第七章弯曲变形1精品PPT课件
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第七章 弯曲变形
w
B2
wC 2
(ql)l 3 48 EI
第六节 梁变形的叠加解法
ql 3 ql3 ql 3 11ql3 B B1 B 2 B3 24 EI 3EI 16 EI 48 EI
5ql 4 3ql 4 (ql)l 3 11ql 4 wC wC1 wC 2 wC 3 384 EI 48 EI 48 EI 384 EI
dy ＝ dx
第一节 弯曲变形的基本概念
约束对位移的影响
没有约束无法确定位移
第一节 弯曲变形的基本概念
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
第一节 弯曲变形的基本概念
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
第二节 挠曲线近似微分方程
力学公式
1 M ( x) ( x) EI z
数学公式
以上两式消去
a Fa 3F 拐点 (-)
a
(+)
M 图
极值，在挠度最大处，截
面的转角不一定为零，在 弯矩最大处，挠度不一定
Fa
最大。
下凸
上凸
直线
第四节 梁的刚度校核
刚度条件：
y max [ y ],
max
[ ]
[y]——许用挠度，[]——许用转角
工程中， [y]常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示，例如： l l ~ 对于桥式起重机梁： [ y] 500 750 对于一般用途的轴：
y f (x)
y (x )
y
水平方向位移：高阶微 量，忽略不计。
第一节 弯曲变形的基本概念
角位移：横截面相对于原
来位置转过的角度，以表
示。亦可以用该截面处的
y
13+第七章+弯曲变形——材料力学课件PPT
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 w
2、截面绕形心轴的角位移 —— 转角 3、轴向位移可忽略
F 变弯后的梁轴——挠曲轴
F 挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程 w= w(x)
F 忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小—— = ’ dw/dx
回顾拉压杆与扭转轴的变形描述
7
第七章 弯曲变形
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
8
第七章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程 方程推导
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1
M EI
（纯弯）
1 M ( x)（推广到非纯弯）
( x) EI
Q 由高等数学知识
1
w( x)
(x)
1 [w( x)]2
弯曲变形：怎样描述？
5
•弯曲变形的特点
第七章 弯曲变形
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴， 挠曲轴是一条连续、光滑曲线（可微）
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
6
第七章 弯曲变形
• 梁变形的描述：
31
一、 载荷叠加法
分解载荷 分别计算位移 求位移之和
19
第七章 弯曲变形
例: 已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程
A
x
B M0
C
l/2
l/2
M0 /l
解: 计算约束反力，建立坐标系。
七弯曲变形ppt课件
x
挠曲线方程： w f (x)
转角方程： tan f ( x) d w
dx
四、画绕曲线近似外形的方法 1、思索支座的约束特点
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w A= 0,wB = 0
2、思索弯矩的变化
弯矩为正，下凸
A
弯矩为负，上凸
弯矩为O的线段，直线 M 弯矩为O的点，拐点
P
P
B
x
例：
q P
A a Ba
•边境条件 x 1 0 ,w A 0 ;x 2 a ,w B 0 ;
•延续条件 x 1 x 2 a ,w 1 w 2 w B , 1 2 B ;
C
P
a
a
•边境条件 x 1 0 ,w A 0 , A 0 ;
•延续条件 x 1 x 2 a ,w 1 w 2 w C , 1 2 C ;
平面曲线(挠曲线) w f (x)
上恣意点的曲率公式。
对于小挠度情形有
dw
2
d x
1
d2w M (x)
dx2
EI
d2w dx2
M (x) EI
d 2w 0 dx 2
d2w M (x) dx2 EI ——挠曲线的近似微分方程
d 2w dx 2 0
d2w dx2
M (x) EI
d2w dx2
w ma xw 1xx0
Pb(l2b2)3 93EzlI
讨论：
〔1〕
AC段：
EEIww I11E PlbIx11Pl bx212C1
EI1wPl bx613C1x1D1
CB段： Ew I2 Pl b x2P(x2a)
Ew 2 IE2IP l x 2 b 2 2P(x2 2a)2C 2
【材料课件】第七章 弯曲变形
x 2x 3 3 l/2 , y2y 3
×
§7–4 叠加法计算弯曲变形
一、简单梁简单荷载下的变形
A EI l
B
m
B
ml EI
,
yB
ml 2 2EI
P
A EI B l q
A EI B l
B
Pl 2 2 EI
,
yB
Pl 3 3EI
B
ql 3 6 EI
例3 用积分法计算图示简支梁的A，B，yC。
q 解：
Ax
C EI
B x M(x)1qlx1qx2, (0xl)
l/2 l/2
22
YA=yql/E 2 'Iy EI Fq B=(q1lx /23lx2E) I"C yq2(x2 lx)
23 2
EIy q(1x4lx3)C xD 212 6
x0,y0; D0
x
x
M
M
M
M
y
M0
y" 0
y
M0
y" 0
y" M(x) EI
这就是梁的挠曲线近似微分方程，由此微分方程积分一 次可求转角，再积分一次可求挠度。
×
§7–3 积分法计算弯曲变形
为计算方便，将挠曲线近似微分方程改写为
EI"yM(x)
E' IE y I M (x)d x C 转角方程 E I yM (x )dx C d x D x 挠度方程
转角方程 挠度方程
B2q E(Il2lll21 3l3)6 qE 3lI
yB2q E(1 2 Il2l21 3ll31 12 l4)8 q E 4lI
×
例2 求图示外伸梁B 截面的转角和C 截面的挠度。
材料力学第七章弯曲变形1PPT课件
ql3
C1
, 24
C2 0
ql/2
q ql/2
A
B
C
x
l
d)确定挠曲线和转角方程
y qx (l3 2lx2 x3) 24EI
y q (l3 6lx2 4x3)
24EI
e)最大挠度及最大转角
y max
max
x L 2
5 ql 4 384 EI
A ql 3
B
24 EI
例：求图示梁的跨中的挠度和转角
E ( x ) I y ( M ( x ) d ) d x C x 1 x C 2
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
边界条件： （1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。
（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。
连续性条件：（3）、在弯矩方程分段处：
一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。
第七章 弯曲变形
§1 梁变形的基本概念 挠度和转角 §2 挠曲线近似微分方程 §3 积分法计算梁的变形 §4 叠加法计算梁的变形 §5 简单超静定梁
工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，还必 须限制梁的变形，使其变形在容许的范围之内。
梁弯曲变形的计算 目的：要控制梁的最大变形
在一定的限度内。 ----弯曲刚度的计算
M(x) y EI
EyIM(x)
M> 0
x
x
y ( x ) 0
y
y
结论：挠曲线近似微分方程——
M<0
y ( x ) > 0
EyIM (x)
EI
d2y dx2
M(x)
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”以及( y)2
第七章 平面弯曲变形.ppt
P
2
Pl 4
l /2
l /2
ql
m
2
l
m 2
m 2
l
ql 2
ql 2 8
第七章 平面弯曲变形
内力与荷载集度的微分关系 q
A
B
x
lM图Pl源自1 ql2 8M图
Fs图 1
ql 2
1 ql 2
Fs图
1、无荷载分布段(q=0),FS图为水平线,M图为斜直线。
第七章 平面弯曲变形
内力与荷载集度的微分关系
1 、无荷载分布段(q=0),FS图为水平注线：,M图剪为力斜为直零线处。；
M图
Fs图
3 、集中力作用处,Fs图有突变,且突变量等于力值; M图有转折,且指向与荷载相同。
第七章 平面弯曲变形
内力与荷载集度的微分关系 1 、无荷载分布段(q=0),FS图为水平线,M图为斜直线。 2 、均布荷载段(q=常数),FS图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同。 3 、集中力作用处,Fs图有突变,且突变量等于力值; M图有尖点,且指向与荷载相同。
Pl
M图
Fs图
第七章 平面弯曲变形
第七章 平面弯曲变形
注：内力计算可选
取控制截面结合内
力与荷载集度的微 分关系进行，并绘 制结构的内力图。
第七章 平面弯曲变形
叠加法绘制内力图 ql 2 4
注意: 是竖标相加,
不是图形的简单 拼合。
第七章 平面弯曲变形
1 ql2 16
q
l
q
l
1 ql2 16
各控制 截面弯矩为 多少。
第七章 平面弯曲变形
F1
F2
第七章 平面弯曲变形
【材料课件】第七章 弯曲变形
第七章
弯曲变形
挠度和转角
工程背景
希望产生足够 量的弯曲位移
弯曲位移不能 超过一定数值
整体变形
梁的轴线变成 光滑连续曲线
挠度和转角
挠度(v)：横截面形心在y与轴方向上的位移。
挠曲线方程
v = f(x )
转角(θ)：横截面相对于变形前的初始位置所转过的角度。 y
tan
P
dv f ( x ) dx
弯矩方程分段与积分常数
梁上无载荷突变：M(x)为一个函数 积分常数由支承条件确定。 梁上有载荷突变：M(x)为多个函数，分段积分 积分常数由支承条件、连续条件确定。
积分法求梁的变形的解题步骤
确定支座反力 根据梁上荷载状况，分段列出弯矩方程 分段积分 确定积分常数 确定转角和挠度方程 确定转角和挠度的最大值
Pb Pab( l b) 2 2 x1 0 A (l b ) 6 EIl 6 EIl Pab( l a ) x2 l B 6 EIl Pab( l a ) 若a b, max B 6 EIl
y
B
0 v vmax
x
O
v
x 0, v 0 x l, v 0
B
l
x
A
例题1
v
解：1.求支座反力，列弯矩方程
x
ql 2 q 3 EIv1 x x C 4 6 2.确定积分常数 ql q 3 边界条件： v(0) v(l ) 0 EIv x x 4 Cx D 12 24 ql 3
挠曲线近似微分方程
小挠度情形下 ( dv )2 << 1
dx d2 v dx2 M(x) ＝± EI dv 2 3/2 [1+( ) ] dx
弯曲变形
挠度和转角
工程背景
希望产生足够 量的弯曲位移
弯曲位移不能 超过一定数值
整体变形
梁的轴线变成 光滑连续曲线
挠度和转角
挠度(v)：横截面形心在y与轴方向上的位移。
挠曲线方程
v = f(x )
转角(θ)：横截面相对于变形前的初始位置所转过的角度。 y
tan
P
dv f ( x ) dx
弯矩方程分段与积分常数
梁上无载荷突变：M(x)为一个函数 积分常数由支承条件确定。 梁上有载荷突变：M(x)为多个函数，分段积分 积分常数由支承条件、连续条件确定。
积分法求梁的变形的解题步骤
确定支座反力 根据梁上荷载状况，分段列出弯矩方程 分段积分 确定积分常数 确定转角和挠度方程 确定转角和挠度的最大值
Pb Pab( l b) 2 2 x1 0 A (l b ) 6 EIl 6 EIl Pab( l a ) x2 l B 6 EIl Pab( l a ) 若a b, max B 6 EIl
y
B
0 v vmax
x
O
v
x 0, v 0 x l, v 0
B
l
x
A
例题1
v
解：1.求支座反力，列弯矩方程
x
ql 2 q 3 EIv1 x x C 4 6 2.确定积分常数 ql q 3 边界条件： v(0) v(l ) 0 EIv x x 4 Cx D 12 24 ql 3
挠曲线近似微分方程
小挠度情形下 ( dv )2 << 1
dx d2 v dx2 M(x) ＝± EI dv 2 3/2 [1+( ) ] dx
《弯曲变形 》PPT课件
E2 IF 6 y lx 2 3 b F 6(x 2 a )3 F 6 l(l2 b b 2 )x 2
a
17
目录
§7-3 用积分法求梁的变形
6）确定最大转角和最大挠度
令 d 0 dx
得，
xl,m axB6 F E(a lI b la)()
令 dy 0 dx
得，
y
F
A
A
DC
F Ay x1
x2
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
y
A
F Ax 0,F Ay F l ,b F By Ay x1
F DC
ymax
B B x
F By
AC 段：
x2
M x1F Ax y1F l xb 1,0x1a
a
b
CB 段：
M x 2 F A x 2 yF ( x 2 a ) F lx 2 F b ( x 2 a ), a x 2 l
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0x1 a
y
F
EI1F 2l x b1 2F 6l(b l2b2)
A
A
D C B B x
E1IyF 6l x b1 3F 6l(b l2b2)x1
CB 段： ax2 l
F Ay
ymax
F By
x1
x2
a
b
E2I F 2 lx 2 2 b F 2(x 2 a )2 F 6 l(lb 2 b 2 )
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
a
9
目录
§7-3 用积分法求梁的变形
挠曲线的近似微分方程为：
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§7-2 梁的挠曲线近似微分方程
一、曲率与弯矩的关系：
1 M r EI
1 M(x) ……（1 ）
r(x) EIz
y
二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)
1
r(x)
y 1(y)2
3 2
y1,→→
1 y
r(x)
x
Cy
……（2）
三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得
EyIM(x)
4、确定挠曲线方程和转角方程
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程
M (x)F (Lx)
b) 写出微分方程并积分
L
F
E y I M (x ) F (L x ) EyI1 2F(Lx)2C1 EIy1 6F(Lx)3C1xC2
c) 应用位移边界条件求积分常数
x=0处 : y(0) = 0 ; (0)=0 C11 2F2L;C21 6F3L
d) 确定挠曲线、转角方程
x
y
y(x) F 3L2xx3 6EI
yF x22Lx 2EI
e) 自由端的挠度及转角
y(L) FL3 (L) FL2
3EI
2EI
例：求图示简支梁的最大挠度
§7-1 梁变形的基本概念 挠度和转角
度量梁变形的参数---
梁的挠度，横截面的转角。
F
一、挠曲线：梁变形后的轴线。
性质：连续、光滑、弹性、 极其平坦的平面曲线。
二、挠度：横截面形心沿垂直于
xx
轴线方向的位移。用“y” 表示。
Cy
三、转角：横截面绕中性轴转过
的角度。用“” 表示。
F
挠度：横截面形心沿垂直于
E ( x ) I y ( M ( x ) d ) d x C x 1 x C 2
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
边界条件： （1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。
（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。
连续性条件：（3）、在弯矩方程分段处：
一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。
a)
EI y1
Fb 2L
x12
C1
EIy2
Fb 2L
x22
F(x2 a)2 2
C2
EIy 1
Fb 6L
x13 C 1 x1
D1
EIy2
Fb 6L
x23
F(x2 a)3 6
C2x2
D2
Fb
b)写出微分方程并积分
左侧段（0≤x1≤a）：
l
a
b Fa
F
x1
l
A
C
B
x2
右侧段（a≤x2≤L）：
轴线方向的位移。 用“y” 表示。
转角：横截面绕中性轴转过
xx
的角度。用“” 表示。
x
Cy
四、挠度和转角的关系
y = y（x） ……挠曲线方程。 挠度向下为正；向上为负。
θ=θ(x) ……
转角方程。 由变形前的横截面转到变形后，
tgdyy(x)y
顺时针为正；逆时针为负。
dx
tgy(挠曲线为一条平坦的曲线)
M(x) y EI
EyIM(x)
M> 0
x
x
y ( x ) 0
y
y
结论：挠曲线近似微分方程——
M<0
y ( x ) > 0
EyIM (x)
EI
d2y dx2
M(x)
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”以及( y)2
响
使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
对变形的影
§7-3 积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量） 1、根据载荷分段列出弯矩方程 M（x）。
2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
EyI(x)M (x)
E y (x I ) E(x I ) M (x )d C x 1
E ( x ) I y ( M ( x ) d ) d x C x 1 x C 2
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
第七章 弯曲变形
§1 梁变形的基本概念 挠度和转角 §2 挠曲线近似微分方程 §3 积分法计算梁的变形 §4 叠加法计算梁的变形 §5 简单超静定梁
工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，还必 须限制梁的变形，使其变形在容许的范围之内。
梁弯曲变形的计算 目的：要控制梁的最大变形
在一定的限度内。 ----弯曲刚度的计算
ql3
C1
, 24
C2 0
ql/2
q ql/2
A
B
C
x
l
d)确定挠曲线和转角方程
y qx (l3 2lx2 x3) 24EI
y q (l3 6lx2 4x3)
24EI
e)最大挠度及最大转角
y max
max
x L 2
5 ql 4 384 EI
A ql 3
B
24 EI
例：求图示梁的跨中的挠度和转角
Fb
左侧段（0≤x1≤a）：
EI y1
Fb L
x1
EI y1
Fb 2L
x12
C1
（EI=常数） abL
Fb l
a
b Fa
解：a)建立坐标系并写出弯矩方程
F
AC段
M(x1)
Fb L x1
x1
A
C
l
B
CB段
M(x2)F Lb x2F(x2a)
x2
b)写出微分方程并积分
左侧段（0 ≤ x1 ≤ a）：
右侧段（a ≤ x2 ≤ L）：
EI y1
Fb L
x1
EIy2
Fb L
x2
F(x2
EI y1
Fb L
x1
EIy2
Fb L
x2
F(x2
a)
EI y1
Fb 2L
x12
C1
EIy2
Fb 2L
x22
F(x2 a)2 2
C2
EIy 1
Fb 6L
x13
C1 x1
D1
EIy2
Fb 6L
x23
F(x2 a)3 6
C2x2
D2
c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数
连续条件：y1(a) = y2(a), y’1(a) = y’2(a); 边界条件：y1(0) = 0 , y2(L) =0 C 1C 26 F L(L b 2 b 2); D 1D 20
PF
Aห้องสมุดไป่ตู้
C
B
D
P
边界条件： yA 0 yB 0
连续条件：
y C
左
y C
右
C左 C右
yD 0 D 0
积分法计算梁变形的步骤
1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
EyI(x)M (x) E y (x I ) E(x I ) M (x ) d C x 1
和最大转角 ( EI = 常数 ）
解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程
ql q2x q M (x) x (l
xx2)
2 22
b)写出挠曲线近似微分方程并积分
EyIq(lxx2)
EyIq(2lx2 22
x33)C1
EIyq 2(l6x31 x42 )C1xC2 c)应用位移边界条件求积分常数
x=0： y=0; x=l： y=0.