预测方法综述

季节周期情形： yt a1 yt 4 a2 yt 8 a3
适用情形：数据离散且较少，回归分析效果不好
五、微分方程
dx 单方程情形： f ( x, t ) dt
dx f ( x, y , t ) dt 方程组情形： dy g ( x, y , t ) dt
适用情形：跟变化率有关，尤其是随时间变化的问题
可以是离散型数据，也可以是连续型变化
特殊情形：
参数求解：离散化，建立差分方程
微分方程求解：
（1）解析解 dsolve(‘方程1’,„,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)
（2）数值解 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂,且大 多得不出一般解．而实际中的对初值问题，一般是要求 得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得 到一个满足精确度要求的便于计算的表达式．
非线性回归中的难点：参数求解
（1）线性化： 优点：可进行参数检验，求解容易 缺点：不是对原模型的直接反映
（2）直接用数值解法 优点：一般来说求解更精确 缺点：缺乏对参数的检验，结果对初值依赖性强 几种常用特殊的非线性表达： （1）多项式
y a0 a1x a2 x2 an xn
建立数值解法的一些途径
设 xi 1 xi h, i 0,1, 2, 微分方程 y ' f ( x, y ) y ( x0 ) y0 , n 1, 则可用以下离散化方法求解
a．用差商代替导数(欧拉法)
y ( x h) y ( x ) y ' ( x) h
b1m 1 ) S1 m K b0b1 ( b1 1 m m 1 b1 1 S 2 m K b0b1 ( ) b1 1 m 2 m 1 b1 1 S3 m K b0b1 ( ) b1 1
1 S3 S 2 m ) b1 ( S 2 S1 b1 1 b0 ( S 2 S1 ) m 2 b ( b 1 ) 1 1 1 b1m 1 K ( S1 b0b1 ) m b1 1
的传输噪声过滤过程极为接近，故称为自适应滤波法。
自适应滤波法的基本预测公式为

y
t 1
w1 y w2 y ... wN
t t 1
y
t N 1
wi y
i 1
N
t i 1
其调整权数的公式为
wi =wi +2k ei +1 yt -i +1
该式表明：调整后的一组权数应等于旧的一组权数加上 误差调整项，这个调整项包括预测误差、原观测值和学 习常数等三个因素。学习常数k的大小决定权数调整的 速度。
特征：拐点个数为n-1时通常选择n次多项式
（2）修正指数曲线
y K b0b1t
（其中t为时间变量）
特征：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终以 K为极限 例子：新产品的问世，初期销量增长可能很快，当社会
拥有量接近饱和时，销售量趋于某一稳定水平
解法：三和法
三和法介绍： 将时间序列观测值等分为3个部分，每部分m个时期，根据
预测值的3个局部总和分别等于原序列的3个局部总和来确定
3个系数，即
S1 yt , S 2
t 1 m
t m 1
y ,S
t
2m
3

t 2 m 1
y
3m
t
S1 m K b0b1 b0b12 b0b1m m K b0b1 (1 b1 b12 b1m 1 ) m 1 m 1 S 2 m K b0b1 b0b1m 2 b0b12 m m K b0b1 (1 b1 b12 b1m 1 ) 2 m 1 2 m 1 2m2 3m 2 m 1 S m K b b b b b b m K b b ( 1 b b b ) 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 3
（6）比较所有可能的模型：优化
（7）预测：点预测和区间预测
ARMA模型的难点： （1）拖尾和截尾在判别上的模糊性 （2）ARMA (p,q)模型中参数的识别 尝试低阶模型或调用minic函数自动识别 （3）疏系数模型的应用
季节模型：简单季节模型和乘积季节模型
适用情形：有明显周期性 难点：关系及参数取值需靠多次尝试，难有定法
设时间序列 {yt } 从某时期开始具有直线趋势，且认为未来 时期也按此直线趋势变化，则可设此直线趋势预测模型为
at 2M t(1) M t(2) 2 (1) (2) b ( M M t t t ) N 1
yt T at bT t , T 1, 2,
三、灰色系统
GM（1，1）：一阶微分方程，一个变量 关键：累加生成、累减生成、紧邻均值、时间响应函数 优点：对序列长度没有特殊要求，可适用于短序列 检验：残差，关联度，后验差等 推广：
GM（2，1） 残差修正模型 残差周期修正模型
新陈代谢模型
四、差分方程
一阶方程情形： yt a1 yt 1 a2 二阶方程情形： yt a1 yt 1 a2 yt 2 a3
Байду номын сангаас
因变量只取少数几个整数值（如logistic回归）
二、时间序列分析
ARMA（p,d,q）
平稳序列：ARMA（p,q）
非平稳序列：差分（d）为平稳序列，针对差分后序列建模 步骤： （1）时序图：平稳性 （2）白噪声检验：是否有信息量 （3）自相关图与偏自相关图：参数识别
（4）模型中参数的检验：显著性 （5）残差白噪声检验：信息提取是否充分
N N
极限概率分布： P( j i pij ), j 1
i 1 j 1
说明：n步概率分布用来预测一段时间过后的概率分布 极限概率分布用来预测充分长时间过后的概率分布
七、神经网络
适用：训练样本足够多，预留一定比例的检验样本 注意：网络模型的构造，节点个数的设置 类型：BP神经网络、RBF神经网络等
yi 1 yi hf ( xi , yi ) i 0,1, 2, y0 y( x0 )
, n -1
b.使用数值积分
y ( xi 1 ) y ( xi )

xi 1
xi
f (t , y (t )) dt
xi 1 xi [ f ( xi , y ( xi )) f ( xi 1 , y ( xi 1 ))] 2
十一、其它方法
随机微分方程
灰色马尔可夫
灰色神经网络 模糊神经网络 组合预测 插值拟合
混沌时间序列
......
作业要求：编程实现不少于三种（学过的除外）预测方法， 并自己找例子验证（可借用文献中的数据），程序要求对
关键语句要有注释，如果是借助软件，必须截图给出具体
操作步骤，即你所做的东西要有可操作性和可重复性。最 迟当天晚上离开机房前交到邮箱：42540871@。
预测：当期输入，当期输出
前期输入，当期输出
八、指数平滑法
指数平滑采用时间序列本期的实际值与前期对本期
预测值的加权平均作为本期的预测值，相当于用本
期的实际值对预测值进行不断地修正，以适应数据 的变化。
* Yt* Y ( 1 ) Y 1 t t
*
其中，Yt 1和 Yt 分别为第t+1期和第t 期的预测值；Yt 为第t期真实值； 称为平滑系数，反应利用本期实际 值的信息的程度；而1-
(4)含虚拟变量的回归 虚拟变量：定性的自变量 性别（男，女）、企业类型（家电、医药、其他） 某一定性变量有k个水平，需要k-1个虚拟变量：
1 水平1 1 水平2 1 水平k 1 x1 x2 xk 1 0 其他水平 0 其他水平 0 其他水平
功能：比较、建立混合模型等 (5)受限因变量的回归
*
则被称为阻尼(平滑)系数。
九、移动平均法
一次移动平均
M t(1) 1 ( yt yt 1 N
1 ( M t(1) N
yt N 1 )
1 ( M t(1) M t(1) n ) N
二次移动平均
M t(2)
(2) M t(1) ) M N 1 t 1
（3）龚铂茨（Gompertz）曲线
y Kb0
t b1
（其中t为时间变量）
特征：初期增长缓慢，以后增长率逐渐加快，当达到一 定程度后又开始下降，最后接近一条水平线，两 端都有渐近线，上渐近线为y=k,下渐近线为y=0 例子：产品的寿命周期、一定时期内的人口增长 解法：先取对数，再用三和法
ln y ln K (ln b0 )b1t
十、自适应滤波
自适应滤波法以时间序列的历史观测值进行某种加权
平均来预测，它要寻找一组“最佳”的权数。 方法是先用一组给定的权数来计算一个预测值，然后 计算预测误差，再根据预测误差调整权数以减少误差。 反复进行，直至找出一组三 “最佳”权数，使误差减少 到最低限度。由于这种调整权数的过程与通讯工程中
预测方法综述
一、回归分析
一元回归
多元回归
线性回归 非线性回归 变量选择：相关性 、共线性 模型选择：散点分布 模型检验：线性性、参数、拟合优度、残差
多元回归中的难点：共线性 （1）逐步回归 （2）主成分回归 非线性回归中的难点：模型选择 （1）借鉴相应学科背景下的已有模型 （2）根据散点分布或其连线趋势
h y i 1 y i [ f ( xi , y i ) f ( xi 1 , y i 1 )] 2 y 0 y ( x0 )
c.泰勒公式 龙格-库塔法 线性多步法
六、马尔可夫链