理工组：郭惠霞
2012年12月15日
直梁的弯曲
回顾:
直杆的拉伸与压缩 ( Tension and Compression)
F
F
受力：F作用在横截面上，作用线与杆轴线重合。 变形：沿轴线方向的伸长或缩短。
弯曲（Bend） 剪切（Shear） 扭转 ( Torsion )