第七章梁的弯曲变形案例
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弯曲变形例题
(ql 2 ) l ql3 B3 , 3EI 3EI ql 4 yC 3 16EI
w
B2
yC 2
(ql) l 2 ql3 , 16EI 16EI (ql)l 3 48EI
yC 2
弯曲变形/用叠加法求梁的变形
ql3 ql3 ql3 11ql3 B B1 B 2 B3 24EI 16EI 3EI 48EI
3Pa 3 2 EI1
7 Pa3 Pa3 3EI 2 3EI1
弯曲变形/用变形比较法解静不定梁 例7-8 图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的抗拉 刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。 解： 1、选择基本静定梁。 D 2、列出变形协调条件。
l
A l/2 B l/2
积分二次：
1 4 EIy qx Cx D 24
（2）
1 3 由边界条件： x L, 0 代入（1）得： C qL 6 1 4 x L, y 0 代入（2）得： D qL 8
代入（1）（2）得：
弯曲变形/用积分法求梁的变形 3、确定常数C、D.
1 1 3 1 3 ( qx qL ) EI 6 6
1.当梁上有复杂载荷时，应该分段列出弯矩方程，而对每一段 进行积分时，必然要有两个积分常数； 2.将所有的转角方程和挠曲线方程全部列出以后，再来确定积 分常数，并应了解到每段方程只适用于一定的区间之内; 3.积分常数的确定要利用边界条件和连续条件。连续条件则在 每一分段处有两个：一个是挠度连续，另一个是转角连续；
Fab ( L a ) 6 LEI
x L 代入得：
B 2
xL
弯曲变形/用积分法求梁的变形 5、求 ymax 。
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
七弯曲变形ppt课件
x
挠曲线方程： w f (x)
转角方程： tan f ( x) d w
dx
四、画绕曲线近似外形的方法 1、思索支座的约束特点
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w A= 0,wB = 0
2、思索弯矩的变化
弯矩为正，下凸
A
弯矩为负，上凸
弯矩为O的线段，直线 M 弯矩为O的点，拐点
P
P
B
x
例：
q P
A a Ba
•边境条件 x 1 0 ,w A 0 ;x 2 a ,w B 0 ;
•延续条件 x 1 x 2 a ,w 1 w 2 w B , 1 2 B ;
C
P
a
a
•边境条件 x 1 0 ,w A 0 , A 0 ;
•延续条件 x 1 x 2 a ,w 1 w 2 w C , 1 2 C ;
平面曲线(挠曲线) w f (x)
上恣意点的曲率公式。
对于小挠度情形有
dw
2
d x
1
d2w M (x)
dx2
EI
d2w dx2
M (x) EI
d 2w 0 dx 2
d2w M (x) dx2 EI ——挠曲线的近似微分方程
d 2w dx 2 0
d2w dx2
M (x) EI
d2w dx2
w ma xw 1xx0
Pb(l2b2)3 93EzlI
讨论：
〔1〕
AC段：
EEIww I11E PlbIx11Pl bx212C1
EI1wPl bx613C1x1D1
CB段： Ew I2 Pl b x2P(x2a)
Ew 2 IE2IP l x 2 b 2 2P(x2 2a)2C 2
第七章 弯曲——弯曲位移
EIy′′ = − M ( x )
EIy = − ∫ [ ∫ M ( x)dx]dx + Cx +D
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件 即位移边界条件确定。 弯矩方程分n段时，积分常数个数为 2n 个 由边界条件确定的方程需要2n个 方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大
EIy ′ = EI θ = − ∫ M ( x ) dx +C
第七章 弯曲--弯曲位移部分
(Displacements of Bending Beam)
§7-7 梁的位移─挠度及转角
在工程中，对某些受弯构件，除要 求具有足够的强度外，还要求变形不能 过大，即要求构件有足够的刚度，以保 证正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大， 就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
Fb ( l 2 − b 2 ) Fb 3 F ( x − a )3 y2 = − x− x + 6 EIl 6 EIl 6 EI
受任意荷载的简支梁，只 要挠曲线上没有拐点，均 可近似地将梁中点的挠度 作为最大挠度。
F
a A x C D b B
x
y
l
例4：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁
的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和ymax。
挠曲线近似微分方程
1、挠曲线方程(deflection equation)
曲线 y = f (x) 的曲率为
y′′ κ=± 2 3/ 2 ′ (1 + y )
梁纯弯曲时中性层的曲率：
M ( x) 1 = ρ ( x) EI z
M ( x) 1 = ρ( x) EI z
1 y′′ κ= =± ≈ ± y′′ 2 3/ 2 (1 + y′ ) ρ( x)
EIy = − ∫ [ ∫ M ( x)dx]dx + Cx +D
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件 即位移边界条件确定。 弯矩方程分n段时，积分常数个数为 2n 个 由边界条件确定的方程需要2n个 方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大
EIy ′ = EI θ = − ∫ M ( x ) dx +C
第七章 弯曲--弯曲位移部分
(Displacements of Bending Beam)
§7-7 梁的位移─挠度及转角
在工程中，对某些受弯构件，除要 求具有足够的强度外，还要求变形不能 过大，即要求构件有足够的刚度，以保 证正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大， 就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
Fb ( l 2 − b 2 ) Fb 3 F ( x − a )3 y2 = − x− x + 6 EIl 6 EIl 6 EI
受任意荷载的简支梁，只 要挠曲线上没有拐点，均 可近似地将梁中点的挠度 作为最大挠度。
F
a A x C D b B
x
y
l
例4：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁
的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和ymax。
挠曲线近似微分方程
1、挠曲线方程(deflection equation)
曲线 y = f (x) 的曲率为
y′′ κ=± 2 3/ 2 ′ (1 + y )
梁纯弯曲时中性层的曲率：
M ( x) 1 = ρ ( x) EI z
M ( x) 1 = ρ( x) EI z
1 y′′ κ= =± ≈ ± y′′ 2 3/ 2 (1 + y′ ) ρ( x)
第七章弯曲变形案例
5ql 4 Ml 2 17ql 4 384EI 16EI 384EI
M
=
q AM
C
wCM
q A q Aq q AM
B
ql3 Ml 5ql3 24EI 3EI 24EI
A
l
+
q A
Ml 2 wCM 16EI Ml q AM 3EI
q Aq
C wCq l
1 F (x l)2 C 2 1 1 EI w F ( x l ) 2 dx C x D F ( x l ) 3 Cx D 2 6
1 EI q EI w F ( x l )dx C F ( x l ) 2 C 21 1 EI w F ( x l ) 2 dx C x D F ( x l )3 Cx D 2 6 y F （4）确定积分常数 由边界条件 x 0 q A 0 wA 0 x
条件。
二 提高梁的刚度的措施
(1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同 (E≈210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢 并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均 采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增
挠度和转角的关系
y
q
B’ C’
q
B
w
wB x
dy tan q w dx
在小变形假设条件下
A
x
C
tan q q
挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角
dy w tan q q dx
二、挠曲线近似微分方程
M EI z
1
横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度 时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩 不再为常数。
材料力学教程-7.弯曲变形
数据处理
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
【材料课件】第七章 弯曲变形
第七章
弯曲变形
挠度和转角
工程背景
希望产生足够 量的弯曲位移
弯曲位移不能 超过一定数值
整体变形
梁的轴线变成 光滑连续曲线
挠度和转角
挠度(v)：横截面形心在y与轴方向上的位移。
挠曲线方程
v = f(x )
转角(θ)：横截面相对于变形前的初始位置所转过的角度。 y
tan
P
dv f ( x ) dx
弯矩方程分段与积分常数
梁上无载荷突变：M(x)为一个函数 积分常数由支承条件确定。 梁上有载荷突变：M(x)为多个函数，分段积分 积分常数由支承条件、连续条件确定。
积分法求梁的变形的解题步骤
确定支座反力 根据梁上荷载状况，分段列出弯矩方程 分段积分 确定积分常数 确定转角和挠度方程 确定转角和挠度的最大值
Pb Pab( l b) 2 2 x1 0 A (l b ) 6 EIl 6 EIl Pab( l a ) x2 l B 6 EIl Pab( l a ) 若a b, max B 6 EIl
y
B
0 v vmax
x
O
v
x 0, v 0 x l, v 0
B
l
x
A
例题1
v
解：1.求支座反力，列弯矩方程
x
ql 2 q 3 EIv1 x x C 4 6 2.确定积分常数 ql q 3 边界条件： v(0) v(l ) 0 EIv x x 4 Cx D 12 24 ql 3
挠曲线近似微分方程
小挠度情形下 ( dv )2 << 1
dx d2 v dx2 M(x) ＝± EI dv 2 3/2 [1+( ) ] dx
弯曲变形
挠度和转角
工程背景
希望产生足够 量的弯曲位移
弯曲位移不能 超过一定数值
整体变形
梁的轴线变成 光滑连续曲线
挠度和转角
挠度(v)：横截面形心在y与轴方向上的位移。
挠曲线方程
v = f(x )
转角(θ)：横截面相对于变形前的初始位置所转过的角度。 y
tan
P
dv f ( x ) dx
弯矩方程分段与积分常数
梁上无载荷突变：M(x)为一个函数 积分常数由支承条件确定。 梁上有载荷突变：M(x)为多个函数，分段积分 积分常数由支承条件、连续条件确定。
积分法求梁的变形的解题步骤
确定支座反力 根据梁上荷载状况，分段列出弯矩方程 分段积分 确定积分常数 确定转角和挠度方程 确定转角和挠度的最大值
Pb Pab( l b) 2 2 x1 0 A (l b ) 6 EIl 6 EIl Pab( l a ) x2 l B 6 EIl Pab( l a ) 若a b, max B 6 EIl
y
B
0 v vmax
x
O
v
x 0, v 0 x l, v 0
B
l
x
A
例题1
v
解：1.求支座反力，列弯矩方程
x
ql 2 q 3 EIv1 x x C 4 6 2.确定积分常数 ql q 3 边界条件： v(0) v(l ) 0 EIv x x 4 Cx D 12 24 ql 3
挠曲线近似微分方程
小挠度情形下 ( dv )2 << 1
dx d2 v dx2 M(x) ＝± EI dv 2 3/2 [1+( ) ] dx
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由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
9
目录
§7-3
用积分法求梁的变形
d2w EI z 2 M ( x) dx
挠曲线的近似微分方程为：
d 2 w M ( x) 2 dx EI z
积分一次得转角方程为：
dw EI z EI z M ( x )dx C dx
再积分一次得挠度方程为：
6-2
6
目录
2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到：
1 M = ρ EI z
忽略剪力对变形的影响
1 M ( x) ( x) EI z
7
目录
由数学知识可知：
d2 y 2 1 dx dy 2 3 [1 ( ) ] dx 略去高阶小量，得
y M (x ) > 0 M (x ) > 0
2）写出x截面的弯矩方程
y
F
wB
) A
B
B
x
l
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分 d2w EI 2 M ( x) F ( x l ) dx dw 1 积分一次 EI EI F ( x l ) 2 C dx 2 1 再积分一次 EIw F ( x l ) 3 Cx D 6
dy dx 2 > 0 O
y M (x ) < 0
2
x
d y 2 dx
所以
1
2
M (x ) < 0
d 2 y M ( x) 2 dx EI z
dy dx 2 < 0 O
2
x
8
目录
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
d 2 w M ( x) 2 dx EI z
A 0
AL AR
目录
~
A
~
11
~
A A AA
A
A
A AA
A
AA
A A A AA
A
AA
A
~
A
~
~
用积分法求弯曲变形
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
FAx 0, FAy F ( ), M A Fl (
EI z w M ( x )dxdx C x D
10 6-3
目录
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 光滑连续条件 位移边界条件
~
~
~
~
A
A
~ ~
~
~
~
~
~
~
~
A A
A
A
~
~
wA 0
wA 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR
~
wAL wAR
代入求解，得
1 Fb 3 C1 C 2 Fbl 6 6l D1 D2 0
FAy x1
wmax
x2
a
b
16
目录
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
EI 1 Fb 2 Fb 2 x1 (l b 2 ) 2l 6l Fb 3 Fb 2 2 EIw1 x1 (l b ) x1 6l 6l
目录
F
l
B x
B
13
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知，l=a+b，a>b。 y
解 1）由梁整体平衡分析得：
FAx 0, FAy Fb Fa , FBy l l
F
C
A
A
D
B
B x
FBy
2）弯矩方程 AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
FAy x1Βιβλιοθήκη wmaxx2a
b
CB 段：
Fb M x 2 FAy x 2 F ( x 2 a ) x 2 F ( x 2 a ), l
目录
a x2 l
14
3）列挠曲线近似微分方程并积分 AC 段： 0 x1 a
2
d w1 Fb EI M ( x1 ) x1 A 2 dx1 l A dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 dx1 2l FAy x1 Fb 3 EIw1 x C1 x1 D1 6l CB 段： a x 2 l d 2 w2 Fb EI M ( x ) x2 F ( x2 a ) 2 2 dx 2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx 2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a ) 3 C2 x2 D2 6l 6
目录
12
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0 x 0, wA 0
代入求解
y
wB
1 2 1 3 A x C Fl , D Fl 2 6 5）确定转角方程和挠度方程 1 1 2 2 EI F ( x l ) Fl 2 2 1 1 2 1 3 3 EIw F ( x l ) Fl x Fl 6 2 6 6）确定最大转角和最大挠度 Fl 2 Fl 3 x l , max B , wmax y B 2 EI 3EI
第七章 梁的弯曲变形
1
目录
第七章
弯曲变形
§7-1 梁的挠度及截面的转角
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程 §7-3 用积分法求梁的变形
§7-5 用叠加法求梁的变形
§7-7 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施
§7-8 用变形比较法解简单超静定梁
2
目录
目录
§7-1 梁的挠度及截面的转角
3 6-1
目录
4
1
y
F
D
C
B
B x
FBy
wmax
x2
a
b
15
目录
4）由边界条件确定积分常数 位移边界条件 x1 0, w1 (0) 0 x2 l , w2 (l ) 0
y
A
A
F
D
C
B
B x
FBy
光滑连续条件 x1 x2 a, 1 (a ) 2 ( a ) x1 x2 a, w1 ( a ) w2 ( a )
目录
5
目录
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程
1.基本概念 挠曲线方程：
转角
挠度
挠曲线
y
w w( x)
挠度w：截面形心 在y方向的位移
w
x
x
w 向上为正
转角 ：截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正 由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
dw 挠度转角关系为： tan dx
y
9
目录
§7-3
用积分法求梁的变形
d2w EI z 2 M ( x) dx
挠曲线的近似微分方程为：
d 2 w M ( x) 2 dx EI z
积分一次得转角方程为：
dw EI z EI z M ( x )dx C dx
再积分一次得挠度方程为：
6-2
6
目录
2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到：
1 M = ρ EI z
忽略剪力对变形的影响
1 M ( x) ( x) EI z
7
目录
由数学知识可知：
d2 y 2 1 dx dy 2 3 [1 ( ) ] dx 略去高阶小量，得
y M (x ) > 0 M (x ) > 0
2）写出x截面的弯矩方程
y
F
wB
) A
B
B
x
l
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分 d2w EI 2 M ( x) F ( x l ) dx dw 1 积分一次 EI EI F ( x l ) 2 C dx 2 1 再积分一次 EIw F ( x l ) 3 Cx D 6
dy dx 2 > 0 O
y M (x ) < 0
2
x
d y 2 dx
所以
1
2
M (x ) < 0
d 2 y M ( x) 2 dx EI z
dy dx 2 < 0 O
2
x
8
目录
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
d 2 w M ( x) 2 dx EI z
A 0
AL AR
目录
~
A
~
11
~
A A AA
A
A
A AA
A
AA
A A A AA
A
AA
A
~
A
~
~
用积分法求弯曲变形
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
FAx 0, FAy F ( ), M A Fl (
EI z w M ( x )dxdx C x D
10 6-3
目录
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 光滑连续条件 位移边界条件
~
~
~
~
A
A
~ ~
~
~
~
~
~
~
~
A A
A
A
~
~
wA 0
wA 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR
~
wAL wAR
代入求解，得
1 Fb 3 C1 C 2 Fbl 6 6l D1 D2 0
FAy x1
wmax
x2
a
b
16
目录
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
EI 1 Fb 2 Fb 2 x1 (l b 2 ) 2l 6l Fb 3 Fb 2 2 EIw1 x1 (l b ) x1 6l 6l
目录
F
l
B x
B
13
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知，l=a+b，a>b。 y
解 1）由梁整体平衡分析得：
FAx 0, FAy Fb Fa , FBy l l
F
C
A
A
D
B
B x
FBy
2）弯矩方程 AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
FAy x1Βιβλιοθήκη wmaxx2a
b
CB 段：
Fb M x 2 FAy x 2 F ( x 2 a ) x 2 F ( x 2 a ), l
目录
a x2 l
14
3）列挠曲线近似微分方程并积分 AC 段： 0 x1 a
2
d w1 Fb EI M ( x1 ) x1 A 2 dx1 l A dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 dx1 2l FAy x1 Fb 3 EIw1 x C1 x1 D1 6l CB 段： a x 2 l d 2 w2 Fb EI M ( x ) x2 F ( x2 a ) 2 2 dx 2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx 2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a ) 3 C2 x2 D2 6l 6
目录
12
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0 x 0, wA 0
代入求解
y
wB
1 2 1 3 A x C Fl , D Fl 2 6 5）确定转角方程和挠度方程 1 1 2 2 EI F ( x l ) Fl 2 2 1 1 2 1 3 3 EIw F ( x l ) Fl x Fl 6 2 6 6）确定最大转角和最大挠度 Fl 2 Fl 3 x l , max B , wmax y B 2 EI 3EI
第七章 梁的弯曲变形
1
目录
第七章
弯曲变形
§7-1 梁的挠度及截面的转角
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程 §7-3 用积分法求梁的变形
§7-5 用叠加法求梁的变形
§7-7 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施
§7-8 用变形比较法解简单超静定梁
2
目录
目录
§7-1 梁的挠度及截面的转角
3 6-1
目录
4
1
y
F
D
C
B
B x
FBy
wmax
x2
a
b
15
目录
4）由边界条件确定积分常数 位移边界条件 x1 0, w1 (0) 0 x2 l , w2 (l ) 0
y
A
A
F
D
C
B
B x
FBy
光滑连续条件 x1 x2 a, 1 (a ) 2 ( a ) x1 x2 a, w1 ( a ) w2 ( a )
目录
5
目录
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程
1.基本概念 挠曲线方程：
转角
挠度
挠曲线
y
w w( x)
挠度w：截面形心 在y方向的位移
w
x
x
w 向上为正
转角 ：截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正 由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
dw 挠度转角关系为： tan dx
y