材料力学课件第七章弯曲变形

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材料力学-弯曲变形

(向下)
qB
qmax
w(l)
Pl 2 2EI
(顺时针)
例题2
图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度为
EI，在右端受有集中力偶M0的作用，求梁任
一截面的转角和挠度。
y
解:
由整体平衡得 FAx=0， FAy= FBy= M0/l 从而，截面的弯矩为
M(x)= xFAy= xM0/l
FAx A x o
FAy
横截面变形：
线位移：长度变化
水平方向—小变形假定，挠曲轴平坦，忽略不计垂直方向—挠度 w= w(x)
转角：角度变化
横截面相对于原位置转过的夹角，
一般用q (x)表示截面转角，并且以逆时针为正
q'
对于细长梁，略去剪力对变形影响平截面假设成立: 变形的横截面与挠曲轴垂直
q q tan q dw
(l 2
a2)
y
例题3
P x
A
C
于是，梁的挠曲线方程为 FAx
l
w
w1 w2
(x) (x)
0 xa a xb
FAy
a
b
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x3 (b2 l2 )x (l x)3 (a2 l2
)(l
x)
0 xa a xl
转角方程为
q w ww12((xx))
0 xa a xb
Pb 2EIl
x2
C1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
Pb 6EIl
x3
C1x
D1
同理，对CB段
w2
w2dx C2
Pa EIl
(l
x)dx
C2

第7章弯曲变形材料力学,力学,物理,课件

本章主要研究：
●弯曲变形基本方程●计算梁位移的几种方法●简单静不定梁分析●
梁的合理刚度设计
第七章弯曲变形
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴
各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？
自由端：
怎样描绘挠曲轴的大致形状？
依据1：画出弯矩图，根据弯矩的正负，零值点，确定挠曲轴的凹凸和拐点。

依据2：约束处，应满足位移边界条件；分段点处，应满足位移连续条件。

qa
1. 绘制弯矩图。

§7-5 计算梁位移的叠加法
❒载荷叠加法
❒逐段变形叠加法
A
B
qa
A
B (3a
qa
B
C
B
刚化AB段：
F
B
C
B
刚化AB段：
F
B
刚化BC段：
F
B
§7-6 简单静不定梁
B
R B
A R B
A
由于结构具有对称性，直接求出Y
所以只有一个未知量，只用一个条件即可。

A
思考第二种方案的变形协调条件是什么？。

材料力学第7章弯曲变形[精]

tandwfx
dx
小变形梁可近似为
wfx 转角方程 2
材料力学
7.2 梁的挠曲线近似微分方程
由纯弯曲梁的曲率与弯矩的关系：
1M
EI
1
x

M x
EI
曲线曲率计算公式
1
w
x

3
1w2 2
由曲率-弯矩的符号关系：
小变形梁的近似微分方程：
C、D积分常数，由梁上已知的挠度或转角确定，这些
已知的挠度或转角称为边界条件。
4
材料力学
以图示简支梁为例
x0, wA w00 xl, wB wl0
以图示悬臂梁为例
x0, wA w00 A w00
出版社科技分社 5
材料力学
出版社科技分社
材料力学
出版社科技分社
22
8
材料力学
两次积分得：
EIw1qx31qlx2C 64
EIw 1 qx41qlx3CxD 24 12
由简支梁的边界条件：
出版社科技分社
(3) (4)
w 0， w 0
x0
xl
得积分常数
C 1 ql3，D0 24
9
材料力学
梁的转角方程
w q(4 x 3 6 lx 2 l3 ) 2 4 E I
当 a>b 时，B支座处截面的转角绝对值为最大
maxB=Fab 6lE lIa
简支梁的最大挠度应在dw/dx=0处，由 w1 0 得
x1
l2b2 3

aa2b
3
当 a>b 时，则有x1< a，由此可知最大挠度位于AC之间1。5
材料力学
出版社科技分社

材料力学课件第七章变曲应力(土木专业)

3
46470 10 8 m 4
a
y
z
138.6 106 Pa =138.6 MPa
第七章
弯曲应力
[例2] 试求图示 T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知
Iz = 7.64×106 mm4、 y1 = 52 mm、y2 = 88 mm。
解： 1）画弯矩图
梁的最大正弯矩发生
在截面 C 上，最大负弯矩发生在截面 B 上，分
对称弯曲
对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式－对称弯曲
第七章
弯曲应力
弯曲试验
第七章
试验现象
弯曲应力
（纯弯与正弯矩作用）
横线为直线, 仍与纵线正交靠顶部纵线缩短, 靠底部纵线伸长纵线伸长区,截面宽度减小纵线缩短区, 截面宽度增大弯曲假设横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假设
第七章
7.1 概述
弯曲应力
F
C
a
F
D
a
B
弯曲正应力只与弯矩有关，故通过纯弯曲梁来研究弯曲正应力.
FS
A
纯弯曲：梁的剪力恒为零，弯矩为常量。
F
x
F
x
M
Fa
第七章
弯曲应力
纯弯曲
第七章
弯曲应力
.2 弯曲应力
弯曲正应力
弯曲应力
梁弯曲时横截面上的
弯曲切应力
梁弯曲时横截面上的
A ydA M
yC ydA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
E
中性轴通过横截面形心
(a)(c)

13+第七章+弯曲变形——材料力学课件PPT

x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 w
2、截面绕形心轴的角位移 —— 转角 3、轴向位移可忽略
F 变弯后的梁轴——挠曲轴
F 挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程 w= w(x)
F 忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小—— = ’ dw/dx
回顾拉压杆与扭转轴的变形描述
7
第七章弯曲变形
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
8
第七章弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程方程推导
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1
M EI
（纯弯）
1 M ( x)（推广到非纯弯）
( x) EI
Q 由高等数学知识
1
w( x)
(x)
1 [w( x)]2
弯曲变形：怎样描述？
5
•弯曲变形的特点
第七章弯曲变形
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴，挠曲轴是一条连续、光滑曲线（可微）
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
6
第七章弯曲变形
• 梁变形的描述：
31
一、载荷叠加法
分解载荷分别计算位移求位移之和
19
第七章弯曲变形
例: 已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程
A
x
B M0
C
l/2
l/2
M0 /l
解: 计算约束反力，建立坐标系。

北京航空航天大学-材料力学课件ppt-14+第七章+弯曲变形

3. 求 wC
17 Fa 3
A
Fa
C
B
wC 2
wC1
wB
wC
wC1 wC 2
48EI
4EA
D
a
H
4. 比较弯曲与拉压位移 A bh, I bh3 12
设b×h矩形截面
17 Fa 3 48EI
Fa 4EA
17
a h
2
结论: (如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同
作用时，拉压引起的位移可以忽略。
18
第七章弯曲变形
§7-6 简单静不定梁
• 静不定度与多余约束
q(x)
M
5-3=2 度静不定
q(x)
F
6-3 = 3 度静不定
静不定度＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数多余约束多于维持平衡所必须的约束
静不定度＝多余约束数多余反力与多余约束相应的支反力或支力偶矩
19
第七章弯曲变形
静定基与相当系统
例: 求图示外伸梁C点的挠度和转角
q
C B
l
a
q
仅考虑BC段变形(刚化AB,可
A
视BC为悬臂梁)
qa4 wC1 8EI ()
C1
qa 3 6EI
()
B
l
qa
仅考虑AB段变形(刚化BC)
A
B
C2
B2
qa2l 6EI
()
总挠度和转角
wC 2
B2a
qa3l 6EI
()
l
qa 3 wC wC1 wC 2 24EI (3a 4l ) ()
0
0
wB 0, B 0
A
B
25

材料力学课件：弯曲变形

()
w
A,q
ql 4 8 EI
()
w
A
w
A,F
w
A,q
Fl 3 3EI
ql 4 8EI
()
wA ?
当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和
32
理论依据
EI
d2w dx 2
M
(
x
)
（小变形,比例极限内）
M(x)MF (x)Mq(x)
（小变形）
27
梁位移的通用方程
优势：只有2个积分常数
28
重讲例题6-3
利用奇异函数法＝积分技巧
29
例题6-4
载荷处理：分布载荷问题
30
§7-5 计算梁位移的叠加法
载荷叠加法逐段变形效应叠加法两类叠加法比较例题
31
一、载荷叠加法
分解载荷分别计算位移求位移之和
w
A,F
Fl 3 3EI
A
x
B M0
解: 1、弯矩方程: M x M0
2、挠曲轴近似微分方程 w x M0
EI
w x M0 x C
EI
w x M0 x2 Cx D
2EI
16
w x M0 x C
EI
w x M0 x2 Cx D
2EI
A
x
3、积分常数的确定
w(0) = 0 w’(0) = 0
上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合
EI
d2w dx 2
MF
(
x)
w wF ( x)
EI
d2w dx 2
Mq(
x)

材料力学-弯曲变形(内力)ppt课件

2021/4/23
任务一计算梁的弯曲变形内力
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
弯曲变形
3333
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
任务拓展-做剪力图和弯矩图
弯曲变形
FRA
MO
a
b
A
C
x1
x2
桥梁
弯曲变形
55
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
厂房吊运物料
弯曲变形
6
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/4/23
任务一计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
任务一计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
✓ 分析梁的变形。 ✓ 分析梁发生弯曲变形时受的内力。 ✓ 求出梁弯曲时的内力。
99
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
相关知识
解：1、求支座反力
F x0, F A x0
MA0, FBF l a
MB0, FAyFb
l
弯曲变形
F
a
b
A
B
x
l
FAx
A FAy
F B
FB
21
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/4/23
相关知识-剪力和弯矩

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32
对称性在变形分析中的应用
例9：已知 E 为常数，I2=2I1，求 WC，B。
F
A I1
I2
I1 B
A
B
E CF C
A
B
EC F
A
B
EC F
20第21/七3/7 章弯曲变形
wC
C
I2 F
I1 B
F/2
33
例10：利用对称性求下面梁中点挠度与转角
q
A
B
C
a
a
q/2
A
B
C
a
a
对称, 转角为0
5( q )(2a)4
q
B
q
B
FB
43
解2：1. 解除多余约束，
M x
EI
小变形时： v2 1
d2v M x
dx2 EI
正负号确定——确定坐标系: v 向上为正, 逆时针为正.
v
x
M 0, v 0
20第21/七3/7 章弯曲变形
v
x
M 0, v 0
9
§7-3 用积分法求弯曲变形
EIv M (x)
EIv M (x) dx C
EIv M (x)dxdx Cx D
48EI
y
A
x
l 2
P
C
l 2
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
Pl 2 16EI
20第21/七3/7 章弯曲变形
vmax
v
x l 2
Pl3 48EI
B
x
20
画挠曲线的大致形状
q qa2
A
B
C
Q
D
a
a
a
M
d2v dx2
M x
EI
F 根据弯矩图定凹凸性， F 弯矩图过零点处为拐点， F 支座限定支座处的位移。
第7章弯曲变形
※ 工程问题中的弯曲变形 ※ 挠曲线的近似微分方程 ※ 用积分法求弯曲变形 ※ 用叠加法求弯曲变形 ※ 简单静不定梁 ※ 提高弯曲刚度的措施
20第21/七3/7 章弯曲变形
1
§7-1 概述
一、工程实践中的弯曲变形问题
在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。
a
仅考虑BC段变形(刚化AB,可
视BC为悬臂梁)
vC1
ql 4 8EI
()
C1
ql 3 6EI
()
20第21/七3/7 章弯曲变形
27
q
A
C B
l
a
q
A
C
B
l
a
qa
qa2/2
A
C
B
l
a
20第21/七3/7 章弯曲变形
vC1
ql 4 8EI
()
C1
ql 3 6EI
()
仅考虑AB段变形(刚化BC)
步骤：
1、判断静不定度（确定多余约束数）； 2 、解除多余约束，建立相当系统； 3 、列出多余约束处的变形协调条件(位移边界条件)； 4、结合平衡方程，求多余支反力。
F 静定基相当系统不唯一，一般选择求解起来最简单的一种。
20第21/七3/7 章弯曲变形
41
静定基与相当系统的选取： q
A
静定基:
20第21/七3/7 章弯曲变形
D0
B
x
14
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx2 4x3 l 3 )
y
24EI
q
v qx (2lx 2 x 3 l 3 )
A
x
24 EI
l
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
ql 3 24 EI
v max
v
x l 2
5ql 4 384 EI
F
A
B
E
C
D
边界条件：
固定端: vA 0, A 0
自由端：无位移边界条件
可动铰:
连续条件：
wC左 0, wC右 0
左 C
C右
wB左 wB右 , wE左 wE右
20第21/七3/7 章弯曲变形
左 E
右 E
vC 0
12
例2：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁在均布载荷q
作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max 和 vmax。
大致形状
3qa
4
+
_ qa
4
3qa 2
4
qa 2
+
32
qa 2 4
直线
凹
凹
凸
20第21/七3/7 章弯曲变形
21
§7-4 用叠加法求弯曲变形
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
F C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
20第21/七3/7 章弯曲变形
10
边界条件：梁截面的已知位移条件
v0
v0
v0
0
连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件
F
A B
M
D
C
$ 挠曲线在B、C点连续且光滑
连续: v左 v右
光滑: 左右
20第21/七3/7 章弯曲变形
11
例1：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件
20第21/七3/7 章弯曲变形
2
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
F
20第21/七3/7 章弯曲变形
F
3
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。
P
P
20第21/七3/7 章弯曲变形
4
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。
Pa2 M 2a 2EI EI
0PLeabharlann A CaM
B
a
P
A
C
B
M Pa 4
M
A
C
B
20第21/七3/7 章弯曲变形
26
例7: 求图示外伸梁 C 点的挠度和转角。
q
静定梁或刚架的任一横
A
C B
l
a
截面的总位移，等于各梁段单独变形 (其余梁段刚化)在该截面引起的位
q
移的代数和或矢量和
A
C
B
l
()
C
(1) C
(2) C
qa3 48EI
()
35
二、梁的刚度计算
刚度条件：
vmax [v]
max [ ]
[v]、[ ] 是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正
常工作时的要求。
20第21/七3/7 章弯曲变形
36
例11：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3，
ml 2 ) 16EI
20第21/七3/7 章弯曲变形
24
P
A
C
B
l
l
2
2
q
A
C
B
M
A
C
B
20第21/七3/7 章弯曲变形
AP
Pl2 16EI
Aq
ql 3 24EI
AM
ml 3EI
A AP Aq AM
25
例6：若图示梁B 端的转角 B=0，则力偶矩 M 等于多少？
解：
B BP BM
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
20第21/七3/7 章弯曲变形
5
二、弯曲变形的基本概念
x l
A F
(x)
x
v(x) B
l
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 v
2、截面绕形心轴的角位移 ——转角
20第21/七3/7 章弯曲变形
C2
B
qa 2l 6EI
()
C C1 C2 vC vC1 B a
28
么么么么方面
• Sds绝对是假的
第七章弯曲变形
例8：已知 E 为常数，I2=2I1，求 WC，C。
I2
I1
F
A
B
C
20第21/七3/7 章弯曲变形
30
I2
I1
F
A
B
C
刚化AB段：
F
A
C
B
刚化BC段：
F
M Fa
B
F
[ v ]= l／500，E=200GPa，[]=100MPa。试根据梁的刚度条
件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
P
A
C
B
l
l
2
2
I20a z
20第21/七3/7 章弯曲变形
CL9TU40 37
解：由刚度条件:
vmax
Pl 3 48EI
[v]
l 500
P
48EI 500l 2
7.11kN
6
二、弯曲变形的基本概念
x l
A F
(x)
x
v(x) B
l
F 变弯的形心轴 —— 挠曲线